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´ ELECTRONICA DE POTENCIA ´ ASPECTOS GENERALES Y CONVERTIDORES ELECTRONICOS

POR

ALEXANDER BUENO MONTILLA PROFESOR TITULAR ´ DEPARTAMENTO DE CONVERSION Y TRANSPORTE DE ENERG´ IA

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Inversor

´ BOL´IVAR UNIVERSIDAD SIMON Caracas, Venezuela Junio 2017 1

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Carga

Prefacio El conocimiento de las estructuras y topolog´ıas b´asicas de los convertidores electr´onicos de potencia resulta imprescindible para comprender c´omo funcionan los sistemas de alimentaci´on electr´onicos modernos y los accionamientos el´ectricos. El control de velocidad y posici´on de las m´aquinas el´ectricas, sean estas de corriente continua, inducci´on, s´ıncronas o especiales, como motores paso a paso, no puede desligarse en la actualidad de la electr´onica de potencia. La justificaci´on de esta necesidad reside en el hecho de que, en muchos casos, la fuente primaria de energ´ıa el´ectrica presenta un formato en cuanto a su forma, valores de amplitud, frecuencia y n´ umero de fases, que no es compatible con el requerido por el convertidor electromec´anico, por lo que debe introducirse un elemento convertidor que realice las labores de conversi´on. Por otra parte, los sistemas electr´onicos demandan fuentes de alimentaci´on con m´ ultiples tensiones de salida y una relaci´on potencia/volumen cada vez mayor. Como dificultad adicional, los sistemas de alimentaci´on deben proporcionar tensiones o corrientes con tolerancias cada vez menores, mejores niveles de rizado y menores niveles de distorsi´on. Estos requerimientos solo pueden ser alcanzados mediante la utilizaci´on de la electr´onica de potencia la cual permite el proceso de conversi´on de energ´ıa el´ectrica de forma eficiente y en altos bloques de energ´ıa.

i

ii

´Indice general

Prefacio

I

´Indice general

I

III

Conceptos B´ asicos

1

1. An´ alisis de los Circuitos Mediante Series de Fourier.

3

1.1. Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Expresiones de la Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Serie de Fourier forma compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Transformada R´apida de Fourier (FFT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5. Simetr´ıa de la Funci´on g(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5.1. Funci´on Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5.2. Funci´on Impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.3. Simetr´ıa de Media Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6. Coeficientes de Fourier de Ondas Sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6.1. Funciones Pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6.2. Funciones Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6.3. Funciones con Simetr´ıa de Media Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.7. Valor Efectivo o Eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.8. Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.9. Factor de Distorsi´on Arm´onica Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.10. Factor de Rizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 iii

´INDICE GENERAL

iv 1.11. Factor de Forma

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.12. An´alisis de Circuitos El´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.13. C´alculo de Potencia Para Formas de Onda Peri´odicas No Sinusoidales . . . . . 12 1.13.1. Potencia Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.13.2. Potencia Aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.13.3. Factor de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.14. Potencia de Distorsi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.15. Ejemplo de Aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.16. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Calidad de Servicio El´ ectrico

19

2.1. Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. Oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Variaciones de Tensi´on de Corta Duraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Hueco o Sag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Oleaje o Swell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3. Interrupci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Variaciones de Tensi´on de Larga Duraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Desbalance de tensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5. Parpadeo de tensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6. Desbalance de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.7. Distorsi´on en la Forma de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.8. Caracter´ıstica y Clasificaci´on de los fen´omenos Electromagn´eticos . . . . . . . 29 2.9. Curva CBEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.10. Curva ITIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.11. L´ımites de distorsi´on de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.12. L´ımites de distorsi´on de tensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

´INDICE GENERAL 3. Vectores Espaciales

v 35

3.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Sistema Trif´asico sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Sistema trif´asico con arm´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4. Circuitos con Interruptores

41

4.1. Definiciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Circuito Resistivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3. Circuito Resistivo Capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.1. Resoluci´on de la Ecuaci´on Diferencial en Corriente

. . . . . . . . . . . 44

4.3.2. Soluci´on de la Ecuaci´on Diferencial Utilizando Transformada de Laplace 45 4.3.3. Formas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4. Circuito Resistivo Inductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4.1. Resoluci´on de la Ecuaci´on Diferencial en Corriente: . . . . . . . . . . . 47 4.4.2. Resoluci´on de la Ecuaci´on Diferencial por Transformada de Laplace . . 47 4.4.3. Formas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5.1. Soluci´on Homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5.2. Soluci´on Particular Fuente Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5.3. Soluci´on Particular (R´egimen Sinusoidal Permanente) . . . . . . . . . . 49 4.5.4. Soluci´on Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5.4.1. Soluci´on Particular por el M´etodo Cl´asico. . . . . . . . . . . . 50 4.5.5. Formas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II

Aspectos Generales y Dispositivos

5. Electr´ onica de Potencia

53 55

5.1. Rese˜ na Hist´orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2. Funciones B´asicas de los Convertidores Electr´onicos de Potencia . . . . . . . . 56

´INDICE GENERAL

vi

5.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3.1. Residencial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3.2. Comercial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3.3. Industrial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3.4. Transporte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3.5. Transmisi´on y Otras Utilidades: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4. Dispositivos como Interruptores Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.5. Dispositivos Semiconductores de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.5.1. Diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.5.2. Tiristor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.5.3. Triac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.5.4. Tiristores Auto Desactivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5.5. Transistores BJT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.5.6. MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5.7. IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.5.8. SIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.6. Clasificaci´on de los Semiconductores de Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.7. Selecci´on de Semiconductores de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.8. Topolog´ıas B´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.9. Ventajas y Desventajas de la Electr´onica de Potencia . . . . . . . . . . . . . . 78

III

Convertidores AC - DC

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado

81 83

6.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2. Rectificador con Carga Resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2.1. Tensi´on Media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2.2. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.2.3. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

´INDICE GENERAL

vii

6.2.4. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2.5. Factor de Rizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3.1. Tensi´on Media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.3.2. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.3.3. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3.4. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3.5. Factor de Rizado en Tensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3.6. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.4. Rectificador con Carga Inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.4.1. Tensi´on Media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.4.2. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4.3. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.4.4. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.4.5. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.5. Rectificador con Diodo de Descarga Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.5.1. R´egimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.5.2. Estado Estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.5.2.1. Tensi´on Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.5.2.2. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.5.2.3. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.5.2.4. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.5.3. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.6. Rectificador con Carga Activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.6.1. Soluci´on Homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.6.2. Soluci´on Particular Fuente Constante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.6.3. Soluci´on Particular (R´egimen Sinusoidal Permanente) . . . . . . . . . . 112 6.6.4. Soluci´on Total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.6.5. Tensi´on Media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

´INDICE GENERAL

viii

6.6.6. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.6.7. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.6.8. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.6.9. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.7. Ejemplo:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.7.1. Rectificador con Carga RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.7.1.1. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7. Rectificador de Media Onda Controlado

129

7.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2. Rectificador con Carga Resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.2.1. Tensi´on Media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.2.2. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.2.3. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.2.4. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.2.5. Factor de Rizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.3.1. La corriente para tα ≤ t ≤ tβ es: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.3.1.1. Soluci´on Homog´enea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.3.1.2. Soluci´on Particular (R´egimen Sinusoidal Permanente) . . . . . 135 7.3.1.3. Soluci´on Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.3.2. Tensi´on Media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.3.3. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.3.4. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.3.5. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.3.6. Factor de Rizado en Tensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.3.7. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.4. Rectificador con Carga Inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

´INDICE GENERAL 7.4.1. Tensi´on Media

ix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.4.2. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.4.3. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.4.4. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.4.5. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.5. Rectificador con Carga Activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.5.1. C´alculo del l´ımite de controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.5.2. Soluci´on Homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.5.3. Soluci´on Particular Fuente Constante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.5.4. Soluci´on Particular (R´egimen Sinusoidal Permanente) . . . . . . . . . . 150 7.5.5. Soluci´on Total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.5.6. Tensi´on Media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.5.7. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.5.8. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.5.9. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.5.10. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8. Rectificador Monof´ asico

159

8.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.3. Esquema del Rectificador Monof´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 8.4. Operaci´on del Puente Rectificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 8.5. Circuito Equivalente del Puente Rectificador Monof´asico . . . . . . . . . . . . 166 8.6. An´alisis de la Condici´on No Continuada de Corriente . . . . . . . . . . . . . . 167 8.6.1. C´alculo del L´ımite de Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.6.2. Corriente en la carga: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.6.3. Tensi´on Media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.6.4. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

´INDICE GENERAL

x

8.6.5. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.6.6. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.7. An´alisis de la Condici´on Continuada de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.7.1. C´alculo del L´ımite de Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.7.2. Soluci´on Homog´enea.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.7.3. Soluci´on Particular Fuente Constante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.7.4. Soluci´on Particular (R´egimen Sinusoidal Permanente) . . . . . . . . . . 173 8.7.5. Soluci´on Total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.7.6. Tensi´on Media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.7.7. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.7.8. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.7.9. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.7.10. An´alisis en Series de Fourier de la Tensi´on en la Carga . . . . . . . . . 177 8.7.10.1. C´alculo de los t´erminos cn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.7.10.2. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.8. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.9. Puente Semicontrolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.9.1. Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.9.1.1. Corriente para el intervalo α ≤ ωt ≤ π . . . . . . . . . . . . . 186 8.9.1.2. Corriente para el intervalo π ≤ ωt ≤ π + α . . . . . . . . . . . 187 8.9.1.3. Condici´on continuada de corriente . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.9.2. Tensi´on media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.9.3. Tensi´on efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.9.4. Corriente media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.9.5. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.10. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.10.1. Puente Rectificador de Diodos con Carga Resistiva . . . . . . . . . . . 192 8.10.2. Puente Rectificador de Diodos con Carga RL . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.10.3. Puente Rectificador de Diodos con Carga RC . . . . . . . . . . . . . . . 198

´INDICE GENERAL

xi

8.10.3.1. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.10.4. Puente Rectificador de Diodos con filtro LC y Carga RL . . . . . . . . . 203 8.10.4.1. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9. Rectificador Trif´ asico

215

9.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.3. Esquema del Rectificador Trif´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.4. Operaci´on del Puente Rectificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.5. An´alisis de la Operaci´on del Puente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.5.1. C´alculo del L´ımite de Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.5.2. Soluci´on Homog´enea.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.5.3. Soluci´on Particular Fuente Constante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.5.4. Soluci´on Particular (R´egimen Sinusoidal Permanente) . . . . . . . . . . 224 9.5.5. Soluci´on Total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 9.5.6. Tensi´on Media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.5.7. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.5.8. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.5.9. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.5.10. Serie de Fourier en condici´on continuada . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.5.11. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.6. Manejador de Disparo de los SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.7.1. Puente Rectificador de Diodos con Carga RL . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.7.2. Puente Rectificador de Diodos con Carga RC . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.7.2.1. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.7.3. Puente Rectificador de Diodos con filtro LC y Carga RL . . . . . . . . . 239 9.7.3.1. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

xii

´INDICE GENERAL

10.Efecto de la Inductancia del Generador en los Rectificadores

249

10.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 10.2. Rectificador de Media Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 10.2.1. An´alisis del proceso de conmutaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.2.2. Corriente en la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.2.3. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.3. Rectificador Monof´asico No Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.3.1. An´alisis del Proceso de Conmutaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 10.4. Rectificador Monof´asico Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.4.1. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 10.5. Rectificador Trif´asico No Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10.5.1. An´alisis del Proceso de Conmutaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.6. Rectificador Trif´asico Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 10.7. Impacto del Rectificador sobre el Sistema Alterno . . . . . . . . . . . . . . . . 274 10.8. Regulaci´on Internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 10.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 11.Efecto de los Rectificadores de Diodos sobre el Sistema de Potencia

279

11.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 11.2. Rectificador de media onda con diodo de descarga libre . . . . . . . . . . . . . 279 11.3. Rectificador de media onda bif´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 11.4. Rectificador monof´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 11.5. Rectificador trif´asico de media onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 11.6. Rectificador trif´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 11.7. Rectificador hexaf´asico de media onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 11.8. Rectificador hexaf´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 11.9. Rectificador Dodecaf´asico o de 12 pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 11.10.Desbalances de tensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 11.11.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

´INDICE GENERAL

IV

Convertidores AC - AC

12.Controlador AC - AC

xiii

309 311

12.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 12.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 12.3. Puente Semicontrolado Monof´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 12.3.1. Formas de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 12.3.2. Expresi´on de Corriente α ≤ ωt ≤ β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 ´ 12.3.3. Angulo de Apagado (β ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 12.3.4. L´ımite de Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.3.5. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.3.6. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.3.7. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.4. Puente Controlado Monof´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 12.4.1. Forma de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 12.4.2. Expresi´on de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 ´ 12.4.3. Angulo de Apagado (β ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 12.4.4. L´ımite de Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 12.4.5. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 12.4.6. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 12.4.7. Configuraciones Adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 12.4.8. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 12.5. Esquemas de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 12.6. Puente Controlado Trif´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 12.6.1. Configuraciones en Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 12.6.2. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 12.7. Controlador por Modulaci´on de Ancho de Pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 12.7.1. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 12.8. Compensador Est´atico de Reactivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 12.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

´INDICE GENERAL

xiv

V

Convertidores DC - DC

13.Controlador DC - DC

347 349

13.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 13.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 13.3. Tipos de Convertidores DC - DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 13.3.1. Chopper Reductor o Tipo ”A” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 13.3.2. Chopper Elevador o Tipo ”B” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 13.3.3. Chopper Tipo ”C” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 13.3.4. Chopper Tipo ”D” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 13.3.5. Chopper Tipo ”E” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 13.4. An´alisis del Chopper Reductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 13.4.1. Condici´on No Continuada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 13.4.1.1. Expresi´on de Corriente Condici´on No Continuada. . . . . . . 355 13.4.2. Condici´on Continuada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 13.4.3. Expresi´on de Corriente Condici´on Continuada. . . . . . . . . . . . . . . 358 13.4.3.1. Primer ciclo de operaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 13.4.3.2. Segundo ciclo de operaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 13.4.3.3. R´egimen Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 13.4.3.4. Tensi´on Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 13.4.4. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 13.5. Chopper Elevador con carga LE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 13.5.1. Expresi´on de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 13.6. Chopper elevador con carga activa RLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 13.6.1. Etapa de acumulaci´on de energ´ıa 0 ≤ t ≤ ton . . . . . . . . . . . . . . . 368 13.6.2. Etapa de devoluci´on de energ´ıa a la fuente ton ≤ t ≤ T . . . . . . . . . . 368 13.6.3. Rizado de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 13.6.4. Potencia promedio de devuelta a la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 13.6.5. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

´INDICE GENERAL

xv

13.7. Convertidor Buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 13.7.1. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 13.7.2. An´alisis aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 13.8. Convertidor Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 13.8.1. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 13.8.2. An´alisis aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 13.9. Convertidor Buck-Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 13.9.1. An´alisis aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 13.10.Frenado El´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 13.10.1.Frenado Regenerativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 13.10.2.Frenado Reost´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 13.10.3.Frenado Combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 13.11.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 14.Convertidores Resonantes

393

14.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 14.2. Topolog´ıa de interruptores resonantes a Cero Corriente . . . . . . . . . . . . . 393 14.3. Topolog´ıa de interruptores resonantes a Cero Tensi´on . . . . . . . . . . . . . . 395 14.4. Convertidor resonante Buck por conmutaci´on ZCS . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.4.1. Modelo I (0 ≤ t ≤ t1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.4.2. Modelo II (t1 ≤ t ≤ t2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 14.4.3. Modelo III (t2 ≤ t ≤ t3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 14.4.4. Modelo IV (t3 ≤ t ≤ T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 14.4.5. Tensi´on media del condensador C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 14.4.6. Tensi´on de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 14.4.7. Formas de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 14.4.8. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 14.5. Convertidor resonante Buck por conmutaci´on ZV S . . . . . . . . . . . . . . . . 405 14.5.1. Modelo I (0 ≤ t ≤ t1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

´INDICE GENERAL

xvi

14.5.2. Modelo II (t1 ≤ t ≤ t2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.5.3. Modelo III (t2 ≤ t ≤ t3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 14.5.4. Modelo IV (t3 ≤ t ≤ T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 14.5.5. Tensi´on media sobre la carga

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

14.5.6. Formas de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.5.7. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.6. Convertidor resonante Boost por conmutaci´on ZCS . . . . . . . . . . . . . . . 413 14.6.1. Modelo I (0 ≤ t ≤ t1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 14.6.2. Modelo II (t1 ≤ t ≤ t2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 14.6.3. Modelo III (t2 ≤ t ≤ t3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 14.6.4. Modelo IV (t3 ≤ t ≤ T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 14.6.5. Tensi´on de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 14.6.6. Formas de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 14.6.7. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 14.7. Convertidor resonante Boost por conmutaci´on ZV S . . . . . . . . . . . . . . . 421 14.7.1. Modelo I (0 ≤ t ≤ t1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 14.7.2. Modelo II (t1 ≤ t ≤ t2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 14.7.3. Modelo III (t2 ≤ t ≤ t3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 14.7.4. Modelo IV (t3 ≤ t ≤ T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 14.7.5. Tensi´on de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 14.7.6. Formas de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 14.7.7. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 14.8. Convertidor resonante Buck-Boost por conmutaci´on ZCS . . . . . . . . . . . . 429 14.8.1. Modelo I (0 ≤ t ≤ t1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 14.8.2. Modelo II (t1 ≤ t ≤ t2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 14.8.3. Modelo III (t2 ≤ t ≤ t3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 14.8.4. Modelo IV (t3 ≤ t ≤ T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 14.8.5. Periodo del puente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 14.8.6. Formas de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 14.8.7. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 14.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

´INDICE GENERAL

xvii

VI

441

Convertidores DC - AC

15.Inversores

443

15.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 15.2. Principio de Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 15.3. Inversor Monof´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 15.3.1. Expresi´on de Corriente en R´egimen Permanente . . . . . . . . . . . . . 450 15.3.2. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 15.3.3. Expresi´on en Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 15.3.3.1. Tensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 15.3.3.2. Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 15.3.4. Factor de Distorsi´on Arm´onica (T HD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 15.3.5. Potencia Activa de 1ra Arm´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 15.4. Inversor Trif´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 15.4.1. Tensi´on en Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 15.4.2. Tensi´on Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 15.4.3. Factor de Distorsi´on Arm´onica Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 15.4.4. Modelo en Vectores Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 15.4.4.1. Inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 15.4.4.2. Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 15.5. Modulaci´on por Ancho de Pulso (PW M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 15.5.1. ´Indice de Modulaci´on de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 15.5.2. ´Indice de Modulaci´on de Amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 15.5.3. Contenido Arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 15.6. Modulaci´on de Ancho de Pulso Modificada SPW M

. . . . . . . . . . . . . . . 465

15.7. T´ecnicas Avanzadas de Modulaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 15.7.1. Trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 15.7.2. Por Inyecci´on de Arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 15.7.3. Escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

´INDICE GENERAL

xviii

15.7.4. Por Pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 15.7.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 15.8. Modulaci´on Delta de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 15.9. Instalaci´on de Inversores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 15.10.Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 15.10.1.Inversor monof´asico con carga resistiva inductiva. . . . . . . . . . . . . 479 15.10.2.Modelo en vectores espaciales del inversor trif´asico con carga RL. . . . . 480 15.10.3.Modulaci´on delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 15.11.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

VII Especificaciones y Protecci´ on de Dispositivos Electr´ onicos de Potencia 487 16.Especificaciones de Componentes de Potencia

489

16.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 16.2. Tensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 16.3. Corriente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

16.4. Frecuencia de Interrupci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 16.5. Capacidad de Variaci´on de Corriente (di/dt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 16.6. Capacidad de Variaci´on de Tensi´on (dv/dt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 16.7. Requisitos de Activaci´on y Apagado de Compuerta . . . . . . . . . . . . . . . 491 16.8. Protecci´on con Fusible I 2t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 16.9. Temperatura

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

16.10.P´erdidas en Diodos y Tiristores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 16.10.1.P´erdidas de Conducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 16.10.2.Modelo T´ermico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 16.11.Hojas de Datos de Diodos y Tiristores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 16.12.P´erdidas en Transistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 16.12.1.P´erdidas de Bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 16.12.2.P´erdidas de Conducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

´INDICE GENERAL

xix

16.12.3.P´erdidas de Conmutaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 16.12.3.1.Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 16.12.3.2.Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 16.12.3.3.Modelo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 16.12.4.P´erdidas Totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 16.13.Hoja de Datos IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 17.Protecci´ on de Sobrecorriente en Semiconductores

505

17.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 17.2. Fusibles ultra r´apidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 17.3. Protecci´on termo-magn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 17.4. Protecci´on activa de transistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 18.Barra de Corriente Continua

513

18.1. Aspecto Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 18.2. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 18.3. Manejador de frenado din´amico y regenerativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 18.3.1. Frenado din´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 18.3.2. Frenado regenerativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

VIII

Accionamientos de M´ aquinas El´ ectricas Rotativas

19.Introducci´ on a los Sistemas con Accionamiento El´ ectrico.

519 521

19.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 19.2. Accionamiento para M´aquinas El´ectricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 20.Sistemas Mec´ anicos y Par Resistente

527

20.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 20.2. Par de Fricci´on o Rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 20.3. Par de Torsi´on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

20.4. Conversi´on Entre Sistemas Lineales y Rotatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

´INDICE GENERAL

xx

20.5. Caja de Cambio o Engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 20.6. Caracter´ısticas Mec´anicas de Operaci´on de un Accionamiento El´ectrico . . . . 535 20.6.1. Par acelerante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 20.6.2. Cuadrantes de Operaci´on de un Accionamiento . . . . . . . . . . . . . 536 20.6.3. Par Resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 21.M´ aquina de Corriente Continua

541

21.1. Principio de Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 21.2. Modelo de la M´aquina de Corriente Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 21.3. Determinaci´on de los Par´ametros del Modelo de la M´aquina de Corriente Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 21.4. Tipos de Conexi´on de la M´aquina de Corriente Continua . . . . . . . . . . . . 549 21.4.1. Conexi´on Independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 21.4.2. Conexi´on Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 21.4.3. Conexi´on Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 21.5. Accionamiento de las M´aquinas de Corriente Continua . . . . . . . . . . . . . 555 21.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 22.M´ aquina de Inducci´ on

563

22.1. Modelo en Vectores Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 22.2. Modelo en R´egimen Sinusoidal Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 22.2.1. Equivalente Th´evening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 22.2.2. Caracter´ıstica Par Deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 22.2.3. Par El´ectrico Aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 22.3. Par´ametros del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 22.4. Estudio en r´egimen permanente de la m´aquina de inducci´on . . . . . . . . . . 577 22.4.1. Comportamiento de la m´aquina de inducci´on ante variaciones de la tensi´on de alimentaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 22.4.2. Comportamiento de la m´aquina de inducci´on ante variaciones de la frecuencia de alimentaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

´INDICE GENERAL

xxi

22.4.3. Comportamiento de la m´aquina de inducci´on ante variaciones de la tensi´on y frecuencia de alimentaci´on constantes. . . . . . . . . . . . . . 583 22.4.4. Comportamiento de la m´aquina de inducci´on ante variaciones de la resistencia de rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 22.5. Clasificaci´on NEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 22.6. Arranque de la M´aquina de Inducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 22.6.1. El arrancador estrella-delta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 22.6.2. El arrancador por autotransformador: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 22.6.2.1. Arranque por conexi´on de bobinas serie-paralelo: . . . . . . . 590 22.7. Accionamientos de la M´aquina de Inducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 22.7.1. Control Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 22.7.1.1. Arranca Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 22.7.1.2. Tensi´on - Frecuencia Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 22.7.1.3. Accionamiento a Deslizamiento Constante . . . . . . . . . . . 602 22.7.2. Control Vectorial por Campo Orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 22.7.3. Control Vectorial Directo de Par y Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 22.7.3.1. Expresi´on vectorial de par el´ectrico y del enlace de flujo en el estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 22.7.3.2. Estrategia de control directo de par . . . . . . . . . . . . . . . 612 22.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 23.M´ aquina Sincr´ onica

621

23.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 23.2. Descripci´on de la m´aquina sincr´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 23.3. Modelo de la m´aquina sincr´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 23.4. Transformaci´on a vectores espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 23.5. Transformaci´on a coordenadas rot´oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 23.6. Transformaci´on de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 23.7. R´egimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 23.8. Circuito equivalente de la m´aquina sincr´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

´INDICE GENERAL

xxii

23.9. M´aquinas de im´an permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 23.9.1. Ecuaciones de la m´aquina sincr´onica de im´an permanente referidas al rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 23.10.Accionamiento de la m´aquina sincr´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 23.10.1.Control tensi´on frecuencia constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 23.10.2.Control vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 23.10.3.Control Directo de Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

IX

T´ ecnicas Modernas de Control

645

24.Potencia Instant´ anea

647

24.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 24.2. Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 24.3. Teorema de Poynting en Campos Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 24.4. Vectores Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 24.5. Potencia Activa y Reactiva Instant´anea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

24.5.1. Operaci´on Balanceada y Desbalanceada: . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 24.5.2. Operaci´on Arm´onica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 24.5.3. Operaci´on Transitoria: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 24.6. Teor´ıa de potencia instant´anea en compensaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 24.6.1. Compensador serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 24.6.2. Compensador paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 ´ nea . . . . . . . . . . . . 659 24.7. Ventajas del control de potencia instanta 25.Rectificador por Modulaci´ on de Ancho de Pulso

661

25.1. Rectificadores bidireccionales de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 25.1.1. Rectificador V SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 25.1.2. Rectificador CSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 25.2. Rectificadores Unidireccionales de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668 25.2.1. Rectificador PW M Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

´INDICE GENERAL

xxiii

25.2.2. Rectificador Vienna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 25.3. Esquemas de Control para Rectificadores PW M . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 25.3.1. Control de potencia instant´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 25.3.2. Control de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 26.Modulaci´ on de Vectores Espaciales

677

26.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677 26.2. Modulaci´on de Vectores Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678 26.2.1. Modulaci´on Generalizada en coordenadas vectoriales (x, y) . . . . . . . 680 26.2.2. Modulaci´on Generalizada en coordenadas naturales (a, b, c) . . . . . . . 684 26.2.3. Relaci´on de uso del vector nulo δ en SV PW M . . . . . . . . . . . . . . 684 26.2.4. M´etodo de Modulaci´on Generalizado utilizando δ . . . . . . . . . . . . 686 26.2.5. Ejemplos de secuencias de disparo del inversor . . . . . . . . . . . . . . 688 26.3. Resultados Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 26.4. Convertidores Multinivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 ´ n de vectores espaciales en convertidores mul26.4.1. Modulacio tinivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696

X

Bibliograf´ıa

Bibliograf´ıa

XI

Ap´ endices

A. Circuitos de Primer y Segundo Orden

699 701

709 711

A.1. Circuito de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 A.2. Circuito de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712 B. Modelo de Sistemas Lineales en Espacio de Estados

715

B.1. Descripci´on general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 B.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716

´INDICE GENERAL

xxiv C. Fundamentos de Electricidad

717

C.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 C.2. Potencia Instant´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 C.3. Valor Medio C.4. Valor Efectivo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

C.5. Fasor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 C.6. Impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 C.6.1. Reactancia Inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 C.6.2. Reactancia Capacitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 C.7. Leyes de Kirchhoff Fasoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 C.8. R´egimen Sinusoidal Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722 C.9. Potencia Aparente, Activa y Reactiva en Sistemas Sinusoidales . . . . . . . . . 723 C.10.M´etodo de Mallas en Forma Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 C.11.M´etodo de Nodos en Forma Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 C.12.Teorema de Th´evenin y Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 C.13.Teorema de M´axima Transferencia de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 C.14.Sistemas El´ectricos Trif´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729 C.14.1. Conexi´on Estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730 C.14.2. Conexi´on Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 C.14.3. Equivalente Delta Estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 C.14.4. Potencia Trif´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 D. Circuitos Magn´ eticos

735

D.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 D.2. Materiales Magn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 D.3. Leyes de los Circuitos Magn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737 D.4. Excitaci´on Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 D.4.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 D.5. Transformador Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

´INDICE GENERAL

xxv

E. Funciones Trigonom´ etricas

747

E.1. Funciones Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 E.2. Funciones Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 E.3. Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 F. Transformada de Laplace

751

F.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 F.2. Tabla de Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 G. Rutina de Integraci´ on Num´ erica de Paso Fijo (Ode1)

753

H. Hojas de Datos de Componentes

757

H.1. Diodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757 H.2. Tiristor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 H.3. IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 I. Seminario Interactivo de Electr´ onica de Potencia http://www.ipes.ethz.ch/ipes/sp_index.html

765

Parte I Conceptos B´ asicos

1

Cap´ıtulo 1

An´ alisis de los Circuitos Mediante Series de Fourier. Serie de Fourier Es una representaci´on a trav´es de expresiones trigonom´etricas de una funci´on peri´odica. Para esta representaci´on se utiliza una suma infinita de funciones sinusoidales y cosenoidales de distintas frecuencias, mutuamente ortogonales entre si. Una funci´on se denomina peri´odica si cumple:

g(t) = g (t + T )

(1.1)

Donde: T

es el tiempo en un periodo de la se˜ nal.

Si conocemos la frecuencia ( f ) en Hertz de la se˜ nal, se puede escribir la frecuencia el´ectrica como:

ω=

2π = 2π f T

(1.2)

Sustituyendo de ecuaci´on (1.2) en la ecuaci´on (1.1), se puede escribir la condici´on de periodicidad de una se˜ nal de la siguiente forma:

g (ωt) = g (ωt + 2π)

(1.3)

El teorema de Fourier indica que la funci´on peri´odica g(t) se puede escribir como el valor medio de la funci´on m´as una serie infinita de t´erminos sinusoidales en senos y coseno de 3

1.2. Expresiones de la Serie de Fourier

4

frecuencia angular nω, donde n es un entero positivo y se denomina arm´onica. Por lo tanto g(t) se puede escribir como:

g(t) =

∞ a0 + ∑ (an cos (nωt) + bn sen (nωt)) 2 n=1,2,3,···

(1.4)

Las expresiones constantes a0 , an y bn , se pueden determinar a partir de las siguientes expresiones: 2 a0 = T 2 an = T 2 bn = T

ˆ

ˆ

T

g(t)dt

(1.5)

g(t) cos (nωt) dt

(1.6)

g(t) sen (nωt) dt

(1.7)

0

T

0

ˆ

T

0

Las condiciones suficientes que debe cumplir una funci´on g(t) para ser representada mediante Series de Fourier son: 1. La funci´on g(t) debe ser continua en el per´ıodo T , o debe tener a lo sumo un n´ umero finito de discontinuidades en el intervalo de un per´ıodo. 2. La funci´on g(t) debe tener un n´ umero finito de m´aximos y m´ınimos en el periodo T . 3. La integral del valor absoluto de la funci´on g(t) en un per´ıodo debe ser finita. Las condiciones anteriores, son conocidas como condiciones de Dirichlet y si una funci´on g(t) las cumple puede ser expresada en series de Fourier. Sin embargo, existen funciones que no cumplen todas las condiciones anteriores y admiten representaci´on en series de Fourier.

Expresiones de la Serie de Fourier Los senos y cosenos de la expresi´on de la funci´on peri´odica g(t) de una misma frecuencia, pueden combinarse en una solo sinusoidal originando expresiones alternativas de la serie de Fourier.

g(t) =

∞ ∞ a0 a0 + ∑ |cn | cos (nωt + θn ) = + ∑ |cn | sen (nωt + ςn ) 2 n=1,2,3,··· 2 n=1,2,3,···

(1.8)

1. An´ alisis de los Circuitos Mediante Series de Fourier.

5

Donde: |cn | =

q

a2n + b2n 

bn θn = arctan an ςn = θn −



π 2

Serie de Fourier forma compleja Utilizando la identidad de Euler (e jϑ = cos(ϑ ) + j sen(ϑ )), se puede expresar la Serie de Fourier de forma compleja como: g(t) =

 ∞  ∞ ∗ D0 + ∑ Dn e jnωt + Dn e− jnωt = ∑ Dn e jnωt 2 n=1 n=−∞

(1.9)

Donde: 1 Dn = T

ˆ

T

g(t)e− jnωt dt

(1.10)

0

La relaci´on entre an , bn , cn y Dn es: an = 2ℜe (Dn ) ∀ n = 0, 1, 2, 3, · · · bn = 2ℑm (Dn ) ∀ n = 1, 2, 3, · · ·

(1.11)

cn = an + jbn = 2Dn

(1.12)

Sustituyendo la expresi´on (1.12) en la ecuaci´on (1.10), se obtiene:

cn

2 = T

ˆ

T

g(t)e jnωt dt = an + jbn

(1.13)

0

De la ecuaci´on 1.13, se puede escribir la funci´on g(t) como: ∞

g(t) =

  − j n 2π T t ℜe c e n ∑

n=0

(1.14)

1.4. Transformada R´ apida de Fourier (FFT )

6

Transformada R´ apida de Fourier (FFT ) Se define como la transformada r´apida de Fourier de una se˜ nal g(t) peri´odica y discretizada en “N” muestras en un periodo T a intervalos regulares “ts ”, como: F {g(t)}n = FFT {g(t)}n =

N−1

∑ g(k · ts) · e− j

2πkn N

(1.15)

k=0

Donde: T = N · ts

(1.16)

Se puede calcular los coeficientes de la serie de Fourier en forma compleja (Dn ) a partir de la expresi´on (1.15) como:

Dn ≈

1 T

N−1

∑ g(k · ts) · e− j

2πkn N

· ts

k=0 N−1

2πkn 1 g(k · ts ) · e− j N ∑ N k=0 1 ≈ F {g(t)}n N

Dn ≈ Dn

(1.17)

Sustituyendo la expresi´on (1.17) en (1.12), se puede calcular los coeficientes de la serie de Fourier (cn ) a partir de los coeficientes de la trasformada r´apida de Fourier como: cn = an + jbn ≈

2 F {g(t)}n ∀ n = 0, 1, 2, · · · , N − 1 N

(1.18)

Simetr´ıa de la Funci´ on g(t) Cuando la funci´on peri´odica g(t) presenta ciertas simetr´ıas, se simplifica enormemente el c´alculo de los coeficientes de Fourier. Las simetr´ıas m´as importantes a considerar son:

Funci´ on Par Se dice que la funci´on g(t) es una funci´on par, cuando se cumple la igualdad: g(−t) = g(t)

(1.19)

1. An´ alisis de los Circuitos Mediante Series de Fourier.

7

Funci´ on Impar Se dice que la funci´on g(t) es una funci´on impar, cuando se cumple la igualdad:

g(−t) = −g(t)

(1.20)

Simetr´ıa de Media Onda Se dice que una funci´on g(t) tiene una simetr´ıa de media onda, cuando cumple la condici´on:   T g(t) = −g t + 2

(1.21)

Coeficientes de Fourier de Ondas Sim´ etricas Las propiedades de simetr´ıa anteriormente presentadas, permiten simplificar el c´alculo de los coeficientes de Fourier. Si calculamos la integral en un periodo completo de las funciones que presentan simetr´ıa par o impar, tenemos:

ˆ

to +T

g(t)dt = t0

 ˆ to +T   g(t)dt ∀ g(t) par 2    t0 + T2     

0

(1.22)

∀ g(t) impar

Para evaluar los coeficientes de Fourier de las expresiones (1.6) y (1.7), es necesario evaluar la simetr´ıa de las funciones: h(t) = g(t) cos(nωt) (1.23) k(t) = g(t) sen(nωt) Si la funci´on g(t) es par, se obtiene: h(−t) = g(−t) cos(−nωt) = g(t) cos(nωt) = h(t) (1.24) k(−t) = g(−t) sen(−nωt) = −g(t) sen(nωt) = −k(t) Si la funci´on g(t) es impar, se obtiene:

1.6. Coeficientes de Fourier de Ondas Sim´ etricas

8

h(−t) = g(−t) cos(−nωt) = −g(t) cos(nωt) = −h(t) (1.25) k(−t) = g(−t) sen(−nωt) = g(t) sen(nωt) = k(t) Al evaluar los coeficientes de Fourier de las ecuaciones (1.6) y (1.7), con las simetr´ıas obtenidas en las expresiones (1.24) y (1.25) se obtiene:

Funciones Pares ˆ an =

2 T

T 2

− T2

ˆ g(t) cos(nωt)dt =

4 T

T 2

g(t) cos(nωt)dt

(1.26)

0

bn = 0

Funciones Impares

ˆ bn =

2 T

an = 0 T 2

− T2

g(t) sen(nωt)dt =

ˆ 4 T

T 2

(1.27)

g(t) sen(nωt)dt

0

Funciones con Simetr´ıa de Media Onda Utilizando la simetr´ıa de la expresi´on (1.21) en las ecuaciones (1.6) y (1.7), se puede demostrar que su desarrollo en serie de Fourier s´olo contiene arm´onicos impares. ˆ an =

2 T

− T2

ˆ bn =

2 T

T 2

T 2

− T2

"ˆ g(t) cos(nωt)dt =

2 T

− T2

"ˆ g(t) sen(nωt)dt =

2 T

ˆ

0

g(t) cos(nωt)dt +

# g(t) cos(nωt)dt

0

ˆ

0

− T2

T 2

g(t) sen(nωt)dt +

(1.28) T 2

# g(t) sen(nωt)dt

0

Realizando el cambio de variable t = τ − T /2 en la expresi´on (1.28) y teniendo en cuenta la simetr´ıa de media onda, se obtiene:

1. An´ alisis de los Circuitos Mediante Series de Fourier. "ˆ an =

2 T

ˆ

T 2

g τ−

0

"ˆ an =

2 T

T 2

2 T

cos nω τ −




− g (τ) cos nω τ −

2

T 2

g(t) cos(nωt)dt

T 2

dτ +

g (τ) sen nω τ −

# g(t) cos(nωt)dt

0

ˆ

0

#

0

ˆ
T

T 2

dτ +



g τ − T2 sen nω τ − T2 dτ +

0

2 T

T 2

(1.29)

ˆ

T 2

"ˆ bn =




0

"ˆ bn =

T 2

9


T 2

dτ +

T 2

# g(t) sen(nωt)dt

0 T 2

# g(t) sen(nωt)dt

0

Evaluando la expresi´on (1.29), para n par e impar se obtiene: n par: an = 0 (1.30) bn = 0 n impar: ˆ an =

4 T

g(t) cos(nωt) dt 0

ˆ 4 T

bn =

T 2

(1.31) T 2

g(t) sen(nωt) dt

0

Valor Efectivo o Eficaz El valor efectivo o eficaz de la funci´on peri´odica g(t) puede calcularse a partir de las arm´onicas de las series de Fourier, mediante la siguiente expresi´on:

s

∞

a20 +

Grms =

∑

G2rmsn

n=1,2,3,···

s =

1 T

ˆ 0

T

(g(t))2 dt

v u u = ta20 +

∞

∑

n=1,2,3,···



c √n 2

2 (1.32)

1.8. Valor Medio

10 Donde: Grmsn

corresponde al valor efectivo de la se˜ nal para la arm´onica n.

