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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

MECANICA DE SUELOS TEMA : Esfuerzos en masas de suelos debido a superficies cargadas

DOCENTE INTEGRANTES

: Ing. Stephen Ordoñes Vargas :

 Kety Vania Sierra Chacón  Jubert Yeison Coñas Vera

31/10/2015

ABANCAY_2015

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INDICE DEDICATORIA…………………………………..………………………………….…3 INTRODUCCION…………………………………..………………………………….4 RESUMEN….…………………………………………………………………………..5 1. ESFUERZO DE MASAS DE SUELO DEBIDO A SUPERFICIES CARGADAS……...6 1.1 Ecuacion de Boussinesq…………………………………………………………….9 1.1.1 Definición de Boussinesq………………………………………………………9 1.1.1.1 Semi Espacio Infinitamente Grande…………………………………….10 1.1.1.2 Material Homogéneo……………………………………………………...10 1.1.1.3 Material Isotrópico…………………………………………………………10 1.1.1.4 Material con Propiedades Lineales Elásticas de Esfuerzo-Deformación. ……………………………………………………………………..11 1.2 Esfuerzo vertical causado por una carga puntual……………………………….11 1.3 Distribucion de esfuerzos con carga lineal de longitud finita…………………..12 1.4 Distribucion de esfuerzos bajo una superficie rectangular uniformemente cargada…………………………………………………………………………………..15

2. Cartas de influencia ………………………………………………………………17 2.1. Carta de newmark……………………………………………………………17 2.2 Carta de westergaard……………………………………………………….22 3. Aplicación de teoría de ruptura de suelos ……………………………………..24 3.1 Modos de rotura. Resistencia al corte ……………………………………..24 3.1.1 Concepto de rotura……………………………………………………...24 3.2 Concepto de coeficiente de seguridad…………………………………….25 3.2.1. Teoria de la máxima tensión principal…………………………….....26 3.2.2 Teoria de la máxima deformación especifica principal……………...27 3.2.3 Hipótesis de la máxima tensión tangencial…………………………..28 3.2.4. Teoria de la energia total de deformación por unidad de volumen.29

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3.2.5. Teoría del máximo trabajo de distorsión por unidad de volumen ..30 3.2.6.Teoria de la máxima tensión tangencial octaédrica………………....30 3.2.7. Teoria de morh………………………………………………………….31 3.2.8. comparación entre teorías ……………………………………………33 3.2.9. comparación analítica………………………………………………….35 3.2.10 Comparación grafica…………………………………………………..36 3.3 Aplicación de la teoría de morh……………………………………………..37 CONCLUSION………………………………………………………………………..38 BIBLIOGRAFIA ………………………………………………………………………39

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DEDICATORIA Dedicamos este trabajo, de manera muy especial a nuestro docente El Ingeniero Stephen Ordoñez Vargas.  A nuestros padres.  A todas las personas que fueron fundamentales para la realización de este trabajo.

A todos ellos: MUCHAS GRACIAS.

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INTRODUCCION El problema de importancia fundamental en mecánica de suelos, de la distribución de los esfuerzos aplicados en la superficie de una masa de suelo a todos los puntos de esa masa. En realidad puede decirse que tal problema no ha sido satisfactoriamente resuelto en suelos. Las soluciones actualmente se aplican, basadas en la teoría de la elasticidad. Sin embargo, hasta hoy, la mecánica de suelos no ha sido capaz de desarrollar sus propias soluciones más adaptadas a sus realidades, por lo cual resulta imprescindible recurrir aun a las teorías elásticas. Los resultados que se obtengan en las aplicaciones prácticas deberán siempre de verse con el debido criterio y, no pocas veces, ajustarse con la experiencia. El hecho real concreto es, empero, que de la aplicación de las teorías en uso, el ingeniero civil actual logra, en la inmensa mayoría de los casos prácticos una estimación suficientemente aproximada de los fenómenos reales en que está interesado, de manera que le es posible trabajar sus proyectos y materiales con factores de seguridad, por ejemplo, que no desmerecen nunca y frecuentemente aventajan a los empleados en otras ramas de la ingeniería. En este capítulo se presentan las soluciones para que se utilizan actualmente para determinar los esfuerzos dentro de la masa, según sea la geometría de las cargas aplicadas. Una cimentación tiene el trabajo de transferir la carga de la estructura al suelo cuando este sucede la presión o el esfuerzo que la función estrega al terreno se distribuye en el medio considerado (el suelo) y a su vez se disipa.

