• Author / Uploaded
• oswaldo noe martinez araujo

• Categories
• Ingeniería
• Tecnología
• Ciencia
• Física y matemáticas
• Matemáticas

Citation preview

CONTROL DIGITAL

TAREA 2 – ANÁLISIS DE LGR Y DISEÑO DE COMPENSADOR

OSWALDO NOE MARTINEZ ARAUJO 77170862

GRUPO 203040

TUTOR JOAN SEBASTIAN BUSTOS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA, UNAD INGENIERÍA ELECTRÓNICA VALLEDUPAR CESAR 2020

INTRODUCCIÓN

El control digital es una implementación de control empleando lógica programada, y en esta fase, se domina los conceptos sobre las técnicas de diseño de control digital y el desarrollo de habilidades para el manejo de un conjunto de herramientas que le permitan analizar el modelo matemático de un sistema dinámico mediante la aplicación de señales de prueba al sistema. También se desarrolla una serie de puntos que permiten, identificar el escenario y adquirir conocimiento para el análisis e implementación de un controlador discreto. Se diseñara compensadores mediante el método del lugar geométrico de las raíces y software de simulación para el control automático de procesos. La compensación es la modificación en la dinámica del sistema, realizada para satisfacer unas condiciones predeterminadas. Compensar un sistema dado es establecer en su funcionamiento de acuerdo con unos requisitos o especificaciones. En esta parte se analizan los cambios que se pueden lograr en un dispositivo al añadir un nuevo polo y un nuevo cero al sistema, que se introduce en un lazo de control.

Actividades a desarrollar

Cada estudiante deberá desarrollar de manera individual y subir al foro la solución a cada ejercicio propuesto. Posteriormente, se realizará un debate académico en el foro, donde los integrantes del grupo colaborativo acordarán para cada punto, cuál de las soluciones es más completa y está mejor presentada para integrarla al archivo final. El documento final sólo deberá tener una solución por cada ejercicio. Los ejercicios a resolver son los siguientes: 1. Para el desarrollo del primer punto, se debe tener en cuenta el número del grupo colaborativo. El grupo cuyo número termina en 0 o número par, trabajará con el siguiente sistema:

Sistema No. 1 grupos pares

a) Grafique el lugar geométrico de las raíces del sistema (use matlab u octave) b) Identifique en la gráfica obtenida los diferentes rangos posibles para K. c) Cada grupo deberá seleccionar un valor específico de K para cada rango encontrado. Una vez seleccionados dichos valores, con cada uno de ellos se deberá realizar la simulación de la respuesta del lazo cerrado ante una entrada escalón unitario. Diligenciar la siguiente tabla Rango de k

Valor seleccionad o

Ec. Característica del lazo cerrado

Ubicación de los polos en lazo cerrado

Coeficiente de amortiguamiento (ζ)

Frecuencia natural no amortiguada (wn)

Tipo de sistema (subamortiguado, críticamente amortiguado, sobreamortiguado)

K= K= K= Tabla 1. Valores del LGR del sistema

Cada campo diligenciado debe argumentarse detalladamente; es decir, se debe demostrar con ayuda del software cada valor diligenciado; en caso contrario, no se dará validez a la tabla.

Se podrán agregar tantas filas como rangos de k encontrados en la gráfica de lgr. Se deberán anexar también los pantallazos de la respuesta a escalón del sistema en cada caso.

d) Diligenciar la siguiente tabla. En ella se consignarán los valores solicitados de la respuesta a escalón unitario del sistema en lazo cerrado con cada valor de k seleccionado:

Valor de K

Sobreimpulso (%)

Tiempo de establecimiento

Valor final

Error en estado estacionario

K= K= K= Tabla 2. Parámetros característicos de la dinámica del sistema Cada campo diligenciado debe argumentarse detalladamente; es decir, se debe demostrar matemáticamente o con ayuda del software cada valor diligenciado; en caso contrario, no se dará validez a la tabla

e) Analizar los resultados obtenidos y responder las siguientes preguntas usando palabras propias sin copiar textualmente de libros o páginas de internet:   

¿Qué indica el lugar geométrico de las raíces de un sistema? ¿En qué influye directamente el valor de la ganancia en cada caso sobre el sistema? ¿Si se desea diseñar un compensador tipo proporcional (sólo ganancia) utilizando el lugar geométrico de las raíces, en qué casos no se podrían usar las ganancias que nos arroja la gráfica directamente?

