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CALCULO MULTIVARIADO 203057A_611 Unidad3

Presentado a: GABRIELA INES LEGUIZAMON SIERRA

Entregado por: Nestor Alirio Capera Código: 80237867 Omar Alberto Becerra Código: 11813795 Juan Gabriel Forero Suarez Código: 1069174579 Jorge Alejandro Santos Parra Código: 1010161777 Yeison Alexander Zamora Gutiérrez Código: 1020800180

Grupo: 203057_15

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ABRIL DE 2019 BOGOTA

INTRODUCCIÓN En este trabajo abordaremos el tema de Integrales de funciones de varias variables donde se realizarán ejercicios que nos permitan desarrollar habilidades en la ejecución de Integrales dobles y de volúmenes, integrales triples en diferentes coordenadas, integrales de línea, Integrales de flujo y teoremas de integración para esto veremos su aplicación en distintos problemas reales que nos permiten ver la importancia del cálculo multivariado para el desarrollo de profesión.

Grupo de ejercicios 1 – Integrales Dobles. (Aplicaciones de las integrales dobles – Momento de Inercia) Momento de Inercia.

Si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como: 𝑰 = 𝒎𝒅𝟐 = (𝒎𝒂𝒔𝒂)(𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂)𝟐 Se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes 𝑥 y 𝑦. Estos segundos momentos se denotan por 𝑰𝒙 e 𝑰𝒚 y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia.

Donde (𝑦 2 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝑥 (𝑥 2 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝑦 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 es la Masa A la suma de los momentos e se le llama el momento polar de inercia y se denota Por 𝑰𝟎 .

Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones.

(Elaborado por Nestor Capera) a. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑏 2 , donde 𝜌 = 𝑘, y la recta 𝑥 = 𝑎, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 𝑏 Planteamos la integral doble: 𝑏

√𝑏 2 −𝑥 2

𝐼 = 2𝑘 ∫ ∫

(𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑦𝑑𝑥

−𝑏 0

Desarrollamos √𝑏2 −𝑥 2

∫ 0

(𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑦

Desarrollamos la integral indefinida ∫(𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑦 = (𝑥 − 𝑎)2 𝑦 Ahora calculamos los limites lim

𝑦→√𝑏2 −𝑥2

(𝑥 − 𝑎)2 √𝑏 2 − 𝑥 2

lim (𝑥 − 𝑎)2 ∗ 0 = 0

𝑦→0 √𝑏2 −𝑥 2

∫

(𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑦 = (𝑥 − 𝑎)2 √𝑏 2 − 𝑥 2

0

Remplazamos en nuestro integral doble 𝑏

𝐼 = 2𝑘 ∫ (𝑥 − 𝑎)2 √𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 −𝑏

Desarrollamos 𝑏

𝐼 = 2𝑘 ∫ (𝑥 − 𝑎)2 √𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 −𝑏 𝑏

𝑏

𝑏

𝐼 = 2𝑘 [∫ 𝑥 2 √𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2𝑎 ∫ 𝑥√𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑎2 ∫ √𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥] −𝑏

−𝑏

−𝑏

Solucionamos 𝑏

∫ 𝑥 2 √𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 −𝑏

Calculamos la integral indefinida ∫ 𝑥 2 √𝑏 2 − 𝑥 2 Desarrollamos por sustitución trigonométrica teniendo en cuenta 𝑥 𝑥 = 𝑏 sin(𝑢) 𝑢 = arcsin 𝑑𝑥 = 𝑏 cos(𝑢)𝑑𝑢 𝑏 Remplazamos ∫ 𝑏 4 sin2(𝑢) cos 2 (𝑢) 𝑑𝑢 Se saca la constante 𝑏 4 ∫ sin2(𝑢) cos 2 (𝑢) 𝑑𝑢

Utilizamos la propiedad de: cos2 (𝑥) sin2 (𝑥) =

𝑏4 ∫

1 − cos 4𝑥 8

1 − cos 4𝑢 𝑑𝑢 8

Sacamos la constante 1 4 𝑏 ∫ 1 − cos( 4𝑢)𝑑𝑢 8 Aplicamos regla de suma 1 4 𝑏 ∫ 1𝑑𝑢 − ∫ cos( 4𝑢)𝑑𝑢 8 1 4 1 𝑏 ∗ (𝑢 − sin 4𝑢) 8 4 Sustituimos