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RESUMEN El cálculo de asentamientos inmediatos, así como los que ocurren a largo plazo, requieren conocer los esfuerzos que una sobrecarga impuesta el suelo induce dentro de la masa de suelo. Por lo anterior, en este trabajo se presentan las soluciones que se utilizan actualmente para determinar los esfuerzos dentro de la masa de suelo, según sea la geometría de las cargas aplicadas. Para ligar los esfuerzos con las deformaciones fue necesario involucrar las propiedades del material, lo cual como una primera aproximación al comportamiento real de los materiales, dicha liga se hizo mediante la teoría de los materiales elásticos lineales homogéneos e isótropos. En este trabajo se establecen criterios de ruptura, algunos aplicables a materiales dúctiles y otros a frágiles. Si bien la temperatura es una variable que influye de manera notable en el comportamiento de los materiales, ésta no se toma en cuenta en ninguno de los criterios de falla y ruptura que se expondrán más adelante.

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1. ESFUERZO DE MASAS DE SUELO DEBIDO A SUPERFICIES CARGADAS. Los esfuerzos dentro de un suelo se producen por el peso propio del mismo o por cargas que se encuentren sobre éste. Con la finalidad de establecer un orden en este capítulo, empezaremos por analizar los esfuerzos verticales que se generan en la masa de suelo por el peso propio de los materiales. En un suelo seco (sin N. A. F.), el esfuerzo vertical a una profundidad z puede calcularse considerando el peso del suelo que se encuentra encima de la partícula que se esté analizando. Así, considerando un suelo homogéneo con un peso específico γ constante, tendrá un esfuerzo vertical:

Si el suelo es estratificado y el peso específico de cada estrato es diferente, los esfuerzos verticales, serán la suma del peso de los diferentes estratos:

Ejemplo: Determinar el esfuerzo vertical en una partícula de suelo ubicada a 8 metros de profundidad en suelos estratificados, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y espesores:

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En una masa de suelo existen esfuerzos que se generan por contacto de sus partículas y cuando el nivel de aguas freáticas es alto, existen esfuerzos dentro del agua que se encuentra en sus intersticios. Por lo que es importante analizar estos esfuerzos. Si se tiene un suelo con el nivel de aguas freáticas en la superficie y a una profundidad z una partícula de suelo (para fines didácticos imaginemos un cubo de dimensiones diferenciales), la cara superior paralela a la superficie del suelo estará sometida a un peso W producto de la columna que se encuentra encima de ésta.

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Partícula de suelo a una profundidad z. W=Ws+Ww El suelo debajo del nivel freático se encuentra sometido a un empuje U (Principio de Arquímedes), de tal forma que el peso que aplica sobre la partícula solo el suelo, es el Peso Efectivo.

Ejemplo Determinar los esfuerzos verticales en suelos estratificados, a las siguientes profundidades 0, 4 y 10 metros, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y es pesores:

El Nivel del Aguas Freáticas NAF se encuentra a 4 metros y (γ2) es el peso específico saturado de la arcilla.

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1.1 ECUACION DE BOUSSINESQ. 1.1.1 Definición de Boussinesq. El Francés Joseph Boussinesq en 1883 propuso una solución al problema de determinar los esfuerzos en una partícula de suelo producto de cargas en la superficie, proponiendo un modelo que considera un medio homogéneo, elástico, isótropo y semiinfinito. La solución de Boussinesq determina el incremento de esfuerzos como resultado de la aplicación de una carga puntual sobre la superficie de un semi-espacio infinitamente grande; considerando que el punto en el que se desea hallar los esfuerzos se encuentra en un medio homogéneo, elástico e isotrópico. A continuación se detalla el significado de las hipótesis realizadas por Boussinesq. Estas definiciones son realizadas para el contexto específico de incremento de esfuerzos.

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1.1.1.1 Semi Espacio Infinitamente Grande. Significa que la masa de suelo está limitada en uno de sus lados mientras que se extiende infinitamente en las otras direcciones. Para el caso de suelos, la superficie horizontal es el lado limitante. En síntesis, Según este modelo se analiza la distribución de esfuerzos, considerando que el suelo es un espacio semi-infinito, homogéneo, linealmente elástico e isotrópico. Isotrópico: propiedad de los cuerpos que al ejercer compresión los mismos reaccionan igual internamente en todas direcciones. Una masa semi-infinita es la que está limitada por una superficie horizontal y se Extiende al infinito verticalmente hacia abajo, y horizontalmente en todas las Direcciones.

