Electrodinamica Notas
Electrodin´amica: Notas de Clase Rodolfo A. Diaz Universidad Nacional de Colombia Departamento de F´ısica Bogot´a, Colom
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Electrodin´amica: Notas de Clase Rodolfo A. Diaz Universidad Nacional de Colombia Departamento de F´ısica Bogot´a, Colombia The Date
ii
´Indice general Introduction
I
XI
Campos el´ ectricos y magn´ eticos independientes del tiempo
1. Electrost´ atica 1.1. Ley de Coulomb y campo el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Distribuciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Funci´on delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Potencial electrost´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Potencial y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Energ´ıa potencial electrost´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Distribuciones cont´ınuas de carga . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. C´alculo de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann 1.6. Teoremas de unicidad para campo vectoriales . . . . . . . . . . 1.7. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Discontinuidades en el campo el´ectrico y en el potencial . . . . 1.8.1. Capa dipolar superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Ecuaci´ on de Laplace 2.1. Expansi´on en funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ejemplos de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Propiedades de las soluciones de la Ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Unicidad de la ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ecuaci´on de Laplace en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Ecuaci´on de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . 2.6. Ecuaci´on de Laplace en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Operador momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Separaci´on de variables para la ecuaci´on de Laplace en coordenadas esf´ericas 2.6.3. Propiedades de Pl (cos θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4. Esfera con φ = V (θ) en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5. Cascarones conc´entricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
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3 3 3 5 5 6 8 9 11 12 14 16 17 19 20 21 23 25
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27 27 29 31 33 34 34 36 40 41 44 44 44 49 49 50
´INDICE GENERAL
iv 2.7. Problemas con condiciones que no son de frontera . . . . . . . . . . . 1 2.8. Expansi´on de |r−r . . . . . . . . . . . . 0 | en polinomios de Legendre 2.8.1. Ejemplos de aplicaci´on en evaluaci´on de potenciales . . . . . 2.9. Funciones asociadas de Legendre y Arm´onicos Esf´ericos . . . . . . . 2.10. Ecuaci´on de Laplace en coordenadas cil´ındricas, Funciones de Bessel
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3. Conductores electrost´ aticos 3.1. Cavidades en conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Capacitores 3.3. Sistemas con N conductores: Coeficientes de capacitancia . . . . . . . . . . 3.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. El caso de dos conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ejemplos de c´alculos de la matriz de capacitancias . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Energ´ıa electrost´atica y matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Simetr´ıa de los Cij por argumentos de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales . . . . . . . . . . 3.6.3. Energ´ıa electrost´atica y capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Funciones de Green y ecuaci´ on de Poisson en electrost´ atica 4.1. Teoremas de Green en electrost´atica . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ecuaci´on de Green y potencial electrost´atico . . . . . . . . . . . . 4.3. Interpretaci´on de la funci´on de Green en electrost´atica . . . . . . 4.3.1. Un teorema sobre las funciones de Green . . . . . . . . . 4.3.2. C´alculo de funciones de Green unidimensionales . . . . . . 4.3.3. Un ejemplo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Problemas bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Combinaci´on de m´etodo directo con expansi´on ortonormal 4.4.2. M´etodo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Problema bidimensional semi-infinito . . . . . . . . . . . . 4.4.4. Funci´on de Green en coordenadas polares . . . . . . . . . 4.4.5. Funci´on de Green en tres dimensiones . . . . . . . . . . . 4.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. M´ etodo de im´ agenes 5.1. M´etodo de im´agenes y teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Carga frente a un plano equipotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. L´ınea de carga finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Carga puntual frente a una esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial . . . . 5.4. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada . . . . . . 5.5. Carga puntual en frente de un conductor esf´erico a potencial V . . . . 5.6. Esfera conductora colocada en campo el´ectrico uniforme . . . . . . . . 5.7. M´etodo de las im´agenes como problema inverso . . . . . . . . . . . . . 5.8. Energ´ıa interna electrost´atica usando el m´etodo de im´agenes . . . . . 5.8.1. Ejemplos de c´alculo de energ´ıa interna por m´etodo de im´agenes
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6. Funci´ on de Green y ecuaci´ on de Poisson en coordenadas esf´ ericas 6.1. Delta de Dirac en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Funci´on de Green en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Teorema de adici´on de arm´onicos esf´ericos . . . . . . . . . . . . 6.3. Esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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´INDICE GENERAL
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6.4. Funci´on de Green para exterior e interior de la esfera combinando im´agenes con autofunciones 127 6.5. Funci´on de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esf´ericos conc´entricos con G = 0 en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.5.1. Soluci´on general en el espacio entre dos cascarones esf´ericos . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.6. Disco cargado uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.7. Condici´on de frontera en esfera con varilla interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.8. Carga superficial en semic´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.9. Distribuci´on poligonal de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7. Funciones de Green en coordenadas cil´ındricas
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8. Multipolos el´ ectricos 8.1. Expansi´on multipolar del potencial electrost´atico . . . . . . . . . . . 8.1.1. Multipolos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2. Multipolos esf´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3. Ilustraci´on de los t´erminos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc. 8.1.4. Aproximaci´on dipolar para campos cercanos . . . . . . . . . . 8.1.5. Multipolos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.6. Multipolos de una esfera uniformemente cargada . . . . . . . 8.1.7. Esfera deformada con momento cuadrupolar . . . . . . . . . . 8.2. Expansi´on multipolar de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Expansi´on multipolar de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Expansi´on multipolar del torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9. Electrost´ atica de medios materiales 9.1. Polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. Materiales diel´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2. Momentos dipolares inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3. Momentos dipolares permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4. Materiales con momentos dipolares permanentes en campos el´ectricos externos 9.1.5. Definici´on del vector de polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Campo el´ectrico en el exterior de un diel´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. Interpretaci´on F´ısica de las cargas de polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Campo en el interior de un diel´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Ecuaciones de campo en presencia de diel´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Susceptibilidad el´ectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Condiciones de frontera en la interfase entre diel´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.1. Problema con interfase utilizando im´agenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Funci´on de Green para espacio infinito con semiespacios diel´ectricos . . . . . . . . . . 9.8. Esfera diel´ectrica de radio a colocada en diel´ectrico ∞. Carga puntual en r 0 > a. . . . 9.9. Energ´ıa potencial en presencia de diel´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9.1. Distribuci´on sobre esfera diel´ectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10. Energ´ıa de un diel´ectrico en un campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10.Magnetost´ atica 10.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Conservaci´on de la carga el´ectrica y ecuaci´on de continuidad . 10.3. Ecuaci´on de continuidad y r´egimen estacionario . . . . . . . . 10.4. Leyes de Ampere y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. Ecuaciones diferenciales de la magnetost´atica . . . . . . . . . 10.6. Invarianza Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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´INDICE GENERAL
vi 10.7. Rango de validez de la formulaci´on . . . . . . . . . 10.8. Formalismo de Green en magnetost´atica . . . . . . 10.8.1. Espira circular de corriente constante . . . 10.9. Multipolos magn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9.1. T´ermino cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . 10.9.2. Multipolos magn´eticos esf´ericos . . . . . . . 10.9.3. Dipolo magn´etico de una espira de corriente 10.9.4. Flujo de part´ıculas puntuales . . . . . . . . 10.10.Expansi´on multipolar de fuerza y torque . . . . . . 10.11.Promedio volum´etrico del campo magn´etico . . . . 10.12.Problemas resueltos de magnetost´atica . . . . . . .
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11.Magnetost´ atica de medios materiales 11.1. Magnetizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4. Consecuencias de la ausencia de monopolos magn´eticos 11.2. Campo generado por objetos magnetizados . . . . . . . . . . . 11.3. Interpretaci´on de las corrientes de magnetizaci´on . . . . . . . . 11.4. Campos magn´eticos en el interior de los materiales . . . . . . . 11.5. Ecuaciones de campo en medios magnetizables . . . . . . . . . 11.5.1. Condiciones de frontera en materiales magnetizables . . 11.5.2. C´alculo de potenciales y campos . . . . . . . . . . . . . 11.6. Problemas resueltos de magnetost´atica en medios materiales . .
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Campos el´ ectricos y magn´ eticos dependientes del tiempo
12.Ecuaciones de Maxwell 12.1. Ley de inducci´on de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1. Algunas sutilezas sobre el concepto de fuerza electromotriz 12.1.2. Fuerza de Lorentz y ley de inducci´on . . . . . . . . . . . . . 12.1.3. Forma diferencial de la ley de inducci´on de Faraday . . . . 12.1.4. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.5. Energ´ıa almacenada en el campo magn´etico . . . . . . . . . 12.2. Ecuaci´on de Ampere Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1. Forma integral de la cuarta ecuaci´on de Maxwell . . . . . . 12.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Potenciales A y φ, transformaciones gauge . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1. Gauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2. Gauge de Coulomb o transverso . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Ecuaciones de Maxwell en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.1. Corriente de Polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.Leyes de conservaci´ on 13.1. Conservaci´on de la energ´ıa: Teorema de Poynting . . . . . . 13.2. Conservaci´on del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Presi´on ejercida por el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Teorema de Poynting para vectores de campo complejos . . 13.4.1. Definici´on de impedancia en t´erminos de los campos
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223 223 227 228 229 230 231 232 234 235 236 237 238 239 239
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243 . 244 . 246 . 251 . 252 . 254
´INDICE GENERAL
vii
14.Soluciones de la ecuaci´ on de onda 14.1. Unicidad de la ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Soluci´on a la ecuaci´on de onda homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2. Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3. Soluci´on a la ecuaci´on de onda inhomog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1. Funci´on de Green para la ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . 14.3.2. Funci´on de Green y transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 14.3.3. Funci´on de Green para espacio tiempo infinito . . . . . . . . . . 14.3.4. Condici´on de radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5. Evaluaci´on de la funci´on de Green para la ecuaci´on de Helmholtz 14.3.6. Otra forma de evaluaci´on de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.7. Funci´on de Green para espacio infinito en coordenadas esf´ericas . 14.3.8. Expansi´on de una onda plana en arm´onicos esf´ericos . . . . . . . 14.3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.10.Ejercicio: carga puntual en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.11.Dipolo puntual oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4. Transformada de Fourier de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . .
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257 . 257 . 259 . 259 . 262 . 264 . 264 . 266 . 269 . 272 . 275 . 277 . 279 . 280 . 281 . 282 . 283 . 287
15.Ondas electromagn´ eticas planas 15.1. Caracter´ısticas b´asicas de una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1. Transporte de momento y energ´ıa en una onda plana . . . . . . . . . . . 15.1.2. Ondas planas con vector de onda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Polarizaci´on de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Reflexi´on y transmisi´on de ondas planas cuando se cambia de medio diel´ectrico 15.3.1. Reflexi´on y transmisi´on con incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.2. Reflexi´on y transmisi´on con incidencia obl´ıcua . . . . . . . . . . . . . . 15.3.3. Reflexi´on total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4. Absorci´on y dispersi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1. Ondas planas en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.2. Reflexi´on y transmisi´on en superficies met´alicas . . . . . . . . . . . . . . 15.5. Dispersi´on de ondas en un medio diel´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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289 . 289 . 291 . 292 . 295 . 297 . 297 . 300 . 304 . 305 . 305 . 309 . 310
16.Radiaci´ on 16.1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2. Ecuaciones de Jefimenko para los campos . . . . . . . . . . . . . . 16.3. Ecuaciones de Jefimenko en el formalismo de Green . . . . . . . . . 16.4. Potenciales generados por cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . 16.4.1. Potenciales de Li´enard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . 16.5. Campos el´ectrico y magn´etico asociados a cargas puntuales m´oviles 16.6. Radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7. Radiaci´on de dipolo el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.8. Radiaci´on de dipolo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.9. Radiaci´on generada por un distribuci´on arbitraria . . . . . . . . . . 16.10.Radiaci´on de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.10.1.Radiaci´on de Frenado (bremsstrahlung) . . . . . . . . . . . 16.10.2.Radiaci´on de Ciclotr´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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313 313 315 317 319 319 323 326 327 331 333 336 339 341
viii
´INDICE GENERAL
17.Relatividad especial 17.1. Propiedades de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2. Transformaciones de Lorentz usando espacios de Riemann de cuatro dimensiones 17.3. Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 17.4. Fuerza y energ´ıa en relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5. Formulaci´on Lagrangiana de la mec´anica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1. Formulaci´on no manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . .
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18.Electrodin´ amica y relatividad 18.1. Ecuaciones de Maxwell en forma manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2. Fuerza de Lorentz en forma tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3. Pruebas de consistencia de la formulaci´on covariante de Maxwell (opcional) . . . . . . . . 18.4. Ecuaciones de onda e invarianza gauge en notaci´on tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5. Conservaci´on de momento y energ´ıa del campo electromagn´etico: tensor momento energ´ıa 18.6. Conservaci´on del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7. Aplicaciones de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7.1. Cuadrivectores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Teoremas de unicidad de la ecuaci´ on de Poisson
343 343 351 354 360 365 365
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373 . 374 . 375 . 376 . 376 . 377 . 378 . 380 . 380 . 380 . 381 383
B. Coeficientes de capacitancia 387 B.1. Pruebas de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 B.2. Derivaci´on alternativa de (3.12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 C. Multipolos el´ ectricos 389 C.1. C´alculo del campo generado por un dipolo puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 C.2. Integral volum´etrica del campo sobre una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 D. Ondas planas 395 D.1. Incidencia obl´ıcua de onda plana perpendicular al plano de incidencia . . . . . . . . . . . . . 395
Preface This is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX field at the beginning of this paragraph sets the correct page heading for the Preface portion of the document. The preface does not appear in the table of contents.
ix
x
PREFACE
Introduction ????????????????????
xi
xii
INTRODUCTION
Parte I
Campos el´ ectricos y magn´ eticos independientes del tiempo
1
Cap´ıtulo 1
Electrost´ atica 1.1.
Ley de Coulomb y campo el´ ectrico
La interacci´on el´ectrica se obtuvo inicialmente por frotamiento. Experimentalmente se encuentra que si tenemos dos cuerpos electrizados a distancias muchos mayores que sus dimensiones entonces La fuerza es proporcional al producto de las cargas. Dicha fuerza es central, es decir act´ ua a lo largo de la l´ınea que une las cargas. F es proporcional a 1/r 2 siendo r la distancia que separa las cargas. Solo hay dos tipos de electrizaci´on, part´ıculas con electrizaciones semejantes se repelen en tanto que si ellas tienen electrizaciones diferentes se atraen. Esto puede verse f´acilmente con experimentos de frotaci´on. Convencionalmente se llam´o positiva a la electrizaci´on que adquiere el vidrio frotado y negativa a la electrizaci´on que adquiere el a´mbar frotado. Cuando tenemos una distribuci´on de cargas que act´ uan sobre una carga peque˜ na, la fuerza y campo totales obedecen el principio de superposici´on. Este principio de superposici´on se puede extrapolar cuando tenemos distribuciones cont´ınuas de carga.
