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ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS FLEXIBLES MIGUEL ANGEL FERREIRA DIEGO REY ROGELIO GARCIA

INTRODUCCIÓN Para diseñar un pavimento flexible es necesario conocer su comportamiento frente a las cargas, principalmente del tráfico, las cuales generan esfuerzos y deformaciones en el mismo, que son el objeto de nuestro estudio.

TIPOS DE MODELOS DE ESTUDIO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES. Estos esfuerzos y deformaciones pueden ser estudiados por medio de diversos tipos de modelos propuestos por varios autores, para tratar de simular las condiciones reales que se presentan en el servicio de los pavimentos. Entre estos tipos de modelos están: • Modelos de Masa Homogénea (Una sola capa). • Modelos Multicapa. • Modelos Viscoelásticos.

Modelos de Masa Homogénea (Una sola Capa)

MODELO DE MASA HOMOGÉNEA (UNA SOLA CAPA) La manera más fácil de caracterizar el comportamiento de un pavimento flexible, sometido a cargas de ruedas, es considerándolo como una porción de espacio homogénea, la cual tiene un área infinitamente grande y una profundidad infinita con una superficie plana donde las cargas son aplicadas.

TEORÍA DE BOUSSINESQ (1885) • Se basa en una carga concentrada aplicada a una porción de espacio elástica. La carga es circular con un radio a y una presión uniforme q, como se muestra en la figura. • La porción de espacio tiene un modulo de elasticidad E y una relación de Poisson v. • Se estudia un elemento cilíndrico con centro ubicado a una distancia z bajo la superficie y r desde el eje de simetría.

TEORÍA DE BOUSSINESQ (1885) Respecto al eje de simetría hay solo tres esfuerzos normales, 𝜎𝑧 , 𝜎𝑟 y 𝜎𝑡 , y un solo esfuerzo cortante 𝜏𝑟𝑧 , que es igual a 𝜏𝑧𝑟 . 𝑟 𝑎

Estos esfuerzos son funciones de q, y

𝑧 . 𝑎

SOLUCIÓN POR GRÁFICOS Foster y Ahlvin presentaron gráficos para determinarlos esfuerzos normales y el esfuerzo cortante, y la deflexión w, en una masa homogénea, basados en el modelo de Boussinesq. Asumieron que la porción de espacio es incompresible con una relación de Poisson de v = 0,5.

ESFUERZOS VERTICALES DEBIDO A CARGA CIRCULAR

ESFUERZOS RADIALES DEBIDO A CARGA CIRCULAR

ESFUERZOS TANGENCIALES DEBIDO A CARGA CIRCULAR

ESFUERZOS CORTANTES DEBIDO A CARGA CIRCULAR

DEFLEXIONES VERTICALES DEBIDO A CARGA CIRCULAR

ECUACIONES PARA OBTENER LAS DEFORMACIONES DESDE LOS ESFUERZOS OBTENIDOS EN LOS GRÁFICOS DE FOSTER Y AHLVIN. Deformación vertical:

Deformación tangencial:

Deformación radial:

EJERCICIO DE APLICACIÓN SOLUCIÓN GRÁFICA • Determine el esfuerzo vertical, la deformación vertical y la deflexión en el punto A, localizado bajo el centro de uno de los círculos.

SOLUCIÓN POR EJE DE SIMETRIA Cuando la carga es aplicada sobre un área circular simple cargada, el esfuerzo, la deformación y la deflexión más críticas ocurren bajo el centro del área circular en el eje de simetría, donde: • 𝜏𝑟𝑧 = 0 • 𝜎𝑟 = 𝜎𝑡 , por lo que 𝜎𝑧 y 𝜎𝑟 son los esfuerzos principales. Esta solución se puede aplicar para dos enfoques: que la carga sea aplicada sobre una placa FLEXIBLE, o sobre una placa RÍGIDA.

SOLUCIÓN PARA PLACA FLEXIBLE La carga aplicada por una llanta al pavimento es similar a la de una placa flexible con radia a y una presión uniforme q. Los esfuerzos bajo el centro se determinan por: Esfuerzo vertical:

Esfuerzo radial:

SOLUCIÓN PARA PLACA FLEXIBLE Las deformaciones están dadas por:

Deformación vertical:

Deformación radial:

SOLUCIÓN PARA PLACA FLEXIBLE La deflexión viene dada por:

Si v = 0 se simplifica a:

En la superficie (z = 0) la deflexión se calcula así:

EJERCICIO PLACA FLEXIBLE Determine los esfuerzos, las deformaciones y la deflexión en el punto A:

SOLUCIÓN PARA PLACA RIGIDA La distribución de presiones bajo una placa rígida puede ser expresada como:

Donde r es la distancia desde el centro de la placa hasta el punto donde se quiere determinar la presión, siendo ésta mayor en los bordes de la placa. La deflexión en la superficie esta dada por:

Modelos Multicapa

MODELOS MULTICAPA Los pavimentos flexibles son sistemas multicapa con mejores materiales en la parte superior y que no pueden ser representados como masas homogéneas.