1.1.1.2 Material Homogéneo. Un material se considera homogéneo cuando presenta las mismas propiedades a lo largo de todos sus ejes o direcciones. Cuando se trabaja con suelos, esta hipótesis se refiere solamente a que el módulo de elasticidad, módulo cortante y el coeficiente de Poisson deben ser constantes; lo que implica la no existencia de lugares duros y lugares blandos que afecten considerablemente la distribución de esfuerzos. Sin embargo, es posible admitir la variación del peso unitario de un lugar a otro. Debido a que el suelo no es un material completamente homogéneo, el tomar en cuenta esta hipótesis introduce siempre algún porcentaje de error. 1.1.1.3 Material Isotrópico. Significa que tanto el módulo de elasticidad, módulo cortante y el coeficiente de Poisson son los mismos en todas las direcciones. La mayoría

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de los suelos cumplen con este criterio, pero existen materiales, tales como los lechos rocosos sedimentarios que no lo cumplen. 1.1.1.4 Material con Propiedades Lineales Elásticas de Esfuerzo-Deformación. Significa que a cada incremento de esfuerzos está asociado un incremento correspondiente de deformación. Esta hipótesis implica que la curva esfuerzodeformación es una línea recta que no ha alcanzado el punto de fluencia. 1.2 Esfuerzo vertical causado por una carga puntual La solución original de Boussinesq (1885) para la determinación del incremento de esfuerzos El incremento de esfuerzo vertical producto de una carga puntual está dado por la ecuación:

Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga puntual. Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x =1.0m y (y =1.4m), a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.

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1.3 Distribucion de esfuerzos con carga lineal de longitud finita

La carga única concentrada cuyo efecto se ha analizado en base a la fórmula de Boussinesq, no es el único caso práctico: por ejemplo, a continuación se menciona el caso de una carga lineal de longitud finita. En la siguiente figura se

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ilustra una carga lineal, uniformemente distribuida a lo largo de Y, de p unidades de carga por la unidad de longitud. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga lineal de longitud finita está dado por la ecuación:

Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga lineal.

El valor de Po ha sido tabulado por Fadum para diferentes valores de m y n, en las gráficas que a continuación se presentan .Para encontrar el valor de un esfuerzo x, y En cualquier punto A debido a una carga lineal de longitud finita, utilizando la gráfica, basta medir las distancias x e y, tal como se definen en la figura que dio origen a esta serie de disertaciones, y dividir estas distancias, y dividir estas distancias entre la profundidad z para obtener los valores de m y n respectivamente. Con estos, la gráfica proporciona el valor de influencia Po, y el esfuerzo x, y se encuentra mediante la última formula mencionada.

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Gráfico de Fadum para la influencia de la carga lineal.

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1.4 Distribucion de esfuerzos bajo una superficie rectangular uniformemente cargada Otro caso que se presenta frecuentemente en la práctica es el que sucede cuando se tiene una carga uniforme sobre una carga rectangular, con W unidades de carga por unidad de área, tal como se muestra en la siguiente figura, en donde se pretende calcular el esfuerzo ∂ z, bajo una superficie cargada y una profundidad de z Boussinesq incremento de esfuerzo vertical producto de una carga bajo la esquina de un área flexible rectangular cargada, está dado por la ecuación:

Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga rectangular uniformemente distribuida. Consideremos un elemento diferencial de área.

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Procediendo de manera análoga al caso de carga lineal de longitud finita, pero en este caso aplicándose una integral doble, se obtiene

Si a la parte encerrada en corchetes, del segundo miembro de la ecuación, se le denomina Wo, su valor puede tabularse en función de diferentes valores de m y n, es decir

Se puede encontrar el valor de un esfuerzo ∂o, en un punto A bajo una esquina de una carga rectangular uniformemente cargada, con solo medir distancias Xo, Yo la profundidad z, calcular los valores m y n, referidos a las gráficas que Fadum elaboro para este caso, encontrar el valor de Wo y aplicar la ecuación.

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2. CARTAS DE INFLUENCIA 2.1. Carta de newmark Newmark desarrollo en 1942 un método grafico sencillo que permite obtener rápidamente los esfuerzos verticales transmitidos a un medio seminfinito, homogéneo, isotrópico y elástico por cualquier condición de carga uniformemente repartida sobre la superficie del medio. Esta carta es especialmente útil cuando se tienen varias areas cargadas, aplicando cada una de ellas, diferentes presiones a la superficie del medio. El método se basa en la ecuación correspondiente al esfuerzo vertical bajo el centro de un área circular uniformemente cargada. Esta ecuación puede escribirse:

Ecuacion (1)

