• Author / Uploaded
• Nataly Angeles Suazo

Citation preview

CAPITULO 2

DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. 2.1 Esfuerzos en la masa de suelo Los esfuerzos dentro de un suelo se producen por el peso propio del mismo o por cargas que se encuentren sobre éste. Con la finalidad de establecer un orden en este capitulo, empezaremos por analizar los esfuerzos verticales que se generan en la masa de suelo por el peso propio de los materiales. En un suelo seco (sin N. A. F.), el esfuerzo vertical a una profundidad z puede calcularse considerando el peso del suelo que se encuentra encima de la partícula que se esté analizando. Así, considerando un suelo homogéneo con un peso específico γ constante, tendrá un esfuerzo vertical:

σz=zγ

(2.1)

Si el suelo es estratificado y el peso específico de cada estrato es diferente, los esfuerzos verticales, serán la suma del peso de los diferentes estratos: n

(2.2)

 z   i zi i1

Ejemplo

Determinar el esfuerzo vertical en una partícula de suelo ubicada a 8 metros de profundidad en suelos estratificados, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y espesores:

Suelo 1 Suelo 2 Suelo 3

3

γ1=1.6 t/m 3 γ2=1.8 t/m 3 γ3=2.0 t/m

∆z1=2 m ∆z2=3 m ∆z3=3 m

1

Las cotas están en metros.

²

²

²

Profundid ad m Z=2 Z=5 m Z=8 m

zγ (1.6*2.00)=3. 20 (1.8*3.00)=5. 40 (2.0*3.00)=6. 00

Esfuerzo 2 vertical σ =3.20 t/m z

2

σz=8.60 t/m 2 σz=14.60 t/m

En una masa de suelo existen esfuerzos que se generan por contacto de sus partículas y cuando el nivel de aguas freáticas es alto, existen esfuerzos dentro del agua que se encuentra en sus intersticios. Por lo que es importante analizar estos esfuerzos. Si se tiene un suelo con el nivel de aguas freáticas en la superficie y a una profundidad z una partícula de suelo (para fines didácticos imaginemos un cubo de

dimensiones diferenciales), la cara superior paralela a la superficie del suelo estará sometida a un peso W producto de la columna que se encuentra encima de ésta,

Fig. 2.2 Partícula de suelo a una profundidad z W=Ws+Ww

(2.3)

El suelo debajo del nivel freático se encuentra sometido a un empuje U (Principio de Arquímedes), de tal forma que el peso que aplica sobre la partícula solo el suelo, es el Peso Efectivo: W´s=Ws-U

(2.4)

Dividiendo los pesos entre el área de la superficie de la partícula (A), obtenemos los esfuerzos verticales

σ´z= σz -µ

(2.5)

En donde nos queda que el Esfuerzo Total (σz) es igual al Esfuerzo Efectivo (σ´z) más el Esfuerzo Neutro o Presión Intersticial (µ).

σz=σ´z+µ

(2.6)

Esta ecuación es valida no solo para esfuerzos verticales sino en cualquier dirección, como lo enunció el Dr. Kart Terzaghi en El Principio del Esfuerzo Efectivo, que propone que en cualquier punto de una masa de suelo saturado, el esfuerzo total en cualquier dirección es igual a la suma algebraica del esfuerzo efectivo en esa dirección y la presión intersticial que es la misma en cualquier dirección.

Ejemplo Determinar los esfuerzos verticales en suelos estratificados, a las siguientes profundidades 0, 4 y 10 metros, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y espesores: Suelo 1: ARENA SECA Suelo 2: ARCILLA

3

∆z1=4 m ∆z2=6 m

γ1=1.7 t/m 3 γ2=1.9 t/m

El Nivel del Aguas Freáticas NAF se encuentra a 4 metros y γ2 es el peso específico saturado de la arcilla. Las cotas están en metros-

Esfuerzos verticales:

´

²

²

²

²

²

Profundid ad Z=0 m. Z=4 m. Z=10 m

Esfuerzo neutro µ

Esfuerzo efectivo σ´z 0 (1.7*4.00)=6.80 2 t/m 6.80+(1.9-1.0) (6.00) 2 =12.20 t/m

0 0 (1.0*6.00)=6.00 2 t/m

Esfuerzo total 0σz t/m 6.80 2 t/m t/m2 18.20

2.2. Ecuaciones de Boussinesq y Steinbrenner Boussinesq en 1883 propuso una solución al problema de determinar los esfuerzos en una partícula de suelo producto de cargas en la superficie, proponiendo un modelo que considera un medio homogéneo, elástico, isótropo y semi-infinito. El incremento de esfuerzo vertical producto de una carga puntual esta dado por la ecuación:

 z

3

3

3P z 3P z  2 R 5 2 r 2  z 2 52

(2.7)

