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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CHIAPAS Facultad de Ingeniería

Ing. Pedro Pérez Cruz

Estructuras de Ejes curvos Estructuras Isostáticas Cinthya Gpe. López Nucamendi

Agos-Dic 2013

A partir de la definición del concepto de estructura (como el conjunto de elementos con forma geométrica que, unidos a través de nodos soportan cargas que son transmitidas a su sistema de apoyos a través de los elementos que la conforman); las clasificamos por:  Su forma geométrica  por su sistema de cargas  por su sistema de apoyos  por sus condiciones de isostaticidad. El estudio de las estructuras isostáticas es un tópico que cobra especial interés cuando la geometría juega un papel crucial y la solución intuitiva no se da en forma evidente. En este trabajo se dará una explicación acerca de arcos y cables en una dimensión, o eje curvo, cuando se someten a su propio peso o bien a una cierta carga dada. Parte de los principios fundamentales del equilibrio de fuerzas y fórmulas generales para el cálculo de momentos flexionante así como fuerzas cortantes y de compresión, Teniendo en consideración las bases importantes para su comprensión, de esta manera, poder aplicar los elementos de manera correcta y cuando sea conveniente.

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E

l arco es un elemento estructural en la arquitectura y en la ingeniería civil, que lleva a cabo como funciones cubrir

claros, soportar cargas, así como constituir un elemento estético. Una amplia gama de formas geométricas de arcos han sido construidas desde la antigüedad. Los romanos usaron el arco semicircular en puentes, acueductos y arquitectura de gran escala; este tipo de arco consistía en la unión de bloques de tabique o piedra, dispuestos en forma circular (desde alrededor de 200 a.C, quizá hasta 250 d.C. En estas estructuras los bloques se mantenían en su posición debido a su geometría y a la fuerza de compresión que actúa a lo largo del eje del arco. Los principios geométricos jugaron un papel muy importante en el diseño de arcos estructurales a través de la historia, especialmente en tiempos anteriores al conocimiento de las leyes físicas. Otros diseños de arcos han pasado a la historia, los que fueron concebidos más por su forma estética que por su funcionalidad. Tal es el caso del arco de herradura en las mezquitas árabes, el arco gótico de la Edad Media, así como el arco falso en los templos mayas. Además de estas formas continuas, se han diseñado arcos en forma de estructuras poligonales, cuya construcción en algunos casos ofrece ventajas prácticas. El francés, Lahire (1640-1718), fue el primero en aplicar los principios de estática en un intento de analizar el arco, y, en un artículo publicado en 1773, Coulomb

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P

odemos considerar a los arcos cuyo eje coincide con la línea de presiones, llamados arcos “funiculares”, como sistemas simétricos respecto al de los cables y en ese

sentido incorporarlos a la familia estructural en estudio. Claro que la palabra funicular refiere a funiculares-cablestracción. Usamos ahora el término, asociado a arcos, exclusivamente para asociar estos arcos a sus cables simétricos que podrían equilibrar las mismas cargas El arco es en esencia una estructura comprimida utilizada para cubrir grandes y pequeñas luces, y puede considerarse como uno de los elementos estructurales básicos en todo tipo de arquitectura. La forma ideal de un arco capaz de resistir cargas determinadas por un estado de compresión simple, pueden hallarse siempre con la forma del polígono funicular correspondiente invertido.

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El método que utilizó Gaudí para establecer la forma de sus obras fue una compleja y laboriosa maqueta funicular de hilos colgados traccionados con pesos representativos de las diferentes partes del edificio, cuya inversión de 180°, mediante croquis o fotografía, daba la posición y la dirección en el espacio de los ejes de los elementos constructivos exclusivamente lineales, pilares o arcos, que estarían sometidos sólo a esfuerzos de compresión pura. En el paso del hilo a la materia genera los elementos portantes con una corporeidad suficiente para no sufrir los efectos del pandeo. Los arcos generan fuerzas horizontales que se deben absorber en los apoyos mediante contrafuertes o tensores.

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L

os arcos pueden clasificarse sobre la base de los materiales de los cuales se construyen. Los más comunes son acero, concreto reforzado y madera. También pueden clasificarse por su comportamiento estructural, en este caso existen los arcos no articulados (algunas veces designados como fijos), doblemente articulados o triplemente articulados (el arco

triplemente articulado está estáticamente determinado). Los arcos se clasifican conveniente y necesariamente en cuanto a la forma y posición estructural de la nervadura.

Las partes que conforman un arco son las siguientes: o

Centro: Centro geométrico del arco, puede situarse por arriba o por debajo de la imposta.

o

Esbeltez: Relación entre la flecha y la luz. Por lo general se expresa con fracciones (p.ej.: 1/2, 1/3, etc.)

o

Flecha: Altura del arco midiendo desde la línea de arranque hasta la clave.