Si en esta ecuación se da a el valor 0.1 se encuentra que resulta ser 0.27; es decir, que si se tiene un círculo cargado de radio r=0.27z, donde z es la profundidad de n punto A bajo el centro del circulo, el esfuerzo en dicho punto A será:

Si este circulo de r=0,27 z se divide en un numero de segmentos iguales (figura 2.1), cada uno de ellos contribuirá al esfuerzo total en la misma porporcion. Si el numero es 20 como es usual en las cartas de newmark, cada segmento cooperara para el esfuerzo con . el valor de 0.005 es el valor de influencia correspondiente a cada uno de de los segmentos circulares considerados. Si ahora se toma , es decir, para el mismo punto A a la profundidad z, se requiere ahora un circulo cargado de r=0,40z, para que el esfuerzo , sea igual a 0.2w

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Figura 2.1 Génesis de la carta de newmark

Concéntrico con el anterior puede dibujarse otro circulo (figuran 2.1) con dicho r=0.40z.Como el primer círculo producía en A un , se sigue que la corona circular ahora agregada produce otro (de modo que el nuevo circulo total genera ). Así, si los radios que dividían el primer círculo se prolongan hasta el segundo, se tendrá la corona subdividida en areas cuya influencia es la misma que la de los segmentos originales. (0.005w). De esta manera puede seguirse dando a valores de 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 obteniendo asi los radios de círculos concéntricos en función de la z del punto A, que den los esfuerzos 0.3w, 0.4w, etc, en el punto A. prolongando los radios vectores ya usados se tendrá a las nuevas coronas circulares añadidas subdivididas en areas cuya influencia es igualmente de a 0.005w sobre el esfuerzo en A. Para resulta que el radio del circulo correspondiente es ya infinito, para cualquier z diferente de cero, por lo que las areas que se generan por prolongación de los radios vectores fuera del circulo en que 0.9, aun siendo infinitas, tienen la misma influencia sobre A que las restantes dibujadas. Para encontrar el valor de en puntos con diferentes profundidades que el A puede procederse en forma similar, construyendo otras cartas de newmark, con base en otros valores de z. Debe notarse sin embargo, que el valor de depende solo del valor de la relación r/z, por lo que una sola carta de newmark puede usarse para determinar los a distintas profundidades, a lo largo de la vertical por el centro de los círculos concéntricos, con tal de considerar que la z usada para la construcción de la carta representa las distintas profundidades a que se desea calcular los esfuerzos, si bien a diferentes escalas.

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Puesto de otra forma, en la práctica se puede hacer funcionar la carta de newmark de dos maneras distintas. a) Usando varias cartas de newmark. Por ejemplo, si las z usadas para la construcción de las cartas son de 1cm, 2cm, 5cm, 10cm y 20cm y se tiene un área cargada, cuya influencia se desea determinar, representada a escala 100, las cartas proporcionarían los , producidos por tal área a profundidades de 1m, 2m, 5m, 10m y 20 m, que son las z utilizadas a escala 100. b) Usando una sola carta de newmark, para lo cual será preciso disponer de varias plantillas del área cargada cuya influencia se estudia, dibujadas a escalas diferentes. Así, por ejemplo, si la carta de que se dispone fue construida con base en una z de 10 cm, y se desea conocer el que se produce a las profundidades de 2 m, 5 m, 10 m y 20 m, deberán construirse las plantillas a escalas tales que esas profundidades queden representadas por la z=10cm; es decir; a escalas: 20, 50, 100 y 200. La plantilla del área cargada, dibujada en papel transparente, se coloca en tal forma que le centro de la carta coincida con el punto bajo el cual quieran calcularse los . A continuación se contaran los elementos de área de la carta cubiertos por dicha área cargada aproximadamente convenientemente las fracciones de elemento. El numero así obtenido, multiplicado por el valor de influencia común de los elementos (en el desarrollo anterior 0,005) da el valor de influencia total, que multiplicado por la w que se tenga da el deseado. Posiblemente la máxima utilidad del método de newmark aparezca cuando se tiene una zona con diversas areas cargadas uniformemente, pero con cargas de distintas intensidades, pues en este caso los métodos antes vistos requerirían muchos cálculos, mientras que la carta de newmark funciona sin mayor dificultad.

Figura 2.2 incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga circular uniformemente distribuida

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Considerando una profundidad unitaria z, y determinando los radios de los círculos para incrementos de esfuerzos a cada 10%.

Tabla (1) de radios de la carta de newmark, en función del porcentaje de esfuerzo

Con lo que se puede elaborar una carta de acuerdo a newmark, dibujando circunferencias concéntricas y dividiéndolas en sectores más pequeños ( en este caso a través de familias de rectas que pasan por el centro de las circunferencias), llamándole al porcentaje que representan cada uno de los sectores, valor de influencia.

