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• Raul Siancas H

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• Determinación del tamaño de la muestra

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27/11/2015

Estimaciones

Estimaciones puntuales y de intervalo para una media poblacional Una estimación puntual es un solo valor que se mide a partir de una muestra y se usa como una estimación del parámetro poblacional correspondiente. La estimación por intervalo establece un intervalo dentro del cual es muy probable que se encuentre el parámetro poblacional. El coeficiente de confianza se usa para indicar la probabilidad de que una estimación por intervalo contenga el parámetro poblacional. El nivel de confianza es el coeficiente de confianza expresado como un porcentaje.

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_

x

Estimación por intervalo para la media Un analista no puede ver la distribución muestral de la que se saca la media muestral. El proceso de construir_ un intervalo alrededor de la estimación puntual de x se lleva a cabo entendiendo que hay una alta probabilidad, pero no certidumbre, de que el intervalo que resulta contenga la media poblacional.

Los resultados del teorema del límite central permiten afirmar lo siguiente con respecto a los intervalos de confianza utilizando el estadístico z: 1. 95% de las medias muestrales seleccionadas de una población se encontrará dentro de 1.96 errores estándares de la media poblacional, µ. 2. 99% de las medias muestrales se encontrará a 2.58 errores estándares de la media poblacional.

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Estimación por intervalo para la media El intervalo para la media poblacional se calcula mediante la fórmula: x±z

Donde

σ n

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x = media de la muestra z = valor de la tabla normal estándar que refleja el nivel de confianza σ = desviación estándar de la población n = tamaño de la muestra

Tabla 1. Valores z para la estimación por intervalo Nivel de Confianza 0.90 0.95 0.98 0.99

Valor z 1.645 1.96 2.33 2.575

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Estimación por intervalo para la media para una población finita de tamaño N Si la población es finita de tamaño N, la estimación por intervalo se calcula mediante:

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Para usar la ecuación 1 se debe conocer la desviación estándar de la población, σ. En la práctica esto casi nunca es posible. En su lugar se usa una estimación de σ para construir el intervalo estimado. La desviación estándar de la muestra, s, proporciona una estimación de σ.

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Estimación por intervalo para la media La ecuación 3 se usa para calcular la estimación por intervalo para medias cuando se cumplen las dos condiciones siguientes: - la desviación estándar de la población (σ) se estima usando la desviación estándar de la muestra (s) y - el tamaño de la muestra es 30 o mayor: x±z

s n

(3)

Nota: si el tamaño de la muestra constituye más del 5% de una población finita, el error estándar de la media debe modificarse mediante el factor de población finita.

Interpretación del intervalo de confianza ¿Qué significa decir que estamos “95% ciertos” que el valor real de la media poblacional µ está dentro de un intervalo determinado? Si fuéramos a construir 20 de estos intervalos, c/u usando diferente información muestral, podría esperarse que 95% de ellos, o sea 19 de cada 20, funcionaran como se planea y contienen µ dentro de sus límites superior e inferior.

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Ejemplo 1 Un científico interesado en vigilar contaminantes químicos en alimentos, seleccionó una muestra aleatoria de n = 50 adultos hombres. Se encontró que el promedio de ingesta diaria de productos lácteos fue de gramos por día, con una desviación estándar de s = 35 gramos por día. Use esta información muestral para construir un intervalo de confianza de 95% para la ingesta diaria media de productos lácteos para hombres. Solución. El intervalo de confianza de 95% para µ es de 746.30 a 765.70 gramos por día.

Ejemplo 2 Construya un intervalo de confianza de 99% para la ingesta diaria media de productos lácteos para los hombres adultos del ejemplo anterior.

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Solución Se debe hallar el valor apropiado de la z normal estándar que pone el área (1-α) = 0.99 en el centro de la curva. En tablas se encuentra que el valor de z es 2.58.

Así el intervalo de confianza de 99% es 743.23 a 768.77 gramos al día.

Estimación por intervalo para la media Ejemplo 3. Se selecciona una muestra aleatoria de 30 postulantes para determinar la nota promedio que obtuvieron los postulantes al examen de admisión 2000-I de la UNSAAC. Un análisis de los resultados de la _ x muestra revelan que = 8.39 puntos y s = 2.57 puntos. Ejemplo 4. Suponga que el tamaño de la muestra del ejemplo 1 es 300 y no 30. ¿Cómo afectará esto a la estimación por intervalo?

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Estimación por intervalo para la media Ejemplo 5. Una gran compañía de venta de automóviles estudia a una población de 1300 clientes. Se desea saber el grado de satisfacción con su automóvil sobre una escala de 1 a 10, siendo 1 la peor calificación y 10 la mejor. Se toma una muestra de 375 clientes y se haya las siguientes medidas de la muestra _ x = 7.81, s = 2.3. Calcule la estimación por intervalo para un nivel del 95% de confianza.

