• Author / Uploaded
• Ani Jat

Citation preview

ELECTROSTÁTICA Es el estudio de la carga en reposo I)

CARGA ELÉCTRICA.-

Es una cantidad escalar, fundamental y una propiedad de la materia, la que se adquiere por un proceso de cargar un cuerpo. En el año 600 A.C., Tales de Mileto y los griegos observaron que al frotar el ámbar o ebonita con trozo de piel, este adquiría la propiedad de atraer a pedazos pequeños de papel o paja. Luego todos los cuerpos que presentaban estos fenómenos, lo llamaban eléctricos, del nombre ámbar (Elektron). En el año 1600, W. Gilbert inventó el Electroscopio y propuso que la tierra se comportaba como un imán. En el año 1750, B. Franklin, estableció dos tipos de carga positiva (+) y negativa (-). Enunció el principio de conservación de la carga eléctrica en un sistema aislado: “La carga eléctrica total, no se crea, ni se destruye; permanece constante” Otra característica importante es: “La carga eléctrica que se halla en la naturaleza es un múltiplo de la carga del electrón, esto significa que la carga esta cuantizada”. El experimento de Millikan lo comprobó. 𝑄 = 𝑛𝑒 , 𝑛 ∶ 1, 2, 3, 3, … …. Los transportadores de la carga en los metales son los electrones libres. Debe entenderse como carga neta, al exceso de carga, es decir, un cuerpo puede tener carga positiva y negativa; la suma algebraica de la carga da el valor de la carga. Ejemplo:

FIG.1. CARGA NETA Un cuerpo que tiene carga neta diferente de cero, se llama comúnmente ion. En el experimento del Efecto Hall, se comprueba que la carga negativa y positiva se desplazan. Las unidades de la carga en el sistema CGS es: u.e.s (unidad electrostática de carga) y en el sistema MKS es: Coulomb (C). 1 𝐶 = 3 × 109 ues La invariabilidad relativista, significa que la carga eléctrica es independiente del sistema de referencia desde el que se mide, lo que significa que una partícula cargada es independiente de la velocidad. 1.1.- PROCESO DE CARGA DE UN CUERPO.Existen tres procesos, para cargar un cuerpo:

a) Por frotamiento.- Cuando la ebonita y la lana se ponen en contacto por frotamiento, hay un paso espontáneo de electrones de la lana a la ebonita, ésta adquiere, por lo tanto, un exceso de electrones y resulta cargada negativamente, mientras que la lana que ha perdido electrones se carga negativamente.

Lana Varilla de vidrio Piel

Ebonita Seda Varilla de Teflón

Las características de este proceso son: - Los cuerpos inicialmente se encuentran neutros (carga neta nula). - Hay transmisión de carga. - No hay creación de carga eléctrica. - La cantidad de carga es la misma en ambos cuerpos, pero de signo opuesto, al final del proceso. b) Por contacto.- En este caso uno de los cuerpos tiene que estar cargado, ya sea positivo o negativo. Cuando los cuerpos se ponen en contacto, el cuerpo cargado (inductor) atrae las cargas de signo opuesto y repele la de igual signo. Al producirse el contacto instantáneo, las cargas negativas pasan al inductor (si es positivo) y las cargas positivas se repelen y quedan en exceso en el cuerpo que se quiere ccargar. FIG.3

Como se puede observar el cuerpo queda cargado, de igual signo, que el inductor.

c) Por inducción.- En este caso es necesario, que uno de los cuerpos este cargado (inductor), al acercarse al cuerpo, se atrae las cargas de signo opuesto y se repele las cargas de igual signo. A continuación, el cuerpo que se quiere cargar (inducido) se coloca a la tierra y las cargas negativas van a tierra, si el inductor es negativo. Ascienden cargas negativas, si el inductor tiene cargas de signo positivo. Al final el cuerpo se carga de signo opuesto al inductor.

FIG.4

1.2.- DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.Según las dimensiones del cuerpo que se considere, la carga eléctrica puede distribuirse, de tres maneras: a) DENSIDAD LINEAL DE CARGAS.- Cuando las dimensiones de longitud es muchísimo mayor que las otras dimensiones, entonces, se define la densidad lineal de carga: FIG. 5

b) DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA.- Se define cuando la superficie del cuerpo es predominante y en ella se deposita la carga. 𝛿=

𝑄 𝑆

ó

𝛿=

𝑑𝑄 𝑑𝑆

c) DENSIDAD VOLUMÉTRICA DE CARGA.- Se define cuando la carga se distribuye en todo el volumen del cuerpo. 𝜌=

𝑄 𝑉

ó 𝜌=

𝑑𝑄 𝑑𝑉

CARGA ELÉCTRICA 1.- Una esfera maciza no conductora de radio a, con una cavidad esférica de radio b, como la Fig tiene una distribución de carga volumétrica 𝜌, donde B es una constante. Hallar la carga que se encuentra en la esfera (𝜌 =