Figura 2.3 carta de newmark

Ejemplo: Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado de una carga rectangular de w=20t/mᶺ2, con x=2.0 y ᵧ =4.0m, a una profundidad de 2m.

20

= (20)(0.199)

El incremento de esfuerzo vertical bajo cualquier tipo de superficie flexible cargada es fácilmente determinado con el uso de la carta de influencia de Newmark (1942). En principio, la carta se basa en la ecuación para la estimación del incremento de esfuerzo vertical bajo el centro de una superficie circular cargada. De acuerdo con la ecuación (1). La ecuación anterior puede reescribirse:

Ecuación (2)

Ahora sustituimos varios valores de Δp/q0 en la ecuación (2) para obtener los valores correspondientes de R/z. La tabla (1) muestra los valores calculados de R/z para Δp/q0 = 0, 0.1, 0.2,. . ., 1. Usando los valores adimensionales de R/z mostrados en la tabla (1), dibujemos círculos concéntricos que tienen radios iguales a R/z, como muestra la figura 2.3. Note que la distancia AB en la figura 2.3 es unitaria. El 21

primer círculo es un punto con radio nulo. Similarmente, el segundo círculo tiene un radio de 0.2698 (AB). El último tiene un radio infinito. Esos círculos fueron divididos por líneas radiales igualmente espaciadas, produciéndose lo que se llama carta de Newmark. El valor de influencia, IV, de esta carta es

Ecuación (3)

Para la carta mostrada en la figura 2.1 ,1V 1/200 = 0.005. A continuación se da un procedimiento paso a paso para usar la carta de Newmark determinar el esfuerzo vertical bajo una superficie cargada de cualquier forma: 1. Identifique la profundidad z bajo la superficie cargada donde va a determinarse el esfuerzo. 2. Adopte una escala z = AB (es decir longitud unitaria de acuerdo con la carta de Newmark). 3. Dibuje la planta de la superficie cargada con base en la escala adoptada en el paso 2. 4. Coloque la planta dibujada en el paso 3 sobre la carta de Newmark de manera que el punto bajo el cual el esfuerzo va a ser determinado, quede directamente arriba del centro de la carta. 5. Cuente el número de elementos de la carta que caen dentro de la planta. Sean éstos igual a N. 6. Calcule el incremento de esfuerzo como

Ecuación (4)

Donde q0 = carga por área unitaria sobre la superficie cargada. 2.2 Carta de westergaard Westergaard público en 1938 una fórmula que se considera que se ajusta mas a las condiciones elásticas de suelos estratificados. Supone que el suelo es una masa homogénea, elástica y reforzada por laminas horizontales, proponiendo la siguiente fórmula para determinar el incremento de esfuerzo vertical producido por una carga concentrada, aplicada en la superficie del suelo.

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Ecuación (4)

Considerando el mismo criterio de aplicación de la carga y el incremento de esfuerzos que se toma con boussinesq.

Figura 2.4 incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga de franja de ancho finito y longitud infinita

Ejemplo: Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual p=25t, con x=1.0m, y ᵧ=1.4m, a la profundidad de 0 a 10m a cada metro.

3. APLICACIÓN DE TEORIA DE RUPTURA DE SUELOS 23

3.1 Modos de rotura. Resistencia al corte La resistencia a tracción de los suelos es prácticamente nula. Solamente en los casos especiales de suelos cementados (que constituyen un caso de transición hacia el comportamiento de las rocas) y, en menor medida, en suelos parcialmente saturados (con uniones entre partículas por meniscos capilares), tienen relevancia práctica los estados de tracción. Estos dos casos (rocas y suelos parcialmente saturados) se estudian por separado en capítulos posteriores. Por ello, el interés se centra en la rotura o deformación por deslizamiento relativo o rodadura entre partículas, que macroscópicamente se traduce en deformaciones de corte. Las teorías con que se pretende justificar la rotura de los cuerpos se basan en distintos conceptos, éstos pueden agruparse en: • Teorías basadas en tensiones. • Teorías basadas en deformaciones específicas. • Teorías basadas en tensiones tangenciales. • Teorías cuyos fundamento es la energía de deformación. • Teorías empíricas varias. • Teorías que se apoyan en la estructura de la materia. No existe una única teoría que justifique cómo y por qué rompen todos los materiales; en rigor, para cada material existe una teoría de rotura propia. No obstante, siempre refiriéndose a materiales isótropos, pueden agruparse en dos grupos: materiales dúctiles y materiales frágiles. 3.1.1 Concepto de rotura Si consideramos para un material dado la curva tensióndeformación, algunos autores consideran que se ha alcanzado la rotura cuando se ha llegado a: • El límite de proporcionalidad, • El límite de elasticidad, • El límite de fluencia, • El límite convencional de fluencia, • El límite de rotura. Creemos como más correcto decir que un material ha alcanzado la rotura cuando llega a un límite de solicitación tal que las tensiones alcanzan un valor para el cual el material ya no es más utilizable para el fin que se lo destina. En el caso de un material dúctil, la rotura corresponde al límite de fluencia, ya que a partir de este punto comienzan las grandes deformaciones sin aumento de la solicitación (el material fluye). En 24

