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 Técnicas  de  conteo   Por: Emilio González Olguín y Oliverio Ramírez Juárez

Cuando se trata de un evento cuyos posibles resultados son pocos es relativamente fácil listarlos y contarlos.

Ejemplo Al tirar un dado, los posibles resultados son 1, 2, 3, 4, 5, y 6.

Figura 1. Posibles resultados del experimento que consiste en lanzar una vez un dado. UVEG, 2015.

Sin embargo, existe una variedad de eventos con un gran número de posibles resultados. En estos casos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Para facilitar esta tarea existen las técnicas de conteo, las cuales son usadas con el objetivo de determinar el número de resultados en un espacio muestral. Las principales técnicas de conteo según Devore (2005) son: •

Principio multiplicativo

•

Diagrama de árbol

•

Combinaciones

•

Permutaciones

1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Principio  multiplicativo   Si una operación o un proceso consiste en n diferentes pasos, de los cuales el primero puede ser realizado de 𝑝! formas, el segundo de 𝑝! formas, el tercero de 𝑝! formas,………….., el k-ésimo de 𝑝! formas; entonces la operación o el proceso completo se pude realizar de p! p! p! … … p!  formas (Marques de Cantú, 1991, p. 34).

Donde el principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la operación o proceso debe ser realizado uno tras otro.

Ejemplo

 

Los números telefónicos que pueden asignarse a una ciudad del interior de México constan de siete dígitos. El primer número no puede ser cero y los otros seis pueden tomar valores del 0 al 9.  

Figura 2. phone thelepone numbers (PublicDomainPictures, 2011).

a) ¿Cuántos números telefónicos pueden existir? Debemos considerar que el primer número puede tomar 9 diferentes valores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) y del segundo al séptimo número pueden tomar 10 valores distintos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9). Podemos representar esto de la siguiente forma: 1° (9)

2° (10)

3° (10)

4° (10)

5° (10)

6° (10)

7° (10)

Aplicando el principio multiplicativo tenemos: (9)(10)(10)(10)(10)(10)(10) = 9,000,000 Solución: Pueden existir 9,000,000 números telefónicos. 2 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

b) Si el primer número sólo puede tomar los valores de 5, 6 o 7, ¿cuántos números telefónicos habrá? En este caso, el primer número sólo puede tomar 3 valores diferentes (5, 6, 7). Podemos representar esta información de la siguiente forma: 1° (3)

2° (10)

3° (10)

4° (10)

5° (10)

6° (10)

7° (10)

Aplicando el principio multiplicativo tenemos: (3)(10)(10)(10)(10)(10)(10) = 3,000,000 Solución: Con esta nueva restricción pueden existir 3,000,000 números telefónicos.

Diagrama  de  árbol   El  diagrama  de  árbol  es  una  representación  gráfica  de  un  experimento  con  eventos  de  tamaño  finito,  en  la  cual   podemos  ver  todas  las  posibles  combinaciones  que  pueden  resultar  de  realizar  el  experimento.   Pasos  para  elaborar  un  diagrama  de  árbol   En la figura 3 aparecen los pasos para elaborar un diagrama de árbol.

Figura 3. Elaboración de diagrama de árbol.

3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Y así consecutivamente hasta representar los n pasos con todas sus 𝑝 opciones.

Ejemplo 1 Representa en forma de diagrama de árbol el experimento que consiste en lanzar dos veces seguidas una moneda.

Figura 4. Diagrama de árbol del experimento que consiste en lanzar dos veces una moneda.

4 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Ejemplo 2 En un conocido centro comercial, al cliente número 1000 le darán un premio que consiste en unas vacaciones con todo pagado a Puerto Vallarta, Acapulco o Cancún, viajando en avión o en autobús, además de una de las siguientes opciones: alimentos pagados, dinero en efectivo o un vale para canjearlo por ropa de playa. Mediante el siguiente diagrama de árbol, puedes ver las diferentes posibilidades que se le presentan al ganador:

Figura 5. Diagrama de árbol del experimento de las opciones del concurso.

5 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Permutación   Cualquier secuencia ordenada de n objetos distintos se llama permutación.

Cuando importa el orden en el que acomodamos los objetos estamos hablando de permutación, es decir, no es lo mismo AB que BA.

