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• Jose Luis Villalba Cortes

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ECUACIÓN GENERAL DE LA ESPIRAL LOGARITMICA q

r

0 15 30 45

0.9 1.1 1.3 1.7

0.880936 0 1.049161 0.2811 1.159813 0.669559 1.167641 1.167506

x = a e bq Cos q

60 75

2.0 2.5

1.018073 1.763041 0.649913 2.424574

y = a e bq Sen q

90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285

3.1 3.8 4.7 5.8 7.2 8.8 10.9 13.4 16.5 20.4 25.1 31.0 38.2 47.1

0.000358 -0.987151 -2.351863 -4.101279 -6.193608 -8.517894 -10.87339 -12.95059 -14.31748 -14.41553 -12.57111 -8.028801 -0.013259 12.17388

300 315

58.1 71.6

29.0174 -50.3044 50.61037 -50.65137

330 345 360

88.3 108.9 134.2

76.43748 -44.17444 105.1298 -28.21943 134.2102 -0.062112

En coordenadas polares: r = a e bq En coordenadas cartesianas:

a=

0.88

b=

0.8

Y también: q = (1/a) Ln (r/b)

x

y

3.094956 3.686088 4.074997 4.102703 3.577474 2.2843 0.002516 -3.466621 -8.261049 -14.40719 -21.7583 -29.92465 -38.20104 -45.5002

Ejemplo:

Espiral logaritmica de Teoria de Zeevaert

Datos: Ancho del pilote 2B =

0.8

m

Longitud del pilote =

20.1

m

Ubicación del origen de la espiral logaritmica L = B tg (45 + f/2) =

0.78

ro =

0.88

En coordenadas polares: r = ro e 2q (tan f)

Datos para gráfica:

En coordenadas cartesianas:

x1 = x2 =

-0.4 -0.4

y1= y2=

0 -15.78

0 -15.78

x = ro e 2q(tan f) Cos q

x3 = x4 =

0.4 0.4

y3= y4=

-15.78 0

-15.78 0

y = ro e 2q(tan f) Sen q

x5 = x6 = x7 =

-0.4 0.0 0.4

y5= y6= y7=

-15.78 -16.47 -15.78

-15.78 -16.565 -15.78

tg f =

0.73

Angulo de fricción f =

q

r

0 15 30 45 60 75 90 105 120 133 150 153

0.88 1.07 1.29 1.56 1.89 2.28 2.76 3.33 4.03 4.76 5.90 6.13

36

x 0 0.880936 1.029159 1.116013 1.102126 0.942631 0.59028 0.000319 -0.862716 -2.016215 -3.243146 -5.109163 -5.460386

grados

y -15.78 -15.78 -16.05574 -16.42427 -16.882 -17.41239 -17.98211 -18.53739 -19.00144 -19.27343 -19.25904 -18.73109 -18.56356

Ang grados 63 78 93 108 123 138 153 168 183 196 213 216

Rbo 27 12 3 18 33 48 63 78 87 74 57 54

Coordenadas al girar la curva Direccion x y -0.4 -15.78 SE 0.00 -16.5650 SE -0.25 -16.9024 SW -0.60 -17.1455 SW -0.97 -17.2911 SW -1.49 -17.3644 SW -2.24 -17.2750 SW -2.91 -17.0037 SW -3.46 -16.6422 NW -4.03 -16.0992 NW -4.50 -15.4541 NW -4.96 -14.5042 NW -5.28 -13.2599 -5.36 -12.1795

Angulo de fricción f =

30

Ubicación del origen de la espiral:

q

r

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150

0.80 0.93 1.08 1.26 1.46 1.70 1.98 2.30 2.68 3.12 3.63

Angulo de fricción f =

x 0 0.799893 0.898692 0.937213 0.890104 0.732136 0.440909 0.000229 -0.595991 -1.33952 -2.203625 -3.139376

25

y -26 -15.78 -16.02079 -16.32105 -16.67 -17.04787 -17.42486 -17.76075 -18.00547 -18.10094 -17.98439 -17.59333

r

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 147.5

0.74 0.84 0.95 1.07 1.21 1.37 1.55 1.75 1.98 2.23 2.47

x 0 0.744377 0.812361 0.822912 0.759159 0.606542 0.354809 0.000179 -0.452522 -0.98793 -1.578672 -2.084654

0.58

L = B tg (45 + f/2) =

0.69

Ang grados 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210

y -26 -15.78 -15.99765 -16.25507 -16.53907 -16.83037 -17.10366 -17.32829 -17.46975 -17.49176 -17.35922 -17.10863

Rbo 30.0 15.0 0.0 15.0 30.0 45.0 60.0 75.0 90.0 75.0 60.0

0.47

L = B tg (45 + f/2) =

0.63

Ang

Rbo

58 73 88 103 118 133 148 163 178 193 205

32.5 17.5 -2.5 12.5 27.5 42.5 57.5 72.5 92.5 77.5 65

ro =

0.80

Coordenadas al girar la curva Direccion x y -0.25 -26 SE 0.00 -26.43 SE -0.10 -26.56 SW -0.25 -26.68 SW -0.45 -26.76 SW -0.71 -26.80 SW -1.00 -26.75 SW -1.32 -26.62 SW -1.64 -26.37 NW -1.92 -26.00 NW -2.13 -25.50 NW -2.22 -24.87

tg f =

grados

Ubicación del origen de la espiral:

q

tg f =

grados

ro =

0.74

Coordenadas al girar la curva Direccion x y -0.25 -26 SE 0.00 -26.40 SE -0.09 -26.51 SE -0.22 -26.59 SW -0.40 -26.65 SW -0.60 -26.67 SW -0.83 -26.63 SW -1.07 -26.52 SW -1.29 -26.33 SW -1.49 -26.05 NW -1.62 -25.70 NW -1.65 -25.34