𝐵 ) 𝑟3

SOLUCIÓN.𝐵

CARGA VOLUMÉTRICA: (𝜌 = 𝑟3 ) Por definición: 𝑄 = ∫ 𝜌 𝑑𝑉, para este caso 𝑏 𝐵 𝑄 = ∫ ( 3 ) (4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟) 𝑎 𝑟 𝑎 𝑄 = 4𝜋𝐵𝐿𝑛 ( ) 𝑏

2.- Una semiesfera hueca dieléctrica tiene una distribución de carga eléctrica tiene una distribución de carga eléctrica 𝜎(𝜃) = 𝜎0 sin 𝜃, donde 𝜎0 está en (𝐶/𝑚2 ). Halle la carga total que se encuentra en la semiesfera hueca de radio 𝑎. SOLUCIÓN.Se tiene por definición: 𝑄 = ∫ 𝜎𝑑𝑠 = ∫ 𝜎(2𝜋𝑦𝑑𝑙) = 𝑄 = ∫ 𝜎0 sin 𝜃 (2𝜋𝑎 sin 𝜃)(𝑎𝑑𝜃) 𝜋⁄ 2

2

𝑄 = 2𝜋𝑎 𝜎0 ∫

0 2

𝑄 = 𝜎0 𝜋 2 𝑎 ⁄2

(sin 𝜃)2 𝑑𝜃

3.- Una esfera maciza dieléctrica de radio a, tiene una distribución de carga volumétrica 𝜌 = 𝐴/(1 + 𝑟) donde A es una constante. Halle la carga total. SOLUCIÓN.Por definición: 𝑄 = ∫ 𝜌𝑑𝑉 = ∫ 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 𝑎

𝑄=∫ 0

𝐴 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 1+𝑟

Integrando: 𝑎

𝑎

𝑎

𝑄 = 4𝜋𝐴 (∫ 𝑟𝑑𝑟 − ∫ 𝑑𝑟 + ∫ 0

0

0

𝑑𝑟 )= 1+𝑟

𝑄 = 4𝜋𝐴[𝑎2 ⁄2 − 𝑎 + 𝐿𝑛(1 + 𝑎)]

4.- Un anillo circular de radio a con una distribución lineal de carga 𝜆 = 𝜆0 (1 + cos 𝜃), como en la FIG. Halla la carga total del anillo. SOLUCIÓN.Se tiene: 𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙 2𝜋

𝑄 = ∫ 𝜆0 (1 + cos 𝜃)(𝑎𝑑𝜃) = 0

Integrando: 𝑄 = 2𝜋𝑎𝜆0

5.- Dos partículas de cargas 𝑞1 y 𝑞2 (positivas) están separadas por cierta distancia d. Suponga que se transfiere cierta cantidad de carga 𝑞1 y 𝑞2 de tal modo que las cargas resultantes son (𝑞1 − 𝑞)y (𝑞2 + 𝑞). Para qué valor de q, tendrá un valor máximo la fuerza de repulsión entre las partículas? SOLUCIÓN.-

Sea la figura que representa las condiciones del problema. Hallamos la fuerza entre las cargas dadas 𝐹=𝐾

(𝑞1 − 𝑞)(𝑞2 + 𝑞) 𝑑2

Derivando F con respecto a q, para hallar el máximo: 𝜕𝐹 = −𝑞2 + 𝑞1 − 2𝑞 = 0 𝜕𝑞 𝑞 = (𝑞1 − 𝑞2 )⁄2

6.- Que carga Q adquiriría una esfera de cobre de radio R=10cm, si se consiguiera extraer de ella todos los electrones de conducción? La masa atómica del cobre es A=64 y su densidad 8.9g/cc. La carga del electrón es 1.6 ∗ 10−19 𝐶, la constante de Avogadro 𝑁𝐴 = 6.02 ∗ 1023 moléculas. Considerar que a cada átomo de cobre corresponde un electrón de conducción. SOLUCIÓN.Sea la carga total Q que hay en la esfera de radio R. Q = ne, donde n es el número de átomos que hay en la esfera. Como a cada átomo de cobre le corresponde un electrón de conducción, entonces n también es el número de electrones. Este valor se halla así: 𝑛 = 𝑚 𝑁𝐴 ⁄𝐴, donde m: masa de cobre. 4 𝑛 = 𝜌 𝜋𝑅 3 𝑁𝐴 ⁄𝐴 3 Luego: 𝑄 = 𝑒4𝜋𝑅 3 𝜌 𝑁𝐴 ⁄3𝐴, reemplazando valores 𝑄 = 5.6 ∗ 107 𝐶

7.- Sobre un disco de radio R en el plano XY con centro en el origen, se tiene una distribución superficial de carga 𝜎 = 𝑎𝑟 2 , donde a es una constante. Hallar la carga total del disco. SOLUCIÓN.-

Tomamos un dS en el cual hay un dq. 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝑠 𝑞 = ∫ 𝜎𝑑𝑠 𝑅