1.1.1.
Ley de Coulomb
La fuerza que una carga puntual q1 ejerce sobre la carga q2 viene dada por Fq1 →q2 = Kc
q1 q2 (r2 − r1 ) |r2 − r1 |3
donde r1 , r2 son las posiciones de las cargas con respecto a alg´ un sistema de referencia inercial, y K c es una constante universal de proporcionalidad. En principio, todo el contenido F´ısico de la electrost´atica yace en la ley de Coulomb y el principio de superposici´on. La escogencia de la constante de proporcionalidad determina la unidad de carga. N´otese que la ley de Coulomb nos fija las dimensiones del producto K c q1 q2 pero no de las cantidades Kc y q por aparte, por esta raz´on es posible fijar las dimensiones de K c para obtener en consecuencia las dimensiones de q, o por otro lado fijar las unidades de q (como unidades independientes de las unidades b´asicas de longitud tiempo y masa) con lo cual quedar´ıan fijadas las unidades de K c . Esto nos lleva a dos tipos de unidades que son las mas com´ unmente usadas Unidades electrost´aticas (e.s.u): Basado en el sistema c.g.s. En este sistema fijamos las unidades de Kc eligiendo Kc = 1 (adimensional) de modo que la carga queda con dimensiones de cm 3/2 g 1/2 s−1 . 3
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA
4
A la cantidad q = 1cm3/2 g 1/2 s−1 lo denominamos una unidad electrost´atica o statcoulomb. En este sistema de unidades, q = 1 cuando ejerce una fuerza de una dina sobre otra carga id´entica colocada a un cent´ımetro. MKSA o sistema internacional SI: Este sistema fija a la carga como unidad independiente (coulombio) en cuyo caso la constante Kc queda con unidades definidas. Se define a su vez la constante K c = 1/ (4πε0 ) con ε0 = 8,85 × 10−12 C 2 /N m2 . q = 1coulomb cuando dos cargas id´enticas separadas un 1 metro experimentan una fuerza mutua de 4πε N ewtons. 1Coul = 3 × 109 Statcoul. 0 Las cargas son cantidades algebraicas reales positivas o negativas. La ley de Coulomb obedece autom´aticamente la ley de acci´on y reacci´on. Por otra parte, si asumimos que la Mec´anica Newtoniana es una descripci´on adecuada de la naturaleza, el principio de superposici´on est´a contenido en la segunda ley de Newton, de tal forma que la ley de Coulomb se puede ver como un caso particular de fuerza que al obedecer la segunda ley debe cumplir el principio de superposici´on. Efectivamente, en el dominio de la mec´anica cl´asica el principio de superposici´on est´a bien soportado a trav´es de diversas pruebas experimentales 1 . No obstante, en los dominios de la mec´anica cu´antica, se pueden observar peque˜ nas desviaciones debidas a procesos como la dispersi´on luz por luz y la polarizaci´on del vac´ıo. De igual forma, existe una fuerte base experimental para la ley del inverso cuadrado tanto en el dominio microsc´opico como en el macrosc´opico. La ley de Coulomb tambi´en puede pensarse como la interacci´on de q 2 con el campo generado por q1 . F 2 −r1 ) 2 Definimos E1 ≡ q1q→q = Kc|rq1 (r de modo que F2 = q2 E1 . El campo as´ı definido solo depende de la 3 2 2 −r1 | fuente y no de la carga de prueba. An´alogamente, se puede definir el campo generado por q 2 . El campo es un vector y satisface el principio de superposici´on, el cual es herencia directa del mismo principio aplicado a las fuerzas. Si una part´ıcula est´a ubicada en alguna posici´on dada por r 0 (respecto a alg´ un sistema de referencia inercial) entonces el campo el´ectrico generado por ´esta, evaluado en alguna posici´on r viene dado por q (r − r0 ) E (r) = Kc |r − r0 |3 este campo es central y por tanto conservativo. Cuando tenemos una distribuci´on de carga se usa el principio de superposici´on para calcular el campo generado por dicha distribuci´on en cualquier punto del espacio. Experimentalmente, el campo el´ectrico en una posici´on r se mide colocando una carga de prueba q 0 en r y midiendo la fuerza que dicha carga experimenta. Formalmente la medici´on del campo requiere tomar el l´ımite cuando la carga de prueba es arbitrariamente peque˜ na E = l´0ım
q →0
F q0
con el fin de asumir que q 0 no altera la distribuci´on de carga original al aproximarse a tal distribuci´on. Esta definici´on formal de campo no se puede aplicar con todo rigor en la realidad F´ısica, puesto que no podemos tener hasta el momento, valores de carga menores que la carga electr´onica. No obstante, la carga electr´onica es muy peque˜ na cuando tratamos fen´omenos macrosc´opicos y la ecuaci´on anterior nos da una buena descripci´on de la realidad. Pasando la carga a multiplicar queda F = q0E esta ecuaci´on se puede tomar como definici´on alternativa de campo, y tiene la ventaja de independizar el campo de sus fuentes. Si para dos distribuciones de carga diferentes el campo es el mismo en un determinado punto, la fuerza que experimenta una carga de prueba en dicho punto ser´a la misma aunque las fuentes de cada campo sean muy distintas. Aunque esta redefinici´on parece a priori trivial, nos ser´a de gran utilidad cuando estudiemos la generaci´on de campos el´ectricos que no dependen de fuentes. 1
N´ otese que el principio de superposici´ on depende fuertemente de la naturaleza aditiva de las cargas.
´ 1.1. LEY DE COULOMB Y CAMPO ELECTRICO
1.1.2.
5
Distribuciones de carga
El descubrimiento de la estructura at´omica de la materia nos enfrenta con distribuciones de carga de naturaleza granular, que en muchas circunstancias se puede aproximar razonablemente a cargas puntuales. Incluso en el caso macrosc´opico, cuando la distribuci´on de carga est´a confinada a un tama˜ no mucho menor que las distancias de inter´es, la aproximaci´on de carga puntual nos da una buena descripci´on de la mayor´ıa de fen´omenos el´ectricos. Por otra parte, cuando tenemos distribuciones macrosc´opicas con una gran cantidad de a´tomos y queremos tener en cuenta los efectos que produce la extensi´on de dicha distribuci´on, es u ´ til considerar que la densidad de carga es una funci´on cont´ınua de las tres dimensiones espaciales. En consecuencia el campo el´ectrico se puede modelar en t´erminos de distribuciones de carga cont´ınuas o discretas Discretas E (r) = Kc
n X qi (r − ri ) i=1
Cont´ınuas E (r) = Kc
Z
|r − ri |3
dq (r0 ) (r − r0 ) |r − r0 |3
Las distribuciones cont´ınuas pueden ser lineales λ, superficiales σ, o volum´etricas ρ. Tambi´en es posible tener densidades mixtas.
1.1.3.
Funci´ on delta de Dirac
Como veremos a continuaci´on la funci´on delta de Dirac es un excelente instrumento para convertir densidades puntuales, lineales y superficiales, en densidades volum´etricas equivalentes. Esto tiene un gran inter´es ya que la ecuaci´on de Poisson es para densidades volum´etricas y no posee an´alogo en menores dimensiones, puesto que dicha ecuaci´on proviene del teorema de la divergencia el cual no tiene an´alogo en dimensiones menores a tres. Es importante enfatizar que la funci´on delta de Dirac mas que una funci´on es una distribuci´on. En el lenguaje del an´alisis funcional, es una uno-forma que act´ ua en espacios vectoriales de funciones, asign´andole a cada elemento del espacio, un n´ umero real de la siguiente forma: Sea V el espacio vectorial de las funciones definidas en el dominio (b, c) con ciertas propiedades de continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc. La distribuci´on delta de Dirac es un mapeo que asigna a cada elemento f (x) de V un n´ umero real con el siguiente algoritmo 2 Z c f (a) si a ∈ (b, c) f (x) δ (x − a) dx = 0 si a ∈ / [b, c] b Con esta distribuci´on es posible escribir una densidad de carga puntual (ubicada en r 0 ) como una densidad volum´etrica equivalente ρ (r) = qδ r0 − r0 (1.1)
esta densidad reproduce adecuadamente tanto la carga total como el potencial que genera Z Z 0 0 q = ρ r dV = q δ r0 − r0 d3 r 0 Z Z Z dq (r0 ) ρ (r0 ) 3 0 q δ (r0 − r0 ) 3 0 φ (r) = Kc = K d r = K d r c c |r − r0 | |r − r0 | |r − r0 | Kc q φ (r) = |r − r0 |
(1.2)
R ∞ si r = 0 y δ (x) dx = 1. Esta definici´ on se basa en 0 si r 6= 0 una concepci´ on err´ onea de la distribuci´ on delta de Dirac como una funci´ on. A pesar de ello, hablaremos de ahora en adelante de la funci´ on delta de Dirac para estar acorde con la literatura. 2
Es usual definir la “funci´ on” delta de Dirac como δ (r) =
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA
6
finalmente, es inmediato ver que el campo el´ectrico tambi´en se reproduce adecuadamente. Hay varias sucesiones de distribuciones que convergen a la funci´on Delta de Dirac (para mas detalles ver M´etodos matem´aticos de Gabriel T´ellez Acosta ediciones UniAndes) una de las mas utilizadas es la sucesi´on definida por 2 n 2 fn (x − a) = √ e−n (x−a) π se puede demostrar que al tomar el l´ımite cuando n → ∞ se reproduce la definici´on y todas las propiedades b´asicas de la distribuci´on delta de Dirac. N´otese que todas las distribuciones gaussianas contenidas en esta sucesi´on tienen a´rea unidad y est´an centradas en a. De otra parte, a medida que aumenta n las campanas gaussianas se vuelven m´as agudas y m´as altas a fin de conservar el a´rea, para valores n suficientemente altos, el a´rea se concentra en una vecindad cada vez m´as peque˜ na alrededor de a. En el l´ımite cuando n → ∞, toda el a´rea se concentra en un intervalo arbitrariamente peque˜ no alrededor de a. Algunas propiedades b´asicas son las siguientes:
2.
R∞
3.
δ (ax) =
4.
δ (r − r0 ) = δ (r0 − r)
5.
xδ (x) = 0 δ x2 − e 2 =
1.
6.
−∞ δ (x
R∞
−∞ f
− a) dx = 1
(x) ∇δ (r − r0 ) dV = − ∇f |r=r0 1 |a| δ (x)
1 2|e|
[δ (x + e) + δ (x − e)]
Vale enfatizar que debido a su naturaleza de distribuci´on, la funci´on delta de Dirac no tiene sentido 1 por s´ı sola, sino u ´ nicamente dentro de una integral. Por ejemplo cuando decimos que δ (ax) = |a| δ (x), no estamos hablando de una coincidencia num´erica entre ambos miembros, sino de una identidad que se debe aplicar al espacio vectorial de funciones en que estemos trabajando, es decir Z c Z c 1 f (x) δ (ax) dx = f (x) δ (x) dx ∀ f (x) ∈ V y ∀ a ∈ R |a| b b Estrictamente, el mapeo tambi´en se puede hacer sobre los n´ umeros complejos con propiedades an´alogas. En este mismo esp´ıritu, es necesario aclarar que la densidad volum´etrica equivalente de una carga puntual (y todas las densidades equivalentes que nos encontremos de aqu´ı en adelante) es realmente una distribuci´on. Por ejemplo, la densidad descrita por (1.1), solo tiene realmente sentido dentro de integrales tales como las expresadas en (1.2). Las densidades ordinarias son funciones, pero las densidades equivalentes son distribuciones. En s´ıntesis, lo que se construye con la densidad volum´etrica equivalente es una distribuci´on que me produzca el mapeo adecuado para reproducir la carga total y el potencial 3 . En m´as de dimensi´on la delta se convierte simplemente en productos de deltas unidimensionales, R una (n) la propiedad δ (x) dn x = 1, aplicada a n dimensiones, nos dice que la delta no es adimensional, sus dimensiones son de x−n .
1.2.
Ley de Gauss
La ley de Coulomb junto con el principio de superposici´on conducen a una forma integral muy u ´ til conocida como ley de Gauss. La ley de Gauss en su forma integral, es u ´ til cuando queremos evaluar E en una distribuci´on de cargas con cierta simetr´ıa, o cuando queremos evaluar la carga total encerrada en cierto 3 Estos dos mapeos se definen en el espacios de las funciones q (r0 ) y q (r0 ) / |r − r0 | en el caso de cargas puntuales. Para cargas lineales ser´ıan en el espacio de funciones λ (x) y λ (x) / |r − r0 |.