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o

Luz: Distancia libre entre dos soportes contiguos, especialmente de un vano en una estructura porticada.

o

Semiluz: Mitad de anchura del arco.

o

Imposta: Hilada de piezas sobresaliente sobre la cual se levanta un arco o bóveda, que se coloca también para evitar que el agua discurra de forma continua por la fachada del edificio.

o

Intradós: Superficie interior de un Arco o Bóveda.

o

Extradós: Superficie exterior curva de un Arco o Bóveda.

o

Jamba: Lados de una abertura que delimitan el hueco y sobre les cuales se sostienen el arco o dintel.

o

Trasdós: Haz exterior de una pared.

o

Línea de arranque: Línea de transición entre la imposta o jamba y el arco.

o

Vértice: Es el punto más alto del arco.

o

Arquivolta: Conjunto de molduras que decoran un arco.

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Este tipo de arcos debe tener cuando menos tres articulaciones, para su resolución pueden emplearse lo mismo el método gráfico que el algebraico bastando la aplicación de las tres ecuaciones de equilibrio de la estática:

FV=0; FH=0; M=0; En las cuales FV, FH, M son cargas verticales, horizontales y momentos respectivamente. Como es sabido en las articulaciones se considera que el momento es nulo, entonces en los puntos A, B y C de la figura los momentos valen cero.

Ahora supongamos que en el arco A, B y C tenemos aplicadas las cargas P1, P2, P3 y P4, por defecto de las cuales en A y B se presentan unas reacciones inclinadas con una intensidad RA y RB respectivamente y las cuales podemos descomponer en sus componentes vertical y horizontal V y H, afectadas del índice correspondiente. Si ahora aplicamos la ecuación que dice M=0; tomando momentos con respecto a B se tendrá: VAl-MeB=0; Ecuación en la cual MeB es el momento estático de las cargas P1, P2, P3 y P4 con respecto al apoyo B. Si despejamos a VA= MeB/l

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Como se observa, la ecuación anterior es similar a la que nos daría la reacción en una viga simplemente apoyada con claro l. Para determinar el valor de los empujes horizontales se procede como sigue:

Se tomarán momentos de todas las cargas a la derecha o izquierda de la articulación intermedia, e igualando a cero se tendrá la ecuación que nos dé el valor de HA o HB según se tomen momentos del lado izquierdo o derecho, así para determinar HA tendremos:

HAf-VA+PnXni=0 Pero si llamamos a -VA+PnXni=Mic tendremos:

HA=Micf

Si todas las cargas aplicadas son verticales, entonces HA=HBi en caso de que algunas o todas las cargas aplicadas sean inclinadas, entonces para conocer HA sin tomar momentos con respecto a C de las cargas colocadas en el lado derecho, habrá que aplicar la condición

que

dice

FU=0.

Deducción de las funciones de los elementos mecánicos se realizara bajo el cumplimiento de los siguientes pasos:

PRIMERO.- A partir de la estructura planteada, se construye un diagrama de cuerpo libre para

identificar:

_ El sistema de fuerzas.- Dado que se analizan estructuras planas, el sistema de fuerzas en

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su conjunto podrá ser un sistema de fuerzas paralelo o un sistema de fuerzas generales en el

plano.

_ Las condiciones de isostaticidad.- Identificado el número de las incógnitas y el número de las ecuaciones de equilibrio estático que contiene el sistema en su conjunto, se tendrán elementos de análisis para abordar estructuras cuando las condiciones de isostaticidad sean

iguales;

esto

es:

I

=

E.

_ El tipo de estructura.- Con el resultado anterior, estaremos en condiciones para abordar el análisis de una estructura que se define como Isostática.

SEGUNDO.- Aplicando las condiciones de equilibrio sobre el diagrama de cuerpo libre, se determinan

las

reacciones

para

encontrar

el

equilibrio

externo.

TERCERO.- Analizando la estructura de izquierda a derecha o viceversa según sea el caso se identifican los tramos que presenten cambios de forma en la carga externa, para que, sobre cada uno de ellos, se construya un diagrama de cuerpo libre indicando la acción de las cargas externas (que actúan sobre la porción que se analice) las que se habrán de equilibrar con un resultante interno, identificando en éste, las componentes que definen a los elementos mecánicos que actúan en el tramo respectivo.

CUARTO.- Aplicando las condiciones del equilibrio estático se deducen las funciones de los elementos mecánicos que se presentan en cada tramo, y al sustituir en éstas los parámetros de variación de la distancia angular “!”, previa descomposición de los elementos de la carga externa obteniendo las magnitudes respectivas.

