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• Jorge Hernan BT

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Capítulo II VIGAS ISOSTATICAS

Vigas Isostáticas Clasificación de vigas

}

}

Las vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según su número de reacciones en dos grupos: Isostática } Hiperestáticas dentro de cada grupo hay una variedad de formas que varían según el tipo y posición de los apoyos. De manera general, encontramos 2 tipos de vigas isostáticas, mientras que las hiperestáticas pueden ser de 5. La figura muestra en forma esquemática los diferentes tipos y también la forma que cada viga tiende a adoptar a medida que se deforma bajo la carga (Parker y Ambrose,1995). }

}

Vigas Isostáticas Viga simplemente apoyada

Viga en volado o Cantilever

2

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Vigas Isostáticas Vigas hiperestática Viga doblemente articulada

Viga empotrada y fija

Viga empotrada y movil

Viga doblemente empotrada

Viga continua

3

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Vigas Isostáticas Cargas Definición Las cargas en una estructura son las fuerzas que actúan en ella y producen cambios en el estado de tensiones y deformaciones de los elementos que conforman edificación. Los efectos de las cargas son similares a los efectuados por los asentamientos, efectos de temperatura, reología, etc, (COVENIN, 1988).

} } }

4

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Cargas Tipo Fuerza concentrada P

Tipo

Unidades

Magnitud

Unidades de fuerza

P

N, lb, kgf, etc. Momento aplicado M

Unidades de momento M

Nm, lbp, kgfm, etc.

Unidades de fuerza/ Longitud N/m, lb/p, kgf/m, etc.

Carga distribuida

Unidades de fuerza/ Longitud N/m, lb/p, kgf/m, etc.

5

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Magnitud P=w*l Posición L/2

Magnitud Área de la figura Posición centroide de la figura

6

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Fuerzas internas en un punto específico }

P2 P3 K

}

P1 P4 B A

RA

7

}

J

RB

Aquí tenemos un cuerpo rígido, inmovilizado y cargado en un plano. Las cargas generan reacciones RA y RB en los apoyos respectivos Estas cargas que actúan sobre este cuerpo producen fuerzas internas.

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

}

}

}

8

Cortamos el cuerpo por el plano arbitrario mn en dos partes J y K. Es evidente que las fuerzas internas son capaces de mantenerlas unidas. Estas fuerzas son iguales y opuestas

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

}

}

}

}

9

Al aislar las partes como cuerpos libres debemos considerar el equilibrio del los mismos. En la parte K, podemos decir que la distribución real de estas fuerzas puede llegar a ser bastante complicadas pero estas deberán ser estáticamente equivalentes a las fuerzas que actúan sobre la parte J Estas se pueden representar por una resultante R en el baricentro de la sección transversal junto con una cupla de momento M. La fuerza R se descompone en sus dos componentes N y V ortogonales como se ve el la figura

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

•

Estas cantidades N,V y M se las denominan • • •

•

10

N= Esfuerzo Normal V= Esfuerzo Tangencial M= Momento Flector

Consideraremos como positivas el sentido de las mismas, como se muestra en la figura

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Relación de momento flector, esfuerzo cortante y cargas p

Suponemos que tenemos calculado le cortante V y el momento flector M en la sección m a una distancia x del apoyo a Calculamos en la sección n a una distancia diferencia dx

V + dV M + dM Tenemos que (a)

V + dV = V + pdx M + dM = M + Sdx + pdx p

dx 2

Esto hace que

dV =p dx dM =S dx Despreciando diferenciales de segundo orden

11

(b)

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

(c) (d)

Relación de momento flector, esfuerzo cortante y cargas

La variación de cortante dv entre dos secciones separadas por una distancia dx es

