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DOCENTE: MSc. Lic. Víctor Hugo Romero Román

Solución: la media poblacional es DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA Distribución de Muestreo de La Media Muestral Supóngase que se selecciona una muestra aleatoria

la desviación estándar poblacional es

de n mediciones de una población con media μ Y desviación estándar , la distribución de muestreo

la media muestral es

de la media muestral tiene: Media y desviación estándar Donde Ejemplo 1. Utilizando la Población definida anteriormente como los números 3, 5, 7, 9; halle el promedio poblacional, la desviación estándar poblacional y compárelo con la media de la distribución muestral y la desviación estándar muestral.

Se tiene que la desviación estándar muestral es

Este resultado es una consecuencia del teorema, teorema del limite central. Teorema del Límite Central. Si

De aquí que

es la media de una muestra aleatoria de

tamaño n tomado de una población con media µ Observación:

y desviación estándar σ, entonces:

Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande, la distribución muestral de aproximadamente normal, media estándar

, Sera y desviación

Representa el valor de una variable aleatoria Z, cuya función de distribución se aproxima a la distribución normal estándar, cuando n → ∞.

Ejemplo 2. Una empresa que fabrica bombillas que tienen una duración distribuida en forma aproximadamente normal, con media igual a 700 horas y desviación estándar de 35 horas. Obtenga la probabilidad de que una muestra aleatoria de 38 bombillas tenga una vida media menor que 685 horas. Solución: : Promedio de duración de las bombillas. se Se tiene

Si no se conoce este valor, es recomendable, utilizar la desviación estándar de la muestra, si es grande. Si el tamaño de la muestra es , se puede aplicar la distribución t de Student. Definición. Si x es la media de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población normal con media µ y

es el valor de la desviación

estándar de la muestra, la cual es aleatoria con distribución t de Student y grados de libertad U = n − 1, entonces:

Observación: La aplicación de la teoría requiere del conocimiento del valor de la desviación estándar poblacional.

Ejemplo 3. Un fabricante de fusibles asegura que con una sobrecarga del 22%, sus fusibles se fundirán al cabo de 11,30 minutos en promedio. Para probar esta afirmación, se tomó una muestra de 18 de los fusibles y se sometieron a prueba aplicándoles una sobrecarga del 22%, y los tiempos que tardaron en fundirse tuvieron una media de 10,38 minutos y una desviación estándar de 2,84 minutos. Si se supone que las poblaciones se distribuyen normalmente ¿Este resultado refuta o apoya la afirmación del fabricante? Solución: : Promedio del tiempo que tardan en fundirse, los fusibles sometidos a una sobrecarga del 22%. Si tiene que

En vista que la probabilidad es muy pequeña, se concluye que los datos se inclinan a refutar la afirmación del fabricante. INFERENCIA ESTADÍSTICA. La inferencia estadística consiste en los métodos por los cuales se realizan inferencias o generalizaciones sobre una población. La inferencia estadística se puede dividir en dos partes, la teoría de estimación y las pruebas de hipótesis.

ESTIMACIÓN PUNTUAL. La estimación puntual está referida a la elección de un estadístico, es decir, un número calculado a partir de datos muestrales que proporcione un valor que este cerca, del parámetro que se quiere estimar. El estadístico que se emplea para obtener una estimación puntual se denomina estimador. Se debe tratar de lograr un estimador insesgado; es decir, que la media de la distribución muestral sea igual al parámetro a estimar. En la práctica nos podemos encontrar con varios estimadores, y se tendría que escoger el más adecuado; para ello se puede aplicar el siguiente criterio: Definición. Si se tiene dos estimadores insesgado del parámetro , se dice que Es mas eficiente que si:



Son estimadores insesgados de .

 La varianza de la distribución muestral de

Es menor que la de ESTIMACIÓN POR INTERVALOS. La estimación por intervalo es la referente a los parámetros: media, proporción, varianza y razón de varianzas. INTERVALO DE CONFIANZA PARA µ CON σ CONOCIDA. La utilización de este tipo de estimación requiere la aclaratoria de varios puntos. El intervalo proporciona dos extremos entre los cuales se debe encontrar la media poblacional, con nivel 100% ; para de confianza o certeza de 1 hallar estos.

extremos se utiliza la media de una muestra de la población, el valor de z que delimita un área A su derecha en la distribución normal estándar; la Varianza de la población y el tamaño de la muestra. Es de hacer notar que este tipo de

Donde: z de

es el valor z que delimita en área a la derecha.