2. Dado el siguiente sistema:

G p ( s) =

1 s ( 10 s +1 )

a. Se debe diseñar un compensador usando el método del lugar geométrico de las raíces de tal forma que al implementarlo, el nuevo sistema en lazo cerrado tenga un coeficiente de amortiguamiento ζ =0.4 y una frecuencia natural no amortiguada de ω n=2 rad /seg Se debe mostrar el proceso detallado, con gráficas de lgr y plano complejo donde se muestre el aporte de cada cero y polo del sistema, de lo contrario no se hará válido el diseño para la calificación del trabajo colaborativo. b. A partir de la frecuencia natural no amortiguada y coeficiente de amortiguamiento deseados, calcule los parámetros de la respuesta a escalón unitario del sistema compensado (sobreimpulso, tiempo pico, tiempo de subida, tiempo de establecimiento). Cada parámetro se debe demostrar matemáticamente. Componente Práctico: Realizar la Práctica 2 especificada en la Guía de componente práctico – laboratorio de simulación, la cual se encuentra alojada en el entorno de aprendizaje práctico

SOLUCIÓN Grupo par 203040 a) Grafique el lugar geométrico de las raíces del sistema (use matlab u octave) K K ⇒ 3 s ( s + 4 s+5 ) s + 4 s2 +5 s 2

Graficamos en MATLAB

b) Identifique en la gráfica obtenida los diferentes rangos posibles para K. Rango 01 (0 a 1.85 K=1.5)

Rango 02 (1 a 1.85 K=1.71)

Rango 03 (30 a 1.85 K=6.49)

c) Cada grupo deberá seleccionar un valor específico de K para cada rango encontrado. Una vez seleccionados dichos valores, con cada uno de ellos se deberá realizar la simulación de la respuesta del lazo cerrado ante una entrada escalón unitario. Diligenciar la siguiente tabla Rango de k

Valor seleccionad o

0 a 1.85 1 a 1.85 30 a 1.85

1.5 1.71 6.49

Ecuación Característica del lazo cerrado

Ubicación de los polos en lazo cerrado -1.78+0.52i -1.72-03.52i -3.06

Coeficiente de amortiguamiento (ζ) 0.96 0.98 1

Frecuencia natural no amortiguada (wn) 1.86 Rad 1.76 Rad 3.06 Rad

Tipo de sistema (subamortiguado, críticamente amortiguado, sobreamortiguado) subamortiguado subamortiguado críticamente amortiguado

Tabla 1. Valores del LGR del sistema

e) Analizar los resultados obtenidos y responder las siguientes preguntas usando palabras propias sin copiar textualmente de libros o páginas de internet: 

¿Qué indica el lugar geométrico de las raíces de un sistema?

Indica el lugar donde se encuentran ubicado lo polos y ceros del sistema. 

¿En qué influye directamente el valor de la ganancia en cada caso sobre el sistema?

La ganancia puede hacer que un sistema responda más rápido, pero aumenta su sobre pico, además puede que la ganancia haga a un sistema pasar de la estabilidad a un estado oscilatorio continuo o a la inestabilidad. Todo depende la ubicación del polo, en este caso al tener un polo en cero y polos complejos la ganancia del sistema nos permite estas opciones, caso contrario a un sistema de polos reales en el cual el valor de la ganancia nunca haría inestable el sistema.



¿Si se desea diseñar un compensador tipo proporcional (sólo ganancia) utilizando el lugar geométrico de las raíces, en qué casos no se podrían usar las ganancias que nos arroja la gráfica directamente?

Con la gráfica del lugar geométrico de las raíces podemos ver si nuestro sistema de puede hacer inestable y con qué valor de ganancia, no se utilizaría cuando tenemos raíces complejas cercanas a cero puesto que valores muy altos de ganancia estabilizarían nuestro sistema.

2. Dado el siguiente sistema:

G p ( s) =

1 s ( 10 s +1 )

a. Se debe diseñar un compensador usando el método del lugar geométrico de las raíces de tal forma que al implementarlo, el nuevo sistema en lazo cerrado tenga un coeficiente de amortiguamiento ζ =0.4 y una frecuencia natural no amortiguada de ω n=2 rad /seg Se debe mostrar el proceso detallado, con gráficas de lgr y plano complejo donde se muestre el aporte de cada cero y polo del sistema, de lo contrario no se hará válido el diseño para la calificación del trabajo colaborativo.

b. A partir de la frecuencia natural no amortiguada y coeficiente de amortiguamiento deseados, calcule los parámetros de la respuesta a escalón unitario del sistema compensado (sobreimpulso, tiempo pico, tiempo de subida, tiempo de establecimiento). Cada parámetro se debe demostrar matemáticamente. Solución punto b : Con los valores de amortiguamiento ζ =0.4 y una frecuencia natural no amortiguada de ω n=2 rad /seg determinamos los parámetros que nos pide el sistema sabiendo que