Estimaciones puntuales y de intervalo para las proporciones de una población La distribución normal proporciona una buena aproximación para la distribución binomial cuando np > 5 y n(1-p) >5. Como la mayoría de las situaciones de proporciones cumple estos criterios, por lo general se usa la distribución normal para crear estimaciones por intervalo para proporciones de una población. Se usa la ecuación 3 para calcular la estimación por intervalo para una proporción de población:

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Estimación por intervalo para una proporción de una población _

p± z donde

p (1 − p ) n

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= proporción muestral p = proporción de la población n = tamaño de la muestra Para aplicar la ec.3 se debe conocer un parámetro poblacional, p. La solución a este problema es la misma que para las medias: se usa la proporción de la muestra, , como _una estimación de la proporción poblacional desconocida, p. p Nota: si la muestra constituye más del 5% de una población finita, el error estándar de la proporción debe modificarse con el factor de población finita.

Ejemplo Una muestra aleatoria de 985 posibles electores, fueron encuestados telefónicamente. De ellos, 592 indicaron que tenían la intención de votar por el “Partido de los Trabajadores”. Construya un intervalo de confianza de 90% para p, la proporción de electores probables de la población que tienen la intención de votar por el candidato de los trabajadores.

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Solución La estimación puntual para p es Y el error estándar es

El valor z para un intervalo de confianza de 90% es z = 1.645. El intervalo de confianza del 90% para p es entonces

o sea 0.575 < p < 0.627. Se estima que el porcentaje de probables electores que intención de votar por el candidato de los trabajadores es entre 57.5% y 62.7%. ¿Ganará el candidato la elección? Suponiendo que se necesita más del 50% de los votos para ganar, se puede decir con 90% de confianza que el candidato ganará.

Ejercicio. Un experimento de química En un experimento de electrólisis, un grupo de estudiantes midió la cantidad de cobre precipitado de una solución saturada de sulfato de cobre en un periodo de 30 minutos. Los n=30 estudiantes calcularon una media muestral y desviación estándar igual a 0.145 y 0.0051 moles, respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la cantidad media de cobre precipitado de la solución en un periodo de 30 minutos.

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Ejercicio. Reproductores MP3· ¿Tiene usted un iPod Nano o un Walkman Bean Sony? Un estudio indicó que 54% de los jóvenes norteamericanos entre 12 y 17 años de edad, 30% de entre 18 y 34 años y 13% de entre 35 y 54 años tienen reproductores MP3. Suponga que estas tres estimaciones están basadas en muestras aleatorias de tamaños 400, 350 y 362, respectivamente. a. Construya una estimación de intervalo de confianza de 95% para la proporción de personas entre 12 y 17 años que tienen un reproductor MP3. b. Construya una estimación de intervalo de confianza de 95% para la proporción de personas entre 18 y 34 años que tienen un reproductor MP3.

Tamaño de la muestra y error de la estimación ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? Tres factores afectan a la determinación del tamaño de la muestra para estimar la media de una población: 1) el nivel de confianza, 2) el error tolerable máxima y 3) la variación de la población. El error tolerable máximo es la cantidad máxima en la que el estadístico de la muestra (la estimación) difiere del parámetro poblacional, para un nivel de confianza específico.

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El intervalo de estimación está dado por ̅±

√

La cantidad = es el margen de error deseable. √ Una vez que se selecciona el coeficiente de confianza 1-α, se determina z.

Tamaño de la muestra para medias 1. 2.

3.

El tamaño de la muestra para medias se puede estimar usando los cuatro pasos siguientes: Determinar el nivel de confianza, por lo general 0.90, 0.95 o 0.99. Determinar cuál es el error, E, tolerable. La magnitud del error dependerá de lo crítica que sea la exactitud de la estimación. El valor de E requiere una decisión subjetiva del analista. Determinar la desviación estándar de la población o, si no se conoce, estimarla. Otra posibilidad es llevar a cabo un estudio piloto con una pequeña muestra y usar la desviación estándar muestral, s, para estimar la desviación estándar poblacional, σ.

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Tamaño de la muestra para medias 4.

Calcular n mediante la ecuación:

Donde

z 2σ 2 n= E2

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n = tamaño de la muestra z = valor de la tabla normal estándar que refleja el nivel de confianza σ = desviación estándar poblacional E = error tolerable máximo

Tamaño de la muestra para medias. Población finita Cuando el muestro es hecho sin reemplazo a partir de una población finita de tamaño N, el tamaño de la muestra se determina por:

 z 2σ 2   2  N e  n = 2 2 z σ   2  + ( N − 1)  e 

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Tamaño de la muestra para medias Ejemplo Determine el tamaño de la muestra de la población de postulantes a la UNSAAC que permita calcular la nota promedio obtenida por todos los postulantes. Se desea, con una probabilidad del 95%, que la media obtenida de la muestra aleatoria esté a 0.50 puntos de la media verdadera. Se sabe que la desviación estándar poblacional es igual a 2.48.