𝑅

𝑞 = ∫ 𝑎𝑟 2 (2𝜋𝑟𝑑𝑟) = 2𝜋𝑎 ∫ 𝑟 3 𝑑𝑟 0

0

𝑞=

2𝜋𝑎𝑅 4 𝜋𝑎𝑅 4 = 4 2

8.- Un cilindro de radio b y longitud L, tiene una densidad de carga 𝜌 = 𝐾𝑟 3 , donde r es medida a lo largo del radio del cilindro. Hallar la carga total del cilindro (K es una constante). SOLUCIÓN.Por definición: 𝜌 = 𝑑𝑄 ⁄𝑑𝑉 𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌(2𝜋𝑟𝐿𝑑𝑟) 𝑏

𝑄 = ∫ 𝐾𝑟 3 (2𝜋𝑟𝐿𝑑𝑟) = 𝑎 𝑏

𝑄 = 2𝜋𝐾𝐿 ∫ 𝑟 4 𝑑𝑟 = 𝑎

𝑄 = 2𝜋𝐾𝐿 𝑏 5 ⁄5

9.- Una esfera de radio b, tiene un hueco esférico de radio a como se muestra en la figura. Si se tiene una densidad de carga 𝜌 = 𝐾 ⁄𝑟 donde K es una constante, hallar la carga total que tiene la esfera. SOLUCIÓN.Por definición: 𝑄 = ∫ 𝜌𝑑𝑉 𝐾 𝑄 = ∫ ( ) (4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟) 𝑟

𝑏

𝑄 = 4𝜋𝐾 ∫ 𝑟𝑑𝑟 = 𝑎

𝑄 = 2𝜋𝐾(𝑏 2 − 𝑎2 )

10.- Se tiene un alambre de longitud L, que posee una distribución lineal de carga 𝜆 = 𝜆0 (1 + 𝑥). Hallar la carga total en el alambre. SOLUCIÓN.-

Por definición: 𝜆 = 𝑑𝑄 ⁄𝑑𝑙 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙 = 𝜆0 (1 + 𝑥)𝑑𝑥 𝐿

𝑄 = ∫ 𝜆0 (1 + 𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝐿 𝑄 = 𝜆0 𝐿 (1 + ) 2

11.- El electrón en un átomo de hidrógeno se puede suponer “disperso” en todo el volumen atómico con una densidad 𝜌 = 𝑐𝑒 −2𝑟⁄𝑎0 , donde 𝑎0 = 0.53 × 10−10 𝑚. a) Hallar la constante c de modo que la carga total sea (-e). b) Hallar la carga total de una esfera de radio 𝑎0 , que corresponde al radio de la órbita del elctrón. c) Hallar el campo eléctrico en función de r. SOLUCIÓN.a) Por definición: 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑉 𝑞 = ∫ 𝑐𝑒 −2𝑟⁄𝑎0 (4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟) = −𝑒 Si 𝑥 = 2𝑟⁄𝑎0 (cambio de variable)

𝑎03 ∞ 2 −𝑥 4𝜋𝑐𝑎03 ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 8 0 8 −𝑒 = 𝜋𝑐𝑎03 , 𝑐 = −𝑒⁄𝜋𝑎03

−𝑒 = 4𝜋𝑐

∞

Se usó: ∫0 𝑥 𝑛 𝑒 −0𝑥 𝑑𝑥 =

𝑛! 𝑎 𝑛+1

b) 𝑎0

𝑎0

𝑞 = ∫ 𝑑𝑉 = ∫ 𝑐𝑒 −2𝑟⁄𝑎0 (4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟) 0

0

Si 𝑥 = 2𝑟⁄𝑎0 y 𝑟 = 0 , 𝑥 = 0 𝑟 = 𝑎0 , 𝑟 = 2 𝑞 = 4𝜋 (−

2 3 𝑒 𝑎0 2 −𝑥 ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = ) 3 𝜋𝑎0 0 8

𝑞 = (−𝑒⁄2)[−(𝑥 2 + 2𝑥 + 2)𝑒 −𝑥 ]20 𝑞 = −0.32𝑒 c) Se desarrollará en el capítulo de campo eléctrico, ver problema Nro. 38

12. Dos esferas conductoras idénticas de signo opuesto, se atraen con una fuerza de 0.108N al estar separados 0.5m. Las esferas se interconectan con un alambre conductor y a continuación se desconectan. En esta nueva situación se repelen con una fuerza de 0.036N. ¿Cuáles eran las cargas iniciales en las esferas? SOLUCIÓN.Situación inicial: 𝐹=𝐾

𝑄1 𝑄2 = −0.108 𝑑2

𝐾 = 9 ∗ 109 𝑁𝑚2⁄𝐶 2 𝑑 = 0.5𝑚 𝑞1 𝑞2 = −3 ∗ 10−12 (1) Al conectarse entre ellas y por ser las esferas idénticas, la carga se distribuye por igual y la situación final es: 𝐹=𝐾

