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• brayan orihuela lozano

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SEMINARIO PARA EL EXAMEN FINAL – GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA 1) Determine si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o dependientes: a) 𝑋 = {(1, 2, 3); (−1, 1, −1); (4, −1, 1)} b) 𝑋 = {(−3, 4, 2); (7, −1, 3); (1, 1, 8)} c) 𝑋 = {(1, 1, 0); (1 , 0, 1); (−1, 1, −2)} d) 𝑋 = {(−2, −2, −2); (3, −5, 1); (−3, −2, 1)} e) 𝑋 = {(2, −1, −2); (3, −5, 1); (5, −6, −1)}

2) Determine una base y la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales: a) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = 0} b) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, 2𝑥 − 𝑦 − 6𝑧 = 0} c) 𝐿 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 7𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 0} d) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 0, −4𝑥 + 12𝑦 + 8𝑧 = 0, 3𝑥 − 9𝑦 − 6𝑧 = 0} 3) En cada caso determine una base ortonormal para ℝ3 a partir de las bases: a) 𝐵 = {(1, 1, 0), (1 , 0, 1), (0, 1, 1)} b) 𝐶 = {(−1, 2, 3), (0 , 1, 1), (−1, 2, 4)} c) 𝐵 = {(1, −1, −1), (0 , 3, 3), (3, 2, 4)} d) 𝐶 = {(1, 1, 1), (0 , 1, 1), (0, 0, 1)}

4) En cada caso determine la proyección ortogonal del vector 𝑢 sobre el subespacio 𝐻: a) 𝑢 = (5, 6, −2), 𝐻 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 0} b) 𝑢 = (−2, 1, 4), 𝐻 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 0} c) 𝑢 = (1, 0, −7), 𝐻 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0} d) 𝑢 = (0, 2, −2), 𝐻 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0}

5) Verifique si las siguientes funciones son transformaciones lineales (justifique su respuesta): UPN-LIMA CENTRO-DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

a) 𝑇: ℝ2 → ℝ donde 𝑇(𝑥; 𝑦) = cos(𝑥) sen(𝑦) b) 𝑇: ℝ2 → ℝ donde 𝑇(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 c) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 donde 𝑇(𝑥; 𝑦) = (2𝑥 − 3𝑦; 5𝑦 − 3𝑥) 𝑥

𝑦

d) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 dada por 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥 2 +𝑦2 ; 𝑥 2 +𝑦2 )

6) Determine el núcleo y la imagen de las siguientes transformaciones lineales: a) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 dado por 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥 + 𝑦; 2𝑥 + 2𝑦) b) 𝑇: ℝ3 → ℝ3 dada por 𝑇(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥 + 𝑧; 𝑥 + 𝑦 + 𝑧; 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) c) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 dada por 𝑇(𝑥; 𝑦) = (3𝑥 + 𝑦; 𝑥 − 𝑦) d) 𝑇: ℝ2 → ℝ3 dada por 𝑇(𝑥; 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦; 6𝑥 − 2𝑦; 12𝑥 − 4𝑦)

7)

Diagonalizar las siguientes matrices: 2 3 1 b) 𝐶 = [ 2 1 c) 𝐴 = [1 2 1 d) 𝐶 = [0 0 a) 𝐵 = [

2 ] 1 3 ] −1 0 0 −1 0 ] 0 −1 2 −1 0 1] −2 3

8) Dos poblaciones de venados (𝑣(𝑡)) y pumas de montaña (𝑝(𝑡)). Donde 𝑡 esta dado en años, tienen una interacción entre estas poblaciones la cual modelada por la ecuación [

𝑝(𝑡 + 1) 0 0,75 𝑝(𝑡) ]=[ ][ ] −1,5 2,25 𝑣(𝑡) 𝑣(𝑡 + 1)

Supongamos que inicialmente hay 100 venados y 100 pumas (𝑣(0) = 𝑝(0) = 100). Determine la cantidad de pumas y venados en cientos en el tiempo 𝑡 = 5.

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9) El desierto de Atacama está poblado principalmente de zorro culpeos (𝑧(𝑡)) y vicuñas ( 𝑣(𝑡)), para este hábitat, se modela su población desde el año 𝑡 al siguiente año (𝑡 + 1) mediante la ecuación: 𝑧(𝑡 + 1) 0,86 0,08 𝑧(𝑡) [ ]=[ ][ ] −0,12 1,14 𝑣(𝑡) 𝑣(𝑡 + 1) Supongamos que inicialmente hay 200 zorros (𝑧(0) = 200) y 100 vicuñas (𝑣(0) = 100). Determine a 𝑧(3) y 𝑣(3), es decir, la población de zorros y vicuñas en el tercer año.

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