-16.78 -17.565 -17.9024 -18.1455 -18.2911 -18.3644 -18.275 -18.0037 -17.6422 -17.0992 -16.4541 -15.5042 -14.2599 -13.1795

CURVA DE ESPIRAL LOGARITMICA

Distancia vertical (m)

10

-40

0 -20

0

20

40

60

80

-10

-20

-30

-40

-50

-60

Distancia horizontal (m)

100

120

140

160

Teoría de Zeevaert Espiral logaritmica que define la superficie de falla de una cimentación profunda

Profundidad (m)

-24 ESPIRAL fi=36°

-24.5

ESPIRAL fi=30° ESPIRAL fi=25°

-25 -25.5 -26 -26.5 -27 -27.5 -28 -28.5 -29 -6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

Distancia horizontal (m)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Teoría de Zeevaert Espiral logaritmica que define la superficie de falla de una cimentación profunda -22.5 PILOTE Column Q ESPIRAL fi=36° ESPIRAL fi=30°

-23.5 -24 hm = 4.5 B

Profundidad (m)

-23

-24.5 -25 -25.5

f= 36°

-26

q = 171° -26.5 q = 3/4p + f/2 = 153°

-27 -27.5 -5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

Distancia horizontal (m)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Teoría del Dr. Leonardo Zeevaert Mecanismo de falla basado en una superficie obtenida a partir de una espiral logarítmica Rack 110 Módulo 1 y 2 -11.5

-14 -14.5 -15

h = 300 m

-13.5

q2 = 30°

-16.5 -17 -17.5 -18

Geométricamente se tiene que: LR =0 .935 LT Entonces Qp = 0.93 Qu

ESTRATO DE ARENA MUY COMPACTA

Elev -15.78m

f= 36°

-15.5 -16

Elev -12.78 m

Punto b

hm = 4.5x2B (teórico)

Elevaciones (m)

d = 5.05m

-12.5 -13

ESTRATO DE ARCILLA FIRME

Punto c

-12

Punto a

q1 = 117°

Donde: Qp = Capacidad de carga por punta para la pila con 3.00 m de empotramiento Qu = Capacidad de carga última por punta LR = Longitud real entre el punto a y el punto b LT = Longitud teórica entre el punto a y el punto c

-18.5 -10 -9.5 -9 -8.5 -8 -7.5 -7 -6.5 -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Distancia horizontal (m)

f grados

Nq max

0 5 10 15 20 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1.00 1.65 2.78 4.77 8.47 15.69 17.86 20.39 23.33 26.78 30.81 35.57 41.19 47.87 55.83 65.37 76.86 90.75 107.65 128.33 153.79

Nq min1

1.00 1.64 2.69 4.45 7.46 12.80 14.32 16.04 17.99 20.23 22.78 25.70 29.06 32.93 37.42 42.62 48.69 55.79 64.13 73.96 85.62

100 99 97 93 88 82 80 79 77 76 74 72 71 69 67 65 63 61 60 58 56

Nq min1bis

1.00 1.64 2.69 4.45 7.46 12.80 14.32 16.04 17.99 20.23 22.78 25.70 29.06 32.93 37.42 42.62 48.69 55.79 64.13 73.96 85.62

100 99 97 93 88 82 80 79 77 76 74 72 71 69 67 65 63 61 60 58 56

Nq min3

71.23

Nq min4

93

1.00 1.65 2.78 4.77 8.44 15.58 17.72 20.20 23.08 26.44 30.37 34.98 40.40 46.82 54.44 63.52 74.39 87.46 103.26 122.45 145.88

100 100 100 100 100 99 99 99 99 99 99 98 98 98 98 97 97 96 96 95 95

La capacidad de carga última p de diámetro empotrada 2.00 propone que es similar a la prop definido desde el punto inicia indicados, y la longitud total de inicial al punto final) la cual es d simplificación consistente en qu entre la capacidad de carga po únicamente dicha punta una lo muy compacto, y la capacidad d misma pila al empotrarse

La capacidad de carga última por punta de una pila de 80 cm de diámetro empotrada 2.00 m en el estrato resistente, se propone que es similar a la propoción entre la longitud del arco definido desde el punto inicial hasta el punto intermedio indicados, y la longitud total de la superficie de falla (del punto inicial al punto final) la cual es de 83.4%, entonces se acepta la simplificación consistente en que existe esta misma proporción entre la capacidad de carga por punta de la pila al empotrarse únicamente dicha punta una longitud de 2.00 m en el estrato muy compacto, y la capacidad de carga última por punta de la misma pila al empotrarse su longitud total teórica