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La distribución binomial Por: Oliverio Ramírez

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, cuyo estudio lo realizó el matemático suizo Jacob Bernoulli, por lo que esta distribución también es llamada “distribución de Bernoulli” (Cáceres, 2007, p. 244) en su honor. La distribución binomial está asociada a experimentos con algunas características específicas:   

Debe haber únicamente dos posibles resultados, a los cuales se les acostumbra llamar éxito y fracaso. La obtención de un éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de otro ensayo. La probabilidad asignada a un éxito o fracaso siempre es la misma.

Para que una distribución sea binomial debe cumplir con las tres características anteriores. Por ejemplo

Identificando una distribución binomial El experimento de lanzar una moneda al aire, ¿representa una distribución binomial? En la tabla 1 encontrarás la solución. Característica

¿Cumple?

Debe haber únicamente dos posibles resultados, a los cuales se les acostumbra llamar éxito y fracaso.

Sí

La obtención de un éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de otro ensayo. La probabilidad asignada a un éxito o fracaso siempre es la misma.

Sí

Sí

¿Por qué? Porque los posibles resultados son águila y sol.

Porque no es posible que caiga sol y águila al mismo tiempo. Porque la probabilidad de que caiga sólo águila es siempre ½.

Tabla 1. Solución el experimento de lanzar una moneda al aire.

1 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Ahora te pido que revises las siguientes situaciones.

Situación 1. Jugando dados Manuel y sus amigos acostumbran jugar dados, apostando sus quincenas enteras. El juego consiste en elegir un número (de los seis que tiene un dado) y lanzarlo cinco veces seguidas. Gana el jugador que haya sacado más veces el número que eligió. Si Manuel siempre escoge el número cuatro, ¿qué probabilidad hay de que saque dos veces ese número?, ¿qué probabilidad tiene de sacar el cuatro en tres ocasiones? El éxito del experimento es obtener un 4, el fracaso es cualquier otro resultado. La probabilidad de obtener un 4 en el lanzamiento de un dado es p = 1/6. La probabilidad de no obtener un 4 es q = 1-1/6 = 5/6. Para calcular la probabilidad de obtener dos éxitos y tres fracasos basta multiplicar dos veces 1/6 y tres veces 5/6. Sin embargo, debido a que puede haber distintas formas en que se presente la aparición de dos 4 (44FFF, F4F4F, FF44F, entre otros) se necesita determinar el número de formas en que esto puede ocurrir. El análisis combinatorio estudiado en la Unidad 2 dice que el número de formas en que pueden obtenerse dos cuatros en 5 lanzamientos se calcula con: 5

C 2  10 formas

Por lo que la probabilidad de obtener dos cuatros (dos éxitos y tres fracasos) es: 𝑃 (“𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 4”) = 10  16  16  56  56  56  0.16 De la misma manera, se puede calcular la probabilidad de que Manuel saque tres veces el cuatro. Practica: 𝑃(“𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 4”) = 10  16  16  16  56  56  0.032 En este tipo de juegos en el que todos los participantes compiten bajo las mismas condiciones, no es relevante que las probabilidades de éxito de Manuel sean pequeñas porque son las mismas para los demás jugadores, entonces ¿cómo es que ganan los casinos? Normalmente eligen situaciones ventajosas en donde la probabilidad de que ganen es uno, mientras que la probabilidad de que el jugador gane es prácticamente cero; ingenioso, ¿no crees? Para simplificar el cálculo de la probabilidad de obtener k éxitos en n experimentos, una vez que se ha determinado que se trata de una distribución binomial, se utiliza la siguiente fórmula, que es una generalización de los cálculos anteriores:

P(éxito) n Ck p k q nk 

2 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

En donde: 𝑛= número de veces que se realiza el experimento 𝑘=número de ocasiones en que se tiene éxito 𝑝=probabilidad de tener éxito 𝑞=probabilidad de no tener éxito (𝑞 = 1 − 𝑝)

Situación 2. ¿Estudio o se lo dejo a la suerte? La próxima semana Lizbeth presentará su examen final. Su maestra le ha informado que el cuestionario será de opción múltiple y que tiene un total de 10 reactivos y cada uno de ellos tiene tres posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Lizbeth se pregunta si dedicará tiempo a estudiar o contestará el examen al azar. Ella pretende obtener un 9 de calificación. 

¿Cuál es la probabilidad de que Lizbeth obtenga un 9 de calificación contestando al azar?, ¿qué le recomiendas?

1. Calcula la probabilidad que tiene Lizbeth de obtener un 9 de calificación. 2. Escribe en una hoja en blanco tu recomendación y después verifica con el siguiente texto.

Solución Debido a que cada reactivo consta de tres respuestas y sólo una es correcta, la probabilidad de éxito y fracaso es: 1

2

𝑝=3 y

𝑞=3

𝑛=10 es el número total de reactivos del examen y k=9 representa el número total de respuestas que debe tener Lizbeth para obtener la calificación deseada. De acuerdo con la fórmula anterior, la probabilidad pedida es:

æ1ö æ 2 ö P(sacar 9) = 10 C9 ç ÷ ç ÷ = 0.00033 è 3ø è 3 ø 9

1

¡Ups! Creo que en este caso es mejor que Lizbeth estudie porque la probabilidad de obtener la calificación que pretende no es muy alentadora.

