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• Jesús Cabrera Camacho

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CELDILLA UNITARIA DE LA ESTRUCTURA CRISTALINA CÚBICA CENTRADA EN EL CUERPO 1) INTRODUCCIÓN:

El informe nos detalla paso a paso la elaboración de una maqueta desplegable de una celdilla unitaria de una estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo. Esta estructura cristalina se da en los metales alcalinos y en los metales Bario, Radio, Vanadio, Niobio, Tantalio, Cromo, Molibdeno, Wolframio y Hierro en el estado alfa. Lo importante de esta elaboración de la maqueta es una fácil percepción de los átomos ubicados en la celdilla unitaria. Estos átomos se comportan como si fuera esferas sólidas, las cuales son representadas por las bolas de tecnopor. Se podrá observar el número de átomos vecinos a cada átomo de la celdilla, el cual es conocido como número de coordinación. “Los átomos del centro y de los vértices se tocan mutuamente a lo largo de las diagonales del cubo y la longitud a de la arista de la celdilla y el radio atómico R se relacionan mediante la siguiente 4R fórmula: a= “. (Callister, pág. 35) √3 El objetivo primordial es comprobar experimentalmente por cálculos matemáticos el Factor de Empaquetamiento Atómico (FEA), el cual es el máximo empaquetamiento posible de los átomos en la celdilla unitaria. El desarrollo de este informe nos muestra detalladamente los pasos correctos para fabricar la maqueta de la celdilla, además de explicar y demostrar todos los cálculos hechos para comprobar la parte teórica. 2) MATERIALES, HERRAMIENTAS Y EQUIPOS: A) MATERIALES: 

Dos metros de perfil en C de aluminio (8x4)



Un metro de varillas metálicas de 2.5mm y 3.1mm



Esfera de tecnopor de diámetro 6.25cm



Témperas

B) HERRAMIENTAS: 

Martillo



Alicate



Hojas de cierra



Escuadra



Lijas (220, 180 y 60)



Pistola para silicona y silicona



Brocha

C) EQUIPOS: 

Amoladora de mano

3) CÁLCULOS:  En nuestra celda BCC, los átomos están localizados en las esquinas y en el centro de la celda, dándonos un total de 2 átomos por celda: 1 ( 8 esquinas ) +1 ( 1 centro )=2átamos 8

Imagen N° 1 celda BCC  Como se puede ver en la imagen N° 1 los átomos de las esquinas más el central mediante la unión de sus radios forman la diagonal de la celda (cúbica), con lo cual D=4 r .  Por la geometría de la celda, tomando de valor a la medida de las aristas del cubo sabemos:

Imagen N° 2 celda (cubo)  Para una de las caras del cubo: d= √ a 2+ a2=√ 2

 Para la diagonal total del cubo:

√

2

D= ( √ 2 a ) +a2 =√3 a  Luego se tiene la igualdad 4 r=√ 3 a , de donde podemos despejar a quedando: a=

4r √3

 HALLANDO EL FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO: F . E=

¿ átomos∗volumen de cada átomo volumen de la celdaunitaria

 Como la celda es cúbica el volumen es:

V =a3

 Los átomos son esféricos por lo tanto su volumen es:

4 V = π r3 3

 Finalmente calculamos el factor de empaquetamiento: 4 3 4 3 4 3 4 2( π r ) 2( π r ) 2( π r ) 2( π ) 3 3 3 3 F . E= = = = =0.68 3 3 3 a 4r 4 4 3 3 r √3 √3 √3

( ) ( )

( )

 Con lo que podemos ver que el factor de empaquetamiento de la celda BCC es 0.68, esto quiere decir que un 68% de la celda está ocupada por átomos.

 HALLANDO EL FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO PARA NUESTRA CELDA DE ÁTOMOS DE DIÁMETRO DE 12.5 CM:  En nuestra maqueta experimental usamos esferas de diámetro D=12.5 cm para representar a los átomos con lo que tenemos:  Radio de los átomos r=6.25 cm  El valor de la longitud de las aristas del cubo es a=

4( 6.25) =14.43 cm √3

4 V = π ( 6.25 )3=1022.65 c m3 3 3 3 V =14.43 =3004.68 c m



Volumen de los átomos:



Volumen de la celda:

 Finalmente, con los datos experimentales obtenidos hallaremos el factor de empaquetamiento: F . E=

2(1022.65) =0.68 3004.68

 Con lo que se puede ver que experimentalmente con esferas de D=12.5 cm diámetro obtenemos nuestro factor de empaquetamiento de 68% para nuestra celda BCC. 4) PROCEDIMIENTOS: I.

Usando la amoladora cortamos 8 pedazos de 14.44cm y 8 pedazos de 7.22cm el perfil en c de aluminio de 8x4.

II.

Hacemos lo mismo con las varillas de aluminio cortando pedazos de 7cm. Lijamos los metales recortados.

III.

IV. V.

VI.

VII. VIII. IX.

Doblamos por la mitad los pedazos de varilla de aluminio formando un ángulo de 90°. Unir los pedazos de 14.44cm del perfil en c de aluminio con las varillas de aluminio de 3.1mm dobladas formando así ambas mitades de la celdilla. Luego, unir la base y la superficie con los otros pedazos de 7.22cm del perfil en c de aluminio y usando también las varillas de aluminio de 2.5mm de manera que se puedan separar ambas partes.

Utilizando las temperas pintar las esferas de tecnopor. Usando la silicona unir la esfera con los pedazos de esfera como se muestra en la figura. Colocar la esfera en la mitad de la celdilla.

X.

Unir ambas mitades de la celdilla y la celdilla estará lista.

5) CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: A. CONCLUSIONES:  El número de átomos en la celda unitaria es: 2.  El número de átomos de coordinación es: 8.

 El factor de empaquetamiento es del 68%  Es una estructura compacta.  Tiene una mayor facilidad para realizar la sustitución por intersticios. 4R  La relación de las caras del cubo con el radio es: a= √3 B. RECOMENDACIONES:  Se debe tener mucho cuidado en el manejo del aluminio de perfil porque es un material que se dobla muy rápido.  Se debe cortar la varilla metálica de 2.5 mm, por lo menos de unos 10 cm, para cuando se doble se pueda trabajar mejor las uniones.  Después de armado la base del cubo se pasó a color la varilla metálica de unos 3.1 mm, la silicona no funcionó en esta oportunidad, por eso se trató presionarla para que se quede firme.  Para una mejor apreciación se tiene que rotar el perfil de aluminio unos 45° perpendicular al plano XY debido a que tiene una ranura y eso nos va servir de guía para el armado de la estructura atómica. 6) BIBLIOGRAFIA:

 William Callister Jr. (2002). Introducción a la ciencia e

ingeniería de los materiales. Barcelona: Reverté.  Donald R. Askeland. (2012). Ciencia e Ingeniería de Materiales. México D.F.: CENGAGE.  https://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_cúbica_centrada