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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas.

Práctica 3: Capacitor de placas paralelas

Integrantes: Quiroz Ixba Armando Jesús Ramos Castro Miguel Ángel Villegas Grande Vania Shani SECUENCIA 2IV31 Fecha de realización: 23/Febrero/2016 Fecha de entrega: 02/Marzo/2016

“La técnica al servicio de la patria”

Capacitor de placas paralelas

Objetivos:  Aplicara los conocimientos adquiridos de electrificación, campo eléctrico y ley de gauss en el estudio del capacitor  Determinará y evaluara las leyes físicas que rigen el comportamiento del capacitor.  Determinará las constantes de permitividad relativa del aire y de algún otro material.  Evaluará el experimento por comparación de los valores obtenidos contra valores calculados.  Cuantificara y analizara la variación de la capacitación al variar las separación de las placas Introducción Considere dos conductores como se observa en la figura. Esta combinación de dos conductores se conoce como capacitor. Los conductores son las placas. Si los conductores llevan carga de igual magnitud y signo opuesto existe una diferencia de potencial ∆𝑉 entre ellos. Los experimentos han demostrado que la cantidad de carga 𝑄 es un capacitor es linealmente proporcional a la diferencia de potencial entre los conductores.

Ilustración 1 líneas de campo eléctrico de un dipolo

𝑄 ∝ ∆𝑉. La constante de proporcionalidad depende de la forma y separación de los conductores. Esta relación se escribe como 𝑄 = 𝐶∆𝑉 si define la capacitancia de la siguiente manera: La capacitancia C de un capacitor se define como la relación de la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores de la magnitud de la diferencia de potencial entre dichos conductores: 𝑄 𝐶= … … … (1) ∆𝑉

Por definición, la capacitancia siempre es una cantidad positiva. Además, la carga 𝑄 y la diferencia de potencial ∆𝑉 siempre se expresan en la ecuación (1) como cantidades positivas. Capacitor de dos placas paralelas. Dos placas metálicas paralelas de igual área 𝐴 están separadas por una distancia 𝑑, como se muestra en la siguiente figura:

Ilustración 2 Capacitor en el vacio

Una placa tiene una carga +𝑄 y la otra tiene una carga −𝑄 . La densidad de carga superficial en cada placa es 𝜎 = 𝑄/𝐴. Si las placas están muy juntas (en comparación con su longitud y su ancho), se puedes suponer que el un campo eléctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otra parte. El valor del campo eléctrico entre las placas es: 𝐸=

𝜎 𝑄 = … … … (2) 𝜖0 𝜖0 𝐴

Ya que el campo entre las placas es uniforme, la magnitud de la diferencia de potencial entre las placas es igual a 𝐸𝑑 por lo tanto: 𝐵

Δ𝑉 = −𝐸⃗ ∫ 𝑑𝑠 = −𝐸𝑑 𝐴

Δ𝑉 = 𝐸𝑑 =

𝑄𝑑 … … … (3) 𝜖0 𝐴

Al sustituir la ecuación (3) en la ecuación (1), se encuentra que la capacitancia es: 𝐶=

𝑄 𝑄 = Δ𝑉 𝑄𝑑/𝜖0 𝐴

𝐶=

𝜖0 𝐴 … … … (4) 𝑑

Es decir, la capacitancia es un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de las placas. En consecuencia, acercar más las placas hace que la carga sobre el capacitor aumente. Si 𝑑 aumenta, la carga disminuye. Como resultado, la relación inversa entre 𝐶 y 𝑑 en la ecuación (4) es razonable. Carga Inducida y Polarización: Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo tiempo que la carga se mantiene constante, la diferencia de potencial entre aquéllas disminuyen un factor K. Por lo tanto el campo eléctrico entre las placas debe reducirse entre el mismo factor. Si 𝐸0 es el valor con vacío y 𝐸 es el valor con dieléctrico, entonces. 𝐸0 𝐸0 → 𝐾 = … … … … . . (5) 𝐾 𝐸 Como la magnitud del campo eléctrico es menor cuando el dieléctrico está presente, la densidad superficial de carga (que era el campo) también debe ser menor. La carga superficial de carga (que era el campo) también debe de ser menor. La carga superficial en las placas conductoras no cambia, pero en cada superficie del dieléctrico aparece una carga inducida de signo contrario. Originalmente, el dieléctrico era neutro y todavía lo es; las cargas superficiales inducidas surgen como resultado de la redistribución de la carga positiva y negativa dentro del material dieléctrico. Este fenómeno se llama polarización. Véase la siguiente imagen: 𝐸=

Ilustración 3 Carga Inducida y polarización

Material y equipo.          