30

intervalo es recomendable cuando En el caso de no conocer la desviación

Si se utiliza

como una estimación de µ, se

puede tener entonces una confianza de Poblacional

es timación de la muestra se

puede utilizar la desviación s,

estimada de la

muestra. Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con varianza conocida, un intervalo de confianza de 1 100% para esta dado por.

1

100% de que el error e muestral está

dado por:

Ejemplo 4. En una semana determinada se elige al azar una muestra de 200 empleados de una

El nivel de confianza es 1 Donde

100%

95%

ya que la tabla (Distribución Normal

población de que se dedica al trabajo a destajo, y se encuentra que el promedio de pago por pieza trabajada es 1700 Bs, con una desviación estándar muestral de 140 Bs. a) Halle el intervalo de confianza del 95% para el promedio poblacional de pago por pieza trabajada. b) Calcular el error muestral. Solución: µ: Promedio poblacional de pago por pieza trabajada

Para hallar el valor de Z

Se procede así:

Estándar) da el área a la izquierda, esta de 1- 0,0025 = 0,975, y por tanto el valor de Z ,

=

= 1,96. Este Valor se encuentra, ubicando el

área 0,975 en la tabla de probabilidades (tabla) y luego relacionando la primera columna con la fila. Se tiene que el intervalo de confianza está dado por:

Interpretación: Se espera que el promedio poblacional de pago por pieza trabajada, este entre 1680,6 Bs y 1719,4 Bs, con un nivel de confianza del 95%. se tiene que el error muestral esta dado por:

Interpretación: El nivel de error muestral no excederá de 19,4. Es decir que la diferencia, en valor absoluto, entre la media muestral y la poblacional no excederá de 19,4 Bs. Definición Si se utiliza como una estimación de µ, se puede tener entonces una confianza de (1 − α)100% de que el error será menor que una cantidad específica “e”

cuando el tamaño de la muestra n, según sea el caso, venga dada por la respectiva fórmula. a) Si el tamaño poblacional N es desconocido

b) Si el tamaño poblacional N (población grande) es conocido.

c) Si el tamaño poblacional N (población pequeña) es conocido

Ejemplo 5 Un gerente quiere determinar el tiempo que

un

mecánico

tarda

en

intercambiar

Utilizando la tabla se tiene que:

los

neumáticos de un automóvil, y además desea poder

a) Se que tiene

asegurar con un nivel de confianza del 95% que la media de su muestra sea a lo sumo de 0,4 minutos. Se sabe que la desviación estándar es de 1,4 minutos. a) ¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra si se desconoce el tamaño poblacional? b) ¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra si el tamaño poblacional es de 200 horas? c) ¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra si el tamaño poblacional es de 40 horas? Solución: µ: Promedio poblacional del tiempo que un mecánico tarda en intercambiar los neumáticos de un automóvil.

Interpretación: Se requiere de una muestra de 47 horas para estimar el promedio poblacional del tiempo que un mecánico tarda en intercambiar los neumáticos de un automóvil, con un nivel de confianza de 95% y un error muestral de 0,4 horas. Sin conocer el tamaño poblacional. b) se tiene que:

Interpretación: Se requiere de una muestra de 38,095 horas para estimar el promedio poblacional del tiempo que un mecánico tarda en intercambiar los neumáticos de un automóvil, con un nivel de confianza de 95% y un error muestral de 0,4 horas. Si se sabe que el tamaño poblacional es de 200 horas.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA MUESTRAS PEQUEÑAS PARA µ; CON σ DESCONOCIDO.

c) Utilizando la definición se tiene que:

aproximada normal con varianza desconocida

Si

y s son la media y la desviación estándar

de una muestra aleatoria de tamaño

30, tomada de una población

un intervalo de confianza 1

100% para

estará dada por:

Interpretación: Se requiere de una muestra de 21,873 horas para estimar el promedio poblacional del tiempo que un mecánico tarda en intercambiar los neumáticos de un automóvil, con un nivel de confianza de 95% y un error muestral de 0,4 horas. Si se sabe que el tamaño poblacional es de 40 horas

! " es el valor t, con v = n – 1 grado de # libertad, que delimitan una de a su derecha. Donde

Ejemplo 6. La vida útil promedio de una muestra aleatoria de 20 focos es 4500 horas, con una desviación estándar muestral de 250 horas. Se supone que la vida útil de los focos tiene una distribución aproximadamente normal. Halle el intervalo de confianza del 95%; para el promedio poblacional de vida de los focos. Solución: µ: Promedio poblacional de vida de los focos.