𝑞𝑞 = 0.036 𝑑2

𝑞 2 = 10−12

,

𝑞 = 10−6

Como en cada esfera hay carga q y no ha habido pérdida de carga: 𝑞 + 𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2 2 ∗ 10−6 = 𝑞1 + 𝑞2 … (2)

De (1) en (2) 𝑞1 = 3 ∗ 10−6 𝑞2 = −1 ∗ 10−6

II)

ó 𝑞1 = −1 ∗ 10−6 ó 𝑞2 = 3 ∗ 10−6

FUERZA ELÉCTRICA

Como cargas de igual signo, se repelen y de signo opuesto se atraen, entonces Ch. Coulomb, realizó pruebas en el laboratorio usando la balanza de torsión, para medir las fuerzas entre las cargas puntuales o puntiformes. 2.1.- CARGAS PUNTUALES.Son aquellas cuyas dimensiones espaciales son muy pequeñas en comparación con cualquier otra longitud pertinente al problema en consideración. Sea dos cuerpos cargados, de carga q y q’, separadas a una distancia r, Coulomb, enunció su ley experimentable: “La interacción electrostática entre dos partículas cargadas es proporcional a sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y su dirección es según la recta que las une”.

𝐹⃗ = 𝐾(𝑞𝑞′⁄𝑟 2 )𝑟̂ Unidades: Cuando la carga se expresa en Coulombs, la distancia en metros, la constante: 𝐾 = 9 ∗ 109 𝑁𝑚2⁄𝐶 2 𝐾 = 1⁄4 𝜋𝜀0

, donde

𝜀0 : permitividad en el vacío = 8.854 ∗ 10−12 𝐶 2 ⁄𝑁𝑚2

2.2.- PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.- La fuerza existente entre dos cargas, no se modifican por la presencia de una tercera carga. 2.4.- FUERZA PARA UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGA.Si se tiene más de dos cargas puntuales, la fuerzas mutuas, se determinan, aplicando el principio de superposición.

Por ser las fuerzas 𝐹⃗ 𝑖 concurrentes, la resultante se halla, sumando las componentes.

𝐹⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 + 𝐹⃗3 + … … … … … 𝐹⃗ = 𝐾

𝑞1 𝑞0 𝑞2 𝑞0 𝑞3 𝑞0 𝑟̂ + … … …. 2 𝑟̂1 + 𝐾 2 𝑟̂2 + 𝐾 𝑟1 𝑟2 𝑟32 3 𝑛

𝐹⃗ = 𝐾𝑞0 ∑ ( 𝑖=1

𝑞𝑖 𝑟̂ ) 𝑟𝑖2 𝑖

2.4.- FUERZA PARA UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA.En este caso, se tiene que tomar un diferencial de carga dQ, hallar la fuerza entre ésta y la carga 𝑞0 y después integrar.

𝑑𝐹 = 𝐾𝑞0 𝑑𝑄 ⁄𝑟 2 𝑄

𝐹⃗ = 𝐾𝑞0 ∫ (𝑑𝑄 ⁄𝑟 2 )𝑟̂ 0

FUERZA ELÉCTRICA 1.- En los vértices de un triángulo equilátero de lado l se encuentran tres cargas puntuales de signo negativo e igual magnitud. Que carga debe colocarse en el centroide del triángulo para que el sistema permanezca estático. SOLUCIÓN.-

Consideramos la condición de equilibrio para una de las cargas (-q) situada en la parte inferior a la derecha actúan las fuerzas: 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 , 𝐹⃗3 , 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 (−𝑞) ∑ 𝐹𝑥 = −𝐹1 cos 30° + 𝐹2 cos 60° + 𝐹3 = 0 ∑ 𝑟𝑥 = −

𝐾𝑄 √3 𝑞𝑞 1 𝑞𝑞 ( )+𝐾 2 ( )+𝐾 2 = 0 2 𝑅 2 𝑙 2 𝑙

Se obtiene: 𝑄 = 0.577𝑞 También se puede trabajar en el eje y: ∑ 𝐹𝑦 = 𝐹1 sin 30° − 𝐹2 sin 60° + 𝐹3 = 0 ∑ 𝑟𝑦 =

𝐾𝑄𝑞 1 𝐾𝑞 2 √3 ( )− 2 ( )=0 𝑅0 2 𝑙 2 𝑄 = 0.577𝑞

2.- Dos cargas de Q coulombs, están situadas en dos de ls vértices opuestos de un cuadrado. Que cargas q sería necesario añadir en los dos otros vértices para conseguir que la fuerza resultante sobre cada una de las cargas q fuera nula. SOLUCIÓN.Sean las fuerzas: 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 , 𝐹⃗3 , que actúan sobre la carga Q, que está en la parte inferior izquerda del cuadrado ∑ 𝐹⃗ = 𝐾