Valor Medio El valor medio de la funci´on peri´odica g(t) puede calcularse a partir del termino a0 de las series de Fourier, como: 1 a0 = G0 = 2 T

ˆ

T

g(t)dt

(1.33)

0

Factor de Distorsi´ on Arm´ onica Total El factor de distorsi´on arm´onica total (T HD) de una se˜ nal es una medida del contenido total de arm´onicas de la se˜ nal respecto a una referencia, generalmente la primera arm´onica, y se calcula como: q T HD =

G2rms − G2rms1 Grms1

q =

2 ∑∞ n=2,3,··· Grmsn

Grms1

(1.34)

Factor de Rizado El factor de rizado (FR) es una medida del contenido arm´onico total de la se˜ nal con respecto al valor medio de la misma. q FR =

G2rms − G20 G0

q =

2 ∑∞ n=1,2,3,··· Grmsn

G0

(1.35)

Factor de Forma El factor de forma mide la proporci´on entre el valor medio y efectivo de una se˜ nal.

FF =

Grms G0

(1.36)

1. An´ alisis de los Circuitos Mediante Series de Fourier.

11

An´ alisis de Circuitos El´ ectricos Si la funci´on peri´odica g(t), que acabamos de descomponer en serie de Fourier, alimenta en tensi´on un circuito el´ectrico como el mostrado en la figura 1.1 (v f (t) = g(t)), se puede calcular la expresi´on de la serie de Fourier de la corriente en la carga a trav´es del conocimiento de la serie de la tensi´on aplicada a la carga. +

vSw

−

Sw

i(t)

i(t)

+

R vcarga

v f (t) L i(t)

−

Figura 1.1: Circuito RL

Como se observa de la figura 1.1, la tensi´on en r´egimen permanente sobre la carga RL corresponde a la tensi´on de la fuente v f (t) posterior a la conexi´on del interruptor Sw . La tensi´on en la carga se puede expresar en Series de Fourier como: ∞

vcarga (t) = V0 +

Vn sen (nωt + ςn )

∑

(1.37)

n=1,2,···

donde:

V0 =

Vn = |cn | =

a0 2 q



a2n + b2n

bn ςn = arctan an

 −

π 2

La expresi´on de la corriente en serie de Fourier se puede obtener en funci´on de la serie de tensi´on de la expresi´on (1.37) como:

12

1.13. C´ alculo de Potencia Para Formas de Onda Peri´ odicas No Sinusoidales



∞

i(t) = I0 +

∑

n=1,2,···

 Vn sen (nωt + ςn − ϕn ) Zn

(1.38)

donde: I0 =

Zn =

V0 R

q R2 + (nωL)2 

nωL ϕn = arctan R



La expresi´on (1.38), se puede utilizar como respuesta particular en la soluci´on de la ecuaci´on diferencial que describe el comportamiento del circuito de la figura 1.1, con la finalidad de evaluar el r´egimen transitorio luego del cierre del interruptor Sw .

C´ alculo de Potencia Para Formas de Onda Peri´ odicas No Sinusoidales Los circuitos de electr´onica de potencia tienen, normalmente tensiones y/o corrientes que son sim´etricas pero no sinusoidales. En el caso general se pueden extrapolar los conceptos de potencia aparente y reactiva utilizados para formas de ondas sinusoidales. Uno de los errores comunes al calcular la potencia promedio en circuitos de potencia, es tratar de aplicar las relaciones de ondas sinusoidales para ondas que no los son.

Potencia Media Las formas de onda peri´odica de tensi´on y corriente pueden ser representadas a trav´es de su serie de Fourier como: ∞

v(t) = V0 + ∑ Vn sen (nωt + ψn ) n=1

(1.39) ∞

i(t) = I0 + ∑ In sen (nωt + φn ) n=1

La potencia media se puede calcular como:

1. An´ alisis de los Circuitos Mediante Series de Fourier. ˆ P=

1 T

ˆ

T

p(t)dt = 0

1 T

13

T

(v(t)i(t)) dt 0

(1.40) P=

´ 1 T T

0

"

#"

∞

V0 + ∑ Vn sen (nωt + ψn )

∞

#!

I0 + ∑ In sen (nωt + φn )

n=1

dt

n=1

Recordando la identidad trigonom´etrica:

sen(a) sen(b) =

1 (cos(a − b) − cos(a + b)) 2

∞



P = V0 I0 + ∑

n=1

 Vn In cos (ψn − φn ) 2

(1.41)

(1.42)

Potencia Aparente La potencia aparente se calcula a partir de los valores efectivos de la tensi´on y corriente como:

S = Vrms Irms =

p

P2 + Q2

(1.43)

Factor de Potencia El factor de potencia ( f p) se calcula a partir de su definici´on como: ∞

P fp= = S

V0 I0 + ∑

Vn In 2




cos (ψn − φn )

n=1

Vrms Irms

(1.44)

Potencia de Distorsi´ on En el caso particular que la tensi´on s´olo contenga la arm´onica fundamental y alimente una carga no lineal se obtiene: v(t) = V1 sen (ωt + ψ1 ) ∞

i(t) =

∑ In sen (nωt + φn)

n=1

(1.45)

1.14. Potencia de Distorsi´ on

14

La potencia media, se obtiene a partir de la expresi´on (1.40), como:  P=

 V1 I1 cos (ψ1 − φ1 ) = Vrms1 Irms1 cos (ψ1 − φ1 ) 2

(1.46)

Vrms Irms1 cos (ψ1 − φ1 ) Irms1 = cos (ψ1 − φ1 ) Vrms Irms Irms

(1.47)

El factor de potencia: fp=

Observe que para el caso sinusoidal permanente con arm´onica fundamental (n = 1) y carga lineal se obtiene: v(t) =

√ 2Vrms1 sen(ωt + ψ1 )

√ i(t) = 2Irms1 sen(ωt + φ1 ) f p1 =

Vrms1 Irms1 cos (ψ1 − φ1 ) = cos (ψ1 − φ1 ) Vrms1 Irms1

S1 = Vrms1 Irms1 (cos (ψ1 − φ1 ) + j sen (ψ1 − φ1 )) = P1 + jQ1

(1.48)

(1.49)

(1.50)

Note: que la potencia activa en ambos casos es igual. Utilizando el resultado de la expresi´on (1.49), se puede reescribir la ecuaci´on (1.47), como: fp=

Irms1 f p1 Irms

(1.51)

Definiendo el Factor de desplazamiento del factor de potencia (DPF) como: DPF ≡ f p1

(1.52)

Utilizando la definici´on (1.52) , se puede escribir la ecuaci´on (1.51) como: fp=

Irms1 DPF Irms

(1.53)

Se define la potencia de de distorsi´on ( D) como: s D ≡ Vrms1

∞ 2 ∑ Irms n

n6=1

! (1.54)

1. An´ alisis de los Circuitos Mediante Series de Fourier.

15

Utilizando la definici´on (1.54) y la expresi´on (1.50), la potencia aparente en la carga no lineal, se calcula como:

S=

q q p P2 + Q2 = P12 + Q21 + D2 = S12 + D2

(1.55)

Ejemplo de Aplicaci´ on En esta secci´on se calcula la expansi´on en series de Fourier de una onda cuadrada como la mostrada en la figura 1.2. Esta onda se puede representar matem´aticamente como:

v(t) =

   V  

0≤t ≤

   −V

T 2

T 2

(1.56)

v(t)

1 ms 0,3 → 50 ms 20 µs 5 µs

0 → 4 pu 0 → 8 pu 0 → 4 pu

0,5 → 30 ciclos 0,5 → 30 ciclos 0,5 ciclos → 3 s 30 ciclos → 3 s 30 ciclos → 3 s 3 s → 1 min 3 s → 1 min 3 s → 1 min

0,1 → 0,9 pu 1,1 → 1,8 pu < 0,1 pu 0,1 → 0,9 pu 1,1 → 1,8 pu < 0,1 pu 0,1 → 0,9 pu 1,1 → 1,2 pu

Sag Swell Interrupciones Sag Swell Interrupciones Sag Swell

Variaciones de larga duraci´on

Interrupci´ on sostenida Subtensiones Sobretensiones

> 1 min > 1 min > 1 min

0,0 pu 0,8 → 0,9 pu 1,1 → 1,2 pu

Tensi´on

Desbalance Nivel DC Distorsi´ on Arm´onicas forma Interarm´onicas de onda Notching Ruido Fluctuaciones

Estado Estacionario Estado Estacionario Estado Estacionario Estado Estacionario Estado Estacionario Estado Estacionario Intermitentes

0,5 → 2 % 0 → 0,1 % 0 → 20 % 0 → 2%

Variaciones de la frecuencia industrial

0 → 100th 0 → 6 kHz Banda ancha < 25 Hz

0 → 1% 0,1 → 7 %

< 10 s

Curva CBEMA La curva CBEMA se instaura al rededor del a˜ no 1977 y fue desarrollada por “Computer Business Equipment Manufacturers Association” para describir la tolerancia de la computadora central a variaciones de tensi´on del sistema de alimentaci´on. Mientras que muchos

2.9. Curva CBEMA

30

ordenadores modernos tienen una mayor tolerancia, la curva se ha convertido en un objetivo de dise˜ no est´andar para equipos sensibles que se aplicar´ıa en el sistema de potencia y un formato com´ un para presentar los datos de variaci´on de calidad del servicio el´ectrico. En la figura 2.13, se presenta un ejemplo de la curva CBEMA.

Aquellos puntos por encima de la traza positiva suponen causas de mal funcionamiento, tales como fallas en el aislamiento, disparos por sobretensi´on, y sobreexcitaci´on. Los puntos por debajo de la negativa implican causas de p´erdida de carga debido a la falta energ´ıa. El regi´on de tensi´on de ±10 % se encuentra definida como margen de estado estable de suministro dde tensi´on. Cualquier variaci´on de tensi´on dentro del ±10 % no ser´a evaluada como eventos ni perturbaci´on. La curva superior se encuentra definida por una duraci´on m´ınima de 1 mil´esima de ciclo (0,001 * Ciclo) y un desv´ıo de tensi´on respecto de la tensi´on nominal de alrededor de 200 %. Habitualmente se emplea la curva, a partir de la d´ecima parte de un ciclo (0,1 * Ciclo) debido a las limitaciones pr´acticas de los instrumentos de calidad de potencia y a las diferencias de criterios sobre la definici´on de magnitudes en el marco de tiempos subciclo.

Figura 2.13: Curva CBEMA

2. Calidad de Servicio El´ ectrico

31

Curva ITIC

El an´alisis mediante la curva CBEMA se sustituy´o por la curva ITIC en la d´ecada de los noventa y fue desarrollada por “Information Technology Industry Council”. Comparativamente la curva ITIC contempla la aplicaci´on en un espectro m´as amplio que la curva CBEMA, en lo relativo al comportamiento de los equipos presentes en la industria actual. El concepto en la industria de la curva CBEMA y las actuales fueron y han sido en bases de dise˜ no de nuevos dispositivos con mayores capacidades de compatibilizar con niveles superiores de variaciones de calidad de la energ´ıa el´ectrica. Por esta raz´on se han ampliado las tolerancias frente a eventos de tensi´on. LA curva ITiC fue desarrollada con fines de aplicaci´on para equipamientos de tensi´on nominal de 120V obtenidos de suministros 208Y/120V y 120/240V @ 60Hz, la aplicaci´on de los criterios de evaluaci´on no son exclusivos, permitiendo ser implementadas bajo el criterio t´ecnico en redes de 50Hz, para verificar la confiabilidad del suministro.

El plano duraci´on – magnitud de la curva CBEMA define adem´as de las dos regiones, de operaci´on y mal funcionamiento, otras tres regionales de an´alisis estad´ıstico. La zona de sobre tensiones u oleajes (swell) comprendida entre el 10 % y 20 % con duraciones inferiores a 0,5s. La zona de subtensiones (sag/dip) entre el −10 al −20 con duraciones limitadas por la curva negativa. Y por u ´ltimo, la zona de eventos con decaimiento oscilatorio de baja frecuencia (Low frequency decaying ringwave). Al igual que el criterio de la curva CBEMA, la regi´on de tensi´on de±10 % est´a definida como margen de estado estable de suministro, de modo que cualquier variaci´on de tensi´on dentro del ±10 % no ser´a evaluada como eventos ni perturbaci´on. Para la visualizaci´on de grandes cantidades de datos de control de calidad, con frecuencia se a˜ nade un tercer eje que represente el n´ umero de eventos dentro de cada rango predefinido por magnitud y duraci´on. Si se limita a s´olo a dos dimensiones se presentar´a una trama de puntos sobre el plano tiempo-duraci´on. En la figura 2.14, se presenta un ejemplo de la curva ITIC.

Sin embargo, hay que tener cuidado y tener presente que la curva ITIC no pretende reflejar el rendimiento de todos los equipos de base electr´onica. Hay varias variables tales como la potencia, nivel de tensi´on nominal de funcionamiento, y la complejidad del proceso para tratar de aplicar una talla u ´nica para todos curva ITIC. Esta curva no est´a destinado a servir como una especificaci´on de dise˜ no para los productos o sistemas de distribuci´on de corriente alterna. La curva ITIC describe tanto las condiciones de estado estacionario y transitorio.

2.11. L´ımites de distorsi´ on de corriente

32

Figura 2.14: Curva ITIC

L´ımites de distorsi´ on de corriente Idealmente, la distorsi´on arm´onica causada por un solo consumidor puede ser limitada a un nivel aceptable en alg´ un punto del sistema; en tanto que el sistema completo puede ser operado sin distorsi´on arm´onica sustancial en cualquier parte del mismo. Los l´ımites de distorsi´on arm´onica para sistemas de distribuci´on hasta 69 kV son [2] : Tabla 2.2: L´ımites de distorsi´on arm´onica de corriente para sistemas de distribuci´on en general (desde 120V hasta 69 kV ) [2]

∗

ISC IL

h < 11

11 ≤ h < 17

17 ≤ h < 23

23 ≤ h < 35

35 ≤ h

T HD

< 20∗ 20 < 50 50 < 100 100 < 1000 > 1000

4,0 7,0 10,0 12,0 15,0

2,0 3,5 4,5 5,5 7,0

1,5 2,5 4,0 5,0 6,0

0,6 1,0 1,5 2,0 2,5

0,3 0,5 0,7 1,0 1,4

5,0 8,0 12,0 15,0 20,0

Todo equipo de generaci´on de potencia est´a limitado a estos valores de distorsi´on de corriente, sin tener en cuenta la relaci´on IISCL .

2. Calidad de Servicio El´ ectrico

33

Donde: Isc

Corriente m´axima de cortocircuito en la barra de alimentaci´on com´ un a otras cargas.

IL

Corriente de carga (componente fundamental) en la barra de alimentaci´on.

Estos l´ımites pueden ser utilizados como valores de dise˜ no de un sistema en ”condiciones ideales” de operaci´on. Para periodos cortos, durante arranques o en condiciones inusuales, los limites pueden excederse en 50 %. Esta tabla esta formulada en base a los rectificadores de 6 pulsos para usarse con rectificadores de mas fases se pueden incrementar los valores en: r k=

# f ases 6

(2.5)

L´ımites de distorsi´ on de tensi´ on En el punto com´ un de acoplamiento PCC, se debe limitar los arm´onicos de tensi´on l´ınea a neutro de la siguiente forma: Diario: El percentil 99 del per´ıodo tiempo (3s) los valores deben ser inferiores a 1,5 veces los valores de la tabla 2.3 Semanal: El percentil 95 del per´ıodo de tiempo (10 min) Los valores deben ser inferiores a los valores dados en la tabla 2.3 Tabla 2.3: L´ımite de distorsi´on de Tensi´on [2] Tensi´on nominal de la Barra del PCC V ≤ 1,0kV 1 kV < V ≤ 69 kV 69 kV < V ≤ 161 kV 161 kV < V

Arm´onicos individuales ( %) 5,0 3,0 1,5 1,0

T HDv ( %) 8,0 5,0 2,5 1,5

Todos los valores deben estar en porcentaje de la tensi´on nominal a frecuencia industrial en el PCC. Tabla 2.3 se aplica a tensiones arm´onicos cuyas frecuencias son m´ ultiplos enteros de la frecuencia de alimentaci´on. Los sistemas de HV DC pueden tener hasta T HDv del 2 %.

34

2.12. L´ımites de distorsi´ on de tensi´ on

Cap´ıtulo 3

Vectores Espaciales Definici´ on Tradicionalmente en el an´alisis de sistemas de potencia se ha utilizado la transformaciones modales tales como: componentes sim´etricas, Clark, Park, entre otras. Estas transformaciones polif´asicas permiten desacoplar las ligazones entre las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema de potencia sim´etricos y que adicionalmente, pueden presentar componentes con simetr´ıa c´ıclica. En sistemas de potencia balanceados, conectados en estrella con neutro aislado o en delta, las componentes de secuencia cero pueden ser despreciadas, debido a que en esta condici´on son cero. Las componentes de secuencia positiva y negativa tienen un comportamiento similar, en especial en sistemas sim´etricos, y una es la compleja conjugada de la otra. Durante las u ´ltimas d´ecadas, la transformaci´on de vectores espaciales ha sido utilizada ampliamente en el control din´amico de m´aquinas el´ectricas. Definiendo la transformaci´on de vectores espaciales como: 

r h 2 2π − x→ 1 ej 3 fn ≡ 3

ej

4π 3

 x (t) a i   jξ (t)  xb (t)  = xα (t) + jxβ (t) = x(t) e xc (t)

(3.1)

p El coeficiente 2/3 es necesario para mantener la in varianza de potencia entre el sistema de coordenadas primitivas(a, b, c) y el de vectores espaciales (α, β ). Este coeficiente viene dado p √ por la transformaci´on hermitiana de componentes sim´etricas ( 1/3) y el 2 para producir en vectores espaciales la misma potencia activa instant´anea que el sistema original debido al efecto de la secuencia negativa en sistemas balanceados. El vector espacial es una representaci´on en el plano complejo de una cantidad trif´asica, esta representaci´on incluye la variaci´on en el tiempo a diferencia del fasor utilizado para representar una cantidad sinusoidal en r´egimen permanente donde se desprecia esta variaci´on ya que todos los fasores giran a la misma velocidad. 35

3.1. Definici´ on

36

Se puede calcular el vector espacial de las cantidades l´ınea a l´ınea y su relaci´on con el vector espacial de las cantidades l´ınea a neutro es la misma que la relaci´on entre un fasor l´ınea a l´ınea y uno l´ınea a neutro. A partir de la definici´on (24.17), se puede calcular el vector espacial a partir de las cantidades l´ınea a l´ınea, como:

 → − xll =

q h 2 3

1 ej

2π 3

ej

4π 3

i

 xab (t) q h 2π    xbc (t)  = 23 1 e j 3 xca (t)   4π → − x→ x = 1−ej 3 −

 ej

4π 3

i

   xa (t) xb (t)      xb (t)  −  xc (t)  xc (t) xa (t)

fn

ll

(3.2) √ π → → − xll = 3 e j 6 − xfn

(3.3)

Se puede calcular la cantidad fase neutro aplicada a partir del vector espacial como:
ℜe − v→ fn =

r   1 2 va (t) − (vb (t) + vc (t)) 3 2

(3.4)

Como el sistema no posee neutro conectado, se tiene que:

va (t) + vb (t) + vc (t) = 0 ⇒ va (t) = − (vb (t) + vc (t))

(3.5)

Sustituyendo el resultado de la expresi´on (3.5) en la ecuaci´on (3.4), se obtiene: r va (t) =


2 ℜe − v→ fn 3

(3.6) 4π

Si rotamos el vector espacial de la expresi´on (24.17) en e j 3 , y aplicando un procedimiento an´alogo al utilizado para la expresi´on (3.6), se obtiene:  − j 4π v→ f ne 3 =

q h 2 3

ej

4π 3

1 ej

2π 3

i

 va (t) q     − → 2 j 4π 3  vb (t)  ⇒ vb (t) = 3 ℜe v f n e vc (t)

(3.7)

De la ecuaci´on (3.5), se obtiene el valor de vc (t) como: vc (t) = − (va (t) + vb (t))

(3.8)

3. Vectores Espaciales

37

Sistema Trif´ asico sinusoidal Al aplicar la transformaci´on de vectores espaciales (24.17) a un sistema de trif´asico, balanceados de secuencia positiva se obtiene:

− x→ fn =

− x→ fn =

1 2

q h 2 3

q h

1 ej

2 3

2π 3

− x→ fn =

1 ej

ej

3 2

4π 3

2π 3

ej

4π 3

  cos (ωt + υ) i√
  2X  cos ωt + υ − 2π 3
 cos ωt + υ − 4π 3

     1 1    i√  4π 2π     j(ωt+υ) − j(ωt+υ) j j 2X e  e 3 +e  e 3    4π   j 2π e 3 ej 3

(3.9)

q √ √ 2 j(ωt+υ) = 3Xe jυ e jωt = Xe e jωt 2Xe 3 | {z } Xe

El vector espacial de la expresi´on (22.21) corresponde al fasor l´ınea a l´ınea del sistema trif´asico utilizado. En la figura (3.1), se observa la representaci´on en el plano complejo del vector espacial obtenido a partir del sistema trif´asico balanceado y de secuencia positiva de la expresi´on (22.21).

2π/3

b

π/3

a0

π

c

4π/3

5π/3

Figura 3.1: Vector Espacial de un sistema trif´asico balanceado y de secuencia positiva

3.3. Sistema trif´ asico con arm´ onicos

38

Se puede observar en la figura (3.1) que el lugar geom´etrico del vector espacial descrito por un sistema sinusoidal balanceado de secuencia positiva corresponde a un circunferencia cuyo e radio corresponde al fasor de la cantidad l´ınea a l´ınea (X). Para un sistema trif´asico balanceado de secuencia negativa, el vector espacial presenta la misma magnitud que el caso de secuencia positiva pero difiere en su sentido de rotaci´on (e− jωt ) es decir, corresponde al conjugado del de secuencia positiva. Esta particularidad origina que el vector espacial (− x→ asico con desbalance que no f n ) de un sistema sinusoidal trif´ presente secuencia cero describe un lugar geom´etrico el´ıptico en el plano complejo donde los ejes de esta figura se pueden asociar directamente al contenido de cada secuencia. En la figura 3.2, se presenta el lugar geom´etrico del vector espacial para una cantidad trif´asica con un porcentaje de desbalance de 5,7735 %. 2π/3

b

π/3

a0

π

c

4π/3

5π/3

Figura 3.2: Vector Espacial de un sistema trif´asico desbalanceado

Sistema trif´ asico con arm´ onicos El vector espacial de un sistema trif´asico con un T HD = 0 describe un lugar geom´etrico en el plano complejo circular, cuando este sistema presenta componentes arm´onicos el lugar geom´etrico que describe deja de ser circular. Esta propiedad permite tener una mediada intuitiva el grado de distorsi´on arm´onica del sistema al comparar la figura descrita con una circunferencia. Por otra parte si la figura descrita no presenta simetr´ıa es un indicativo de la presencia de desbalance en el sistema trif´asico. En la figura 3.3, se presenta el lugar geom´etrico

3. Vectores Espaciales

39

que describe el vector espacial de una cantidad trif´asica balanceada y de secuencia positiva, descrita a trav´es de series de Fourier de la siguiente forma: √ xa (t) = 2X (sen(ωt) + 0,2 sen(5ωt) + 0,1 cos(7ωt)) √


2π xb (t) = 2X sen(ωt) + 0,2 sen 5ωt − 2π + 0,1 cos 7ωt − 3
3

√ 4π + 0,1 cos 7ωt − xc (t) = 2X sen(ωt) + 0,2 sen 5ωt − 4π 3 3 2π/3

(3.10)

π/3

b

a0

π

c

4π/3

5π/3

Figura 3.3: Vector Espacial de un sistema trif´asico con arm´onicas

En la figura 3.4, se presentan las formas de onda de las fases (eq. 14.25) que originan el vector espacial de la figura 3.3. − x→ √fn 2X

xa

xb

xc

1

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

−1

Figura 3.4: Formas de onda en las fases

5π 3

11π 6

ωt 2π

40

3.3. Sistema trif´ asico con arm´ onicos

Cap´ıtulo 4

Circuitos con Interruptores Definiciones: Interruptor: dispositivo que permite la circulaci´on de corriente mediante la apertura o cierre del circuito. Carga: Conjunto de dispositivos el´ectricos aguas abajo del interruptor.

Circuito Resistivo: En la figura 4.1, se observa la configuraci´on de un circuito resistivo, alimentado por una fuente de tensi´on continua. El interruptor Sw, se cierra en t = t1 . +

i(t)

−

Sw

i(t)

− +

VDC

vSw

R i(t)

+

vcarga −

Figura 4.1: Circuito resistivo

Aplicando la ley de Kirchhoff de tensi´on en el circuito tenemos:

v f uente (t) = vSw (t) + vcarga (t)

(4.1)

Analizando la tensi´on en cada una de las componentes del circuito para todo instante de tiempo se obtiene: 41

4.3. Circuito Resistivo Capacitivo

42

v f uente (t) = VDC ∀ t

( vSw (t) =

(4.2)

VDC ∀ t < t1 0 ∀ t ≥ t1

( vcarga (t) =

(4.3)

0 ∀ t < t1 VDC ∀ t ≥ t1

(4.4)

La corriente por el circuito posterior al cierre de interruptor para t ≥ t1 es:

i(t) =

VDC R

(4.5)

Para observar los oscilo gramas de tensi´on y corriente de este circuito se simulo, con una carga resistiva y una fuente de tensi´on de corriente continua . El interruptor se cierra en t0 , permitiendo la circulaci´on de corriente. En las figuras 4.2a y 4.2b se presentan la tensi´on y corriente en la carga resistiva y la tensi´on en el interruptor y la fuente respectivamente.

v(t) , i(t)

v(t) vcarga (t)

VDC VDC R

0

v f uente (t)

VDC

i(t) t1

t

(a) Tensi´ on y corriente sobre la carga

0

t1

vSw (t) t

(b) Tensi´on en el interruptor y la fuente

Figura 4.2: Tensi´on y corriente sobre las componentes del circuito

Circuito Resistivo Capacitivo En la figura 4.3, se observa la configuraci´on de un circuito resistivo capacitivo (RC), alimentado por una fuente de tensi´on continua. Aplicando el concepto de carga para este circuito, esta estar´ıa conformada por la resistencia y el condensador en serie. El condensador se encuentra cargado a una tensi´on V1 antes de la operaci´on del interruptor en t = t1 .

4. Circuitos con Interruptores

43

+

vSw

−

Sw

i(t)

i(t)

+

R

v f (t)

vcarga

+

vc (t) i(t)

C

−

−

Figura 4.3: Circuito RC

Aplicando la ley de Kirchhoff de tensi´on en el circuito tenemos:

v f uente (t) = vSw (t) + vcarga (t)

(4.6)

donde:

vcarga (t) = vR (t) + vC (t) Analizando la tensi´on en cada una de los elementos del circuito para todo instante de tiempo se obtiene:

v f uente (t) = VDC ∀ t ( vSw (t) =

VDC − vc (t) ∀ t ≤ t1 0 ∀ t > t1 (

vcarga (t) =

vc (t) ∀ t ≤ t1 VDC ∀ t > t1

(4.7)

(4.8)

(4.9)

Para encontrar la corriente por el circuito posterior al cierre de interruptor t ≥ t1 es necesario resolver la ecuaci´on diferencial que describe el comportamiento del circuito. 1 VDC = Ri(t) + C

ˆ

∞

i(t)dτ + vC (t1 ) t1

(4.10)

4.3. Circuito Resistivo Capacitivo

44

VDC = RC

dvC (t) + vC (t) dt

(4.11)

Resoluci´ on de la Ecuaci´ on Diferencial en Corriente Derivando la ecuaci´on (4.10), se obtiene una ecuaci´on diferencial en corriente para el circuito:

0=R

di(t) 1 + i(t) dt C

(4.12)

La soluci´on a la ecuaci´on diferencial (4.12), se obtiene como: t

i(t) = k e− RC

(4.13)

Para encontrar el valor de la constante k es necesario conocer las condiciones iniciales del circuito antes del cierre del interruptor Sw en el tiempo t = t1 .

i(t1 ) =

VDC − vc (t1 ) R

(4.14)

Al sustituir la corriente en t = t1 en la ecuaci´on (4.13), se obtiene la expresi´on de la corriente del circuito. t1

c (t1 ) i(t1 ) = VDC −v = k e− RC R ↓ t1

c (t1 ) RC e k = VDC −v R ↓ c (t1 ) − i(t) = VDC −v e R

(4.15)

(t−t1 ) RC

Otra forma de encontrar la corriente del circuito es resolver la ecuaci´on diferencial de tensi´on de la expresi´on (4.11): C (t) + vC (t) VDC = RC dvdt

vC (t) = vCh (t) + vCp (t) t

vC (t) = k e− RC +VDC Para encontrar el valor de la constante se utiliza las condiciones iniciales.

(4.16)

4. Circuitos con Interruptores

45

t1

vC (t1 ) = vc (t1 ) = k e− RC +VDC ↓ t1

k = (vc (t1 ) −VDC ) e RC ↓ vC (t) = VDC + (vc (t1 ) −VDC ) e−

(4.17) (t−t1 ) RC

Para encontrar la corriente es necesario multiplicar por C la tensi´on en el capacitor y derivarla con respecto al tiempo.

Soluci´ on de la Ecuaci´ on Diferencial Utilizando Transformada de Laplace Debido a que las condiciones iniciales no est´an definidas para el tiempo t = 0 es necesario utilizar el siguiente cambio de variable: t 0 = t − t1

(4.18)

Aplicando la transformada de Laplace a la expresi´on (4.10), se obtiene: VDC s

1 = RI(s) + Cs I(s) + vc (ts 1 )

(4.19) VDC −vc (t1 ) s


1

= R + Cs I(s)

Despejando I(s) de la expresi´on (4.19) se obtiene:

I(s) =

VDC − vc (t1 ) 1 V − vc (t1 ) 1
= DC
· · 1 1 s R R + Cs s + RC

(4.20)

Utilizando la anti transformada de Laplace se obtiene:

i(t) =

VDC − vc (t1 ) − t 0 · e RC R

(4.21)

Devolviendo el cambio de variable de la expresi´on ( 4.18), se obtiene la corriente por el circuito.

i(t) =

VDC − vc (t1 ) − (t−t1 ) · e RC R

(4.22)

4.4. Circuito Resistivo Inductivo

46

Formas de Onda En la figura 4.4a se puede observar las formas de onda de tensi´on y corriente de este circuito, para una carga resistiva y capacitiva y una fuente de tensi´on de corriente continua . El interruptor se cierra en t0 , permitiendo la circulaci´on de corriente. En la figura 4.4b se presentan la tensi´on en el interruptor y la fuente.

v(t) , i(t)

v(t) vcarga (t)

VDC

v f uente (t)

VDC

VDC R

i(t) 0

t

t1

0

(a) Tensi´ on y corriente sobre la carga

t1

vSw (t) t

(b) Tensi´on en el interruptor y la fuente

Figura 4.4: Tensi´on y corriente sobre las componentes del circuito

Circuito Resistivo Inductivo En la figura 4.5, se presenta un circuito resistivo inductivo alimentado por una fuente de corriente continua, el interruptor es accionado en t = t1 . +

i(t)

−

Sw

i(t)

+

R

− +

VDC

vSw

vcarga L i(t)

−

Figura 4.5: Circuito RL Para encontrar la corriente para t ≥ t1 , se resuelve la ecuaci´on diferencial de primer orden que describe el circuito.

4. Circuitos con Interruptores

47

Resoluci´ on de la Ecuaci´ on Diferencial en Corriente: La condici´on inicial al operara el interruptor de corriente es cero debido a que este se encuentra en estado abierto. VDC = Ri(t) + L di(t) dt i(t) = ih (t) + i p (t)

(4.23)

R

i(t) = ke− L t + VRDC Sustituyendo el valor de la condici´on inicial se encuentra el valor de la constate k. R

i(t1 ) = ke− L t1 + VRDC ↓ R k = − VRDC e L t1  ↓ R i(t) = VRDC 1 − e− L (t−t1 )

(4.24)

Resoluci´ on de la Ecuaci´ on Diferencial por Transformada de Laplace Aplicando la transformada de Laplace a la expresi´on (4.23) y el cambio de variable de la ecuaci´on (4.18), se obtiene: VDC s

= RI(s) + LsI(s) (4.25)

VDC s

= (R + Ls) I(s)

Despejando I(s) de la expresi´on (4.25), se obtiene:

I(s) =

VDC 1 VDC 1 V
= DC · · = · L s (R + Ls) R L 1 + sR

R L

1
+s

(4.26)

Aplicando fracciones parciales a la expresi´on (4.26), resulta:

I(s) =

VDC VDC
− Rs s + RL R

(4.27)

Realizando la anti transformada de Laplace, de la expresi´on (4.27) y devolviendo el cambio de variable (t 0 = t − t1 ), se obtiene:

4.5. Ejemplo

48

  V  VDC  DC − RL t 0 − RL (t−t1 ) 1−e = 1−e i(t) = R R

(4.28)

Formas de Onda En la figura 4.6 se puede observar la tensi´on y corriente en la carga, para una carga resistiva de 2 Ω, inductiva de 80 mH y una fuente de tensi´on de corriente continua de 10V . El interruptor se cierra a los 0,1 s, permitiendo la circulaci´on de corriente. v(t) , i(t) vcarga (t)

VDC VDC R

i(t)

0

t

t1

Figura 4.6: Tensi´on y corriente en la carga resistiva inductiva

Ejemplo En la figura 4.7, se observa un circuito resistivo inductivo alimentado por una fuente de √ tensi´on variable en el tiempo de la forma: v f (t) = 2V sen (ωt + ν) −VDC , se debe encontrar la corriente que circula por el circuito.

+

vSw

−

Sw

i(t)

i(t)

+

R vcarga

v f (t) L i(t)

−

Figura 4.7: Circuito resistivo inductivo

4. Circuitos con Interruptores

49

Soluci´ on Homog´ enea

R

ih (t) = ke− L t

(4.29)

Multiplicando el numerador y denominador de la exponencial por ω se obtiene:

ih (t) = ke

ωt − tan(ϕ)

(4.30)

donde:

tan (ϕ) =

ωL R

Soluci´ on Particular Fuente Constante

i p (t) = −

VDC R

(4.31)

Soluci´ on Particular (R´ egimen Sinusoidal Permanente) Encontrando la corriente en r´egimen permanente, utilizando fasores obtenemos: √ 2V i p (t) = sen (ωt + ν − ϕ) Z

(4.32)

donde:

Z=

q

R2 + (ωL)2

Soluci´ on Total Condici´on inicial de corriente en el circuito es cero, debido a que el interruptor se encuentra abierto i(t1 ) = 0:

4.5. Ejemplo

50

√ 2V Z

ωt

1 − tan(ϕ)

sen (ωt1 + ν − ϕ) − VRDC + ke ↓  ωt1  √ k = VRDC − Z2V sen (ωt1 + ν − ϕ) e tan(ϕ)

i(t1 ) = 0 =

(4.33)

↓ i(t) =

√ 2V Z

sen (ωt + ν − ϕ) − VRDC +

Sacando factor com´ un



VDC R

−

√ 2V Z

 (ωt−ωt1 ) − sen (ωt1 + ν − ϕ) e tan(ϕ)

√ 2V /Z, tenemos:

√    (ωt−ωt )  1 2V m m − i(t) = (4.34) + − sen (ωt1 + ν − ϕ) e tan(ϕ) sen (ωt + ν − ϕ) − Z cos (ϕ) cos (ϕ) donde: VDC m= √ 2V cos (ϕ) =

R Z

Este mismo ejercicio se puede aplicar diferentes m´etodos para encontrar la soluci´on particular a las fuentes forzantes, como por ejemplo la soluci´on cl´asica o Laplace. Estos m´etodos son m´as laboriosos que el de r´egimen sinusoidal permanente y se obtiene la misma respuesta.

Soluci´ on Particular por el M´ etodo Cl´ asico.

i p (t) = A cos (ωt) + B sen (ωt) (4.35) di p (t) dt

= −Aω sen (ωt) + Bω cos (ωt)

Sustituyendo la expresi´on de la soluci´on particular (4.35) en la ecuaci´on diferencial, se obtiene: v f (t) = Ri(t) + L di(t) dt v f (t) = R (A cos (ωt) + B sen (ωt)) + L (−Aω sen (ωt) + Bω cos (ωt)) v f (t) = (RA + BωL) cos (ωt) + (RB − AωL) sen (ωt)

(4.36)

4. Circuitos con Interruptores

51

Igualando t´ermino a t´ermino la ecuaci´on (4.36), resulta: √ 2V cos (ν) sen (ωt) = (RB − AωL) sen (ωt) (4.37)

√ 2V sen (ν) cos (ωt) = (RA + BωL) cos (ωt)

Resolviendo el sistema de ecuaciones de la expresi´on (4.37) se obtienen el valor de A y B B=

√ 2V cos (ν − ϕ)

A=

√ 2V sen(ν) R

(4.38) −

BωL R

donde:

−1

ϕ = tan



ωL R

 (4.39)

Formas de Onda En la figura 4.8 se observa la tensi´on y corriente en la carga con una carga resistiva e inductiva y una fuente de tensi´on de v f (t) = −V +V sen (ωt). El interruptor se cierra en t1 , permitiendo la circulaci´on de corriente. v(t) , i(t) vcarga (t) i(t) 0

t1

t

Figura 4.8: Tensi´on y corriente en la carga resistiva inductiva

Ejercicios 1. Determine la tensi´on vc (t) y la corriente i(t) por el circuito de la figura 4.9 si la condici´on inicial de la tensi´on del condensador es vc (0) = V1 .