7
1.2. LEY DE GAUSS
volumen. Finalmente, la forma integral nos conduce a una forma diferencial con la cual se pueden abordar casos m´as generales. De acuerdo con la figura ???, dado un origen de coordenadas O y un punto donde se ubica la carga O 0 podemos construir un diferencial de flujo en la vecindad de la posici´on definida por el vector r. El campo electrost´atico viene dado por E (r) = Kc
q (r − r0 ) |r − r0 |3
y el flujo de un campo E (r) sobre un diferencial de superficie dS centrada en r est´a dado por E (r) · dS (r) = Kc
q (r − r0 ) · dS (r) |r − r0 |3
donde r0 define la posici´on de la carga que genera el campo (con respecto a O). Integrando sobre una superficie cerrada, se obtiene I I (r − r0 ) · dS (r) E (r) · dS (r) = Kc q |r − r0 |3 es bien conocido que el integrando del miembro derecho define el diferencial de a´ngulo s´olido subtendido por el a´rea dS tomando como v´ertice el punto O 0 I I (r − r0 ) · dS (r) = dΩ (1.3) |r − r0 |3 donde
con lo cual resulta
I
dΩ =
4π si O 0 est´ a dentro de la superf icie cerrada 0 si O 0 est´ a f uera de la superf icie cerrada I
E (r) · dS (r) = Kc q
I
(1.4)
dΩ
y teniendo en cuenta (1.4), este resultado se puede expresar de manera equivalente as´ı I Z a dentro 1 si O 0 est´ 0 E · dS = 4πKc q δ r − r dV = 4πKc q 0 si O 0 est´ a f uera
apelando al principio de superposici´on esta ley se puede aplicar a cualquier distribuci´on de cargas. Para el flujo de campo solo contribuye la carga neta que est´a adentro (suma algebraica de cargas). Obs´ervese que la ley de Gauss se basa en tres suposiciones fundamentales a) La ley del inverso cuadrado del campo de cargas puntuales, b) el principio de superposici´on, c) la naturaleza central de la fuerza. La expresi´on (1.3) para el a´ngulo s´olido nos permitir´a desarrollar una importante identidad que ser´a de uso frecuente en nuestros desarrollos, calculemos la divergencia del gradiente de la funci´on |r − r 0 |−1 1 1 2 ∇· ∇ ≡∇ |r − r0 | |r − r0 |
el operador ∇ se refiere a las coordenadas no primadas. Haciendo el cambio de variable ¯ r = r − r 0 y teniendo en cuenta que ∇¯r = ∇ tenemos que 1 2 2 1 ∇ = ∇¯r |r − r0 | r¯ esto es equivalente a redefinir el origen en r 0 = 0. Olvidemos la notaci´on r¯ y calculemos expl´ıcitamente esta cantidad para r 6= 0; en tal caso escribiendo el operador laplaciano en coordenadas esf´ericas vemos que solo aparece la derivada con respecto a la coordenada r debido a la simetr´ıa esf´erica de 1/r 1 ∂2 1 2 1 ∇ = r =0 2 r r ∂r r
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA
8
pero para r = 0 esta expresi´on est´a indeterminada. No obstante, veremos el comportamiento de esta expresi´on bajo una integral de volumen en una cierta vecindad de r = 0 Z
V
∇2
1 dV r
I 1 1 ∇· ∇ dV = ∇ · n dS r r I h I ri = − 3 · dS = − dΩ = −4π r Z
=
(1.5)
donde hemos aplicado el teorema de Gauss y la Ec. (1.3). Vemos entonces que ∇ 2 1r = 0 para r 6= 0 en tanto que su integral en un volumen que contiene a r = 0 es 4π, reasignando r → r − r 0 resulta entonces que Z
V
∇
2
1 |r − r0 |
dV = −4π
1 si el volumen incluye al punto r0 0 si el volumen no incluye a r0
(1.6)
n´otese que en (1.5) hemos usado el teorema de Gauss a pesar de que la funci´ on no es bien comportada en −1 2 0 el volumen en cuesti´on, esto es inconsistente si tomamos a ∇ |r − r | como una funci´on ordinaria. Lo que realmente estamos haciendo es considerando a ∇ 2 |r − r0 |−1 como una distribuci´on y encontrando cual es el mapeo que nos permite asignar un valor a la integral de volumen de modo que nos permita usar el teorema de Gauss. Notemos que precisamente la Ec. (1.6) emula la propiedad fundamental de la delta de Dirac en tres dimensiones de modo que ∇
2
1 |r − r0 |
= −4πδ r − r0
(1.7)
esta identidad ser´a de uso muy frecuente.
1.2.1.
Ley de Gauss en forma diferencial
Partiendo de la ley de Gauss, escribimos la carga total como una integraci´on volum´etrica de la densidad I
E · dS = 4πKc q = 4πKc
Z
ρ (r) dV
esto siempre es posible incluso si la densidad es lineal, superficial o puntual, ya que podemos constru´ır una densidad volum´etrica equivalente, como veremos m´as adelante. Por otro lado el teorema de la divergencia nos dice que I Z E · dS = (∇ · E) dV comparando las integrales de volumen Z
(∇ · E) dV = 4πKc
Z
ρ (r) dV
al ser esto v´alido para un volumen arbitrario en forma y tama˜ no se tiene ∇ · E = 4πKc ρ (r) Esta ecuaci´on es v´alida para cualquier distribuci´on est´ atica de cargas, y me dice que las cargas positivas (negativas) son fuentes (sumideros) de l´ıneas de campo el´ectrico. Sin embargo, veremos m´as adelante que esta ecuaci´on se extrapola al caso de campos dependientes del tiempo.
9
1.2. LEY DE GAUSS
1.2.2.
Potencial electrost´ atico
El campo el´ectrico generado por una carga puntual est´atica es conservativo en virtud de su naturaleza central y de su independencia temporal. Por otro lado, la superposici´on de campos conservativos genera otro campo tambi´en conservativo, de lo cual se sigue que cualquier campo el´ectrico generado por una distribuci´on est´atica de cargas (cont´ınuas o discretas) es conservativo. Matem´aticamente, un campo conservativo se puede escribir como E = −∇φ, siendo φ una funci´on escalar. La funci´on escalar asociada al campo el´ectrico se conoce como potencial Por otro lado, si recordamos que F = qE para una carga de prueba q, resulta que la fuerza F sobre la carga de prueba es conservativa y se le asocia una energ´ıa potencial F = −∇E p . De esto se deduce que φ = Ep /q de modo que el potencial es la energ´ıa potencial por unidad de carga generada por cierta distribuci´on. El hecho de que el potencial sea una cantidad escalar con la misma informaci´on F´ısica del campo, es una ventaja operativa, pero tambi´en surge la pregunta ¿como un objeto con un solo grado de libertad puede contener la misma informaci´on que uno de tres grados de libertad?, la respuesta es que las componentes del campo el´ectrico no son realmente independientes, puesto que ∇ × E = 0, nos brinda tres ecuaciones diferenciales para las componentes de dicho campo 4 . Cabe mencionar que el potencial obedece a un principio de superposici´on, heredado del campo. Finalmente, es importante tener en cuenta que existe una arbitrariedad en la definici´on del potencial, para lo cual es necesario fijar el punto del espacio en el cual definimos el potencial cero. Esto no es ninguna contradicci´on ya que el potencial no es un observable f´ısico como veremos m´as adelante, el observable es la diferencia de potencial. Escribamos el campo el´ectrico para una distribuci´on arbitraria de cargas Z dq (r0 ) (r − r0 ) E (r) = Kc |r − r0 |3 V´alido para distribuci´on cont´ınua. Usando
−∇
1 |r − r0 |
el campo queda E (r) = −Kc
Z
=
dq r
0
r − r0
(1.8)
|r − r0 |3 ∇
1 |r − r0 |
y como ∇ opera sobre la variable r pero no sobre r 0 , puede salir de la integral Z dq (r0 ) E (r) = −∇ Kc |r − r0 | Definiendo E = −∇φ (r)
φ (r) ≡ Kc
;
Z
dq (r0 ) |r − r0 |
(1.9)
y φ (r) es el potencial escalar electrost´atico 5 . En esta ecuaci´on podemos tomar ∇2 a ambos lados Z Z 2 dq (r0 ) 1 0 = K dq r ∇ ∇2 φ (r) ≡ Kc ∇2 c |r − r0 | |r − r0 | usando la identidad (1.7)
∇ 4
2
1 |r − r0 |
= −4πδ r − r0
(1.10)
Es importante enfatizar que a´ un quedan grados de libertad, gracias a que estas tres ecuaciones son ecuaciones diferenciales de primer orden (estos grados de libertad se traducen en el potencial y en la arbitrariedad para definirlo). Si las ecuaciones solo involucraran a los campos en s´ı, no quedar´ıa ning´ un grado de libertad. 5 Esta expresi´ on para el potencial depende de que se defina el cero de potencial en el infinito. Por esta raz´ on, la forma integral t´ıpica del potencial puede diverger cuando se trabajan distribuciones de carga no localizadas.
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA
10 queda 2
∇ φ (r) = −4πKc Con lo cual queda
Z
dq r
0
0
δ r − r = −4πKc
Z
ρ r0 δ r − r0 dV 0 = −4πKc ρ (r)
∇2 φ (r) = −4πKc ρ (r)
(1.11)
Conocida como la ecuaci´on de Poisson para el potencial escalar. Esta ecuaci´on tambi´en se puede obtener de la ley de Gauss en forma diferencial junto con la conservatividad del campo ∇ · E = 4πKc ρ (r) ⇒ ∇ · (−∇φ) = 4πKc ρ (r) ⇒ ∇2 φ (r) = −4πKc ρ (r) Para un conjunto de cargas puntuales q i ubicadas en las posiciones ri , se puede definir una densidad volum´etrica equivalente que me permite usar la formulaci´on en el cont´ınuo, tal distribuci´on equivalente se describe por N X ρ r0 = qi δ r0 −ri i=1
Demostremos que el ρ equivalente para una distribuci´on discreta nos da el potencial correcto Z X Z δ (r0 −ri ) X qi ρ (r0 ) 0 qi dV = Kc dV 0 = Kc φ (r) = Kc 0 0 |r − r | |r − r | |r − ri | i
i
por otro lado ∇ × E = −∇ × (∇φ) = 0
(1.12)
ya que el rotacional del gradiente de una funci´on escalar bien comportada es siempre cero. Esta es otra forma equivalente de ver la conservatividad del campo, todos los campos conservativos son irrotacionales y viceversa (siempre y cuando el campo dependa exclusivamente de la posici´on). Ahora usando el teorema de Stokes Z I (∇ × E) · dS = E · dl = 0 S
C
donde S es cualquier superficie delimitada por el lazo cerrado C. Vemos entonces que toda integral de l´ınea cerrada del campo electrost´atico es cero. Ahora sean dos caminos que pasan por los mismos puntos A y B ⇒ I Z B Z A E · dl = E · dl + E · dl = 0 ⇒
de lo cual se deduce que
Z
B
A
Z
A B A
E · dl
E · dl
= C1
C1
C1
Z
−
B
A
Z
B B A
C2
E · dl
E · dl
=0
C2
C2
y como los puntos A y B son arbitrarios (en virtud de la arbitrariedad de los lazos cerrados originales), se deduce que la integral de l´ınea del campo el´ectrico es independiente del camino y solo depende de los extremos, es entonces un campo conservativo. Hay que tener especial cuidado con los campos mal comportados. Como ejemplo, sea F (r) = (A/r) u θ , una fuerza restringida a dos dimensiones. El diferencial de trabajo es dW = F · dr = (A/r) uθ · (dr ur + r dθ uθ ) = (A/r) r dθ calculemos el trabajo para varias trayectorias 1) Trayectoria cuyos vectores posici´on inicial y final est´an a un a´ngulo θ 1 y θ2 respectivamente Z W = Adθ = A (θ2 − θ1 )
11
1.2. LEY DE GAUSS independiente de la trayectoria, solo importan los extremos e incluso solo el a´ngulo (no la distancia) 2) Trayectoria cerrada que no encierra al origen Z r2 Z r1 W = A dθ + A dθ = 0 r1
r2
da cero independiente de la forma espec´ıfica de la trayectoria (siempre que no incluya el origen) 3) Trayectoria cerrada que encierra al origen W =
Z
0
2π
A dθ = 2πA 6= 0
Luego la fuerza no es conservativa, la cuesti´on es que ∇ × F = 0 en todo el espacio excepto en el origen, de modo que un camino cerrado que contenga al origen no da necesariamente cero. Se puede probar que un campo central de la forma E (r) = E (ρ) u ρ con ρ en coordenadas esf´ericas es conservativo si E (ρ) es una funci´on bien comportada. Se puede calcular el rotacional de este campo y verificar que es cero en todo el espacio. De especial inter´es son los campos de la forma Z df (r0 ) (r − r0 ) M (r) = k n = real |r − r0 |n+1 Se puede verificar que ∇ × M = 0, y el potencial asociado se puede encontrar teniendo en cuenta que ( 1 1 (r − r0 ) si n 6= 1 ∇ n−1 |r−r0 |n−1 = n+1 |r − r0 | ∇ ln |r − r0 | si n = 1
1.2.3.
Potencial y trabajo
La colecci´on de todos los puntos con el mismo potencial forman las llamadas superficies equipotenciales. Como E = −∇φ, las l´ıneas de campo son perpendiculares a tales superficies, y el campo va en la direcci´on en la cual el potencial disminuye, veamos el sentido F´ısico del potencial: consideremos el trabajo realizado sobre una carga q puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de un campo el´ectrico Z b Z b Z b Wa→b = Fext · dr = −q E · dr = q ∇φ · dr a a a Z b Wa→b = q dφ = q [φ (b) − φ (a)] a
el signo menos proviene del hecho de que la fuerza se hace opuesta al campo. Dividiendo por la carga Wa→b = φ (b) − φ (a) = − q
Z
a
b
E · dr
De modo que la diferencia de potencial asociada al campo E es el trabajo realizado sobre una carga unidad q puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de dicho campo el´ectrico. Es importante mencionar que el trabajo solo depende de la diferencia de potencial y que E = −∇φ deja una constante arbitraria por definir en el potencial. φ 0 = φ + c describe la misma F´ısica que φ. Esto se llama una transformaci´on Gauge o de calibraci´on (transformaci´on del campo). El campo y el trabajo son invariantes Gauge. La forma m´as general del potencial es entonces Z ρ (r0 ) dV 0 φ (r) = Kc + φ0 |r − r0 |
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA
12
Para fijar la constante escojemos un punto de referencia para definir el cero de potencial. Tomemos el ejemplo de la carga puntual; en coordenadas polares tenemos: Z
a
b
Z
b
1 E · dr = Kc Q u · (dr ur + rdθ uθ ) = Kc 2 r a r 1 1 = Kc Q − = φ (a) − φ (b) ra rb
de modo que φ (a) = Kc Q
1 1 − ra rb
Z
b a
Q Q b dr = −Kc r2 r a
+ φ (b)
si hacemos ra = r, rb → ∞ tenemos que φ (r) =
Kc Q + φ (∞) r
la escogencia φ (∞) = 0 siempre es posible en distribuciones localizadas de carga, pues estas se ven de lejos siempre como puntuales. Cuando hay distribuciones de carga no localizadas como en el caso de un alambre infinito, la escogencia del cero de potencial en el infinito conduce por lo general a divergencias. Discusi´ on: En general s´ı es posible definir el cero de potencial en un punto en el infinito incluso cuando la carga no est´a localizada. Sin embargo, en tal caso no es correcto definir el potencial cero cuando r → ∞ (r distancia del punto a un origen de coordenadas). La raz´on para ello es que r → ∞ no define un punto sino una superficie, y no debemos perder de vista que el potencial debe ser fijado en un punto y no en una superficie. La pregunta natural es ¿porqu´e la definici´on del cero de potencial en r → ∞ es v´alida para distribuciones localizadas?, la respuesta radica en el hecho de que para distancias suficientemente grandes, la distribuci´on se puede ver como una carga puntual, esto significa que para una esfera suficientemente grande y “centrada” en la distribuci´on, la superficie de dicha esfera es equipotencial, de modo que definir cero el potencial en un punto de su superficie equivale a definirlo cero en todos los puntos de la superficie. Cuando la distribuci´on no es localizada, no podemos verla como puntual, incluso alej´andonos indefinidamente, por tanto esta enorme esfera no define una superficie equipotencial. Veamos el ejemplo espec´ıfico de un alambre infinito, si r i define la distancia del punto Pi al alambre, tenemos que Z P2 φ21 = − E · dS = −2λ ln r2 + 2λ ln r1 = −2λ ln r + const P1
Escogemos φ (a) = 0 con a arbitrario (a 6= 0, a 6= ∞). Si elegimos el cero de potencial en un punto espec´ıfico en el infinito (por ejemplo el punto (0, 0, z → ∞)), vamos a obtener potenciales infinitos en todo el espacio. Sin embargo, las diferencias de potencial (que son los verdaderos observables f´ısicos) van a continuar siendo finitas. Hay que tener en cuenta sin embargo que las distribuciones reales son localizadas.