Ejercicios Se calcula que una población tiene una desviación estándar de 10. Desea estimar la media de la población a menos de 2 unidades del error máximo admisible, con un nivel de confianza de 95%. ¿De qué tamaño debe ser la muestra? 2. Un procesador de zanahorias corta las hojas, lava las zanahorias y las inserta en un paquete. En una caja se guardan veinte paquetes para enviarse. Para controlar el peso de las cajas, se revisaron unas cuantas. El peso medio fue de 20.4 libras, y la desviación estándar, de 0.5 libras. ¿Cuántas cajas debe tener la muestra para conseguir una confianza de 95% de que la media de la muestra no difiere de la media de la población por más de 0.2 libras? 1.

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Tamaño de muestra para proporciones Los pasos 1 y 2 son en esencia los mismos. Los pasos 3 y 4 son: 3. Determinar la proporción de la población o, si es desconocida, estimarla. Si se dispone de información sobre la proporción de la población (p), tal vez de un estudio anterior, utilice este valor. Otro método es tomar una pequeña muestra preliminar y usar la proporción de la muestra, , como una estimación de p.

Tamaño de muestra para proporciones 4.

Utilice la ecuación:

z 2 p (1 − p ) (7) n= 2 Donde E n = tamaño de la muestra z = valor en la tabla normal estándar que refleja el nivel de confianza p = proporción de la población E = error tolerable máximo. Se calcula mediante la ecuación: E =z

p(1 − p) n

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Tamaño de muestra para proporciones. Población finita Cuando el muestreo es hecho sin reemplazo a partir de una población finita de tamaño N:

 z c 2 p(1 − p )   N 2   e   n= 2  z c p(1 − p)    + (N − 1) 2   e  

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Muestras pequeñas. Distribución t de Student Cuando la muestra es pequeña, n < 30, el teorema del límite central no garantiza que el estadístico tenga una distribución normal. En 1908 W. S. Gosset dedujo una complicada fórmula para la función de densidad de (10) para muestras aleatorias de tamaño n desde una población normal y publicó sus resultado bajo el nombre de “Student”. Desde entonces, la estadística se conoce como t de Student.

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Características de la distribución t de Student Tiene forma de campana y es simétrica alrededor de t=0, igual que z No existe una distribución t, sino una familia de distribuciones t. Todas las distribuciones t tienen una media de 0, y sus desviaciones estándares difieren de acuerdo con el tamaño de la muestre, n. Existe una distribución t para un tamaño de muestra de 20, otro para un tamaño de muestra de 22, etc. La distribución t se extiende más y es más plana por el centro que la distribución normal estándar. Conforme se incrementa el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar. Cuando n sea infinitamente grande, las distribuciones t y z son idénticas.

Estándar normal z y la distribución t con 5 grados de libertad. El divisor (n-1) en la fórmula para la varianza muestral s2 se denomina número de grados de libertad (df) asociados con s2. Determina la forma de la distribución t.

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Valor t para determinar el intervalo de confianza de 95% para una muestra de tamaño n=10 (dos colas)

Distribuciones a usar para determinar los intervalos de confianza

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Intervalo de confianza de la media poblacional con σ desconocida

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Ejemplo El gerente de Inlet Square Mall, desea estimar la cantidad media que gastan los clientes que visitan el centro comercial. Una muestra de 20 clientes revela las siguientes cantidades. 48.16 42.22 46.82 51.45 23.78 41.86 54.86 37.92 52.64 48.59 50.82 46.94 61.83 61.69 49.17 61.46 51.35 52.68 58.84 43.88 ¿Cuál es la mejor estimación de la media poblacional? Determine un intervalo de confianza de 95%. Interprete el resultado. ¿Concluiría de forma razonable que la media población es de $50? ¿ y de $60?

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Solución La media de la muestra es 49.35 y la desviación estándar s=9.01 Hay n – 1 = 20 – 1 = 19 grados de libertad. Para un 95% de confiabilidad t = 2.093 (según tablas).

Los puntos extremos del intervalo de confianza son $45.13 y $53.57. La media poblacional se encuentra en dicho intervalo. El valor de $50 se encuentra dentro del intervalo de confianza; es razonable que la media poblacional sea de $50. El valor de $60 no se encuentra en el intervalo de confianza, entonces, no es probable que la media poblacional sea de $60. EN MINITAB: T de una muestra: C1

Variable C1

N 20

Media 49.35

Desv.Est. 9.01

Media del Error estándar 2.02

IC de 95% (45.13, 53.57)

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Autoevaluación 9-2 La señora Kleman está interesada en el ausentismo de sus trabajadoras. La siguiente información se refiere al número de días de ausencias de una muestra de 10 trabajadoras durante el último periodo de pago de dos semanas.

4 1 2 2 1 2 2 1 0 3 a) Determine la media y la desviación estándar de la muestra. b) ¿Cuál es la media de la población? ¿Cuál es la mejor estimación de dicho valor? c) Construya un intervalo de confianza de 95% de la media poblacional. d ) Explique la razón por la que se utiliza la distribución t como parte del intervalo de confianza. e) ¿Es razonable concluir que la trabajadora común no falta ningún día durante un periodo de pago?

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Ejercicios Del capítulo 9: 32, 45

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