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Estrategias mixtas Benjam´ın Matta Departamento de Econom´ıa Universidad de Santiago

Microeconom´ıa II

Benjam´ın Matta (Universidad de Santiago)

Estrategias mixtas

Microeconom´ıa II

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Contenidos

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Estrategias mixtas Pagos esperados Estrategias estrictamente dominadas, en estrategias mixtas Equilibrio de Nash, en estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta Caracterizaci´ on de equilibrio de Nash

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Estrategias mixtas

En los juegos en forma normal, hemos limitado las acciones de los jugadores a elegir un unico elemento de su conjunto de acciones. En esta secci´on vamos a ampliar las posibilidades de los jugadores, en particular vamos a permitir que los jugadores puedan aleatorizar sus acciones. Por ejemplo en la batalla de los sexos la mujer puede decidir lanzar una moneda, si sale cara ir al boxeo y si sale sello ir a la opera. A este tipo de acciones aleatorias las denominamos estrategias mixtas.

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Estrategias mixtas

Definici´on

 En un juego en forma normal G = N, (Ai )i∈N , (ui )i∈N , una estrategia mixta de un jugador i ∈ N es una distribuci´ on de probabilidad sobre Ai . Recordemos que una distribuci´ on de probabilidad sobre un conjunto es una regla que asigna a cada elemento del conjunto su probabilidad de ocurrencia, con la particularidad que la suma de las probabilidades de todos los elementos del conjunto es igual a 1.

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Estrategias mixtas

Denotamos por ∆(Ai ) el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre el conjunto Ai . Notemos que si el conjunto Ai tiene al menos dos elementos, entonces el conjunto ∆(Ai ) tiene infinitos elementos.

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Estrategias mixtas

A un elemento de ∆(Ai ), lo denotamos como αi ∈ ∆(Ai ). Es decir αi es una estrategia mixta para el jugador i ∈ N. La probabilidad que le asigna la estrategia mixta αi ∈ ∆(Ai ) a la acci´on ai ∈ Ai , la denotamos como αi (ai ). A los elementos del conjunto Ai , los comenzaremos a llamar estrategias puras.

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Estrategias mixtas

En este curso s´olo utilizaremos estrategias mixtas cunado los conjuntos de acciones de cada jugador son finitos, es decir para cada jugador i ∈ N se tiene que el conjunto Ai tiene un numero finito de elementos.

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Estrategias mixtas

Por ejemplo, si para el jugador i ∈ N el conjunto de acciones es Ai = {ai1 , ai2 , ai3 , ai4 , ..., aim }, el conjunto de estrategias mixtas es ( ) m X n h ∆(Ai ) = αi ∈ R+ | αi (ai ) = 1 h=1

Por lo tanto, para todo αi ∈ ∆(Ai )Pse tiene que h αi = (αi (ai1 ), αi (ai2 ), ..., αi (aim )) y m h=1 αi (ai ) = 1.

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Estrategias mixtas

Observaci´on Toda estrategia pura se puede ver como una estrategia mixta, que le da probabilidad 1 a esa acci´on y probabilidad cero a el resto.

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Estrategias mixtas

El conjunto de perfiles de estrategias mixtas es Πi∈N ∆(Ai ). Un elemento de este conjunto α ∈ Πi∈N ∆(Ai ) es de la forma α = (α1 , α2 , ..., αn ),1 Donde α1 ∈ ∆(A1 ), α2 ∈ ∆(A2 ), ..., αn ∈ ∆(An ).

1

Esto es para el caso de n jugadores.

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Estrategias mixtas

El conjunto de perfiles de estrategias mixtas de los rivales del jugador i ∈ N es Πj∈N ∆(Aj ). j6=i

Un elemento de este conjunto α−i ∈ Πj∈N ∆(Aj ) es de la forma j6=i

α−i = (α1 , ..., αi−1 , αi+1 , ..., αn ), Donde α1 ∈ ∆(A1 ), α2 ∈ ∆(A2 ), ..., αn ∈ ∆(An ).