cambio, para un material frágil prácticamente puede considerarse que la rotura coincide con la rotura física. Englobando ambos conceptos, diremos que un material ha alcanzado el estado de rotura cuando se produce lo que denominamos la rotura estructural, es decir, la estructura del material ya no cumple las condiciones para las que fue proyectado. 3.2 Concepto de coeficiente de seguridad Dimensionar una pieza o una estructura significa determinar las dimensiones transversales y longitudinales necesarias para que la pieza o estructura resista las condiciones tensiónales a las que se la va a someter. Ya que la pieza va a ser sometida a un estado tensional cualquiera, y para cada material existen valores máximos de tensiones (fluencia o rotura, determinadas en laboratorio por medio de probetas), que al sobrepasarlos se expone a la pieza a una deformación o rotura tal que no cumpla las condiciones para las que fue construida. Estas dos tensiones, la de trabajo y la de fluencia o rotura, se relacionan mediante un coeficiente de seguridad. En cuanto más se aproxime la tensión de trabajo a la de fluencia o rotura (depende si el material es dúctil o frágil) es mayor el riesgo que la pieza corre de romperse, o deformarse lo suficiente como para no cumplir el fin con el que se la construyó. Este coeficiente considera dos factores; uno de ignorancia y el otro de incertidumbre. El primero es debido a fallas o imperfecciones de nuestro conocimiento: falta de exactitud en los procedimientos de cálculo, conocimiento imperfecto de la respuesta de una estructura a un determinado tipo de solicitación, errores numéricos en el cálculo, etc. Este factor se ha reducido considerablemente en los últimos años debido a la aparición de las computadoras y elementos de medición más precisos. Mientras que el factor de incertidumbre se refiere a las variables imposible de determinar con precisión, tales como la evaluación de las cargas actuales, el conocimiento exacto de los materiales utilizados, etc. EJERCICIO: TEMA: Aplicación de las Teorías de Rotura, incluyendo la Teoría de la Máxima Tensión Tangencial Octaédrica o Teoría de Mohr. PROBLEMA: El estado tensional plano de la figura se produce en un punto crítico de una máquina. Como resultado de varios ensayos, se ha determinado que el límite de fluencia a tracción es σfl = 2.500 kg/cm² para el tipo de acero utilizado. 25

Se pide: Hallar el factor de seguridad con respecto a la fluencia usando y comparando todas las teorías de rotura.

σx = 800 kg/cm² σy = 400 kg/cm² σfl = 2.500 kg/cm²

SOLUCIÓN: A continuación se determinará el factor de seguridad de la pieza aplicando las principales teorías de rotura, éstas son: 1. TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN PRINCIPAL. 2. TEORÍA DE LA MÁXIMA DEFORMACIÓN ESPECÍFICA. 3. TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL. 4. TEORÍA DE LA ENERGÍA TOTAL DE DEFORMACIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN. 5. TEORÍA DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DISTORSIÓN. 6. TEORÍA DE LA TENSIÓN TANGENCIAL OCTAÉDRICA. 7. TEORÍA DE MOHR. 3.2.1. Teoria de la máxima tensión principal Esta teoría fue enunciada por Rankine - Lamé y su enunciado es el siguiente: La deformación anelástica de un punto cualquiera de un sólido solicitado por un estado cualquiera de tensión, comienza sólo cuando la máxima tensión principal en el punto considerado, alcanza un valor igual al de la tensión en el límite de fluencia (en tracción o compresión simples) con total prescindencia de las tensiones, normales o tangenciales, que puedan existir en otros planos.