Fig. 2.3 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga puntual

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

r 1.02 1.42  325  21.72 2 1.72  z 2 5 2  z m z3

Diagrama de esfuerzos (Bulbo de presiones)

²

Profundid ad z=0m z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

Incremento de esfuerzo 2 ∆σz=0.00 t/m 2 ∆σz=0.38 t/m2 ∆σz=0.75 t/m2 ∆σz=0.65 t/m2 ∆σz=0.49 t/m2 ∆σz=0.36 t/m2 ∆σz=0.27 t/m2 ∆σz=0.21 t/m2 ∆σz=0.17 t/m2 ∆σz=0.13 t/m2 ∆σz=0.11 t/m

Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga lineal de longitud finita esta dado por la ecuación:

p

3  z  2 (x 2yz  z 2 )x 2  y 21 z



2



1 2

 x y



z

2



2

2 2



 2

(2.8)

x z 

Fig. 2.4 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga lineal Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de p=20 t/m. con x=1.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

20 1 4z  z  3 2 (12  z 2 )12  42  z Profundid ad z=0m z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

 2

1 2

2

2



2 2

2



 1 4 z 1 z  Incremento de esfuerzo 2 ∆σz=0.00 t/m 2 ∆σz= 1.58 t/m2 ∆σz=1.99 t/m2 ∆σz=1.61 t/m2 ∆σz=1.23 t/m 2 ∆σz=0.95 t/m2 ∆σz=0.75 t/m2 ∆σz=0.59 t/m2 ∆σz=0.48 t/m2 ∆σz=0.40 t/m2 ∆σz=0.33 t/m

Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga bajo la esquina de un área flexible rectangular cargada, esta dado por la ecuación:

w   z



22

2

 x2  y 2  z 2 

x y z

2xyz  4   z

2

x

2

2

y z

2

 x

2

y



2 

2

2

2

2



2 2 2 x  y z 

2xy z   tan

x y z 



1

z

2

x

2

2

2

y z

 x

2

y 

(2.9)

2



Fig. 2.5 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga rectangular uniformemente distribuida Steinbrenner. En este mismo caso existe el método de Steinbrenner, que presenta un mejor modelo del incremento de esfuerzos en el suelo a cualquier profundidad, con la siguiente ecuación (homologando la nomenclatura con el método anterior): 2 2 Q   1  y x x  y   2xzR  z       tan  z 2 2 2 2    z x  y R  z   z R  z 

x R  z 2

 yz 2

y z

2

x

2

z

2

2

 



R 

(2.10)



 Donde:

R x2  y Ejemplo

2

z

2

(2.11)

Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular 2 de w=20 t/m , con x=2.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

20  

R 22  42  z

  z

2

 4 22 2  4 2   2(2)z R  z 

1   tan 

 z 2  4

2  

2

2

R  z   zR  z 

4z  2

2R  z 2

 2

4 z 2

2

2

 



2

z

2

R  



Profundid ad z=0.01m z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

Incremento de esfuerzo 2 ∆σz= 5.00 t/m2 ∆σz= 4.78 t/m 2 ∆σz= 4.00 t/m2 ∆σz= 3.12 t/m 2 ∆σz= 2.40 t/m2 ∆σz= 1.86 t/m2 ∆σz= 1.46 t/m2 ∆σz= 1.17 t/m2 ∆σz= 0.95 t/m2 ∆σz= 0.78 t/m2 ∆σz= 0.65 t/m

2.3 Solución gráfica de Newmark y gráficas de Fadum Newmark, Desarrolla en 1942 un método gráfico que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de la ecuación:

   z  1    w





 1  2   r   1     z  

3 2

(2.12)

Fig. 2.6 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga circular uniformemente distribuida Considerando una profundidad unitaria z, y determinando los radios de los círculos para incrementos de esfuerzos a cada 10%.

 z w 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

r 0.269752 0.400496 0.518106 0.636962 0.766421 0.917614 1.1097 1.38709 1.90829 ∞

Tabla 2.1 Radios de la carta de Newmark, en función del porcentaje de esfuerzo

Con lo que se puede elaborar una carta de acuerdo a Newmark, dibujando circunferencias concéntricas y dividiéndolas en sectores más pequeños (en este caso a través de familias de rectas que pasan por el centro de las circunferencias), llamándole al porcentaje que representan cada uno de los sectores: valor de influencia.