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Estrategias mixtas Pagos esperados Estrategias estrictamente dominadas, en estrategias mixtas Equilibrio de Nash, en estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta Caracterizaci´ on de equilibrio de Nash

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Estrategias mixtas Pagos esperados

Si permitimos que los jugadores utilicen reglas de azar para determinar la acci´on que utilizar´an, no podemos conocer a priori cual ser´a el perfil de acciones que resultara del juego. Dado un perfil de estrategias mixtas α ∈ Πi∈N ∆(Ai ), podemos calcular una distribuci´ on de probabilidades sobre los diferentes perfiles de acciones. La probabilidad con que el perfil de acciones a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ A es el resultado del juego es α(a) = Πi∈N αi (ai ).2

2 Notar que al ocupar el producto estamos asumiendo que las decisiones de los jugadores son independientes. Benjam´ın Matta (Universidad de Santiago)

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Estrategias mixtas Pagos esperados

Conociendo la distribuci´ on de probabilidades sobre los diferentes perfiles de acciones, cada jugador puede calcular el pago esperado X Ui (α) = α(a)ui (a) a∈A

Ui (α) =

X

Πi∈N αi (ai )ui (a).

a∈A

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Estrategias mixtas Pagos esperados: ejemplo

Consideremos a modo de ejemplo el dilema de los prisioneros J1/J2 Confesar No confesar

Confesar -6 , -6 -9 , 0

No confesar 0 , -9 -1 , -1

Supongamos que los jugadores utilizan las estrategias mixtas   1 1 α1 = (α1 (confesar), α1 (no confesar)) = , 2 2   1 2 , α2 = (α2 (confesar), α2 (no confesar)) = 3 3

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Estrategias mixtas Pagos esperados: ejemplo

Podemos calcular la distribuci´ on de probabilidades sobre los perfiles de acciones, dado α = (α1 , α2 ). α(confesar, confesar) = α1 (confesar) · α2 (confesar) =

1 1 1 · = 2 3 6

1 2 1 α(no confesar, confesar) = α1 (no confesar) · α2 (confesar) = 2

2 2 = 3 6 1 1 · = 3 6 1 2 2 α(no confesar, no confesar) = α1 (no confesar)·α2 (no confesar) = · = 2 3 6 α(confesar, no confesar) = α1 (confesar) · α2 (no confesar) =

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·

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Estrategias mixtas Pagos esperados: ejemplo

Dada la distribuci´on de probabilidades sobre los perfiles de acciones, podemos calcular el pago esperado de cada jugador U1 (α) = α(confesar, confesar) · u1 (confesar, confesar) + ... ...α(confesar, no confesar) · u1 (confesar, no confesar) + ... ...α(no confesar, confesar) · u1 (no confesar, confesar) + ... ...α(no confesar, no confesar) · u1 (no confesar, no confesar) U1 (α) =

2 1 2 −16 1 · (−6) + · (0) + · (−9) + · (−1) = 6 6 6 6 6

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Estrategias mixtas Pagos esperados

Ejercicio: Dadas las estrategias mixtas anteriores, determinar el pago esperado del jugador 2.

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Estrategias mixtas Pagos esperados

Dado un perfil de estrategias mixtas de los rivales del jugador i ∈ N, α−i ∈ Πj∈N ∆(Aj ). j6=i

El jugador i ∈ N puede calcular una distribuci´ on de probabilidades sobre los perfiles de acciones de los rivales. La probabilidad con que los rivales utilizan el perfil a−i ∈ A−i es α−i (a−i ). Dada la distribuci´on de probabilidades sobre los perfiles de acciones de los rivales, el jugador i ∈ N puede calcular el pago esperado por jugar cada acci´on ai ∈ Ai X Ui (ai , α−i ) = α−i (a−i )ui (ai , a−i ) a−i ∈A−i

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Estrategias mixtas Pagos esperados:ejemplo

Consideremos a modo de ejemplo el dilema de los prisioneros J1/J2 Confesar No confesar

Confesar -6 , -6 -9 , 0

No confesar 0 , -9 -1 , -1

Supongamos que el jugador 2 utiliza la estrategia mixta   1 2 α2 = (α2 (confesar), α2 (no confesar)) = , 3 3

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Estrategias mixtas Pagos esperados:ejemplo

Podemos calcular el pago esperado del jugador 1 por utilizar cada acci´on 1 2 U1 (confesar, α2 ) = −6 · + 0 · = −2 3 3 1 2 −11 U1 (no confesar, α2 ) = −9 · + (−1) · = 3 3 3

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Estrategias mixtas Pagos esperados