Capacitor experimental de placas planas y paralelas. Multímetro digital M-4650 CR. Dos cables de conexión para medición de capacidad. Diez placas de acrílico. Un flexómetro. Paño de lana. Voltímetro electroestático. Punta de prueba. Barra de acrílico. 2 cables banana-caimán (1m)

Desarrollo Experimental

Primer Experimento: Se busca un análisis entre voltaje y distancia; y en la forma paralela entre carga y voltaje

Ilustración 4 Montaje del Experimento 1

Se procede a tomar distancias “d” de 0.5 en 0.5 cm empezando con 6.5 cm y disminuyendo hasta 2.0cm, en este caso nuestra variable independiente es la distancia. Para el voltaje V empezamos tomando una medida inicial, por ejemplo empezamos suministrando 7.2 kV para la distancia 6.5 cm. Después vemos como disminuye o aumenta cuando disminuimos la distancia d. Segundo Experimento: se busca en qué forma se afecta el espacio (campo) entre las placas ante la presencia de materiales Distintos de aire, entre las placas del capacitor. Buscando una relación entre las ecuaciones, en pocas palabras llegar a la relación de la ecuación (5)

Ilustración 5 montaje del experimento 2Datos experimentales:

Experimento 1 Tabla 1Datos experimentales iniciales

d(cm) 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0

V1 (KV) 7.5 7.2 7.0 6.8 6.6 6.3 6.0 5.7 5.4 4.9

V2 (KV) 7.0 6.9 6.7 6.5 6.3 6.1 5.8 5.5 5.2 4.8

V3 (KV) 6.5 6.3 6.2 6.0 5.9 5.7 5.5 5.2 4.9 4.5

V4 (KV) 6.0 5.9 5.7 5.4 5.3 5.1 4.9 4.7 4.4 4.1

V5 (KV) 5.5 5.4 5.3 5.2 5.1 5.0 4.8 4.6 4.3 4.0

V6 (KV) 5.0 4.9 4.9 4.7 4.6 4.5 4.4 4.2 4.0 3.6

V7 (KV) 4.5 4.4 4.4 4.3 4.2 4.1 4.0 3.8 3.6 3.3

V8 (KV) 4.0 3.9 3.9 3.8 3.7 3.6 3.5 3.4 3.2 2.9

V9 (KV) 3.5 3.5 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 3.0 2.8 2.6

V10 (KV) 3.0 3.0 2.9 2.8 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.2

Tabla II Datos experimentales en unidades del sistema internacional.

d (m) 0.065 0.060 0.055 0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020

V1 (V) 7500.0 7200.0 7000.0 6800.0 6600.0 6300.0 6000.0 5700.0 5400.0 4900.0

V2 (V) 7000.0 6900.0 6700.0 6500.0 6300.0 6100.0 5800.0 5500.0 5200.0 4800.0

V3 (V) 6500.0 6300.0 6200.0 6000.0 5900.0 5700.0 5500.0 5200.0 4900.0 4500.0

V4 (V) 6000.0 5900.0 5700.0 5400.0 5300.0 5100.0 4900.0 4700.0 4400.0 4100.0

V5 (V) 5500.0 5400.0 5300.0 5200.0 5100.0 5000.0 4800.0 4600.0 4300.0 4000.0

V6 (V) 5000.0 4900.0 4900.0 4700.0 4600.0 4500.0 4400.0 4200.0 4000.0 3600.0

V7 (V) 4500.0 4400.0 4400.0 4300.0 4200.0 4100.0 4000.0 3800.0 3600.0 3300.0

V8 (V) 4000.0 3900.0 3900.0 3800.0 3700.0 3600.0 3500.0 3400.0 3200.0 2900.0

V9 (V) V10 (V) 3500.0 3000.0 3500.0 3000.0 3500.0 2900.0 3400.0 2800.0 3300.0 2800.0 3200.0 2700.0 3100.0 2600.0 3000.0 2500.0 2800.0 2400.0 2600.0 2200.0

Experimento 2 Tabla III Datos experimentales del acrílico.

d(cm) 4.3 3.6 3.0 2.5 2.0 1.4 0.8

V(VK) 2.5 2.2 1.8 1.6 1.3 1.1 0.6

Tabla V Datos del acrílico en unidades del S.I.

d(m) 0.043 0.036 0.030 0.025 0.020 0.014 0.008

V(V) 2500 2200 1800 1600 1300 1100 600

Tabla VII Datos experimentales del voltaje 1

𝑑 (m) 0.065 0.060 0.055 0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020

𝑉1 (V) 7500.0 7200.0 7000.0 6800.0 6600.0 6300.0 6000.0 5700.0 5400.0 4900.0

Tabla IV Datos experimentales con el aire.

d(cm) 4.3 4.0 3.7 3.4 3.1 2.8 2.5 2.2 1.9 1.6

V(VK) 5.4 5.3 5.1 5.0 4.9 4.7 4.6 4.3 4.1 4.0

Tabla VI Datos del aire en unidades del S.I.

d(m) 0.043 0.040 0.037 0.034 0.031 0.028 0.025 0.022 0.019 0.016

V(V) 5400 5300 5100 5000 4900 4700 4600 4300 4100 4000

Cálculos:

Distancia[m] vs Voltaje[V] 8000.0 V[V] = 54788[V/m]d[m] + 4011.5[V] R² = 0.9852

7500.0

Voltaje[V]

7000.0 6500.0 6000.0 5500.0 5000.0 4500.0 4000.0 0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

Distancia[m]