1.3.
Energ´ıa potencial electrost´ atica
Dado el car´acter conservativo del campo electrost´atico, el trabajo realizado para traer una carga desde a hasta b en un potencial externo φ (r) es Wa→b = −q
Z
a
b
E · d~l = q [φ (b) − φ (a)]
De esta manera podemos asociar una energ´ıa potencial a una carga q, en cada punto r del espacio, y ser´a equivalente al trabajo necesario para mover la carga desde un punto de referencia donde el potencial
´ 1.3. ENERG´IA POTENCIAL ELECTROSTATICA
13
es cero hasta el punto r en cuesti´on 6 . Para distribuciones localizadas de carga es usual definir el cero de potencial en el infinito, en tal caso W∞→r = qφ (r) = U (r) = energ´ıa potencial asociada a la carga q Calculemos ahora el trabajo necesario para formar una distribuci´on est´atica de cargas puntuales. Para estimar este trabajo podemos razonar del siguiente modo: El trabajo necesario para traer la primera carga es cero, ya que no hay fuerzas ni campos a los cuales oponerse, de modo que el trabajo necesario para traer la primera carga (denotado por W 1 ) es nulo. Al traer la segunda carga desde el infinito ´esta ya se mueve en el campo generado por la primera, y como la primera carga genera un potencial φ 1 (r) entonces el trabajo para traer la segunda carga desde el infinito hasta una cierta posici´on r 2 es q1 q2 W2 = q 2 φ1 = K c r12 an´alogamente, la tercera carga se mueve en el campo generado por las dos primeras q1 q2 q1 q3 q2 q3 W3 = q3 (φ1 + φ2 ) = Kc q3 + = Kc + r13 r23 r13 r23 si el sistema solo consta de tres cargas el trabajo total es q1 q2 q1 q3 q2 q3 + + WT = W 1 + W 2 + W 3 = K c r12 r13 r23 esto sugiere que para n cargas la expresi´on sea WT =
n−1 n XX i=1 k>i
Kc qi qk rik
se sugiere al lector demostrar la anterior expresi´on por inducci´on matem´atica. Tambi´en se deja al lector la tarea de demostrar que este trabajo total coincide con el valor de la energ´ıa potencial interna del sistema Uint , es decir la energ´ıa potencial asociada con las fuerzas internas. Esta expresi´on se puede escribir como n
WT = Uint =
n
1 X X Kc qi qk 2 rik
(1.13)
i=1 k6=i
donde el factor 1/2 se coloca debido al doble conteo de t´erminos, adem´as k 6= i lo cual implica que una part´ıcula no interact´ ua consigo misma. Por otro lado, si tenemos en cuenta que φi =
n X Kc qk k6=i
rik
donde φi es el potencial asociado a la carga q i debido a su interacci´on con las otras cargas. La energ´ıa interna se puede escribir como n 1X Uint = qi φi (1.14) 2 i=1
Esta expresi´on no contiene la autoenerg´ıa asociada a cada carga individual, pues asume que las cargas ya est´an armadas, esto se v´e en el hecho de que φ i es el potencial debido a todas las cargas excepto la i − e´sima. Solo contiene los t´erminos debidos a la interacci´on entre las cargas. Estas autoenerg´ıas son divergentes pero se pueden renormalizar. Como veremos m´as adelante, cuando asumimos distribuciones cont´ınuas de cargas estos t´erminos de autoenerg´ıa aparecen en la formulaci´on sin dar divergencias (siempre y cuando la densidad sea finita en todo el espacio). 6
Esto es an´ alogo a la energ´ıa potencial asociada a una part´ıcula en un campo gravitatorio. Cuando estamos en un campo gravitatorio constante la energ´ıa potencial es mgh donde h = 0 se define por ejemplo en el suelo. Esta energ´ıa potencial es justamente el trabajo necesario para que una part´ıcula de masa m se traslade desde el cero de potencial hasta un punto con altura h.
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA
14
1.3.1.
Distribuciones cont´ınuas de carga
Formaremos la distribuci´on volum´etrica trayendo elementos diferenciales de carga desde el infinito. La naturaleza conservativa de las interacciones electrost´aticas nos garantiza que la energ´ıa total final de la distribuci´on es independiente del orden en que se traigan las cargas (de lo contrario esta cantidad no tendr´ıa ning´ un significado intr´ınseco). Pensemos que queremos concentrarnos en armar la carga que finalmente quedar´a en un volumen dV (r), denotemos el valor final de la densidad asociada a dV (r) como ρ (r). Supongamos que en cierta etapa del proceso hemos acumulado una carga dq 0 en el volumen dV (r), por lo tanto se tiene que dq 0 = ρ0 (r) dV (r) de modo que ρ0 (r) es la densidad de carga en r en esta etapa del proceso. Parametricemos ρ 0 (r) = αρ (r) donde 0 ≤ α ≤ 1. Si asumimos que α es independiente de la posici´on y tomamos la ecuaci´on de Poisson ∇2 φ (r) = −4πKc ρ ⇒ ∇2 [αφ ( r)] = −4πKc (αρ) y como ∇2 φ0 (r) = −4πKc ρ0 = −4πKc (αρ) se concluye que φ0 (r) = αφ (r). Ahora traemos desde el infinito una carga adicional dq hasta el elemento de volumen dV (r), la carga en este volumen es ahora dq” (r) = (α + dα) ρ (r) dV (r). El incremento es claramente dq (r) = (dα) ρ (r) dV (r). El trabajo realizado para traer dq es dW = φ0 (r) dq = [αφ (r)] [(dα) ρ (r) dV (r)] = αdα ρ (r) φ (r) dV (r) Ahora bien, para traer elementos dq (r) para cada elemento de volumen dV (r) se requiere un trabajo Z 0 dW = α dα ρ (r) φ (r) dV (r) V
este trabajo a´ un no es el trabajo total, ya que todav´ıa falta seguir trayendo cargas diferenciales a cada elemento de volumen hasta completar la carga total que debe tener cada dV (r), es decir hasta que la densidad sea ρ (r). Esto se describe matem´aticamente integrando en α desde cero hasta uno. Z Z 1 α dα ρ (r) φ (r) dV (r) W = 0Z V 1 W = ρ (r) φ (r) dV (1.15) 2 V
obs´ervese que hemos supuesto que α no depende del elemento de volumen en el cual est´e definido, es decir no depende de la posici´on. Esto simplemente implica que para cada elemento de volumen se trae un dq (r) que contenga la misma fracci´on de la carga total final en cada elemento de volumen, pero como el m´etodo de construcci´on no afecta, esto no le quita generalidad al problema. Se puede observar que la expresi´on (1.15) coincide con el paso al cont´ınuo de la expresi´on (1.14). La integral de volumen se realiza solo donde hay carga. Sin embargo, la integral se puede extender sobre todo el espacio teniendo en cuenta que en las regiones donde no hay carga ρ = 0, y no van a contribuir. Al usar todo el espacio podemos escribir Z ρ (r0 ) dV 0 φ (r) = (1.16) |r − r0 | de modo que Z Z 1 ρ (r) ρ (r0 ) dV dV 0 Uint = 2 |r − r0 | que coincide con el paso al cont´ınuo de (1.13). Este m´etodo de c´alculo nos asocia la energ´ıa directamente a las cargas, como si la energ´ıa residiera en las cargas ya que en los sitios de ρ = 0 no hay contribuci´on a U int . Un desarrollo adicional permite asociar la energ´ıa con el campo electrost´atico (como si la energ´ıa residiera en el campo). Partiendo de (1.15) escribimos Z Z Z 1 1 1 Uint = ρφ dV = (4πKc ρ) φ dV = φ (∇ · E) dV 2 V 8πKc V 8πKc V Z 1 = [∇ · (Eφ) − E · ∇φ] dV 8πKc V
´ 1.3. ENERG´IA POTENCIAL ELECTROSTATICA usando el teorema de la divergencia y el hecho de que E = −∇φ Z Z 1 1 Eφ·dS + E2 dV W = 8πKc 8πKc
15
(1.17)
Para dilucidar sobre qu´e volumen estamos integrando, recordemos que se parti´o de la Ec. (1.15). Por tanto el volumen de integraci´on es aqu´el que contiene a toda la distribuci´on de carga. Sin embargo, podemos extender el volumen sin alterar la integral puesto que las partes del volumen que no contienen carga no contribuyen a dicha integral. En consecuencia, la expresi´on (1.17), es v´alida para cualquier volumen y superficie que lo delimita, siempre y cuando toda la carga est´e contenida en el volumen. Una elecci´on astuta para distribuciones localizadas de carga es extender el volumen y la superficie hasta el infinito de modo que E ' Q/r 2 , φ ' Q/r y S ∼ r 2 de modo que todo el integrando de superficie se comporta como 1/r y tiende a cero. Finalmente tenemos Z 1 W = E2 dV (1.18) 8πKc todo el espacio De modo que la energ´ıa aparece como almacenada en el campo. Esta interpretaci´on nos permite definir la densidad de energ´ıa del campo electrost´atico como Z E2 ; Uint = ε dV ε≡ 8πKc Queda la pregunta, A que se asocia la energ´ıa a las cargas o al campo?, la respuesta es que la energ´ıa se asocia al sistema de part´ıculas pero no se puede asociar a porciones de carga o a porciones del espacio (el t´ermino E 2 /8πKc que definimos como densidad de energ´ıa, no se puede medir experimentalmente 7 ). A priori podr´ıamos pensar que a cada carga se le puede asociar una porci´on de esta energ´ıa, si esto es posible debe ser de una manera un´ıvoca. Pensemos que al armar un sistema de cargas puntuales asociamos a cada part´ıcula la porci´on de energ´ıa asociada al potencial en el cual se movi´o cuando se trajo desde el infinito, en ese caso a la primera no le corresponde nada, a la segunda le corresponde la energ´ıa necesaria para traerla desde el infinito hasta el punto donde se dej´o, lo cual se hizo en presencia del campo generado por la primera carga y as´ı sucesivamente, pero esta forma no es un´ıvoca ya que las cargas se pueden traer en cualquier orden y las porciones asignadas son diferentes para cada orden. En conclusi´on, las interpretaciones como energ´ıa asociada a la carga o al campo son solo m´etodos de c´alculo, en la primera interpretaci´on con cargas solo importa el espacio que tiene carga, en el segundo solo importan las regiones donde hay campo. Son dos formas diferentes de sumar, as´ı como lo son las diferentes maneras de traer las cargas, pero el m´etodo particular de hacer la suma no tiene significado intr´ınseco 8 . Cuando intentamos calcular la energ´ıa potencial de una distribuci´on de cargas puntuales a trav´es de la expresi´on (1.18) obtenemos divergencias debido a la autoenerg´ıas de las part´ıculas. Veamos un ejemplo concreto: dos cargas puntuales q1 , q2 ubicadas en las coordenadas r1 y r2 . El campo el´ectrico est´a descrito por q1 (r − r1 ) q2 (r − r2 ) + E = Kc |r − r1 |3 |r − r2 |3 E2 Kc2 q12 Kc2 q22 Kc2 q1 q2 (r − r1 ) · (r − r2 ) = + + 8πKc 8πKc |r − r1 |4 8πKc |r − r2 |4 4πKc |r − r1 |3 |r − r2 |3 los dos primeros t´erminos correspondientes a la autoenerg´ıa de las part´ıculas son intr´ınsecos de las part´ıculas y no se intercambian ni se modifican por el hecho de que las part´ıculas se muevan, solo podr´ıan ser relevantes 7 Obs´ervese adem´ as que la Ec. (1.15) nos brinda otra posible definici´ on de densidad de energ´ıa i.e. ε = 12 ρφ. De acuerdo con esta definici´ on la densidad de energ´ıa en las regiones sin carga es cero, lo cual en general no es cierto cuando asumimos ε = E 2 /8πKc . 8 Cuando estudiemos campos dependientes del tiempo, veremos que la forma E 2 /8π es la mas adecuada para definir densidad de energ´ıa. Pero en el caso est´ atico, la densidad de energ´ıa no tiene significado F´ısico, debido a que ninguna porci´ on de volumen est´ a intercambiando energ´ıa con otra.