Dado un perfil de estrategias de los rivales del jugador i ∈ N, a−i ∈ A−i . El jugador i ∈ N puede calcular el pago esperado por jugar cada estrategia mixta αi ∈ ∆(Ai ) X Ui (αi , a−i ) = αi (ai )ui (ai , a−i ) ai ∈Ai

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Estrategias mixtas Pagos esperados

Consideremos a modo de ejemplo el dilema de los prisioneros J1/J2 Confesar No confesar

Confesar -6 , -6 -9 , 0

No confesar 0 , -9 -1 , -1

Supongamos que el jugador 1 utiliza la estrategia mixta   1 1 α1 = (α1 (confesar), α1 (no confesar)) = , 2 2

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Estrategias mixtas Pagos esperados

Podemos calcular el pago esperado del jugador 1 por utilizar la estrategia mixta αi ∈ ∆(Ai ) y le jugador 2 cada acci´on U1 (α1 , confesar) = −6 ·

1 −15 1 + (−9) · = 2 2 2

U1 (α1 , no confesar) = 0 ·

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1 −1 1 + (−1) · = 2 2 2

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Estrategias mixtas Pagos esperados Estrategias estrictamente dominadas, en estrategias mixtas Equilibrio de Nash, en estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta Caracterizaci´ on de equilibrio de Nash

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Estrategias mixtas Estrategias estrictamente dominadas, en estrategias mixtas

Cuando permitimos que los jugadores utilicen estrategias mixtas, podemos definir un concepto mas fuerte de estrategia estrictamente dominada.

Definici´on

 En un juego G = N, (Ai )i∈N , (ui )i∈N , para el jugador i ∈ N la estrategia ai ∈ Ai est´a estrictamente dominada por la estrategia mixta αi ∈ ∆(Ai ) si Ui (αi , a−i ) > ui (ai , a−i ) ∀a−i ∈ A−i

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Estrategias mixtas Estrategias estrictamente dominadas, en estrategias mixtas

El proceso de eliminaci´ on iterativa de estrategias estrictamente dominadas es equivalente al que vimos anteriormente.

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Estrategias mixtas Estrategias estrictamente dominadas, en estrategias mixtas: Ejemplo

Consideremos el siguiente ejemplo J1/J2 A M B

I 3,0,1,-

D 0,3,1,-

Con la primera definici´ on que vimos de estrategia estrictamente dominada, no existen estrategias estrictamente dominadas. Es decir, no hay ninguna estrategia pura que domine a otra estrategia pura. ¿Hay alguna estrategia mixta que domine a una estrategia pura?¿cual?

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Estrategias mixtas Estrategias estrictamente dominadas, en estrategias mixtas

Pero si existe una estrategia mixta que domina a la acci´on B, por ejemplo la estrategia mixta ( 21 , 12 , 0) domina a la estrategia pura B    1 1 3 U1 = , , 0 , I = > 1 = u1 (B, I ) 2 2 2    1 1 3 U1 = , , 0 , D = > 1 = u1 (B, D) 2 2 2

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Estrategias mixtas Estrategias estrictamente dominadas, en estrategias mixtas

Entonces si hay conocimiento com´ un de la racionalidad, el juego queda J1/J2 A M

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I 3,0,-

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D 0,3,-

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Estrategias mixtas Pagos esperados Estrategias estrictamente dominadas, en estrategias mixtas Equilibrio de Nash, en estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta Caracterizaci´ on de equilibrio de Nash

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Estrategias mixtas Equilibrio de Nash

Cuando permitimos que los jugadores utilicen estrategias mixtas, debemos ampliar la definici´ on de equilibrio de Nash

Definici´on

 En un juego G = N, (Ai )i∈N , (ui )i∈N , un perfil de estrategias mixtas, α∗ ∈ Πi∈N ∆(Ai ), es un equilibrio de Nash en estrategias mixtas si y solo si ∀i ∈ N ∗ ∗ ) ≥ ui (αi , α−i ) ∀αi ∈ ∆(Ai ) ui (αi∗ , α−i

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Estrategias mixtas Equilibrio de Nash

Observaci´on 

Dado un juego G = N, (Ai )i∈N , (ui )i∈N , un equilibrio de Nash en estrategias puras a∗ ∈ A es un equilibrio de Nash en estrategias mixtas de G . es decir a∗ satisface ∀i ∈ N ∗ ui (a∗ ) ≥ Ui (αi , a−i ) ∀αi ∈ ∆(Ai )

¿Cual es la intuici´on?