4.6. Ejercicios

52 +

vSw

− i(t)

Sw

iR3 (t)

R2

− +

VDC

R1

C R3

+

vcarga −

i(t)

Figura 4.9: Ejercicio 1

2. Determine la expresi´on de la corriente i(t) y de la tensi´on del condensador vc (t) para t ≥ 0 para el circuito de la figura 4.10. S´ı C = 0,7 mF, L = 15 mH, VDC = 10V y R = 5 Ω. Suponga que las condiciones iniciales del circuito son vc (0) = V1 y i(0) = 0 vc −

+

vSw

+

i(t)

Sw

L

− +

VDC

C

−

R i(t)

Figura 4.10: Ejercicio 2

3. Para el circuito de la figura 4.11, determine el tiempo en el cual la corriente por el interruptor Sw2 para por cero.Para este tiempo determine la tensi´on sobre el capacitor. Dibuje las formas de onda de la tensi´on y corriente por los elementos del circuito. Los interruptores se accionan en t = 0

iL (t)

i(t)

− +

VDC

S w2 i(t)

+

L

Sw1

C iL (t)

Figura 4.11: Ejercicio 3

vc −

Parte II Aspectos Generales y Dispositivos

53

Cap´ıtulo 5

Electr´ onica de Potencia

Rese˜ na Hist´ orica

La electr´onica de potencia se desarrollo en base a las t´ecnicas de conversi´on de energ´ıa alterna a continua, presentes a inicios del siglo XX, con el desarrollo de los sistemas ferroviarios y masivos de pasajeros. En 1902 Cooper - Hewitt desarrollan el primera v´alvula de descarga parcial de gas, permitiendo funciones peri´odicas de conexi´on y desconexi´on. Estas v´alvulas podr´ıan manejar hasta un kilo amper (1 kA) a varios kilos voltios de tensi´on.

Para 1914 Langmuir descubre el principio de control por rejilla de una descarga de arco, esto permite que Loulon en 1922 lo utilice para el control de la tensi´on mediante una v´alvula de mercurio con control de encendido denominada “tiratr´on” . Esta componente podr´ıa soportar tensiones de hasta 15 kV y corrientes de 20 A.

Durante 1930 un gran n´ umero de instalaciones de rectificaci´on se encontraban en operaci´on con capacidades hasta los mega vatios, en estas se utilizaban v´alvulas de mercurio en el proceso de conversi´on de energ´ıa. Estas instalaciones se utilizaban para cargar bater´ıas desde las redes de corriente alterna monof´asicas y trif´asicas, para los sistemas de transporte. Con los a˜ nos, nuevas aplicaciones fueron utilizando las instalaciones rectificadoras lo que impulso aun m´as su desarrollo y ampliaci´on en la conversi´on de altos bloques de energ´ıa. Entre las aplicaciones con mayor consumo de energ´ıa tenemos el alumbrado y el transporte masivo de personas. En la figura 5.1, se presenta una v´alvula de mercurio utilizada para rectificaci´on en 1930 por parte de la empresa Philips y el esquema de un tiratr´on, respectivamente. 55

56

5.2. Funciones B´ asicas de los Convertidores Electr´ onicos de Potencia

(a) V´ alvula de mercurio Philips

(b) Esquema de un tiratr´on

Figura 5.1: V´alvulas de mercurio

Durante los finales de la d´ecada de los treinta, se empiezan a instalar estaciones rectificadoras de baja potencia a partir de diodos semi conductores de potencia. En 1950 los Lab. Bell desarrollan el primer tiratr´on en base a la tecnolog´ıa semi conductora y en 1958 la General Electric lo comercializa con el nombre de “Rectificador de Silicio Controlado (SCR)” lo cual inicia un nuevo impulso de la electr´onica de potencia lo que trajo como consecuencia que otros dispositivos de baja potencia se fabricasen para requerimientos de alta potencia, entre estos dispositivos encontramos a los BJT, MOSFET’S, FET’S, GTO, SITH, MCT e IGBT.

Funciones B´ asicas de los Convertidores Electr´ onicos de Potencia La electr´onica de potencia se utiliza principalmente para la conversi´on de la energ´ıa el´ectrica, mediante operaciones controladas de interrupci´on de tensi´on y/o corriente, tanto en los sistemas de corriente alterna como de corriente continua. En la figura 5.2, se presentan el esquema de las cuatro formas de conversi´on de energ´ıa el´ectrica entre los sistemas de corriente alterna y continua

5. Electr´ onica de Potencia

57

CA

CA

(v1 , f1 )

(v2 , f2 )

CD

CD

(v3 )

(v4 )

Inversio´n

Rectificacio´n

Cicloconversio´n

Troceado Figura 5.2: Conversi´on de energ´ıa el´ectrica

Rectificaci´on: es el proceso de transformaci´on de corriente alterna (CA) a corriente continua (CD). Inversi´on: es el proceso de transformaci´on de corriente continua (CD) a corriente alterna (CA). Troceado: es el proceso de transformaci´on de corriente continua (CD) a corriente continua de distinto nivel (CD). Cicloconversi´on: es el proceso de transformaci´on de corriente alterna (CA) a corriente alterna (CA) de distinto nivel y/o frecuencia. Estas cuatro formas de conversi´on de energ´ıa son realizada con los puentes convertidores electr´onicos de la figura 5.2. Estos puentes se pueden utilizar para acoplar sistemas de corriente continua y alterna, as´ı como para alimentar, conectar y desconectar cargas en ambos sistemas de alimentaci´on.

Aplicaciones La electr´onica de potencia se utiliza e diferentes niveles de tensi´on y potencia, entre las aplicaciones mas importantes encontramos:

Residencial: Refrigeradores.

5.3. Aplicaciones

58 Congeladores. Aires acondicionados. Iluminaci´on.

Equipos electr´onicos (computadores y equipos de entretenimiento). Puertas de estacionamiento. Iluminaci´on. Computadores. Electrodom´esticos.

Comercial: Aire acondicionado. Ventiladores. Calefacci´on. Iluminaci´on. Equipos de oficina. Elevadores. Escaleras mec´anicas. Fuentes ininterrumpidas de potencia (UPS).

Industrial: Bombas. Compresores. Control de m´aquinas el´ectricas. Rob´otica. Hornos de inducci´on y arco.

5. Electr´ onica de Potencia

59

L´aser industriales. Electro filtros. Calderas. Soldadoras.

Transporte: Control de veh´ıculos el´ectricos. Cargadores de bater´ıa. Locomotoras el´ectricas. Subterr´aneos y Tranv´ıas. Trole buses.

Transmisi´ on y Otras Utilidades: Transmisi´on en corriente continua (HVDC). Compensadores de reactivos (SVS). Fuentes suplementarias de energ´ıa. Fuentes de poder.

Dispositivos como Interruptores Ideales El dise˜ no y construcci´on de dispositivos semiconductores de potencia, se centran en c´omo mejorar su rendimiento hacia el concepto hipot´etico de un interruptor ideal. La Figura 5.3 muestra los dispositivos de potencia y el a˜ no del desarrollo de cada interruptor. En la figura 5.3 se puede observar como evoluciona la tecnolog´ıa desde las v´alvulas a los semiconductores. Actualmente se centran los desarrollos en el uso del Carburo de Silicio SiC y el Aseniuro de Galio GAAS con la finalidad de aumentar las frecuencias de conmutaci´on de los dispositivos pero sus costos a´ un son superiores a los desarrollos de silicio.

60

5.4. Dispositivos como Interruptores Ideales

Figura 5.3: Desarrollo de los Semiconductores de Potencia

El rendimiento de un interruptor de potencia se mide normalmente por su caracter´ısticas est´atica y din´amicas. Un interruptor ideal debe tener las siguientes caracter´ısticas: Capacidad de tensi´on de bloqueo infinito Cero circulaci´on de corriente mientras el interruptor est´a apagado Capacidad de corriente infinita cuando est´a encendido Ca´ıda de tensi´on igual a cero, mientras conduce Capacidad de p´erdidas de conmutaci´on o conducci´on igual a cero Operar en cualquier conmutaci´on frecuencia.

5. Electr´ onica de Potencia

61

Existen diferentes formas de clasificar un interruptor de alimentaci´on en funci´on de su caracter´ıstica est´atica y din´amica. La caracter´ıstica est´atica de un semiconductor de potencia est´a definida en funci´on de su capacidad de manejo de la tensi´on y corriente durante los estado de conducci´on o bloqueo. En la figura 5.4 se presenta las caracter´ısticas est´aticas de los componentes de potencia donde la tensi´on (V) o corriente (C) puede ser: Unipolar (Uni) , Bipolar (Bip)o Reversa (r). i

i v

0

i v

0

Bloqueo

v

0

i v

0

UniC - UniV

i v

0

UniC - BipV

v

0

UniC - UniV-r

Conducci´on

i

i

v

0

BipC - UniV

BipC - BipV

Figura 5.4: Caracter´ıstica est´atica de los semiconductores de potencia

Las caracter´ısticas din´amicas de un dispositivo de potencia se relacionan con el comportamiento de la tensi´on y la corriente cuando se produce un cambio ya sea desde la conducci´on a bloqueo o de bloqueo a conducci´on. En la figura 5.5 se presentan las transiciones entre conducci´on y bloqueo dependiendo el grado de control de la componente. i

0

i

v

0

Encendido Expont´ aneo

i

v

0

Control Enecendido yApagado

Control Encendido

i

0

v

i

v

Apagado Expont´ aneo

0

v

Control Apagado

Figura 5.5: Caracter´ıstica din´amica de los semiconductores de potencia

En t´erminos de la caracter´ıstica din´amica los componentes semiconductores de electr´onica de potencia se pueden clasificar en:

5.5. Dispositivos Semiconductores de Potencia

62

Encendido y apagado espont´aneo Encendido controlado y apagado espont´aneo Encendido y apagado controlado Encendido espont´aneo y apagado controlado.

Dispositivos Semiconductores de Potencia Diodo Es el dispositivo m´as b´asico de la electr´onica de potencia, esta constituido por una juntura semi conductora NP su encendido se realiza cuando la tensi´on entre su ´anodo y c´atodo supera la tensi´on de ruptura de la componente (vak ≥ vto ). Esta tensi´on de ruptura se encuentra en baja potencia alrededor de 0,7V para componentes en silicio y en 0,3V para germanio. En electr´onica de potencia los diodos son de silicio y su tensi´on de ruptura esta en el rango de 1V a 2V . En la figura 5.6, se presenta el s´ımbolo el´ectrico del dispositivo y su esquema como semiconductor.

i(t) a

+

i(t)

i(t) vak

−

k

a

(a) S´ımbolo

+

P N vak

i(t) −

k

(b) Esquema Semiconductor

(c) Foto

Figura 5.6: Diodo

El apagado de esta componente se realiza cuando la corriente cruce por cero (iD = 0) lo cual origina la restituci´on de la barrera de potencial en la juntura NP. En la figura 5.7a, se presenta la curva de tensi´on corriente del diodo, esta caracter´ıstica depende de la temperatura de operaci´on de la componente. En la gr´afica se puede observar que la componentes no

5. Electr´ onica de Potencia

63

comienza a conducir corriente hasta que la tensi´on entre sus terminales no es mayor a la tensi´on de ruptura (vak ≥ vto ), generalmente este dato as´ı como el inverso de la pendiente de curva en la zona de conducci´on (RD ) son suministrados por el fabricante en la hoja de datos del dispositivo. Debido a que la tensi´on de ruptura de los diodo es inferior al 0.1 % de la tensi´on en conducci´on se puede idealizar la curva caracter´ıstica de la componente mostrada en la figura 5.7a, para los fines de an´alisis y consideraciones del efecto sobre la carga y red de alimentaci´on, a la caracter´ıstica que se muestra en la figura 5.7b.

i

i

vto

(a) Caracter´ıstica real

v

v

(b) Caracter´ıstica ideal

Figura 5.7: Caracter´ısticas del diodo

En la tabla 5.1, se presentan las principales caracter´ısticas de los diodos que existen actualmente en el mercado: Tabla 5.1: Tipos de diodos Tipo Uso General

Tensi´on (kV) Corriente (kA) Frecuencia (kHz) 5.0 5.0 1.0 6.0 3.5 1.0 0.6 9.57 1.0 2.8 1.7 20.0 Alta Velocidad 4.5 1.95 20.0 6.0 1.1 20.0 0.6 0.017 30.0 Schottky 0.15 0.08 30.0

5.5. Dispositivos Semiconductores de Potencia

64

Tiristor El Tiristor o SCR esta conformado por tres junturas NP en serie, este dispositivo reemplazo al los tiratrones y posee controlo de encendido a trav´es del suministro de un pulso de corriente en el orden de los 20 mA en la compuerta de disparo o gate, adicionalmente requiere polarizaci´on a´nodo c´atodo positiva (vak > 0) . Su apagado al igual que los diodos depende de que la corriente cruce por cero. En la figura 5.8, se presenta su simbolog´ıa, terminales y esquema como semiconductor. Adicionalmente, en la figura 5.9 se presenta la forma de construir un tiristor a partir de dos transistores BJT (PNP y NPN). g g i(t) a

+

i(t)

i(t) vak

k

−

a

(a) S´ımbolo

i(t)

P N P N

+

vak

k

−

(b) Esquema como Semiconductor

(c) Modelos de Tiristor

Figura 5.8: Tiristor o SCR

g i(t)

+

a

−

vak

i(t)

P N P

a

N P N +

vak (a) Esquema Semiconductor

i(t)

i(t) −

k g

k

(b) Esquema por Componentes

Figura 5.9: Tiristor a partir de transistores

En la figura 5.10a, se presenta la caracter´ıstica tensi´on corriente del dispositivo, la tensi´on de ruptura de los tiristores se encuentra entre 1V y los 2V aproximadamente. Al igual que los

5. Electr´ onica de Potencia

65

i

Conducci´on ig > 0

vto

v

Conducci´on

diodos, la tensi´on de ruptura de los tiristores es inferior al 0.1 % de la tensi´on en conducci´on, esto permite idealizar la curva caracter´ıstica de la componente mostrada en la figura 5.10a, para los fines de an´alisis y consideraciones del efecto sobre la carga y red de alimentaci´on, a la caracter´ıstica que se muestra en la figura 5.10b.

i

v

Bloqueo

Bloqueo

(a) Caracter´ıstica real

ig > 0

(b) Caracter´ıstica ideal

Figura 5.10: Caracter´ıstica del tiristor

En la tabla 5.2, se presentan las principales caracter´ısticas de los tiristores que existen actualmente en el mercado: Tabla 5.2: Tipos de tiristores Tipo Bloque Inverso

Tensi´on (kV) Corriente (kA) Frecuencia (kHz) 4.5 3.0 20.0 6.0 2.3 20.0 4.5 3.7 20.0 Conmutados por l´ınea 6.5 4.2 0.06 2.8 1.5 0.06 5.0 4.6 0.06 5.0 3.6 0.06 5.0 5.0 0.06 Alta Velocidad 2.8 1.85 20.0 1.8 2.1 20.0 Bidireccionales 4.2 1.92 20.0 RCT (Con diodo en antiparalelo) 2.5 1.0 20.0 Conducci´on Inversa 2.5 1.0 5.0 Gatt (Tracci´on) 1.2 0.40 20.0 Fototiristor o Lum´ınicos 6.0 1.5 0.400

5.5. Dispositivos Semiconductores de Potencia

66

Triac El Triac esta conformado por dos tiristores en antiparalelo, tambi´en se le conoce como rel´e de esta s´olido y su aplicaci´on m´as com´ un es la del los dimer de luz para bombillos incandescentes. Ambos tiristores se construyen sobre la misma pastilla de silicio con la finalidad que tengan caracter´ısticas similares a fin que la onda sea sim´etrica en ambos semi ciclos de operaci´on, esta componente es bidireccional en corriente. En la figura 5.11, se presenta el s´ımbolo del dispositivo. g i(t)

i(t)

a

k +

−

vak

(b) Foto

(a) S´ımbolo

Figura 5.11: Triac La ventaja de utilizar este dispositivo en lugar de dos tiristores en conflagraci´on anti paralelo es que solo se requiere un circuito de disparo. En la figura 5.12a, se presenta la caracter´ıstica de tensi´on corriente del dispositivo. En la figura 5.12b, se presenta la caracter´ıstica ideal de la componente que se utilizara para el an´alisis tanto en la carga como en la fuente de alimentaci´on.

Conducci´on

Conducci´on

i

ig > 0

vto

v

i

Bloqueo

ig > 0

ig > 0

v

Bloqueo ig > 0

Conducci´on (a) Caracter´ıstica real

(b) Caracter´ıstica ideal

Figura 5.12: Caracter´ıstica del triac

En la tabla 5.3, se presentan las principales caracter´ısticas de los triac que existen actualmente en el mercado:

5. Electr´ onica de Potencia

67 Tabla 5.3: Tipos de triac

Tipo Tensi´on (kV) Corriente (kA) Frecuencia (kHz) Uso General 1.2 0.3 0.4

Tiristores Auto Desactivables Estos dispositivos tienen control de encendido y apagado a trav´es de la compuerta, dependiendo la tecnolog´ıa de dise˜ no los requerimientos de encendido y apagado difieren entre uno y otro. Para el caso del GTO que se basa en la tecnolog´ıa de los tiristores se requiere para su encendido tensi´on positiva a´nodo c´atodo y un pulso de corriente por el gate de 20 mA, mientras que para el apagado se requiere un pulso de corriente que puede oscilar hasta un 10 % de la corriente de conducci´on. El MCT que se basa en la tecnolog´ıa de los transistores BJT requiere para su encendido y apagado, la existencia o no de un pulso de corriente, este pulso depende de la ganancia h f e del componente y de la corriente de conducci´on. El SITH esta basado en la tecnolog´ıa de los MOSFET y requiere para el encendido y apagado un pulso de tensi´on en el gate adicionalmente de la polarizaci´on en directo al igual que el MCT. Otros tiristores auto desactivables de tecnolog´ıa h´ıbrida son: el MTO fue desarrollado por Silicon Power Company y es una combinaci´on de un GTO y un MOSFET para realizar el apagado de la componente. El ETO es un dispositivo que combina el MOS y GTO tomando las ventajas de ambas componentes, el manejo de potencia del GTO y el encendido y apagado por tensi´on del MOS. El ETO fue inventado en el Virginia Power Electronics Center, en colaboraci´on con SPO. El IGCT es la combinaci´on de un GTO de conmutaci´on permanente, con un activador de compuerta en tarjeta de circuito impreso multicapa que toma la corriente del c´atodo por un 1µs y la aplica en el gate para el apagado de la componente. En la figura 5.13se presenta la foto de un GTO. En la figura 5.14, se presenta el s´ımbolo de los diferentes tiristores auto desactivables. En la figura 5.15a, se presenta la caracter´ıstica de tensi´on corriente de los tiristores auto desactivables. A igual que los tiristores la tensi´on de ruptura de los componentes auto desactivables son menores al 0,1 %de la tensi´on de dise˜ no por lo cual la caracter´ıstica de la figura 5.15a, se puede idealizar a fines de realizar lo an´alisis del impacto en la carga y fuente de alimentaci´on de convertidores construidos con este tipo de dispositivo. Se puede destacar que estos componentes solo permiten la conducci´on unidireccional de la corriente. En la figura 5.15b, se presente la caracter´ıstica ideal de los tiristores auto desactivables.

5.5. Dispositivos Semiconductores de Potencia

68

Figura 5.13: GTO g g i(t) +

k

i(t) −

vak

a

+

(a) GTO

g

i(t) k

i(t) −

vak

a

+

(b) IGCT

i(t) −

vak (c) SITH

a +

gon i(t) a

+

g

go f f

vak

i(t) vak

i(t) go f f −

k

a

+

vak

i(t) −

−

k

gon

k

(e) ETO

(d) MTO

(f) MCT

Figura 5.14: Tiristores auto desactivables

i

Conducci´on ig > 0

vto

v

Bloqueo

(a) Caracter´ıstica real

Conducci´on

a

i(t)

i ig > 0

v

Bloqueo

(b) Caracter´ıstica ideal

Figura 5.15: Caracter´ıstica tiristores autodesactivables

k

5. Electr´ onica de Potencia

69

En la tabla 5.4, se presentan las principales caracter´ısticas de los tiristores auto desactivables que existen actualmente en el mercado: Tabla 5.4: Tipos de tiristores auto desactivables Tipo Tensi´on (kV) Corriente (kA) Frecuencia (kHz) GTO 4.5 4.0 10.0 HD-GTO 4.5 3.0 10.0 Pulso-GTO 5.0 4.6 10.0 MCT 4.5 0.25 5.0 1.4 0.065 5.0 MTO 4.5 0.5 5.0 ETO 4.5 4.0 5.0 IGCT 4.5 3.0 5.0 SITH 4.0 2.2 20.0

Transistores BJT Los transistores BJT m´as utilizados en la electr´onica de potencia son los NPN, y su operaci´on se centra en corte y saturaci´on, es decir, como interruptor electr´onico. En la figura 5.16, se presenta es s´ımbolo de un transistor NPN destacando sus terminales. Recordemos que para que un transistor NPN se encuentre polarizado es necesario que la tensi´on del colector sea mayor a la de la base y esta mayor que la del emisor (vC > vB > vE ) en por lo menos 0,7V . La polarizaci´on de este dispositivo se realiza por corriente y es de la forma:

ibase =

iemisor icolector
= hfe hfe +1

(5.1)

C ic B

+

vce ib − ie E

Figura 5.16: Transistor NPN

Para operar el transistor en corte es necesario suministra cero corriente por la base, generalmente par evitar operaciones no deseadas que pudiesen colocar el dispositivo en la zona

5.5. Dispositivos Semiconductores de Potencia

70

activa de operaci´on por corrientes inducidas en los circuitos de disparo se coloca corriente negativa en la base a fin de garantizar la operaci´on en corte de la componente. La condici´on para operar el transistor en saturaci´on es que la corriente de la base debe ser mayor o igual a la del colector en conducci´on entre la ganancia de corriente del dispositivo o h f e .

ibasesaturacion´

  1 ≥ icolectoroperacion´ hfe

(5.2)

En la figura 5.17a, se presenta la caracter´ıstica de operaci´on del transistor NPN, se puede observar como la zona de operaci´on de la componente depende de la corriente de base utilizada para su polarizaci´on. La ganancia (h f e ) t´ıpica de los transistores de potencia en corriente esta alrededor de 50. En la figura 5.17b, se presenta la caracter´ıstica ideal de la componente como interruptor electr´onico, es decir, en la zona de corte y saturaci´on. Esta componente es unidireccional en corriente y requiere siempre la presencia de la se˜ nal en la base para su operaci´on.

ib4 ib3 ib2 ib1

Conducci´on

ic

ic

ib

ibn > ibn−1 vce

0 (a) Caracter´ıstica real

0

Bloqueo

vce

(b) Caracter´ıstica ideal en corte y saturaci´on

Figura 5.17: Caracter´ıstica del transistor BJT

En la tabla 5.5, se presentan las principales caracter´ısticas de los transistores BJT de potencia que existen actualmente en el mercado:

5. Electr´ onica de Potencia

71

Tabla 5.5: Tipos de transistores BJT de potencia Tipo Tensi´on (kV) Corriente (kA) Frecuencia (kHz) Individual 0.4 0.25 25.0 Individual 0.4 0.04 30.0 Individual 0.63 0.05 35.0 Darlington 1.2 0.40 20.0

MOSFET

Los MOSFET m´as utilizados en electr´onica de potencia son los canal N, su s´ımbolo se presentan en la figura 5.18, al igual que los transistores BJT su operaci´on se reduce a interruptor electr´onica, es decir, en corte y operaci´on. La ventaja de este dispositivo en relaci´on con el BJT es su polarizaci´on en tensi´on y alta impedancia de entrada. En la figura 5.19a, se presenta la caracter´ıstica de operaci´on de los MOSFET en funci´on de la tensi´on gate source.

D

id +

vds G −

+

vgs

is

− S (a) S´ımbolo

(b) Foto

Figura 5.18: MOSFET

En la figura 5.17b, se presenta la caracter´ıstica ideal de la componente como interruptor electr´onico, es decir, en la zona de corte y saturaci´on. Esta componente es unidireccional en corriente y requiere siempre la presencia de la se˜ nal en el gate para su operaci´on.

5.5. Dispositivos Semiconductores de Potencia

id

id

vgs4 vgs3 vgs2 vgs1 vgsn > vgsn−1

0

vds

Conducci´on

72

0

vgs

Bloqueovds

(a) Caracter´ıstica de operaci´on real(b) Caracter´ıstica ideal de corte y saturaci´on

Figura 5.19: Caracter´ıstica del MOSFET

En la tabla 5.6, se presentan las principales caracter´ısticas de los transistores MOSFET de potencia que existen actualmente en el mercado: Tabla 5.6: Tipos de transistores MOSFET de potencia Tipo Tensi´on (kV) Corriente (kA) Frecuencia (kHz) Individual 0.8 0.0075 100.0 Indivudual 0.15 0.6 100.0 COOLMOS 0.8 0.0078 125.0 COOLMOS 0.6 0.04 125.0 COOLMOS 1.0 0.0061 125.0

IGBT Los transistores de compuerta aislada o IGBT combinan las caracter´ısticas de los MOSFET de alta impedancia de entrada y polarizaci´on en tensi´on con la baja impedancia de salida de los BJT lo que ocasiona alta ganancia de corriente. Esta componente se construye colocando en cascada un MOSFET que polariza un par de BJT, su s´ımbolo y esquema interno se presenta en la figura 5.20. En la figura 5.21a, se presenta la caracter´ıstica de operaci´on del IGBT, en funci´on de la tensi´on base emisor de polarizaci´on (vBE ). En la figura 5.21b, se presenta la caracter´ıstica ideal de operaci´on del IGBT como interruptor electr´onico de potencia, es decir en corte y saturaci´on. En la tabla 5.7, se presentan las principales caracter´ısticas de los transistores IGBT de potencia que existen actualmente en el mercado:

5. Electr´ onica de Potencia

73

E

RB

B

MOSFET npn

C

JFET

+

ic Rmod

vce

B

pnp

+

−

ie −

C

E (b) Foto

(a) S´ımbolo

(c) Esquema Interno

Figura 5.20: IGBT

ic

ic

vbe4 vbe3 vbe2 vbe1 vben > vben−1

0

vce (a) Caracter´ıstica real

Conducci´on

vbe

0

vbe

Bloqueovce

(b) Caracter´ıstica ideal de corte y saturaci´on

Figura 5.21: Caracter´ıstica de operaci´on del IGBT

Tabla 5.7: Tipos de transistores IGBT de potencia Tipo Tensi´on (kV) Corriente (kA) Frecuencia (kHz) Individual 2.5 2.4 100.0 Individual 1.2 0.052 100.0 Individual 1.2 0.025 100.0 Individual 1.2 0.08 100.0 Individual 1.8 2.2 100.0 HVIGBT (Sensillo) 6.5 1.2 100 HVDIODE (Dual) 6.5 1.2 100

5.5. Dispositivos Semiconductores de Potencia

74

SIT El SIT es el FET de electr´onica de potencia, su s´ımbolo se presenta en la figura 5.22, su aplicaci´on se reserva para altas frecuencias. D +

vds

G +

vgs −

− S

Figura 5.22: SIT

En la figura 5.23, se presenta la caracter´ıstica de operaci´on del dispositivo en funci´on de la tensi´on de polarizaci´on gate source y su caracter´ıstica ideal como interruptor electr´onico.

vgs4 vgs3 vgs2 vgs1 vgsn > vgsn−1 vds

0 (a) Real

Conducci´on

id

id

0

vgs

Bloqueovds

(b) Interruptor Electr´onico

Figura 5.23: Caracter´ısticas de operaci´on del SIT

En la tabla 5.8, se presentan las principales caracter´ısticas de los transistores SIT de potencia que existen actualmente en el mercado: Tabla 5.8: Tipos de transistores SIT de potencia Tipo Tensi´on (kV) Corriente (kA) Frecuencia (kHz) Individual 1.2 0.30 100.0

5. Electr´ onica de Potencia

75

Clasificaci´ on de los Semiconductores de Potencia. Los semiconductores de potencia se pueden clasificar de acuerdo a su grado de controlabilidad para el encendido y apagado, as´ı como por su capacidad de soportar corriente y tensi´on unidireccional o bidireccional como: Activaci´on y desactivaci´on sin control. Activaci´on controlada y desactivaci´on sin control. Activaci´on y desactivaci´on controlada. Requerimiento de encendido por nivel de compuerta. Requerimiento de encendido por flanco de compuerta. Capacidad de tensi´on bipolar. Capacidad de tensi´on unipolar. Corriente bidireccional. Corriente Unidireccional. En la tabla 5.9, se presentan las caracter´ıstica de conmutaci´on de cada uno de los semiconductores de potencia de acuerdo a su grado de controlabilidad. Tabla 5.9: Caracter´ısticas de conmutaci´on de los semiconductores de potencia Dispositivo Diodo BJT MOSFET IGBT SIT SCR RCT TRIAC GTO MTO ETO IGCT SITH MCT

Se˜ nal de Compuerta Continua Pulso X X X X X X X X X X X X X

Control Encendido Apagado X X X X X X X X X X X X X

X X X X

X X X X X X

Tensi´on Unipolar Bipolar X X X X X

Corriente Unidireccional Bidireccional X X X

X X X X X X X X X

X X X X X X X X X X X

76

5.7. Selecci´ on de Semiconductores de Potencia

En la figura 5.24, se presenta los niveles de potencia manejados por los diferentes fabricantes de dispositivos electr´onicos de potencia para principios del a˜ no 2000, en lo relativo a IGBT, Tiristores, GTO y MOSFET.

Figura 5.24: Intervalo de potencia de los semiconductores de potencia comerciales

Selecci´ on de Semiconductores de Potencia La selecci´on de un dispositivo de potencia, para una determinada aplicaci´on, no depende u ´nicamente de los niveles de la tensi´on y corriente requeridos, tambi´en dependen de su caracter´ıstica de conmutaci´on, niveles de perdidas en los tres estados de operaci´on (conducci´on, bloqueo y conmutaci´on), del grado de controlabilidad y frecuencia de conmutaci´on que requiera la aplicaci´on. Los niveles de perdidas que pueden manejar la componente depende de su capacidad de disipaci´on de calor al medio ambiente que esta estrechamente ligada con su disipador. En la figura 5.25 se presentan algunas aplicaciones de electr´onica de potencia en funci´on de los dispositivos semi conductores utilizados.

5. Electr´ onica de Potencia

77

Figura 5.25: Aplicaciones de Electr´onica de Potencia

Topolog´ıas B´ asicas Las topolog´ıas b´asicas de conversi´on de energ´ıa el´ectrica, depender´an del tipo de fuente (tensi´on o corriente) que alimenta el convertidor y del tipo de modelo de la carga conectada al puente. Las cargas pueden modelarse como de tensi´on constante cuando tiene un alto componente capacitivo o de corriente constante cuando la componente predominante es inductiva. Los tipos de conexi´on entre la fuente y la carga pueden ser: Tensi´on - Corriente Corriente - Tensi´on Tensi´on - Tensi´on Corriente - Corriente En la figura 5.26, se presentan los cuatros esquemas de conexi´on entre la fuente y la carga.

5.9. Ventajas y Desventajas de la Electr´ onica de Potencia

78

+

Convertidor de Potencia

Convertidor de Potencia

− +

i(t)

Tensi´on - Corriente

v(t) −

Corriente - Tensi´on

+

Convertidor de Potencia

v(t)

Convertidor de Potencia i(t)

− +

−

Tensi´on - Tensi´on

Corriente - Corriente

Figura 5.26: Esquemas de conexi´on fuente - carga

Basados en los esquemas de conexi´on fuente - carga, en la figura 5.27 se presentas las topolog´ıas b´asicas utilizadas por los puentes convertidores de electr´onica de potencia para la conversi´on de energ´ıa el´ectrica. Estas topolog´ıas se modelan con interruptores ideales en la figura, pero pueden ser ensambladas con cualquiera de los semiconductores de potencia analizados. Las prestaciones de la topolog´ıa depender´an de las caracter´ısticas de conducci´on de tensi´on y corriente de la componente as´ı como de su grado de control de encendido y apagado.

Ventajas y Desventajas de la Electr´ onica de Potencia Los dispositivos semiconductores de potencia permite realizar puentes convertidores electr´onicos, eficientes que permiten mejorar las prestaciones est´aticas y din´amicas de los procesos de conversi´on de energ´ıa el´ectrica, originando procesos m´as eficientes debido a la capacidad de conmutar grandes bloques de energ´ıa con m´ınimas p´erdidas. Estos incrementos en las prestaciones y eficiencia se logra al combinar distintas ´areas del conocimiento dentro de las aplicaciones de la electr´onica de potencia. En la figura 5.28, se presentan algunas de las a´reas que interact´ uan dentro de la electr´onica de potencia.

5. Electr´ onica de Potencia

79

− + − +

− +

− + − +

− +

− + − +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

− +

Figura 5.27: Topolog´ıas b´asicas de conversi´on de energ´ıa el´ectrica

80

5.9. Ventajas y Desventajas de la Electr´ onica de Potencia

Simulaci´ on F´ısica del Estado S´ olido

Teor´ıa de Circuitos

Teor´ıa de Control

Procesamiento de Se˜ nales

Electr´ onica de Potencia

M´ aquinas El´ ectricas

Sistemas de Potencia Electr´ onica

Figura 5.28: Multidisciplinaridad de la electr´onica de potencia

La conmutaci´on de altos bloques de energ´ıa trae consigo la introducci´on de contaminaci´on arm´onica en tensi´on y corriente sobre las l´ıneas de alimentaci´on, problemas de resonancia, interferencia electromagn´etica, fallas de aislaci´on, entre otras. Estos problemas pueden solucionarse mediante filtros pasivos y/o activos o mejorando las estrategia de conmutaci´on de los puentes electr´onico.

Parte III Convertidores AC - DC

81

Cap´ıtulo 6

Rectificadores de Media Onda No Controlado Aspectos Generales Un rectificador convierte la corriente alterna en corriente continua. La finalidad de un rectificador puede ser generar una onda de tensi´on o corriente continua pura o con un nivel determinado de corriente continua. En la practica los rectificadores de media onda se utilizan en las aplicaciones de baja potencia debido a que estos introducen sobre el sistema de alterna, corriente media con contenido diferente de cero. Esta corriente media ocasiona problemas de saturaci´on en las m´aquinas el´ectricas y en especial en los transformadores. Aunque sus aplicaciones son limitadas, merece la pena su estudio ya que su compresi´on permitir´a el an´alisis de configuraciones m´as compleja de los puentes convertidores de electr´onica de potencia. En la figura 6.1, se presenta la configuraci´on de este puente convertidor. +

i(t)

vak D

v f (t)

− i(t) Carga

i(t)

+

vcarga −

Figura 6.1: Puente rectificador de media onda

En este capitulo centraremos el estudio de los rectificadores de media onda alimentados con fuentes sinusoidales, su an´alisis con otro tipo de alimentaci´on alterna es an´alogo. Para activar el diodo o derrumbar la barrera de potencial de la juntura NP, se requiere su polarizaci´on en directo es decir, que el a´nodo sea m´as positivo que el c´atodo (vak > 0), mientras que para 83

6.2. Rectificador con Carga Resistiva

84

su desactivaci´on se requiere que la corriente que circula por el dispositivo sea igual ha cero, una forma de lograr esto es polarizando el dispositivo en inverso, es decir con tensi´on a´nodo - c´atodo negativa (vak < 0), o esperar que la corriente pase naturalmente por cero (i(tβ ) = 0), esto trae como consecuencia que el apagado del diodo dependa de la naturaleza de la carga, en pocas palabras del adelanto o atraso del cruce por cero de la corriente con respecto a la tensi´on. Para el estudio del puente rectificador es necesario realizar algunas definiciones que ser´an u ´tiles para la compresi´on y an´alisis de su funcionamiento.

´ Angulo o tiempo de encendido (α): Es el a´ngulo o instante de tiempo en el cual la barrera de potencial de la juntura se derrumba y por la componente empieza a circular corriente.

´ Angulo o tiempo de apagado (β ): Es el ´angulo o instante de tiempo en el cual la barrera de potencial de la juntura se restituye y por la componente se inhibe o suprime la circulaci´on de corriente.

´ Angulo o tiempo de conducci´ on (γ): Es el tiempo total o diferencia angular en al cual circula corriente por la componente y esta definido por:

γ = β −α

(6.1)

Rectificador con Carga Resistiva En la figura 6.2, se presenta en puente rectificador de media onda con carga pura resistiva. El punte esta alimentado por una fuente alterna de forma sinusoidal dada por la expresi´on: √ v f (t) = 2V sen (ωt).

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado +

vak

i(t)

− i(t)

D

v f (t)

85

+

vcarga

R i(t)

−

Figura 6.2: Puente rectificador de media onda no controlado con carga resistiva

Considerando el diodo ideal, es decir que su tensi´on de ruptura es cero, el ´angulo de encendido del diodo para esta fuente sinusoidal se obtiene cuando el diodo se polariza en directo. Esto ocurre durante el semiciclo positivo de la sinusoide (vak ≥ 0) por lo tanto el a´ngulo de encendido es cero (α = 0). Para encontrar el a´ngulo de apagado es necesario encontrar cuando la corriente pasa naturalmente por cero (i(tβ ) = 0). En el circuito de la figura 6.2, la corriente para 0 ≤ t ≤ tβ es: v f (t) = i(t) = R

√ 2V sen (ωt) R

(6.2)

La corriente de la expresi´on (6.2) pasa naturalmente por cero en ωtβ = π, por lo tanto el a´ngulo de apagado es β = π. En la figura 6.3, se presenta la corriente y la tensi´on en la carga resistiva y la fuente para este puente convertidor no controlado. v(t) , i(t) vcarga (t) i(t) β 0

ωt π v f (t)

2π

3π

Figura 6.3: Formas de Onda para la carga resistiva

Como el circuito de la figura 6.2 es un circuito serie la corriente por la carga es la misma corriente por la fuente de corriente alterna. En la figura 6.4, se presentan los contenidos arm´onicos de tensi´on y corriente en la carga. Se puede observar que el mayor contenido

6.2. Rectificador con Carga Resistiva

86

Magnitud en p.u. valor efectivo

arm´onico luego de la fundamental se obtiene en la arm´onica cero correspondiente al valor medio y la segunda arm´onica. Adicionalmente se puede ver como las arm´onicas de alto orden tienden a cero. Tensi´on

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 6.4: Contenido arm´onico para la carga resistiva Para encontrar la tensi´on y corriente media y efectiva se aplicara las definiciones vistas en el cap´ıtulo 1 en el intervalo del periodo en donde la funci´on esta definida, que es entre el ´angulo de encendido (α) y el de apagado de la componente (β ).

