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• Juan Martin Garcia

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Puentes Colgantes

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La motivación para escoger este tema surge desde hace mucho tiempo cuando estuve de viaje en Pereira, Colombia. En ese lugar hay un puente colgante, no muy grande pero lo suficiente como para llamar mi atención. En ese momento me llamo la atención precisamente el cableado del puente y me pregunté durante mucho tiempo como podría ser posible que tuviera equilibrio y que el mismo puente sostuviera las cuerdas. Por ello es esta exploración matemática quiero abordar el tema de las cuerdas en los puentes colgantes y como se puede ver un desarrollo matemático en el mismo, si esta está relacionada a alguna ecuación matemática con la que se pueda representar y asimismo entender un poco los principios básicos para la construcción de puentes colgantes. Además si se puede determinar una ecuación universal para la construcción de todos los puentes o si para cada puente hay que determinar una ecuación propia. Para ello hay que encontrar, por medio de la ecuación de la forma y = ax2, el coeficiente de dilatación de la parábola (a). Pero primero se debe abordar la información básica de los puentes colgantes con sus respectivas fuerzas que lo contienen. Un puente colgante es aquel cuyo tablero se sostiene mediante cables de acero desde una estructura a la que van sujetas, a diferencia de los puentes tradicionales que están apoyados sobre pilas o arcos. Los puentes fueron utilizados inicialmente en las civilizaciones asiáticas y africanas para evitar algunos obstáculos presentados por el medio, sobretodo en regiones montañosas. Se tiene calculado que en el siglo XVI, en la llegada de los españoles, había más de 200 infraestructuras colgantes de la civilización inca ya instaladas. Eran de aproximadamente 50 metros de longitud.

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El diseño actual de los puentes colgantes fue desarrollado a principios del siglo XIX en Gran Bretaña. Los primeros puentes son el puente de Menai y el de Conwy, ambos puestos en funcionamiento en 1826 en el Norte del País de Gales . Desde entonces se han construido puentes colgantes en todo el mundo. Esta tipología de puente es prácticamente la única solución posible para salvar grandes luces (superiores a un kilómetro), por ejemplo, cuando sea peligroso para el tráfico marítimo añadir apoyos centrales temporales o permanentes, o no sea viable añadir apoyos centrales. Generalmente los puentes colgantes están conformados por un puente sostenido por un arco invertido formado por numerosos cables de acero, del que se suspende el tablero del puente mediante tirantes verticales. Los puentes colgantes se componen principalmente por 4 estrucutras fundamentales (como se es mostrado en la grafica anterior): Torres: Son las encargadas de sostener los cables de acero principales. Comúnmente se encuentran cuatro columnas o torres por cada puente colgante, organizadas en parejas, de forma que se reparta equitativamente el peso del cable principal que forma la parábola. Las fuerzas que sostienen el puente se concentran en esta estructura ya que el peso total del puente recae sobre estas columnas. Tensores: Se encuentran en gran cantidad en este tipo de estructuras. Son los encargados de sostener el peso del tablero y repartirlo a lo largo del cable principal. Las fuerzas que se presentan en estos tensores son variables ya que dependen del peso total del tablero (incluidos todos los objetos móviles que estén en ese preciso momento sobre el puente) Tablero: En esta parte estructural transitan los diferentes objetos móviles (automóviles, motocicletas, peatones). Es sostenida por los tensores. Pilar: Los pilares de un puente se encuentran enterrados en su mayoría de extensión en la tierra, ya que sostienen las columnas. La profundidad en la que deben ser insertadas se relaciona directamente con la altura y el peso de las torres. Un puente colgante es una estructura que resiste por su forma y principales que actuan sobre él son:

las fuerzas

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Fuerza de tracción: Es el esfuerzo interno al que está sometido un

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cuerpo por

la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido contrario y tienden a deformarlo o estirarlo. Estas deformaciones pueden ser permanentes o temporal. Este concepto está estrechamente ligado al material del que este compuesto un objeto. Si un objeto tiene la característica de ser flexible,

este

puede volver a su antigua forma y estado después de que la fuerza deja de ser ejercida. En el caso de los puentes colgantes, esta fuerza es la encargada de sostener en si el tablero y los cables de acero. Existe una fuerza de tracción entre el tablero y los tensores, también entre los tensores y el cable principal y finalmente todas estas fuerzas desembocan en la interacción entre el cable principal y la columna Fuerza de compresión: Es la fuerza contraria a la fuerza de tracción. Dos fuerzas que actúan en sentidos opuestos tienden a comprimir un objeto. En el caso del puente se percibe en las torres que lo sostienen, específicamente se habla de dos fuerzas contrarias en este caso; la fuerza gravitacional y la fuerza que sostiene las bases de las columnas. Fuerza gravitacional: Es la fuerza que experimentan todos los objetos, por el hecho de tener masa determinada. Tiene un valor de 9,8 m/s² en la tierra y su vector siempre se dirige hacia abajo (hacia el centro de la tierra). Esta fuerza se relaciona estrechamente con el peso, en este caso de toda la estructura del puente. Se mantiene en equilibrio ya que es contraria a la fuerza normal, la cual tiende a tener el mismo valor que la fuerza de gravedad pero en sentido contrario.