dV dx = pdx dV = dx

dM =

dM dx = Sdx dx

Y entre los puntos A y B

V −V B

A

x = ∫ Bpdx xA

x ∴V B = V A + ∫ Bpdx xA 12

xB

∫x

x dM = M B − M A = ∫ B Vdx xA A

x ∴ M B = M A + ∫ B Vdx xA ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

7t 3 t/m 5t B

A 1

1

4

2

8

RA

∑M

B

RB

∑M

=0

6 − 5 * 7 − 3 * 6 * ( ) − 7 * 2 + RA * 8 = 0 2 103 = R A 8 = 12.875t

=0

6 5 * 1 + 3 * 6 * (2 + ) + 7 * 6 − R B * 8 = 0 2 137 = R B 8 = 17.125t

Comprobamos

∑V = 0

5 + 3 * 6 + 7 − 17.125 − 12.875 = 0

13

A

OK

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

7t 3 t/m 5t B

Cálculo de cortantes

A

RA=12.875 t

1

1

4

2

RB=17.125 t

8

12.875

-5 7.875

3*4=12

-4.125 -7 -11.125 2*3=6 -17.125 17.125 0

14

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

OK

7t 3 t/m 5t B

A

Cálculo de cortantes

RA=12.875 t

15

1

1

4

2

RB=17.125 t

8

x 4−x = ⇒ x = 2.625 7.875 4.125

12.875 t 7.875 t

4-x x

-4.125 t -11.125 t 17.125 t

Q = 7.875 − 3 * x si Q = 0 ⇒ x =

7.875 = 2.625 3

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Cálculo de momento flector

7t 3 t/m 5t B

A

RA=12.875 t

16

1

1

4

2

RB=17.125 t

8

2.625

12.875 t 7.875 t 0 12.875 12.875*1

-4.125 t 7.875 7.875*1

20.75 ½*7.875*2.65=10.336

-11.125 t 31.086 -½*4.125*1.375= -2.836 28.25 (-11.125-17.125)/2=-28.25

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

-17.125

0

7t 3 t/m 5t B

A

RA=12.875 t

1

1

4

2

RB=17.125 t

8

2.625

12.875 t 7.875 t

-4.125 t -11.125 t -17.125 12.875 tm

28.25 tm 20.75 tm

Mmax =31.086 tm

17

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

4 t/m

2 t/m

2 t/m

A

B

2

∑M

B

2

2

2

2

=0

1 − * 2 * 4 * (6 + 4 ) − 2 * 2 * ( 4 + 1) − 2 * 4 * 2 − 1 * 2 * 4 * 2 4 + R A * 10 = 0 3 2 3 2 76 R A = 10 = 7.6t

∑M

B

=0

1 * 2 * 4 * 2 * 4 + 2 * 2 * ( 4 + 1) + 2 * 4 * (6 + 2) + 1 * 2 * 4 * (6 + 1 4) − R A * 10 = 0 2 3 2 3 124 R A = 10 = 12.4t

Comprobamos

∑V = 0

− 1 * 2 * 4 − 2 * 2 − (4 + 2) * 4 + 7.6 + 12.4 = 0 2 2 18

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

OK

4 t/m

2 t/m

2 t/m

A

B

2

2

2

2

2

2 t/m 4 t/m

2 t/m

q=0.5*x si x = 0 ⇒ q = 0 si x = 4 ⇒ q = 2

19

q=4-0.5*x si x = 0 ⇒ q = 4 − 0.5 * 0 = 4 si x = 4 ⇒ q = 4 − 0.5 * 4 = 2

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

4200kg/m

600kg/m

RA=3375

RB=7425 3m

1.5 2700

2925

675 4500

1125

225

2025

20

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

3t 5t 2 t/m A

B C

D

RA 1.5

21

1.5

0.5

1.5

3

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

RB

3t 5t 2 t/m A

B C

D

RA 1.5

1.5

0.5

1.5

3

RB

14.75

30.75 9.25 18.75

2.625

22

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Práctica 3 Ejercicio 1

5 3t

1

23

1

3t

1

5

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Práctica 3 3 t/m

Ejercicio 2

3

24

3

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

4

Práctica 3 Ejercicio 3

5

5 t/m

25

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

3 t/m

4 t/m

B

A

1m

∑M

B

2m

2m

1m

∑M

=0

1 2 1 1 * 3 * 3 * (2 + 3) + * 4 * 3 * ( 3 − 1) − R A * 4 = 0 2 3 2 3 18 R A = 4 = 4.5t

=0

1 1 1 2 3 * 3 * ( * 3 − 1) + 4 * 3 * ( * 3 + 2) − R B * 4 = 0 2 3 2 3 24 R B = 4 = 6t