Ejemplo Si tenemos tres figuras:

♣♦♥ El número de formas en las que se pueden ordenar las tres figuras (o el número de permutaciones posibles) es:

♣♦♥ , ♣♥♦ ,♥♣♦ ,♥♦♣ ,♦♥♣ ,♦♣♥ En este ejemplo es fácil obtener el número de permutaciones de las tres figuras (6), pero mientras más objetos tengamos, el cálculo manual se complica, por lo que también podemos utilizar la fórmula: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜  𝑑𝑒  𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠   =  𝑛!

  6 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Donde ! se lee como factorial de n, y es el producto de los números naturales de 1 a 𝑛 (Marques de Cantú, 1991), es decir: n! = 1 2    3     …    n   y que por convenio 0! = 1      

Por lo que si nos dicen que tenemos que encontrar 7! (factorial de 7), entonces tenemos que hacer la siguiente operación: 7! =   (1)(2)(3)(4)  (5)(6)(7) = 5040  

En este caso n = 3, por lo que: El  número  de  permutaciones = 3! = 6 También se podría presentar la situación en la cual se quiera obtener el número de permutaciones de k elementos extraídos de un conjunto que tiene n objetos distintos. El número de permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez, se obtiene con la siguiente fórmula:

n

Pk =

n! (n − k )!

Ejemplo Si tenemos tres figuras:

♣♦♥ Y las tomamos de dos en dos, las permutaciones que podemos tener son:

♣♦ , ♣♥ , ♥♦ , ♥♣ , ♦♣ , ♦♥ 7 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Aplicando la fórmula tenemos: 3

P2 =

3! 6 = =6 (3 − 2)! 1

  Combinaciones   Las combinaciones son permutaciones en las que el orden no tiene relevancia.

Cuando NO importa el orden en el que acomodamos los objetos, estamos hablando de combinación, es decir, es lo mismo AB que BA.

El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k viene dado por la expresión:

n

⎛ n ⎞ n! C k = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ k ⎠ (n − k )!k!

n

⎛ n ⎞ Ck = ⎜⎜ ⎟⎟ se lee como combinaciones de k objetos de un ⎝ k ⎠

total de n objetos (Hayter, 2002).

Ejemplo Si tenemos tres figuras:

♣♦♥ Y  queremos  ver  cuántas  combinaciones  se  pueden  formar  entre  las  tres,  en  entonces  𝑛 = 3  (porque  tenemos   un  total  de  tres  objetos)  y  𝑘 = 3  (porque  queremos  hacer  combinaciones  de  los  3  objetos).  Aplicando  la   fórmula  tenemos:  

3

⎛ 3 ⎞ 3! 6 6 C 3 = ⎜⎜ ⎟⎟ = = = =1 ⎝ 3 ⎠ (3 − 3)!3! (0!)(6) 6 8

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Entonces la fórmula nos dice que sólo podemos obtener una combinación de las tres figuras (hay que recordar que en las combinaciones no importa el orden), esto lo podemos representar gráficamente de la siguiente forma:

♣♦♥ = ♣♥♦ =♥♣♦ =♥♦♣ =♦♥♣ =♦♣♥

 

Si se toman figuras de dos en dos, las combinaciones de son:

♣♦♥

♣♦ ,♣♥ ,♦♥ Lo  cual  también  podemos  encontrar  haciendo  uso  de  una  fórmula.  En  este  caso  𝑛 = 3  y  𝑘 = 2.     3

 

⎛ 3 ⎞ 3! 6 C2 = ⎜⎜ ⎟⎟ = = = 3   ⎝ 2 ⎠ (3 − 2)!2! (1)(2)

9 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Referencias       Devore, J. L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (6a. ed.). México: Thomson. Hayter, A. J. (2002). Probabilidty and Statistics for engineers and scientists (2nd. ed.). Pacific Grove: Duxbury. Marques de Cantú, M. J. (1991). Probabilidad y estadística para ciencias químico-biológicas. México: McGraw-Hill Interamericana.

Referencia  de  la    imagen  

PublicDomainPictures. (2011). Phone telephone numbers. Recuperada de http://pixabay.com/en/phone-home-telephone-numbers-2127/ (imagen de dominio público, de acuerdo a: http://pixabay.com/en/service/terms/).

10 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.