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QUINTO.- Con el resultado del punto anterior se procederá a trazar el diagrama de variación para cada elemento mecánico considerando:

_ Línea base de la fuerza normal, fuerza cortante o momento flexionante: A partir de un marco de referencia, mismo que será de forma del arco en análisis (circular o parabólico) por el cual se traza la línea base, sobre la que se indicarán los parámetros de variación de la distancia angular “!”; que se relacionarán sobre la línea base, en el que se localizarán las magnitudes de los elementos mecánicos respectivos (normal, cortante o momento flexionante).

_ Trazo de la variación de los elementos mecánicos.- Con los puntos encontrados del resultado anterior, se une punto a punto obteniéndose la variación de esfuerzos que estará definida por las funciones de los elementos mecánicos hallados según la variación de la distancia angular correspondiente al arco.

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Considere el arco parabólico de la figura V4, f es la altura total del arco o flecha y L es la longitud horizontal total entre los apoyos o cuerda. La ecuación que define la forma de este arco en términos de f y L es

Para obtener la ecuación (4) se debe recurrir a la definición de la parábola: conjunto de puntos P que equidistan de la directriz l y del foco F, es decir, que satisfacen (figura V-5) |PF|=|PL|

A partir de esta definición, podemos deducir la ecuación en x y z atendiendo al siguiente procedimiento: Si aplicamos la definición de parábola en la figura V-5(a), obtenemos √(

)

(

)

√(

Resolviendo ambos lados de la ecuación, resulta

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)

(

)

Simplificando

la expresión anterior representa la ecuación general de una parábola, donde p es la distancia vertical del origen de coordenadas al foco F , que es igual a la distancia vertical entre el origen a la directriz l . Si repetimos el proceso anterior en la figura V-5(b), donde se ha ubicado el arco parabólico en el sistema de coordenadas xz y se ha trazado la directrizl , obtenemos la ecuación

Resolviendo para p

sustituyendo el valor de p en la ecuación general de la parábola obtenemos la ecuación de un arco parabólico en términos de su flecha y su cuerda (ecuación 4), éstos valores serán siempre conocidos a partir del proyecto del arco.

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Un arco con tres articulaciones al momento de sustentar cargas verticales no sólo presenta reacciones verticales, sino también reacciones horizontales. Estas reacciones evitan el fenómeno del “coceo” (tendencia que un arco presenta de abrirse hacia los lados.) Para evitar este fenómeno se recurre a colocar un tensor en los apoyos para impedir

que

el

arco

se

abra.

Una definición de este tipo de arco es la siguiente: Arco cuyo intradós tiene forma de elipse. Los arcos elípticos se utilizan comúnmente en la arquitectura como puerta de entrada y elementos de diseño. Dichos arcos son seguros para las luces de hasta dos metros y medio de largo, y siempre deben tener soportes muy fuertes en cada lado. Contrariamente a un arco segmentado, que es la mitad de un círculo con un diámetro, los elipses son un círculo con dos diámetros. Cuando traces un arco elíptico, es importante garantizar que el arco no sea ni demasiado corto ni demasiado alto. La cabecera, o parte inferior de la abertura de la puerta, debe ser lo suficientemente alto como para que el arco pueda sentarse debajo de él sin tener que quitar parte de la cabecera.

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Un arco con una articulación interna y con articulaciones en ambos apoyos es estáticamente determinado. Se tiene cuatro incógnitas: dos componentes horizontales y dos verticales de las reacciones, pero se dispone de cuatro ecuaciones basadas en las leyes del equilibrio 1.- la suma de fuerzas horizontales debe ser cero 2.- la suma de los momentos con respecto al apoyo izquierdo debe ser cero 3.- la suma de los momentos con respecto al apoyo derecho debe ser cero. 4.- el momento flexionante en la articulación de la corona debe ser cero. (no debe confundirse con la suma de los momentos con respecto a la corona, que también debe ser igual a cero, pero que no llevaría a una ecuación independiente para la solución de las reacciones). Las reacciones y fuerzas en los arcos de tres articulaciones se pueden determinar en forma gráfica aprovechando el hecho de que el momento flexionante en la articulación de la corona es cero. Después de encontradas las reacciones, los esfuerzos se pueden calcular con las leyes de la estática, en el caso de un arco armadura, se pueden determinar gráficamente.

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Un cable es un miembro estructural lineal, como una barra de armadura. Sin embargo, las dimensiones transversales de un cablerelativas de longitud son tan pequeñas que este no puede resistir flexion o compresión. Los cables se utilizan algunas veces en la construcción de edificios como una alternativa para miembros sometidos a tensión, tañes como los suspensores, los tirantes o las cuerdas de tensión en las armaduras.