La teoría de Burmister de capas es más apropiada, quien desarrolló soluciones para sistemas de dos capas (1943) y luego las extendió a sistemas de tres capas (1945). Con la creación de los computadores la teoría se extendió a sistemas n-capas.

MODELOS MULTICAPA Se hacen las siguientes suposiciones: • Cada capa es homogénea, isotrópica y linealmente elástica con un módulo de elasticidad E y una relación de Poisson v. • El material no tiene peso y la extensión de su área es infinita. • Cada capa tiene un espesor finito h, excepto por la capa más baja que tiene un espesor infinito. • Una presión uniforme es aplicada en la superficie sobre un área circular de radio a. • En las interfaces entre capas se dan condiciones de continuidad, es decir el mismo esfuerzo vertical, esfuerzo cortante. Desplazamiento vertical y radial.

SISTEMAS DE DOS CAPAS Un ejemplo exacto de estos sistemas son los pavimentos full-depth en las cuales una capa gruesa de HMA es fundida directamente sobre la subrasante. Para estos sistemas se calculan los siguientes parámetros: 1) Esfuerzo vertical 2) Deflexión vertical de la superficie 3) Deflexión vertical de la interfase 4) Deformación crítica por tensión (para rueda simple, rueda doble y rueda doble tándem)

ESFUERZO VERTICAL

Distribución de esfuerzo vertical en un sistema de dos capas.

Esfuerzos verticales de la interfase en un sistema de dos capas.

EJERCICIO ESFUERZO VERTICAL EN SISTEMA DE DOS CAPAS ¿Cuál es el espesor requerido para un pavimento full depth, si la HMA tiene un E=3,45 Gpa?. Si se le agrega una superficie delgada de tratamiento a la base granular con un modulo de elasticidad E=173 Mpa ¡Cual es el espesor del agregado grueso requerido?

SISTEMAS DE TRES CAPAS Un sistema de tres capas exhibe esfuerzos en las interfaces en el eje de simetría. Estos incluyen esfuerzo verticales en las interfaces 1 y 2, 𝜎𝑧1 y 𝜎𝑧2 respectivamente. Y esfuerzos radiales en el fondo de la capa 1, 𝜎𝑟1 , en la corona de la capa 2, 𝜎′𝑟1 , en el fondo de la capa 2, 𝜎𝑟2 y en la corona de la capa 3, 𝜎′𝑟2 .

En el eje de simetría, los esfuerzos radial y tangencial son idénticos, y el esfuerzo cortante es cero.

SISTEMAS DE TRES CAPAS Para una relación de Poisson v = 0,5 para todas las capas tenemos que:

Esto indica que la deformación radial es la mitad de la deformación vertical con signo opuesto:

TABLAS DE JONES PARA HALLAR ESFUERZOS Los esfuerzos en los sistemas de tres capas dependen de las relaciones k1, k2, A y H definidas como:

La continuidad del desplazamiento horizontal en la interfase implica que la deformación radial en el fondo de una capa es igual a la de la corona de la siguiente:

TABLAS DE JONES PARA HALLAR ESFUERZOS • Las tablas de Jones presentan factores de esfuerzos para sistemas de tres capas, para valores de k1 y k2 (0,2, 2, 20 y 200). La convención de signos es: positivo para compresión y negativo para tensión. Son cuatro grupos de factores de esfuerzo, cuyo producto con la presión de contacto da como resultado los esfuerzos: • A) ZZ1 • B) ZZ2 • C) ZZ1-RR1 • D) ZZ2-RR2

EJERCICIO DE APLICACIÓN SISTEMAS DE TRES CAPAS Determine todos los esfuerzos y deformaciones en las dos interfaces sobre el eje de simetría, para el sistema de tres capas:

GRAFICAS DE PEATTIE Peattie ploteó las tablas de Jones en forma gráfica. Se muestran un grupo de gráficos para los factores de deformación radial, (RR1– ZZ1)/2, en el fondo de la capa 1. Se puede determinar la deformación radial por:

Las deformaciones radiales en el fondo de la capa 1 deberían estar en tensión.

GRAFICAS DE PEATTIE

GRAFICAS DE PEATTIE

GRAFICAS DE PEATTIE

EJERCICIO DE APLICACIÓN GRAFICAS DE PEATTIE Si h2= 203 mm, ¿cuál es la deformación radial en el fondo de la capa 1?