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Fuerza de flexión: Esta fuerza se presenta como un tipo de deformación en un objeto, ocasionado por una presión en un sentido perpendicular al eje longitudinal del objeto involucrado. En el caso de un puente se observa principalmente en el tablero de éste y la presión es representada por los automóviles que circulan sobre él y deforman un poco su eje longitudinal.

El gráfico anterior presenta con diferentes colores las fuerzas presentes en un puente colgante (rojo: fuerza de tracción, amarillo: fuerza de compresión, verde: fuerza de flexión)

La Física establece que a pesar de que estas fuerzas están interactuando entre sí de manera simultánea, la estructura no se mueve, es decir ni se desplaza ni rota, y a esto se le llama condición de equilibrio estático de un cuerpo. En primer lugar, es necesario aclarar que es posible plantear que un puente colgante se encuentra en equilibrio estático, ya que este no tiene desplazamiento alguno tanto en el eje horizontal como vertical, es decir que permanece en reposo. Ya definiendo en si el concepto de equilibrio estático, se tiene como primera y básica condición que la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre el objeto sea cero. Esta condición se simboliza con la siguiente fórmula:

∑ F=0 En este caso, en esta ecuación se debe reemplazar y sumar todas las fuerzas que están involucradas en el puente colgante: Fuerza de Tracción + Fuerza de Compresión+ Fuerza Gravitacional + Fuerza Normal+ Fuerza de Flexión = 0

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Es importante definir por otro lado que las fuerzas que son opuestas también deben dar como resultado una fuerza que equivalga a cero. Como por ejemplo en el caso de la fuerza gravitacional y la fuerza normal o entre la fuerza de tracción y la fuerza de flexión. Por otro lado en el puente se cumple el Caso I de equilibrio que plantea que “Un objeto sujeto a dos fuerzas está en equilibrio si y solo si las dos fuerzas son de igual magnitud, opuestas en dirección y tienen la misma línea de acción.” Después de aclarar las condiciones básicas de equilibrio de un Puente colgante me surgió una serie de preguntas : ¿De qué manera incide la medida del arco del cable principal en el funcionamiento de un puente colgante? ¿Qué sucede si la medida de este arco cambia, es decir si disminuye o aumenta? Quiero considerar ahora la grafica de este puente , puesto en un sistema de referencia:

Una hipótesis es que este arco se ajusta a una parábola y que esta parábola tiene que tener una medida estándar que es igual para todo tipo de puentes colgantes, ya que gracias a esta es posible que el puente se sostenga y esté en equilibrio. Si la forma del cable principal de un puente colgante es una parábola la función matemática que la representaría seria de la forma: f(x) = ax2 +bx + c (En la que a, b y c son números reales y en el caso de a no es cero)

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Digamos entonces que trabajamos con una escala en metros. Teniendo en cuenta que la expresión de la función de la parábola con vértice (0,0) es de la forma

y=a x 2 , me etrevo a afirmar que la

parábola trazada en el cable del puente tiene un coeficiente a menor que 1 y mayor que 0, porque se aprecia que la parábola es abierta y además con base en el sistema de referencia que esta trazado en la grafica , las coordenadas del vértice son (-200,0);(200,0), ahora quiero calcular el valor de a. Si tomo un punto de la parábola y lo reemplazo en la función puedo obtener a. Se reemplazan los valores tanto de x como de y. 200 ¿ ¿ 50=a ¿ Se despeja el coeficiente a 50 =a 40000 Se simplifica la fracción lo que mas se pueda para hallar el resultado a=

1 800

La ecuación de la parábola quedaría de la siguiente forma:

y=

1 2 x 800

Se podría pensar también que la dilatación de la parábola depende de la longitud del puente, para verificar esto voy a considerar otro caso como ejemplo:

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P 40 m

105 m

El vértice de esta grafica tiene las coordenadas (40,0) y corta en el eje y en el punto (0,20). Además hay un punto P(90,30) que pasa por la función f(x). Se reemplazan los valores (x,y) 2 30=a(90) Se despeja a 30 =a 8100

a=

1 270 La medida del arco incide el funcionamiento del puente colgante,

ya que depende de la longitud de pilar a pilar. La medida del arco debe coincidir con la longitud entre los pilares, que es de 105 m, y con la altura de las torres. La dilatación de la parábola es

1 270

veces la

parábola normal. Hasta este punto la ecuación de la parábola es: y = ax2-100. Sin embargo es posible observar que dicha parábola está más abierta que una parábola normal por lo tanto 0