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• Micaelita Rios Del Castillo

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ELEMENTO DE 9 NODOS Autores: BARREDA LESLI ,MOLINA TIANY, RIOS MICAELA Escuela Militar De Ingenieria-Unidad Academica La Paz

16 de junio de 2018 Resumen La idea básica en la formulación de los elementos isoparamétricos es utilizar las mismas funciones de forma para interpolar tanto la geometría de los elementos como el campo de desplazamientos.

1.

INTRODUCCIÓN

El cuadrilátero bicuadratico de 9 nodos se trata de un elemento, con 8 nodos internos, y un nodo externo, por lo que se considera elemento serendipity. Para lo cual, primero hallaremos las funciones de forma de los 8 nodos, las matrices correspondientes para llegar a la matriz k, y posteriormente se introducira el noveno nodo, considerando su volumen y su peso.

2.

MODELO MATEMATICO

Figura 1: figura 9 nodos

2.1.

Funciones de forma

Se utilizaron las siguientes funciones de forma

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Figura 2: Funciones de forma

2.2.

Desplazamientios

La matriz DN sera:

Figura 3: Desplazamiento Luego obtenemos

Figura 4: En x

Andres Candia

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Figura 5: en y

2.3.

Calculo Jcobiano

La dimension de la matriz del Jacobiano sera de 2x2

Figura 6: Matriz Jacobiana Los elementos de la matriz Jacobiana despues de derivar son las siguientes:

Figura 7: Elemento 1,1

Figura 8: Elemento 1,2

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Figura 9: Elemento 2,2

Figura 10: Elemento 1,1

2.4.

Calculo de To

La matriz "To"puede definirse como

Figura 11: Matriz To

2.5.

Calculo de la Matriz F

Al haber obtenido la matriz "To", obtenemos la matriz F, combinando con una matriz nula.

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Figura 12: Matriz F

2.6.

Calculo de la Matriz G(4X24)

La matriz G se define como:

Figura 13: Matriz G

2.7.

Matriz A

La matriz A se define como:

Figura 14: Matriz A

2.8.

Matriz C

La matriz C es la matriz constitutivas del material viene dado por:

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Figura 15: Matriz C

2.9.

Calculo de la Matriz B(3x24)

La matriz B es el resultado de la multiplicacion de las matrices A,F,G.

Figura 16: Matriz B

2.10.

Matriz de rigidez del elemento

La matriz K viene dada por la ecuacion:

Figura 17: Matriz K

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Figura 18: Matriz K

3.

CONCLUSIONES

Se llego a la conclusion que la determinacion de la matriz para un elemento serendipity de 12 nodos en MAPLE lleva mucho tiempo, ya que al momento de correr la matriz, cada termino de la matriz K[i,j] esta compuesta por mas de 100000 polinomios. Es por esta razon que la matriz fue evaluada en maple sin necesidad de recurrir al programa de anaconda navegation spyder al momento de integrar la matriz K se utuliliza un artificio matematico para poder simplificar lo mas posible la matriz

Andres Candia

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