𝑥

𝑢 = arcsin 𝑏 1 4 𝑥 1 𝑥 𝑏 ∗ [(arcsin ) − sin(4 arcsin )] 8 𝑏 4 𝑏

Se calculan los limites 1 −𝑏 1 −𝑏 𝜋 lim 𝑏 4 ∗ [(arcsin ) − sin(4 arcsin )] = − 𝑏 4 𝑥→−𝑏 8 𝑏 4 𝑏 16 1 𝑏 1 𝑏 𝜋 4 lim 𝑏 4 ∗ [(arcsin ) − sin(4 arcsin )] = 𝑏 𝑥→𝑏 8 𝑏 4 𝑏 16 =

𝜋 4 𝜋 2𝜋 4 𝜋𝑏 4 𝑏 − (− 𝑏 4 ) = 𝑏 = 16 16 16 8

Tenemos: 𝒃

𝒙𝟐 √𝒃𝟐

∫

−

𝒙𝟐 𝒅𝒙

−𝒃

Ahora calculamos 𝑏

2𝑎 ∫ 𝑥√𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 −𝑏

Desarrollamos la integral indefinida ∫ 𝑥√𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥

Aplicamos sustitución 𝑢 = 𝑏2 − 𝑥 2

1

𝑑𝑥 = 2𝑥

𝝅𝒃𝟒 = 𝟖

Remplazamos ∫−

√𝑢 𝑑𝑢 2

Sacamos la constante 1 − ∫ √𝑢 𝑑𝑢 2 Aplicamos leyes de exponentes 1 − ∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 2 1 𝑢3/2 − ∗ 3 2 2 Sustituimos 𝑢 = 𝑏2 − 𝑥 2 1 (𝑏 2 − 𝑥 2 )3/2 − ∗ 3 2 2 3

(𝑏 2 − 𝑥 2 )2 − +𝐶 3 3

(𝑏 2 − 𝑏 2 )2 2𝑎 [lim − ] = 2𝑎 ∗ 0 = 0 𝑥→𝑏 3

3

(𝑏 2 − (−𝑏 2 ))2 2𝑎 [ lim − ] = 2𝑎 ∗ 0 = 0 𝑥→−𝑏 3 Por lo que tenemos 𝒃

𝟐𝒂 ∫ 𝒙√𝒃𝟐 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟎 −𝒃

Ahora calculamos 𝑏

𝑎2 ∫ √𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 −𝑏

Desarrollamos la integral indefinida ∫ √𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥

Realizamos por sustitución trigonométrica: 𝑥 𝑢 = arcsin ( ) 𝑏

𝑥 = 𝑏 sin 𝑢

∫ 𝑏 cos 𝑢 √𝑏 2 − 𝑏 2 sin2 𝑢

𝑑𝑥 = 𝑏 cos 𝑢 𝑑𝑢

Se simplifica usando 𝑏 2 − 𝑏 2 sin2 𝑢 = 𝑏 2 cos2 𝑢 ∫ 𝑏 2 cos2 𝑢 𝑑𝑢 Sacamos la constante 𝑏 2 ∫ cos2 𝑢 𝑑𝑢 Se utiliza la siguiente identidad cos2 𝑥 =

𝑏2 ∫

1 + cos(2𝑥) 2

1 + cos(2𝑢) 𝑑𝑢 2

Sacamos la constante 1 2 𝑏 ∫ 1 + cos(2𝑢) 𝑑𝑢 2 Se aplica ley de la suma 1 2 𝑏 (∫ 1𝑑𝑢 + ∫ cos(2𝑢) 𝑑𝑢) 2 1 2 1 𝑏 (𝑢 + sin 2𝑢) 2 2 𝑥

Sustituimos 𝑢 = arcsin (𝑏) 1 2 𝑥 1 𝑥 𝑏 [(arcsin ( ) ) + sin(2 arcsin ( ) )] + 𝐶 2 𝑏 2 𝑏 Calculamos los limites 𝑏 1 𝑏 𝜋𝑏 2 lim (arcsin ( ) ) + sin(2 arcsin ( ) ) = 𝑥→𝑏 𝑏 2 𝑏 4 −𝑏 1 −𝑏 𝜋𝑏 2 lim (arcsin ( ) ) + sin(2 arcsin ( ) ) = − 𝑥→−𝑏 𝑏 2 𝑏 4