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Es decir; la rotura se produce cuando la mayor de las tensiones principales alcanza un valor límite, que puede ser el de fluencia o rotura, obtenido en un ensayo de laboratorio. Esta teoría es satisfactoria para aceros frágiles pero no para aceros dúctiles ya que no tiene en cuenta el efecto de tensiones aplicadas en direcciones transversales a la que se estudia, ni tampoco tiene en cuenta el valor que puede alcanzar en los otros planos.

n= 3,125 3.2.2 Teoria de la máxima deformación especifica principal Fue enunciada por Saint - Venant y dice: La rotura de un cuerpo sujeto a un determinado estado de tensión ocurre cuando la deformación específica en la dirección de la máxima tensión principal alcanza el valor de la máxima deformación especifica que corresponde a la rotura por tracción simple. Es decir; la acción anelástica en un punto de un cuerpo donde existe un estado tensional cualquiera, comienza SOLAMENTE cuando la máxima deformación unitaria en dicho punto alcanza un valor igual al que existe al iniciarse la acción anelástica en el material sometido a un estado tensional simple, como ocurre en la probeta de ensayo a tracción. Primero debemos determinar el coeficiente de Poisson:

Donde: E = módulo de elasticidad longitudinal para el acero2. G = módulo de elasticidad transversal para el acero3.

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Tomaremos el coeficiente de seguridad menor, ya que es en este sentido en el que la pieza rompería primero. 3.2.3 Hipótesis de la máxima tensión tangencial Denominada teoría de Guest, Mohr o Coulomb y dice: La rotura de un material comienza cuando; en un punto cualquiera de un material sujeto a un estado múltiple de tensiones, la máxima tensión de corte alcanza el valor de la máxima tensión de corte producida en un ensayo de tracción simple. Esto nos dice que la rotura aparece cuando toma el valor de la máxima tensión tangencial que se produce en el límite de fluencia producido en el ensayo de tracción simple.

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Para determinar la tensión tangencial máxima que se produce según el estado tensional de la pieza recurrimos al círculo de Mohr:

Este valor fue tomado de la gráfica:

3.2.4. Teoria de la energia total de deformación por unidad de volumen Se denomina también Teoría de Beltrami y fue desarrollada por los científicos Haigh - Huber y dice: En un punto cualquiera de un sólido sujeto a un estado dado de tensión el comienzo de la plastificación ocurre cuando la energía total de deformación por unidad de volumen, correspondiente al estado de tensiones dado, es igual a la energía total de deformación unitaria que corresponde a la solicitación por tracción simple, para el límite de fluencia. Esta teoría se aplica a materiales dúctiles.

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3.2.5. Teoría del máximo trabajo de distorsión por unidad de volumen Surgió de los estudios de Huber, von Mises y Hencky. Esta teoría dice: En un cuerpo sujeto a un estado cualquiera de tensiones, el comienzo de fluencia en un punto del cuerpo se produce solamente cuando la energía de distorsión por unidad de volumen para dicho estado de tensión, alcanza el valor de la energía de distorsión absorbida por unidad de volumen en un punto cualquiera de la pieza solicitada hasta el límite elástico bajo un estado tensional simple producido por un ensayo de tracción (o compresión) simple.

3.2.6. Teoria de la máxima tensión tangencial octaédrica Esta es una forma distinta de interpretar la teoría del máximo trabajo de distorsión por unidad de volumen. A diferencia de ésta, que basa la rotura en función de la energía de distorsión, la teoría que nos ocupa lo hace por medio de las tensiones tangenciales octaédricas. La expresión de la tensión tangencial octaédrica es:

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3.2.7. Teoria de morh Mohr enuncia su teoría de la siguiente manera: “Los límites de fluencia y de rotura de un material quedan definidos por las tensiones que se desarrollan en los planos de deslizamiento y fractura”. Esta teoría es más general que las otras, ya que se puede aplicar en materiales dúctiles y frágiles, aunque responde mejor a los últimos.4 Supongamos que en el punto de la pieza del ejercicio donde se produce el estado tensional límite, tanto de fluencia como de rotura, y sean y las componentes de tensión en el plano en que se producen, inmediatamente antes de que éstas ocurran. Si permanece constante,es evidente que para sobrepasar el estado límite, es necesario aumentar . Teniendo esto último en cuenta, Mohr amplió su teoría: “La tensión tangencial en el plano de fractura o escurrimiento alcanza para el estado límite un valor máximo, que es función de la correspondiente tensión normal y las características del material”. La fractura o escurrimiento se produce para una serie de valores , si graficamos los círculos de Mohr de cada uno de estos valores obtendremos una familia de circunferencias; la envolvente de ésta se llama curva de resistencia intrínseca o envolvente de Mohr. La teoría de Mohr puede resumirse como sigue: Conocida la envolvente de Mohr para un material, un estado dado de tensiones será determinante de la fluencia o rotura si la correspondiente circunferencia de Mohr corta o es tangente a la primera. Si es interior a la envolvente de Mohr no existe peligro de colapso del material y el coeficiente de seguridad será tanto mayor cuanto más alejada de ésta se encuentre. La Teoría de Mohr puede ser aplicada tanto a materiales dúctiles como frágiles, comportándose mejor para estos últimos

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En el caso de un material dúctil, como el acero, donde:

de acuerdo con lo visto, la envolvente de Mohr resulta ser un par de rectas paralelas al eje de las .

