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• Alejo Louro Noguera

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• Movimiento (Física)
• Masa
• Viscosidad
• Física aplicada e interdisciplinaria

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FÍSICA Control 2 de Noviembre 2011, Grupo 3 (Examen A)

Tiempo total para el examen: 50 min. El control constituye un 5% de la nota asignada a la asignatura. Ambas preguntas se puntúan por igual. Incluir el nombre en todas las hojas entregadas.

Pregunta de teoría: Fuerzas Conservativas. Movimiento rectilíneo. Problema – Varilla y cuenta en rotación Se dispone una cuenta metálica de masa m=1 kg en el extremo de una cuerda de longitud l=1 m y sujeta a un eje fijo vertical. Inicialmente el sistema está en reposo. Se comunica a este sistema una energía total E0 desconocida de tal modo que la cuenta gira alrededor del eje vertical con un ángulo =30º Ver el esquema adjunto. En particular:  a) Hacer un esquema de las fuerzas que actúan sobre la masa m en la situación final y escribir las ecuaciones de fuerzas correspondientes. Calcular el valor de la tensión en la cuerda. b) Determinar los parámetros geométricos que determinarán el movimiento de la cuenta (radio de la trayectoria R, altura h). c) Determinar la velocidad lineal v de la cuenta metálica, la velocidad angular  de rotación del eje vertical y el periodo de cada revolución. d) Calcular la energía cinética y potencial de la cuenta metálica. ¿Cuál será la energía total que hará falta suministrar al sistema? e) ¿Sabrías calcular la velocidad de la cuenta si en lugar de la energía anterior le comunicáramos una energía total de 1000 J?

FÍSICA Control 2 de Noviembre 2011, Grupo 3 (Examen B)

Tiempo total para el examen: 50 min. El control constituye un 5% de la nota asignada a la asignatura. Ambas preguntas se puntúan por igual. Incluir el nombre en todas las hojas entregadas.

Pregunta de teoría: El oscilador armónico amortiguado Problema – Gotas de lluvia Como es bien sabido las gotas de lluvia de mayor tamaño caen más rápidamente que las gotas de menor tamaño. Se puede demostrar que las gotas en su caída experimentan una fuerza de frenado viscoso con la atmósfera caracterizada por la siguiente fórmula: F  6 r v

donde  es un coeficiente que determina la viscosidad del medio y que en el caso del aire puede calcularse como:   0.109 en unidades del sistema internacional. a) Calcular las unidades del coeficiente de viscosidad  . b) Determinar la velocidad límite con la que caen gotas de agua de diferente tamaño en función de su radio v(r). Nótese que el volumen de las gotas de agua viene dado por la fórmula: 4 4 V   r 3 , siendo la masa de cada gota: m   r 3  agua y la densidad 3 3 3 del agua:  agua  1000kg / m .

c) ¿Cuál será la velocidad límite de caída para gotas de los siguientes tamaños? r1= 1 micra (r=10-6m) r2= 1 mm r3= 1 cm d) A la vista de este resultado y de la figura adjunta ¿se te ocurre algún mecanismo obvio por el que las gotas de agua en una nube crezcan al caer? e) ¿Cuál será el tiempo necesario para que una nube de smog (mezcla de humo y niebla) de altura 1 km y formada por partículas de radio 100 micras descienda hasta la superficie? Expresar el resultado en días (nótese que este tiempo puede utilizarse para caracterizar el tiempo de residencia en la atmósfera de un contaminante).

Soluciones (PROBLEMA MODELO A): a) Esquema de fuerzas y ecs. dinámicas Como la trayectoria es circular:

  F  maN La aceleración normal es proporcionada por la componente x de la tensión mientras que la componente vertical de la tensión debe anularse con el peso:

v2 , además: Tx  T sin  R Ty  mg , Ty  T cos 

Tx  m

Nuestra única incógnita será T

T

Ty cos 



mg 1 9,8   11,3N cos  3 2

b) Parámetros geométricos

1 R  l sin   1   0.5m , 2

 3 h  l 1  cos    1  1    0.13m 2  

c) Velocidades lineal y angular

Tx 

mv 2 R



mv 2 R sin  mg R sin   v2  T   Rg tan   0.5  9.8  1 R m cos m 2 v 1.7 rad Por lo tanto: v  1.7m / s ,    ,   1.8s  3.4 R 0.5 s   T sin  

d) Energías: Ec 



3  2.8m / s 2

 1 2 1 3 mv  1  2.8  1.4 J , E p  mgh  mgl (1  cos  )  9,8  1    1.3J  2 2 2  

Hará falta comunicar al sistema una energía Etotal=2.7J. Nota: El hecho de que ambas energías sean casi idénticas no es casual (serían idénticas para energías totales algo más pequeñas) y está relacionado con un resultado físico conocido como teorema del virial. Sin embargo el significado de dicho teorema excede con mucho el nivel de esta asignatura. e) Si la energía total fuera 1000 J Esta energía es muy superior a la anterior y es de esperar que la cuenta ascienda hasta la máxima altura posible (h=l)

E p max  mgl  9,8 J  Ec  Etotal  mgl  1000  9.8  991.2 J  v  2  991.2  44.5m / s

1 2 mv 2

Soluciones (PROBLEMA MODELO B): a) Análisis dimensional del coeficiente de viscosidad

F Esta igualdad debe verificarse también en las unidades que se 6 rv utilizan en los lados izquierdo y derecho de la ecuación m kg 2  F s  kg     r v  m  m  ms  s  F  6 r v   

b) Velocidad límite como función del radio

La velocidad límite de caída se calcula haciendo la suma de las fuerzas igual a 0 F  ma  0  mg  Fviscosa mg  6 r v  v 

mg 6 r

4 La masa de cada gota depende del radio: m   r 3  agua por lo que: 3 4 3   r   agua g 2  g mg 2 1000  9.8 2 3 agua  v r2 , v    r  19980r 2  20000r 2 6 r 6 r 9  9 0.109 donde al haber utilizado unidades del sistema internacional v viene dado en m/s cuando r viene dado en m. c) Velocidades límites para precipitación de diferente tamaño

r1= 1 micra (r=10-6m)  v1  20000 106   2.0 108 m / s 2

r2= 1 mm  v2  20000 103   0.020m / s 2

r3= 1 cm  v3  200000 102   2m / s 2

d) Crecimiento de gotas: Resulta obvio que las gotas más grandes caen más rápidamente arrastrando a las más pequeñas y absorbiéndolas. Este proceso es muy lento para partículas pequeñas pero se vuelve más rápido a medida que se forman partículas de mayor tamaño. e) Tiempo de residencia del smog: La velocidad terminal o límite de caída se alcanza muy rápidamente. El movimiento es una caída de 1 km a velocidad constante. v1  20000 104   2.0  104 m / s 2

r= 100 micras 

t

s 1000m   5  106 s  58días v 2.0  104 m / s