𝑎2 (

𝜋𝑏 2 𝜋𝑏 2 − (− )) 4 4

𝑎2 (

2𝜋𝑏 2 𝜋𝑏 2 𝜋𝑎2 𝑏 2 ) = 𝑎2 ( )= 4 2 2

Entonces tenemos 𝒃

𝒂𝟐 ∫ √𝒃𝟐 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = −𝒃

𝝅𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟐

Remplazamos para calcular el momento de inercia 𝑏

𝐼 = 2𝑘 [∫

𝑏

𝑥 2 √𝑏 2

−

𝑥2

𝑏

𝑑𝑥 − 2𝑎 ∫ 𝑥√𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑎2 ∫ √𝑏 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥]

−𝑏

−𝑏

𝐼 = 2𝑘 [

𝝅𝒃𝟒 𝝅𝒂𝟐 𝒃𝟐 −𝟎+ ] 𝟖 𝟐

𝒌𝝅𝒃𝟒 𝑰= + 𝝅𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒌 𝟒 (Elaborado por Omar Alberto Becerra) b. 𝑦 = 0, 𝑦 = 2, 𝑥 = 0, 𝑥 = 4, donde 𝜌 = 𝑘, y la recta 𝑥 = 6 Planteamos la integral doble: 4

2

𝐼 = ∫ ∫ 𝑘(𝑥 − 6)2 0

0

Desarrollamos 4

𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ 2𝑘(𝑥 − 6)2 0

4 2𝑘 3 𝑑𝑥 = [ (𝑥 − 6) ] 3 0

=

416𝑘 3

(Elaborado por Yeison Zamora) C. 𝑦 = √𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 4, donde 𝜌 = 𝑘𝑥, y la recta 𝑦 = 𝑎

−𝑏

4

√𝑥

𝐼 = ∫ ∫ ((𝑥 − 𝑎)2 ∗ 𝑘𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥 0

0

4

√𝑥

𝐼 = 𝑘 ∫ ∫ ((𝑥 − 𝑎)2 ∗ 𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥 0

0

Se realiza la primera integral: √𝑥

∫ ((𝑥 − 𝑎)2 ∗ 𝑥)𝑑𝑦 0

√𝑥

∫ ((𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 )𝑥)𝑑𝑦 0

√𝑥

∫ (𝑥 3 + 2𝑎𝑥 2 + 𝑎2 𝑥)𝑑𝑦 0

= (𝑥 3 + 2𝑎𝑥 2 + 𝑎2 𝑥)𝑦|√0 𝑥

= [(𝑥 3 + 2𝑎𝑥 2 + 𝑎2 𝑥)√𝑥] − [(𝑥 3 + 2𝑎𝑥 2 + 𝑎2 𝑥) ∗ 0]

= (𝑥 3 + 2𝑎𝑥 2 + 𝑎2 𝑥)√𝑥

= (𝑥 3 + 2𝑎𝑥 2 + 𝑎2 𝑥)𝑥1/2

= 𝑥 7/2 + 2𝑎𝑥 5/2 + 𝑎2 𝑥 3/2

Se resuelve la segunda integral:

4

∫ (𝑥 7/2 + 2𝑎𝑥 5/2 + 𝑎2 𝑥 3/2 )𝑑𝑥 0

4

𝑥 9/2 𝑥 7/2 𝑥 5/2 = + 2𝑎 + 𝑎2 | 9/2 7/2 5/2 0

4

2𝑥 9/2 𝑥 7/2 𝑥 5/2 = + 4𝑎 + 2𝑎2 | 9 7 5 0

=[

2(4)9/2 (4)7/2 (4)5/2 2(0)9/2 (0)7/2 (0)5/2 + 4𝑎 + 2𝑎2 ]−[ + 4𝑎 + 2𝑎2 ] 9 7 5 9 7 5

=

1024 512 64 + 𝑎 + 𝑎2 9 7 5

Por tanto, el momento de inercia calculado con respecto a la recta y=a es igual a:

𝐼 =

1024 512 64 + 𝑎 + 𝑎2 9 7 5

(Elaborado por Juan Forero Suarez) 𝑑. 𝑦 = √𝑎2 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0, donde 𝜌 = 𝑘𝑥, y la recta 𝑥 = 6 Rta/. √𝑎2 −𝑥2

𝑎

𝐼 = 𝑘∫ ∫

(6 − 𝑥)2 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦

−𝑎 0 𝜋 𝑎

𝐼 = 𝑘 ∫ ∫ (6 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 0 𝜋

0

𝑎

𝐼 = 𝑘 ∫ ∫ 𝑟(36 − 12𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 )𝑑𝑟𝑑𝜃 0

0 𝜋

𝑎

𝐼 = 𝑘 ∫ ∫ 36𝑟 − 12𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 0

0 𝜋

𝑟 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑎 𝐼 = 𝑘∫ [ − 3𝑟 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 18𝑟 2 ] 𝑑𝜃 4 0 0 𝜋

𝑎4 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝐼 = 𝑘∫ − 3𝑎3 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 18𝑎2 𝑑𝜃 4 0 1 1 𝑎4 [2 𝜃 + 4 sin 2𝜃] 𝜋 𝐼 = 𝑘[ − 3𝑎3 sin 𝜃 + 18𝑎2 𝜃] 4 0 𝑎4 𝜋 𝐼 = 𝑘[ + 18𝑎2 𝜋] 8 𝒂² 𝑰 = 𝒌𝒂²𝝅 [ + 𝟏𝟖] 𝟖 (Elaborado por Jorge Alejandro Santos) e. 𝑦 = 42 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0, donde 𝜌 = 𝑘, y la recta 𝑦 = 2 Rta/. 𝑦 = 42 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝 = 𝑘, 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑦 = 2

𝑦 2 = 42 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0 , 𝑦 = 2 2

2

∫ (42 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ∫ (16 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 0

0 3

= 16𝑥 −

(2)3 𝑥 2 | = 16(3) − 3 0 3 8 = 48 − 3 𝟏𝟑𝟔 = 𝟑

Grupo de ejercicios 2 – Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio) Utilice integrales triples para calcular el valor promedio de 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre la región dada: (Elaborado por Nestor Capera) a. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 9 sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 y 𝑧 = 2. Para desarrollar el ejercicio tenemos en cuenta: 1 ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝑉 1 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ (𝑥 + 9 )𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 8 0 0 0 Primero calculamos la integral definida: 2

∫ 𝑥 2 + 9 𝑑𝑥 0

Calculamos la integral indefinida: ∫ 𝑥 2 + 9 dx

Aplicamos ley de suma ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 9 dx 𝑥3 + 9𝑥 3 Calculamos los limites 23 8 62 lim + 9(2) = + 18 = 𝑥→2 3 3 3 03 lim + 9(0) = 0 𝑥→0 3

62 62 −0= 3 3 Desarrollamos 1 2 2 62 ∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑧 8 0 0 3 Calculamos la integral definida 2

∫ 0

62 𝑑𝑦 3

Calculamos la integral indefinida ∫

62 62 𝑑𝑦 = 𝑦 3 3

Calculamos limites 62 124 2= 𝑦→2 3 3 lim

Tenemos: 1 2 124 ∫ 𝑑𝑧 8 0 3 Calculamos la integral definida 2

∫ 0

124 𝑑𝑧 3

Calculamos la integral indefinida ∫

124 124 𝑑𝑧 = 𝑧 3 3

Calculamos limites 124 248 2= 𝑧→2 3 3 lim Tenemos: 𝟏 𝟐𝟒𝟖 𝟐𝟒𝟖 𝟑𝟏 ∗ = = 𝟖 𝟑 𝟐𝟒 𝟑 El valor promedio de 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) sobre la región dada es

𝟑𝟏 𝟑

(Elaborado por Omar Alberto Becerra) 𝑏. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 sobre el sólido rectangular en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥 = 1, 𝑦 = 1 y 𝑧 = 2 Planteando según la formula tenemos que 𝑦=1