Ilustración 6 Grafica de los datos de la tabla VII

𝑉 𝑚 = 54788[ ] 𝑚

𝑁 𝐸1 = 𝑚1 = 54788[ ] 𝐶

Análisis dimensional 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 "𝑦" 𝑉 𝑚= =[ ] 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 "𝑥" 𝑚

Así se obtiene la pendiente 𝑚 consecutivamente de cada grafica de 𝑉 𝑣𝑠 𝑑. Tabla IX Campos eléctricos de la tabla I

𝐸 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝑁 𝐸𝑖 = 𝑚𝐼 [ ] 𝐶 54788 48480 41820 41580 31520 28360 24730 22180 20000 17090

Tabla IIX Datos de la Carga vs Voltaje

𝑉 (V) 6300 6100 5700 5100 5000 4500 4100 3600 3200 2700

𝑄𝑖 =∈0 𝐴𝐸𝑖 (C) 2.47x10-8 2.19x10-8 1.88x10-8 1.88x10-8 1.42x10-8 1.28x10-8 1.12x10-8 1.00x10-8 9.02x10-9 7.71x10-9

0.070

Voltaje [V]

Carga [C] vs Voltaje [V] 7000.00 6500.00 6000.00 5500.00 5000.00 4500.00 4000.00 3500.00 3000.00 2500.00 2000.00

y = 404.24x + 2406.7 R² = 0.9927

0

2

4

6

8

10

12

Carga [C] Ilustración 7 grafica de los datos de la tabla IIX

𝑉 𝑚 = 404.24[ ] 𝐶 𝑄 𝑉 𝑚 = 1⁄𝐶 = 404.24[ ] 𝜀𝑜 𝐴 𝐶

Análisis unidimensional 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 "𝑦"

𝑉

𝑚 = 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 "𝑥" = 𝐶

𝐶 = 2.47𝑋10−3 𝐶⁄𝑉

Distancia [m] vs Voltaje[V] 3000 V[V] = 52842[V/m]d[m] + 257.12[V] R² = 0.9914

Voltaje[V]

2500 2000 1500 1000 500 0 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Distancia [m] Ilustración 8 Grafica de los datos del acrílico de la tabla V

𝑉 𝑚 = 52842[ ] 𝑚 Por ser un dieléctrico podemos expresarla de la siguiente manera:

𝑁 𝑚 = 𝐸𝑎𝑐𝑟𝑖𝑙𝑖𝑐𝑜 = 52842 [ ] 𝐶 𝑄 𝑁 → 𝐸𝑎𝑐𝑟𝑖𝑙𝑖𝑐𝑜 = = 52842 [ ] 𝐾𝜀𝑂 𝐴 𝐶

Donde K es el factor que nos indica que el campo eléctrico disminuye con respecto al campo eléctrico del capacitor sin dieléctrico.

Distancia[m] vs Voltaje[V] 6000 y = 53333x + 3166.7 R² = 0.9851

Voltaje[V]

5500 5000 4500 4000 3500 0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Distancia[m] Ilustración 9 Grafica de los datos del aire de la tabla VI

𝑁 𝐸𝑎𝑖𝑟𝑒 = 53333 [ ] 𝐶

𝑉

𝑚 = 53333[𝑚] Dividiendo los dos campos

𝑄 𝑁 53333 [ 𝐶 ] 𝐸𝑎𝑖𝑟𝑒 𝜀𝑂 𝐴 = =𝑘= = 1.01 𝑁 𝑄 𝐸𝑎𝑐𝑟𝑖𝑙𝑖𝑐𝑜 52842 [ 𝐶 ] 𝐾𝜀𝑂 𝐴 Resultado finales Experimento 1 𝐶 = 2.47𝑋10−3 𝐶⁄𝑉

Experimento 2 K=1.01

0.045

Conclusión El experimento consistía en calcular el campo eléctrico en las placas el cual era uniforme. Los campos eléctricos fueron variando en su magnitud debió a su voltaje con la que se inició cada experimento, donde el voltaje era la variable dependiente y la distancia la independiente, se esquematizo cada gráfica y se encontró la ley empírica de cada una de las tablas, con una aceptabilidad buena. Posteriormente se calculó la capacitancia, es importante mencionar que las gráficas fueron considerablemente precisas ya que los puntos asemejan una línea recta, sin embargo los factores de humedad, la interacción de los compañeros con el experimento y errores de paralaje y perspectiva pudieron ocasionar un error en la medida. Para el experimento 2 se buscó un valor teórico de la constante dieléctrica del acrílico, en muchos sitios de internet y libros se encontró diferentes valores, que dependían de las propiedades de este, sin embargo, se puede ver que se cumple la razón de que al menos k mayor que uno. Bibliografía.    

Bauer Wolfgang/ Westfall Gary. Física para ingeniería y ciencias, Editorial Mc Graw Hill, Volumen II Halliday Resnick, Física II, Grupo Editorial Patria, 4ta edición. Tipler Mosca Física para la ciencia y tecnología. Editorial Revertê, 5ta edición. https://minificciones.files.wordpress.com/2011/08/fc3adsicauniversitaria_capitulo _24.pdf