0=

𝑞1 𝑄 𝐾𝑞 2 √2 𝑞𝑄 √2 (−𝑗̂ ) (−𝑗̂)] + 𝐾 2 (−𝑖̂) = 0 + [ (−𝑖̂) + 2 2 𝑎 2𝑎 2 2 𝑎

𝐾𝑞 2 √2 𝐾𝑞 2 √2 (−𝑖̂ ) [ 𝑄 + 𝑞] + [𝑞 + 𝑄] (−𝑗̂) 2 2 𝑎 4 𝑎 4

De aquí se obtiene: q = -0.35Q, tanto para la componente en X,Y

3.- Ocho partículas todas ellas de carga q, están distribuidas en ángulos relativos de 2𝜋⁄8 en torno a un círculo de radio a. Se pone una partícula de carga Q en el eje del círculo y a una distancia b de su centro. Hallar la magnitud de la fuerza sobre Q. SOLUCIÓN.-

Usemos tres gráficos para explicar los componentes de la fuerza sobre los ejes X, Y son nulas y sólo se suponen sobre el eje Z.

Se observa que el valor de cada una de las fuerzas es: 𝐹 = 𝐾𝑞𝑄⁄[(𝑎2 + 𝑏 2 )] Se observa 𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑧 =

𝐾𝑞𝑄 cos 𝜃 = 𝐾𝑞𝑄𝑏⁄(𝑎2 + 𝑏 2 ) + 𝑏2]

[𝑎2

Como son 8 cargas, la fuerza total es: ̂ = 2𝑞𝑄𝑏⁄𝜋𝜀0 [𝑎2 + 𝑏 2 ]3⁄2 𝐾 ̂ 𝐹⃗ = 8𝐹𝑧 𝐾

4.- Una carga 𝑞 = 2 ∗ 10−5 𝐶 es dividida en dos cargas puntiformes de valores 𝑞 y 𝑞 − 𝑞1 colocados a una distancia d=1m una de la otra en el vacío. Se pide hallar las dos fracciones de la carga 𝑞 que, en la situación arriba especificada; dan una fuerza de repulsión máxima y el valor de esta fuerza. SOLUCIÓN.Dado el gráfico, hallemos la fuerza entre las cargas. 𝐹 = 𝐾𝑞1 (𝑞 − 𝑞1 )⁄𝑑2 , para hallar el máximo derivamos: 𝜕𝐹 = 𝑞 − 2𝑞1 = 0 , 𝑞1 = 𝑞⁄2 𝜕𝑞1 y 𝑞 − 𝑞1 = 𝑞⁄2

Se entiende que es un máximo porque: 𝜕 2 𝐹 ⁄𝜕𝑞12 < 0 Reemplazando valores: 𝑞1 = 𝑞⁄2 = 2 ∗ 10−5 𝐶 ⁄2 = 10−5 𝐶 y el valor de la fuerza: 𝐹 = 0.9𝑁

5.- Dos balones iguales llenos de helio, atados a una masa de 5g flotan en equilibrio, como se ve en la fig. en cada balón hay una carga Q. Hallar el valor de Q. SOLUCIÓN.- Se tiene los gráficos:

Por estar el sistema en equilibrio en todo instante: ∑ 𝐹𝑥 = 2𝑇 cos 𝜃 − 𝑚𝑔 = 0 … … … … (1) ∑ 𝐹𝑦 = 𝑇 sin 𝜃 − 𝐹𝑒 = 0 … … … … (2) De (1) y (2): 𝐹𝑒 = 𝑚𝑔 tan 𝜃⁄2 𝐾𝑄 2 𝑚𝑔 = tan 𝜃 , 𝑟2 2

4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑄=√ 𝑚𝑔 tan 𝜃 2

𝑄 = 0.55 ∗ 10−6 𝐶

6.- Halle la densidad de carga que debe tomar un casquete del cual cuelga una esferita de masa m y carga q, como se muestra en la fig., para que la tensión en el hilo sea cero. SOLUCIÓN.-

Por condición de equilibrio: ∑ 𝐹 = 𝑇 − 𝐹𝑒𝑦 − 𝑚𝑔 = 0 … … … (1) 𝑑𝐹𝑒𝑦 = 𝑑𝐹𝑒 cos 𝜃 Hallemos 𝐹𝑒 : 𝑑𝐹𝑒𝑦 =

𝐾𝑞𝑑𝑄 cos 𝜃 𝑎2

45°

(𝜎2𝜋𝑟 sin 𝜃)(𝑎𝑑𝜃) cos 𝜃

𝐹𝑒𝑦 = 𝐾𝑞 ∫ 0

𝐹=−

𝑞𝜎 45° ∫ cos 𝜃 (− sin 𝜃 𝑑𝜃) 2𝜀0 0

Integrando: 𝐹𝑒𝑦 = 𝑞𝜎⁄8𝜀0 Según el problema T = 0 en (1) −𝐹𝑒 − 𝑚𝑔 = 0 −𝐹𝑒 = 𝑚𝑔

, − 𝑞𝜎⁄8𝜀0 = 𝑚𝑔

Luego: 𝜎 = − 8𝜀0 𝑚𝑔⁄𝑞

7.- Cuatro cargas puntuales cada una de 20𝜇 están situadas en el eje X y en el eje Y a ±4𝑚. Halle la fuerza sobre una carga puntual de 100𝜇𝐶 situada en (0,0,3)m. SOLUCIÓN.-