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA
16
si la interacci´on entre las part´ıculas es tan fuerte que revela su estructura interna, en cuyo caso tenemos que abandonar la abstracci´on de part´ıculas puntuales. Las autoenerg´ıas divergen debido a que se producen singularidades para r → r1 y para r → r2 . El u ´ ltimo t´ermino se debe a la interacci´on entre las dos part´ıculas y se puede calcular de la forma siguiente. Kc
= = =
Z
Kc q1 q2 q1 q2 (r − r1 ) · (r − r2 ) 3 3 dV = 4π 4π |r − r1 | |r − r2 |
Z
∇
1 |r − r1 |
·∇
1 |r − r2 |
dV
Z Z Kc q1 q2 1 1 1 1 2 ∇· ∇ dV − ∇ dV 4π |r − r1 | |r − r2 | |r − r2 | |r − r1 | Z Z 1 1 1 Kc q1 q2 ∇ · dS + 4π δ (r − r2 ) dV 4π |r − r1 | |r − r2 | |r − r1 | Z Kc q1 q2 (r − r2 ) 1 · dS + 4π 4π |r2 − r1 | |r − r1 | |r − r2 |3
como la carga es localizada, la superficie donde se define la primera integral es el infinito en el cual el integrando decae como 1/r 3 en tanto que la superficie crece como r 2 de modo que esta integral de anula. El t´ermino de interacci´on queda Kc q1 q2 Uint = |r2 − r1 | el cual coincide con el c´alculo ya realizado en el caso discreto, Ec. (1.14). Sin embargo, cuando se usa (1.14), no resultan los infinitos de autoenerg´ıa como ya se discuti´o, la raz´on es que en el caso discreto el potencial φ i excluye la contribuci´on de autointeracci´on. En contraste, se puede ver que en el caso cont´ınuo descrito por (1.15), el potencial φ (r) s´ı incluye la contribuci´on del diferencial de carga centrado en r. Cuando la densidad es bien comportada, la inclusi´on de este t´ermino no afecta el resultado ya que es despreciable, pero para puntos en donde la densidad tiene singularidades (como en cargas puntuales), estas contribuciones divergen 9. ————————————————Calculemos ahora la fuerza experimentada por la superficie de un conductor de carga superficial σ en este caso la densidad y el campo el´ectrico est´an relacionados de modo que ε=
E2 2π 2 = σ 8πKc Kc
para llevar un elemento de superficie de 1 a 2 se realiza un trabajo ∆W = ∆F ∆x = ε∆V ∆F =
ε∆V ∆F 2π 2 = ε∆A ⇒ =ε= σ ∆x ∆A Kc
este resultado tambi´en se puede derivar tomando εσ teniendo presente que el campo el´ectrico debido al elemento mismo debe ser exclu´ıdo (Jackson second ed. pag. 48).
1.4.
Ecuaciones de campo
Tenemos las dos ecuaciones de campo ∇ · E = 4πKc ρ (r) ; ∇ × E = 0
(1.19)
9 Obs´ervese por ejemplo que si las cargas q1 y q2 son de signo opuesto, el c´ alculo con (1.14) da un valor negativo en tanto que la Ec. (1.18) est´ a definida positiva. Esto se debe a que las autoenerg´ıas son divergentes positivas.
1.4. ECUACIONES DE CAMPO
17
El conocimiento de la divergencia y el rotacional de un campo especifican el valor del campo salvo por un factor adicional que ser´ıa el gradiente de una funci´on escalar que satisfaga la ecuaci´on de Laplace en todo el espacio. Es decir si E es soluci´on de estas ecuaciones vectoriales entonces E 0 tambi´en es soluci´on si E0 = E + ∇ϕ con ∇2 ϕ = 0 en todo el espacio pero si ∇2 ϕ = 0 en todo el espacio entonces ϕ puede ser a lo m´as una constante, de modo que E 0 = E. Sin embargo, en la mayor´ıa de problemas reales de la F´ısica, conocemos la densidad ρ solo en una cierta regi´on R del espacio. En tal caso conocemos la divergencia y el rotacional del campo electrost´atico pero solo dentro de la regi´ on R. Esto nos indica que ∇ 2 ϕ = 0 en la regi´on R, pero no necesariamente en todo el espacio, lo cual implica que la soluci´on para ϕ puede ser no trivial y tenemos problemas con la unicidad de E. Desde el punto de vista F´ısico, esto es de esperarse puesto que el conocimiento de la densidad en cierta regi´on del espacio, no nos excluye de la influencia de las densidades externas, las cuales por principio de superposici´on tambi´en afectar´an el campo. Este sencillo argumento F´ısico nos dice que hay infinitas soluciones para E cuando solo se conoce la densidad en una cierta regi´on del espacio. Esto indica que las ecuaciones anteriores solo son u ´ tiles en alguno de los siguientes casos Conocemos la distribuci´on de carga en todo el universo La distribuci´on de carga en R est´a lo suficientemente aislada de otras cargas, con lo cual asumir que la densidad de carga es ρ (r) en el interior de R y cero fuera de R constituye una aproximaci´on razonable. Conocemos la densidad de carga en R e ignoramos la carga fuera de dicha regi´on, pero en cambio conocemos ciertas condiciones en la frontera de R que hacen que la soluci´on de la ecuaciones anteriores sean u ´ nicas. Esta u ´ ltima posibilidad est´a inspirada en un argumento F´ısico y otro Matem´atico. F´ısicamente, sabemos que en algunos sistemas como los conductores electrost´aticos, aunque no conozcamos la distribuci´on de carga exterior, conocemos ciertos efectos netos que la interacci´on de la carga externa con la interna producen: que la superficie del conductor sea un equipotencial. Desde el punto de vista matem´atico, sabemos que las ecuaciones diferenciales parciales tienen soluci´on u ´ nica bajo cierto tipo espec´ıfico de condiciones en la frontera. Como ya vimos, las ecuaciones (1.19) se pueden sintetizar en una sola: la ecuaci´on de Poisson (1.11), que en el caso homog´eneo se reduce a la ecuaci´on de Laplace. Esta ecuaci´on muestra de nuevo las ventajas de trabajar con el potencial 1.
La ecuaci´on para el potencial (Poisson o Laplace) es una sola, en tanto que las ecuaciones de los campos son dos (divergencia y rotacional).
2.
Esta u ´ nica ecuaci´on se define sobre un campo escalar, y no sobre un campo vectorial.
3.
En esta ecuaci´on es mas f´acil acomodar las condiciones de frontera.
1.4.1.
C´ alculo de campos
Hay varias t´ecnicas para calcular campos electrost´aticos 1.
2.
R 0 ) (r−r0 ) Utilizando E (r) = Kc ρ(r|r−r dV 0 para usarla requerimos saber la distribuci´on de carga en el 0 |3 universo, o hacer la aproximaci´on de que la distribuci´on de carga que conocemos es la u ´ nica en el universo (i.e. asumir que el sistema en cuesti´on esta lo suficientemente aislado).. R ρ(r0 ) 0 Usar φ (r) = Kc |r−r 0 | dV + φ0 y luego E = −∇φ se usa bajo las mismas condiciones anteriores pero con la ventaja de que se realiza una integraci´on escalar y no vectorial.
18 3.
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA H Utilizando ley de Gauss E·dS = 4πKc q, aunque tiene validez general, solo es u ´ til para casos especiales con muy alta simetr´ıa. Espec´ıficamente, su utilidad se restringe al caso en el cual se conoce la forma de las superficies equipotenciales. En caso contrario resulta ser una ecuaci´on integral muy dif´ıcil de resolver.
4.
M´etodo de im´agenes: tambi´en aplicable solo bajo simetr´ıas muy especiales. Requiere del conocimiento de algunas superficies equipotenciales.
5.
Usando las formas diferenciales ∇ 2 φ = −4πKc ρ, o´ ∇2 φ = 0, junto con ciertas condiciones de frontera, como veremos este es el m´etodo mas fruct´ıfero.
6.
Usando el m´etodo de transformaciones conformes: Aplicaci´on de la teor´ıa de la variable compleja a la ecuaci´on de Laplace. Solo vale para problemas bidimensionales y es en la pr´actica aplicable solo para problemas con alta simetr´ıa.
Con mucha frecuencia lo que conocemos es la distribuci´on de carga en el interior y cierta condici´on sobre la frontera, pero desconocemos la distribuci´on de carga en el exterior y en la frontera. Es en estos casos en donde la ecuaci´on de Poisson con condiciones de frontera resulta provechosa. Veamos un caso particular Example 1 Placa plana conductora infinita que yace a potencial cero sobre el plano XY, y una carga q en z = h. Al tratar de usar los m´etodos tradicionales se tiene Z ρ (r0 ) dV 0 φ (r) = Kc + φ0 ; ρ r0 = qδ r0 + ρ0 r0 = qδ r0 + σ r0 δ (z) 0 |r − r |
donde ρ0 (r0 ) es la carga volum´etrica equivalente a la carga superficial σ (r 0 ). El potencial queda Z Z 0 0 δ (x0 ) δ (y 0 ) δ (z 0 − h) dV 0 ρ (r ) dV 0 φ (r) = Kc q q + Kc + φ0 |r − r0 | 2 2 2 0 0 0 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) Z σ (r0 ) δ (z) dV 0 Kc q φ (r) = q + Kc + φ0 |r − r0 | x2 + y 2 + (z − h)2
pero σ (r0 ) es desconocido y no se puede inferir f´ acilmente con la informaci´ on sobre el potencial (φ = 0 en z = 0), lo m´ aximo que podemos hacer es reducir la integral por medio de la delta de dirac usando coordenadas cartesianas o cil´ındricas (la simetr´ıa indica en todo caso que las coordenadas cil´ındricas son mas apropiadas). Tambi´en podemos decir que por simetr´ıa la densidad en el plano es solo funci´ on de la distancia al origen, con esto la integral triple se convierte en simple pero no es suficiente para realizar el u ´ltimo paso. En general, las formas integrales no pueden inclu´ır f´acilmente las condiciones de frontera. En este caso particular conocemos f´acilmente una superficie equipotencial del sistema (plano XY) y se puede usar el m´etodo de im´agenes, pero en casos mas complejos el m´etodo resulta inmanejable. Ahora consideremos el uso de las formas diferenciales. La ecuaci´on de Laplace se puede resolver por separaci´on de variables en 11 sistemas coordenados diferentes que incluyen pr´acticamente todos los sistemas coordenados de inter´es f´ısico. Las constantes de integraci´on usualmente se acoplan con facilidad a las condiciones de frontera y las soluciones pueden generalmente expresarse con facilidad en t´erminos de funciones ortogonales. Por supuesto, tal ecuaci´on solo es v´alida en regiones con ausencia de carga. La ecuaci´on de Poisson que nos permite solucionar el problema est´atico mas general, es una ecuaci´on inhomog´enea y no admite separaci´on de variables salvo en caso muy simples. Sin embargo, la t´ecnica de Green que veremos mas adelante, hace que el m´etodo sea mas manejable.
1.5. UNICIDAD DEL POTENCIAL CON CONDICIONES DE DIRICHLET Y NEUMANN
1.5.
19
Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann
En general la soluci´on de las ecuaciones diferenciales parciales requiere de condiciones de frontera. En el caso espec´ıfico electrost´atico, con frecuencia se conoce el potencial en la superficie (condiciones de Dirichlet) o la componente normal del campo (equivalentemente la derivada normal del potencial). Si estas condiciones se definen sobre una superficie cerrada S que delimita a un volumen V , la soluci´on es u ´ nica como demostraremos a continuaci´on. Desarrollemos un par de identidades integrales, partiendo del teorema de la divergencia Z I ∇ · A = A · dS y tomando A = φ∇ψ, donde por el momento φ, ψ son campos escalares arbitrarios, reemplazando esta expresi´on en el teorema de la divergencia I Z 2 (1.20) φ∇ ψ + ∇ψ · ∇φ dV = [φ∇ψ] · dS La Ec. (1.20) se conoce como primera identidad de Green. Escribiendo de nuevo esta identidad con el intercambio ψ ↔ φ, y restando Z I 2 2 φ∇ ψ − ψ∇ φ dV = [φ∇ψ − ψ∇φ] · dS (1.21)
Esta expresi´on se conoce como segunda identidad de Green o teorema de Green. N´otese que es fundamental que la superficie sea cerrada ya que partimos del teorema de la divergencia. Lo que se busca es demostrar la unicidad de la soluci´on de la ecuaci´on de Poisson dentro de un volumen sujeto a condiciones de frontera sobre S de Dirichlet o Neumann. Para realizar esta demostraci´on supongamos que existen dos soluciones φ 1 y φ2 que satisfacen la ecuaci´on de Poisson y las mismas condiciones de frontera. 1. 2.
Para Dirichlet: φ1 |S = φ2 |S = φS ∂φ2 1 Para Neumann: ∂φ = ∂n ∂n = S
S
∂φS ∂n
Sea U ≡ φ2 − φ1 , entonces ∇2 U = ∇2 φ2 − ∇2 φ1 = −4πKc ρ + 4πKc ρ = 0 1. 2.
US = φ2 |S − φ1 |S = 0 (Dirichlet) ∂φ2 ∂φ1 ∂US = − ∂n ∂n ∂n = 0 (Neumann). S
S
Usando la primera identidad de Green (1.20) con φ = ψ = U se obtiene # Z " I 2 2 U∇ | {zU} + |∇U |
dV =
=0
pero ∇U · n = ∂U/∂n y tenemos
Z
2
|∇U | dV =
I
[U ∇U ] · ndS
∂U dS U ∂n
La integral de superficie es cero tanto para condiciones de Dirichlet (U S = 0), como de Neumann (∂US /∂n). De modo que Z |∇U |2 dV = 0 ⇒ ∇U = 0
puesto que |∇U |2 dV ≥ 0. Esto nos indica que U = cte.
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA
20 1.
Condiciones de Dirichlet: φ2 |S = φ1 |S ⇒ US = 0 = cte. Por tanto U = 0 y la soluci´on es u ´ nica.
2.
Neumann:
∂US ∂n
=0=
∂(φ2 −φ1 )S ∂n
⇒ φ2 − φ1 = cte.
Estos resultados son l´ogicos ya que el conocimiento de φ en la superficie requiere de haber definido el cero de potencial en tanto que el conocimiento de la derivada a´ un deja la constante arbitraria sin fijar. En general la especificaci´on de condiciones de Neumann y Dirichlet simult´aneamente sobre una regi´on de la superficie conduce a contradicci´on. Sin embargo, la unicidad de la soluci´on (salvo una posible constante), se sigue cumpliendo si empleamos condiciones mixtas, en donde las regiones de Dirichlet y Neumann sean disyuntas. Vale mencionar que estos teoremas de unicidad son teoremas matem´aticos v´alidos para funciones escalares arbitrarias φ y ρ que cumplan con la ecuaci´on de Poisson, aunque estas funciones no tengan ninguna relaci´on con problemas electrost´aticos.
1.6.
