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• Pipe Adolfo

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ELIPSE. La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. B1

P(x,y)

V1 B V1

F2 B1

F1

V2

Elipse (h) B2

Los puntos fijos , F1 y F2 son los focos. Distancia focal Elipse (v)

Recta V1V2 es la recta focal o principal o eje mayor .

V1V2  2a



a = semieje mayor.

Recta B1B2 es la recta secundaria o eje menor.

B1B2  2b 

b = semieje menor

Centro de la elipse es el centro O de simetría..

LADO RECTO =

2b2 a

relación entre los segmentos a, b y c EXCENTRICIDAD

e=

c a

con c < a

2

2

2

a =b +c

F1F2  2c

ECUACION ANALITICA ( o canónica CON CENTRO EN EL ORIGEN A) los focos en el eje X. B1(0,b)

P(x,y)

V2(-a,0)

V1(a,0)

x2 y2  1 a 2 b2

F1(c,0)

F2(-c,0) B2(0,-b)

Sean los focus F1(c,0) y F2(-c,0) y 2ª la suma constante (a > c). Sea P(x,y) un punto de la elipse, entonces : F1P + PF2 = 2a Es decir :

(x  c)2  (y  0) 2  (x  c)2  (y  0) 2  2a



(x  c)2  (y)2  2a  (x  c)2  (y)2

/ ()

2

x + 2cx + y + c = 4a – 4a (x  c)2  y 2 +x – 2cx + c + y 2

2

2

2

2

4a – 4cx = 4a (x  c)2  y 2

/ :4

a – cx = a (x  c)2  y 2

/ ()

2

2

4

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

a – 2a cx + c x = a (x – 2cx + c + y ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a – 2a cx + c x = a x – 2a cx + a c + a y 2 2 2 2 2 2 2 2 a (a – c ) = (a – c )x + a y 4

1=

Por lo tanto

NOTA :

1)

x2 a2



y2 a2  c 2

2

2

( a – c > 0 . Sea

2

2

2

2

2

/ : a (a – c ) 2

a –c =b )

x2 y2  1 a2 b2 2a = eje mayor 2b = eje menor

F

F1

2

2) Si los focos tuvieran coordenadas (0,c) y (0,-c) el eje mayor estaría sobre el eje “y”, lo que resulta :

x 2 y2  1 b2 a 2

F2

3) Se llama excentricidad a

e

c a

4) Como la elipse tiene dos focos, también tendrá dos directrices, las ecuaciones son :

x

a 0 e

y

x 

a 0 e

Si los focos estuvieran sobre el eje “y”, las directrices son :

y

a 0 e

y

y

a 0 e

5) Se llama lado recto a la perpendicular al eje mayor por uno de los focos, la longitud del lado 2b 2 recto, está dado por . a 6) Los puntos donde la elipse corta al eje mayor se llaman vértices.

7) Si el centro de la elipse es C(h,k) y : a) el eje mayor es paralelo al eje “x”, la ecuación es : y C(h,k)

k F2(h-c,k)

(x  h)2 a

2



(y  k)2 b

2

V1(h+a,k)

F1(h+c,k)

V2(h-a,k)

1

x

h

y b) el eje mayor es paralelo al eje “y”, la ecuación es :

(x  h)2 b2



(y  k)2 a2

k

1

h

x

c)

ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE : 2

2

Ax + By + Cx + Dy + F = 0 si A < B

el eje mayor es paralelo al eje X.

si A > B

el eje mayor es paralelo al eje Y.

FORMA ESTANDAR PARA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN ECUACIÓN CARTESIANA

CENTRO

FOCOS

EJE MAYOR

VÉRTICES EN EL VÉRTICES EN EJE MAYOR EL EJE MENOR

x2 y 2  1 a 2 b2 x2 y 2  1 b2 a 2

( 0 ,0 )

(c , 0)

Horizontal está (  a , 0 ) en el eje X

(0,  b )

( 0 ,0 )

(0,  c)

Vertical ( 0 ,  a) Está es en eje Y

(b,0)

FORMA ESTANDAR PARA ELIPSE CON CENTRO EN (h,k) ECUACIÓN CARTESIANA

x  h2   y  k 2

CENTRO FOCOS EJE MAYOR

1

a2 b2 x  h2   y  k 2  1 b2 a2

( h ,k )

( h ,k )

VÉRTICES EN VÉRTICES EN EL EJE MAYOR EL EJE MENOR (h-c, k) Horizontal está (h  a , k ) (h, k  b ) (h+c, k) en el eje X (h, k-c) Vertical ( h , k  a) (h, k+c) Está es en eje Y

(hb,k)

ES HORA DE REALIZAR EL

Nº 3 1

Calcula las coordenadas de los vértices y focos, la longitud de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada lado recto en : a) 4x2 + 9y2 = 36 2 2 d) 16x + 9y = 144

b) 16x 2 + 25y2 = 400 2 2 e) 12x + 36y = 432

c) 12 x 2 + 8y2 - 96 = 0 2 2 f) 6x + 16y = 96

2

Determina la ecuación de cada elipse conociendo los elementos siguientes : a) F1(0,2) ; F2(0,-2) ; a = 4 b) V1(10,0) ; V2(-10,0) ; e = 0,2 c)

3

F1(0,2) ; F2(0,-2) ; eje menor 4

Calcula las coordenadas de los vértices y focos, la longitud de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada lado recto en : a) 9x2 + 25y2 + 18x + 50y - 191 = 0

b) 3x2 + 4y2 + 27x - 16y + 48 = 0

c) 28x2 + 64y2 - 56x - 420 = 0

d) x2 + 4y2 - 4x - 8y - 92 = 0

2

2

e) 36x + 11y + 144x + 44y - 208 = 0 4

2

f) x2 + 5y2 - 2x + 20y + 15 = 0

Determina en cada caso la ecuación de la elipse que cumple con la condición siguiente : a) C(2,-3) ; eje mayor = 8 : lado recto

9 ; eje focal paralelo al eje Y 2

b) F1(4,1) ; F2(-6,1) ; eje mayor = 12. c) C(4,-1) ; F(1,-1) y pasa por el punto (8.0) 5

Halla la ecuación de la elipse y su excentricidad si se sabe que su centro es el origen, uno de los vértices es el punto (0,-7) y pasa por el punto ( 5,

6 7

8

14 ) 3

Halla el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos fijos (3,1) y (-5,1) sea igual a 10. El centro de una elipse es el punto (2,-4) y el vértice y el foco de un mismo lado del centro son los puntos (-2,-4) y (-1,-4) respectivamente. Encuentra la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la del lado recto. La órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148,5 millones de km y que la excentricidad vale 0,017, halla la máxima y la mínima distancia de la Tierra al Sol.