Tensi´ on Media ´ √ 1 β 2π√ α  2V sen (ωt) dωt  β 2V V0 = 2π − cos (ωt)|α √
V0 = 2π2V − cos (ωt)|π0 √ V0 = 2π2V (1 − (−1)) √ V0 = π2V

(6.3)

´ √ V 1 β 2π√ α  2 R sen (ωt) dωt  β 2V I0 = 2πR − cos (ωt)|α √
2V I0 = 2πR − cos (ωt)|π0 √ 2V I0 == 2πR (1 − (−1)) √ 2V I0 = πR = VR0

(6.4)

V0 =

Corriente Media I0 =

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado

87

Tensi´ on Efectiva r Vrms =

´ 1 β 2π α

√ 2 2V sen (ωt) dωt

´ V2 β π s α

q

(1 − cos (2ωt)) dωt    sen (2ωt) β V2 Vrms = 2π 1− 2 α r    2 π Vrms = V2π 1 − sen(2ωt) 2 0 r   sen (0) sen (2π) V2 Vrms = 2π π − 0 − 2 + 2 q 2 Vrms = V2π · π = √V2 Vrms =

(6.5)

Corriente Efectiva r Irms = Irms =

´ 1 β 2π α

2 √ V 2 R sen (ωt) dωt

´β V2 2π α R s

q

(1 − cos (2ωt)) dωt    sen (2ωt) β V2 1− Irms = R2 2π 2 α r    2 π 1 − sen(2ωt) Irms = RV2 2π 2 0 r   2 Irms = RV2 2π π − 0 − sen2(2π) + sen2(0) q 2 Irms = RV2 2π · π = √V2R

(6.6)

Factor de Rizado r FR =

V √ 2

2

−

√ 2V π

 √ 2 2V π

r =

π2 − 1 = 1,21 4

(6.7)

Rectificador con Carga Resistiva Inductiva En la figura 6.5, se presenta en puente rectificador de media onda con carga resistiva inductiva. El punte esta alimentado por una fuente alterna de forma sinusoidal dada por la expresi´on: √ v f (t) = 2V sen (ωt).

6.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva

88

+

i(t)

vak

− +

i(t)

D

R vcarga

v f (t) L i(t)

−

Figura 6.5: Puente rectificador de media onda no controlado con carga resistiva inductiva

Considerando el diodo ideal, es decir que su tensi´on de ruptura es cero, el ´angulo de encendido del diodo para esta fuente sinusoidal se obtiene cuando el diodo se polariza en directo durante el semiciclo positivo de la sinusoide (vak ≥ 0) por lo tanto α = 0 . Para encontrar el a´ngulo de apagado es necesario encontrar cuando la corriente pasa naturalmente por cero (i(tβ ) = 0). La corriente para el circuito de la figura 6.5 se obtiene resolviendo la ecuaci´on diferencial de corriente obtenida a partir del recorrida de mallas del circuito como:

Soluci´ on Homog´ enea. R

ih (t) = ke− L t

(6.8)

Multiplicando el numerador y denominador de la exponencial por ω se obtiene:

ih (t) = ke

ωt − tan(ϕ)

donde:

tan (ϕ) =

ωL R

Soluci´ on Particular (R´ egimen Sinusoidal Permanente) Encontrando la corriente en r´egimen permanente, utilizando fasores se obtiene:

(6.9)

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado

89

√ 2V sen (ωt − ϕ) i p (t) = Z

(6.10)

donde: Z=

q

R2 + (ωL)2

Soluci´ on Total La soluci´on total de la corriente del circuito de la figura 6.5 se obtiene de las expresiones (6.9) y (6.10) como: √ 2V − ωt sen (ωt − ϕ) + ke tan(ϕ) i(t) = Z

(6.11)

La condici´on inicial del circuito debido a que el diodo se encuentra abierto o en no conducci´on es cero: i(0) = 0, por la tanto el valor de k, se puede determinar como: i(0) = 0 = k=− i(t) = Sacando factor com´ un

√ 2V Z

√ 2V Z

√ 2V Z

sen (0 − ϕ) + ke ↓

sen (−ϕ) = ↓

sen (ωt − ϕ) +

√ 2V Z

√ 2V Z

0 − tan(ϕ)

sen (ϕ)

(6.12)

ωt − tan(ϕ)

sen (ϕ) e

√ 2V /Z se obtiene: √ h i 2V − ωt sen (ωt − ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ) i(t) = Z

(6.13)

La corriente de la expresi´on (6.13) pasa naturalmente por cero cuando i(tβ ) = 0, por lo tanto el a´ngulo de apagado se calcula igualando esta expresi´on ha cero. La ecuaci´on (6.13) se hace cero si V = 0 o Z = ∞, estas dos soluciones son triviales e implican que el circuito no esta alimentando por ninguna fuente de tensi´on o no posee carga conectada, por lo cual la u ´nica forma que la expresi´on (6.13) sea cero es que el termino entre corchetes sea igual ha cero para tβ .    ωtβ  β
− tan(ϕ) − tan(ϕ) sen ωtβ − ϕ + sen (ϕ) e = sen (β − ϕ) + sen (ϕ) e =0

(6.14)

La expresi´on (6.14) no posee una soluci´on anal´ıtica para β , este tipo de expresi´on se le conoce como ecuaci´on trascendental y su soluci´on es num´erica. Diversos m´etodos de soluci´on

6.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva

90

ϕ

num´erica se pueden emplear para la soluci´on de esta ecuaci´on. La soluci´on del a´ngulo de apagado esta acotada entre π ≤ β ≤ 2π para el circuito de la figura 6.5. En la figura 6.6, se presenta la gr´afica de la soluci´on de esta expresi´on para diferentes valores del a´ngulo de carga (ϕ) .

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 β

Figura 6.6: Soluci´on gr´afica a la expresi´on (6.14)

En la figura 6.7, se presentan las forma de onda de la tensi´on y corriente en la carga y fuente de alterna de este puente convertidor. v(t) , i(t) vcarga (t) i(t) β 0

ωt π

2π

3π

v f (t)

Figura 6.7: Formas de onda para la carga RL

Como el circuito de la figura 6.5, es un circuito serie la corriente por la carga es la misma corriente por la fuente de corriente alterna. En la figura 6.8, se presentan los contenidos arm´onicos de tensi´on y corriente en la carga. Se puede observar que el mayor contenido arm´onico luego de la fundamental se obtiene en la arm´onica cero correspondiente al valor medio y la segunda arm´onica.

Magnitud en p.u. valor efectivo

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado Tensi´on

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

91

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 6.8: Contenido arm´onico para la carga RL

Para encontrar la tensi´on y corriente media y efectiva se aplicara la definiciones vistas en el cap´ıtulo 1 en el intervalo del periodo en donde la funci´on esta definida, que es entre el a´ngulo de encendido (α) y el de apagado de la componente (β ).

Tensi´ on Media ´ √ 1 β 2π√ α  2V sen (ωt) dωt  β 2V V0 = 2π − cos (ωt)|0 √ V0 = 2π2V (1 − cos (β ))

V0 =

(6.15)

Corriente Media

´ β  √2V

h I0 =

´ 1 β 2π α

i(t)dωt i

− ωt 1 sen (ωt − ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ) dωt 2π α Z V (− cos(β −ϕ)+sen(ϕ) tan(ϕ)(1−e−β cot(ϕ) )+cos(ϕ)) √ I0 = 2πZ √ V0 2V I0 = R = 2πR (1 − cos (β ))

I0 =

(6.16)

6.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva

92

Tensi´ on Efectiva r Vrms = Vrms =

´ 1 β 2π α

2 √ 2V sen (ωt) dωt

´ V2 β sπ α

q

Vrms =

(1 − cos (2ωt)) dωt   β  2 sen (2ωt) V 1− 2π 2 α

s

   sen (2ωt) β V2 1− 2π 2

(6.17)

Vrms = 0 r   2 Vrms = V2π β − 0 − sen2(2β ) + sen2(0) r   1 · β − sen2(2β ) Vrms = V 2π Nota: La expresi´on (6.17) solo es v´alida en radianes

Corriente Efectiva

s Irms =

Irms

1 2π

ˆ

β

i(t)2 dωt α

v !2 u ˆ √ h i β u 1 ωt 2V − sen (ωt − ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ) dωt = t 2π α Z  V = √ −2 sen(2β ) cos(2ϕ) + 2 cos(2β ) sen(2ϕ) − 16 sen(β ) sen2 (ϕ)e−β cot(ϕ) 2 2πZ

(6.18)

1 2 −3 tan(ϕ)e−2β cot(ϕ) + sen(3ϕ) sec(ϕ)e−2β cot(ϕ) + 4β − 2 sen(2ϕ) + 3 tan(ϕ) − sen(3ϕ) sec(ϕ)

Factor de Rizado en Tensi´ on

s r  2  √ 2 sen (2β ) 1 V 2π · β − 2 − 2π2V (1 − cos (β )) FR =

√ 2V 2π

p =

(6.19) (1 − cos (β ))

πβ − cos2 (β ) − (π sen(β ) − 2) cos(β ) − 1 (1 − cos(β ))

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado

93

En las figuras 6.9, 6.10 y 6.11, se presenta la variaci´on en funci´on del ´angulo de carga (ϕ) de la tensi´on, factor de rizado de tensi´on y corriente media y efectiva.

V0 V1

1

Vrms V1

Magnitud

0,8 0,6 0,4 0,2

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 ϕ

Figura 6.9: Tensi´on media y efectiva en funci´on del ´angulo ϕ

8 7

FR

6 5 4 3 2 0

10

20

30

40 ϕ

50

60

70

80

Figura 6.10: Factor de rizado de tensi´on en funci´on del a´ngulo ϕ

6.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva

94

I0 √Z2V

1,2

Irms √Z2V

Magnitud

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 ϕ

Figura 6.11: Corriente media y efectiva en funci´on del a´ngulo ϕ

Simulaci´ on

2

% Media Onda No Controlado con fuente sinusoidal √ % v f (t) = 2 ∗ v ∗ sen(ωt)

3

% Carga tip RL

1

4 5

% Entrada de datos

6

V = input ( ’ Tension efectiva de la fuente sinusoidal ’) ;

7

R = input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

8

L = input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

9

f = input ( ’ Frecuencia de la fuente [ Hz ] ’) ;

10 11

% Par´ ametros

12

fi = atan (2* pi * f * L / R ) ;

13

Z = sqrt ((2* pi * f * L ) ^2+ R ^2) ;

14 15

% C´ alculo del ´ angulo de apagado

16

b = fsolve ( @ ( t ) sin (t - fi ) + sin ( fi ) * exp ( - t / tan ( fi ) ) ,[ pi ])

17 18

% Funci´ on en el tiempo

19

t =0:0.001: b ;

20

i = sqrt (2) * V / Z *( sin (t - fi ) + sin ( fi ) * exp ( - t / tan ( fi ) ) ) ;

21

v = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

22 23

% Valores Medios

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado 24

Io =1/(2* pi ) * trapz (t , i )

25

Vo = sqrt (2) * V /(2* pi ) *(1 - cos ( b ) )

26

Imedia = Vo / R

95

27 28

% Valores Efectivos

29

Irms = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , i .^2) )

30

Vrms = V * sqrt (1/(2* pi ) *( b -( sin (2* b ) ) /2) )

31 32

%Factor de rizado

33

FR_i = sqrt ( Irms ^2 - Io ^2) / Io

34

FR_v = sqrt ( Vrms ^2 - Vo ^2) / Vo

35 36

% Primera Arm´ onica

37

Vrms_1 = abs (1/ pi *( trapz (t , v .* exp ( j * t ) ) ) ) / sqrt (2)

38

Irms_1 = abs (1/ pi *( trapz (t , i .* exp ( j * t ) ) ) ) / sqrt (2)

39 40

% THD

41

THDv = sqrt ( Vrms ^2 - Vrms_1 ^2) / Vrms_1

42

THDi = sqrt ( Irms ^2 - Irms_1 ^2) / Irms_1

43 44

% Graficas

45

figure (1)

46

t1 =0:0.001:2* pi ;

47

vf = sqrt (2) * V * sin ( t1 ) ;

48

nx = size ( t1 ) - size ( t ) ;

49

nx (1) =1;

50

vx =[ v , zeros ( nx ) ];

51

ix =[ i , zeros ( nx ) ];

52

plot ( t1 , vf , ’ -. ’ ,t1 , vx , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

53

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’) ;

54

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

55

xlim ([0 2* pi ]) ;

56

set ( gca , ’ XTick ’ ,0: pi /6:2* pi ) ;

57

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

58

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

59

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

60

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

61 62

figure (2)

6.4. Rectificador con Carga Inductiva

96 63

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

64

xlim ([0 2* pi ]) ;

65

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

66

set ( gca , ’ XTick ’ ,0: pi /6:2* pi ) ;

67

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

68

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

69

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

70

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

Rectificador con Carga Inductiva En la figura 6.12, se presenta en puente rectificador de media onda con carga inductiva pura. El punte esta alimentado por una fuente alterna de forma sinusoidal dada por la expresi´on: √ v f (t) = 2V sen (ωt).

+

i(t)

vak D

v f (t)

− i(t)

+

L i(t)

vcarga −

Figura 6.12: Puente rectificador de media onda no controlado con carga inductiva

Considerando el diodo ideal, es decir que su tensi´on de ruptura es cero, el ´angulo de encendido del diodo para esta fuente sinusoidal se obtiene cuando el diodo se polariza en directo durante el semiciclo positivo de la sinusoide (vak ≥ 0) por lo tanto α = 0. Para encontrar el a´ngulo de apagado es necesario encontrar cuando la corriente pasa naturalmente por cero (i(tβ ) = 0). Para encontrar la expresi´on temporal de la corriente para 0 ≤ t ≤ tβ , se puede utilizar el resultado del circuito RL de la secci´on anterior, con Z = ωL y ϕ = π/2 que corresponden al caso inductivo puro.

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado

i(t) =

i(t) =

√ 2V Z

√ 2V ωL

97

i h − ωt sen (ωt − ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ)

↓ 
sen ωt − π2 + sen

i(t) =

√ 2V ωL

i(t) =

π 2




−

e

ωt tan π2

( )

 (6.20)

↓ 
 sen ωt − π2 + 1 ↓

√ 2V ωL

[1 − cos (ωt)]

La corriente de la expresi´on (6.20) pasa naturalmente por cero cuando i(tβ ) = 0, por lo tanto el ´angulo de apagado se calcula igualando esta ha cero. La ecuaci´on (6.20) se hace cero si V = 0 o Z = ∞, estas dos soluciones son triviales e implican que el circuito no esta alimentando por ninguna fuente de tensi´on o no posee carga conectada, por lo cual la u ´nica forma que la expresi´on (6.20) sea cero es que el termino entre corchetes sea igual ha cero para tβ . 
 1 − cos ωtβ = 1 − cos (β ) = 0

(6.21)

Despejando β de la expresi´on (6.21), se obtiene: cos (β ) = 1 ↓ β = 2π

(6.22)

En la figura 6.13, se presenta la tensi´on y corriente en la carga y fuente de alterna de este √ puente convertidor, para una fuente de v f (t) = 2120 sen (377ωt), y L = 223 mH. v(t) , i(t) vcarga (t) i(t) β 0

ωt π

2π

3π

v f (t)

Figura 6.13: Formas de onda para la carga inductiva

Como el circuito de la figura 6.12, es un circuito serie la corriente por la carga es la misma corriente por la fuente de corriente alterna. En la figura 6.14, se presentan los contenidos

6.4. Rectificador con Carga Inductiva

98

Magnitud en p.u. valor efectivo

arm´onicos de tensi´on y corriente en la carga. Se puede observar que el mayor contenido arm´onico en la corriente luego de la fundamental se obtiene en la arm´onica cero correspondiente al valor medio. Tensi´on

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 6.14: Contenido arm´onico para la carga inductiva

Para encontrar la tensi´on y corriente media y efectiva se aplicara la definiciones vistas anteriormente en el cap´ıtulo 1.

Tensi´ on Media ´ √

1 β 2π√ α  2V sen (ωt) dωt  V0 = 2π2V − cos (ωt)|2π 0 √ 2V V0 = 2π (1 − 1)

V0 =

(6.23)

V0 = 0

Corriente Media

I0 = I0 =

´ 1 β i(t)dωt  √2π α ´ 2V 1 β 2π α ωL [1 − cos (ωt)] dωti √ h ´ 2V 1 2π dωt ωL √ 2π α [1 − cos (ωt)] √   2V 1 2V I0 = ωL 2π (2π) = ωL I0 =

(6.24)

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado

99

Tensi´ on Efectiva r Vrms = Vrms =

´ 1 β 2π α

√ 2 2V sen (ωt) dωt

´ V2 β π s α

q

Vrms =

(1 − cos (2ωt)) dωt    sen (2ωt) 2π V2 1− 2π 2 α

s

   sen (2ωt) 2π V2 1− 2π 2

Vrms = 0 r   2 Vrms = V2π 2π − 0 − sen2(4π) + sen2(0) q 1 Vrms = V 2π · (2π)

(6.25)

Vrms = V

Corriente Efectiva ´ 1 β 2 Irms = 2π α i(t) dωt r 2 ´  √2V 1 2π [1 − cos (ωt)] dωt Irms = 2π α ωL r  √ ´  2 2V 1 2π Irms = ωL 1 − 2 cos (ωt) + (cos (ωt)) dωt 2π α √ q ´ 2V 1 2π Irms = ωL (ωt) + cos (2ωt)) dωt 4π α (3 − 4 cos √ q 2V 6π Irms = ωL 4π q

Irms =

√ 3V ωL

Simulaci´ on

2

% Media Onda No Controlado con fuente sinusoidal √ % v f (t) = 2 ∗ v ∗ sen(ωt)

3

% Carga tip L

1

4 5

% Entrada de datos

6

V = input ( ’ Tension efectiva de la fuente sinusoidal ’) ;

7

L = input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

8

f = input ( ’ Frecuencia de la fuente [ Hz ] ’) ;

9 10

% Par´ ametros

(6.26)

100 11

6.4. Rectificador con Carga Inductiva

XL =(2* pi * f * L ) ;

12 13

% C´ alculo del ´ angulo de apagado

14

b =2* pi

15 16

% Funci´ on en el tiempo

17

t =0:0.001: b ;

18

i = sqrt (2) * V / XL *(1 - cos ( t ) ) ;

19

v = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

20 21

% Valores Medios

22

Io =1/(2* pi ) * trapz (t , i )

23

Vo = sqrt (2) * V /(2* pi ) *(1 - cos ( b ) )

24 25 26

% Valores Efectivos

27

Irms = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , i .^2) )

28

Vrms = V * sqrt (1/(2* pi ) *( b -( sin (2* b ) ) /2) )

29 30

%Factor de rizado

31

FR_i = sqrt ( Irms ^2 - Io ^2) / Io

32 33 34

% Primera Arm´ onica

35

Vrms_1 = abs (1/ pi *( trapz (t , v .* exp ( j * t ) ) ) ) / sqrt (2)

36

Irms_1 = abs (1/ pi *( trapz (t , i .* exp ( j * t ) ) ) ) / sqrt (2)

37 38

% THD

39

THDv = sqrt ( Vrms ^2 - Vrms_1 ^2) / Vrms_1

40

THDi = sqrt ( Irms ^2 - Irms_1 ^2) / Irms_1

41 42

% Graficas

43

figure (1)

44

t1 =0:0.001:2* pi ;

45

vf = sqrt (2) * V * sin ( t1 ) ;

46

nx = size ( t1 ) - size ( t ) ;

47

nx (1) =1;

48

vx =[ v , zeros ( nx ) ];

49

ix =[ i , zeros ( nx ) ];

50

plot ( t1 , vf , ’ -. ’ ,t1 , vx , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado

101

51

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’) ;

52

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

53

xlim ([0 2* pi ]) ;

54

set ( gca , ’ XTick ’ ,0: pi /6:2* pi ) ;

55

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

56

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

57

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

58

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

59 60

figure (2)

61

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

62

xlim ([0 2* pi ]) ;

63

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

64

set ( gca , ’ XTick ’ ,0: pi /6:2* pi ) ;

65

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

66

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

67

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

68

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

Rectificador con Diodo de Descarga Libre En la figura 6.15, se presenta en puente rectificador de media onda con carga resistiva inductiva y diodo de descarga libre. El punte esta alimentado por una fuente alterna de forma √ sinusoidal (v f (t) = 2V sen (ωt)). Considerando el diodo D1 ideal, es decir que su tensi´on de ruptura es cero, el a´ngulo de encendido del diodo para esta fuente sinusoidal se obtiene cuando el diodo se polariza en directo durante el semiciclo positivo de la sinusoide (vak ≥ 0) por lo cual αD1 = 0 y βD1 = π. Para el diodo D2 de descarga libre el cual se encuentra en paralelo con la carga, su polarizaci´on en directo se alcanza en el semiciclo negativo de la onda sinusoidal por lo tanto αD2 = π y βD2 = 2π. Al encender el diodo dos este le da un camino de circulaci´on a la corriente de la carga, asumiendo la totalidad de la corriente del diodo principal permitiendo el apagado del mismo. Este mecanismo de apagado se conoce como conmutaci´on forzada.

6.5. Rectificador con Diodo de Descarga Libre

102

vD1

+

D1

iD1 (t)

− iD1 (t)

i(t) − iD2 (t) R vD2

v f (t)

+

vcarga

D2 L

+

iD1 (t)

−

Figura 6.15: Puente rectificador de media onda no controlado con carga RL y diodo de descarga libre

En la figura 6.16 se presenta el oscilo grama de corriente en la carga RL durante la operaci´on del convertidor electr´onico. En esta figura se puede observar claramente dos etapas de operaci´on en el puente. Una transitoria correspondiente a la energizaci´on del puente y la otra a la operaci´on en estado estacionario. La operaci´on en estado estacionario se caracteriza por que la corriente sobre la carga en un periodo de operaci´on completo del puente debe ser de valor igual al mismo instante el el periodo anterior. A este hecho se le conoce como condici´on de r´egimen permanente y matem´aticamente se expresa como:

i(t) = i (t + T )

(6.27)

v(t) , i(t) vcarga (t) i(t)

0

ωt 0

2π

4π

6π

8π

10π

Figura 6.16: Corriente por la carga resistiva inductiva

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado

103

Para encontrar la corriente en la carga, se analizar´a cada etapa de operaci´on de forma separada.

R´ egimen transitorio Durante la conducci´on del diodo D1 , el circuito de la figura 6.15 se puede analizar como un rectificador de media onda con carga resistiva inductiva, con condici´on inicial de corriente para t = 0 igual a cero. La expresi´on de corriente para 0 ≤ ωt ≤ π que corresponde al diodo principal es: √ h i 2V − ωt i(t) = sen (ωt − ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ) Z

(6.28)

Evaluando la condici´on final de la expresi´on (6.28) en ωt = π, se obtiene la condici´on inicial para la corriente que circula por el diodo D2 . √ h i 2V − π sen (π − ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ) = Ia i(tπ ) = Z

(6.29)

La expresi´on de corriente para π ≤ ωt ≤ 2π que corresponde al diodo D2 es: ωt − tan(ϕ)

i(t) = ke

(6.30)

Sustituyendo la condici´on inicial de corriente encontrada en la expresi´on (6.29) en la ecuaci´on (6.30) se obtiene: −

i(t) =

√

2V Z

i(t) = Ia e

(ωt−π) tan(ϕ)

h i (ωt−π) − π − sen (π − ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ) e tan(ϕ)

(6.31)

Durante la conducci´on o polarizaci´on del diodo D2 sobre la carga queda aplicada la tensi´on de ruptura del diodo, al considerar este como ideal la tensi´on en la carga es igual a cero. Evaluando la condici´on final de la expresi´on (6.31) en ωt = 2π, se obtiene la condici´on inicial para el siguiente periodo de operaci´on del puente convertidor.

π − tan(ϕ)

i(t2π ) = Ia e

=

! √ h i π 2V − − π sen (π − ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ) e tan(ϕ) = Ib Z

(6.32)

6.5. Rectificador con Diodo de Descarga Libre

104

Estado Estacionario. Para encontrar las expresiones de corriente de los diodos D1 y D2 del circuito de la figura 6.15 en estado estacionario, se evaluara la corriente en un periodo cualquiera luego de alcanzada la condici´on de r´egimen permanente de la expresi´on (6.27). Este periodo esta comprendido para el diodo D1 entre 2nπ ≤ ωt ≤ (2n + 1) π y para el diodo D2 entre (2n + 1) π ≤ ωt ≤ (2n + 2) π donde n ∈ N. Durante la conducci´on del diodo D1 , el circuito de la figura 6.15, se puede analizar como un rectificador de media onda con carga RL, con condici´on inicial de corriente para t = t2nπ diferente de cero. A la condici´on inicial de la corriente en t = t2nπ se denominara I02π . La expresi´on de corriente para 2nπ ≤ ωt ≤ (2n + 1) π que corresponde al diodo D1 es:

i(t) =

√ 2V Z

i(t2nπ ) = I02π =  √ k = I02π − Z2V i(t) = Sacando factor com´ un

√ 2V Z

sen (ωt − ϕ) + ke ↓

ωt − tan(ϕ)

√ 2V Z

−

2nπ

sen (2nπ − ϕ) + ke tan(ϕ) ↓  2nπ   2nπ √ 2V tan(ϕ) sen (2nπ − ϕ) e = I02π + Z sen (ϕ) e tan(ϕ)

(6.33)

↓   (ωt−2nπ) √ − sen (ωt − ϕ) + I02π + Z2V sen (ϕ) e tan(ϕ)

√ 2V /Z tenemos:

√   (ωt−2nπ) (ωt−2nπ) 2V − tan(ϕ) − i(t) = sen (ωt − ϕ) + sen (ϕ) e + I02π e tan(ϕ) Z

(6.34)

Note que la expresi´on (6.34) es igual a la expresi´on (6.28) si se suma la condici´on inicial multiplicada por la exponencial respectiva. Evaluando la condici´on final de la expresi´on (6.34) en ωt = (2n + 1) π, se obtiene la condici´on inicial para la corriente que circula por el diodo dos.

i(t(2n+1)π ) =

√ 2V Z

I0π

  − π − π sen ((2n + 1) π − ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ) + I02π e tan(ϕ) = I0π  √  − π − π = Z2V sen (ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ) + I02π e tan(ϕ) √   − π − π I = 2V sen(ϕ) 1 + e tan(ϕ) + I e tan(ϕ) 0π

Z

(6.35)

02π

La expresi´on de corriente para (2n + 1) π ≤ ωt ≤ (2n + 2) π que corresponde al diodo dos es:

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado

−

105

(ωt−(2n+1)π)

tan(ϕ) i(t) = I0π e √  (ωt−(2n+1)π) π  π  − tan(ϕ) − tan(ϕ) − 2V sen(ϕ) tan(ϕ) i(t) = 1 + e + I e e 02π Z

(6.36)

Note que la expresi´on (6.36) es igual a la expresi´on (6.31), la u ´nica diferencia es la denominaci´on y valor de la condici´on inicial. Evaluando la condici´on final de la expresi´on (6.36) en ωt = (2n + 2) π, se obtiene la condici´on inicial para el siguiente periodo de operaci´on del puente convertidor. Como estamos analizando el estado estacionario y por la condici´on de r´egimen permanente, se obtiene:
− π i t(2n+2)π = I0π e tan(ϕ) = I02π

(6.37)

Utilizando los resultados de las expresiones (6.35) y (6.37), se pueden obtener los valores de las corrientes iniciales I0π e I02π . De la ecuaci´on (6.37) se obtiene: π

I0π = I02π e tan(ϕ)

(6.38)

Sustituyendo la expresi´on (6.38) en el resultado de la ecuaci´on (6.35), se obtiene: √  π π  − tan(ϕ) − π (ϕ) I0π = I02π e tan(ϕ) = 2V sen 1 + e + I02π e tan(ϕ) Z √   π π  π  − tan(ϕ) − tan(ϕ) 2V sen(ϕ) tan(ϕ) 1+e I02π e −e = Z

I02π =

√ 2V sen(ϕ) Z

(6.39)

  − π 1+e tan(ϕ)

·

 π − π tan(ϕ) tan(ϕ) e −e

En la figura 6.17 se presentan las forma de onda de la tensi´on y corriente en la carga y fuente √ de alterna de este puente convertidor, para una fuente de v f (t) = 2120 sen (377t) , R = 60 Ω y L = 223 mH. v(t) , i(t) vcarga (t) i(t)

0

ωt π v f (t)

2π

3π

Figura 6.17: Formas de onda para un rectificador no controlado de media onda con diodo de descarga libre

6.5. Rectificador con Diodo de Descarga Libre

106

Como el circuito de la figura 6.17, es un circuito serie la corriente por la carga es la superposici´on de la corriente en cada uno de los diodos que integran el circuito. En la figura 6.18, se puede observar la corriente por el diodo principal y el de descarga libre.

v(t) , i(t) vcarga (t) iD1 (t)

iD2 (t) ωt

0

π v f (t)

2π

Figura 6.18: Corriente por el diodo D1 y de descarga libre (D2 ) para la carga RL

Magnitud en p.u. valor efectivo

En la figura 6.19, se presentan los contenidos arm´onicos de tensi´on y corriente en la carga. Se puede observar que el mayor contenido arm´onico lo presenta la tensi´on, mientras que la corriente es casi de continua.

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Tensi´on

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 6.19: Contenido arm´onico para la carga resistiva inductiva

Para encontrar la tensi´on media y efectiva se aplicara la definiciones del cap´ıtulo 1.

6. Rectificadores de Media Onda No Controlado

107

Tensi´ on Media ´ √

1 β 2π√ α  2V sen (ωt) dωt  V0 = 2π2V − cos (ωt)|βα √
V0 = 2π2V − cos (ωt)|π0 √ V0 = 2π2V (1 − (−1)) √ V0 = π2V

V0 =

(6.40)

Tensi´ on Efectiva

r Vrms = Vrms =

´ 1 β 2π α

√ 2 2V sen (ωt) dωt

´ V2 β sπ α

q

(1 − cos (2ωt)) dωt    sen (2ωt) β V2 Vrms = 2π 1− 2 α r    sen (2ωt) π V2 1− Vrms = 2π 2 0 r   2 Vrms = V2π π − 0 − sen2(2π) + sen2(0) q 2 Vrms = V2π · π = √V2

(6.41)

Corriente Media

I0 = I0D1 + I0D2

√ V0 2V = = R πR

(6.42)

donde:

ˆ

I0D1

! √   ωt ωt 2V 1 − − sen (ωt − ϕ) + sen (ϕ) e tan(ϕ) + I02π e tan(ϕ) dωt (6.43) = 2π 0 Z ! √  √  π π 1 2V 2V − − = Ib tan (ϕ) − Ib e tan(ϕ) tan (ϕ) + cos (ϕ) − e tan(ϕ) sen (ϕ) tan (ϕ) + 2π Z Z cos (ϕ) π

I0D2

1 = 2π

ˆ

2π 

I0π e π

−

(ωt−π) tan(ϕ)

 dωt =

 I0π  − π 1 − e tan(ϕ) tan (ϕ) 2π

(6.44)

6.5. Rectificador con Diodo de Descarga Libre

108 Corriente Efectiva

Irms =

q

2 2 Irms + Irms D D 1

(6.45)

2

donde:

IrmsD1

v u ˆ π u 1 = t 2π 0

!2 √  ωt ωt  2V − tan(ϕ) − tan(ϕ) + I02π e dωt (6.46) sen (ωt − ϕ) + sen (ϕ) e Z s IrmsD2 =

1 2π

ˆ

2π 

−

I0π e

(ωt−π) tan(ϕ)

2 dωt

(6.47)

π

Simulaci´ on

2

% Programa para Diodo de descarga libre con fuente de la forma √ % v f (t) = 2 ∗ v ∗ sen(ωt)

3

% Carga tip RL

1

4 5

% Entrada de datos

6

V = input ( ’ Tension efectiva de la fuente sinusoidal ’) ;

7

R = input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

8

L = input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

9

f = input ( ’ Frecuencia de la fuente [ Hz ] ’) ;

10 11

% Par´ ametros

12

fi = atan (2* pi * f * L / R ) ;

13

Z = sqrt ((2* pi * f * L ) ^2+ R ^2) ;

14 15

% Condici´ on de r´ egimen permanente

16

I02 = sqrt (2) * V * sin ( fi ) / Z *(1+ exp ( - pi / tan ( fi ) ) ) /( exp ( pi / tan ( fi ) ) - exp ( pi / tan ( fi ) ) )

17

I01 = I02 * exp ( pi / tan ( fi ) )

18 19

if I02 = a a = alfa ; end

25 26

% C´ alculo del ´ angulo de apagado

27

b = fsolve ( @ ( t ) sin (t - fi ) -m / cos ( fi ) +( m / cos ( fi ) - sin (a - fi ) ) * exp ( -(t - a ) / tan ( fi ) ) ,[ pi ])

28

g =b - a ;

29 30

% Funci´ on en el tiempo

31

t = linspace (a ,b ,1000) ;

32

t2 = linspace (b , a +2* pi ,1000) ;

33

i = sqrt (2) * V / Z *( sin (t - fi ) -m / cos ( fi ) +( m / cos ( fi ) - sin (a - fi ) * exp ( -(t - a ) / tan ( fi ) ) ) ) ;

34

v = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

35

t =[ t , t2 ];

36

v =[ v , E * ones ( size ( t2 ) ) ];

7. Rectificador de Media Onda Controlado 37

155

i =[ i , zeros ( size ( t2 ) ) ];

38 39

% Valores Medios

40

Io =1/(2* pi ) * trapz (t , i )

41

Vo =1/(2* pi ) * trapz (t , v )

42 43 44

% Valores Efectivos

45

Irms = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , i .^2) )

46

Vrms = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , v .^2) )

47 48

%Factor de rizado

49

FR_i = sqrt ( Irms ^2 - Io ^2) / Io

50

FR_v = sqrt ( Vrms ^2 - Vo ^2) / Vo

51 52

% Graficas

53

vf = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

54

vx =[ v ];

55

ix =[ i ];

56

t1 = t ;

57

figure (1)

58

plot ( t1 , vf , ’ -. ’ ,t1 , vx , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

59

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’) ;

60

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

61

xlim ([ a 2* pi + a ]) ;

62

set ( gca , ’ XTick ’ ,a : pi /6:2* pi + a ) ;

63

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

64

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

65

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

66

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

67

set ( legend , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Time ’) ;

68 69

figure (2)

70

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

71

xlim ([ a 2* pi + a ]) ;

72

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

73

set ( gca , ’ XTick ’ ,a : pi /6:2* pi + a ) ;

74

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

7.6. Ejercicios

156 75

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

76

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

77

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

78 79

% Primera Arm´ onica

80

Vrms_1 = abs (1/ pi *( trapz ( t1 , vx .* exp ( j * t1 ) ) ) ) / sqrt (2)

81

Irms_1 = abs (1/ pi *( trapz ( t1 , ix .* exp ( j * t1 ) ) ) ) / sqrt (2)

82 83

% THD

84

THDv = sqrt ( Vrms ^2 - Vrms_1 ^2) / Vrms_1

85

THDi = sqrt ( Irms ^2 - Irms_1 ^2) / Irms_1

Ejercicios 1. Demostrar que el factor de potencia del rectificador de media onda controlado con carga resistiva es: r fp=

1 α sen(2α) − + 2 2π 4π

2. Encuentre las expresiones de corriente en r´egimen permanente en funci´on del ´angulo de disparo (α) para un puente rectificador de media onda controlado con diodo de descarga libre. 3. Se dispone de un puente de media onda controlado que alimenta una carga RLE de 60 Ω, 223 mH y 60V . El puente se alimenta desde un sistema de 50 Hz a una tensi´on efectiva de 220V y su a´ngulo de disparo es de π/6 . Determine: ´ a) Angulo de apagado. b) Tensi´on media y efectiva sobre la carga. c) Corriente media y efectiva de la carga. d ) Facto de rizado en tensi´on y corriente. e) Valor de la componente fundamental de alimentaci´on. f ) Potencia en la carga. g) Potencia activa, reactiva y distorsi´on entregada por la fuente.

7. Rectificador de Media Onda Controlado

157

4. Se dispone de un puente rectificador de media onda controlado con carga RL. El puente es alimentado desde un sistema con Tensi´on (v f (t)) pico de 200V a 60 Hz. La Resistencia e Inductancia son de 60 Ω y 250 mH respectivamente. Calcule:    V 0 ≤ t ≤ T4   v f (t) = V sen(ωt) T4 ≤ t < T2    T −V 2 0

2 sen(α−ϕ)

(8.29)



m > cos(ϕ) sen (α − ϕ) − − π tan(ϕ) 1−e   − π 1+e tan(ϕ) cos (ϕ) sen (ϕ − α) >m − π 1−e

tan(ϕ)

En la figura 8.15, se presentan las zonas de conducci´on continuada en funci´on del valor de m, del a´ngulo de carga ϕ y del ´angulo de disparo α correspondientes a la expresi´on 8.29. Las zonas de conducci´on continuada corresponden a todos los valores por encima de la curva para un valor de α determinado.

α =0 α = π2

1 0,75

α = π6 α = 2π 3

α= ϕ=

π 3 π 2

0,5 0,25 m 0 −0,25 −0,5 −0,75 −1 0

π 12

π 6

π 4

2π 3

5π 12

ϕ

Figura 8.15: Zonas de conducci´on continuada

Para encontrar la tensi´on y corriente media y efectiva se aplicaran las definiciones vistas en el cap´ıtulo 1.