Sea 𝑞 = 20𝜇𝐶 𝑞0 = 100𝜇𝐶 𝑞𝑖 = 𝑞 Para hallar la fuerza sobre 𝑞0 , por teoría: 4

𝐹⃗ = 𝐾 ∑ ( 𝑖=1

𝑞𝑖 𝑞0 𝑟̂𝑖 ) 𝑟𝑖2

Pero las componentes en X, y se anulan: 𝐹𝑠 = 4𝐹 cos 𝜃 = 4𝐾 𝐹⃗ =

𝑞0 𝑞 𝑥 ( ) 𝑟2 𝑟

4 100 ∗ 10−6 ∗ 20 ∗ 10−6 3 ̂ ( )𝐾 4𝜋𝜀0 52 5

⃗⃗ 𝐹⃗𝑠 = 1.73𝑁𝐾

8.- Calcular la Fuerza sobre la partícula 𝑞0 de la fig suponiendo que 𝜆 está dada por 𝜆 = 𝜆0 (1 − en donde 𝜆0 es constante.

2𝑥 ) 𝐿

SOLUCIÓN.-

Tomamos un diferencial de longitud dx, donde hay un diferencial de carga dQ y hallamos la fuerza entre dQ y 𝑞0 : 𝑑𝐹⃗ = 𝐾

𝑞0 𝑑𝑄 𝐾𝑞0 𝜆𝑑𝑥 𝑖̂ = 𝑖̂ (𝐿 + 𝑎 − 𝑥)2 (𝐿 + 𝑎 − 𝑥)2 𝐿

𝐹⃗ = 𝐾𝑞0 𝜆0 ∫ 0

(1 − 2𝑥⁄𝐿) 𝑑𝑥𝑖̂ (𝐿 + 𝑎 − 𝑥)2

Integrando: 𝐹⃗ =

𝑞𝜆0 2 𝐿 𝐿 + 2𝑎 [ ln (1 + ) − ] 𝑖̂ 4𝜋𝜀0 𝐿 𝑎 𝑎(𝑎 + 𝐿)

9.- Halle la fuerza sobre una carga puntual de 30𝜇𝐶 situada en (0,0,5)𝑚 debida a un cuadrado de 4m en el plano 𝑧 = 0 entre 𝑥 = ±2𝑚 y 𝑦 = ±2𝑚 con una carga total de 500𝜇𝐶 distribuida uniformente. SOLUCIÓN.Hallando la densidad superficial de carga: 𝜎=

𝑄 500 ∗ 10−6 𝐶 = 𝑆 16 𝑚2

𝜎 = 31.25 ∗ 10−6 𝐶 ⁄𝑚2 Todas las componentes en x,y se anulan y subsisten las componentes en el eje z. 𝐹⃗ = 𝐾 ∫ 𝜎

𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 ( ) = 𝐾𝜎𝑧 ∫ 3⁄2 𝑘̂ 2 𝑅 𝑅 𝑅

𝑦=2

𝐹⃗ = 𝐾𝜎𝑧 ∫

𝑥=2

∫

𝑦=−2 𝑥=−2

(𝑥 2

𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑘̂ + 𝑦 2 + 25)3⁄2

Integrando: 𝐹⃗𝑧 = 4.66𝑁𝑘̂

10.- Dentro de un condensador plano cuyo campo tiene una intensidad igual a E, gira uniformente una esferita de masa m y carga +q, suspendida de un hilo de longitud L. El ángulo de inclinación del hilo respecto a la vertical es θ. Hallar la tensión del hilo y la energía cinética de la esferita. SOLUCIÓN.-

Como no hay movimiento a lo largo del eje y: ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑇 cos 𝜃 − 𝐹𝑒 − 𝑚𝑔 = 0 𝑇 cos 𝜃 = 𝐹𝑒 + 𝑚𝑔 = 𝑞𝐸 + 𝑚𝑔

𝑇=

𝑚𝑔 + 𝑞𝐸 cos 𝜃

En el eje x: ∑ 𝐹 = 𝐹𝑐 𝑇 sin 𝜃 =

𝑚𝑣 2 … … … (1) 𝑟

La energía cinética se define: 1 𝐸𝑐 = 𝑚𝑣 2 , 2

𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 (1)

1 𝐿 sin 𝜃 𝐸𝑐 = (𝑟𝑇 sin 𝜃) = 𝑇 sin 𝜃 2 2 1 𝐸𝑐 = 𝐿𝑇(sin 𝜃)2 2

11.- Una partícula alfa (𝛼)pasa rápidamente por el mismo centro de una molécula de hidrógeno moviéndose a lo largo de una recta perpendicular al eje internuclear. La distancia entre los núcleos es b, en qué lugar de la trayectoria la partícula experimenta mayo fuerza. Suponemos que los núcleos no se mueven durante el proceso del paso de la partícula. SOLUCIÓN.-