Modelos Viscoelásticos

COMPORTAMIENTO VISCOELÁSTICO • Algunos materiales exhiben acción elástica bajo la acción de una carga (si la carga es lo suficientemente rápida), y luego se observa un aumento lento y continuo de la deformación a una tasa decreciente. • Cuando el esfuerzo es removido, se da una recuperación elástica inicial seguida de una deformación continuamente decreciente.

GRÁFICA DE COMPORTAMIENTOS Respuesta de deformación de los diferentes comportamientos ante una carga constante.

Fuente

FENÓMENOS COMUNES EN LOS MATERIALES VISCOELÁSTICOS Figura 6. Fenómenos comunes que presentan los materiales viscoelásticos. a. Elasticidad instantánea b. Creep bajo esfuerzo constante c. Relajación de esfuerzo bajo deformación constante d. Recuperación instantánea e. Recuperación retardada f. Deformación permanente

MODELOS VISCOELÁSTICOS La teoría de lineal de la viscoelasticidad brinda una representación matemática de las relaciones esfuerzo-deformación-tiempo que permiten soluciones simples a problemas de análisis de esfuerzos. Se plantea una discusión de modelos mecánicos, en donde el esfuerzo σ (fuerza por unidad de área) y la deformación ε (deformación por unidad de longitud) equivalen a la fuerza y la deformación del modelo que será usado para comparar la relación esfuerzo-deformacióntiempo de los materiales viscoelásticos.

RESORTE Y AMORTIGUADOR Todos los modelos viscoelásticos están compuestos por dos elementos básicos: resortes lineales y amortiguadores viscosos lineales. (Los efectos de la inercia son ignorados en los modelos).

(a)

(b)

ELEMENTO RESORTE 𝜎 =𝐸∗𝜀

(Ecu. 5)

Donde R o E es la constante lineal del resorte o el módulo de Elasticidad o módulo de Young.

El elemento resorte exhibe una elasticidad instantánea y una recuperación instantánea.

Comportamiento mecánico de resorte lineal.

ELEMENTO AMORTIGUADOR 𝑑𝜀 𝜎=𝜂 = 𝜂 𝜀ሶ 𝑑𝑡

(Ecu. 6)

Donde η es el coeficiente de Viscosidad.

Este modelo expresa que la tasa de deformación ε es proporcional al esfuerzo, o en otras palabras, el amortiguador va a ser deformado continuamente a una tasa constante cuando está sujeta a un periodo de esfuerzo constante. Por otra parte, cuando se impone al amortiguador a un periodo de deformación constante, el esfuerzo va a tener un valor infinito en el instante en que se le impone la deformación constante, y el esfuerzo va a disminuir rápidamente con el tiempo a 0 en t=0+ y va a permanecer siendo cero.

MODELOS MECÁNICOS DE MATERIALES VISCOELÁSTICOS

MODELO DE MAXWELL El modelo de Maxwell es un modelo de dos elementos que consiste en un elemento de resorte lineal y en un elemento amortiguador viscoso lineal conectados en serie, como lo muestra la figura 10: Como ambos elementos están conectados en serie, la deformación total y la tasa de deformación total son: (Ecu. 7)

(Ecu. 8)

Modelo de Maxwell

MODELO DE MAXWELL Las relaciones esfuerzo-deformación del resorte y del amortiguador se muestran en las Ecuaciones 9 y 10 respectivamente:

Por lo tanto derivando la ecuación 10 y reemplazándolas en la Ecuación 8 obtenemos la relación de tasa de esfuerzo-deformación para el Modelo Maxwell:

MODELO MAXWELL

Comportamiento de un Modelo Maxwell.

MODELO MAXWELL • Las relaciones deformación-tiempo y esfuerzo-tiempo para el modelo Maxwell se obtienen por derivación e integración respectivamente, bajo la suposición de que el modelo está sujeto a un esfuerzo constante 𝜎 = 𝜎0 (cuando se calcula la deformación), y a una deformación constante 𝜀 = 𝜀0(cuando se calcula el esfuerzo):

TIEMPO DE RELAJACIÓN MAXWELL • Es el tiempo en el que el esfuerzo alcanza a ser cero, se le llama tiempo de relajación tR, y viene como resultado de la siguiente ecuación:

REFERENCIAS [1] HUANG, Y.H. Pavement analysis and design. Pearson Prentice Hall. Segunda edición. 2004. 775 páginas. [2] FINDLEY. Creep and relaxation of nonlinear viscoelastic materials. . 1976.