8.7. An´ alisis de la Condici´ on Continuada de Corriente

176

Tensi´ on Media h´ i α+π √ 2V sen (ωt) dωt hα√ i 1 2V − cos (ωt)|αα+π V0 = π

V0 =

1 π

V0 =

√ 2V π

(8.30)

(cos (α) − cos (α + π)) √ 2 2V π

V0 = cos (α) V0 ≈ 0,9V cos (α)

Corriente Media

I0 = I0 = I0 =

´ 1 α+π π α

√ 2V Z

"

√ 2V Z

´ 1 α+π π α

"

´ 1 α+π i(t)dωt π α 2 sen(α−ϕ)e

m sen (ωt − ϕ) − cos(ϕ) − "

sen (ωt − ϕ) −

m cos(ϕ)

√ cos(α)) I0 = − 2V (πm−2 Zπ cos(ϕ)

1−e

−

(ωt−α) tan(ϕ)

!# dωt

π tan(ϕ)

2 sen(α−ϕ)e

−

=

−

−

−

(ωt−α) tan(ϕ)

!#

π

#

(8.31)

dωt

1−e tan(ϕ) 0,9V cos(α)−E R

Tensi´ on Efectiva

r Vrms =

´ 1 α+π π α

2 √ 2V sen (ωt) dωt

´ V 2 α+π (1 − cos (2ωt)) dωt π α r   α+π 2 Vrms = Vπ 1 − sen(2ωt) 2 α r

Vrms =

q

  sen(2α) α + π − α − sen(2(α+π)) + 2 2 r   2 Vrms = Vπ π − sen(2α+2π) + sen2(2α) 2 q 2 Vrms = Vππ

Vrms =

V2 π

Vrms = V

(8.32)

8. Rectificador Monof´ asico

177

Corriente Efectiva

Irms = Irms

v u u ´ α+π = t1 π α

√ 2V Z

q ´ 1 α+π π α

i(t)2 dωt

" m − sen (ωt − ϕ) − cos(ϕ)

2 sen(α−ϕ)e 1−e

−

−

(ωt−α) tan(ϕ)

!#!2

π tan(ϕ)

dωt

v " !#2 u (ωt−α) − √ u ´ tan(ϕ) 2 sen (α−ϕ)e 2V t 1 α+π m sen (ωt − ϕ) − cos(ϕ) Irms = Z − dωt − π π α 1−e tan(ϕ)  V 2 sec2 (ϕ)(2 cos(2α) sen(2ϕ)+2 cos(2α) sen(2ϕ)eπ cot(ϕ) +4πm2 eπ cot(ϕ) −4πm2 )) Irms = 2πZ 2 (eπ cot(ϕ) −1) V 2 sec2 (ϕ)(16m cos(α)(eπ cot(ϕ) −1)−sen(4ϕ)−πeπ cot(ϕ) +π cos(2ϕ)(eπ cot(ϕ) −1)−sen(4ϕ)eπ cot(ϕ) −π + 2πZ 2 (eπ cot(ϕ) −1)

(8.33)

1 2

An´ alisis en Series de Fourier de la Tensi´ on en la Carga La tensi´on en la carga se puede representar en serie de Fourier utilizando la siguiente expresi´on:



 ∞   2πnt 2πnt Vcarga (t) = V0 + ∑ an cos + ∑ bn sen T T n=1 n=1   ∞ c0 2πnt = + ∑ |cn | cos − ∠cn 2 n=1 T ∞

Donde:

V0 ≈ 0,9V cos (α)

ω=

2 an = T 2 bn = T

ˆ

T

0

ˆ 0

T

2π T 

2πnt v f (t) cos T 

2πnt v f (t) sen T

 dt

 dt

(8.34)

8.7. An´ alisis de la Condici´ on Continuada de Corriente

178

2 cn = T

ˆ

T

v f (t)e j

2πnt T

dt

0

C´ alculo de los t´ erminos cn :

2 cn = π

ˆ

α+π √

2V sen (ωt) e j 2nωt dωt

(8.35)

α

Desarrollando la expresi´on (8.35), se obtiene: √ ˆ α+π   2V cn = − j e j(2n+1)ωt − e j(2n−1)ωt dωt π α

(8.36)

Integrando la expresi´on (8.36):

cn =  √ cn = cn =



e

j(2n−1)ωt

2n−1

−

e

e

j(2n+1)ωt

2n+1

 α+π α

j(2n−1)α+π

j(2n−1)α

−e 2n−1 "  j(2n−1)π  j(2n−1)α e −1 e

2V π

√ 2V π

√ 2V π

2n−1

− −

j(2n+1)α+π

e

j(2n−1)π j(2n+1)π

 (8.37) #

2n+1

Para simplificar la expresi´on (8.37), se analizar´a el valor de e

e

j(2n+1)α

−e 2n+1  j(2n+1)π  j(2n+1)α e −1 e e

j(2n−1)π

ye

j(2n+1)π

= cos ((2n − 1)π) + j sen ((2n − 1)π) = −1 ∀ n ∈ N

donde n ∈ N:

(8.38)

= cos ((2n + 1)π) + j sen ((2n + 1)π) = −1 ∀ n ∈ N

Sustituyendo la expresi´on (8.38) en la (8.37), se obtiene:

cn

# √ " j(2n+1)α j(2n−1)α 2 2V e e = − ∀n ∈ N π 2n + 1 2n − 1

(8.39)

Reduciendo la ecuaci´on 8.39, se obtiene: √
2 2 1 + e2iπn Ve2iαn (− cos(α) + 2in sen(α)) cn = ∀n ∈ N π (4n2 − 1)

(8.40)

8. Rectificador Monof´ asico

179

Resumen √ 2 2V Vcarga (t) = π

"

∞

cos (α) + ℜe

∑

n=1,2,3,···

j(2n−1)α

j(2n+1)α

e e − 2n + 1 2n − 1

#

!! − jn2ωt

·e

En la figura 8.16, se presenta la variaci´on de los coeficientes an y bn en funci´on del ´angulo de disparo α.

0,4

0,4

0,2 an V

0,2 bn V

0

−0,2

0

−0,2

−0,4 n=1 n=4

−0,6 0

π 6

π 3

n=2 n=5

π 2

2π 3

n=3 n=6 5π 6

π

−0,4

n=1 n=4 0

α

(a) Coeficientes an

π 6

π 3

n=2 n=5

π 2

2π 3

α

(b) Coeficientes bn

Figura 8.16: Variaci´on de los coeficientes an y bn

Simulaci´ on

2

% Onda Completa Controlado Monof´ asico con fuente sinusoidal √ % v f (t) = 2 ∗ v ∗ sen(ωt)

3

% Carga tip RLE

1

4 5

% Entrada de datos

6

V = input ( ’ Tension efectiva de la fuente sinusoidal ’) ;

7

R = input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

8

L = input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

9

E = input ( ’ Tension de la carga ’) ;

10

f = input ( ’ Frecuencia de la fuente [ Hz ] ’) ;

11 12

% Constantes

13

m = E /( sqrt (2) * V )

14

Z = sqrt ( R ^2+(2* pi * f * L ) ^2)

15

fi = atan ((2* pi * f * L ) / R )

16

alfa1 = asin ( m ) ;

% Alfa m´ ınimo

n=3 n=6 5π 6

π

8.8. Simulaci´ on

180 17

alfa2 = pi - alfa1 ; % Alfa m´ aximo

18

disp ( ’ Limite de Controlabilidad en grados ’)

19

[ alfa1 *180/ pi , alfa2 *180/ pi ]

20 21

% Angulo de disparo

22

alfa = input ( ’ ´ a ngulo de disparo en grados ’) ;

23

alfa = alfa * pi /180;

24 25

% Limite de controlabilidad

26

if ( alfa1 > alfa ) | ( alfa > alfa2 )

27

disp ( ’ El ´ a ngulo de disparo est´ a fuera del l´ ı mite de contrabilidad se fijo en alfa minimo ’) ;

28 29

alfa = alfa1 ; end

30 31 32

% C´ alculo del beta

33

b = fsolve ( @ ( t ) sin (t - fi ) -m / cos ( fi ) +( m / cos ( fi ) - sin ( alfa - fi ) ) * exp ( -(t alfa ) / tan ( fi ) ) ,[ pi ])

34

g =b - alfa ;

% Angulo de Conducci´ on

35

a = alfa ;

36

Imin = sqrt (2) * V / Z * sin ( fi - a ) *((1+ exp ( - pi / tan ( fi ) ) ) /(1 - exp ( - pi / tan ( fi ) ) ) ) -E / R ;

37 38 39

if Imin 0 π − 3 cos(ϕ)


1−e

3 tan(ϕ)


m sen α + π3 − ϕ − cos(ϕ) + sen−(ϕ−α) >0 π 1−e 3 tan(ϕ) 
cos (ϕ) sen α + π3 − ϕ + sen−(ϕ−α) >m π 1−e

3 tan(ϕ)

(9.19)

9.5. An´ alisis de la Operaci´ on del Puente

226

En la figura 9.12, se presenta el l´ımite de condici´on continuada en funci´on del a´ngulo de encendido (α), el ´angulo de la carga (ϕ) y del valor de m. El puente trabaja en condici´on continuada para los valores por encima de la curva para un determinado a´ngulo de disparo.

α =0 α = π2

1,25 1 0,75 0,5 m0,25

α = π6 α = 2 π3

α = π3 α = 5 π6

0 −0,25 −0,5 −0,75 −1 0

π 6

π 12

π 4

2π 3

5π 12

ϕ

Figura 9.12: L´ımite de condici´on continua

Para encontrar la tensi´on y corriente media y efectiva se aplicaran las definiciones vistas en el cap´ıtulo 1.

Tensi´ on Media

  ´ α+ 2π3 √ V0 = 2V sen (ωt) dωt α+ π  3  √ α+ 2π 3 3 V0 = π 2V − cos (ωt)|α+ π 3 √


3 2V π V0 = π cos α + 3 − cos α + 2π 3


π π cos (α) cos 3 − sen (α) sen 3 − cos (α) cos 2π 3 + sen (α)  sen √ √ √ 3 3 3 2V 1 1 V0 = π 2 cos (α) − 2 sen (α) + 2 cos (α) + 2 sen (α) 3 π

V0 =

√ 3 2V π

√

V0 = 3 π2V cos (α) V0 ≈ 1,35V cos (α)

2π 3





(9.20)

9. Rectificador Trif´ asico

227

Corriente Media

I0 = I0 = I0 =

´ 2π 3 α+ 3 π α+ π3

√ 2V Z

"

√ 2V Z

´ 2π 3 α+ 3 π α+ π3

"

´ 2π 3 α+ 3 π α+ π3

i(t)dωt

m sen (ωt − ϕ) − cos(ϕ) "

− + sen(ϕ−α) e 1−e

−

π 3 tan(ϕ)

(ωt−α− π3 ) tan(ϕ)

# dωt

# # ωt−α− π3 ) ( − tan(ϕ) m sen (ωt − ϕ) − cos(ϕ) + sen(ϕ−α) e dωt π 3

−

I0 = V0R−E =

(9.21)

1−e tan(ϕ) 1,35V cos(α)−E R

Tensi´ on Efectiva r Vrms =

´ 2π 3 α+ 3 π α+ π3

r Vrms =

´ 2π 3V 2 α+ 3 π α+ π3

s Vrms = s Vrms =

√ 2 2V sen (ωt) dωt

3V 2 π

(1 − cos (2ωt)) dωt

  2π sen (2ωt) α+ 3 1− π 2 α+ 3

(9.22)

  sen(2(α+ π3 )) sen(2(α+ 2π3 )) 3V 2 2π π α + 3 −α − 3 − + π 2 2 r   2 + sen2(2α) Vrms = Vπ π − sen(2α+2π) 2 q √ Vrms = V 1 + 32π3 cos (2α)

Corriente Efectiva r Irms =

´ 2π 3 α+ 3 π α+ π3

i(t)2 dωt

v  u " #2 ωt−α− π3 ) ( √ u ´ 2π u α+ − tan(ϕ) m Irms = Z √6Vπ t α+ π 3 sen (ωt − ϕ) − cos(ϕ) + sen(ϕ−α) e dωt  π 3

1−e

−

(9.23)

3 tan(ϕ)

Serie de Fourier en condici´ on continuada La forma de onda de la tensi´on en la barra de corriente continua se puede expresar como series de Fourier

9.5. An´ alisis de la Operaci´ on del Puente

228

!

∞

v0 vcarga (t) = + ℜe 2

− jn 2π T t

(9.24)

∑ vne

n=1

donde:

vn

3 = π

ˆ

2π 3 +α

√ 2V sen(ωt)e j6nωt dωt = an + jbn

(9.25)

π 3 +α

Calculando vn de la expresi´on (9.25), se obtiene:

vn

ˆ 2π +α √ 3
3 2V jωt = e − e− jωt e j6nωt dωt π π3 +α 2j √ ˆ 2π +α   3 3 2 e j(6n+1)ωt − e j(6n−1)ωt dωt = ·V · π π 3 +α ! 2π +α √ 3 3 2 e j(6n−1)ωt e j(6n+1)ωt = ·V · − π π 6n − 1 6n + 1 √ 3 2V = · π

e j(6n−1)(

2π 3 +α

) − e j(6n−1)(

3 +α π 3 +α

)

6n − 1

(9.26) 2π

e j(6n+1)( 3 +α ) − e j(6n+1)( 3 +α ) − 6n + 1 π

! ∀n

En la figura , se presentan los t´erminos an y bn de la expansi´on en series de Fourier de la tensi´on de la carga en funci´on del a´ngulo de disparo (α). 0,6 0,4 0,4 0,2

0,2 an V

bn V

0

0

−0,2

−0,2

−0,4

−0,4 n=1 n=5

−0,6 0

π 6

n=2 n=6 π 3

n=3 n=7

π 2

α

2π 3

n=1 n=5

n=4 −0,6 5π 6

π

0

π 6

n=2 n=6 π 3

n=3 n=7

π 2

2π 3

α

Figura 9.13: Variaci´on de los coeficientes an y bn

Simulaci´ on

n=4

5π 6

π

9. Rectificador Trif´ asico

2

% Puente rectificador Trifasico controlado √ % v f (t) = 2 ∗ v ∗ sen(ωt)

3

% Carga tipo RLE

1

229

4 5 6

% Entrada de datos

7

V = input ( ’ Tension efectiva de la fuente sinusoidal ’) ;

8

R = input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

9

L = input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

10

E = input ( ’ Tension de la carga ’) ;

11

f = input ( ’ Frecuencia de la fuente [ Hz ] ’) ;

12

% Constantes

13

m = E /( sqrt (2) * V )

14

Z = sqrt ( R ^2+(2* pi * f * L ) ^2)

15

fi = atan ((2* pi * f * L ) / R )

16

alfa1 = asin ( m ) ;

17

alfa2 = pi - alfa1 ; % Alfa m´ aximo

18

disp ( ’ Limite de Controlabilidad en grados ’)

19

[ alfa1 *180/ pi , alfa2 *180/ pi ]

% Alfa m´ ınimo

20 21

% Angulo de disparo

22

alfa = input ( ’ ´ a ngulo de disparo en grados ’) ;

23

alfa = alfa * pi /180;

24

if alfa < alfa1 - pi /3

25

alfa = alfa1 - pi /3;

26

disp ( ’ angulo fuera del limite de controlabilidad se fija alfa_min ’ )

27

end

28 29

% Corriente M´ ınima

30

Imin = sqrt (2) * V / Z *(( sin ( alfa +2* pi /3 - fi ) - sin ( alfa + pi /3 - fi ) * exp ( -( pi /3) / tan ( fi ) ) ) /(1 - exp ( -( pi /3) / tan ( fi ) ) ) ) -E / R

31

% Funciones en el tiempo

32

t = linspace ( pi /3+ alfa ,2* pi /3+ alfa ,1000) ;

33

i =( sqrt (2) * V / Z *( sin (t - fi ) -m / cos ( fi ) +( sin ( fi - alfa ) /(1 - exp ( -( pi /3) / tan ( fi ) ) ) - sin ( alfa + pi /3 - fi ) ) * exp ( -(t - alfa - pi /3) / tan ( fi ) ) ) ) ;

34

v = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

35 36

% Valores sobre la Carga

9.5. An´ alisis de la Operaci´ on del Puente

230 37

Io =(3/ pi * trapz (t , i ) )

38

Irms = sqrt (3/ pi * trapz (t , i .^2) )

39

Vo =1.35* V * cos ( alfa )

40

Vrms = sqrt (2) * V * sqrt (1/2+3* sqrt (3) /(4* pi ) * cos (2* alfa ) )

41

% Potencia

42

PR = R * Irms ^2

43

Po = E * Io

44 45 46 47

%Factor de rizado

48

FR_i = sqrt ( Irms ^2 - Io ^2) / Io

49

FR_v = sqrt ( Vrms ^2 - Vo ^2) / Vo

50 51

% Rizo

52

Rizo =0.5*( max ( i ) - min ( i ) )

53 54

% Graficas

55

figure (1)

56

xp = length ( t ) ;

57

t1 = linspace ( alfa + pi /3 , alfa + pi /3+2* pi ,6* length ( t ) ) ;

58

vf = sqrt (2) * V * sin ( t1 ) ;

59

vx =[ v ,v ,v ,v ,v , v ];

60

ix =[ i ,i ,i ,i ,i , i ];

61

plot ( t1 , vf , ’ -. ’ ,t1 , vx , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

62

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’) ;

63

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

64

xlim ([ alfa + pi /3 2* pi + alfa + pi /3]) ;

65

set ( gca , ’ XTick ’ , alfa + pi /3: pi /6:2* pi + alfa + pi /3) ;

66

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

67

%set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

68

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

69

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

70

set ( legend , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Time ’) ;

71 72

figure (2)

73

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

74

xlim ([ alfa + pi /3 2* pi + alfa + pi /3]) ;

75

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

9. Rectificador Trif´ asico

231

76

set ( gca , ’ XTick ’ , alfa + pi /3: pi /6:2* pi + alfa + pi /3) ;

77

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

78

%set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

79

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

80

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

81 82

ix =[ zeros (1 ,1000) ,i ,i , zeros (1 ,1000) ,-i , - i ];

83

figure (3)

84

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

85

xlim ([ alfa + pi /3 2* pi + alfa + pi /3]) ;

86

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

87

set ( gca , ’ XTick ’ , alfa + pi /3: pi /6:2* pi + alfa + pi /3) ;

88

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

89

%set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

90

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

91

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

92 93

%Potencias en la fuente

94

Irms_fuente = sqrt (1/(2* pi ) * trapz ( t1 , ix .^2) )

95

S = sqrt (3) * V * Irms_fuente

96

fp =( PR + Po ) / S

Manejador de Disparo de los SCR En la figura 9.14, se presenta el esquema de un manejador de disparo para los tiristores que componen el puente. Este manejador se basa en tomar una muestra de la tensi´on de alimentaci´on del rectificador, detectar los cruces por cero de la se˜ nal a fin de sincronizar los disparos del SCR, a partir de esta referencia un multiplicador de frecuencia genera seis ondas con un tercio de la frecuencia original. Por otra parte un generador de funciones determina, para el valor de la tensi´on de corriente continua de referencia y con la limitaci´on del a´ngulo m´aximo de disparo, el valor α que satisface el valor de referencia de continua bajo la premisa que la onda de alimentaci´on de rectificador es puramente sinusoidal. Con la tensi´on de referencia, al a´ngulo de disparo y las seis ondas de un tercio de la frecuencia, se alimenta un circuito retardador el cual genera un pulso de disparo para cada uno de los tiristores que conforman el puente de acuerdo a su orden de encendido, este pulso se amplifica y se env´ıa a los gate de cada tiristor. El esquema para un puente monof´asico es similar con

9.7. Ejemplos

232

la diferencia que el multiplicador de frecuencia genera dos ondas a la mitad de la frecuencia de la referencia. vac

VDCre f

Detector de Cruces - Cero

Multiplicador de Frecuencias 6

Decodificador 6 Circuito de Retardo

vre f

Generador de Funciones

α

Amplificador 6

de Pulsos

6

Gate SCR

αmax

Figura 9.14: Manejador de disparo para tiristores

Ejemplos Puente Rectificador de Diodos con Carga RL En la figura 9.15, se presenta el puente rectificador trif´asico de onda completa no controlado con carga resistiva inductiva. Este convertidor es un caso particular del puente rectificador trif´asico controlado analizado en la secci´on 9.5, donde: E = 0; α = 0

(9.27)

i(t)i(t)

va (t) ia (t)

− iD3 − iD5 − iD1 vD5 vD3 vD1 + D5 R D3 D1 + + vb (t) vab ia (t)+ ib (t) ib (t) ib (t) − + ic (t) ic (t) ic (t) vc (t) vbc − iD2 − iD6 − iD4 L ic (t) vD6 vD2 − vD4 D6 D4 D2 +

+

+

vcarga

+

i(t)i(t)

−

Figura 9.15: Puente rectificador trif´asico con carga RL Sustituyendo las condiciones de la expresi´on (9.27) en los resultados de la secci´on 9.5, se obtiene:

9. Rectificador Trif´ asico

233

Corriente en r´egimen permanente para π3 ≤ ωt ≤ 2π 3 :  √  ωt− π3 ) ( 2V  sen (ϕ − α) − tan(ϕ)  i(t) = sen (ωt − ϕ) + e π Z 3 − tan(ϕ) 1−e

(9.28)

Tensi´on Media V0 =

  ´ 2π3 √ 2V sen (ωt) dωet = π

3 π

3

√ 3 2V π

≈ 1,35V

(9.29)

Corriente Media I0 = VR0 =

√ 3 2V πR

≈ 1,35 VR

(9.30)

Tensi´on Efectiva r Vrms =

3 π

2 √ q 1 3√3 ´ 2π3 √ 2V sen (ωt) dωt = 2V 2 + 4π π

(9.31)

3

Corriente Efectiva r 3 π

Irms =

´ 2π3 π 3

(9.32)

i(t)2 dωet

Puente Rectificador de Diodos con Carga RC En la figura 9.16, se presenta en puente rectificador de onda completa trif´asico con carga del tipo resistiva capacitiva (RC). El puente esta alimentado por una fuente alterna de forma √ sinusoidal (vab (t) = 2V sen (ωt)).

i(t) − iD3 − iD5 − iD1 vD5 vD3 vD1 + D5 D3 D1 + + vb (t) vab ia (t)+ ib (t) ib (t) ib (t) − + ic (t) C ic (t) ic (t) vc (t) vbc − iD2 − iD4 − iD6 ic (t) vD6 vD2 − vD4 D6 D4 D2 va (t) ia (t)

+

+

iR (t)

R

+

vcarga

+

i(t)

iR (t)

Figura 9.16: Puente rectificador trif´asico con carga RC

−

9.7. Ejemplos

234

Analizando en puente rectificador de onda completa de la figura 9.16, se obtiene: Ecuaci´on de corriente: i(t) = C ·

dvcarga vcarga + dt R

(9.33)

Tensi´on en el intervalo: α + π3 ≤ ωt ≤ β vcarga (t) = vab (t) =

√ 2V sen (ωt)

(9.34)

Sustituyendo la expresi´on (9.34) en (9.33), se obtiene: √ 2V · (ωCR · cos (ωt) + sen (ωt)) i(t) = R

(9.35)

q = ωCR

(9.36)

Definiendo:

Se puede escribir la expresi´on (9.35) como: √ 2V i(t) = · (q · cos (ωt) + sen (ωt)) R

(9.37)

La corriente pasa naturalmente por cero en el a´ngulo de apagado (β ): √   β 2V i =0= · (q · cos (β ) + sen (β )) ω R

(9.38)

Despejando el a´ngulo de pagado de la expresi´on (9.38) y recordando que la soluci´on se encuentra π2 ≤ β ≤ π por ser una carga resistiva capacitiva, se obtiene: β = π − arctan(q)

(9.39)

Para encontrar el ´angulo de encendido (α) se debe evaluar la corriente sobre la carga
cuando el diodo se apaga β ≤ ωt ≤ α + 2π 3 . i(t) = 0 = C ·

dvcarga vcarga + dt R

(9.40)

Resolviendo la ecuaci´on diferencial (9.40) y evaluando su condici´on inicial, se obtiene:

9. Rectificador Trif´ asico

235 vcarga (t) =

√ (ωt−β ) 2V sen (β ) e− q

(9.41)

Para encontrar el a´ngulo de encendido (α) se igual la tensi´on en la carga en α + 2π 3 :   (α+ 2π3 −β ) √ √ 2π 4π − q 2V sen (β ) e = − 2V sen α + − 3 3

(9.42)

La ecuaci´on (9.42) no posee respuesta anal´ıtica y se debe resolver por m´etodos num´ericos. Tensi´on media en la carga: !! √ π +α−β  ( ) 3 3 2V π V0 = cos α + − cos(β ) + q · sen(β ) · 1 − e− q π 3

(9.43)

En las figuras 9.17 y 9.18, se presenta la forma de onda de tensi´on y corriente sobre la carga con su respectivo contenido arm´onico. Adicionalmente, en las figuras 9.19 y 9.20, se muestra la corriente en la fuente de alimentaci´on con su respectivo contenido arm´onico. v(t) , i(t) vcarga (t) i(t) ωt

0

π 3

2π 3

π v f (t)

4π 3

5π 3

2π

Magnitud en p.u. valor efectivo

Figura 9.17: Tensi´on y corriente en la carga RC

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Tensi´on

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 9.18: Contenido arm´onico de la tensi´on y corriente en la carga RC

9.7. Ejemplos

236 v(t) , i(t)

ia (t)

vab (t) ωt

0

π 3

2π 3

π

4π 3

5π 3

2π

Magnitud en p.u. valor efectivo

Figura 9.19: Tensi´on (vab ) y corriente (ia ) para una carga RC del puente trif´asico

Tensi´on

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 9.20: Contenido arm´onico de la tensi´on (vab ) y corriente (ia ) para una carga RC

Simulaci´ on

2

% Media Onda No Controlado con fuente sinusoidal √ % v f (t) = 2 ∗ v ∗ sen(ωt)

3

% Carga tip RC

1

4 5

% Entrada de datos

6

V = input ( ’ Tension efectiva l´ ı nea a l´ ı nea de la fuente sinusoidal ’) ;

7

R = input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

8

C = input ( ’ Capacitancia [ F ] ’) ;

9

f =60; %input(’Frecuencia de la fuente [Hz] ’);

10 11 12

% Par´ ametros

9. Rectificador Trif´ asico 13

q =2* pi * f * R * C ;

14

% Angulo de apagado

15

b = pi - atan ( q )

16

% Angulo de encendido

17

a = fsolve ( @ ( t ) sin ( b ) * exp ( -( - b + t +2* pi /3) / q ) + sin ( t +2* pi /3 -4* pi /3) ,[0.001])

18 19

% Funci´ on en el tiempo

20

t1 = linspace ( a + pi /3 ,b ,500) ;

21

v1 = sqrt (2) * V * sin ( t1 ) ;

22

i1 = sqrt (2) * V / R *( q * cos ( t1 ) + sin ( t1 ) ) ;

23

t2 = linspace (b , a +2* pi /3 ,500) ;

24

v2 = sqrt (2) * V * sin ( b ) * exp ( -( t2 - b ) / q ) ;

25

i2 = zeros ( size ( t2 ) ) ;

26

t =[ t1 , t2 ];

27

v =[ v1 , v2 ];

28

i =[ i1 , i2 ];

29

gama =b - a

30 31

% Valores Medios

32

Io =3/( pi ) * trapz (t , i )

33

Vo =3/( pi ) * trapz (t , v )

34 35 36

% Valores Efectivos

37

Irms = sqrt (3/( pi ) * trapz (t , i .^2) )

38

Vrms = sqrt (3/( pi ) * trapz (t , v .^2) )

39 40

%Factor de rizado

41

FR_i = sqrt ( Irms ^2 - Io ^2) / Io

42

FR_v = sqrt ( Vrms ^2 - Vo ^2) / Vo

43 44

% Rizado de tensi´ on

45

Dv =( sqrt (2) *V - sqrt (2) * sin ( b ) * V ) /2

46 47 48

% Graficas

49

figure (1)

50

xp = length ( t ) ;

51

alfa = a ;

237

9.7. Ejemplos

238 52

t1 = linspace ( alfa + pi /3 , alfa + pi /3+2* pi ,6* length ( t ) ) ;

53

vf = sqrt (2) * V * sin ( t1 ) ;

54

vx =[ v ,v ,v ,v ,v , v ];

55

ix =[ i ,i ,i ,i ,i , i ];

56

plot ( t1 , vf , ’ -. ’ ,t1 , vx , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

57

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’) ;

58

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

59

xlim ([ alfa + pi /3 2* pi + alfa + pi /3]) ;

60

set ( gca , ’ XTick ’ , alfa + pi /3: pi /6:2* pi + alfa + pi /3) ;

61

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

62

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

63

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

64

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

65

set ( legend , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Time ’) ;

66 67

figure (2)

68

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

69

xlim ([ alfa + pi /3 2* pi + alfa + pi /3]) ;

70

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

71

set ( gca , ’ XTick ’ , alfa + pi /3: pi /6:2* pi + alfa + pi /3) ;

72

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

73

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

74

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

75

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

76 77

ix =[ zeros (1 ,1000) ,i ,i , zeros (1 ,1000) ,-i , - i ];

78

figure (3)

79

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

80

xlim ([ alfa + pi /3 2* pi + alfa + pi /3]) ;

81

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

82

set ( gca , ’ XTick ’ , alfa + pi /3: pi /6:2* pi + alfa + pi /3) ;

83

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

84

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

85

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

86

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

87 88

%Potencias en la fuente

9. Rectificador Trif´ asico

239

89

Irms_fuente = sqrt (1/(2* pi ) * trapz ( t1 , ix .^2) )

90

S = sqrt (3) * V * Irms_fuente

Puente Rectificador de Diodos con filtro LC y Carga RL En la figura 9.21, se presenta el puente rectificador trif´asico de onda completa no controlado con filtro LC en la barra de corriente continua y carga resistiva inductiva.

L f iltro +

va (t) ia (t)

− iD3 − iD5 − iD1 v v v D5 D3 + D1 D5 D3 D1 + + vb (t) vab ia (t)+ ib (t) ib (t) ib (t) vrec − + ic (t) ic (t) ic (t) vc (t) vbc − iD2 − iD6 − iD4 ic (t) v v v − D6 D2 D4 D6 D4 D2 +

+

i(t) icarga (t)

+

R

C f iltro

vcarga

L

+

−i(t)

icarga (t)

−

Figura 9.21: Puente rectificador trif´asico con filtro LC y carga RL

Para analizar el convertidor de la figura 9.21, se utilizara la t´ecnica de resoluci´on de circuitos mediante series de Fourier. La forma de onda de la tensi´on vrec en los bornes del filtro se muestra en la figura 9.22, esta tensi´on se puede representar como series de Fourier como: v0 vrec (t) = + ℜe 2

∞

! − jn 2π T t

∑ vne

(9.44)

n=1

donde:

vn

3 = π

ˆ

2π 3

√ 2V sen(ωt)e j6nωt dωt

π 3

Calculando vn de la expresi´on (9.45), se obtiene:

(9.45)

9.7. Ejemplos

240

vn = =

=

=

ˆ 2π √ 3
3 2V jωt e − e− jωt e j6nωt dωt π π3 2j √ ˆ 2π   3 3 2 e j(6n+1)ωt − e j(6n−1)ωt dωt ·V · π π 3 ! 2π √ 3 3 2 e j(6n−1)ωt e j(6n+1)ωt ·V · − π π 6n − 1 6n + 1 3 ! √ 2π π π j(6n−1) 2π j(6n+1) j(6n−1) 3 −e 3 3 − e j(6n+1) 3 3 2V e e · − ∀n π 6n − 1 6n + 1

(9.46)

Para calcular la corriente i(t) suministrada por el rectificador al filtro se utiliza el c´alculo de la serie de Fourier de corriente a partir de la tensi´on. vo + ℜe i(t) = 2R

∞

2π vn ∑ Zn e− jn T t n=1

! (9.47)

donde:

1 + jnωL f iltro jnωC f iltro R + jnωL Zn = jωL f iltro + ∀ n = 0, 1, 2, · · · jRC f iltro nω − (nω)2 LC f iltro + 1 Zn = (R + jnωL) k

(9.48)

La tensi´on sobre la carga (vcarga (t)) se puede calcular a partir de la serie de Fourier de tensi´on en el rectificador (vrec (t)) utilizando divisor de tensi´on como: vo vcarga (t) = + ℜe 2

∞

! − jn 2π T t

∑ vn · Z1n e

(9.49)

n=1

donde:

Z1n =

(R + jnωL) k jnωC1 f iltro Zn

(9.50)

A partir de la serie de Fourier de tensi´on sobre la carga de la expresi´on (9.49), dividiendo sobre la impedancia arm´onica de la carga (Zcarga = R + jnωL) se puede obtener la serie de Fourier de la corriente por la carga.

9. Rectificador Trif´ asico

241

∞

Z1n − jn 2π t T e ∑ vn · Zcarga n=1

vo icarga (t) = + ℜe 2R

! (9.51)

En las figuras 9.22 y 9.23, se presenta la tensi´on en la barra DC (vrec ) y la corriente por la inductancia del filtro (i(t)), para el puente de la figura 9.21 con su respectivo contenido arm´onico. v(t) , i(t) vrec (t) i(t) ωt

0

π 3

2π 3

π

4π 3

5π 3

2π

vab (t)

Magnitud en p.u. valor efectivo

Figura 9.22: Tensi´on (vrec ) y corrientes (i(t)) por el filtro

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Tensi´on

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 9.23: Contenido arm´onico de la tensi´on (vrec ) y corrientes (i(t)) por el filtro

En las figuras 9.24 y 9.25, se presenta la tensi´on en la fuente (vab ) y la corriente por la fase “a” del sistema de potencia (ia (t)), para el puente de la figura 9.21 con su respectivo contenido arm´onico.