Teoremas de unicidad para campo vectoriales
Como corolario de los anteriores teoremas de unicidad obtenemos el siguiente teorema de unicidad para un campo vectorial (en nuestro caso los campos vectoriales de inter´es ser´an el campo el´ectrico y el campo magn´etico) Theorem 2 Un campo vectorial est´ a un´ıvocamente especificado si se conocen la divergencia y el rotacional dentro de una regi´ on simplemente conexa y su componente normal en la superficie que delimita a dicha regi´ on. Asumamos que en la regi´on en cuesti´on la divergencia y el rotacional del campo vectorial V est´a dada por ∇ · V = s ; ∇ × V1 = c
(1.22)
a s usualmente se le llama un t´ermino de fuente (densidad de carga en nuestro caso) y a c una densidad de circulaci´on (densidad de corriente en nuestro caso). Asumiendo que conocemos V 1n en la superficie que delimita la regi´on, asumamos que existen dos soluciones V 1 y V2 definimos W = V 1 − V2 claramente el rotacional y divergencia de W son nulos ∇·W =0 ; ∇×W =0
(1.23)
dado que W es irrotacional, podemos expresarlo como W = −∇φ y tomando la divergencia a ambos lados de (1.24) y teniendo en cuenta (1.23) queda ∇ · W = −∇ · ∇φ = 0 ⇒ ∇2 φ = 0 claramente tenemos que Wn,s = V1n,s − V2n,s = 0 y Wn,s
∂φ = (W · n)s = − ∇φ · n|s = − =0 ∂n s
con lo cual la ecuaci´on para el escalar φ junto con sus condiciones de frontera son ∂φ 2 ∇ φ=0 ; =0 ∂n S
(1.24)
21
1.7. TEOREMA DE HELMHOLTZ
es decir ecuaci´on de Laplace con condiciones de Neumann. Por los teoremas de la secci´on anterior, la soluci´on para φ es u ´ nica salvo por una constante aditiva, por tanto su gradiente es u ´ nico y W = 0 en toda la regi´on con lo cual V1 = V2 y el campo vectorial es u ´ nico. Es necesario enfatizar que estos teoremas de unicidad son v´alidos para campos escalares y vectoriales arbitrarios y no solo para el potencial o el campo el´ectrico. Como comentario final, para campos escalares el conocimiento de las condiciones en el potencial o su derivada normal en la superficie, constituyen una condici´on de suficiencia pero no de necesidad, en realidad existen m´ ultiples condiciones posibles de unicidad. Un argumento similar se sigue para campos vectoriales. A manera de ilustraci´on de este hecho, en el ap´endice A, se demuestra que dada una regi´on equipotencial cerrada S, dentro de la cual hay un conjunto de n conductores, el campo el´ectrico est´a un´ıvocamente determinado en la regi´on comprendida entre los conductores y la regi´on encerrada por S, si se conocen (a) la carga neta total de cada conductor Q i , i = 1, ..., n (b) la densidad de carga en la regi´on comprendida entre los conductores y el interior de S 10 . Por supuesto, si los conductores carecen de cavidades, se conoce en principio el campo en casi todo el interior de S, puesto que en el interior de los conductores el campo es cero. Los u ´ nicos puntos conflictivos para la evaluaci´on del campo son los de la superficie de los conductores, ya que la carga superficial produce un discontinuidad del campo en estos puntos. Vamos a discutir ahora un teorema que ser´a de gran utilidad cuando trabajemos campos dependientes del tiempo pero que de nuevo es v´alido para campos vectoriales arbitrarios
1.7.
Teorema de Helmholtz
Antes que nada debemos hacer algunas definiciones: Cuando la divergencia de un campo vectorial sea nula, diremos que el campo es solenoidal. Similarmente cuando el rotacional de un campo sea nulo, diremos que es un campo irrotacional. El teorema de Helmholtz nos dice que Theorem 3 Si la divergencia y el rotacional de un campo vectorial F (r) est´ an especificados en todo el espacio por las funciones D (r) y C (r) respectivamente, y si ambas funciones tienden a cero m´ as r´ apido que 1/r 2 cuando r → ∞, entonces F (r) se puede escribir como la suma de un campo irrotacional con otro campo solenoidal. Si adicionalmente, se exige que F (r) → 0 cuando r → ∞ entonces la funci´ on F (r) es u ´nica (Teorema de Helmholtz). Demostraci´on: Tomemos la divergencia y el rotacional de F ∇·F = D
∇×F = C dado que la divergencia de un rotacional de un funci´on de clase C 2 debe ser cero, se tiene que por consistencia el campo C (r) debe ser solenoidal. Escribiremos un ansatz para F de modo que quede la suma de un t´ermino irrotacional y otro solenoidal F = −∇U + ∇ × W (1.25) Definamos las funciones 1 U (r) ≡ 4π
Z
D (r0 ) dV 0 ; |r − r0 |
1 W (r) ≡ 4π
Z
C (r0 ) dV 0 |r − r0 |
(1.26)
donde las integrales se definen en todo el espacio. N´otese que estas funciones tienen estructura similar a los potenciales. Calculemos la divergencia de F Z Z 2 1 1 2 0 0 ∇ · F = −∇ U = − D r ∇ dV = D r0 δ 3 r − r0 dV 0 = D (r) 0 4π |r − r | 10
Es probablemente mas conveniente estudiar este teorema en detalle despu´es del estudio del cap´ıtulo 3
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA
22
hemos usado el hecho de que la divergencia de un rotacional es cero, y hemos tenido en cuenta que la derivada es con respecto a las variables no primadas. La divergencia reproduce el valor adecuado. Veamos lo que ocurre con el rotacional ∇ × F = ∇ × (∇ × W) = −∇2 W + ∇ (∇ · W) hemos usado el hecho de que el rotacional de un gradiente es cero. Calculemos entonces cada t´ermino usando la forma expl´ıcita de W Z Z 2 1 1 2 0 0 C r ∇ dV −∇ W = − = C r0 δ 3 r − r0 dV 0 = C (r) (1.27) 0 4π |r − r |
la Ec. (1.27) nos muestra que −∇2 W ya reproduce el valor correcto del rotacional. Es condici´on de suficiencia (no de necesidad) que ∇ · W sea cero para que el ansatz (1.25) sea consistente 11 , evaluemos entonces esta divergencia ∇·W = ∇·W = ∇·W =
Z Z 1 1 1 1 0 0 0 C r0 · ∇ dV C r dV 0 = − · ∇ 4π |r − r0 | 4π |r − r0 | Z I 1 ∇0 · C (r0 ) 1 C (r0 ) 0 0 dV − ∇ · dV 0 4π |r − r0 | 4π |r − r0 | Z I 1 ∇0 · C (r0 ) 1 C (r0 ) 0 dV − · dS0 4π |r − r0 | 4π |r − r0 |
(1.28)
El primer t´ermino integral de la derecha en (1.28) se anula porque C debe ser solenoidal. As´ı mismo es condici´on suficiente para la anulaci´on de la segunda integral si imponemos que C vaya a cero con r → ∞ mas r´apido que 1/r 2 . Adicionalmente, es necesario que las integrales (1.26) converjan para que las funciones U y W existan. En el l´ımite r 0 → ∞, se tiene |r − r0 | ∼ = r 0 y las integrales adquieren la forma Z
∞
X (r 0 ) 02 0 r dr = r0
Z
∞
r0X r0
dr 0
siendo X cualquiera de los campo D o´ C. N´otese que si X (r 0 ) ∼ 1/r 02 la integral es a´ un logar´ıtmica y puede diverger, pero cualquier potencia de la forma 1/r 2+k con k > 0 permite la convergencia de esta integral. Por tanto, es condici´on de suficiencia que D y C decrezcan m´as r´apido que 1/r 2 en su r´egimen asint´otico. Se observa que si agregamos a F una funci´on M tal que F0 = F + M ; ∇ × M = ∇ · M = 0 la nueva F0 tiene la misma divergencia y rotacional que F. Pero si exigimos que F (r) → 0 cuando r → ∞ el campo M debe ser cero en el infinito con lo cual M = 0 en todo el espacio por unicidad y F es u ´ nico. B´asicamente hemos agregado una condici´on de contorno para garantizar la unicidad de la soluci´on. N´otese que de este teorema se desprende un corolario interesante que se obtiene de las ecuaciones (1.25, 1.26): Corollary 4 Cualquier funci´ on diferenciable F (r) que va a cero m´ as r´ apido que 1/r cuando r → ∞ se puede expresar como el gradiente de un escalar m´ as el rotacional de un vector Z Z 1 ∇0 · F (r0 ) 1 ∇0 × F (r0 ) 0 0 F (r) = ∇ − dV + ∇ × dV (1.29) 4π |r − r0 | 4π |r − r0 | 11
Lo que se necesita es que ∇ (∇ · W) = 0 es decir que ∇ · W sea constante.
´ 1.8. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO EL ECTRICO Y EN EL POTENCIAL
23
Una caso muy simple de aplicaci´on de este corolario lo consituyen la electrost´atica y la magnetost´atica. Si hacemos F → E (campo el´ectrico y aplicamos (1.29) se tiene Z Z 1 1 ∇0 · E (r0 ) ∇0 × E (r0 ) 0 0 E (r) = ∇ − dV + ∇ × dV 4π |r − r0 | 4π |r − r0 | Z Z 1 4πKc ρ (r0 ) Kc ρ (r0 ) 0 0 E (r) = − ∇ dV = −∇ dV = −∇φ (r) 4π |r − r0 | |r − r0 | que es el resultado conocido. Similarmente en magnetost´atica F → B (campo magn´etico) y aplicando ∇·B =0 ; ∇×B =
4π J c
se tiene
Z Z 1 ∇0 · B (r0 ) 1 ∇0 × B (r0 ) 0 0 B (r) = ∇ − dV + ∇ × dV 4π |r − r0 | 4π |r − r0 | Z 1 J (r0 ) 0 B (r) = ∇ × dV ≡ ∇ × A c |r − r0 | siendo J la densidad de corriente y A el potencial vectorial magn´etico (ver cap´ıtulo 10).
1.8.
Discontinuidades en el campo el´ ectrico y en el potencial
Asumamos la existencia de una interfaz bidimensional con una cierta distribuci´on de carga superficial. Tomemos una superficie gaussiana que cruza la superficie de la interfaz. Esta superficie gaussiana es tal que su altura es diferencial y sus tapas (de tama˜ no finito) a lado y lado de la interfaz, son localmente paralelas a la superficie de la interfaz. Como la altura es diferencial, despreciamos el flujo lateral y solo se considera el flujo por las tapas, usando ley de Gauss tenemos I Z Z Z Z Z E · dS = E1 · dS1 + E2 · dS2 = E1 · n1 dS1 + E2 · (−n1 ) dS1 = 4πKc q = 4π σ dS1 donde hemos tenido en cuenta que al ser la altura diferencial, las tapas y la superficie de la interfaz encerrada son todas iguales. Adicionalmente, la altura diferencial junto con el hecho de que las tapas sean localmente paralelas a la superficie nos garantizan que n 1 = −n2 . Z Z (E1 − E2 ) · n1 dS1 = 4πKc σ dS1 como esto es v´alido para cualquier tama˜ no y forma de la superficie de las tapas (siempre y cuando la 12 superficie no sea infinitesimal ), se concluye que (E1 − E2 ) · n1 = 4πKc σ Esta ecuaci´on me indica que hay una discontinuidad de la componente normal del campo cuando consideramos una superficie con una cierta densidad superficial, pues debemos recordar que E 1 y E2 est´an evaluados arbitrariamente cerca a la interface, aunque en lados opuestos. Obs´ervese que si existe adem´as una densidad volum´etrica (finita) en el entorno de la interfaz, el resultado no se afecta. La raz´on es que la cantidad de carga volum´etrica encerrada en la superficie gaussiana tender´ıa a cero (al tender a cero el volumen), mas no la carga superficial encerrada (ya que la superficie que contiene carga superficial es finita). Esto nos indica que la singularidad inherente a la naturaleza superficial de la carga 12
N´ otese que si la superficie de las tapas fuera infinitesimal, no se podr´ıa en general despreciar el flujo lateral.
´ CAP´ITULO 1. ELECTROSTATICA
24
es lo que me produce la discontinuidad. Efectivamente, si en vez de considerar una superficie consideramos una capa muy delgada pero con volumen, la discontinuidad desaparece y se ve reemplazada por un cambio brusco pero cont´ınuo del campo (ver Berkeley vol II segunda ed. secci´on 1.14). Usando la naturaleza conservativa del campo electrost´atico podemos demostrar que la componente paralela es cont´ınua. Partiendo de la expresi´on I
E · dr = 0
formemos un lazo cerrado con dos lados perpendiculares a la superficie y de longitud diferencial, los otros dos lados ser´an finitos y localmente paralelos a la superficie. Solo los lados paralelos contribuyen a la circulaci´on I
Z
Z
E · dr = 0 = E1 · dr1 + Z 0 = (E1 − E2 ) · dr1
E2 · dr2 =
Z
E1 · dr1 +
Z
E2 · (−dr1 )
en este caso el producto punto da la componente paralela 0=
Z
E1,k − E2,k · dr1
y como la relaci´on es v´alida para cualquier longitud y orientaci´on localmente paralela del lazo, se concluye que E1,k = E2,k veamos lo que ocurre con el potencial, si φ tuviera discontinuidades en alg´ un punto, entonces en ese punto tendr´ıamos que |∇φ| → ∞ y la magnitud del campo no estar´ıa acotada. Observemos sin embargo, que el valor del campo est´a acotado aunque sea discont´ınuo, por lo tanto el potencial es cont´ınuo en todas partes, pero no es derivable en los puntos sobre la superficie, y esta no derivabilidad es la que produce la discontinuidad en la componente normal del campo. Como veremos en el cap´ıtulo 3, en el caso de un conductor perfecto donde la interfaz es cerrada y define la superficie del conductor, se tiene que el campo en el interior es cero (digamos E 2 = 0) adem´as el campo es perpendicular a la superficie en la vecindad exterior a ´esta, de modo que E 1 · n1 = E1 con lo cual la discontinuidad queda E1 E1 = 4πKc σ ⇒ σ = 4πKc o en t´erminos del potencial σ=
E1 E1 · n 1 ∇φ · n1 = =− 4πKc 4πKc 4πKc
(1.30)
∇φ · n1 es la derivada direccional del potencial en la direcci´on normal hacia afuera del conductor. σ=−
1 ∂φ 4πKc ∂n1
(1.31)
Existen adicionalmente, casos en los cuales aparece discontinuidad del potencial, debidos a singularidades “de orden superior” a la correspondiente a una distribuci´on superficial de carga. Tal es el caso de distribuciones lineales, puntuales o de capas dipolares. Analizaremos este u ´ ltimo caso debido a su importancia posterior en la interpretaci´on de la formulaci´on de Green para el potencial
´ 1.8. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO EL ECTRICO Y EN EL POTENCIAL
1.8.1.