𝑧=2

𝑥=1

∫

∫

∫

0

0

0

1

𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦

2

∫ ∫ 𝑥]1 𝑑𝑧 𝑑𝑦 0 1

0 2

∫ ∫ (1)𝑑𝑧 𝑑𝑦 0 1

0 2

2

∫ 𝑧 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ [(2)] 𝑑𝑦 0

0

0

1

∫ 2 = 2𝑦 = 2(2) = 4 0

(Elaborado por Yeison Zamora) C. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥 = 1, 𝑦 = 1 y 𝑧 = 1. 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1

1 ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉

𝐹𝑝𝑟𝑜𝑚 =

1 1 1 1 𝐹𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ ∫ ∫ (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 1 0 0 0

Se realiza la primera integral: 1

∫ (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝑑𝑥 0

1

𝑥3 = + (𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑥 | 3 0

13 03 = [ + (𝑦 2 + 𝑧 2 ) ∗ 1] − [ + (𝑦 2 + 𝑧 2 ) ∗ 0] 3 3

=

1 + 𝑦2 + 𝑧2 3

Se realiza la segunda integral:

1

1 ∫ ( + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝑑𝑦 0 3

1

1 𝑦3 = ( + 𝑧2) 𝑦 + | 3 3 0

1 13 1 03 = [( + 𝑧 2 ) ∗ 1 + ] − [( + 𝑧 2 ) ∗ 0 + ] 3 3 3 3

=

1 1 2 + 𝑧2 + = + 𝑧2 3 3 3

Se realiza la tercera integral:

1 2 ∫ ( + 𝑧 2 ) 𝑑𝑧 0 3

1

2 𝑧3 = 𝑧+ | 3 3 0 2 13 0 03 = [ ∗1+ ]−[ 𝑧+ ] 3 3 3 3

=

2 1 + 3 3

=1

Por tanto, el valor promedio de la función es de: 𝐹𝑝𝑟𝑜𝑚 =

1 ∗1 1

𝐹𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1 (Elaborado por Juan Forero Suarez) 𝑑. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥 = 3, 𝑦 = 3 y 𝑧 = 3. Rta/. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 1) Se halla el volumen del cubo 𝑉 = 33 = 27 2) Se plantea la integral triple, para calcular el valor promedio de 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) 3

3

3

∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0

0

0

a) Se integra primero con respecto a Z 3

3

∫ ∫ [ 0

0 3

𝑥𝑦𝑧² 3 ] 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 0

3

∫ ∫ 0

0

9 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2

b) Se integra respecto con respecto a Y 3

9 3 ∫ [ 𝑥𝑦²] 𝑑𝑥 0 0 4

3

∫ 0

81 𝑥 𝑑𝑥 4

c) Finalmente se integra respecto a X 81 3 729 [ 𝑥²] = ≅ 91,13 8 0 8 3) Se calcula el valor promedio de 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre el cubo 𝟏 𝟕𝟐𝟗 𝟐𝟕 𝑽. 𝑷𝒓𝒐𝒎 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = ( )= ≅ 𝟑, 𝟑𝟖 𝟐𝟕 𝟖 𝟖 (Elaborado por Jorge Alejandro Santos) 𝑒. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 2 − 3𝑦 2 + 2𝑧 2 Sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 y 𝑧 = 1. Rta/. 𝑥=1 𝑦=2 𝑧=1 1

2

1

∫ ∫ ∫ (2𝑥 2 − 3𝑦 2 + 2𝑧 2 ) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 1

0

0

2

2 1 ∫ ∫ (2𝑥 2 𝑧 − 3𝑦 2 𝑧 + 𝑧 3 ) | 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 0 0 0 1 2 2 ∫ ∫ (2𝑥 2 − 3𝑦 2 + ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 0 0 1

2 2 ∫ (2𝑥 2 𝑦 − 𝑦 3 + 𝑦) | 𝑑𝑥 3 0 0 1 4 ∫ (4𝑥 2 − 8 + ) 𝑑𝑥 3 0 4 20 1 = 𝑥3 − 𝑥 | 3 3 0 4 20 = − 3 3

=−

𝟏𝟔 𝟑

Grupo de ejercicios 3 – Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza) Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton. (Elaborado por Nestor Capera) a. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 𝑦𝒊 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝒋 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶: el segmento de recta desde hasta el punto (2,2). R/Lo primero que hacemos es parametrizar el segmento de la recta: 0