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• Jeisson Andres Gonzalez

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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

PROYECTO GRUPAL

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

LA ESPIRA MIRABILIS TRABAJO COLABORATIVO

INTEGRANTES LUISA FERNADA PEÑA ZARATE Cod. 1721021736 ANDRÉS GONZALEZ SANABRIA Cod. 1521023522

PROFESOR JOSE EDILBERTO ROBLES CASTRO

CALCULO III POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO BOGOTÁ D.C 2020

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Introducción En el presente documento se busca detallar los conceptos de curvas estudiadas, para introducir esta temática es necesario definir que es una curva y cuales son las que se estudiaran en este aparte. Las curvas se denotan por una línea de inicio en punto (X) que se aparta de la dirección recta sin formar angulo, esto significa que su dirección varia de forma paulatina y constante, en forma más rigurosa, en la geometría diferencial), la curva (o línea curva) es una línea continua de una dimensión, que varía paulatinamente, como se decía anteriormente.[ CITATION Jos12 \l 9226 ] además de hablar de las curvas es imperativo resaltar que, con los nuevos métodos, nociones fundamentales, como la de curvatura, encuentran su tratamiento apropiado. Asimismo, el uso del Calculo Integral hizo posible dar solución a problemas propuestos desde la antigüedad, como el cálculo de las longitudes de las curvas, Pero una curva es también un objeto global, cuyo comportamiento como tal no puede describirse solo con el estudio local hasta aquí mencionado. Algunas de las propiedades globales de las curvas tienen un gran contenido intuitivo y se refieren a aspectos fácilmente visualizables, y sin embargo la demostración rigurosa de las mismas puede ser de una notable dificultad.

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Desarrollo del trabajo 1. Consulte que es una curva paramétrica en 2 y 3 dimensiones y mencione una aplicación práctica. Una curva paramétrica es la descripción de un objeto en un plano cuya función no puede ser descrita por la función y = F(x), debido a que las posiciones de un punto dependen del tiempo, por lo que deben ser descritas por ecuaciones paramétricas, por lo que se considera coordenada de un punto como una función del parámetro.  Cuando el valor de t (tiempo) varia, la posición de x y y igualmente, formando la curva. Aplicaciones prácticas: La expresión paramétrica de una función permite la construcción de una gran variedad de formas, simplemente variando alguna constante.  2D son trazos en un plano o espacio y 3D es la figura que se plasma en el plano o espacio

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2. Escoja una de las curvas que se muestran a continuación y con ayuda de Geogebra 3D, inserte la imagen en el foro. Estudiante 1: La hélice: x = cos 4t, y = sin 4t, z = t, con el parámetro t desde 0 a 30.

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Estudiante 2: La espiral toroidal: x = (4 + sin 20t) cos t, y = (4 + sin 20t) sin t, z = cos 20t, con el parámetro t desde 0 a 10.

Estudiante 3: El nudo del trébol: x = (2 + cos 1,5t) cos t, y = (2 + cos 1,5t) sin t, z = sin 1,5 t, con el parámetro t desde 0 a 15.

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Estudiante 4: La cubica torcida: x = t, y = t 2, z = t 3 , con −2 ≤ t ≤ 2.

Estudiante 5: x = cos t, y = sin t, 𝑧=11+𝑡2, con −10 ≤ t ≤ 10.

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3. De una breve reseña con sus palabras sobre la espira Mirabilis La espira Mirabilis, tiene la característica de crecer de manera terminal, sin modificar su forma a pesar de la forma asimétrica que esta posee. La separación de las espiras aumenta cuando aumenta su ángulo, esto quiere decir que su radio vector crece de manera exponencial respecto del ángulo de giro. Debido a esto también se le conoce como espiral geométrica, propiedad descubierta por Jacob Bernouilli.  La ecuación de la figura es:

En coordenadas polares sería:

4. Consulte al menos otro tipo de espiral y destaque sus principales características  Espiral de Fermat También conocida como espiral parabólica, es una espiral difícil de encontrar de forma natural. Es un caso derivado de la Espiral de Arquímedes, a diferencia que es su fórmula podemos encontrar una raíz cuadrada, debido a esto presenta 2 soluciones. En su figura podemos ver como si fueran 2 espirales de Arquímedes que salen del mismo centro yendo hacia 2 puntos distintos.

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

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Espiral Cornú (clotoide)

Llamada también radioide de arcos, es una curva tangente al eje de las abscisas en el origen, el radio de curvatura disminuye continuamente en cuanto mayor es el arco. Características o Tiene la propiedad de que la curvatura en cualquier punto es inversamente proporcional a la distancia a lo largo de la curva medida desde el origen. o Hace que sea útil como curva de transición ejemplo: montaña rusa, autopista etc. Ecuaciones La expresión matemática usual es: Ps = C Donde ρ el radio de curvatura, s el desarrollo o arco, C la constante de la espiral Las ecuaciones paramétricas de la espiral de Cornu vienen dadas por S(t) y C(t):

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C‘(t)2+S‘(t)2=sin2(t2)+cos2(t2)=1  Según esta parametrización el vector tangente tiene longitud unidad y t es la longitud de arco medida a partir de (0,0), por lo que la curva tiene longitud infinita.

5. Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Realice los siguientes cálculos para comprobar la propiedad. a. Teniendo en cuenta la definición de la espira mirabilis, muestre que:

‖c(t )‖=α e bt Elevamos al cuadrado cada uno de los componentes de c(t) y sacamos la raíz cuadrada para hallar la magnitud

‖c(t )‖= √¿ ¿ ‖c(t )‖= √¿ ¿

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‖c(t )‖= √¿ ¿ Usando la identidad pitagórica:

‖c(t )‖= √¿ ¿ ‖c(t )‖=α e bt Así podemos comprobar que ‖c(t )‖=α e bt. 6. Muestre que el vector tangente a la curva es c ´ ( t ) =¿ Derivamos cada componente para obtener el vector tangente c ´ (t)=

d ¿ dx Aplicamos la regla de producto para derivadas

c ´ ( t ) =¿ Factorizar los términos comunes c ´ ( t ) =¿ 6.1 Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión s ( t ) =ae bt √ b 2+1

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Se calcula la rapidez de la curva al obtener la magnitud del vector tangente a la curva

‖c(t )‖ ‖c ´ (t )‖= √ ¿ ¿ Factorizar los términos comunes

‖c ´ (t )‖= √ ¿ ¿ ‖c ´ (t )‖= √ ¿ ¿ ‖c ´ (t )‖=(α ebt ) √¿ ¿ ‖c ´ (t )‖=α e bt √b 2 (cos2 ( t ) +sin 2( t))+¿ ¿) Usando la identidad pitagórica:

‖c ´ (t )‖=α e bt √b 2 ( 1 ) +(1) ‖c ´ (t )‖=α e bt √b 2+1 7. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente dependen de la expresión.

α =cos−1

(

c (t ) c ´ (t ) =cos−1 c ´ ( t ) c ´ ( t ) ‖ ‖‖ ‖

)

(

Despejando el ángulo alfa α =cos−1 ¿

b √ b 2+ 1

)

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(

α =cos −1

α =cos−1

(

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b cos2 t−sin t cos t +b sin2 t+sin t cos t ( √ b2 +1)

b √ b2 +1

)

)

Bibliografía Sanjurjo, J. M., & Sancho, J. M. (2012). Introducción a la geometría diferencial. I, Curvas. Recuperado el 24 de 11 de 2020, de http://eprints.sim.ucm.es/21261

https://matematicasiesoja.wordpress.com/la-spira-mirabilis/ https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariablefunction/ways-to-represent-multivariable-functions/a/parametric-functions-two-parameters http://www.mate.unlp.edu.ar/practicas/54_2_31082015133134.pdf DIM, E. (2019). Espirales. Obtenido de https://www.ecured.cu/Espiral