MP=exp

−0.4∗π

(√

1−0.4 2

)

∗100 %

MP=0.2538∗100 %=25.3 % Tiempo De Establecimiento ts=

4 =5 seg 0.4∗2

Tiempo pico tp= tp=

wn∗ √1−ζ 2 ζ ∗wn

2∗ √1−0.42 =2.29 s 0.4∗2

Solución punto a: Diseñamos el compensador utilizando los parámetros de diseño dados en el ejercicio mp≥25 % y ts = 2s Paso 1 observamos los parámetros de nuestro sistema en lazo cerrado:

G p ( s) =

1 s ( 10 s +1 )

Lazo cerrado Gs=

1 10 s +s +1 2

Como podemos observar nuestro sistema a mejorar tiene un tiempo de establecimiento de 73.1 segundos y un máximo sobrepico de 60.5%.

Utilizaremos el método de bisectriz para diseñar nuestro controlador

Código implementado con el método bisectriz. %% codigo Oswaldo Noe Martinez Araujo %% Compensador metodo de bisectriz clear,clc s = tf('s'); G = 1/(s*(10*s+1)); % función de transferencia zeta = 0.4; % valor de Zeta mp=exp((-zeta*pi)/sqrt(1-zeta^2))% Max.sobrepico wn = 2; %Frecuencia natural ts = 4/(zeta*wn) %Tiem. de establecimiento sigma = 4/ts; %parte real polo deseado wd = wn*(1-zeta^2)^.5;% parte imaginaria polo deseado sx = -sigma+wd*i % polo deseado Gsx = 1/(sx*(10*sx+1)); %evaluamos función en el polo deseado fi = 180 -angle(Gsx)*180/pi; % valores de desplazamiento del angulo teta = (asin(zeta)*180/pi); alfa = (90+teta)/2; p = wd/tan(deg2rad(alfa-fi/2)); %polo compensador z = wd/tan(deg2rad(alfa+fi/2)); %cero del compensador Csx = (sx+(sigma+z))/(sx+(sigma+p)); % controlador evaluado en el polo deseado Kc = 1/(abs(Gsx)*abs(Csx)); % ganancia del controlador C = zpk(tf(Kc*[1 (sigma+z)],[1 (sigma+p)])) % Compensador Gs = feedback(G,1) Gc = feedback(C*G,1) step(Gs,Gc),grid, legend ('Función sin compensar','Función compensada')

GRAFICA SISTEMA COMPENSADO VERSUS SIN COMPENSAR

Grafica de los parámetros de tiempo de establecimiento y máximo sobre pico de la función sin compensar versus la función compensada

Controlador k ( s + zero ) C= s+ polo 67.932 ( s+1.155 ) C= ( s+ 3.462 )

Sistema lazo abierto 1 G= s∗( 10 s+1 ) Sistema lazo cerrado 1 Gs= 2 10 s +s +1 Sistema más controlador retroalimentado 6.7932 ( s+1.155 ) Gc= ((s+1.962)(s2 +1.6 s +4 )) Ajustamos el valor de Zeta para mejorar el sobrepico y el tiempo de establecimiento zeta = 0.9

CONCLUSIONES

En este trabajo se pudo concluir que Añadir un polo desplaza el lugar de las raíces a la derecha, disminuye la estabilidad relativa y aumenta el tiempo de establecimiento, mientras que si agregamos un cero al sistema se desplaza el lugar de las raíces a la izquierda, aumenta la estabilidad relativa y disminuye el tiempo de establecimiento. Por otro lado, Variar la ganancia del sistema es el primer paso para llevar al sistema a un comportamiento satisfactorio, Sin embargo, en muchos incrementar el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estacionario, pero produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS



OGATA, Katsuhiko. INGENIERIA CONTROL MODERNA. Tercera Edición.



CHEN, Chi-Tsong. ANALOG AND DIGITAL CONTROL SYSTEM DESIGN. Tercera Edición.



ALFARO, Victor. IDENTIFICACIÓN DE PROCESOS SOBREAMORTIGUADOS UTILIZANDO TÉCNICAS DE LAZO ABIERTO Y LAZO CERRADO. Ingeniería (Costa Rica), Vol. 11 Nº 2, 2 001



http://bibing.us.es/proyectos/abreproy/12070/fichero/4.+CAP%C3%8DTULO+4.pdf



http://www.kerwa.ucr.ac.cr/bitstream/handle/10669/14623/2647-4127-1-PB.pdf? sequence=1&isAllowed=y