Comprobamos

∑V = 0 1 1 * 3 * 3 + * 4 * 3 − 4.5 − 6 = 0 2 2

26

A

OK

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Tramo 1 3 t/m

q = 3−x

Q = Q − ∫ qdx = − ∫ (3 − x )dx Q = −3 x + x 0

2

2

2

x

M = M + ∫ Qdx = + ∫ (−3x + x2 )dx 0

M

3 2 =− x +x 2 6

si x =0 Q=0 M =0

27

3

x =1 5 Q = − = −2.5 2 8 M = − = −1.3333 6

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Tramo 2 q = 2−x 2 t/m

Q = Q − ∫ qdx = − ∫ (2 − x )dx 0

x

Q = 2 − 2x + x2

2

Q

= −2.5 + 4.5 − 2x + x 2

M

8 = M 0 + ∫ Qdx = − + ∫ (2 − 2x + x )dx 6 2

2

si x =0

28

Q

=2

M

4 = − = −1.333 3

M

4 2 = − + 2x − x + x 3 6

x =2 4 =0 2

Q

= 2−4+

M

4 8 = − +4−4+ = 0 3 6

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

2

3

Tramo 3 q= 4 t/m

4 x 3 4

Q = Q − ∫ qdx = 0 − ∫ 3 xdx 0

x

Q = − 4*x 6 M

Q

Q M

=0 =0

== −

2 2 3x

M = − 2x9

2 2 = M 0 + ∫ Qdx = 0 + ∫ ( − x )dx 3

si x =0

29

2

x =2

Q M

2 8 = − * 22 = − = −2.667 3 3 2 16 = − * 23 = − = −1.778 9 9

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

3

Tramo 4 q= 8/3 t/m

8 4 + x 3 3 8

8

4

Q = Q − ∫ qdx = − 3 + 6 − ∫ ( 3 + 3 x )dx 0

B

Q

=

x

10 8 2 − x − x2 3 3 3 16

10

8

2

M = M + ∫ Qdx = − 9 + ∫ ( 3 − 3 x − 3 x 0

2

)dx

M

=−

16 10 4 2 + x − x2 − x3 9 3 3 9

si x =0

Q M

30

10 = 3.33333 3 16 = − = −1.778 9

=

x =1

Q M

10 8 2 10 8 2 − x − x 2 = − 1 − 12 = 0 3 3 3 3 3 3 16 10 4 2 16 = − + 1 − 12 − 13 = − = 0 9 3 3 9 9

=

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

3 t/m

4 t/m

B 6t

A

4.5 t

1m

2m

2m

2

1m

3.333

2.5

2.667

1.333

1.778

Mmax.=0

31

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

Práctica 4

Calcular las ecuaciones de Cortantes, Momento Flector y dibujarlas. Calcular los momentos máximos y su ubicación

20 *cos 45 = 14.14214

20 * cos 45 = 14.14214

20 t

20 *sin 45 = 14.14214

45º

2.5 m

32

20 t 45º

4m

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

2.5 m

14.14214 t

14.14214 t

14.14214 t

14.14214 t

HA RA

2.5 m

∑M

B

4m

RA =

∑M

=0

−14.14214 * 2.5 − 14.14214 * 6.5 + R A *9 = 0

RB =

=0

127.2792 = 14.14214t 9

Comprobamos

∑H = 0

−14.14214 − 14.14214 + 14.14214 + 14.14214 = 0

+14.14214 − 14.14214 + H A = 0

OK 33

A

14.1421* 2.5 + 14.1421* 6.5 − R B *9 = 0

127.2792 = 14.14214t 9

∑V = 0

RB

2.5 m

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

HA = 0

14.1421 t

14.1421 t

0

14.1421 t

14.1421 t

14.1421

14.1421 2.5 m

14.1421

4m

2.5 m

-14.1421 14.1421

-14.1421

35.355 -14.1421*2.5=0

14.1421*2.5= 35.355

35.355

34

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

∑M R

A

R

Comprobamos

A

A

40.667 = 4.067t 10

=0

*10 − 1 * 2 *10 * ( 1 *10) − 3* 2 * (1 + 10) − 10 *12 = 0 2 3 219.333 = R A 10 = 21.933t

∑V = 0 − 1 * 2 *10 − 3* 2 − 10 + 4.067 + 21.933 = 0 2

35

=0

*10 − 1 * 2 *10 * ( 2 *10) 2 3 +3* 2 * (1) + 10 * 2 = 0

RA = ∑M

B

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

OK

2 t/m 3 t/m

Q

q = 2−

2 1 x = 2− x 10 5

21.933

4.067

Q

10 t

10 m

2m

1 = Q − ∫ qdx = 4.067 − ∫ (2 − x)dx 0 5 1 = 4.067 − 2 x + x 2 10 si x=0 Q=0 M =0

36

M

= M 0 + ∫ Qdx = + ∫ (4.067 − 2 x +

M

= 4.067 x − x 2 +

1 2 x )dx 10

1 3 x 30

Q=0 x = 10m Q = −5.933t M = −26tm

1 2 x =0 10 x 2 − 20 x + 40.67 = 0

4.067 − 2 x +

x1 = 2.297 ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

M max = 4.469tm

2 t/m 3 t/m

10 t

21.933

4.067

10 m

Q = Q − ∫ qdx = Q = −5.933 + 21.933 − ∫ (3)dx Q = 16 − 3x 0

si x=0 Q = 16

2m

M

= M 0 + ∫ Qdx = −26 + ∫ (16 − 3 x)dx

M

= −26 + 16 x −

x = 2m Q = 10t M = 0tm

M = −26 37

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010

3 2 x 2

2 t/m 3 t/m

4.067

10 t

21.933 10 m

2m

16 t 10 t 4.067 t

-5.933 t -26 tm

Mmax.=-4.469 tm

38

ESTRUCTURAS ISOSTATICAS - 2010