9.7. Ejemplos

242 v(t) , i(t) ia (t)

ωt

0

π 3

2π 3

π

4π 3

5π 3

2π

vab (t)

Magnitud en p.u. valor efectivo

Figura 9.24: Tensi´on (vab ) y corrientes (ia (t))

Tensi´on

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 9.25: Contenido arm´onico de la tensi´on (vab ) y corrientes (ia (t)) por el filtro En la figura 9.26, se presenta la tensi´on y corriente en la carga RL. v(t) , i(t) vcarga (t) icarga (t) 0

ωt π

2π vab (t)

Figura 9.26: Tensi´on y corriente en la carga RL

Simulaci´ on

9. Rectificador Trif´ asico

2

% Onda Completa Controlado Monof´ asico con fuente sinusoidal p % v f (t) = (2) ∗ v ∗ sen(ωt)

3

% Carga tip RL con filtro LC

4

clear

5

% Entrada de datos

6

V = input ( ’ Tension efectiva de la fuente sinusoidal ’) ;

7

R = input ( ’ Resistencia de carga [ Ohm ] ’) ;

8

L2 = input ( ’ Inductancia de carga [ H ] ’) ;

9

L = input ( ’ Inductancia de filtro [ H ] ’) ;

1

10

C = input ( ’ Capacitancia del filtro [ F ] ’) ;

11

f =60; %input(’Frecuencia de la fuente [Hz] ’);

12

w =2* pi * f ;

13 14

% Coeficientes serie de Fourier Tensi´ on

15

n =0:49;

16

for i =1: length ( n )

17

cn ( i ) =3* sqrt (2) * V / pi *(1/(6* n ( i ) -1) *( exp ( j *(6* n ( i ) -1) *2* pi /3) - exp ( j *(6* n ( i ) -1) * pi /3) ) -1/(6* n ( i ) +1) *( exp ( j *(6* n ( i ) +1) *2* pi /3) - exp ( j *(6* n ( i ) +1) * pi /3) ) ) ;

18

end

19

cn (1) = cn (1) /2;

20 21 22

% Valores Medios

23

Vo = cn (1)

24

Io = Vo / R

25 26

% Armonicas

27

n =1:49;

28

ln = length ( n ) ;

29

t = linspace ( pi /(3* w ) ,2* pi /(3* w ) ,1000) ;

30

T =( t ( length ( t ) ) -t (1) ) ;

31

vrec (1 ,:) = Vo * ones ( size ( t ) ) ;

32

is (1 ,:) = Io * ones ( size ( t ) ) ;

33

vr (1 ,:) = Vo * ones ( size ( t ) ) ;

34

ic (1 ,:) = Io * ones ( size ( t ) ) ;

35 36 37

for i =1: ln s=j*n(i)*w;

243

9.7. Ejemplos

244 % Filtro LC Caga RL

38 39

Zs =(( s ^2* C * L +1) * R +( s ^3* C * L + s ) * L2 + s * L ) /( s * C * R + s ^2* C * L2 +1) ;

40

Z1 =( R + s * L2 ) /(( s ^2* C * L +1) * R +( s ^3* C * L + s ) * L2 + s * L ) ;

41

Zc = R + s * L ;

42 43

vrec ( i +1 ,:) = real ( cn ( i +1) * exp ( - j *2* pi / T * n ( i ) * t ) ) ;

44

is ( i +1 ,:) = real ( cn ( i +1) / Zs * exp ( - j *2* pi / T * n ( i ) * t ) ) ;

45

vr ( i +1 ,:) = real ( cn ( i +1) * Z1 * exp ( - j *2* pi / T * n ( i ) * t ) ) ;

46

ic ( i +1 ,:) = real ( cn ( i +1) * Z1 / Zc * exp ( - j *2* pi / T * n ( i ) * t ) ) ;

47

end

48 49

% Sumatoria

50

i = sum ( is ) ;

51

v = sum ( vrec ) ;

52

vcarga = sum ( vr ) ;

53

icarga = sum ( ic ) ;

54

t=t*w;

55 56

% Valores medios en la carga

57

Vo_carga =3/ pi * trapz (t , vcarga ) ;

58

Io_carga =3/ pi * trapz (t , icarga )

59 60

% Rizo

61

Rizoi_rec =0.5*( max ( i ) - min ( i ) )

62

Rizov_carga =0.5*( max ( vcarga ) - min ( vcarga ) )

63

Rizoi_carga =0.5*( max ( icarga ) - min ( icarga ) )

64

%

65

% Valores Efectivos

66

Irms_rec = sqrt (3/( pi ) * trapz (t , i .^2) )

67

Vrms_rec = sqrt (3/( pi ) * trapz (t , v .^2) )

68

Vrms_carga = sqrt (3/( pi ) * trapz (t , vcarga .^2) )

69

Irms_carga = sqrt (3/( pi ) * trapz (t , icarga .^2) )

70

%

71

% Potencia

72

S = sqrt (3) * V * Irms_rec

73

Pcarga = Irms_carga ^2* R

74

fp =( Pcarga ) / S

75

%

76

%Factor de rizado

77

FR_i_rec = sqrt ( Irms_rec ^2 - Io_carga ^2) / Io

% Fuente

9. Rectificador Trif´ asico 78

FR_v_rec = sqrt ( Vrms_rec ^2 - Vo_carga ^2) / Vo

79

FR_v_carga = sqrt ( Vrms_carga ^2 - Vo_carga ^2) / Vo_carga

80

FR_i_carga = sqrt ( Irms_carga ^2 - Io_carga ^2) / Io_carga

81

%

245

82 83

% Graficas

84

figure (1) % Tensi´ on en el filtro

85

xp = length ( t ) ;

86

t1 = linspace ( pi /3 , pi /3+2* pi ,6* length ( t ) ) ;

87

vf = sqrt (2) * V * sin ( t1 ) ;

88

vx =[ v ,v ,v ,v ,v , v ];

89

ix =[ i ,i ,i ,i ,i , i ];

90

plot ( t1 , vf , ’ -. ’ ,t1 , vx , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

91

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’ , ’ Location ’ , ’ Best ’) ;

92

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

93

xlim ([ pi /3 2* pi + pi /3]) ;

94

set ( gca , ’ XTick ’ , pi /3: pi /6:2* pi + pi /3) ;

95

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

96

%set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

97

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

98

ylabel ( ’ Tensi´ o n ( v ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

99

set ( legend , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Time ’) ;

100 101

figure (2) % Corriente en el filtro

102

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

103

xlim ([ pi /3 2* pi + pi /3]) ;

104

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

105

set ( gca , ’ XTick ’ , pi /3: pi /6:2* pi + pi /3) ;

106

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

107

%set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

108

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

109

ylabel ( ’ Corriente ( A ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

110 111

ix =[ zeros (1 ,1000) ,i ,i , zeros (1 ,1000) ,-i , - i ];

112

figure (3) % Corriente en la fase .a"

113

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

114

xlim ([ pi /3 2* pi + pi /3]) ;

115

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

9.7. Ejemplos

246 116

set ( gca , ’ XTick ’ , pi /3: pi /6:2* pi + pi /3) ;

117

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

118

%set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

119

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

120

ylabel ( ’ Corriente ( A ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

121 122

% Primera Arm´ onica en la fase .a"

123

Irms_f_1 = abs (1/ pi *( trapz ( t1 , ix .* exp ( j * t1 ) ) ) ) / sqrt (2)

124 125

% THD en corriente Fase .a"

126

THDi_f = sqrt ( Irms_rec ^2 - Irms_f_1 ^2) / Irms_f_1

127 128

v = vcarga ;

129

i = icarga ;

130

vx =[ v ,v ,v ,v ,v , v ];

131

ix =[ i ,i ,i ,i ,i , i ];

132

figure (4) %Tensi´ on en la carga

133

plot ( t1 , vf , ’ -. ’ ,t1 , vx , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

134

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’ , ’ Location ’ , ’ Best ’) ;

135

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

136

xlim ([ pi /3 2* pi + pi /3]) ;

137

set ( gca , ’ XTick ’ , pi /3: pi /6:2* pi + pi /3) ;

138

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

139

%set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

140

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

141

ylabel ( ’ Tensi´ o n ( V ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

142

set ( legend , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Time ’) ;

143 144

figure (5) % Cooriente en la carga

145

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

146

xlim ([ pi /3 2* pi + pi /3]) ;

147

set ( gca , ’ FontSize ’ ,11 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

148

set ( gca , ’ XTick ’ , pi /3: pi /6:2* pi + pi /3) ;

149

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

150

%set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

151

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

152

ylabel ( ’ Corriente ( A ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

9. Rectificador Trif´ asico

247

Ejercicios 1. Se utiliza un generador de Vl−l = 480V a 60 Hz para alimentar a un rectificador trif´asico no controlado. La carga RL es de 120 Ω en serie con 35 mH. Determine: La corriente media y eficaz de la carga y diodos. La corriente eficaz del generador y el factor de potencia. 2. Se tiene un rectificador trif´asico controlado con lazo de control PI que mantiene la tensi´on de continua sobre la carga constante. Por una falla del sistema el´ectrico el fusible de la fase “a” se quema abriendo esta fase (No puede circular corriente por esta fase). Determine si el puente es capaz de seguir operando y en que rango de tensiones se puede mantener la operaci´on del puente. En esta condici´on comente que impacto tendr´a sobre la carga y el sistema la falla en la alimentaci´on del puente. 3. Se utiliza un generador de 380V efectivos l´ınea a l´ınea a 50 Hz para alimentar a un rectificador trif´asico controlado con un a´ngulo de disparo de 0,5236 rad. El rectificador alimenta una carga RL serie de 90 Ω y 150 mH. Determine: a) La corriente media y eficaz de la carga. b) La corriente media y eficaz de los diodos. c) La corriente eficaz del generador. d ) El factor de potencia en el generador. e) Potencia disipada por la carga. f ) Determine el valor de inductancia L adicional para que el factor de rizado sea menor del 2 % de la corriente de la carga. 4. Se utiliza un generador de 416V efectivos l´ınea a l´ınea para alimentar un rectificador trif´asico controlado. El ´angulo de disparo es de 35◦ y la carga es RL de 50 Ω y 50 mH. Determine: a) La corriente media por la carga. b) La amplitud de la sexta arm´onica de corriente. c) La corriente efectiva por las l´ıneas del generador 5. Para el puente de la figura 9.27 determine las expresiones de corriente en r´egimen permanente, condici´on de operaci´on, l´ımite de controlabilidad, tensi´on y corriente media y efectiva.

9.8. Ejercicios

248

6. Explique las ventajas y desventajas de un rectificador de 12 pulsos al compararlo con un rectificador monof´asico o trif´asico de onda completa. 7. Para el puente de la figura 9.28 determine las expresiones de corriente en r´egimen permanente, condici´on de operaci´on, l´ımite de controlabilidad, tensi´on y corriente media y efectiva.

vb (t)

vc (t)

vTa α ia (t)+

ib (t)+

− iTa vTbα + 2π 3

R

− iTb 4π vTcα + 3

ic (t)+

+

i(t)

vcarga L

− iTc

− +

va (t)

E i(t)

i(t)

−

Figura 9.27: Ejercicio 5

vb (t)

vc (t)

vTa α ia (t)+

ib (t)+

ic (t)+

− iTa i(t) vTbα + 2π 3 − iD R − iTb 4π vTcα + 3 vD L − iTc

+

E i(t)

Figura 9.28: Ejercicio 7

+

vcarga

− +

va (t)

−

Cap´ıtulo 10

Efecto de la Inductancia del Generador en los Rectificadores

Aspectos Generales En este cap´ıtulo se analizara el efecto sobre la tensi´on de la carga que produce considerar la inductancia de la fuente sobre los rectificadores de media onda, monof´asicos y trif´asicos. Esta inductancia se debe al hecho de considerar la fuente no ideal, para este caso donde se analizan los sistemas de potencia, el par´ametro de mayor importancia del modelo de la fuente es su inductancia asociada. Recordando que el equivalente de una red de dos puertos, que representa el punto de conexi´on del rectificador al sistema de potencia, se puede modelar mediante un equivalente Th´evening que esta compuesto por una fuente de tensi´on (vth ) y una impedancia (Zth ) tal como se observa en la figura 10.1. a +

Sistema de Potencia

a

Zth

vsistema −

vth (t)

+

vsistema −

b

b

Figura 10.1: Equivalente del sistema de Potencia

Generalmente par un sistema de potencia se considera que la tensi´on vth corresponde a la nominal y la impedancia Zth se calcula a partir del Nivel de Cortocircuito del sistema de potencia en ese punto como: 249

10.1. Aspectos Generales

250

|vth |2 |vth | = Zth = √ Scc 3Icc

(10.1)

La mayor´ıa de los rectificadores no controlados y controlados son alimentados por un transformador que adecua el nivel de tensi´on a los requerimientos de la carga. En la figura 10.2, se presenta el modelo ”T ” del transformador obtenido mediante las pruebas de cortocircuito y vac´ıo. RAT +

iAT

LAT

RBT

iAT

LBT iBT

vAT

RFe

LM

−

iBT

+

vBT −

Figura 10.2: Modelo ”T ” del transformador

En sistemas de potencia debido a que la corriente consumida por la rama de magnetizaci´on es menor al 1 % de la nominal del transformador se tiende a despreciar su efecto el cual no repercute notoriamente sobre su punto de operaci´on. Adicionalmente, la resistencia de la rama de cortocircuito se tiende a despreciar debido a que su valor es mucho menor que la reactancia. Esta aproximaci´on del modelo del transformador en sistemas de potencia es utilizada para los c´alculos de nivel de cortocircuito, estabilidad y flujo de carga. El fabricante del transformador suministra el valor de la reactancia de cortocircuito en la placa de identificaci´on del convertidor electromec´anico. El valor de la reactancia es suministrado en porcentaje ( %) o por unidad (p.u.) de la base de impedancia del transformador (Zbase ). Este valor en transformadores de potencia oscila ente un 6 % y 12 % de la base de impedancia del transformador.

Z[Ω] =

X[ %] · Zbase = X[p.u.] · Zbase 100

(10.2)

Vn2 ST

(10.3)

donde:

Zbase =

Por otra parte los conductores que premien acoplar el rectificador a la fuente de poder o al transformador, poseen una inductancia la cual se puede estimar a partir del calibre y distancia del conductor o ser asumida para los sistemas de baja tensi´on (< 600V ) en 0,1 µH m por fase.

10. Efecto de la Inductancia del Generador en los Rectificadores

251

Rectificador de Media Onda En la figura 10.3, se presenta el esquema del rectificador de media onda con diodo de descarga libre con carga resistiva inductiva. El valor de la inductancia de la carga (L) garantiza que el cociente entre la corriente media y efectiva tiende a la unidad, es decir Io/Irms ≈ 1. La tensi´on √ de alimentaci´on del circuito es v f (t) = 2V sen(ωt).

vD1

+

Lσ

if

D1

+

iD1

− iD2

R

if

vcarga

D2 L

+

−

+

i(t)

vD2

vrec

v f (t)

− iD1

iD1

i(t)

−

Figura 10.3: Rectificador de media onda

En la figura 10.4, se presenta la forma de onda de la tensi´on y corriente en la carga. En la figura 10.5 se muestra la forma de onda de la corriente por los diodos D1 y D2 en r´egimen permanente. vcarga (t)

v(t) , i(t) µ

1

i(t)

0,5

0

ωt π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

2π 3

3π 2

4π 3

9π 6

2π

−0,5 v f (t)

−1 Figura 10.4: Forma de onda de tensi´on y corriente

10.2. Rectificador de Media Onda

252 i(t) µ +π

1 µ

iD1 (t)

iD2 (t)

0,50

ωt π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

2π 3

3π 2

4π 3

9π 6

2π

Figura 10.5: Forma de onda de corriente por los diodos

An´ alisis del proceso de conmutaci´ on Durante el proceso de conmutaci´on ambos diodos D1 y D2 se encuentran encendidos, esta condici´on se mantiene hasta que la corriente por el diodo que este conmutando pase por cero. Para estudiar el fen´omeno de conmutaci´on, se analizar´a t = 0 donde el diodo D1 est´a en el proceso de encendido y D2 en apagado. Con ambos diodos encendidos se produce un cortocircuito en la fuente y la corriente en esta viene dada por la expresi´on:

diD1 v f (t) = Lσ dt ˆ ωt ˆ ωt √ 2V diD1 = sen(ωt) dωt ωLσ o 0 √ 2V iD1 (t) = (1 − cos(ωt)) + iD1 (0) ωLσ

(10.4)

La corriente en el diodo D2 se puede calcular como:

iD2 (t) = i(t) − iD1 (t) √ 2V *0   = Io − (1 − cos(ωt)) +  iD (0) 1 ωLσ

(10.5)

Al finalizar el tiempo de conmutaci´on (tµ ) el diodo D1 est´a encendido y asume la totalidad de
la corriente por la carga, es decir iD1 tµ = I0 y la corriente en el diodo D2 es cero. Evaluando la expresi´on (10.5) en el a´ngulo de conmutaci´on µ = ωtµ , se obtiene:

10. Efecto de la Inductancia del Generador en los Rectificadores

iD2 tµ




√ 2V I0 ωLσ (1 − cos(µ)) ⇒ cos(µ) = 1 − √ = Io − ωLσ 2V   I0 ωLσ µ = arc cos 1 − √ 2V

253

(10.6)

La tensi´on media sobre la carga al considerar la conmutaci´on, se obtiene como:

Vo

ˆ π√ 1 2V sen(ωt) dωt = 2π µ √ 2V = (cos(µ) − cos(π)) √2π 2V (cos(µ) + 1) = 2π

(10.7)

Sustituyendo el valor de cos(µ) de la expresi´on (10.6) en la ecuaci´on de tensi´on media (10.7), se obtiene:

Vo

√   2V Io ωLσ = 1− √ π 2 2V √ 2V Io ωLσ − = π 2π

(10.8)

Corriente en la carga La corriente i(t) por la carga en r´egimen permanente se puede calcular como: Para 0 ≤ ωt ≤ π : √   2V − ωt − ωt i(t) = sen(ωt − ϕ1 ) + sen(ϕ1 )e tan(ϕ1 ) + I02π e tan(ϕ1 ) Z1 donde: q Z1 = R2 + (ω(Lσ + L))2 

ω(Lσ + L) ϕ1 = arctan R



(10.9)

10.2. Rectificador de Media Onda

254 Para π ≤ ωt ≤ 2π :

ωt−π − tan(ϕ)

i(t) = Ioπ e

(10.10)

donde: 

ωL ϕ = arctan R



Corriente Ioπ e I02π :

I02π

  π √ sen(ϕ ) 1 + e− tan(ϕ 1) 1 2V = π − π Z1 e tan(ϕ1 ) − e tan(ϕ1 )

(10.11)

π

Ioπ = I02π e tan(ϕ1 )

Simulaci´ on

2

% Programa para Diodo de descarga libre con fuente de la forma √ % v f (t) = 2 ∗ v ∗ sen(ωt)

3

% Carga tip RL

1

4 5

% Entrada de datos

6

V = input ( ’ Tension efectiva de la fuente sinusoidal ’) ;

7

R = input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

8

L = input ( ’ Inductancia de la carga [ H ] ’) ;

9

Ls = input ( ’ Inductancia de la fuente [ H ] ’) ;

10

f = input ( ’ Frecuencia de la fuente [ Hz ] ’) ;

11 12

% Par´ ametros

13

fi = atan (2* pi * f *( L + Ls ) / R ) ;

14

Z = sqrt ((2* pi * f *( L + Ls ) ) ^2+ R ^2) ;

15

Io = sqrt (2) * V /( pi * R )

16 17

mu = acos (1 - Io *2* pi * Ls /( sqrt (2) * V ) )

18

t1 = linspace (0 , mu ,100) ;

19

id1_0 = sqrt (2) * V /(2* pi * Ls ) *(1 - cos ( t1 ) ) ;

(10.12)

10. Efecto de la Inductancia del Generador en los Rectificadores

255

20

id2_0 = Io - id1_0 ;

21

t2 = linspace ( mu , pi ,400) ;

22

id1_1 = Io * ones ( size ( t2 ) ) ;

23

id2_1 = Io * zeros ( size ( t2 ) ) ;

24

t3 = linspace ( pi , pi + mu ,100) ;

25

id1_2 = Io + sqrt (2) * V /(2* pi * Ls ) *( cos ( pi ) - cos ( t3 ) ) ;

26

id2_2 = Io - id1_2 ;

27

t4 = linspace ( mu + pi ,2* pi ,400) ;

28

id1_3 = Io * zeros ( size ( t2 ) ) ;

29

id2_3 = Io * ones ( size ( t2 ) ) ;

30

t =[ t1 , t2 , t3 , t4 ];

31

id1 =[ id1_0 , id1_1 , id1_2 , id1_3 ];

32

id2 =[ id2_0 , id2_1 , id2_2 , id2_3 ];

33

v =[ zeros ( size ( t1 ) ) , sqrt (2) * V * sin ( t2 ) , zeros ( size ( t3 ) ) , zeros ( size ( t4 ) ) ];

34 35

% Tensi´ on media y efectiva

36

Vo =1/(2* pi ) * trapz (t , v )

37

Vrms = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , v .^2) )

38 39

%Factor de rizado

40

FR_i = sqrt ( Irms ^2 - Io ^2) / Io

41

FR_v = sqrt ( Vrms ^2 - Vo ^2) / Vo

42

%

43 44 45

% Graficas

46

figure (1)

47

vf = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

48

ix =[ id1 , id2 ];

49

plot (t , vf , ’ -. ’ ,t ,v , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

50

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’) ;

51

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

52

xlim ([0 2* pi ]) ;

53

set ( gca , ’ XTick ’ ,0: pi /6:2* pi ) ;

54

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

55

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

56

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

57

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

10.2. Rectificador de Media Onda

256 58 59

figure (2)

60

subplot (2 ,1 ,1)

61

plot (t , id1 , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

62

xlim ([0 2* pi ]) ;

63

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

64

set ( gca , ’ XTick ’ ,0: pi /6:2* pi ) ;

65

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

66

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

67

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

68

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

69

legend ( ’ i_d_1 ’)

70

subplot (2 ,1 ,2)

71

plot (t , id2 , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

72

xlim ([0 2* pi ]) ;

73

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

74

set ( gca , ’ XTick ’ ,0: pi /6:2* pi ) ;

75

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

76

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

77

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

78

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

79

legend ( ’ i_d_2 ’)

80 81

figure (5)

82

% Gr´ aficas

83

plot (t , id1 ,t , id2 , ’ -. r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

84

legend ( ’ i_d_1 ’ , ’ i_d_2 ’)

85

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

86

xlim ([0 2* pi ]) ;

87

set ( gca , ’ XTick ’ ,0: pi /6:2* pi ) ;

88

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’0 ’ , ’T /12 ’ , ’T /6 ’ , ’T /4 ’ , ’T /3 ’ , ’5 T /12 ’ , ’T /2 ’ , ’7 T /12 ’ , ’2 T /3 ’ , ’3 T /4 ’ , ’5 T /6 ’ , ’ 11 T /12 ’ , ’T ’ })

89

set ( gca , ’ YTickLabel ’ ,{ ’ ’ })

90

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

91

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

10. Efecto de la Inductancia del Generador en los Rectificadores

257

Rectificador Monof´ asico No Controlado

En la figura 10.6, se presenta el esquema de un rectificador no controlado monof´asico con carga resistiva inductiva y una inductancia de fuente . El valor de la inductancia de la carga garantiza que el cociente entre la corriente media y efectiva de la carga sea tendiente a la unidad.

i(t) i(t) if

Lσ

v f (t)

− iD1 i f vD1 D1 +

vrec if

+

− iD2 vD2 D2

R

+

i(t)

if

if

− iD4 vD4 D4 − +

+

vcarga − iD3 vD3 D3

L

+

i(t)

−

Figura 10.6: Puente rectificador monof´asico con inductancia en la fuente

La inductancia de la fuente origina que al cambiar la polaridad de la tensi´on del generador, la corriente del mismo no podr´a cambiar instant´aneamente y deber´a ser transferida paulatinamente entre los diodos D1 , D3 y D2 , D4 . El periodo de tiempo durante el cual se realiza el proceso de transferencia de corriente entre los dos pares de diodos se denomina intervalo de conmutaci´on y es denotado con la letra ”µ”. Durante el proceso de conmutaci´on los cuatros diodos que conforman el rectificador permanecen encendidos originando dos cortocircuitos, uno a nivel de la carga de la barra de continua y otro a nivel de la fuente. La corriente de cortocircuito de la fuente es u ´nicamente limitada por la inductancia Lσ . En la figura 10.7, se presenta la forma de onda de tensi´on y corriente en la carga, se puede observar en la figura que durante el periodo de conmutaci´on la tensi´on sobre la carga es cero.

10.3. Rectificador Monof´ asico No Controlado

258

µ

1

µ +π

vcarga (t)

v(t) , i(t)

i(t)

0,5

0

ωt π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

2π 3

3π 2

4π 3

9π 6

2π

−0,5 −v f (t)

v f (t)

−1 Figura 10.7: Tensi´on y corriente en la carga

En la figura 10.8, la tensi´on en bornes del rectificador y la corriente por el sistema alterno. se puede observar como la corriente durante el proceso de conmutaci´on invierte su sentido y la ca´ıda de tensi´on en bornes del rectificador debido a la operaci´on simultanea de los cuatro diodos durante la conmuentaci´on.

µ

1

µ +π

vrec (t)

v(t) , i(t)

i f (t)

0,5

0

ωt π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

2π 3

3π 2

4π 3

9π 6

2π

−0,5 v f (t)

−1 Figura 10.8: Tensi´on en bornes del rectificador y corriente por el sistema de potencia

An´ alisis del Proceso de Conmutaci´ on Supongamos que el puente de la figura 10.6, se alimenta de una fuente de tensi´on sinusoidal √ de la forma v f (t) = 2V sen (ωt) y que la corriente en la carga es constante y de valor I0 . La condici´on inicial de corriente en la inductancia de la fuente Lσ y en la fuente durante la conmutaci´on de los diodos D1 , D3 a D2 , D4 es +I0 y llega a −I0 transcurrido el tiempo de

10. Efecto de la Inductancia del Generador en los Rectificadores

259

conmutaci´on. El intervalo de conmutaci´on comienza cuando cambia la polaridad de la fuente para t = T /2. Durante la conmutaci´on la corriente en la fuente viene dada por la siguiente expresi´on: ´

√

ωt 1 2V sen (ωt) dωt + I0 ωLσ√ π
2V i f (t) = ωLσ − cos (ωt)|ωt π + I0 √ 2V i f (t) = − ωLσ (1 + cos (ωt)) + I0

i f (t) =

(10.13)

Evaluando la expresi´on (10.13) al finalizar el intervalo de conmutaci´on (ωt = π + µ) y despejando el ´angulo de conmutaci´on µ, se obtiene: √
i f tπ+µ = −I0 = − ωL2Vσ (1 + cos (π + µ)) + I0 σ cos (π + µ) = 1 − 2I√0 ωL 2V     2I σ √0 Xσ µ = arc cos 1 − 2I√0 ωL = arc cos 1 − 2V 2V

(10.14)

Donde: Xσ = ωLσ En esta condici´on de operaci´on del puente rectificador, si evaluamos la tensi´on media sobre la carga se obtiene: ´ √

1 π 2V sen (ωt) dωt π µ √ 2V V0 = π (cos (µ) − cos (π)) √ V0 = π2V (1 + cos (µ))

V0 =

(10.15)

Sustituyendo el resultado de la expresi´on (10.14) en la ecuaci´on (10.15), se obtiene: V0 =

√ 2V π

  Xσ 2 − 2I√02V

V0 ≈ 0,9V − 2IoπXσ

(10.16)

Por la tanto la inductancia de la fuente reduce la tensi´on media en la barra de corriente continua del puente rectificador de onda completa.

Rectificador Monof´ asico Controlado En la figura 10.9, se presenta el esquema de un puente rectificador monof´asico controlado con inductancia de fuente. El puente trabaja en condici´on continuada y se modela la carga como una fuente de corriente DC contante de valor I0 .

10.4. Rectificador Monof´ asico Controlado

260

α − iT1 if

Lσ

if

vT1

+

T1

vT2 +

if

if

vT4

−

vcarga

I0

if α + π − iT4

vrec

+

T2

+

v f (t)

i(t)

α + π − iT2

α − iT3 T4

vT3

T3 +

+

−

i(t)

Figura 10.9: Puente Rectificador Controlado con inductancia de fuente

En la figura 10.10, se presenta la tensi´on y corriente en la carga, donde se observa el cortocircuito durante el proceso de conmutaci´on (µ). De la figura se puede calcular la tensi´on media sobre la carga como:

α µ

1

i(t)

α +π µ +π

vcarga (t)

v(t) , i(t)

0,5

0

ωt π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

2π 3

3π 2

4π 3

9π 6

2π

−0,5 −v f (t)

v f (t)

−1 Figura 10.10: Tensi´on y corriente en la Carga

1 V0 = π

ˆ

√ 2V 2V sen ωt dωt = (cos α + cos (α + µ)) π

α+π √

α+µ

(10.17)

En la figura 10.11, se presenta la tensi´on en bornes del rectificador (vrect (t)) y la corriente
la la fuente i f (t) , se puede observar como la corriente de la fuente durante el proceso de

10. Efecto de la Inductancia del Generador en los Rectificadores

261

conmutaci´on var´ıa de +I0 a −I0 o viceversa. Se puede calcular la corriente en la fuente el el intervalo [α, α + µ] como: vrec (t)

α µ

1

α +π µ +π

v(t) , i(t)

i f (t)

0,5

0

ωt π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

2π 3

3π 2

4π 3

9π 6

2π

−0,5 −1 Figura 10.11: Tensi´on en bornes del rectificador y corriente en la fuente de alterna

v f (t) = Lσ

di f dt

(10.18)

De la ecuaci´on 10.18, se obtiene:

di f = ˆ

α+µ

di f = α

 if

α +µ ω

 −if

α  ω

=

2I0 =

√ 2V sen ωt dt Lσ ˆ α+µ √ 2V sen ωt dωt ωLσ α √ 2V (cos α − cos (α + µ)) ωLσ √ 2V (cos α − cos (α + µ)) ωLσ

(10.19)

De la expresi´on 10.19, se puede calcular el a´ngulo de conmutaci´on µ como:   2Xσ I0 µ = arc cos cos α − √ −α 2V

(10.20)

Sustituyendo la expresi´on del a´ngulo de conmutaci´on (µ) 10.20 en la tensi´on media 10.17 se obtiene:

10.4. Rectificador Monof´ asico Controlado

262

V0 = 0,9V cos α −

2Xσ I0 π

(10.21)

En la figura 10.11, se presenta la tensi´on en bornes del rectificador (vrect ) donde se muestran las muescas producidas durante el proceso de conmutaci´on de las componentes que integran el puente.

Simulaci´ on

2

% Onda Completa Controlado Monof´ asico con fuente sinusoidal √ % v f (t) = 2 ∗ v ∗ sen(ωt)

3

% Carga tipo RLE considerando la inductancia de fuente

1

4 5

% Entrada de datos

6

V = input ( ’ Tension efectiva de la fuente sinusoidal ’) ;

7

R = input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

8

Lc = input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

9

Lf = input ( ’ Inductancia de la fuente [ H ] ’) ;

10

E = input ( ’ Tension de la carga ’) ;

11

f = input ( ’ Frecuencia de la fuente [ Hz ] ’) ;

12 13

% Constantes

14

L = Lc + Lf ;

15

m = E /( sqrt (2) * V )

16

Z = sqrt ( R ^2+(2* pi * f * L ) ^2)

17

fi = atan ((2* pi * f * L ) / R )

18

alfa1 = asin ( m ) ;

19

alfa2 = pi - alfa1 ; % Alfa m´ aximo

20

disp ( ’ Limite de Controlabilidad en grados ’)

21

[ alfa1 *180/ pi , alfa2 *180/ pi ]

% Alfa m´ ınimo

22 23

% Angulo de disparo

24

alfa = input ( ’ ´ a ngulo de disparo en grados ’) ;

25

alfa = alfa * pi /180;

26 27

% Limite de controlabilidad

28

if ( alfa1 > alfa ) | ( alfa > alfa2 )

29

disp ( ’ El ´ a ngulo de disparo est´ a fuera del l´ ı mite de contrabilidad se fijo en alfa minimo ’) ;

10. Efecto de la Inductancia del Generador en los Rectificadores 30 31

263

alfa = alfa1 ; end

32 33 34

% C´ alculo del beta

35

b = fsolve ( @ ( t ) sin (t - fi ) -m / cos ( fi ) +( m / cos ( fi ) - sin ( alfa - fi ) ) * exp ( -(t alfa ) / tan ( fi ) ) ,[ pi ])

36

g =b - alfa ;

% Angulo de Conducci´ on

37

a = alfa ;

38

Im = sqrt (2) * V / Z * sin ( fi - a ) *((1+ exp ( - pi / tan ( fi ) ) ) /(1 - exp ( - pi / tan ( fi ) ) ) ) -E / R ;

39 40 41

if Im = a +2* pi ;

20

disp ( ’ el puente no esta controladondo ’) ;

21

t = linspace (a , a +2* pi ,1000) ;

22

v = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

23

i = sqrt (2) * V / Z * sin (t - fi ) ;

24

else

25

beta *180/ pi

26

t = linspace (a , beta ,1000) ;

27

ta = linspace ( beta , a +2* pi ,500) ;

28

i = sqrt (2) * V / Z *( sin (t - fi ) - sin (a - fi ) * exp ( -(t - a ) / tan ( fi ) ) ) ;

29

v =[ sqrt (2) * V * sin ( t ) , zeros ( size ( ta ) ) ];

30

t =[ t , ta ];

31

i =[ i , zeros ( size ( ta ) ) ];

32

end

33 34

% Corrientes y Tensi´ on efectiva

35

Irms_carga = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , i .^2) )

36

Vrms_carga = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , v .^2) )

37

Irms_scr = Irms_carga / sqrt (2)

38 39

% C´ alculo de potencia

40

P = R * Irms_carga ^2

41

fp_fuente = P /( V * Irms_carga )

42

fp_carga = P /( Vrms_carga * Irms_carga )

43 44 45

% Graficas

46

vf = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

47

vx =[ v ];

48

ix =[ i ];

49

t1 = t ;

50

figure (1)

51

plot ( t1 , vf , ’ -. ’ ,t1 , vx , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

315

12.4. Puente Controlado Monof´ asico

316 52

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’) ;

53

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

54

xlim ([ a 2* pi + a ]) ;

55

set ( gca , ’ XTick ’ ,a : pi /6:2* pi + a ) ;

56

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

57

% set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

58

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

59

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

60

set ( legend , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Time ’) ;

61 62

figure (2)

63

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

64

xlim ([ a 2* pi + a ]) ;

65

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

66

set ( gca , ’ XTick ’ ,a : pi /6:2* pi + a ) ;

67

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

68

% set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

69

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

70

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

71 72

% Primera Arm´ onica

73

Vrms_1 = abs (1/ pi *( trapz ( t1 , vx .* exp ( j * t1 ) ) ) ) / sqrt (2)

74

Irms_1 = abs (1/ pi *( trapz ( t1 , ix .* exp ( j * t1 ) ) ) ) / sqrt (2)

75 76

% THD

77

THDv = sqrt ( Vrms_carga ^2 - Vrms_1 ^2) / Vrms_1

78

THDi = sqrt ( Irms_carga ^2 - Irms_1 ^2) / Irms_1

Puente Controlado Monof´ asico Este puente se construye con dos tiristores en antiparalelo o un triac. La ventaja al utilizar un triac es que debido a que ambos tiristores se fabrican sobre la misma pastilla de silicio sus caracter´ısticas son id´enticas lo cual original que el control de los semiciclos positivos y negativos sean id´enticos eliminando cualquier componente de continua sobre la carga y fuente. Al utilizar dos tiristores en antiparalelo como sus caracter´ısticas no son id´enticas

12. Controlador AC - AC

317

sobre la carga pueden aparecer peque˜ nas diferencias en los semiciclos originando la aparici´on de una componente DC.

Forma de onda En la figura 12.4 se presenta las formas de onda de tensi´on y corriente para un carga resistiva inductiva originado por el puente controlado de la figura 12.1b. La corriente media sobre cada semiconductor no es nula debido a que su operaci´on es unidireccional y su corriente eficaz √ por la simetr´ıa, corresponde a 1/ 2 de la de la carga. En la figura 12.5 se presenta el espectro arm´onico de tensi´on y corriente sobre la carga obtenida en la simulaci´on. Este puente para la misma carga y a´ngulo de disparo presenta mayor distorsi´on arm´onica que el semicontrolado. Entre las caracter´ısticas de este puente se puede destacar: los tiristores no conducen simult´aneamente, la tensi´on sobre la carga es la misma de la fuente cuando alguna de las dos componentes se encuentra en conducci´on y nula cuando est´an apagadas. La corriente y tensi´on media sobre la carga y fuente son nulas si la operaci´on del puente es sim´etrica para ambos semiciclos.

v(t) , i(t) vcarga (t)

i(t) β

0

ωt α

π

2π

3π

v f (t)

Figura 12.4: Tensi´on y corriente en la carga para un controlador AC - AC semicontrolado

12.4. Puente Controlado Monof´ asico

Magnitud en p.u. valor efectivo

318

Tensi´on

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 12.5: Contenido arm´onico en la tensi´on y corriente en la carga para el controlador AC - AC controlado

Expresi´ on de Corriente Durante un semiciclo de operaci´on se puede evaluar la expresi´on de la corriente resolviendo la ecuaci´on diferencial: di (12.7) dt √ Para una alimentaci´on sinusoidal de la forma v f (t) = 2V sen(ωt) con condici´on inicial de corriente cero para el tiempo de encendido (α) la expresi´on (12.7) durante el semiciclo positivo, resulta: v f (t) = Ri + L

√   −(ωt−α) 2V i(t) = sen(ωt − ϕ) − sen(α − ϕ)e tan(ϕ) Z donde:

Z=

q

R2 + (ωL)2

−1

ϕ = tan



ωL R



(12.8)

12. Controlador AC - AC

319

La expresi´on (12.8) es v´alida para los tiempos comprendidos entre el a´ngulo de encendido (α) y el de apagado (β ) y es similar a la obtenida para un puente rectificador de media onda controlado. El semiciclo negativo es sim´etrico por lo cual se puede utilizar la expresi´on anterior con signo contrario.

´ Angulo de Apagado (β ) El a´ngulo de apagado para los tiristores corresponde al instante de tiempo en el cual la corriente pasa por cero. Este instante se calcula igualando la expresi´on (12.8) a cero. √   −(β −α) 2V tan(ϕ) sen(β − ϕ) − sen(α − ϕ)e =0 Z

(12.9)

La soluci´on de la expresi´on (12.9) posee dos soluciones triviales (Z = ∞ y V = 0) estas soluciones implican uno la ausencia de carga conectada y la otro la no energizaci´on del circuito. Por lo cual la soluci´on se reduce a:

sen(β − ϕ) − sen(α − ϕ)e

−(β −α) tan(ϕ)

=0

(12.10)

La ecuaci´on (12.10) no posee soluci´on anal´ıtica debido a que es una ecuaci´on transcendental por cual se debe resolver por m´etodos num´ericos.

L´ımite de Controlabilidad El funcionamiento de este convertidor electr´onico se basa en la operaci´on no simult´anea de las componentes electr´onicas, esto se alcanza al cumplir la condici´on:

α +π ≥ β

(12.11)

El valor l´ımite de controlabilidad se alcanza cuando β = α + π, que corresponde al ´angulo de apagado cr´ıtico para pasar de operaci´on no continuada a continuada. En esta condici´on si evaluamos la expresi´on (12.10), se obtiene:

−π

sen(α + π − ϕ) − sen(α − ϕ)e tan(ϕ) = 0 −π

− sen(α − ϕ) − sen(α − ϕ)e tan(ϕ) = 0  −π  sen(ϕ − α) · 1 + e tan(ϕ) = 0

(12.12)

12.4. Puente Controlado Monof´ asico

320

 −π  tan(ϕ) para cualquier valor de ϕ es positiva y esta acotada en el rango La expresi´on 1 + e [1, 2], es decir, que para que la expresi´on (12.12) se anula u ´nicamente en α = ϕ y es negativa para valores de α ≥ ϕ indicando que el ´angulo de apagado (β ) es menor que el a´ngulo l´ımite de α + π. Esta condici´on garantiza operaci´on no continuada del puente. El l´ımite de controlabilidad del puente se obtiene para el rango de ´angulo de encendidos comprendidos en el intervalo:

ϕ ≤α ≤π

(12.13)

Como la operaci´on de este convertidor electr´onico se basa en la operaci´on no simult´anea de las componentes electr´onicas, esto se alcanza al cumplir la condici´on:

α +π ≥ β

(12.14)

Tensi´ on Efectiva La tensi´on efectiva sobre la carga se calcula a partir de la definici´on y de la tensi´on de la fuente como: r Vrms = Vrms =

´ 1 β π α

2 √ 2V sen (ωt) dωt

´ V2 β rπ α

q

Vrms = V

(12.15)

(1 − cos (2ωt)) dωt h i sen (2β ) sen (2α) 1 + 2 π γ− 2

Corriente Efectiva La corriente efectiva por la carga y la fuente, se calcula utilizando la expresi´on (12.8) como: s Irms = Irms =

´ 1 β π α

√ 2V Z

s

√

2V Z

´ 1 β π α

 2 −(ωt−α) sen(ωt − ϕ) − sen(α − ϕ)e tan(ϕ) dωt

 sen(ωt − ϕ) − sen(α − ϕ)e

−(ωt−α) tan(ϕ)

(12.16)

2 dωt

La corriente efectiva por cada tiristor se obtiene por superposici´on como:

Irms =

q

2 2 Irms + Irms T1 T2

(12.17)

12. Controlador AC - AC

321

Como cada uno de los tiristores conduce en intervalos de tiempo iguales: Irms IrmsT 1 = IrmsT 2 = √ 2

(12.18)

Configuraciones Adicionales En la figuras 12.6 y 12.7 se presentan dos configuraciones del puente controlador AC - AC monof´asico controlado, para operaciones cuando la tensi´on de la fuente supera la especificaci´on de los tiristores del puente. Generalmente estas configuraciones se utilizan cuando hay disponibilidad de componentes en el inventario de la empresa y no se desean adquirir nuevas componentes.

