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• Cruz Maslucan Medina

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EXAMEN FINAL

CRUZ DEL PILAR MASLUCAN MEDINA ALUMNA

Tarea de Estadística Matemática Nivel III 1. (2

p)

Encontrar 2 1

2 2

la

matriz

simétrica

de

la

forma

cuadrática

2 3

f ( x 1 , x 2 , x3 ) =5 x −2 x +3 x −6 x1 x 2+ 4 x 1 x 2−5 x 2 x 3 CORRECCIÓN EN ESTE EJERCICIO PARA QUE SE PUEDA REALIZAR TIENE QUE SER 4 x1 x 3 5

−3

−3

−2

2

−5 2

(

2 −5 2 3

)

2. (2.5 p) Demostrar que la matriz

(1r 1r ) tiene autovalores 1 + r y 1 − r y autovectores (1, 1) y (1,−1).

3. (2 p) Demostrar que si Y = XA donde Y es n×m y X es n×p, la matriz de covarianzas Sy de Y está relacionada con la matriz de covarianzas Sx de X por Sy = A’SxA.

4. (0.5 p) Marcar V si es verdadero o F si el Falso: a) Si una matriz cuadrada tiene una columna como combinación lineal de las otras columnas, entonces el determinante de dicha matriz es diferente de cero. (FALSO) (F) b) Si la matriz X(nxp) tiene una columna que es la combinación lineal de las otras columnas, entonces el determinante de la matriz X’X es cero. (VERDADERO)(V)

c) El producto escalar de dos vectores unitarios es igual al coseno del ángulo formado por dichos vectores. (VERDADERO)(V) d) El determinante de una matriz cuadrada de orden n representa el hipervolumen formado por las columnas o filas de dicha matriz. (VERDADERO)(V)

e) Si la transpuesta de una matriz A es igual a inversa de la matriz A, entonces la matriz A es ,ortogonal. (VERDADERO)(V)

f) Si el vector X es ortogonal al espacio generado por las columnas de la matriz Y(nxp), entonces el producto escalar de la combinación lineal de las columnas Y(nxp) con el vector X es cero. (VERDADERO)(V)

g) La forma cuadrática X’AX donde A es simétrica; si A es definida positiva, entonces X’AX ≥ 0. (FALSO)(F) h) Si A es una matriz cuadrada de orden n. Entonces la solución de la ecuación |A - λI| = 0 nos da los valores propios de A. (VERDADERO)(V)

i) Si A es una matriz cuadrada de orden n y B es una matriz cuyas columnas están formadas por los autovectores de A, entonces |A| = |B|. (VERDADERO)(V) j) Si A es una matriz simétrica, entonces A puede descomponerse como U’DU, siendo U una matriz formada por los autovectores de A y D una matriz diagonal con los autovalores de A en la diagonal. (FALSO)(F)

k) La traza y el determinante de la matriz de covarianzas representan la varianza total y la varianza generalizada respectivamente. (VERDADERO)(V) l) Si la matriz de covarianzas S es semidefinida positiva, entonces todos sus autovalores son positivos. (FALSO, puede ser cero, si es definida positiva si tendrían que ser positivos )(F) m) El número de autovalores no nulos de una matriz simétrica indica el rango dicha matriz. (VERDADERO)(V)

n) La proyección ortogonal de un vector Y sobre una base (columnas de X(nxp)) equivale a multiplicar la matriz s X(X’X)X’ por Y. (FALSO)(F) Debería ser esto: o) Un cambio de medida de las variables que equivale a una transformación lineal modifica su matriz de correlación. (FALSO)(F)

p) La estandarización univariante no modifica la matriz de correlación de las variables. (VERDADERO)(V) q) La estandarización multivariante hace que la matriz de correlaciones sea una matriz identidad. (FALSO)(F) 5. (2 ptos) Sobre algunas técnicas multivariantes, marcar la opción incorrecta: a. El Análisis de Componentes Principales permite obtener nuevas variables cuya matriz de correlación es una matriz identidad. (INCORRECTA) b. El Análisis de Correspondencias usa variables de tipo tanto numérico como categórico. c. El Análisis Discriminante permite construir, en base a datos de una muestra, funciones lineales que servirán para discriminar nuevos sujetos.

d. El análisis Factorial es una técnica estadística que permite obtener nuevas variables no observables cuando se verifica previamente que hay correlaciones significativas en las variables originales. 6. (2 ptos) Una compañía está considerando usar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los clientes por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes:

a. Hallar a, b y c. b. Si en la actualidad la participación de mercado es de 40%, 25% y 35%, respectivamente. ¿Cuáles serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más? a) a=0.8 b=0.95 c=0.75 En la siguiente página la explicación .

7. (1 puntos) Resolver la siguiente ecuación diferencial estocástica: dXt = 0.5 Xt.dt + 0.03 Xt.dBt, x(0) = e