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3.2.8. Comparación entre teorías La tabla muestra los resultados obtenidos para el ejercicio mediante las distintas teorías, en qué materiales se aplican dichas teorías y en qué basan su definición de rotura.

Para establecer cuál es el coeficiente de seguridad determinante para nuestro ejercicio necesitaríamos saber si el acero utilizado es del tipo frágil o dúctil. Suponiendo que es dúctil, como para la mayoría de los aceros, el coeficiente de seguridad decisivo para el punto crítico de la máquina, es el menor de los obtenidos con las teorías aplicables a materiales dúctiles; es decir 2,08. 3.2.9 Comparación analítica Como veremos más adelante, la relación entre y varían para cada teoría. Partiendo de la base de que el material tiene el mismo punto de fluencia a tracción y a compresión, las condiciones de fluencia que establecen las distintas teorías son: Teoría de máxima tensión principal

Teoría de la máxima deformación especifica

Hipótesis de la máxima tensión tangencial

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Teoría de la energía de Deformación

Teoría del máximo trabajo de distorsión La Teoría de la máxima tensión tangencial octaédrica conduce al mismo resultado que ésta última, por ese motivo no la veremos en detalle.

Teoría de morh. Para el caso del ejercicio, tenemos un coeficiente de Poisson de µ = 0,3, la relación entre las tensiones tangenciales y las normales será:

3.2.10 Comparación grafica Para visualizar mejor la diferencia entre teorías se ha realizado la siguiente gráfica de la relación entre y , con excepción de la teoría de Mohr. En la misma gráfica se han agregado los valores de los ensayos efectuados por Ros y Eichinger, Lode, Cook y Robertson, y Taylor y Quinney, con distintos materiales.

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3.3 Aplicación de la teoría de morh La siguiente es una aplicación de la teoría de Mohr a los suelos sometidos a es

fuerzos cortantes producidos por distintos esfuerzos principales. Se han utilizado resultados obtenidos en prácticas de la Cátedra “Mecánica de Suelos y Fundaciones”, curso de la Facultad de Ingeniería de la U.N.C. Mediante el ensayo de compresión triaxial de tres probetas cilíndricas de suelo, se obtuvieron los tres círculos de Mohr para las tensiones de rotura de dichas probetas y con ello, la curva de resistencia intrínseca de ese suelo. Recordamos que los ensayos se realizan con las probetas sumergidas en agua a presión (aislados por látex), lo que nos da una presión radial constante durante el ensayo, que hemos llamado σσσσ3; la otra presión, según el eje 35

del cilindro, se aplica con el émbolo de la prensa hasta la rotura, denominada σσσσ1.

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CONCLUSION La distribución de esfuerzos en una masa de suelo producido por la aplicación de cargas, depende del espesor y de la uniformidad de la masa de suelo, así como del tamaño y la forma del área cargada y de las propiedades esfuerzo-deformación. Se puede obtener una estimación adecuada de los esfuerzos producidos en una masa de suelo por cargas aplicadas, a través de la teoría elástica siempre y cuando el esfuerzo sea proporcional a la deformación. La mayoría de las soluciones de la teoría de elasticidad hacen la suposición de que el suelo es homogéneo e isotrópico; sin embargo, el suelo muy difícilmente cumple con estas condiciones, por lo que los resultados que se deriven de dicha teoría se deben de emplear conjuntamente con el criterio personal para calcular la distribución de esfuerzos en la masa de suelo.

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BIBLIOGRAFIA “Estabilidad Segundo Curso” - I Edición - 1.971 - Autor: Ing. Enrique Fliess. “Teorías de Rotura” - Cátedra de Estabilidad II-Resistencia de Materiales Facultad de Ingeniería Electromecánica - F.R.M.-U.T.N.- 1.989 - Profesor Titular: Ing. Pedro P. Oelsner. “Curso Medio de Resistencia de Materiales” - VII Edición - 1.969 - Autor: Ing. Enrique Panseri.

http://www.ingenieriaciviltips.com/2011/05/incremento-del-esfuerzodebido.html

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