−

vD1

+

+

vD2

−

α − − α + π vT2

+

vT1

i(t) v f (t)

+

i(t)

Carga

+

vcarga

i(t)

i(t)

−

Figura 12.6: Dos componentes serie

− vD1 +

− i(t) v D4 v f (t)

+

− vD2

+

+

vT −

α α +π

− i(t) vD3 +

Carga

i(t)

+

vcarga

i(t)

Figura 12.7: Tres componentes serie

−

12.4. Puente Controlado Monof´ asico

322

Simulaci´ on

2

% Controlador AC - AC √ % v f (t) = 2 ∗ v ∗ sen(ωt)

3

% Datos

4

V = input ( ’ Tension efectiva de la fuente sinusoidal ’) ;

5

R = input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

6

L = input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

7

f = input ( ’ Frecuencia de la fuente [ Hz ] ’) ;

8

alfa2 = input ( ’ Angulo de Encendido en grados ’) ;

1

9 10

% Variables

11

a = alfa2 * pi /180;

12

fi = atan (2* pi * f * L / R )

13

Z = sqrt ((2* pi * f * L ) ^2+ R ^2) ;

14 15

% ´ Angulo de apagado

16

beta = fsolve ( @ ( t ) sin (t - fi ) - sin (a - fi ) * exp ( -(t - a ) / tan ( fi ) ) ,[ pi ])

17 18

%L´ ımite de controlabilidad

19

if beta >= a + pi ;

20

disp ( ’ el puente no esta controladondo ’) ;

21

t = linspace (a , a +2* pi ,1000) ;

22

v = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

23

i = sqrt (2) * V / Z * sin (t - fi ) ;

24

else

25

beta *180/ pi

26

t = linspace (a , beta ,1000) ;

27

ta = linspace ( beta , a + pi ,500) ;

28

tb = linspace ( a + pi , beta + pi ,1000) ;

29

tc = linspace ( beta + pi , a +2* pi ,500) ;

30

i = sqrt (2) * V / Z *( sin (t - fi ) - sin (a - fi ) * exp ( -(t - a ) / tan ( fi ) ) ) ;

31

v =[ sqrt (2) * V * sin ( t ) , zeros ( size ( ta ) ) , sqrt (2) * V * sin ( tb ) , zeros ( size ( tc ) ) ];

32

t =[ t , ta , tb , tc ];

33

i =[ i , zeros ( size ( ta ) ) ,-i , zeros ( size ( tc ) ) ];

34

end

35 36

% Volores Efectivos de tensi´ on y corriente

37

Irms_carga = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , i .^2) )

12. Controlador AC - AC 38

Vrms_carga = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , v .^2) )

39

Irms_scr = Irms_carga / sqrt (2)

323

40 41

% C´ alculo de potencia

42

P = R * Irms_carga ^2

43

fp_fuente = P /( V * Irms_carga )

44

fp_carga = P /( Vrms_carga * Irms_carga )

45 46 47

% Graficas

48

vf = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

49

vx =[ v ];

50

ix =[ i ];

51

t1 = t ;

52

figure (1)

53

plot ( t1 , vf , ’ -. ’ ,t1 , vx , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

54

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’) ;

55

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

56

xlim ([ a 2* pi + a ]) ;

57

set ( gca , ’ XTick ’ ,a : pi /6:2* pi + a ) ;

58

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

59

% set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

60

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

61

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

62

set ( legend , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Time ’) ;

63 64

figure (2)

65

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

66

xlim ([ a 2* pi + a ]) ;

67

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

68

set ( gca , ’ XTick ’ ,a : pi /6:2* pi + a ) ;

69

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

70

% set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

71

xlabel ( ’ Tiempo ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

72

ylabel ( ’ Magnitud ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

73 74

% Primera Arm´ onica

75

Vrms_1 = abs (1/ pi *( trapz ( t1 , vx .* exp ( j * t1 ) ) ) ) / sqrt (2)

12.5. Esquemas de Control

324 76

Irms_1 = abs (1/ pi *( trapz ( t1 , ix .* exp ( j * t1 ) ) ) ) / sqrt (2)

77 78

% THD

79

THDv = sqrt ( Vrms_carga ^2 - Vrms_1 ^2) / Vrms_1

80

THDi = sqrt ( Irms_carga ^2 - Irms_1 ^2) / Irms_1

Esquemas de Control En la actualidad existen dos estrategias de control para los puentes controladores AC-AC, el control de fase correspondiente al presentado en las secciones anteriores donde se controla el valor efectivo de la tensi´on sobre la carga regulando el tiempo en el cual el controlador conecta la fuente a la carga en funci´on del ´angulo de disparo (α). Definiendo la relaci´on de control de magnitud (M) como el cociente entre el valor efectivo de la tensi´on en la carga y de la fuente, utilizando la expresi´on 12.15 se obtiene: Vrms = M= V

s   sen (2β ) sen (2α) 1 γ− + π 2 2

(12.19)

La relaci´on de control de magnitud esta acotada entre 0 y 1, para cualquier carga resistiva inductiva este coeficiente est´a acotado entre la soluci´on del controlador AC - AC puro resistivo (ϕ = 0) y el puro inductivo (ϕ = π2 ) como se observa en la figura 12.8. 1 ϕ =0 ϕ = π2

0,8

M

0,6 0,4 0,2 0 0

π 6

2 π6

π 2

2 π3

5 π6

π

α

Figura 12.8: Relaci´on de control de magnitud para un controlador AC-AC El segundo corresponde al control integral que consiste en control el n´ umero de ciclos que el controlador conecta la fuente a la carga (Ncon ) y el n´ umero de ciclos en el cual la carga se

12. Controlador AC - AC

325

encuentra a cero tensi´on (Nco f f ). De esta forma se regula el valor efectivo de la tensi´on de la carga en funci´on del valor efectivo de la fuente como:

Ncon Vrms = Ncon + Nco f f

s

1 T

ˆ

T

v f (t)2 dt

(12.20)

o

El esquema de control integral presenta menor impacto sobre el sistema de potencia ya que no introduce arm´onicos en la tensi´on o corriente.

Puente Controlado Trif´ asico

En las figuras 12.9 y 12.10se presenta el esquema de un puente controlador AC - AC trif´asico para carga conectada en estrella y en delta. La operaci´on del puente trif´asico depende de la estrategia de disparo de las componentes semiconductoras y se puede realizar con dos componentes conduciendo corriente positiva y una negativa o viceversa. En la figura 12.11 se muestra las formas de onda de corriente en la fase ”a” y tensi´on l´ınea l´ınea ”ab” para una carga resistiva inductiva (RL) conectada en estrella.

va (t) +

−

+

ia (t) vb (t)

+

−

ib (t) vc (t)

+

−

ic (t)

vb

−

Cargab

vTb +

−

Cargaa

vTa +

va

vc

−

Cargac

vTc

Figura 12.9: Esquema del puente controlador AC - AC trif´asico con carga en estrella

12.6. Puente Controlado Trif´ asico

326 va (t) +

−

+

ia (t) vb (t)

+

−

ib (t) vc (t)

+

−

ic (t)

vbc

−

Cargabc

vTb +

−

Cargaab

vTa +

vab

vca

−

Cargaca

vTc

Figura 12.10: Esquema del puente controlador AC - AC trif´asico con carga en delta

v(t) , i(t) vcarga (t)

0

i(t)

ωt π

2π

3π

v f (t)

Figura 12.11: Formas de onda de corriente y tensi´on sobre la carga para el puente trif´asico

En la figura 12.12 se presenta la corriente por los dos tiristores que componen el puente en la fase ”a”. Al igual que en el caso monof´asico la corriente en r´egimen permanente es sim´etrica en el semiciclo positivo y negativo. En la figura 12.13 se presenta el espectro arm´onico de tensi´on y corriente sobre la carga obtenida en la simulaci´on.

i(t) iD4 (t)

0

iD1 (t)

ωt π

2π

3π

Figura 12.12: Corriente en las componentes de la fase ”a”

4π

Magnitud en p.u. valor efectivo

12. Controlador AC - AC

327

Tensi´on

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 12.13: Contenido arm´onico de la corriente y tensi´on para el puente trif´asico

Otra configuraci´on utilizada de los puentes de la figura ??, en donde el punte se utiliza para interconectar la fuente con la carga es el presentado en la figura (12.14) en donde el convertidor se utiliza para realizar la conexi´on del neutro en la carga. va (t) +

ia (t) vb (t) +

ib (t) vc (t) +

ic (t)

va

− −

+

Cargaa vb

vTa − −

+

Cargab vc

vTb − −

+

Cargac vTc

Figura 12.14: Puente convertidor trif´asico para conexi´on de neutro.

Configuraciones en Delta En la secci´on anterior se presento el controlador AC - AC como interconexi´on entre la fuente y la carga, esta configuraci´on permite controlar la tensi´on efectiva sobre cargas conectadas en estrella (figura ??) o delta (figura ??). Cuando se dispone de acceso a los seis terminales que conforman la carga, se puede conectar esta en serie con el convertidor de potencia y conformar una delta con esta configuraci´on. En la figura 12.15 se presenta el esquema de conexi´on propuesto. Este esquema presenta por cada rama un comportamiento similar al

12.6. Puente Controlado Trif´ asico

328

puente monof´asico tanto a nivel de tensiones como corrientes y el control de cada rama se desfasa en 2π/3 de la anterior .

va (t)

α +

ia (t)

vab

−

Cargaab

vb (t)

α + 2π 3

+

ib (t)

vbc

−

Cargabc

vc (t)

α + 4π 3

+

ic (t)

vca

−

Cargaca

Figura 12.15: Puente controlador AC - AC trif´asico en delta (carga y convertidor)

v(t) vab (t)

0

vbc (t)

vca (t)

ωt π

2π

3π

4π

Figura 12.16: Tensi´on l´ınea a l´ınea sobre la carga

En la figura 12.16 se presenta la tensi´on l´ınea a l´ınea de este convertidor para una carga resistiva inductiva alimentada desde un sistema trif´asico sinusoidal de secuencia positiva. En la figura 12.17, se presenta la corriente en las tres ramas de la carga y por las fases “a”, “b” y “c” suministradas por la fuente. Finalmente, en la figura 12.18 se presenta el espectro arm´onico de la corriente (iab ) de la carga y de la fase (ia ) de la fuente. Se puede observar como las arm´onicas m´ ultiplos de tres de la corriente quedan atrapadas en la delta y no circulan hacia la fuente.

12. Controlador AC - AC i(t)

iab (t)

329

ibc (t)

ica (t)

ωt

0

π

2π

3π

4π

(a) Ramas de la carga

i(t) ia (t)

ib (t)

ic (t)

ωt

0

π

2π

3π

4π

(b) Fases de la fuente

Figura 12.17: Corrientes en las fases de la fuente y ramas de la carga

Magnitud en p.u. valor efectivo

Otro esquema utilizado para configuraciones en delta se presenta en la figura 12.19. Esta configuraci´on permite utilizar la mitad de las componentes que el puente anterior y alterna la conexi´on de la fuente l´ınea a l´ınea con dos ramas de la delta en serie.

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

vab

ia

iab

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 12.18: Contenido arm´onico de la tensi´on en la carga y las corrientes de rama y l´ınea

12.6. Puente Controlado Trif´ asico

330 va (t) ia (t)

Cargaa

vb (t) ib (t)

Cargab

vc (t) ic (t)

Cargac

Figura 12.19: Puente controlador AC - AC trif´asico en delta (convertidor)

Simulaci´ on 1

% Puente controlador AC-AC trif´ asico en delta (carga y convertidor)

2

% Datos

3

V = input ( ’ Tension efectiva de la fuente sinusoidal ( V_a_b ) ’) ;

4

R = input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

5

L = input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

6

f = input ( ’ Frecuencia de la fuente [ Hz ] ’) ;

7

alfa2 = input ( ’ Angulo de Encendido en grados ’) ;

8 9

% Variables

10

a = alfa2 * pi /180;

11

fi = atan (2* pi * f * L / R )

12

Z = sqrt ((2* pi * f * L ) ^2+ R ^2) ;

13

beta = fsolve ( @ ( t ) sin (t - fi ) - sin (a - fi ) * exp ( -(t - a ) / tan ( fi ) ) ,[ pi ])

14 15

% Condici´ on de operaci´ on

16

if beta >= a + pi ;

17

disp ( ’ el puente no esta controladondo ’) ;

18

t = linspace (a , a +2* pi ,2400) ;

19

v = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

20

i = sqrt (2) * V / Z * sin (t - fi ) ;

21

else

22

beta *180/ pi

23

x = round (( beta - a ) / pi *1200) ;

24

t = linspace (a , beta , x ) ;

25

ta = linspace ( beta , a + pi ,1200 - x ) ;

12. Controlador AC - AC 26

i = sqrt (2) * V / Z *( sin (t - fi ) - sin (a - fi ) * exp ( -(t - a ) / tan ( fi ) ) ) ;

27

v =[ sqrt (2) * V * sin ( t ) , zeros ( size ( ta ) ) ];

28

t =[ t , ta ];

29

i =[ i , zeros ( size ( ta ) ) ];

30

v =[ v , - v ];

31

i =[ i , - i ];

32

t =[ t , t + pi ];

33

end

34 35

%Corientes en las l´ ıneas

36

iab = i ;

37

ibc =[[ i (1601:2400) ,i (1:1600) ]];

38

ica =[[ i (801:2400) ,i (1:800) ]];

39 40

% Corrientes en las fases

41

ia = iab - ica ;

42

ib = ibc - iab ;

43

ic = ica - ibc ;

44 45

% Tensiones en las l´ ıneas

46

vab = v ;

47

vbc =[[ v (1601:2400) ,v (1:1600) ]];

48

vca =[[ v (801:2400) ,v (1:800) ]];

49 50

% Valores Efectivos

51 52

Irms_a = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , ia .^2) )

53

Vrms_ab = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , vab .^2) )

54

Irms_ab = sqrt (1/(2* pi ) * trapz (t , iab .^2) )

55

P =3* R * Irms_ab ^2

56

fp_fuente = P /( sqrt (3) * V * Irms_a )

57

fp_carga = P /( sqrt (3) * Vrms_ab * Irms_a )

58

%

59

%

60

% Graficas

61

vf = sqrt (2) * V * sin ( t ) ;

62

t1 = t ;

63

figure (1)

64

plot ( t1 , vab , t1 , vbc , ’ -. ’ ,t1 , vca , ’ -- ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

331

12.7. Controlador por Modulaci´ on de Ancho de Pulso

332 65

legend ( ’ v_a_b ’ , ’ v_b_c ’ , ’ v_c_a ’ , ’ Location ’ , ’ Best ’ , ’ Orientation ’ , ’ horizontal ’) ;

66

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

67

xlim ([ a 2* pi + a ]) ;

68

set ( gca , ’ XTick ’ ,a : pi /6:2* pi + a ) ;

69

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

70

% set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

71

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

72

ylabel ( ’ Tensi´ o n ( V ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

73

set ( legend , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Time ’) ;

74 75

figure (2)

76

plot ( t1 , ia , t1 , ib , ’ -. ’ ,t1 , ic , ’ -- ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

77

legend ( ’ i_a ’ , ’ i_b ’ , ’ i_c ’ , ’ Location ’ , ’ Best ’ , ’ Orientation ’ , ’ horizontal ’) ;

78

xlim ([ a 2* pi + a ]) ;

79

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Symbol ’) ;

80

set ( gca , ’ XTick ’ ,a : pi /6:2* pi + a ) ;

81

set ( gca , ’ XTickLabel ’ ,{ ’a ’ , ’T /12+ a ’ , ’T /6+ a ’ , ’T /4+ a ’ , ’T /3+ a ’ , ’5 T /12+ a ’ , ’T /2+ a ’ , ’7 T /12+ a ’ , ’2 T /3+ a ’ , ’3 T /4+ a ’ , ’5 T /6+ a ’ , ’ 11 T /12+ a ’ , ’T + a ’ })

82

% set(gca,’YTickLabel’,’ ’)

83

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

84

ylabel ( ’ Corriente ( A ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

85

set ( legend , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Time ’) ;

86 87

% Primera Arm´ onica

88

Vrms_1 = abs (1/ pi *( trapz ( t1 , vab .* exp ( j * t1 ) ) ) ) / sqrt (2)

89

Irms_1 = abs (1/ pi *( trapz ( t1 , ia .* exp ( j * t1 ) ) ) ) / sqrt (2)

90 91

% THD

92

THDv = sqrt ( Vrms_ab ^2 - Vrms_1 ^2) / Vrms_1

93

THDi = sqrt ( Irms_a ^2 - Irms_1 ^2) / Irms_1

Controlador por Modulaci´ on de Ancho de Pulso Los esquemas tradicionales de puentes controladores AC - AC construidos con tiristores y triacs, permiten regular el valor efectivo de tensi´on suministrado en la carga cortocircuitos en

12. Controlador AC - AC

333

intervalos regulares en funci´on del a´ngulo de disparo (α). Esta estrategia introduce un alto contenido arm´onico a la red de alimentaci´on como se observa en la secciones pasadas, para las simulaciones realizadas a nivel de puentes monof´asico el factor de distorsi´on arm´onica (T HD) esta alrededor del 77 % para un puente controlado. Adicionalmente las arm´onicas introducidas en la red, de mayor valor, son inferiores a la d´ecimo tercera arm´onica (13va ), estas frecuencias poseen una alta probabilidad de resonancia con compensadores de reactivos pasivos instalados en el sistema o con configuraciones de circuitos tipo tanque (LC) debido a la combinaci´on de la capacitan e inductancia de los cables o l´ıneas de transmisi´on. Un esquema capaz de reducir el valor de las arm´onicas con mayor probabilidad de resonancia es distribuir el cortocircuito de la carga en el tiempo a trav´es de t´ecnicas de modulaci´on. La t´ecnica de modulaci´on m´as utilizada para este fin, es la de control por ancho de pulso (PW M). Esta estrategia garantiza reducir el valor de las arm´onica de baja frecuencia en funci´on al n´ umero de pulsos empleados en la modulaci´on. Este esquema adicional a la fundamental, introduce en su mayor´ıa arm´onicas de altas frecuencias m´ ultiplos de la frecuencia de la onda portadora, las cuales son r´apidamente atenuadas por el sistema. En la figura 12.20 se presenta el esquema del puente controlador AC - AC por modulaci´on de ancho de pulso. Este puente esta compuesto por componentes bidireccionales de corriente que operan de forma complementar´ıa entre si, una para la conexi´on de la carga a la fuente y la otra para el cortocircuito.

i f (t)

v f (t)

− vD1

− vD2

+

+

− vD4

− i f (t) vD3

+

+

i(t) +

− vD1

− vD2

+

+

− vD4

− vD3

+

+

Carga

i(t) i f (t)

vcarga

−

i(t)

Figura 12.20: Puente controlador AC - AC con control por PW M

334

12.7. Controlador por Modulaci´ on de Ancho de Pulso

El an´alisis de este puente se puede realizar mediante Series de Fourier. La tensi´on del convertidor (vconvertidor (t)) se obtiene de la convoluci´on del tren de pulso de la modulaci´on (g(t)) y la tensi´on de la fuente (v f (t)). Para este caso la tensi´on en bornes del convertidor es igual a la tensi´on de la carga.

vconvertidor (t) = vcarga (t) = g(t) · v f (t)

(12.21)

donde:

 1 g(t) = 0

kTc < t < (k + δ )Tc (k + δ )Tc < t < (k + 1)Tc

v f (t) =

k∈N

√ 2Vrms sen(ωt)

(12.22)

(12.23)

En la expresi´on (12.22) δ corresponde al ciclo de trabajo de la modulaci´on y esta comprendida entre 0 y 1. La corriente en la carga se puede calcular a partir de la Serie de Fourier de la tensi´on en la carga como:

∞

i(t) = ℜe

!

∑ Ine− jnωt

(12.24)

n=1

donde:

In =

1 1 F {vconvertidor (t)}n · N Zcarga (n)

(12.25)

En la figura 12.21, se presenta la relaci´on de control de magnitud para el controlador AC-AC por control de ancho de pulso en funci´on del ciclo de trabajo del pulso (δ ).

12. Controlador AC - AC

335

1 0,8

M

0,6 0,4 0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

δ

Figura 12.21: Relaci´on de control de magnitud para el controlador AC-AC por PW M

En la figura 12.22 se presenta las gr´aficas de corriente y tensi´on para un controlador AC AC controlado por PW M para una carga resistiva e inductiva, alimentada desde un sistema sinusoidal de tensi´on Para la modulaci´on se utilizo una frecuencia de portadora de 12 veces la fundamental con un ciclo de trabajo 70 %. v(t) , i(t) v f (t)

0

i(t)

ωt π

2π

3π

4π

vcarga (t)

Figura 12.22: Tensi´on y corriente en la carga para un controlador AC - AC por PW M

En la figura 12.23 se presenta el espectro arm´onico de tensi´on y corriente sobre la carga obtenida en la simulaci´on. Si se compara estos resultados al espectro arm´onico obtenido en la figura 12.5 se puede observar un menor contenido arm´onico en las corrientes de la carga, evidenciado por un menor T HD y un menor contenido arm´onico en tensi´on para las arm´onicas inferiores a la d´ecimo tercera sin incluir la fundamental. En la figura 12.23 se observa las componentes arm´onica en los entornos de la frecuencia de modulaci´on empleada.

12.7. Controlador por Modulaci´ on de Ancho de Pulso

Magnitud en p.u. valor efectivo

336

Tensi´on

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 12.23: Contenido arm´onico de tensiones y corrientes para el controlador AC - AC por PW M

En la figura (12.24) se presenta es esquema de filtrado utilizado en esta topolog´ıa de puente convertidor para reducir el contenido arm´onico de la tensi´on y corriente en la carga.

i f (t)

v f (t)

− vD1

− vD2

+

+

− vD4

− i f (t) vD3

+

+

L f iltro i(t) +

− vD1

− vD2

+

+

− vD4

− vD3

+

+

C f iltro

Carga

vcarga

icarga − i f (t)

i(t)

Figura 12.24: Puente controlador AC - AC con control por PW M con filtro

Para el puente de la figura (12.24), se puede calcular la tensi´on sobre la carga como:

12. Controlador AC - AC

337

∞

vcarga (t) = ℜe

! − jnωt

(12.26)

∑ Vne

n=1

donde:

1

Zcarga (n)k jnωC f iltro 1 Vn = F {vconvertidor (t)}n · N + jnωL f iltro Zcarga (n)k jnωC1

(12.27)

f iltro

En la figura 12.25 se presenta las gr´aficas de corriente y tensi´on para un controlador AC AC controlado por PW M para una carga resistiva e inductiva, alimentada desde un sistema sinusoidal de tensi´on . Para la modulaci´on se utilizo una frecuencia de portadora de 12 veces la fundamental con un ciclo de trabajo 70 %. En la figura 12.26 se presenta el espectro arm´onico de tensi´on y corriente sobre la carga obtenida en la simulaci´on. La inclusi´on del filtro LC redujo en contenido arm´onico en la tensi´on y corriente en la carga. En la figura 12.26 se observa las componentes arm´onica en los entornos de la frecuencia de modulaci´on empleada.

v(t) , i(t) v f (t)

0

i(t)

ωt π

2π

3π

4π

vcarga (t)

Figura 12.25: Tensi´on y corriente en la carga para un controlador AC - AC por PW M con filtro LC

12.7. Controlador por Modulaci´ on de Ancho de Pulso

Magnitud en p.u. valor efectivo

338

Tensi´on

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Corriente

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 Arm´onicas

Figura 12.26: Contenido arm´onico de tensiones y corrientes para el controlador AC - AC por PW M con filtro LC

Se puede calcular el rizado de tensi´on y corriente en la carga en funci´on de la inductancia y capacitancia del filtro como:

Vrms1 (1 − δ )Tc L f iltro ∆iTc = δC f iltro

∆i = ∆vcarga

(12.28)

De la expresi´on (12.28) se puede observar que para disminuir el rizado de tensi´on y corriente basta aumentar los valores de inductancia y capacitancia del filtro o aumentar la frecuencia
de modulaci´on Tc−1 .

Simulaci´ on Controlador AC AC por modulaci´ on de Ancho de pulso

1

% Controlador AC AC por Modulaci´ on de Ancho de Pulso (PWM)

2

% Datos

3

clear

4

clc

5

Vac

= input ( ’ Tension AC rms de la fuente ’) ;

6

f

= input ( ’ Frecuencia fundamental [ Hz ] ’) ;

7

R

= input ( ’ Resistencia de la carga [ Ohm ] ’) ;

12. Controlador AC - AC

339

8

L

9

delta = input ( ’ Ciclo de trabajo (0 a 1) ’) ;

10

fc

11

T =1/ f ;

= input ( ’ Inductancia de la carga [ H ] ’) ; = input ( ’ Frecuencia de modulaci´ o n [ Hz ] ’) ; % Perido de la Se~ nal

12 13

% Analisis mediante Series de Fourier

14 15

% Funciones Temporales

16

t = linspace (0 ,T ,5000) ;

% Tiempo se tomaran 5000 muestras

17

w =2* pi * f ;

% Frecuencai El´ ectrica de la fuente

18

vf = sqrt (2) * Vac * sin ( w * t ) ;

19

PWM =( square (2* pi * fc *t , delta *100) +1) *.5; % Modulaci´ on por ancho de Pulso

20

vf = vf .* PWM ;

% Tensi´ on de la fuente % Tensi´ on en bornes del convertidor

21 22

% C´ alculo de la Serie de Fourier en basa de la FFT de la funci´ on

23

Cn_a = fft ( vf ) /( length ( t ) /2) ; % Serie de Fourier

24

Cn_a (1) = Cn_a (1) /2;

% Ajuste del valor medio

25 26

% Inicializaci´ on de Variables

27

vc = Cn_a (1) * ones ( size ( t ) ) ;

28

ic = vc / R ;

29

Vrms = abs ( Cn_a (1) ) ^2;

30

Irms =( abs ( Cn_a (1) ) / R ) ^2;;

31

I1 =0;

32

V1 =0;

33 34

% C´ alculo de tensi´ on y corriente sobre la carga

35

for k =1:( length ( t ) /2) ;

36

n =k -1;

% Orden arm´ onico

37

Cn = Cn_a ( k ) ;

% Coeficiente C para la arm´ onica n

38

Zc = R + j * n * w * L ;

% Impedancia de la carga par la arm´ onia n

39

% Corriente por el convertidor

40

ic = ic + real ( Cn / Zc * exp ( - j *2* pi * n * t / T ) ) ;

41

% Tensi´ on en la carga

42

vc = vc + real ( Cn * exp ( - j *2* pi * n * t / T ) ) ;

43

% Valores Efectivos

44

if n ==1

45

V1 = abs ( Cn / sqrt (2) ) ;

46

I1 = abs (( Cn / Zc ) / sqrt (2) ) ;

47

end

12.7. Controlador por Modulaci´ on de Ancho de Pulso

340 48

Vrms = Vrms + abs ( Cn ^2) /2;

49

Irms = Irms + abs ( Cn / Zc ) ^2/2;

50 51

end

52

% C´ alculo del valor Efectivo

53

Vrms = sqrt ( Vrms )

54

Irms = sqrt ( Irms )

55

% C´ alculo del THD

56

THD_v = sqrt ( Vrms ^2 - V1 ^2) / V1

57

THD_i = sqrt ( Irms ^2 - I1 ^2) / I1

58

% C´ alculo de Fundamentales

59

V1

60

I1

61

% Graficas

62

figure (1) % Corriente en la Carga

63

plot (t , ic , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

64

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

65

xlim ([0 T ]) ;

66

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

67

ylabel ( ’ Corriente ( A ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

68

figure (2) % Tensi´ on en la Carga

69

plot (t , vc , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

70

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

71

xlim ([0 T ]) ;

72

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

73

ylabel ( ’ Tensi´ o n en la Carga ( V ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

Controlador AC AC por modulaci´ on de ancho de pulso con filtro LC

1

% Controlador AC AC por Modulaci´ on de Ancho de Pulso (PWM) con Filtro LC

2

% Datos

3

clear

4

clc

5

Vac

= input ( ’ Tension AC rms de la fuente ’) ;

6

f

= input ( ’ Frecuencia fundamental [ Hz ] ’) ;

7

R

= input ( ’ Resistencia de la carga [ Ohm ] ’) ;

8

L

= input ( ’ Inductancia de la carga [ H ] ’) ;

9

Lf

= input ( ’ Inductancia del filtro [ H ] ’) ;

10

Cf

= input ( ’ Capacitancia del filtro [ F ] ’) ;

12. Controlador AC - AC

341

11

delta = input ( ’ Ciclo de trabajo (0 a 1) ’) ;

12

fc

13

T =1/ f ;

= input ( ’ Frecuencia de modulaci´ o n [ Hz ] ’) ; % Perido de la Se~ nal

14 15

% Analisis mediante Series de Fourier

16 17

% Funciones Temporales

18

t = linspace (0 ,T ,5000) ;

% Tiempo se tomaran 5000 muestras

19

w =2* pi * f ;

% Frecuencai El´ ectrica de la fuente

20

vf = sqrt (2) * Vac * sin ( w * t ) ;

21

PWM =( square (2* pi * fc *t , delta *100) +1) *.5; % Modulaci´ on por ancho de Pulso

22

vf = vf .* PWM ;

% Tensi´ on de la fuente % Tensi´ on en bornes del convertidor

23 24

% C´ alculo de la Serie de Fourier en basa de la FFT de la funci´ on

25

Cn_a = fft ( vf ) /( length ( t ) /2) ; % Serie de Fourier

26

Cn_a (1) = Cn_a (1) /2;

% Ajuste del valor medio

27 28

% Inicializaci´ on de Variables

29

vc = Cn_a (1) * ones ( size ( t ) ) ;

30

vco = Cn_a (1) * ones ( size ( t ) ) ;

31

ic = Cn_a (1) / R * ones ( size ( t ) ) ;

32

i = ic ;

33

Vrms = abs ( Cn_a (1) ) ^2;

34

Irms =( abs ( Cn_a (1) ) / R ) ^2;;

35

I1 =0;

36

V1 =0;

37 38

% C´ alculo de tensi´ on y corriente sobre la carga

39

for k =2:( length ( t ) /2) ;

40

n =k -1;

% Orden arm´ onico

41

Cn = Cn_a ( k ) ;

% Coeficiente C para la arm´ onica n

42

Zc = R + j * n * w * L ;

% Impedancia de la carga par la arm´ onia n

43

ZLf = j * n * w * Lf ;

% Reactancia inductiva del filtro

44

Zcf =1/( j * n * w * Cf ) ;

% Recatncia capacitiva del filtro

45

Zent = ZLf + Zcf * Zc /( Zcf + Zc ) ; % Impedancia de entrada del convertidor

46

DT = Cn *( Zcf * Zc /(( Zcf + Zc ) * Zent ) ) ; % Caida de tensi´ on en la carga

47

% Tensi´ on en el convertidor

48

vco = vco + real ( Cn * exp ( - j *2* pi * n * t / T ) ) ;

49

% Corriente por el convertidor

50

i = i + real ( Cn / Zent * exp ( - j *2* pi * n * t / T ) ) ;

12.7. Controlador por Modulaci´ on de Ancho de Pulso

342 51

% Tensi´ on en la carga

52

vc = vc + real ( DT * exp ( - j *2* pi * n * t / T ) ) ;

53

% Corriente en la carga

54

ic = ic + real ( DT / Zc * exp ( - j *2* pi * n * t / T ) ) ; if n ==1

55 56

V1 = abs ( DT / sqrt (2) ) ;

57

I1 = abs (( Cn / Zc ) / sqrt (2) ) ;

58

end

59

Vrms = Vrms + abs ( DT ^2) /2;

60

Irms = Irms + abs ( Cn / Zc ) ^2/2;

61

end

62

% C´ alculo del valor Efectivo

63

Vrms = sqrt ( Vrms )

64

Irms = sqrt ( Irms )

65

% C´ alculo del THD

66

THD_v = sqrt ( Vrms ^2 - V1 ^2) / V1

67

THD_i = sqrt ( Irms ^2 - I1 ^2) / I1

68

% C´ alculo de Fundamentales

69

V1

70

I1

71

% Graficas

72

figure (1) % Corriente en la Carga

73

plot (t , ic , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

74

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

75

xlim ([0 T ]) ;

76

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

77

ylabel ( ’ Corriente ( A ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

78

figure (2) % Tensi´ on en la Carga

79

plot (t , vc , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

80

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

81

xlim ([0 T ]) ;

82

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

83

ylabel ( ’ Tensi´ o n en la Carga ( V ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

Rutina para la evaluaci´ on de la Tensi´ on efectiva del puente

1

% Controlador AC-AC por PWM Evaluaci´ on de Tensi´ on Efectiva

2 3

% Datos

12. Controlador AC - AC 4 5

V = input ( ’ Tensi´ o n efectiva de la fuente ’) ;

6

f = input ( ’ Frecuencia de la fuente ’) ;

7

Duty = input ( ’ Porcentaje del Ciclo de Trabajo ’) ;

8

fp = input ( ’ M´ u ltiplo de la fundamental de la portadora ’) ;

9 10

% Variables

11

fp = fp * f ;

12

T =1/ f ;

13

t = linspace (0 ,T ,1000) ;;

14

Vf = sqrt (2) * V * sin (2* pi * f * t ) ;

15

PWM =( square (2* pi * fp *t , Duty ) +1) /2;

16

onda = PWM .* Vf ;

17 18

% Contenido Arm´ onico

19

Np = length ( onda ) ;

20

a = fft ( onda ) *2/ Np ;

21

a (1) = a (1) /2;

22 23

% Valores Efectivos de Tensi´ on

24

np = floor ( Np /2) ;

25

Vrms = sqrt (( sum (( abs ( a (2: np ) ) / sqrt (2) ) .^2) ) + abs ( a (1) ) ^2)

26

THDv = sqrt ( Vrms ^2 -( abs ( a (2) ) / sqrt (2) ) ^2) /( abs ( a (2) ) / sqrt (2) )

27 28

% Figura

29

figure (1)

30

plot (t , Vf ,t , onda , ’r ’) ; grid

31

figure (2)

32

bar ((0:49) , abs ( a (1:50) ) ./ abs ( a (2) ) ) ;

33

grid ;

34

axis ([ -1 50 0 1.2]) ;

35

xlabel ( ’ Arm´ o nica de la fundamental ’)

36

ylabel ( ’p . u . fundamental ’)

37

legend ( ’ Contenido Arm´ o nico de Tensi´ o n ’)

343

12.8. Compensador Est´ atico de Reactivos

344

Compensador Est´ atico de Reactivos En la figura 12.27 se presenta el esquema de un compensador est´atico de reactivos, este puente esta conformado por un condensador en paralelo a un controlador AC - AC que alimenta a un inductor, la potencia reactiva entregada a la barra por el compensador se puede calcular como: Qneta = Qinductor − Qcapacitor Qneta =

VL2 ωL

(12.29)

−V 2 ωC

donde: Tensi´on efectiva de la barra de alimentaci´on del SV S

V

+

if

+

vT α − iL

v f (t)

C

vcarga

Carga

+

vL

L

i −carga

−

Figura 12.27: Esquema del compensador est´atico de reactivos

La tensi´on efectiva (VL ) sobre el inductor se puede calcular a partir de la expresi´on (12.15) con un ´angulo de apagado de 2π − α como: s VL = V

2α sen(2α) 2− + π π

 (12.30)

Ejercicios 1. Un controlador AC - AC monof´asico, se alimenta de un sistema de120V efectivos a 60 Hz y alimenta una carga de R = 22 Ω y L = 20 mH. Este puente se acciona a dos

12. Controlador AC - AC

345

a´ngulos de disparo de 45◦ y 90◦ . Determine: Valor efectivo de la corriente en la carga y los SCR, potencia consumida por la carga, factor de potencia de la fuente y carga y T HD de tensi´on y corriente en la carga. 2. Una carga resistiva absorbe 200W cuando se conecta a una fuente de tensi´on de 240V efectivos @ 60 Hz. Dise˜ nar un circuito en el que la misma resistencia absorba 200W cuando la tensi´on efectiva de la fuente sea de 416V @ 60 Hz. 3. Que ventaja y desventaja tiene utilizar para la construcci´on de este puente un triac en vez de dos SCR en anti paralelo. 4. Para el puente de la figura 12.28, determine en funci´on de los a´ngulos de disparo α1 y α2 :

α1 iT1 (t) −

+

i(t)

+

α2 i1 (t)

vT1 (t)

iT2 (t) R −

+

i2 (t)

v1 (t)

vcarga

vT2 (t) v2 (t) L i(t)

−

Figura 12.28: Ejercicio 4 a) Expresiones de corriente en r´egimen permanente. b) L´ımite de controlabilidad. c) Formas de onda de tensi´on y corriente. d ) Valor efectivo de la tensi´on y corriente sobre la carga. e) Contenido arm´onico de las tensiones y corrientes sobre la carga.

346

12.9. Ejercicios

Parte V Convertidores DC - DC

347

Cap´ıtulo 13

Controlador DC - DC

Aspectos Generales Los controladores DC - DC tiene como finalidad suministrar tensi´on y corriente continua variable a partir de una fuente de corriente continua. En la literatura a estos convertidores est´aticos se les conoce como: ”Chopper” o ”Troceadores”. Su principio de funcionamiento se basa en una operaci´on peri´odica, en donde se suministra tensi´on de la fuente a la carga durante un tiempo (ton ) y posteriormente se aplica un cortocircuito sobre esta, el resto del per´ıodo (T ). Para la construcci´on de un chopper, se requieren componentes con control de encendido y apagado. En muchas oportunidades se han utilizado tiristores con circuitos auxiliares de apagado. En la figura 13.1 se ilustra el principio de funcionamiento, presentando la tensi´on sobre la carga. La tensi´on media sobre la carga se puede calcular a partir de la definici´on como: ´t V0 = T1 0on VDC dt V0 = VDC tTon

(13.1)

Se define como raz´on de conducci´on del chopper (δ ) al t´ermino: v, i vcarga

VDC V0 t

0

ton

ton + T

T

2T

Figura 13.1: Tensi´on sobre la carga de un controlador DC - DC 349

13.2. Aplicaciones

350

δ=

ton T

(13.2)

Sustituyendo la definici´on de la ecuaci´on (13.2) en la expresi´on (13.1), se obtiene la tensi´on media sobre la carga en funci´on de la raz´on de conducci´on.

V0 = VDC δ

(13.3)

donde:

0≤δ ≤1 En la figura 13.1, se presenta la tensi´on media sobre la carga. Para este caso corresponde al 60 %de la fuente, es decir, δ = 0,6.