Se observa que los componentes en el eje y,z, se anulan por simetría. 𝐹𝑥 = 2𝐹 cos 𝜃 = 2𝐾 𝐹𝑥 = 4𝐾𝑒 2

[(𝑏⁄2)2

2𝑒(𝑒) 𝑥 ( ) 𝑑2 𝑑 𝑥 + 𝑥 2 ]3⁄2

Hallamos el máximo: 𝜕𝐹𝑥 =0 𝜕𝑥 𝑥=±

𝑏 2√2

12.- Se tiene seis cargas iguales q colocadas en los vértices de un hexágono de lado L. Cuál es el valor de la carga Q, colocada en el centro, para que el sistema esté en equilibrio. SOLUCIÓN.Hallemos la fuerza sobre la carga que está en la parte superior del hexágono y hay seis fuerzas. Las componentes en el eje x: ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑥 = 𝐹1 + 𝐹2 cos 30° + 𝐹3 cos 60° + 𝐹4 cos 60° − 𝐹5 cos 60° =0 ∑ 𝐹𝑥 =

𝐾𝑞 2 𝐾𝑞 2 √3 𝐾𝑞 2 𝐾𝑞𝑄 1 𝐾𝑞 2 1 + + + ( ) − ( ) ( ) 2 (2𝐿)2 𝐿2 2 𝐿2 2 𝐿2 2 (𝐿√3) =0

Simplificando: 𝑄 = −1.83𝑞

13.- Dos esfera idénticas de corchos de masa m y carga q, están suspendidas del mismo punto de dos cuerdas de longitud L. Hallar el ángulo θ que las cuerdas forman con la vertical una vez logrado el equilibrio. SOLUCIÓN.Hagamos dos gráficos

Cuando se hallan en equilibrio: ∑ 𝐹𝑥 = 𝑇 sin 𝜃 − 𝐹𝑒 = 0, 𝑇 sin 𝜃 = 𝐹𝑒 ∑ 𝐹𝑦 = 𝑇 cos 𝜃 − 𝑚𝑔 = 0, 𝑇 cos 𝜃 = 𝑚𝑔 tan 𝜃 =

𝐹𝑒 𝐾𝑞 2 = 𝑚𝑔 𝑚𝑔𝑟 2

Dónde: 𝑟 = 2𝑙 sin 𝜃 tan 𝜃 (sin 𝜃)2 =

𝐾𝑞 2 𝑚𝑔 4𝑙 2

Esta es una ecuación con una sola incógnita, que puede ser solucionada.

14.- Dos esferitas de masa 𝑚1 y 𝑚2 con cargas +𝑞1y +𝑞2 respectivamente están unidas por un hilo que pasa a través de una polea inmóvil. Hallar la aceleración de las esferitas y la tensión del hilo, si todo el sistema es introducido en un campo electrostático homogéneo de intensidad E cuyas líneas de fuerzas están dirigidas verticalmente hacia abajo. Se desprecia la interacción entre las esferitas. SOLUCIÓN.-

Hallemos las fuerzas sobre 𝑚2 : 𝑇 − 𝑞2 𝐸 − 𝑚2 𝑔 = 𝑚2 𝑎 … … … … (1) Sobre 𝑚1 : 𝑚1 𝑔 + 𝑞1 𝐸 − 𝑇 = 𝑚1 𝑎 … … … … (2) De (1) y (2): 𝑎 = (𝑚1 − 𝑚2 )𝑔 + (𝑞1 − 𝑄𝑞2 )𝐸⁄(𝑚1 + 𝑚2 ) 𝑇 = 2𝑚1 𝑚2 𝑔 + 𝐸(𝑞1 𝑚2 + 𝑞2 𝑚1 )⁄(𝑚1 + 𝑚2 )

15.- Se lanza un electrón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 5000 𝑁⁄𝐶 dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es 107 𝑚⁄𝑠 y forma un ángulo de 30° por encima de la horizontal. a) Hallar el tiempo requerido para que el electrón alcance su altura máxima. b) Calcular la elevación máxima que alcanza a partir de su posición inicial. c) Qué distancia horizontal recorre el electrón para alcanzar su nivel inicial. SOLUCIÓN.-

a) La altura máxima se alcanza para: 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 𝑡 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 𝑡 = 0 , 𝑎𝑦 = 𝐹 ⁄𝑚 = −𝑒𝐸⁄𝑚 𝑣0 sin 𝜃 + (−𝑒𝐸⁄𝑚 )𝑡𝑚 = 0 Reemplazando valores 𝑡𝑚 = 0.57 ∗ 10−8 𝑠

b) Para hallar la altura máxima: 2 𝑦1 = 𝑣0𝑦 𝑡𝑚 + 1⁄2 𝑎𝑦 𝑡𝑚 = 2 𝑦1 = 𝑣0 sin 𝜃 𝑡𝑚 + 1⁄2 (−𝑒𝐸⁄𝑚)𝑡𝑚 =