Los cables de acero soportan se usan para soportar cargas sobre grandes claros, como son, por ejemplo, puentes colgantes, teleféricos, etc. Además se usan como tirantes en grúas, torres de radio y otras estructuras similares. Su fabricación es a partir de alambres de acero de alta resistencia, ofreciendo de esta forma, probablemente, la razón más baja de costo a resistencia de cualquier miembro estructural común. Tienen gran facilidad para manipularse y montarse aun en claros muy

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largos. La forma en que los cables adoptan al resistir cargas se llama curva funicular. Los cables son bastante flexibles y soportan sus cargas en tensión pura.

No podemos decir que su empleo sea producto de nuestra moderna tecnología, ya que fue empleado hace ya muchos años para construir puentes rudimentarios, sin embargo, desde la aparición del acero, este elemento estructural adquirió mayor importancia.

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Características: • Resisten únicamente esfuerzos de tracción pura. • La forma responde a las cargas. • Cualquier cambio en las condiciones de carga afecta la forma. • Carecen de rigidez transversal. • Las cargas pueden ser muy grandes en relación al peso propio. • No constituye una estructura autoportante.

Los cables se clasifican de acuerdo con las solicitaciones que soportan y la geometría que dichas cargas definen en:  Cables de elemento rectilíneo.  Cables parabólicos.  Cables catenarias

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Este tipo de cables mantiene cargas verticales concentradas en puntos llamados nodos y por ello la conformación geométrica del mismo es de tipo recto o poligonal. Cuando un cable de peso despreciable soporta varias cargas concentradas, el cable adopta la forma de varios segmentos de línea recta, cada uno de los cuales esta sometido a una fuerza constante de tensión. Se supone que los cables son tan flexibles que no resisten a la flexión o a la compresión. Por lo que trabajan a tensión directa, para lo cual se dispone el análisis de la ecuación M=0, respecto a cualquier punto del cable. Si se conoce la deflexión en un punto cualquiera de un cable, las reacciones en los extremos y la deflexión en cualquier otro punto puede determinarse con esas ecuaciones.

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En estas estructuras la carga se presenta repartida uniformemente según su eje horizontal y por ello la forma que adopta el cable es parabólico.

Para resolver un cable de este tipo se necesita conocer una de las coordenadas de un punto y la posición de los apoyos. También es necesario conocer la carga uniformemente repartida w, el claro del mismo I, y la ubicación de los apoyos, con estos datos es posible calcular la ecuación del cable y la fuerza máxima que soporta. El sistema de referencia por lo general se ubica en el punto más bajo del cable para facilitar su análisis.

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El cable que mantiene su propio peso de manera uniformemente distribuida según su eje presenta una deflexión tipo cadena y por ello se denomina cable catenario.

Son cables catenarios todas las líneas de conducción del fluido eléctrico o los alambres telefónicos que soportan exclusivamente su peso.

Como ya se ha mencionado los cables proporcionan un medio muy eficaz para soportar el peso muerto de las trabes o cubiertas de puentes de claros o luces muy grandes, pero también como un gran dispositivo de unión entre estructuras alejadas o separadas, para analizar aquellos cables que están sometidos a su propio peso determinaremos la forma del cable a lo largo de su longitud ΔS.

Como ya se ha mencionado, un cable que soporte solamente su peso propio tomara la forma de una curva catenaria, cuya ecuación corresponde a una parábola como se mostró anteriormente. A continuación consideramos el caso de un cable que soporta únicamente su peso propio, entonces la carga puede darse como una función de arco S. las ecuaciones deducidas anteriormente son válidas si se analizan como Δx =Δs.

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Con el presente trabajo se cumplió con el objetivo de presentar un panorama general de estructuras de eje curvo, se observó que tanto los arcos como los cables, son elementos estructurales muy importantes en la construcción. Se aprendió que nuestros ancestros tuvieron influencia en la construcción de los arcos, en su forma, y su cálculo. Además de que los cables fueron de mucha utilidad para cierto tipo de construcciones. Lo más relevante es saber la importancia de estos elementos en las construcciones, en que momentos es necesario y conveniente utilizarlos, y sobre todo el cálculo para un buen empleo de estos. Sobre todo como estudiantes de ingeniería, estos conocimientos son fundamentales e indispensables para nuestra carrera.

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 Hibbeler, R. C., Engineeing Mechanics: Statics,(Prentice Hall (11th Ed.), USA, 2006)  Análisis de estructuras indeterminadas. Ed. CECSA. J. STERLING KINNEY. 10ma impresión.  Análisis de estructuras. McComac. Nelson. Ed Alfa omega. 2da edición.  Análisis de Estructuras. Alfonso Olvera López. Ed CECSA. 7ma impresión.  http://www.construaprende.com/  http://www.construmatica.com/construpedia/Terminología_para_Arcos  Merritt Frederick S., Loftin Kent M., Ricketts, Manual del ingeniero Civil tomo I, Ed. McGraw-Hill. Cuarta edicion.

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