3 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Situación 3. La Veracruzana La encargada de la tienda de abarrotes La Veracruzana lleva un registro de los clientes que van a la tienda y no encuentran los productos que buscan. Piensa informar al dueño del negocio sus resultados para que surta mejor la tienda porque de ello depende su empleo. La encargada halló que la clientela sólo encuentra el 65 % de los productos que buscan y quiere mostrarle sus hallazgos al dueño, pero no sabe cómo utilizar los datos que tiene para convencerlo de que invierta más en su tienda. La oportunidad se le presentó cuando al mismo tiempo llegaron a la tienda 6 clientes y el dueño del establecimiento. Ayuda a esta chica a determinar la probabilidad de que los clientes encuentren todo lo que buscan.  

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente encuentre todo lo que busca? ¿Cuál es la probabilidad de que n clientes encuentren todo lo que buscan?

Solución    

El número total de experimentos es 6 porque 6 es el número total de clientes que llegaron a la tienda, es decir: n = 6. k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 porque la pregunta indica que se desea determinar la probabilidad de éxito de este número de clientes. La probabilidad de éxito es p = 0.65 La probabilidad de fracaso es q = 0.35

Usando la fórmula para determinar las probabilidades de la distribución binomial, tienes que: Gráfica de la distribución binomial.

P(cero clientes ) 6 C0 0.65 0.35  0.0018 0

6

0,35

P(un cliente) 6 C1 0.65 0.35  0.0204 1

5

2

4

P(tres clientes ) 6 C3 0.65 0.35  0.235 3

3

P(cuatro clientes ) 6 C4 0.65 0.35  0.3280 4

2

P(cinco clientes ) 6 C5 0.65 0.35  0.2436 5

1

P(seis clientes ) 6 C6 0.65 0.35  0.0754 6

0

Probabilidad

P(dos clientes ) 6 C2 0.65 0.35  0.0951

0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

1

2

3

4

5

6

Número de clientes

Tabla 2. Gráfica de la distribución binomial.

4 ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Analizando los resultados y la gráfica se observa que la probabilidad de que cuatro clientes encuentren todo lo que buscan es la más alta (32.8 %), pero esta probabilidad aún es muy baja. La encargada de la tienda le mostrará los resultados de sus cálculos al dueño de la tienda y él decidirá si invierte más en el negocio o sigue con la misma situación.

A continuación, se te presenta cómo calcular la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución binomial.

La media y la varianza La media de una distribución binomial es el valor esperado del número de éxitos y está dada por la siguiente expresión (Colegio24hs, 2004):

  E ( x)  n  p

La media de la distribución binomial es igual al tamaño de la muestra n multiplicada por la probabilidad de éxito p. La varianza, está dada por:

 2  npq Y la desviación estándar:

  npq Calcula la media, la varianza y la desviación estándar para el caso de La Veracruzana.

Media

  E ( x)  n  p   E ( x)  6  0.65  3.9

Varianza

 2  npq  2  (6)(0.65)(0.35)  1.365

De los 6 clientes que llegan a la tienda, se esperaría que en promedio 3.9 clientes encuentren los artículos que buscan.

Desviación estándar

  npq   1.365  1.168 clientes Es decir, los datos se desvían 1.168 clientes en promedio del valor esperado 3.9.

Tabla 3. Solución del caso La Veracruzana.

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Ahora analiza la siguiente situación. Situación 1. La distribución binomial en la construcción Una constructora ha determinado que la probabilidad de vender una casa en una semana es de 0.27. ¿Cuál será la probabilidad de no vender casa alguna?, ¿cuál será la probabilidad de vender 8 casas?     

Construye la distribución binomial para 8 casas Calcula la media Calcula la varianza Calcula la desviación estándar Interpreta tus resultados

Te sugiero que realices las operaciones necesarias en tu cuaderno y al terminar compares tus resultados con los que aparecen a continuación. Construye la distribución binomial para 8 casas.

Figura 1. Distribución binomial.

Calcula la media 𝜇 = 𝐸(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑝 𝜇 = 𝐸(𝑥) = (8)(0.27) = 2.16

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Calcula la varianza 𝜎 2 = 𝑛𝑝𝑞 𝜎 2 = (8)(0.27)(0.73) = 1.5768

Calcula la desviación estándar 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 𝜎 = √1.5768 = 1.2557 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠

Interpretación Gracias a la distribución binomial y de la gráfica se aprecia que la probabilidad de vender dos casas es mayor que la probabilidad de vender otra cantidad. Esta información puede servir para que la constructora defina el ritmo de la construcción de las casas. De hecho, el valor esperado del número de casas vendidas es 2.16, con una variabilidad de 1.2557.

Referencias Cáceres, J. (2007). Conceptos básicos de estadística para ciencias sociales. Madrid, España: Publicaciones Delta. Colegio24hs. (2004). Estadística. Argentina: Autor.

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