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• Esteban Huacasi Vargas

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Modelamiento y área de la forma aerodinámica de un avión comercial

Commented [PVWR1]: Te sugiero que modifiques el titulo

1.Introducción

A principios de este año realicé un viaje de intercambio para el cual tuve que tomar varios vuelos para llegar a mi destino, pues se encontraba relativamente lejos de mi

Commented [PVWR2]: Inicia con un contexto relacionado a la importancia de la aerodinámica de la nariz de un avión o como le llamen. Luego tu motivación que lo has descrito.

país de origen. En una oportunidad, recuerdo claramente nos hicieron bajar de uno de los vuelos puesto a que había un problema con el avión. Al bajar me quedé impresionada con el gran tamaño de este y su forma, ya que pese a que disfruto

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mucho viajar y lo hago seguido, nunca me había detenido a ver el avión en especial la parte de la nariz cuya forma es aerodinámica. Coincidentemente, a inicios del primer año de bachillerato internacional en el curso de Matemática NM vimos el tema de funciones, el cual nos mostraba distintas reglas de correspondencia para cada figura en el plano cartesiano. Al recordar la forma del avión me di cuenta que tenía una forma de función, con ciertas características, por lo cual tuve interés en modelar esta figura utilizando funciones y calcular el área de la superficie de la nariz del avión. En esta exploración matemática aplicaré los conocimientos de Matematica NM para realizar el modelamiento de la función y para ello se decidí mover la imagen para que la parábola quede con respecto al eje y. Por otro lado para calcular el área se utilizaré integrales definidas. Para el trabajo en general se planea utilizar el software Geogebra.

Commented [PVWR3]: El objetivo de tu trabajo lo debes plantear en forma de pregunta, después de tu motivación ……. ¿Qué función modela….?

2.Datos iniciales Para este trabajo, se tomó una foto de la nariz real de un avión comercial y se modeló con criterio utilizando valores discretos para modelar una función que tiene indicios de ser cuadrática. Se planteará una función par debido a que la estructura del avión debe de ser simétrica. Sea y

Y= ax2+ bx+ c + es la función

una función cuadrática de la forma

Commented [PVWR4]: La imagen con el mapeo de puntos debe estar aquí, a partir de esa imagen tú debes decir que aparenta o tienes la idea de que es una función cuadrática la que modela el contorno en la figura plana del avión

cuadrática. La gráfica es una parábola. La orientación de la parábola depende del signo de a: a > 0 ramas hacia arriba → función cóncava a < 0 ramas hacia abajo → función convexa El eje de simetría viene dado por la recta x =

−𝑏 2𝑎

El vértice de la parábola tiene por abscisa x0 =

−𝑏 2𝑎

La ordenada la determinaremos sustituyendo este valor de x 0 en la función. Los puntos de corte con el eje de abscisas vienen dados por las dos soluciones de la ecuación de segundo grado :

𝑥1 =

𝑥2 =

−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−𝑏 −√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

Son: (x1, 0) y (x2, 0). El punto de corte con el eje de ordenadas viene dado por el punto

(0,

c).

Commented [PVWR5]: Esta teoría no es necesaria , debes quitarlo.

El vértice que se hallará será el punto máximo que corresponda a la nariz del avión

3.Procedimiento 3.1.

Modelamiento aproximado

Averiguamos que las medidas del objeto de estudio son 40 pies de profundidad y 24 pies de amplitud (48 en total).

24 pies de amplitud +

24 pies de amplitud = 48 pies.

40 pies de profundidad

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De este gráfico conseguimos los siguientes puntos:

Abcisa X -1.93 -2.07 0 -2.16 0.38 -2.38 0.73 -2.32 1.1 -2.24 1.38 1.65 2.18 2.67 1.86 2 2.32 2.42 2.56 -0.3 -0.61 -0.84 -1.06 -1.24 -1.39 -1.55 -1.71 -1.84

Ordenada Y 1.94 2.18 0 2.42 0.03 3 0.12 2.79 0.37 2.6 0.59 0.95 1.8 3 1.22 1.5 2.12 2.42 2.72 0.07 0.22 0.36 0.59 0.77 0.97 1.22 1.43 1.68

Usando la herramienta hoja calculo podemos modelar la función a una polinómica de grado 2 debido a la simetría y usando el método de mínimos cuadrados, desarrollado en Geogebra.

Commented [PVWR6]: Solo x e y , todos los valores deben estar con la misma cantidad de decimales. Recuerda que todas las imágenes i tablas deberán estar rotuladas y con títulos cuando corresponda.