Reemplazando valores 𝑦1 = 1.46𝑐𝑚 c) El alcance máximo lo consigue cuando 𝑡 = 2𝑡𝑚 𝑥2 = 𝑣0𝑥 𝑡 = 𝑣0 cos 𝜃 2𝑡𝑚 = Reemplazando valores: 𝑥2 = 9.86𝑐𝑚

16.- Un aparato de Millikan se observa que una gota de aceite cargada cae a través de una distancia de 1mm en 27.4seg. en ausencia de un campo eléctrico externo. La misma gota permanece estacionaria en un campo de 2.37 ∗ 104 𝑁⁄𝐶 . ¿Cuántos electrones en exceso ha adquirido la gota? La viscosidad del aire es 1.8 ∗ 10−5 𝑁𝑠⁄𝑚2 . La densidad del aceite es 800 𝑘𝑔⁄𝑚3 y la del aire es 1.30 𝑘𝑔⁄𝑚3 . SOLUCIÓN.Sea 𝐹𝑛 la fuerza de viscosidad del aire. 𝐸𝑎𝑖 : empuje del aire W: peso de la gota de aire. Cuando no hay campo eléctrico se tiene : 𝐹𝑛 + 𝐸𝑎𝑖 -W = 0 porque la velocidad permanece constante 6𝜋𝜂𝑟𝑣1 + 𝜌𝑎𝑖 4⁄3 𝜋𝑟 3 𝑔 − 𝜌𝑎𝑐 4⁄3 𝜋𝑟 3 𝑔 = 0 1⁄ 2

𝑟 = [9𝑛 𝑣1 ⁄2 (𝜌𝑎𝑐 − 𝜌𝑎𝑖 )𝑔] Dónde: 𝑣1 = 𝑑⁄𝑡 = 10−3⁄27.4 = 365 ∗ 10−7 𝑚⁄𝑠 Reemplazando valores: 𝑟 = 62 ∗ 10−8 𝑚

Cuando existe campo eléctrico; para que la gota permanezca estacionaria es necesario: ⃗⃗⃗⃗ = 0 𝐸⃗⃗𝑎𝑖 + 𝐹⃗𝑒 + 𝑊 𝐸𝑎𝑖 + 𝐹𝑒 = 𝑊 4 4 𝜌𝑎𝑖 𝑔 𝜋𝑟 3 + (𝑁𝑒 )𝐸 = 𝜋𝑟 3 𝜌𝑎𝑐 𝑔 3 3 𝑁𝑒 𝐸 = (𝜌𝑎𝑐 − 𝜌𝑎𝑖 )𝑔 4⁄3 𝜋𝑟 3 = 6𝜋𝜂𝑟𝑣1 𝑁 = 6𝜋𝜂𝑟𝑣1 ⁄𝑒𝐸 = 2

17.- Dos partículas de cargas -2C y 5C se encuentran a una distancia de separación de 0.5m. Dónde se podrá poner una tercera carga a lo largo de la línea que las une, para que no experimenten ninguna fuerza eléctrica? SOLUCIÓN.Sea el gráfico del problema:

Sobre la carga 𝑞0 actúan dos fuerzas cuyos módulos son iguales y de sentido opuesto, para cumplir la condición del problema. ∑ 𝐹 = 𝐹⃗2 + 𝐹⃗5 = 0 𝐾𝑞0 (2𝐶) 𝐾𝑞0 (5𝐶) (𝑖̂) + (−𝑖̂) = 0 2 (𝑥 + 0.5)2 𝑥 Simplificando: 3𝑥 2 − 2𝑥 − 0.5 = 0 Resolviendo: 𝑥 = 0.86𝑚

18.- Encuentre la fuerza sobre una carga puntual de 30𝜇𝐶 situada en (0,0,5)𝑚 debida a un cuadrado de 4m en el plano z = 0 entre 𝑥 = ±2𝑚 y 𝑦 = ±2𝑚 con una carga total de 500𝜇𝐶 distribuida uniformente. SOLUCIÓN.-

La densidad de carga será: 𝜎=

𝑄 500𝜇𝐶 = 𝑆 16𝑚2

Los componentes de la fuerza 𝐹⃗ , en el eje x,y se anulan por simetría. Sólo queda la componente en el eje z. ∫ 𝑑𝐹⃗𝑧 = ∫ 𝑑𝐹 cos 𝜃 𝑘̂ 𝐹⃗𝑧 = ∫

𝐾𝑑𝑄 𝑑𝑄 5 cos 𝜃 𝑘̂ = 𝐾 ∫ 2 ( ) 𝑘̂ 2 𝑅 𝑅 𝑅 𝐹𝑧 = 5𝐾 ∫ ∫

+