Utilizando la tabla se tiene que:

se tiene que el intervalo de confianza está dado por:

Interpretación: se espera que el promedia poblacional de vida de los focos, este entre 4383 horas y 4617, común nivel de confianza del 95%

INTERVALO CONFIANZA PARA m1-m2; con s 21 y s 22 CONOCIDAS Para muestras independientes a partir de poblaciones normales, si n1 y n2 son mayores de 30, se puede establecer un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales m1-m2, con lo cual se pueden establecer comparaciones entre estas poblaciones.

Ejemplo: una fabricante de equipos agrícolas desea comparar el tiempo muerto diaria promedio para dos maquinas troqueladora de laminas, que se encuentran en dos compañías distintas. Para ello se tomaron de los registros, una muestra de 150 días, seleccionadas al azar, para cada una de las dos compañías; obteniéndose los siguientes resultados: la maquina 1 tuvo un promedio de 15 minutos de tiempo muertos, con una varianza de 5 minutos; en tanto que la maquina 2 tuvo un promedio de 10 minutos de tiempo muerto, con una varianza de 4 minutos. Calcule el intervalo de confianza para la diferencia de los promedios poblacionales del tiempo muerto de las dos maquinas, con un nivel de confianza del 90%. Solución $% : promedio poblacional del tiempo muerto de la maquina troqueladora numero 1. $" : promedio poblacional del tiempo muerto de la maquina troqueladora numero 2.

Interpretación: se estima que la diferencia de los promedios poblacionales del tiempo muerto diario de las dos maquinas esta entre 4,55 y 5,45 minutos. Además se puede concluir de la muestra, que el promedio poblacional de la maquina 1 es mayor que el de la maquina. INTERVALO DE CONFIANZA DE m1-m2 PARA MUESTRAS PEQUEÑAS. En el caso de que no se conozca las dispersiones de la población, las muestras sean pequeñas (se consideran pequeñas cuando son menores de 30) y las poblaciones están distribuidas aproximadamente normal, en conveniente el uso de los dos tipos de intervalos que se describen a continuación. INTERVALO DE CONFIANZA PARA MUESTRAS PEQUEÑAS PARA ' CON ' PERO DESCONOCIDAS

EJEMPLO

INTERVALO DE CONFIANZA PARA P, A PARTIR DE UNA MUESTRA GRANDE. En problemas de generales se manejan proporciones, probabilidades y porcentajes. En el proceso de muestreo puede interesar la proporción de unidades defectuosas en un tren de producción, y en pruebas de vida útil se puede necesitar conocer el porcentaje de tiempo durante el cual ciertos componentes tendrán un rendimiento según sus especificaciones o la probabilidad de que un componente dado dure por lo menos un número determinado de horas. Estos ejemplos evidencias que los problemas referentes a porcentajes, proporciones y probabilidades son equivalentes. La estimación puntual de una proporción suele ser la proporción muestral (

) *

,

es decir,

la proporción de las veces que el evento ocurrió en realidad. Siempre que los n ensayos satisfagan las condiciones de un experimento Binomial. Si no se espera que la proporción desconocida esté demasiado cerca de 0 o 1, puede establecerse un intervalo de confianza. Aunque la distribución aplicable a las proporciones es la binomial, suele utilizarse la distribución normal estándar para aproximar la Binomial al construir los intervalos de confianza para proporciones. Esta aproximación es aceptable cuando n  30 y tanto n p  5. como n q  5.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA P, A PARTIR DE UNA MUESTRA GRANDE Si p es la proporción de éxitos en una aleatoria de tamaño n, y q = 1- p, un intervalo de confianza aproximado de 1 100% para el parámetro binomial p esta dado por

+

.

,

+-

(

+ /

.

,

+ -

Ejemplo: el estudio de una muestra de 90 mayoristas que comprar tubos galvanizados, se obtuvo el resultado siguiente: 40 plantean incrementar sus compras el próximo año. Estimar el intervalo de confianza del 95% de la proporción poblacional de las mayoristas de este material que planean incrementar sus compras el año próximo. Establecer el error muestral. Solución: P: proporción poblacional de compras de los mayoristas de tubos galvanizados que planean incrementar sus compras el año próximo.

Se tiene que:

Interpretación: Se estima que la proporción poblacional de compras de los mayoristas de tubos galvanizados que planean incrementar sus compras el año próximo esté entre 0,34 y 0,54 o equivalentemente entre 34% y 54%.