Fig. 2.7 Carta de Newmark

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga 2 rectangular de w=20 t/m ., con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m.

Ni vel 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9 10 º

Sectore s 5 5 5 5 5 5 4.5 2.9 2.2 0.2

Valor de 0.00 5 0.00 5 0.00 5 0.00 5 0.00 5 0.00 5 0.00 5 0.00 5 0.00 5 0.00 5 Σ=

Influencia por nivel 0.025 0.025 0.025 0.025 0.025 0.025 0.0225 0.0145 0.011 0.001 0.199

El incremento de esfuerzo vertical es:

 z  (20)(0.199) 

z

2 3.98t / m

Fadum, Desarrolla en 1941 un método gráfico (semi logarítmico) que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussineq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de las ecuaciones presentadas en forma adimensional introduciendo los parámetros

m

x z

y

n

(2.13)

z

Expresándose la formula para una carga lineal:



z  1 n     p   2(m2 1)  m2  n2  1    z

 1 22 2 1 m 1  mn     2

(2.14)

Abreviando

 z  



z  p  o  p



z

p z po

(2.15)

Expresándose la formula para una carga rectangular:

  z

21m 

w n

4 

 n 

m

2

m2  n2  1 

 1  m n

2

2

Abreviando

2

 m  n  2  2m1  tan 2 n m2  n2  1  22  2   2 2 2 2 m   1   m n    m  1 n n    z  wo  w

  z wo w

(2.16)

(2.17)

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga 2 rectangular de w=20 t/m . con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m.

m Según gráficas

2 2

1

n

4 2

 2

0.2

0.15 wo(m n) 0.1

0.05

0 0.01

0.1

1

10

n

Gáfica tipo Fadum para m=1

Wo=0.20

Como se puede observar el incremento de esfuerzo vertical, es el siguiente:

 z  (0.20)  (20)  4.0 

z

2 4.00t / m

2.4 Incrementos de esfuerzo vertical bajo diferentes condiciones de carga 2.4.1 Carga lineal de longitud infinita, esta dado por la ecuación:  z  )

2

2 pz

3

 (x  z 2

(2.18) 2

Fig. 2.8 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga lineal de longitud infinita

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de p=20 t/m. con x=1.0m y a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

 z 

2(20)z

3

 (12  z 2 )2

Profundid ad z=0m z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

Incremento de esfuerzo 2 ∆σz=0.00 t/m 2 ∆σz= 3.18 t/m2 ∆σz=4.07 t/m2 ∆σz=3.43 t/m2 ∆σz=2.82 t/m 2 ∆σz=2.35 t/m2 ∆σz=2.00 t/m2 ∆σz=1.75 t/m2 ∆σz=1.54 t/m 2 ∆σz=1.38 t/m2 ∆σz=1.24 t/m

2.4.2 Carga de franja de ancho finito (B) y longitud infinita  z  q   sen cos  2

(2.19)





Fig. 2.9 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga de franja de ancho finito y longitud infinita Donde

x B 1 2   tan z

y



  tan

x

1

B 2 

z

(2.20)

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga de franja de 2 carga q=10 t/m , con un ancho B=2.0 m, a una distancia x=3.0m y a la profundidades de 1 a 10m a cada metro.

  z

3

2

10





  sen cos  2

3   tan

2

1

z

2 y

  tan

1

z

2

Profundid ad z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

Incremento de esfuerzo 2 ∆σz= 0.17 t/m2 ∆σz=0.70 t/m2 ∆σz=1.14 t/m2 ∆σz=1.34 t/m2 ∆σz=1.39 t/m2 ∆σz=1.36 t/m2 ∆σz=1.30 t/m2 ∆σz=1.22 t/m2 ∆σz=1.14 t/m2 ∆σz=1.07 t/m

2.5 Otras teorías:

2.5.1 Método 2:1 Es un método aproximado para calcular el incremento promedio del esfuerzo vertical a una profundidad z debajo de una cimentación de dimensiones B por L. Este método propone que los esfuerzos disminuyen en la masa del suelo de acuerdo a que con la profundidad la carga se reparte en una mayor área, formándose una pirámide truncada de pendiente 2:1, por lo que la formula quedaría de la siguiente forma:

Fig. 2.10 Incremento de esfuerzo vertical en el suelo de acuerdo al criterio del método 2:1

 z

w(BL)  (B  z)(L  z)

(2.21)

Este método proporciona valores preliminares, tomando en cuenta que considera el mismo incremento de esfuerzo a la misma profundidad de cualquier punto, siempre y cuando se encuentre dentro de la pirámide, y fuera de esta no indica incrementos. Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular 2 de w=20 t/m . con B=2.0m y L=4.0m, a una profundidad de 2m.

 z

20(2)(4)  (2  2)(4  2) 

z

2 6.67t / m

2.5.2 Westergaard Westergaar publicó en 1938 una fórmula que se considera se ajusta mas a las condiciones elásticas de suelos estratificados. Supone que el suelo es una masa homogénea, elástica y reforzada por laminas horizontales, proponiendo la siguiente formula para determinar el incremento de esfuerzo vertical producido por una carga concentrada, aplicada en la superficie del suelo

 z

(2.22)

P



3

2  2  2 z  1  r    



 z 

Considerando el mismo criterio de aplicación de la carga y el incremento de esfuerzo que se toma con Boussinesq.

Fig. 2.11 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga puntual

Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

1.42  1.72m r 1.0  2

 z 

25 3

22  z 2  11   .72   z    

Profundid ad z=1m z=2m z=3m z=4m z=5m z=6m z=7m z=8m z=9m z=10m

Incremento de esfuerzo 2 ∆σz=1.01 t/m2 ∆σz=0.87 t/m2 ∆σz=0.58 t/m2 ∆σz=0.39 t/m2 ∆σz=0.26 t/m2 ∆σz=0.20 t/m2 ∆σz=0.15 t/m2 ∆σz=0.12 t/m2 ∆σz=0.09 t/m2 ∆σz=0.08 t/m

2.5.3 Burmister Burmister estudió la distribución de esfuerzos en un sistema formado por dos capas, homogéneas, isótropas y elásticas, la primera capa horizontal y de espesor h, la segunda subyacente y semiinfinita. Se considera una frontera plana entre las dos capas, de contacto continuo y rugoso. Los estudios están enfocados al diseño de pavimentos en los cuales el módulo de elasticidad de la capa superior (E1) es mayor que el de la capa subyacente (E2), considerándose que si E1=E2, E1/E2=1, el incremento de esfuerzo vertical corresponde al calculado con las formulas de Boussinesq. Considerando una carga p aplicada en la superficie, circular y uniformemente distribuida. El incremento de esfuerzo vertical en el centro a la profundidad z, la cual es igual al r (el radio) e igual a h (espesor de la primera capa) y µ=0.5 (relación de Poisson), según Burmister, tenemos.

Fig. 2.12 Incremento de esfuerzo vertical en un suelo estratificado de acuerdo al criterio de Burmister

E1/E2 1 2 5 10 20 100

∆ σ 70z % 55 % 40 % 30 % 22 % 10 % Tabla 2.2 Porcentaje de incremento de esfuerzo vertical, en función de la relación de módulos de elasticidad

2.5.4 Fröhlich Fröhlich en 1942 investiga la distribución de esfuerzos en la masa de suelo semi infinita elástica pero no isotrópica, proponiendo para calcular el incremento de una carga concentrada en la superficie la expresión:

Fig. 2.13 Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga puntual de acuerdo al criterio de Fröhlich

 z

 2 P  2z cos  2

(2.23)

En donde χ es el factor de distribución de esfuerzos de Fröhlich,

Características χ Incremento de esfuerzo vertical 1.5aproximadamente igual a la solución de Westergaard para un Incremento de esfuerzo vertical en un estrato semi infinito intermedio entre un suelo isotróp Incremento de esfuerzo vertical igual a la solución de Boussinesq para una masa de Incremento de esfuerzo vertical equivalente 2a la solución de Frölich para una masa de suelo semi infinita y un 3 4

Tabla 2.3 Valores del factor de distribución de esfuerzos

B´ B  2e

(4.31)

Con la formula anterior se considera que en ancho de 2e no contribuye a la capacidad de la carga. Si la cimentación es cuadrada o rectangular y se tiene doble excentricidad, la anterior fórmula se aplica en los dos sentidos. Por lo anterior para considerar los diferentes efectos aquí descritos la formula de capacidad de carga se puede escribir:

qu 

1 Q B´N d i  cN c d c i c   q D f B´L´  N q d q i q 2

(4.32)

24