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Siendo la función modelada: 𝑦 = 0.47𝑥 2 − 0.13𝑥 − 0.07 3.2. Conversión El valor máximo encontrado fue x= 2,67 y en y=3 por lo que realizamos la regla de tres simple: 24 pies X

5,34 cm

Commented [PVWR7]: Debes usar únicamente punto o coma decimal en todo tu trabajo no ambos.

1 cm

La escala es de: 1 cm : 4,49 pies Con estos datos calculamos que el eje de simetría es (0,0) 3.3 Cálculo de la regla de correspondencia Siendo una parábola cóncava hacia arriba, ajustando mediante una regla de la herramienta Geogebra Tools, se hará una aproximación para la altura y la amplitud de la nariz del avión.

Commented [PVWR8]: El eje de simetría es la ecuación de una recta no la coordenada de un punto

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La amplitud está dada por los dos puntos extremos x=2.32 y x= ̶ 2.32 siendo la amplitud 𝐴 = |−2.32 − 2.32| = 4.64𝑝𝑖𝑒𝑠 Y la altura se puede calcular de la forma ℎ = |3 − 𝑓(0)| = |3 − (−0.0746)| = 3.00746 𝑝𝑖𝑒𝑠 3.4 Cálculo del área de superficie Con los datos anteriores extraídos del gráfico sacamos los siguientes valores: 𝑦 = 0.47𝑥 2 − 0.13𝑥 − 0.07 Del método de completar cuadrados: 𝑦 = 0.47 (𝑥 2 −

13 169 169 𝑥+ ) − 0.47 ∗ 47 2209 2209

𝑦 = 0.47(𝑥 −

13 2 169 ) − 94 4700

Despejando x en función a y: 100 169 13 2 𝑦+ = (𝑥 − ) 47 2209 94

Commented [PVWR9]: Esta expresión está en función a la escala del geogebra como lo expresas en la escala real , si vas a realizar la integral para el área deber estar en la escala o en todo caso una unidad de área debería tener su relación con lo real.

100 169 13 →𝑥=√ 𝑦+ + 47 2209 94 Derivando en función a y: 𝑑𝑥 50 = 𝑑𝑦 √4700𝑦 + 169

Siendo una aproximación de la función tomaremos solo el barrido positivo para un lado de la amplitud, esto es 𝑥 = [0; 2.32] y altura 𝑦 = [0; 3.00746] → 𝑆 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 Para hallar el área de la superficie que describe la nariz de un avión emplearemos el área de revolución de la parábola obtenida mediante la fórmula de cálculo de área llamado el método del disco.

𝑏

𝑆 = ∫ 2𝜋𝑥√1 + ( 𝑎

Siendo

𝑑𝑥 𝑑𝑦

la derivada de nuestra relación hallada: 𝑑𝑥 50 = 𝑑𝑦 √4700𝑦 + 169

Reemplazando en la ecuación:

𝑑𝑥 2 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑦

3.00746

=∫

2𝜋𝑥√1 + (

0 3.00746

=∫ 0

𝑑𝑥 2 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑦 2

100 169 13 50 2𝜋 (√ 𝑦+ + ) √1 + ( ) 𝑑𝑦 47 2209 94 √4700𝑦 + 169 Commented [PVWR10]: Este cuadro que me supongo lo obtuviste de alguna herramienta de cálculo en línea te sugiero lo quites, solo indicas que la integral definida el valor lo obtienes utilizando la CPG. No olvides que este resultado no corresponde a la escala real.

𝑆 = 41.921 Para este cálculo se tomó solo el barrido positivo pues al ser una función par, se le multiplica por dos para estimar el valor esperado.

4. Conclusión Como respuesta al modelamiento, gracias al programa de geogebra, encontramos que

la

función

que

modela

la

nariz

del

avión

es:

2

𝑦 = 0.47𝑥 − 0.13𝑥 − 0.07 Y con respecto al área, encontramos que es: 𝑆 = 41.921 Una de las limitaciones que se tuvo en este trabajo de exploración fue la falta de experiencia con el programa de Geogebra; ya que, debido a esto tuve que realizar las gráficas varias veces hasta que finalmente nos salía la correcta. Para una extensión del trabajo se sugiere que, con el

cálculo del área de

superficie, se podría estimar la cantidad de material que se usa para la nariz del avión comercial, y así buscar uno ecológico que pueda reemplazar al aluminio u otro metal.

Referencias: Radome test systems and products (s.f). Recuperado el 2 de Abril del 2018 de: https://www.nsi-mi.com/products/test-services/86-standard-products/systemsolutions-category/radome-measurement-systems/separate-radomemeasurement-systems La

función

cuadrática(s.f)

Recuperado

el

4

de

Junio

del

https://www.uv.es/lonjedo/esoProblemas/3eso12funcioncuadratica.pdf

2018

de: