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• Juan Carlos Mendoza

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ELEMENTOS FINITOS

MAESTRIA INGENIERIA ESTRUCTURAL Y SISMICA

ASIGNATURA:

Elementos Finitos.

TAREA:

Practica 3.

INSTRUCTOR:

Ing. Nelson Lafontaine, PhD.

REALIZADO POR:

FECHA DE ENTREGA:

25 de Noviembre de 2017.

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS

RESUMEN EJECUTIVO Sección Aproximaciones cuadráticas. Formulación Isoparamétricas. Práctica 2 REALIZAR LOS EJECICIOS 4 Y 5 DE LA PRACTICA 1 USANDO FORMULACION ISOPARAMÉTRICA CON INTERPOLACION CUADRÁTICA

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS

EJERCICIOS PRACTICA 3 EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS RESULTADOS Y CONCLUSIONES Ejercicio 1 𝑑2 𝑢 𝑑𝑢 + − 2𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

(0 < 𝑥 < 1)

La línea azul corresponde a la solución exacta y la línea verde a la aproximada. Las líneas punteadas solo representan las funciones de formas físicas. Podemos observar, con este método la aproximación a los datos exactos es más preciso, debido que se observa valga la redundancia menos error que los otros métodos, al mismo tiempo verificamos cómo se suaviza la curva a la suavidad de la solución exacta, debido a la interpolación cuadrática. Y realizamos su comparativa con los resultados de una interpolación lineal (a la derecha), para el mismo ejercicio con el método de Galerkin, también discretizada con tres elementos de la tarea 1. Dando como conclusión que el comportamiento es mucho mejor utilizando la formulación isoparamétrica con interpolación cuadrática. U1 = 0 U2 = 0.1547 U3 = 0.2978 U4 = 0.4430 U5 = 0.6015 U6 = 0.7839 U7 = 1 Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS Ejercicio 2 A lo mismo nos podremos referir con el segundo ejercicio. 𝑑2𝑢 𝑑𝑢 𝑥 + 2𝑥 −2=𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

(0 < 𝑥 < 1)

U=

0.6612 1.2454 1.5117 1.6645 1.7837 1.8920 2.0000

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS

RESUMEN TECNICO

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS EJERCICIO 1 𝑑2 𝑢 𝑑𝑢 + − 2𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

(0 < 𝑥 < 1)

En la práctica 1 se había determinado la forma débil de la ecuación, la cual se introdujo en Matlab por parte enumerada por la secuencia en la misma. 1

∫ ((𝑊 − 0

1 𝑑𝑊 𝑑𝑢 𝑑𝑢 1 ) − 2𝑊𝑈) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑊𝑥𝑑𝑥 − 𝑊 | 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 0 0

SCRIPT en Matlab para resolver el ejercicio. Script Prac3Ejerc4_3Elemento_Cuadrática EDITOR MATLAB: % EJERCICIO 4 CON TRES ELEMENTOS % e1=(0,1/6,1/3) , e2=(1/3,1/2,2/3) , e3=(2/3,5/6,1) clc; clear; %% SOLUCION EXACTA DE LA ECUACION DIFERENCIAL syms x Chi Du_dx u11 u12 u13 u21 u22 u23 u31 u32 u33 xii=0:0.001:1; ua=dsolve('D2u+Du-2*u=x','u(0)=0,u(1)=1','x'); uap=double(subs(ua,x,xii)); %% N1 N2 N3

FACTORES DE FORMAS EN FUNCION DE Chi (COORD. INTRINSECAS) = 0.5*Chi*(Chi-1); = (Chi+1)*(1-Chi); = 0.5*Chi*(Chi+1);

%% VALOR DE X xi=0:1/6:1; %% X EN FUNCION DE Chi x_Chi1 = N1*xi(1) + N2*xi(2) + N3*xi(3); x_Chi2 = N1*xi(3) + N2*xi(4) + N3*xi(5); x_Chi3 = N1*xi(5) + N2*xi(6) + N3*xi(7); %% DERIVADA DE Chi CON RESPECTO A x dChi_dx1 = 2/(xi(3)-xi(1)); dChi_dx2 = 2/(xi(5)-xi(3)); dChi_dx3 = 2/(xi(7)-xi(5)); %% VALOR DE dx dx1 = (xi(3)-xi(1))/2; %*dChi dx2 = (xi(5)-xi(3))/2; %*dChi dx3 = (xi(7)-xi(5))/2; %*dChi

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS %% FUNCION DE PESO W = [N1 N2 N3]'; %% FUNCION DE DESPLAZAMIENTOS u_Chi1 = N1*u11 + N2*u12 + N3*u13; u_Chi2 = N1*u21 + N2*u22 + N3*u23; u_Chi3 = N1*u31 + N2*u32 + N3*u33; %% DERIVADA DE LA FUNCION DE PESO CON dw_dx1 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), dw_dx2 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), dw_dx3 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi),

RESPECTO A x diff(N3,Chi)]'*dChi_dx1; diff(N3,Chi)]'*dChi_dx2; diff(N3,Chi)]'*dChi_dx3;

%% DERIVADA DE LAS FUNCIONES DE PESOS CON RESPECTO A x du_dx1 = dChi_dx1*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u11;u12;u13]; du_dx2 = dChi_dx2*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u21;u22;u23]; du_dx3 = dChi_dx3*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u31;u32;u33]; %% ECUACION DIFERENCIAL EN SU FORMA DEBIL %% PRIMERA PARTE (INT((W-DW/DX)*DU/DX-2*W*U)*DX) disp('SOLUCIÓN DE LA PRIMERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') I11 = int(((W-dw_dx1).*du_dx1-2.*W*u_Chi1)*dx1,Chi,-1,1) I12 = int(((W-dw_dx2).*du_dx2-2.*W*u_Chi2)*dx2,Chi,-1,1) I13 = int(((W-dw_dx3).*du_dx3-2.*W*u_Chi3)*dx3,Chi,-1,1) %% TERCERA PARTE (INT(W*(2-X)DX)) disp('SOLUCIÓN DE LA SEGUNDA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') I21 = int(W*x_Chi1*dx1,Chi,[-1;1]) I22 = int(W*x_Chi2*dx2,Chi,[-1;1]) I23 = int(W*x_Chi3*dx3,Chi,[-1;1]) %% TERCERA PARTE (W*DU/DX,-1,1) disp('SOLUCIÓN DE LA TERCERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') Parte_2= -W*Du_dx; I311=subs(Parte_2,Chi,1); I312=subs(Parte_2,Chi,-1); I31 = I311-I312 Part_2= -W*Du_dx; I321=subs(Part_2,Chi,1); I322=subs(Part_2,Chi,-1); I32 = I321-I322 Par_2= -W*Du_dx; I331=subs(Par_2,Chi,1); I332=subs(Par_2,Chi,-1); I33 = I331-I332 %Nota: El ensamble de la Matriz Global fue realizada a mano

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS %% LA MATRIZ FUE ENSAMBLADA A MANO K=[-736/45 388/45 0 0 0; 328/45 -638/45 388/45 -103/90 0; 0 328/45 -736/45 388/45 0; 0 -73/90 328/45 -638/45 388/45; 0 0 0 328/45 -736/45]; f=[1/27;1/27;1/9;329/270;-1139/135]; %% CALCULOS DE LOS DESPLAZAMIENTOS U = K^-1*f u1 = 0; u2 = U(1); u3 = U(2); u4 = U(3); u5 = U(4); u6 = U(5); u7 = 1; x1=xi(1):0.01:xi(3); x2=xi(3):0.01:xi(5); x3=xi(5):0.01:xi(7); %% FUNCIONES DE FORMAS EN COORD. FISICAS N11=(6.*x1-1).*(3.*x1-1); N12=(6.*x1).*(2-6.*x1); N13=(6.*x1-1).*(3.*x1); N21=(3-6.*x2).*(2-3.*x2); N22=(6.*x2-4).*(2-6.*x2); N23=(6.*x2-3).*(3.*x2-1); N31=(3-3.*x3).*(5-6.*x3); N32=(6-6.*x3).*(6.*x3-4); N33=(5-6.*x3).*(2-3*x3); uh1=[N11*u1+N12*u2+N13*u3]; uh2=[N21*u3+N22*u4+N23*u5]; uh3=[N31*u5+N32*u6+N33*u7]; plot(xii,uap,'b','lineWidth',2.5) title('\bf SOLUCION CUADRÁTICA DE LOS VALORES DISCRETOS') set(gcf,'color','white') grid on hold on plot(x1,N11*u1,'--m'... ,x1,N12*u2,'--m'... ,x1,N13*u3,'--m'... ,x2,N21*u3,'--m'... ,x2,N22*u4,'--m'... ,x2,N23*u5,'--m'... ,x3,N31*u5,'--m'... ,x3,N32*u6,'--m'... ,x3,N33*u7,'--m','lineWidth',0.5) plot(x1,uh1,'g'... ,x2,uh2,'g'... ,x3,uh3,'g','lineWidth',1.5)

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS Las funciones de formas físicas análogas a las funciones intrínsecas que cumplen con las condiciones de fronteras son: N11 = (6x1 - 1)*(3x1 - 1); N12 = (6x1)*(2 - 6x1); N13 = (6x - 1)*(3x1); N21 = (3 - 6x2)*(2 - 3x); N22 = (6x2 - 4)*(2 - 6x2); N23 = (6x2 - 3)*(3x2 - 1); N31 = (3 - 3x3)*(5 - 6x3); N32 = (6 - 6x3)*(6x3 - 4); N33 = (5 - 6x3)*(2 - 3x3); Donde; x1, x2 y x3 son las longitudes de los elementos 1, 2 y 3 respectivamente COMMAND WINDOW MATLAB Resultados de las integrales y de la parte a evaluar de la forma débil de la ecuación. SOLUCIÓN DE LA PRIMERA PARTE I11 = (388*u12)/45 - (683*u11)/90 (328*u11)/45 - (736*u12)/45 (328*u12)/45 - (73*u11)/90

DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN - (103*u13)/90 + (388*u13)/45 - (593*u13)/90

I12 = (388*u22)/45 - (683*u21)/90 - (103*u23)/90 (328*u21)/45 - (736*u22)/45 + (388*u23)/45 (328*u22)/45 - (73*u21)/90 - (593*u23)/90 I13 = (388*u32)/45 - (683*u31)/90 - (103*u33)/90 (328*u31)/45 - (736*u32)/45 + (388*u33)/45 (328*u32)/45 - (73*u31)/90 - (593*u33)/90 SOLUCIÓN DE LA SEGUNDA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN I21 = I22 = I23 = 0 1/54 1/27 1/27 1/9 5/27 1/54 1/27 1/18 SOLUCIÓN DE LA TERCERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN I31 = Du_dx 0 -Du_dx

I32 = Du_dx 0 -Du_dx

I33 = Du_dx 0 -Du_dx Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS Nota: Con estos resultados formamos las contribuciones de cada elemento. La mayoría de los cálculos se realizaron en Matlab. Contribución del Elemento 1 −683/90 K = [ 328/45 −73/90

𝑢′(1) 388/45 −103/90 𝑢11 0 −736/45 388/45 ] [𝑢12] = [1/27] + [ 0 ] 1 1/54 328/45 −593/90 𝑢13 −𝑢′( ) 3

Contribución del Elemento 2 −683/90 K = [ 328/45 −73/90

388/45 −736/45 328/45

1 𝑢′( ) −103/90 𝑢11 0 3 388/45 ] [𝑢12] = [1/27] + 0 2 1/54 −593/90 𝑢13 [−𝑢′(3)]

Contribución del Elemento 3 −683/90 K = [ 328/45 −73/90

2 388/45 −103/90 𝑢11 0 𝑢′( ) 3 ] −736/45 388/45 ] [𝑢12] = [1/27] + [ 0 1/54 328/45 −593/90 𝑢13 −𝑢′(1)

Ensamble de la Matriz global y del sistema global

683 90 328 45 73 − 90

−

[

388 103 − 45 90 736 388 − 45 45 593 683 328 − − 90 90 45 328 45 73 − 90

388 45 736 − 45 328 45

103 − 90 388 45 593 683 388 103 − − − 90 90 45 90 736 388 328 − 45 90 45 73 328 593 − − 90 45 90 ]

𝑢′(0) 𝑢1 1/27 𝑢2 1/27 𝑢3 1/9 𝑢4 = 2/27 𝑢5 5/27 𝑢6 1 𝑢7 [18 − 𝑢′(1)]

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ELEMENTOS FINITOS 736 388 45 45 388 328 638 103 − − 45 45 45 90 736 388 328 − 45 45 45 328 638 388 73 − − 45 45 45 90 328 736 − 45 45 ]

−

[

𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6

1 27 328 0 1 0 45 27 0 73 1 = − − 90 ∗ 0 − − 103 ∗ 1 9 90 0 2 388 0 27 [ 0 ] [ 45 ] 5 [27]

736 388 45 45 388 328 638 103 − − 45 45 45 90 736 388 328 − 45 45 45 328 638 388 73 − − 45 45 45 90 328 736 − 45 45 ]

−

[

𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6

1 27 1 27 1 = 9 329 270 1139 [− 135 ]

Nota: Este sistema fue introducido en Matlab para obtener los resultados del vector u U2 = 0.1547 U3 = 0.2978 U4 = 0.4430 U5 = 0.6015 U6 = 0.7839 U1 y U7 se definen de las condiciones iniciales: U1 = 0, U7 = 1.0 CON ESTO Y HACIENDO USO DEL SCRIPT EN MATLAB GRAFICAMOS

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS La línea azul corresponde a la solución exacta y la línea verde a la aproximada. Las líneas punteadas solo representan las funciones de formas físicas. Ejercicio 2 𝑑2𝑢 𝑑𝑢 𝑥 + 2𝑥 −2=𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2

(1 < 𝑥 < 4)

Forma débil de la ecuación diferencial.

SCRIPT en Matlab para resolver el ejercicio. Script Prac3Ejerc5_3Elemento_Cuadrática EDITOR MATLAB: %% EJERCICIO 5 CON TRES ELEMENTOS % e1=(1,1.5,2) , e2=(2,2.5,3) , e3=(3,3.5,4) clc; clear; %% SOLUCION EXACTA DE LA ECUACION DIFERENCIAL syms x Chi u11 u12 u13 u21 u22 u23 u31 u32 u33 Du_dx xii=1:0.01:4; ua=dsolve('x^2*D2u+2*x*Du+2=x','Du(1)=2,u(4)=2','x'); uap=double(subs(ua,x,xii)); %% N1 N2 N3

FACTORES DE FORMAS EN FUNCION DE Chi (COORD. INTRINSECAS) = 0.5*Chi*(Chi-1); = (Chi+1)*(1-Chi); = 0.5*Chi*(Chi+1);

%% VALOR DE X xi=1:0.5:4; %% X EN FUNCION DE Chi x_Chi1 = N1*xi(1) + N2*xi(2) + N3*xi(3); x_Chi2 = N1*xi(3) + N2*xi(4) + N3*xi(5); x_Chi3 = N1*xi(5) + N2*xi(6) + N3*xi(7); %% DERIVADA DE Chi CON RESPECTO A x dChi_dx1 = 2/(xi(3)-xi(1)); dChi_dx2 = 2/(xi(5)-xi(3)); dChi_dx3 = 2/(xi(7)-xi(5)); %% dx1 dx2 dx3

VALOR DE dx = (xi(3)-xi(1))/2; %*dChi = (xi(5)-xi(3))/2; %*dChi = (xi(7)-xi(5))/2; %*dChi

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS %% FUNCION DE PESO W = [N1 N2 N3]'; %% DERIVADA DE LA FUNCION DE PESO CON dw_dx1 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), dw_dx2 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), dw_dx3 = [diff(N1,Chi), diff(N2,Chi),

RESPECTO A x diff(N3,Chi)]'*dChi_dx1; diff(N3,Chi)]'*dChi_dx2; diff(N3,Chi)]'*dChi_dx3;

%% DERIVADA DE LAS FUNCIONES DE PESOS CON RESPECTO A x du_dx1 = dChi_dx1*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u11;u12;u13]; du_dx2 = dChi_dx2*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u21;u22;u23]; du_dx3 = dChi_dx3*[diff(N1,Chi), diff(N2,Chi), diff(N3,Chi)]*[u31;u32;u33]; %% ECUACION DIFERENCIAL EN SU FORMA DEBIL %% PRIMERA PARTE (INT(X^2*DW/DX*DU/DX*DX)) disp('SOLUCIÓN DE LA PRIMERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') I11 = int(x_Chi1^2*dw_dx1*du_dx1*dx1,Chi,-1,1) I12 = int(x_Chi2^2*dw_dx2*du_dx2*dx2,Chi,-1,1) I13 = int(x_Chi3^2*dw_dx3*du_dx3*dx3,Chi,-1,1) %% SEGUNDA PARTE (W*X^2*DU/DX,-1,1) disp('SOLUCIÓN DE LA SEGUNDA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') Parte_2= W*x_Chi1^2*Du_dx; I121=subs(Parte_2,Chi,1); I221=subs(Parte_2,Chi,-1); I21 = I121-I221 Part_2= W*x_Chi2^2*Du_dx; I122=subs(Part_2,Chi,1); I222=subs(Part_2,Chi,-1); I22 = I122-I222 Par_2= W*x_Chi3^2*Du_dx; I123=subs(Par_2,Chi,1); I223=subs(Par_2,Chi,-1); I23 = I123-I223 %% TERCERA PARTE (INT(W*(2-X)DX)) disp('SOLUCIÓN DE LA TERCERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN') I31 = int(W*(2-x_Chi1)*dx1,Chi,[-1;1]) I32 = int(W*(2-x_Chi2)*dx2,Chi,[-1;1]) I33 = int(W*(2-x_Chi3)*dx3,Chi,[-1;1]) %Nota: El ensamble de la Matriz Global fue realizada a mano %% LA MATRIZ FUE ENSAMBLADA A MANO K=[53/15 -22/5 13/15 0 0 0; -22/5 64/5 -42/5 0 0 0; 13/15 -42/5 286/15 -206/15 11/5 0; 0 0 -206/15 512/15 -102/5 0; 0 0 11/5 -102/5 212/5 -142/5; 0 0 0 0 -142/5 992/15];

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ELEMENTOS FINITOS

f=[-11/6;1/3;0;-1/3;-131/15;1117/15]; %% CALCULOS DE LOS DESPLAZAMIENTOS U = K^-1*f u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7

= = = = = = =

U(1); U(2); U(3); U(4); U(5); U(6); 2;

x1=xi(1):0.01:xi(3); x2=xi(3):0.01:xi(5); x3=xi(5):0.01:xi(7); %% FUNCIONES DE FORMAS EN COORD. FISICAS N11=(2-x1).*(3-2.*x1); N12=(x1-2).*(4-4.*x1); N13=(1-x1).*(3-2.*x1); N21=(3-x2).*(5-2.*x2); N22=(x2-3).*(8-4.*x2); N23=(2-x2).*(5-2.*x2); N31=(4-x3).*(7-2.*x3); N32=(x3-4).*(12-4.*x3); N33=(3-x3).*(7-2*x3); uh1=[N11*u1+N12*u2+N13*u3]; uh2=[N21*u3+N22*u4+N23*u5]; uh3=[N31*u5+N32*u6+N33*u7]; plot(xii,uap,'b','lineWidth',2) title('\bf SOLUCION CUADRÁTICA DE LOS VALORES DISCRETOS') set(gcf,'color','white') grid on hold on plot(x1,N11*u1,'--m'... ,x1,N12*u2,'--m'... ,x1,N13*u3,'--m'... ,x2,N21*u3,'--m'... ,x2,N22*u4,'--m'... ,x2,N23*u5,'--m'... ,x3,N31*u5,'--m'... ,x3,N32*u6,'--m'... ,x3,N33*u7,'--m','lineWidth',0.5) plot(x1,uh1,'g'... ,x2,uh2,'g'... ,x3,uh3,'g','lineWidth',1.5)

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS Las funciones de formas físicas, que cumplieron con las condiciones de fronteras análogas a las funciones intrínsecas son: N11 = (2 - x1)*(3 - 2x1); N12 = (x1 - 2)*(4 - 4x1); N13 = (1 - x1)*(3 - 2x1); N21 = (3 - x2)*(5 - 2x2); N22 = (x2 - 3)*(8 - 4x2); N23 = (2 - x2)*(5 - 2x2); N31 = (4 - x3)*(7 - 2x3); N32 = (x3 - 4)*(12 - 4x3); N33 = (3 - x3)*(7 - 2x3); COMMAND WINDOW EN MATLAB SOLUCIÓN DE LA PRIMERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN I11 = (53*u11)/15 - (22*u12)/5 + (13*u13)/15 (64*u12)/5 - (22*u11)/5 - (42*u13)/5 (13*u11)/15 - (42*u12)/5 + (113*u13)/15 I12 = (173*u21)/15 - (206*u22)/15 + (11*u23)/5 (512*u22)/15 - (206*u21)/15 - (102*u23)/5 (11*u21)/5 - (102*u22)/5 + (91*u23)/5 I13 = (121*u31)/5 - (142*u32)/5 + (21*u33)/5 (992*u32)/15 - (142*u31)/5 - (566*u33)/15 (21*u31)/5 - (566*u32)/15 + (503*u33)/15

SOLUCIÓN DE LA SEGUNDA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN

I21 =

I22 =

I23 =

-Du_dx

-4*Du_dx

-9*Du_dx

0

0

0

4*Du_dx

9*Du_dx

16*Du_dx Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS SOLUCIÓN DE LA TERCERA PARTE DE LA FORMA DEBIL DE LA ECUACIÓN I31 =

I32 =

I33 =

1/6

0

-1/6

1/3

-1/3

-1

0

-1/6

-1/3

Nota: Con estos resultados formamos las contribuciones de cada elemento. Contribución del Elemento 1 53/15 −22/5 K1 = [ 13/15

−22/5 64/5 −42/5

13/15 𝑢11 −𝑢′(1) 1/6 −42/5 ] [𝑢12] = [1/3] + [ 0 ] 4𝑢′(2) 113/15 𝑢13 0

Contribución del Elemento 2 173/10 K2 = [−206/15 11/5

−206/15 512/15 −102/5

11/5 0 −4𝑢′(2) 𝑢21 −102/5] [𝑢22] = [−1/3] + [ 0 ] −1/6 9𝑢′(3) 91/5 𝑢23

Contribución del Elemento 3 121/5 K3 = [−142/5 21/5

−142/5 21/5 −1/6 −9𝑢′(3) 𝑢31 992/15 −566/15] [𝑢32] = [ −1 ] + [ 0 ] −1/3 16𝑢′(4) −566/15 503/15 𝑢33

Ensamble de la Matriz global y del sistema global

53 15 22 − 5 13 15

[

22 5 64 5 42 − 5

−

13 15 42 − 5 113 173 + 15 15 206 − 15 11 5

206 − 15 512 15 102 − 5

11 − 5 102 − 5 91 121 142 21 + − 5 5 5 5 142 992 566 − − 5 15 15 21 566 503 − 5 15 15 ]

𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6 𝑢7

−𝑢′ (1) + 1/6 1/3 0 −1/3 = −2/6 −1 1 ′ (4) − ] [ 16𝑢 3

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS 53 22 13 − 15 5 15 42 22 64 − − 5 5 5 206 11 13 42 632 − − 15 15 15 5 5 206 512 102 − − 15 15 5 102 212 11 142 − − 5 5 5 5 142 992 − [ 5 15 ]

11 0 6 1 0 0 3 0 = 0 − 21 ∗ 2 1 − 5 3 566 2 − [− 15 ] 6 [ −1 ] −

𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6

53 22 13 − 15 5 15 42 22 64 − − 5 5 5 632 206 11 13 42 − − 15 15 15 5 5 206 512 102 − − 15 15 5 102 212 11 142 − − 5 5 5 5 142 992 − [ 5 15 ]

11 6 1 3 0 1 = − 3 131 − 15 1117 [ 15 ] −

𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6

Desplazamientos (Estos fueron calculados en Matlab en el mismo Script)

Dr. Nelson Lafontaine

ELEMENTOS FINITOS U=

0.6612 1.2454 1.5117 1.6645 1.7837 1.8920 2.0000

Dr. Nelson Lafontaine