Aplicaciones Control de motores de corriente continua. Fuentes de poder DC. Tracci´on de veh´ıculos el´ectricos. Frenado el´ectrico.

Tipos de Convertidores DC - DC En esta secci´on detallaremos los esquemas de las distintas configuraciones de los chopper m´as utilizadas en la industria. La componente con control de encendido y apagado se denotara con el s´ımbolo de un tiristor circunscrito en un circulo, esta componente puede ser: un tiristor con circuito de apagado, un tiristor autodesactivable o un transistor. En los esquemas se denotara el sentido de circulaci´on de la corriente por la carga y la tensi´on sobre esta.

Chopper Reductor o Tipo ”A” En la figura 13.2, se presenta el esquema de un chopper reductor o tipo ”A”. En este esquema la corriente por la carga s´olo puede ser positiva al igual que la tensi´on, debido a la disposici´on

13. Controlador DC - DC

351

de las dos componentes de potencia. Su principal aplicaci´on como su nombre lo indica es suministrar tensi´on continua variable desde cero hasta el valor de la fuente. En este puente la componente con control se utiliza para suministrar tensi´on a la carga mientras que el diodo de descarga libre origina el cortocircuito necesario para regular la tensi´on.

v T iDC

+

iDC

− +

VDC

i

iCarga

D

Carga

iCarga

vCarga

−

iCarga

iDC Troceador Reductor

Figura 13.2: Chopper tipo ”A”

Chopper Elevador o Tipo ”B”

En la figura 13.3, se presenta el esquema de un chopper elevador o tipo ”B”. En este esquema, la componente principal coloca la carga en cortocircuito, estableciendo una corriente en sentido contrario al indicado en la figura. Al apagarse la componente principal la inductancia de la carga se opondr´a al cambio brusco de corriente manteniendo el sentido de circulaci´on de esta, de la carga a la fuente. Este puente requiere para su funcionamiento que la carga sea activa, es decir, que posea fuente de tensi´on y que posea una componente de inductancia. La fuente de la carga es inferior a la de la fuente, de hay el nombre de chopper elevador. Su principal aplicaci´on es frenado regenerativo.

13.3. Tipos de Convertidores DC - DC

352

v iDC

i

iCarga

D

+

iDC

− +

VDC

vCarga

T Carga

iCarga

−

iCarga

iDC Troceador Elevador

Figura 13.3: Chopper tipo ”B”

Chopper Tipo ”C” En la figura 13.4, se presenta el esquema del chopper tipo ”C”, este puente combina a los dos anteriores en un solo convertidor. Permite tanto la operaci´on de reducci´on como elevaci´on de tensi´on, su funcionamiento tiene las mismas restricciones que el chopper elevador. Su principal aplicaci´on es en tracci´on de veh´ıculos el´ectricos tanto en las operaci´on de aceleraci´on como de frenado. Este puente se utiliza en el Metro de Caracas para el control de las armaduras de los motores de corriente continua, utilizados en tracci´on y frenado de los vagones.

v i D1

iDC T1

− +

VDC

icarga

+

Carga

vcarga

D2 T2

icarga −

Troceador

Figura 13.4: Chopper tipo ”C”

13. Controlador DC - DC

353

Chopper Tipo ”D”

En la figura 13.5, se presenta el esquema de un chopper tipo ”D”. Este puente suministra tensi´on positiva cuando las componentes con control est´an conduciendo y tensi´on negativa cuando est´an apagadas. La corriente en la carga s´olo puede ser positiva por la disposici´on de las componentes de potencia.

v i D2

iDC T1

− +

VDC

icarga icarga

+

Carga

vcarga

D4 T3

icarga −

Troceador

Figura 13.5: Chopper tipo ”D”

Chopper Tipo ”E”

En la figura 13.6, se presenta el esquema del chopper tipo ”E”, a esta configuraci´on tambi´en se le conoce en la literatura como inversor o puente ”H”. Este esquema se obtiene de la superposici´on de de dos chopper tipo ”D” en contra fase. Esta estructura, le da la posibilidad de suministrar tensi´on y corriente positiva y negativa a la carga. Su principal aplicaci´on adicional a la de inversor (suministrar tensi´on AC a partir de una fuente DC) es la del control de los campos de motores de corriente continua para veh´ıculo el´ectricos, este puente permite invertir el sentido de circulaci´on de la corriente en el devanado lo que ocasiona la inversi´on del sentido de giro del motor. En el caso del Metro de Caracas esto permite invertir el sentido de circulaci´on de tren sin girar los vagones.

13.4. An´ alisis del Chopper Reductor

354

v i D1

iDC

D2

T1

− +

VDC

T2 icarga icarga

+

Carga

vcarga

D3

D4 T3

T4

icarga −

Troceador

Figura 13.6: Chopper tipo ”E”

An´ alisis del Chopper Reductor En la figura 13.7, se presenta el esquema de un chopper reductor con carga resistiva inductiva y fuente de tensi´on. v T iDC

iDC

i

iCarga +

R

iDC

D

vcarga

L

E

− +

− +

VDC

iD

−

iCarga

iDC Troceador Reductor

Figura 13.7: Chopper reductor

Dependiendo de los valores de resistencia, inductancia y fuente de tensi´on (E) el puente puede presentar dos condiciones de operaci´on diferentes. La primera denominada ”Condici´on No Continuada” en la cual la corriente pasa por cero durante el tiempo que no conduce la com-

13. Controlador DC - DC

355

ponente principal, apagando el diodo de descarga libre. La segunda denominada ”Condici´on Continuada” la corriente no pasa por cero y se establece un r´egimen permanente que satisface:

i(t) = i(t + T )

(13.4)

Condici´ on No Continuada En la figura 13.8, se presenta la forma de onda de corriente y tensi´on para la carga en condici´on no continuada de corriente con una raz´on de conducci´on de 0,6. En esta figura se puede destacar que la corriente es peri´odica para todos los ciclos de operaci´on. v, i vcarga

VDC

icarga

V0

E

t ton

0

tβ

ton + T tβ + T

T

2T

Figura 13.8: Tensi´on y corriente en la carga para un chopper reductor en condici´on no continuada de corriente

La corriente en cada una de las componentes que conforman este puente, en la condici´on no continuada de corriente se presenta en la figura 13.9. v, i vcarga

VDC

iDC

iD E

t 0

ton

tβ

T

ton + T tβ + T

2T

Figura 13.9: Corrientes en las componentes del chopper reductor en condici´on no continuada de corriente

Expresi´ on de Corriente Condici´ on No Continuada. Analizando la forma de onda de corriente para la condici´on no continuada mostrada en la figura 13.8, se debe analizar por un lado el circuito cuando la componente principal (T ) esta conduciendo (0 ≤ t ≤ ton ) y por el otro el circuito cuando la componente secundaria (D) que funciona como diodo de descarga libre est´a en operaci´on (ton ≤ t ≤ tβ ).

13.4. An´ alisis del Chopper Reductor

356 Corriente para 0 ≤ t ≤ ton

La ecuaci´on diferencial del circuito en esta condici´on es:

VDC = Ri + L

di +E dt

(13.5)

La corriente para este intervalo de tiempo viene dado por la soluci´on de la ecuaci´on diferencial (13.5), con condici´on inicial i(0) = 0. i(t) =

i −t VDC − E h 1−e τ R

(13.6)

donde:

τ=

L R

Para evaluar la operaci´on del diodo de descarga libre es necesario conocer la condici´on final de corriente en el extremo de este intervalo (i(ton )) que es la condici´on inicial de corriente para el diodo.

i(ton ) = Imax =

i −ton VDC − E h 1−e τ R

(13.7)

Corriente para ton ≤ t ≤ tβ La ecuaci´on diferencial del circuito en esta condici´on es:

0 = Ri + L

di +E dt

(13.8)

La corriente para este intervalo de tiempo viene dado por la soluci´on de la ecuaci´on diferencial (13.8), con condici´on inicial de la expresi´on (13.7) (i(ton ) = Imax ). h i (t−ton ) (t−ton ) i(t) = − ER 1 − e− τ + Imax e− τ h i h i (t−ton ) (t−ton ) −ton + VDCR−E 1 − e τ e− τ i(t) = − ER 1 − e− τ

(13.9)

Para evaluar el tiempo (tβ ) en el cual la corriente pasa por cero se iguala a cero la expresi´on (13.9) y se despeja el tiempo.    ton ton VDC − E  − tβ = τ ln e τ 1 + 1−e τ E

(13.10)

13. Controlador DC - DC

357

Tensi´ on Media Para calcular la tensi´on media sobre la carga se aplica la definici´on en la forma de onda de tensi´on de la figura 13.8. h´ ton

i ´T V dt + Edt DC 0 tβ T −t ( β) V0 = VDC tTon + E  Tt  V0 = VDC δ + E 1 − Tβ

V0 =

1 T

(13.11)

Condici´ on Continuada En la figura 13.10, se presenta la forma de onda de corriente para una carga RLE en condici´on continuada de corriente, con una raz´on de conducci´on de 0,6. En esta figura se puede destacar que la corriente presenta una estabilizaci´on desde cero hasta su r´egimen permanente.

i(t) R´egimen Permanente

Imax Imin

Transitorio 0

2T

4T

6T

t 8T 10T 12T 14T 16T 18T 20T

Figura 13.10: corriente en la carga para un chopper reductor en condici´on continuada de corriente

En la figura 13.11 se presenta el detalle de la corriente y tensi´on en r´egimen permanente de operaci´on. La corriente en cada una de las componentes que conforman este puente, en la condici´on continuada de corriente se presenta en la figura 13.12.

13.4. An´ alisis del Chopper Reductor

358 v, i

vcarga

VDC

icarga

V0 t

ton

0

ton + T

T

2T

Figura 13.11: Tensi´on y corriente en la carga para un chopper reductor en condici´on no continuada de corriente

v, i vcarga

VDC

iD

iDC

t ton

0

T

ton + T

2T

Figura 13.12: Corrientes en las componentes del chopper reductor en condici´on no continuada de corriente

Expresi´ on de Corriente Condici´ on Continuada. Analizando la forma de onda de la corriente de la figura 13.10 para la condici´on continuada , se requiere analizar por un lado el circuito cuando la componente principal (T ) esta conduciendo (0 ≤ t ≤ ton ) y por el otro el circuito cuando conduce la componente secundaria (D) (ton ≤ t ≤ T ).

Primer ciclo de operaci´ on Corriente para 0 ≤ t ≤ ton La ecuaci´on diferencial del circuito cuando conduce la componente principal viene dada por la expresi´on (13.5) al igual que en la condici´on anterior. Con la condici´on inicial (i(0) = 0), la corriente en este intervalo viene dada por la expresi´on (13.6).

i(t) =

 t VDC − E  1 − e− τ R

Donde τ

corresponde a la constante de tiempo del circuito.

(13.12)

13. Controlador DC - DC

359

Para evaluar la operaci´on del diodo de descarga libre es necesario calcular la condici´on final de corriente (i(ton )) de este circuito que corresponde a la condici´on inicial de corriente del pr´oximo intervalo. i(ton ) = Ia =

i ton VDC − E h 1 − e− τ R

(13.13)

Corriente para ton ≤ t ≤ T La ecuaci´on diferencial del circuito cuando conduce la componente principal viene dada por la expresi´on (13.8) al igual que en la condici´on anterior. Con la condici´on inicial (i(ton ) = Ia ), la corriente en este intervalo viene dada por la expresi´on (13.9). i(t) = −

i (t−ton ) (t−ton ) Eh + Ia e− τ 1 − e− τ R

(13.14)

Para evaluar el pr´oximo ciclo de operaci´on es necesario evaluar la condici´on final de la corriente de la expresi´on (13.14), en t = T . i (T −t ) (T −ton ) Eh − τ on i(T ) = Ib = − 1 − e + Ia e− τ R

(13.15)

Segundo ciclo de operaci´ on Como la funci´on es peri´odica para comodidad del an´alisis se redefinar´a el eje del tiempo a t = 0 para el segundo ciclo de operaci´on del puente Corriente para 0 ≤ t ≤ ton La ecuaci´on diferencial del circuito cuando conduce la componente principal viene dada por la expresi´on (13.5) al igual que en la condici´on anterior. Con la condici´on inicial (i(0) = Ib ), la corriente en este intervalo viene dada por la expresi´on: i(t) =

 t t VDC − E  1 − e− τ + Ib e− τ R

(13.16)

Para evaluar la operaci´on del diodo de descarga libre es necesario calcular la condici´on final de corriente (i(ton )) de este circuito que corresponde a la condici´on inicial de corriente del pr´oximo intervalo. i(ton ) = I1 =

i ton ton VDC − E h 1 − e− τ + Ib e− τ R

(13.17)

13.4. An´ alisis del Chopper Reductor

360 Corriente para ton ≤ t ≤ T

La ecuaci´on diferencial del circuito cuando conduce la componente principal viene dada por la expresi´on (13.8) al igual que en la condici´on anterior. Con la condici´on inicial (i(ton ) = I1 ), la corriente en este intervalo viene dada por la expresi´on (13.17).

i(t) = −

i (t−ton ) (t−ton ) Eh 1 − e− τ + I1 e− τ R

(13.18)

Para evaluar el pr´oximo ciclo de operaci´on es necesario evaluar la condici´on final de la corriente de la expresi´on 13.18, en t = T .

i(T ) = I2 = −

i (T −ton ) (T −ton ) Eh 1 − e− τ + I1 e− τ R

(13.19)

R´ egimen Permanente Se puede seguir evaluando ciclo a ciclo de operaci´on hasta alcanzar la condici´on de r´egimen permanente dado por la expresi´on (13.4). Otra manera, es utilizar la condici´on de la expresi´on (13.4) en las ecuaciones (13.17) y (13.19) para obtener los valores de la corriente en t = ton (Imax ) y t = T (Imin ) en r´egimen permanente. De la condici´on de r´egimen permanente se obtiene:

i(0) = i(T ) = Imin

(13.20)

i(ton ) = Imax

(13.21)

Sustituyendo las expresiones (13.20) y (13.21) en las expresiones (13.17) y (13.19), se obtiene: i ton VDC − E h − ton τ 1−e + Imin e− τ Imax = R

Imin = −

i (T −ton ) (T −ton ) Eh 1 − e− τ + Imax e− τ R

Sustituyendo la expresi´on (13.23) en la ecuaci´on (13.22) se obtiene:

(13.22)

(13.23)

13. Controlador DC - DC

361

h i h h i i ton (T −ton ) (T −ton ) ton Imax = VDCR−E 1 − e− τ + − ER 1 − e− τ + Imax e− τ e− τ i h ton ton T T Imax = VDCR−E 1 − e− τ + ER e− τ − ER e− τ + Imax e− τ h i h i h T i VDC E − Tτ − ton −τ τ Imax 1 − e = R 1−e + R e −1 h i h T i − ton τ e− τ −1 VDC h1−e i +Eh i Imax = R T R 1−e− Tτ 1−e− τ   h i − δτT − ton 1−e 1−e τ Imax = VRDC h − T i − ER = VRDC h − T i 1−e τ 1−e τ

(13.24)

− ER

Sustituyendo el resultado de la expresi´on (13.24), en la ecuaci´on (13.23) se obtiene: i i h ton h δT τ −1 τ −1 e e VDC E V E h T i − = DC h T i − Imin = R eτ −1 R R eτ −1 R

(13.25)

El rizado de operaci´on del chopper se puede calcular a partir de los resultados de las expresiones (13.24) y (13.25) como:

∆i =

Imax − Imin 2

i h ton i h − ton τ τ −1 1 − e e VDC  h i − h T i = − Tτ 2R 1−e eτ −1

(13.26)

Reduciendo la expresi´on del rizado de corriente (13.26), se obtiene: " " (T −ton ) # (1−δ )T # ton T δT T VDC 1 − e− τ + e− τ − e− τ VDC 1 − e− τ + e− τ − e− τ ∆i = = T T 2R 2R 1 − e− τ 1 − e− τ

(13.27)

La raz´on de conducci´on (δmax ) que maximiza el rizado de corriente se obtiene como: " (1−δmax )T # δmax T VDC τ e τ ∂ ∆i −e τ = =0 T ∂ δ δmax 2R T 1 − e− τ

(13.28)

Despejando el valor de δmax de la ecuaci´on (13.28), se obtiene: δmax =

1 2

(13.29)

Tensi´ on Media Para calcular la tensi´on media sobre la carga se aplica la definici´on en la forma de onda de tensi´on de la figura 13.11.

13.4. An´ alisis del Chopper Reductor

362

´t V0 = T1 0on VDC dt V0 = VDC tTon V0 = VDC δ

Simulaci´ on 1

% Chopper Tipo A

2

% Datos

3

V = input ( ’ Tension DC de la fuente ’) ;

4

R = input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

5

L = input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

6

E = input ( ’ Tension de la carga ’) ;

7

T = input ( ’ Periodo [ s ] ’) ;

8

ton = input ( ’ Tipo de encendido [ s ] ’) ;

9

% Corrientes

10

delta = ton / T

11

tau = L / R

12

Imax =( V / R *(1 - exp ( - delta * T / tau ) ) /(1 - exp ( - T / tau ) ) ) -E / R ;

13

Imin =( V / R *( exp ( delta * T / tau ) -1) /( exp ( T / tau ) -1) ) -E / R ;

14

t1 = linspace (0 , ton ,1000) ;

15

t2 = linspace ( ton ,T ,1000) ;

16

if Imin = ton ) ;

55

p = v .* i .* frenado ;

56

P =1/ T * trapz (t , p )

57 58

% Graficas

59

vf = V * ones ( size ( t ) ) ;

60

vx =[ v ];

61

ix =[ i ];

62

t1 = t ;

63

figure (1)

64

plot ( t1 , vf , ’ -. ’ ,t1 , vx , ’r ’ , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

65

legend ( ’ Fuente ’ , ’ Carga ’) ;

66

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

67

xlim ([0 T ]) ;

68

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

371

13.7. Convertidor Buck

372

v T iDC

L

+

iDC

− +

VDC

i

iCarga

D

+

vChooper

C

RCarga

vCarga

iRCarga −

− iCarga

iDC Troceador Reductor

Figura 13.17: Puente Convertidor Buck 69

ylabel ( ’ Tensi´ o n ( V ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

70 71

figure (2)

72

plot ( t1 , ix , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

73

xlim ([0 T ]) ;

74

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

75

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

76

ylabel ( ’ Corriente ( A ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

77 78

figure (3)

79

plot ( t1 ,p , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

80

xlim ([0 T ]) ;

81

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

82

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

83

ylabel ( ’ Potencia devuelta a la red ( W ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

Convertidor Buck En la figura 13.17, se presenta la configuraci´on del puente convertidor DC/DC tipo Buck. Este puente presenta dos interruptores electr´onicos (T y D) cuya operaci´on es complementaria entre s´ı. En las figuras 13.18 y 13.19, se pueden observar las dos topolog´ıas del puente convertidor Buck en funci´on del estado del interruptor T y D.

13. Controlador DC - DC

373 v T

iDC

L

+

iDC

− +

VDC

i

iCarga

+

vChooper

D

RCarga

C

vCarga

iRCarga −

− iCarga

iDC Troceador Reductor

Figura 13.18: Topolog´ıa del Chopper Buck con T cerrado v T iDC

L

+

iDC

− +

VDC

i

iCarga

+

vChooper

D

RCarga

C

vCarga

iRCarga −

− iCarga

iDC Troceador Reductor

Figura 13.19: Topolog´ıa del Chopper Buck con D cerrado Analizando la tensi´on en bornes del interruptor D en funci´on de la operaci´on del convertidor se obtiene la forma de onda de la figura 13.20. v VChopper

VDC V0 t

0

ton

T

ton + T

2T

Figura 13.20: Tensi´on en bornes del interruptor D

La forma de onda de la figura 13.20 se puede descomponer en Series de Fourier como:

13.7. Convertidor Buck

374

!

∞

v(t) = ℜe

− j 2πn T t

(13.49)

2πn T t

(13.50)

∑ Cne

n=0

donde: 2 Cn = T

ˆ

ton

VDC e j

dt

0

Resolviendo la expresi´on (13.50), se obtiene C0 = VDC δ (13.51) Cn =

DC j Vnπ

h i e j2πδ n − 1 ∇ n ≥ 1

Sustituyendo las expresiones (13.51) en la Serie de Fourier de la ecuaci´on (13.49), se obtiene: "

∞

i 2πn 1 h j2πδ n − j e − 1 e− j T t ∑ nπ n=1

v(t) = VDC δ + ℜe

!# (13.52)

A partir de la Serie de Fourier de v(t) con la impedancia de entrada del circuito vista desde los terminales del interruptor electr´onico Sw se puede calcular la corriente i(t) como: " i(t) = VDC

δ + ℜe R

∞

1

∑ − j nπZent (n)

h i 2πn e j2πδ n − 1 e− j T t

!# (13.53)

n=1

donde:

Zent (n) = jωnL + Rk

1 R = jωnL + jωnC jωnRC + 1

(13.54)

En el circuito de la figura 13.17, se puede determinar la tensi´on sobre la resistencia vcarga (t) a partir de la Serie de Fourier de v(t) (ecuaci´on (13.52)) utilizando un divisor de tensi´on para cada una de las frecuencia n. 



∞

vcarga (t) = VDC δ + ℜe  ∑ − j n=1

Simulaci´ on



h i j2πδ n e −1 R





1   e− j 2πn T t  nπ jωnL ( jωnRC + 1) + R

(13.55)

13. Controlador DC - DC

375

1

% Chopper Tipo BUCK

2

% Datos

3

Vdc

= input ( ’ Tension DC de la fuente ’) ;

4

R

= input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

5

L

= input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

6

C

= input ( ’ Capacitancia [ F ] ’) ;

7

T

= input ( ’ Periodo [ s ] ’) ;

8

delta = input ( ’ Raz´ o n de Conducci´ o n ’) ;

9 10

% Analisis mediante Series de Fourier

11

t = linspace (0 ,T ,1000) ;

% Tiempo

12

w =2* pi / T ;

% Frecuencia El´ ectrica

13

% Valor medio de la tensi´ on de fuente, carga y corriente por el inductor

14

v = delta * Vdc * ones ( size ( t ) ) ;

15

vc = v ;

16

i=v/R;

17

% Para precisi´ on del programa se calcular´ an 1000 arm´ onicas

18

for n =1:1000;

19

% Tensi´ on de la fuente (fig. 12.21)

20

Cn = j * Vdc /( n * pi ) *( exp ( j *2* pi * delta * n ) -1) ;

21

v = v + real ( Cn * exp ( - j *2* pi * n * t / T ) ) ;

22

% Corriente en el inductor

23

Zn = j * w * n * L + R /( R * n * C * j * w +1) ;

24

i = i + real ( Cn / Zn * exp ( - j *2* pi * n * t / T ) ) ;

25

% Tensi´ on en la carga

26

DT = R /( j * w * n * L *( R * n * C * j * w +1) + R ) ;

27

vc = vc + real ( Cn * DT * exp ( - j *2* pi * n * t / T ) ) ;

28

end

29

% C´ alculo del Rizado

30

Rizado_corrinte =( max ( i ) - min ( i ) ) /2

31

Ri za do_ Te nsi on_ Ca rga =( max ( vc ) - min ( vc ) ) /2

% Coeficientes de Fourier

% Impedancia de entrada

% Divisor de tensi´ on

32 33

% Graficas

34

figure (1) % Corriente en el Inductor

35

plot (t ,i , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

36

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

37

xlim ([0 T ]) ;

38

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

39

ylabel ( ’ Corriente ( A ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

13.7. Convertidor Buck

376 40

figure (2) % Tensi´ on en la Carga

41

plot (t , vc , ’ LineWidth ’ ,2) ; grid

42

set ( gca , ’ FontSize ’ ,12 , ’ FontName ’ , ’ Times ’) ;

43

xlim ([0 T ]) ;

44

xlabel ( ’ Tiempo ( s ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

45

ylabel ( ’ Tensi´ o n en la Carga ( V ) ’ , ’ fontsize ’ ,14 , ’ fontname ’ , ’ Times ’) ;

An´ alisis aproximado Muchos autores analizan el convertidor Buck de manera aproximada suponiendo que la tensi´on vcarga ≈ V0 , es decir que el valor de capacitancia C es muy elevado y permite asumir que la tensi´on es aproximadamente constante y de valor δVDC . En esta condici´on la corriente por el inductor (i(t)) se puede calcular como:

1 i(t) = L

ˆ vL (t)dt

(13.56)

donde:

vL (t) =

   V −V0   DC

0 ≤ t ≤ ton

   −V 0

ton < t < T

(13.57)

Resolviendo la ecuaci´on (13.56) para las dos condiciones de tensi´on del inductor en funci´on de la conectividad del interruptor Sw dadas en la expresi´on (13.57), se obtiene:

i(t) =

 VDC −V0   t + Imin   L

0 ≤ t ≤ ton (13.58)

   − V0 (t − t ) + I on max ton < t < T L En la figura 13.21 se presenta la forma de onda de la corriente i(t) para esta condici´on de operaci´on.

13. Controlador DC - DC

377

i i(t)

Imax Imin t

ton

0

ton + T

T

2T

Figura 13.21: Forma de onda de la corriente i(t) La corriente media de la figura 13.21 por el inductor se puede calcular de forma aproximada como: I0 ≈

1 (Imax + Imin ) 2

(13.59)

Sustituyendo la expresi´on (13.58) en la ecuaci´on (13.59), se obtiene: I0 ≈

VDC −V0 ton + Imin 2L

(13.60)

Remplazando ton = δ T en la expresi´on (13.60), se obtiene: I0 ≈

VDC −V0 δ T + Imin 2L

(13.61)

Por otra parte, la corriente media por el inductor es igual a la corriente media por la carga resistiva, es decir: I0 ≈

V0 R

(13.62)

Sustituyendo la expresi´on (13.62) en la (13.61), se obtiene el valor de corriente m´ınimo (Imin ) como: Imin =

V0 δ T (VDC −V0 ) − R 2L

(13.63)

De la expresi´on (13.63), se puede calcular el rizado de corriente ∆i y el valor m´ınimo de inductancia (Lmin ) que garantiza que el puente trabaje en condici´on continuada de corriente (Imin = 0) como: VDC −V0 ∆i = δT (13.64) L Lmin =

δ T (VDC −V0 ) R R (T − ton ) = 2V0 2

(13.65)

13.8. Convertidor Boost

378

v iDC

L

D +

iDC

− +

VDC

i

iCarga +

vChooper C

T

RCarga

vCarga

iRCarga −

− iCarga

iDC Troceador

Figura 13.22: Puente Convertidor Boost El valor de la capacitancia C se puede calcular en funci´on del rizado de tensi´on que se permite durante la operaci´on del convertidor Buck (∆vcarga ) como: C=

V0 (1 − δ ) 8L f 2 ∆vcarga

(13.66)

Convertidor Boost En la figura 13.22, se presenta la configuraci´on del puente convertidor DC/DC tipo Boost. Este puente presenta dos interruptores electr´onicos (T y D) cuya operaci´on es complementaria entre s´ı. En las figuras 13.23 y 13.24, se puede observar las dos topolog´ıas del puente convertidor Boost en funci´on del estado del interruptor T y D.

Calculando la tensi´on en la carga (vcarga (t)) y la corriente por el inductor (i(t)) en funci´on de la posici´on del interruptor Sw, se obtiene: Para 0 ≤ t ≤ ton En este intervalo el circuito a analizar corresponde al de la figura 13.23 donde:

t

vcarga (t) = vcarga (0)e− RC VDC i(t) = t + i(0) L

(13.67)

13. Controlador DC - DC

379

v iDC

L

+

iDC

− +

VDC

i

iCarga

D

+

vChooper C

T

RCarga

vCarga

iRCarga −

− iCarga

iDC Troceador

Figura 13.23: Topolog´ıa del Chopper Boost con T cerrado

v iDC

L

D +

iDC

− +

VDC

i

iCarga

T

vChooper C

−

+

RCarga

vCarga

iRCarga −

iCarga

iDC Troceador

Figura 13.24: Topolog´ıa del Chopper Boost con D cerrado

13.8. Convertidor Boost

380

Evaluando las condiciones finales del intervalo 0 ≤ t ≤ ton , se obtienen las condiciones iniciales para el circuito de la figura 13.24

ton

vcarga (ton ) = vcarga (0)e− RC VDC i(ton ) = ton + i(0) L

(13.68)

Para ton ≤ t ≤ T La ecuaci´on diferencial que describe el comportamiento de la tensi´on en la carga para este intervalo es:

VDC = LC

d 2 vcarga L dvcarga + vcarga + dt 2 R dt

(13.69)

Resolviendo la ecuaci´on diferencial 13.69 en funci´on de las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico se obtiene:

vcarga (t) = vh (t) + v p (t)

(13.70)

v p (t) = VDC

(13.71)

vh (t) = k1 es1t + k2 es2t → (s1 6= s2 ) ∈ R −st s t 2 vh (t) = k1 e + k2t e → (s1 = s2 ) ∈ R σt vh (t) = e (k1 cos (ωt) + k2 sen (ωt)) → (s1,2 = σ ± jω) ∈ Z

(13.72)

donde:

s1,2 =

− RL

±

q


L 2 R − 4LC

(13.73)

2LC

De las condiciones iniciales vcarga (ton ) e i(ton ) se pueden determinar los valores de k1 y k2 resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en funci´on del tipo del tipos de respuesta homog´enea como: "

donde:

k1 k2

#

" = [A]−1

vcarga (ton ) −VDC  vcarga (ton ) 1 C i(ton ) − R

# (13.74)

13. Controlador DC - DC

" [A] =

" [A] =

" [A] = eσton

381

es1ton s1 es1ton

es1ton s1 es1ton

es2ton s2 es2ton

#

ton es1ton (1 + s1ton ) es1ton

→ (s1 6= s2 ) ∈ R

(13.75)

# → (s1 = s2 ) ∈ R

cos(ωton ) sen(ωton ) σ cos(ωton ) − ω sen(ωton ) ω cos(ωton ) + σ sen(ωton ) → (s1,2 = σ ± jω) ∈ Z

(13.76)

# (13.77)

Conocida la tensi´on sobre la carga, se puede calcular la corriente del inductor como:

i(t) =

dvcarga vcarga (t) +C R dt

(13.78)

Las condiciones finales de este intervalo, corresponden a las iniciales del siguiente ciclo y son:

vcarga (T ) = VDC + vh (T ) vcarga (T ) dvcarga i(T ) = +C R dt t=T

(13.79)

La respuesta del convertidor alcanza su r´egimen permanente cuando:

vcarga (t) = vcarga (t + T ) i(t) = i(t + T )

Simulaci´ on 1

% Chopper Tipo BOOST

2

% Datos

3

Vdc

= input ( ’ Tension DC de la fuente ’) ;

4

R

= input ( ’ Resistencia [ Ohm ] ’) ;

5

L

= input ( ’ Inductancia [ H ] ’) ;

6

C

= input ( ’ Capacitancia [ F ] ’) ;

7

T

= input ( ’ Periodo [ s ] ’) ;

8

delta = input ( ’ Raz´ o n de Conducci´ o n ’) ;

(13.80)

13.8. Convertidor Boost

382 9 10

% An´ alisis Temporal

11

s = roots ([ L * C L / R 1]) % Raices del Polinomio Caracter´ ıstico

12

% Condiciones Iniciales

13

I1 =0;

14

V1 =0;

15

nc =0;

16

parar =2;

17

% Intervalos de Conducci´ on

18

ton = delta * T ;

19

t1a = linspace (0 , ton ,500) ; % 0 ≤ t ≤ ton

20

t2a = linspace ( ton ,T ,500) ; % ton ≤ t ≤ T

21

% C´ alculo de la Tensi´ on en la carga y la corriente por el inductor

22

% nc son el n´ umero ciclos de operaci´ on para garantizar llegar a r´ egimen permenente

23

while parar ~=1

24

% for i=1:3

25

t1 = t1a + nc * T ;

26

t2 = t2a + nc * T ;

27

ton = delta * T + nc * T ;

28

% Para 0 ≤ t ≤ ton

29

iL1 = Vdc / L *( t1 - nc * T ) + I1 ;

30

vC1 = V1 * exp ( -( t1 - nc * T ) /( C * R ) ) ;

31

% Condici´ on final del intervalo 0 ≤ t ≤ ton

32

I2 = iL1 ( length ( t1 ) ) ;

33

V2 = vC1 ( length ( t1 ) ) ;

34

DV2 =1/ C *( I2 - V2 / R ) ;

35

% Para ton ≤ t ≤ T

36

B =[ V2 - Vdc ; DV2 ];

37

if imag ( s (1) ) ~=0 % Soluci´ on Compleja Conjuda

% Condici´ on para detener el programa

38

sigma = real ( s (1) ) ;

39

w = imag ( s (1) ) ;

40

A = exp ( sigma * ton ) *[ cos ( w * ton ) , sin ( w * ton ) ; sigma * cos ( w * ton ) -w * sin ( w * ton ) ,w * cos ( w * ton ) + sigma * sin ( w * ton ) ];

41

k=A\B;

42

vC2 = Vdc + exp ( sigma * t2 ) .*( k (1) * cos ( w * t2 ) + k (2) * sin ( w * t2 ) ) ;

43

iL2 = vC2 / R + exp ( sigma * t2 ) * C .*(( sigma * k (1) + k (2) * w ) * cos ( w * t2 ) +( sigma * k (2) -k (1) * w ) * sin ( w * t2 ) ) ;

44

else

45

if s (1) ~= s (2)

% Soluci´ on Real y diferente

13. Controlador DC - DC 46

A =[ exp ( s (1) * ton ) , exp ( s (2) * ton ) ; s (1) * exp ( s (1) * ton ) ,s (2) * exp ( s (2) * ton ) ];

47

k=A\B;

48

vC2 = k (1) * exp ( s (1) * t2 ) + k (2) * exp ( s (2) * t2 ) + Vdc ;

49

iL2 = vC2 / R + k (1) * s (1) * exp ( s (1) * t2 ) + k (2) * s (2) * exp ( s (2) * t2 ) ;

50

383

else

% Soluci´ on Real e igual

51

A = exp ( s (1) * ton ) *[1 , ton ; s (1) ,1+ s (1) * ton ];

52

k=A\B;

53

vC2 =( k (1) + k (2) * t2 ) .* exp ( s (1) * t2 ) + Vdc ;

54

iL2 = vC2 / R + exp ( s (1) * t2 ) .*( s (1) * k (1) + k (2) + s (1) * k (2) * t2 ) ;

55

end

56

end

57

% Condici´ on para evaluar la llegada al r´ egimen permanente

58

if abs ( V1 - vC2 ( length ( t2 ) ) ) 0, desaceleraci´on si Ta < 0 y en r´egimen permanente si Ta = 0.

Ta = Te − Tm = Jeq

dωmot (t) dt

(20.38)

536 20.6. Caracter´ısticas Mec´ anicas de Operaci´ on de un Accionamiento El´ ectrico

Cuadrantes de Operaci´ on de un Accionamiento En la figura 20.9, se presentan los cuadrantes de operaci´on de un accionamiento el´ectrico. Ta Cuadrante II P 0

Ta > 0

ωm < 0

ωm > 0

P>0

ωm

P>0

Ta < 0

Ta < 0

ωm < 0

ωm > 0

Cuadrante III

P "B <  B

5G

0!= 3 ;7 9> * 3 > "B <  B

'0 '00 0 5 > 5* *=@ 0!= ' 0 5 0 '

0!= 3 $:& 9> 50 3 $$& ->  B 0!= 3 $:& 9 0!= 3 $:& 9 0!= 3 9> ' 3 ' *,> '* 3 '**,  B ! 

5

0!= 3 $$7 9> B B



0!= 3 ;7 9> B B 0!= 3 ;7 9> B B 0!= 3 $:& 9> B B

%&&
'* 3 '**,

*=@

 B ! 

0!=

+)0+ G+ 5-,+0+* 2* 0+ )G +* (5K) -K 0+ ,#K05K

(5K) 5K 0+ (/ ; 

  08; )       1   (1         / ;

@A& BBB C$7&

9

;7&& :&&& ;

' K

$J



Mechanical data ' ,$

B B 7&E> BBB> $ $  F

  

)+,50(L;

0 8;

08;

This is an electrostatic discharge sensitive device (ESDS), international standard IEC 60747-1, Chapter IX. * The specifications of our components may not be considered as an assurance of component characteristics. Components have to be tested for the respective application. Adjustments may be necessary. The use of SEMIKRON products in life support appliances and systems is subject to prior specification and written approval by SEMIKRON. We therefore strongly recommend prior consultation of our personal.

TAE

1

30-03-2009 DIL

© by SEMIKRON

SK 75 TAE

Fig.2 Surge overload current vs. time

Fig.3a Thyiristor forward chracteristic

Fig.3b Diode forward characteristic

Fig.4 Transient thermal impedance of Thyristor

Fig.5 Gate trigger characteristic

2

30-03-2009 DIL

© by SEMIKRON

3

30-03-2009 DIL

© by SEMIKRON

H. Hojas de Datos de Componentes

759

Tiristor Hoja de datos del SK100 KQ correspondiente a dos tiristores en antiparalelo de 70 A de SEMIKRON

H.2. Tiristor

760

SK 100 KQ

SK 100 KQ (314

(334+ ( 34

5341 6 %'% 7   

( :'' %.''

( 8'' %0''

2 6 8/ 9 1; %'' ;< '8 1; %'' ;< %0

%=''

%&''

1; %'' ;< %&

Symbol

Conditions

5341

>% ? , %8'9 ? 2 6 %''9 >% ? , %8'9 ? 2 6 8/9

®

SEMITOP 2

5214 A

Antiparallel Thyristor Module SK 100 KQ Preliminary Data

Features                   

        

   

 !   "  #   $  %&''(  "  "   $)  * +  , - &. /.0 Typical Applications*  1     )  +   ,,,  2    

2"@ 6 0/ 9 ? %'  2"@ 6 %0/ 9 ? %'  2"@ 6 0/ 9 ? 8+.,,,%'  2"@ 6 %0/ 9 ? 8+.,,,%' 

(2 (22 2 5 ?53

Values

Units

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7A

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Fig. 5 Gate trigger characteristics Dimensions in mm

  20

;