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Estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta

Definici´on La funci´on Bri : Πj∈N ∆(Aj ) → ∆(Ai ), que a cada elemento del conjunto j6=i

de perfiles de estrategias mixtas de los rivales le asigna un elemento del conjunto de estrategias mixtas del jugador i ∈ N. Que esta dada por Bri (α−i ) = argmaxαi ∈∆(Ai ) Ui (αi , α−i ) Se denomina funci´on de mejor respuesta.

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Estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta: Ejemplo

Consideremos el juego de polic´ıa y ladr´ on P/L I D

I 1 , -1 -1 , 1

D -1 , 1 1 , -1

La funci´on de mejor respuesta del jugador 1 depende de la estrategia mixta del jugador 2.

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Estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta: Ejemplo

Supongamos, sin perdida de generalidad, que el jugador dos utiliza la estrategia mixta α2 = (α2 (I ), α2 (D)) = (q, 1 − q) El pago espera del jugador 1 por jugar cada una de sus acciones, dada la estrategia mixta α2 = (q, 1 − q) del jugador 2, son U1 (I , (q, 1 − q)) = 1 · q + (−1) · (1 − q) = 2q − 1 U1 (D, (q, 1 − q)) = −1 · q + 1 · (1 − q) = 1 − 2q Podemos graficar estos pagos en funci´ on de q

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Estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta: Ejemplo

U1 1

0

U1 (I , ·)

1 2

1

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1 q

U1 (D, ·) Estrategias mixtas

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Estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta: Ejemplo

Entonces la funci´on de mejor respuesta para el   (0, 1) Br1 (q) = (p, 1 − p)∀p ∈ [0, 1]  (1, 0)

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jugador 1 es si q < si q = si q >

1 2 1 2 1 2

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Estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta: Ejemplo

La funci´on de mejor respuesta del jugador 2 depende de la estrategia mixta del jugador 1. Supongamos, sin perdida de generalidad, que el jugador 1 utiliza la estrategia mixta α1 = (α1 (I ), α1 (D)) = (p, 1 − p) El pago espera del jugador 2 por jugar cada una de sus acciones, dada la estrategia mixta α1 = (p, 1 − p) del jugador 1, son U2 ((p, 1 − p), I ) = −1 · p + 1 · (1 − p) = 1 − 2p U1 ((p, 1 − p), D) = 1 · p + (−1) · (1−) = 2p − 1 Podemos graficar estos pagos en funci´ on de p

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Estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta: Ejemplo

U2 1

0

U1 (·, D)

1 2

1

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1 p

U1 (·, I ) Estrategias mixtas

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Estrategias mixtas Funci´ on de mejor respuesta: Ejemplo

Entonces la funci´on de mejor respuesta para el   (1, 0) Br2 (p) = (q, 1 − q)∀q ∈ [0, 1]  (0, 1)

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jugador 2 es si p < si p = si p >

1 2 1 2 1 2

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Estrategias mixtas Caracterizaci´ on de equilibrio de Nash

Proposici´on (Caracterizaci´on de equilibrio de Nash) ∗ α∗ es un EN ⇐⇒ ∀i ∈ N αi∗ = Bri (α−i )

En la practica podemos graficar las funciones de mejor respuesta de cada jugador, y en los puntos donde se interceptan son los equilibrios de Nash. (Es decir se cumple la proposici´ on anterior en los puntos en que se cortan las dos funciones de mejor respuesta).

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Estrategias mixtas Caracterizaci´ on de equilibrio de Nash: Ejemplo

Continuando con el ejemplo del juego de polic´ıa y ladr´on, podemos graficar las funciones de mejor respuesta en el plano q × p

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Estrategias mixtas Caracterizaci´ on de equilibrio de Nash

p 1

Br1

1 2

0 1 2

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Br2 1 q

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Estrategias mixtas Caracterizaci´ on de equilibrio de Nash

En este juego solo hay un equilibrio de Nash     1 1 1 1 EN = , , , 2 2 2 2 Ejercicio: Encuentre los equilibrios de Nash en estrategias mixtas de la batalla de los sexos.

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Referencias

Gibbons, R. (1992). Game theory for applied economists. Princeton University Press. Vial y Zurita. (2007). MICROECONOMIA INTERMEDIA. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DE CHILE

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