25
Capa dipolar superficial
Pensemos en una capa de densidad superficial σ y otra muy cercana (y localmente paralela) de densidad de carga −σ. Si nos concentramos en un par de elementos diferencial de a´rea da 0 que est´an en contraposici´on, podemos ver este par de elementos como un dipolo puntual; para usar la aproximaci´on de dipolo es necesario asumir que la distancia entre las capas tiende a cero en tanto que la densidad superficial σ (r 0 ) tiende a infinito, de tal manera que podamos definir una densidad superficial de momento dipolar finito D (r 0 ) a trav´es del producto l´ım σ (r) d (r) ≡ D r0 d(r)→∞
este momento dipolar va en la direcci´on normal a la superficie y en el sentido desdes las cargas negativas a las positivas. El c´alculo del potencial se puede realizar de manera directa Z Z σ (r0 ) dA0 σ (r0 ) dA0 − φ (r) = |r − r0 | |r − r0 + nd| vamos a asumir que |r − r0 | >> |nd| con lo cual tenemos 1 |r − r0 + nd|
= =
usando
√ 1 1+2x
1 1 q ≈q (r − r0 )2 + 2 (r − r0 ) · nd + d2 (r − r0 )2 + 2 (r − r0 ) · nd 1 q |r − r0 | 1 +
2(r−r0 )·nd |r−r0 |2
≈ 1 − x si x a. La energ´ıa potencial necesaria para ensamblar el sistema en esa configuraci´on es U A = Kc qq 0 /R ya que la esfera act´ ua como el equivalente a una carga puntual. Ahora procedemos al contrario, trayendo la esfera desde el infinito, en este caso el trabajo para ensamblar el sistema se puede calcular de la siguiente manera: La energ´ıa potencial se puede calcular de la energ´ıa potencial asociada al par de cargas q y dq 0 donde dq 0 se integrar´ıa sobre toda la esfera 1 , Kc q dq 0 dUB = ⇒ UB = Kc |r|
Z
σA UB = K c A
Z
q dq 0 = Kc |r|
Z
q σdA0 |r|
donde |r| se refiere a la distancia entre q y dq 0 . Dado que σ es constante, la energ´ıa potencial queda q dA0 |r|
donde A se refiere a la superficie de la esfera. K c q/ |r| es el potencial que la carga q genera sobre un punto en la superficie de la esfera, lo denotaremos φ q . UB = q
0
1 A
Z
φq dA
0
claramente el t´ermino entre par´entesis corresponde al potencial promedio sobre la superficie de la esfera generado por la carga puntual q. Por otro lado, el car´acter conservativo de las fuerzas electrost´aticas nos da 1
A priori uno podr´ıa pensar que es necesario inclu´ır el trabajo necesario para ensamblar las cargas primadas en la esfera. Sin embargo, en ambos casos estamos considerando que la esfera ya est´ a armada y por tanto ignoramos ese trabajo. Si decidimos incluirlo aparecera igualmente en UA y en UB de modo que no altera el resultado que aqu´ı se obtiene.
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
32
como resultado la igualdad de la energ´ıa potencial al usar ambos procedimientos de modo que Z Kc qq 0 1 0 0 UA = U B ⇒ =q φq dA R A Z Kc q 1 = φq dA0 ⇒ R A el t´ermino de la izquierda es el valor del potencial generado por la carga puntual q en el centro de la esfera, que resulta ser igual al promedio del potencial generado por la misma carga sobre la superficie de la esfera, esto prueba la afirmaci´on para una carga puntual. Para un sistema de cargas basta con apelar al principio de superposici´on para el potencial. Esta demostraci´on tambi´en se puede hacer por c´alculo directo del potencial promedio generado por una carga puntual sobre una esfera que no contiene a dicha carga (ver Ref. [7]). El lector puede demostrar que esta propiedad tambi´en se cumple en una dimensi´on (tomando un intervalo) y en dos dimensiones (tomando una circunferencia). El hecho de que el potencial en un punto sea igual al promedio en una vecindad del punto, sirve como base para un m´etodo num´erico para el c´alculo de las soluciones de la ecuaci´on de Laplace, conocido como m´etodo de relajaci´on (ver [1]). Finalmente, una demostraci´on alternativa se obtiene a partir del teorema de Green Ec. (1.21) I Z 2 2 (2.6) φ∇ ψ − ψ∇ φ dV = [φ∇ψ − ψ∇φ] · dS eligiendo ψ = |r − r0 |−1 y tomando a φ tal que ∇2 φ = 0 en el volumen de integraci´on, el teorema de Green (2.6) nos da Z I 02 0 1 1 1 0 0 0 0 0 dV = − ∇ φ r · dS0 φ r ∇ φ r ∇ |r − r0 | |r − r0 | |r − r0 | usando las propiedades (1.8, 1.10, 1.3) I I r − r0 (r − r0 ) · dS (r0 ) 1 1 02 0 ∇0 = = −4πδ r − r ; ; ∇ = − dΩ |r − r0 | |r − r0 | |r − r0 |3 |r − r0 |3 obtenemos −4π
Z
V
φ r
0
δ r−r
0
dV
0
=
I S
φ (r) =
1 4π
φ (r) =
1 4π
r − r0 1 0 0 φ r · dS0 3 − |r − r0 | ∇ φ r 0 |r − r | I (r − r0 ) 1 0 0 0 0 ∇ φ r − φ r 3 · dS 0| 0 |r − r |r − r | S I I 1 0 0 0 0 ∇ φ r · dS + φ r dΩ 0 S |r − r | S 0
(2.7)
esto es v´alido en cualquier punto r siempre que la superficie S contenga a dicho punto (es decir r es interior a V ) y la funci´on φ cumpla con la ecuaci´on de Laplace en la superficie S y en el volumen V . En particular, es v´alido para una superficie esf´erica S centrada en r y de radio R en cuyo volumen y superficie sea v´alida la ecuaci´on de Laplace 2 . Por simplicidad, redefinamos el origen de coordenadas de modo que r = 0, de modo que la esfera est´a centrada en el nuevo origen. De esta forma, es claro que la posici´on de un punto de S se puede escribir como r0 = Rur . La Ec. (2.7) queda I I I I 2 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 φ (0) = ∇ φ r · dS + φ r dΩ = ∇ φ r · dS + 2 φ r R dΩ 4π S |r0 | 4π R S R S S 2
Al ser r interior a V siempre existe una esfera que est´e completamente contenida en V .
´ DE LAPLACE 2.3. UNICIDAD DE LA ECUACION
33
usando el teorema de la divergencia y teniendo en cuenta que dS 0 = R2 dΩ tenemos I I 1 1 02 0 0 0 0 ∇ φ r dV + φ r dS φ (0) = 4πR V 4πR2 S
como φ obedece a la ecuaci´on de Laplace en el volumen se anula la primera integral y se tiene I 1 φ r0 dS 0 = φ¯S φ (0) = S
que es lo que se quer´ıa demostrar. Como el origen elegido es arbitrario entonces se deduce que la relaci´on es v´alida para cualquier valor del punto r y del radio de la esfera centrada en tal punto, siempre que φ sea arm´onica en el volumen y superficie de la esfera. N´otese que esta u ´ ltima demostraci´on es mucho m´as general ya que no presupone que la funci´on arm´onica tenga que proceder de una configuraci´on electrost´atica. El resultado anterior nos conduce a un hecho muy importante: Theorem 6 Ninguna configuraci´on electrost´atica nos genera una configuraci´on de equilibrio estable para una carga de prueba en el espacio vac´ıo (teorema de Earnshaw). Ve´amoslo: para que una carga positiva en el punto P est´e en equilibrio estable, es necesario que en cierta vecindad alrededor de P , el potencial sea mayor que el potencial en P en todos los puntos, esto implica que podemos construir una esfera contenida en esa vecindad, para la cual claramente el promedio en la superficie ser´ıa mayor que su valor en el centro, de modo que la existencia de un punto de equilibrio estable nos implicar´ıa una violaci´on del teorema 5. Para una carga negativa el argumento es similar. Matem´aticamente hablando, esto implica que Theorem 7 Una funci´ on arm´ onica (en nuestro caso el potencial electrost´ atico) no puede tener m´ aximos ni m´ınimos locales dentro de la regi´ on en donde es v´ alida la ecuaci´ on de Laplace. La ausencia de m´aximos y m´ınimos locales en el volumen donde es v´alida la ecuaci´on de Laplace tambi´en se puede ver teniendo en cuenta que la existencia de un m´aximo local requiere que ∂ 2 ψ/∂x2i < 0, pero la ecuaci´on de Laplace nos dice que ∇2 ψ = 0, algo similar ocurre con la posible existencia de m´ınimos locales 3 . Otra manera de probar la ausencia de puntos de equilibrio estable implica el uso del teorema de Gauss: asumamos que existe un punto P de equilibrio estable y ubicamos una carga positiva en ´el, al ser estable cualquier desplazamiento debe generar una fuerza restauradora que lo intente regresar a P , esto implica que al construir una esfera alrededor de P el campo debe apuntar hacia el interior de la esfera en todas direcciones; pero esto contradice la ley de Gauss ya que no hay cargas negativas en el interior (la carga q es positiva y adem´as no cuenta ya que estamos hablando del campo que generan las fuentes a las cuales est´a sometida la carga de prueba, pues ciertamente su propio campo no act´ ua sobre ella). Similarmente al poner una carga negativa no es posible que el campo apunte hacia afuera en la esfera alrededor de P . Por tanto no hay equilibrio estable. No obstante, es necesario aclarar que s´ı existen puntos de equilibrio electrost´atico, solo que no son estables. Sin embargo, campos magn´eticos o campos electromagn´eticos variables en el tiempo pueden mantener una carga en equilibrio estable.
2.3.
Unicidad de la ecuaci´ on de Laplace
La unicidad de la ecuaci´on de Laplace se puede ver como un caso particular de la unicidad de la soluci´on de Poisson. Sin embargo, es interesante ver un modo alternativo para establecer la unicidad de esta ecuaci´on para condiciones de Dirichlet. Una vez establecida la existencia, la demostraci´on de la unicidad resulta sencilla 3
Esto significa que la ecuaci´ on podr´ıa presentar extremos tipo “punto de silla” o puntos de inflexi´ on en el caso unidimensional.
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
34
gracias a la propiedad de linealidad de la ecuaci´on de Laplace. Asumamos que φ (x, y, z) es una soluci´on de la ecuaci´on con ciertas condiciones de frontera, imaginemos que existe una segunda soluci´on ϕ (x, y, z) con las misma condiciones de frontera. Si ambas son soluciones, tambi´en lo es una combinaci´on lineal de ´estas, en particular W (x, y, z) = φ (x, y, z) − ϕ (x, y, z). W (x, y, z) no satisface las condiciones de frontera ya que en este caso al tomar los puntos en las fronteras φ (x, y, z) y ϕ (x, y, z) toman los mismos valores. W (x, y, z) es la soluci´on de otro problema electrost´atico con todas las superficies a potencial cero. Adicionalmente si W es cero en todas las superficies, debe ser cero en todo el espacio donde no hay carga por la siguiente raz´on: si el potencial no es nulo en todo el espacio vac´ıo entonces deben haber al menos un punto que sea m´aximo o m´ınimo local, pero como ya vimos, las soluciones arm´onicas no permiten estos extremos, de modo que W debe ser cero en todo punto, y la soluci´on es u ´ nica 4 .
2.4. 2.4.1.
Ecuaci´ on de Laplace en dos dimensiones Coordenadas cartesianas
La ecuaci´on de Laplace en dos dimensiones se escribe ∂x2 + ∂y2 φ (x, y) = 0
realizando separaci´on de variables φ (x, y) = A (x) B (y) y dividiendo la ecuaci´on por AB se obtiene 1 d2 A 1 d2 B + =0 A dx2 B dy 2 como el primer sumando solo depende de x y el segundo solo de y, entonces cada sumando debe ser igual a una constante 1 d2 A 1 d2 B 2 = −α ; = α2 A dx2 B dy 2 la asignaci´on de ±α, es arbitraria (se pudo haber hecho al contrario). Pero dado que α es en general complejo, esto no supone ninguna limitaci´on. Las soluciones en el caso α 6= 0 son A (x) = Aeiαx + Be−iαx ; B (x) = Ceαy + De−αy la soluci´on para α = 0, nos da A (x) = a0 x + b0 ; B (x) = c0 y + d0 La soluci´on general es de la forma φ (x, y) = Aeiαx + Be−iαx
Ceαy + De−αy + axy + bx + cy
(2.8)
donde hemos redefinido adecuadamente las constantes, obs´ervese que en particular, la constante que aparece en la soluci´on con α = 0, no se incluye expl´ıcitamente. Sin embargo, un t´ermino constante aparece cuando hacemos α = 0 en esta ecuaci´on (recordemos que una constante puede ser relevante aqu´ı, puesto que con condiciones de Dirichlet ya se ha fijado el cero de potencial y dicha constante ya no es arbitraria). Las constantes est´an determinadas por las condiciones de frontera. Discusi´on: las soluciones para α = 0,y para α 6= 0 son aparentemente excluyentes, de modo que no tendr´ıa sentido inclu´ır los dos tipos de soluciones en una sola expresi´on. Sin embargo, si rotulamos estas soluciones como φα (x, y) donde α ≥ 0, una superposici´on de ellas es tambi´en soluci´on y en muchos casos la superposici´on es obligatoria para obtener las condiciones de frontera (esta superposici´on puede ser sobre el discreto o sobre el cont´ınuo dependiendo de los valores posibles de α). Esto hace indispensable inclu´ır la soluci´on con α = 0 como parte de la superposici´on.
´ DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES 2.4. ECUACION
35
Figura 2.2: Ejemplos de la soluci´ on de la ecuaci´ on de Laplace en dos dimensiones Vamos a resolver la ecuaci´on de Laplace para el potencial electrost´atico en la regi´on bidimensional comprendida por 0 ≤ x ≤ L; 0 ≤ y < ∞, con las condiciones de frontera siguientes (ver Fig. 2.2): φ = 0, en x = 0, en x = L, y en y → ∞. φ = V (x) en y = 0. Con estas condiciones de frontera y tomando la ecuaci´on (2.8) tenemos que a) φ = 0 en x = 0, ∀y conduce a φ(0, y) = (A + B) Ceαy + De−αy + cy = 0 esto solo se cumple ∀y si B = −A, y c = 0, dejando
Ceαy + De−αy + axy + bx φ (x, y) = sin αx Ceαy + De−αy + axy + bx
φ (x, y) = A eiαx − e−iαx
donde la constante A (y las constantes necesarias para armar el seno) se han absorbido en C y D. De nuevo, estrictamente deber´ıamos cambiar la notaci´on a digamos C 0 , D 0 pero como estas constantes son a´ un desconocidas, esto no hace ninguna diferencia. b) φ = 0 en x = L ⇒ φ (L, y) = sin αL Ceαy + De−αy + aLy + bL = 0
como φ (L, y) = 0 para todo y tenemos que sin αL = 0, a = b = 0 de modo que α = α n = nπ/L. La soluci´on se reduce a φ (x, y) = sin αn x Cn eαn y + Dn e−αn y Y dado que la soluci´on es v´alida para todo n entero (positivo o negativo), tenemos que la soluci´on mas general es una superposici´on de estos modos (linealidad en acci´on). X φ (x, y) = sin αn x Cn eαn y + Dn e−αn y n
c) φ → 0, en y → ∞, este requerimiento impide que existan valores positivos y negativos de n (y por tanto de αn ) al mismo tiempo, ya que con αn positivo se requiere que Cn = 0, y con αn negativo se requiere que Dn = 0, esto es incompatible con las otras condiciones de frontera 5 . Por tanto usaremos αn positivos, y esta condici´on conduce a Cn = 0, (igual se podr´ıa usar αn negativo), la soluci´on queda φ (x, y) =
∞ X
Dn e−αn y sin αn x
n=1
d) φ (x, 0) = V (x). Tenemos que φ (x, 0) = V (x) =
∞ X
Dn sin αn x
n=1 4
Este argumento tambi´en nos lleva a la unicidad de la ecuaci´ on de Poisson bajo condiciones de Dirichlet, ya que a´ un en presencia de carga, W contin´ ua obedeciendo a la ecuaci´ on de Laplace. 5 Otra raz´ on adicional para tomar αn positivo consiste en que la superposici´ on de funciones de la forma sin αn x, con αn positivo, forman una base en el intervalo [0, a].
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
36 multiplicando la ecuaci´on por 2 L
Z
L 0
2 L
sin αm x dx e integrando entre 0 y L ∞
2X V (x) sin αm x dx = Dn L n=1
Dm
2 = L
Z
Z
L
sin αn x sin αm x dx = 0
∞ X
Dn δmn
n=1
L
V (x) sin αm x dx 0
con lo cual la expresi´on final para el potencial queda φ (x, y) =
nπ 2 X − nπ y x e L sin L L ∞
n=1
Z
L 0
nπ x0 dx0 V x0 sin L
En el caso particular en el cual V (x) = V , obtenemos φ (x, y) = φ (x, y) =
∞ nπ Z L nπ 2V X − nπ y e L sin x sin x0 dx0 L n=1 L L 0 L ∞ 2V X − nπ y nπ 1L π e L sin x − cos nx L L πn L 0 n=1 ∞ X
2V φ (x, y) = − π
n=1
nπ e− L y sin x [(−1)n − 1] n L nπ
la suma solo sobrevive para t´erminos impares de modo que hacemos n ≡ 2k + 1 quedando (2k+1)π ∞ 4V X e− L y (2k + 1) π φ (x, y) = sin x π 2k + 1 L
k=0
esta forma del potencial se puede llevar a una forma cerrada (ver Jackson y Sep´ ulveda) " # sin Lπ x 2V −1 φ (x, y) = tan π π sinh L y
es importante hacer notar que la serie converge r´apidamente para y & a/π, pero para valores mucho mas peque˜ nos que esta cantidad, se necesitan muchos t´erminos para lograr una buena aproximaci´on.
2.4.2.
Coordenadas polares
La ecuaci´on de Laplace en coordenadas polares se escribe como 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ ρ + 2 =0 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 de nuevo suponemos separaci´on de variables φ (ρ, ϕ) = R (ρ) Ψ (ϕ) 1 d dR (ρ) R (ρ) d2 Ψ (ϕ) ρ Ψ (ϕ) + 2 =0 ρ dρ dρ ρ dϕ2 multiplicando la ecuaci´on por
ρ2 R(ρ)Ψ(ϕ)
ρ d R dρ
dR (ρ) ρ dρ
1 + Ψ
d2 Ψ (ϕ) dϕ2
=0
´ DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES 2.4. ECUACION
37
el primer t´ermino solo depende de ρ y el segundo depende exclusivamente de ϕ, de modo que cada uno de ellos debe ser una constante, hacemos entonces 1 d2 Ψ (ϕ) ρ d dR (ρ) 2 ρ = ν2 = −ν ; Ψ dϕ2 R dρ dρ asumiendo ν 2 6= 0, la ecuaci´on para Ψ (ϕ) es iνϕ d2 Ψ (ϕ) 2 −iνϕ + ν Ψ (ϕ) = 0 ⇒ Ψ (ϕ) = Ce + De dϕ2
y la ecuaci´on para R (ρ) queda
dR d ρ − Rν 2 = 0 ⇒ ρ dρ dρ dR d2 R ρ + ρ2 2 − Rν 2 = 0 dρ dρ
(2.9)
Esta ecuaci´on es homog´enea en ρ y se puede resolver con ρ = eµ ⇒
dρ dµ 1 = eµ = ρ, = e−µ = dµ dρ ρ
dR dµ dR 1 dR = = ; dρ dρ dµ ρ dµ d2 R dρ2 d2 R dρ2
d dR dµ d dR 1 d −µ dR = = = e dρ dρ dρ dµ dρ ρ dµ dµ 2 dR 1 −µ d R 1 1 dR 1 d2 R = − e−µ + e = − + ρ dµ ρ dµ2 ρ2 dµ ρ2 dµ2
reemplazando (2.10) y (2.11) en (2.9) resulta 1 dR 1 dR 1 d2 R ρ + ρ2 − 2 + 2 − Rν 2 = 0 ρ dµ ρ dµ ρ dµ2 2 dR dR d R − + − Rν 2 = 0 dµ dµ dµ2 2 d R − Rν 2 = 0 dµ2 la soluci´on es R (µ) = Aeνµ + Be−νµ = A (eµ )ν + B (eµ )−ν R (ρ) = Aρν + Bρ−ν La soluci´on para ν 2 6= 0 es
φ (ρ, ϕ) = Aρν + Bρ−ν Ceiνϕ + De−iνϕ
para ν 2 = 0 las ecuaciones quedan
d2 Ψ = 0 ⇒ Ψ = aϕ + b dϕ2 2 d R = 0 ⇒ R (µ) = (Eµ + F ) dµ2
(2.10)
(2.11)
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
38 pero ρ = eµ ⇒ µ = ln ρ
R (ρ) = E ln ρ + F
la soluci´on para ν = 0 es φ (ρ, ϕ) = (aϕ + b) (E ln ρ + F ) La soluci´on general (para ν ≥ 0) es φ (ρ, ϕ) = Aρν + Bρ−ν Ceiνϕ + De−iνϕ + (aϕ + b) (E ln ρ + F ) o alternativamente
φ (ρ, ϕ) = Aρν + Bρ−ν [C cos νϕ + D sin νϕ] + (aϕ + b) (E ln ρ + F )
(2.12)
La soluci´on general es la superposici´on de todas las soluciones encontradas, los valores permitidos de ν (sobre los cuales se hace la suma discreta o cont´ınua) dependen del problema particular. En general las soluciones con ν = 0 y con ν 6= 0 deben ser inclu´ıdas por completez, al ignorar alguna de ellas es posible que no sea posible ajustar las condiciones de frontera. Ejemplo: Intersecci´ on entre dos planos Evaluar el potencial en la regi´on cercana a la intersecci´on entre dos planos que forman un a´ngulo diedro β, con las siguientes condiciones de frontera: en ϕ = 0, φ = V ; en ϕ = β, φ = V 0 . El punto ρ = 0 est´a inclu´ıdo en la regi´on por lo cual B = E = 0, en (2.12) para evitar una divergencia en el potencial. Quedando la soluci´on φ (ρ, ϕ) = ρν [C cos νϕ + D sin νϕ] + (aϕ + b) discusi´on: obs´ervese que en la punta tenemos que el potencial tiende a V por un lado y a V 0 por el otro, luego el campo deber´ıa tener una divergencia, al menos si V 6= V 0 . Sin embargo, E y B deben ser cero ya que aunque el campo puede en general diverger, el potencial s´ı se mantiene acotado. 1.
En ϕ = 0, φ = V φ (ρ, 0) = V = Cρν + b solo es posible para todo ρ, si C = 0, y b = V φ (ρ, ϕ) = aϕ + V + Dρν sin νϕ obs´ervese que el coeficiente b es parte de la soluci´on con ν = 0, si no hubi´eramos inclu´ıdo esta contribuci´on, no hubiese sido posible satisfacer las condiciones de frontera.
2.
En ϕ = β, φ = V 0
φ (ρ, β) = V 0 = aβ + V + Dρν sin νβ
como esto debe ser v´alido ∀ρ ⇒ D = 0 o´ sin νβ = 0 se puede ver que la primera alternativa no soluciona las condic. de frontera. Con la segunda tenemos los valores permitidos para ν (con ν 6= 0) ν = νm =
mπ β
m es entero positivo o negativo, pero ρ ν produce divergencia en ρ → 0 cuando se toma m negativo, por lo tanto m > 0 ⇒ ν > 0. y m es entero, como la soluci´on ν = 0 ya ha sido inclu´ıda, entonces m = 1, 2, 3, .... (efectivamente m = 0 nos deja solo con coeficientes que provienen de la soluci´on con ν = 0, para todo ρ y para todo ϕ). El potencial para ϕ = β queda φ (ρ, β) = V 0 = aβ + V
´ DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES 2.4. ECUACION
39
con lo cual
V0 −V β La soluci´on es entonces la combinaci´on lineal de la soluci´on para cada m 0 ∞ X V −V mπ mπ/β φ (ρ, ϕ) = V + ϕ+ Dm ρ sin ϕ β β m=1 a=
Los coeficientes Dm requieren conocer las condiciones de frontera que cierren el contorno, por ejemplo sea φ (R, ϕ) = V (ϕ) y V = V 0 3. φ (R, ϕ) = V (ϕ) = V +
∞ X
Dm R
mπ/β
sin
m=1
mπ ϕ β
multiplicando por sin nπ β e integrando en ϕ ∈ (0, β) queda Z β 2 mπ 0 Dm = R−mπ/β [V (ϕ) − V ] sin ϕ dϕ0 β β 0 el potencial queda
φ (ρ, ϕ) = V +
∞ X 2
m=1
β
R
−mπ/β
Z
β
0
[V (ϕ) − V ] sin
mπ 0 ϕ β
dϕ
0
ρ
mπ/β
sin
mπ ϕ β
se puede verificar que la condici´on φ (R, ϕ) = V (ϕ) se cumple. Por otro lado si todas las paredes son equipotenciales i.e. V (ϕ) = V = V 0 se cumple que φ = V en el interior, este caso se dar´ıa por ejemplo si la cu˜ na define un conductor cerrado (o la cavidad de un conductor). En este problema, la superficie equipotencial cerrada es simplemente un lugar geom´etrico. Veamos lo que ocurre en el caso general para ρ peque˜ no, cuando a´ un no se ha evaluado D m . Dado que la mπ/β dependencia en ρ es de la forma ρ puede concluirse que cerca de ρ = 0, el potencial depende mayormente del primer t´ermino en la serie (mas exactamente de los dos primeros con ν = 0 y el segundo con m = 1). Asumamos V = V 0 ∞ X mπ π mπ/β π/β φ (ρ, ϕ) = V + Dm ρ sin ϕ ≈ V + D1 ρ sin ϕ β β m=1
queremos evaluar la densidad de carga en la vecindad de ρ = 0. La cual para un conductor viene dada por σ=− evaluemos el campo el´ectrico Eρ Eϕ
1 1 ∂φ 1 n ˆ · ∇ϕ = − = n ˆ·E 4π 4π ∂n 4π
∂φ D1 π βπ −1 πϕ = − =− ρ sin ∂ρ β β 1 ∂φ D1 π βπ −1 πϕ = − =− ρ cos ρ ∂ϕ β β
observemos que para el conductor en ϕ = 0, el vector normal es −u ϕ en tanto que para el conductor en ϕ = β se tiene que el vector normal es uϕ las densidades son 1 1 D1 πβ −1 σ0 = − uϕ · E = − Eϕ = ρ 4π 4π 4β ϕ=0 ϕ=0 1 1 D1 πβ −1 uϕ · E Eϕ ρ σβ = = = 4π 4π 4β ϕ=β
ϕ=β
para diferentes valores de β tenemos diferentes comportamientos de σ en ρ → 0 es decir en las puntas.
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
40 1.
para ξ ≡ πβ − 1 > 0, con ρ peque˜ no, la densidad tiende a cero. No hay casi acumulaci´on de carga en las puntas. Especialmente si ξ es grande (β peque˜ no).
2.
para β ≈
3.
para β ≈ π ⇒ |σ| ≈ infinito.
4.
para β ≈
5.
Para β ≈ 2π ⇒ |σ| ≈ anterior.
π 2
3π 2
⇒ |σ| ≈
D1 2π ρ D1 4π
⇒ |σ| ≈
y tambi´en disminuye al acercarse a la punta independiente de ρ, lo cual es de esperarse ya que se convierte en un plano
D1 (−1/3) 6π ρ
tanto el campo como la densidad de carga son singulares en ρ = 0.
D1 (−1/2) . 8π ρ
La carga se acumula en las puntas mas r´apidamente que en el caso
Como se ve la carga tiende a acumularse en las puntas en algunos casos. Estas acumulaciones de carga producen campos muy intensos. En este sencillo principio se basa el pararrayos. (Chequear esta afirmaci´on) la diferencia entre β peque˜ no y β → 2π consiste en que en el segundo caso la regi´on que consideramos interior es casi todo el espacio en tanto que para β peque˜ no el interior es una cu˜ na muy estrecha. (Chequear esta afirmaci´on) La soluci´on de la ecuaci´on de Laplace en estos casos es para un volumen delimitado por las condiciones de frontera en una superficie cerrada, si queremos solucionarla en el exterior debemos asumir superficie entre las condiciones ya dadas y el infinito (es decir siempre formando un volumen con una superficie cerrada). La soluci´on general sigue siendo la que aqu´ı se escribi´o, pero los coeficientes pueden variar ya que no tendr´ıamos las mismas condiciones de frontera que en el problema interior original).
2.4.3.
Cilindro infinito
Cilindro infinito a potencial V (ϕ) en su superficie. El potencial es independiente de Z lo que lo convierte en un problema bidimensional. Tomemos la soluci´on bidimensional general φ (ρ, ϕ) = Aρν + Bρ−ν [C cos νϕ + D sin νϕ] + (aϕ + b) (E ln ρ + F )
el potencial debe ser el mismo en ϕ = 0 y en ϕ = 2nπ. Esto implica a = 0, y que ν debe ser entero. Por otro lado E = B = 0 para evitar divergencias en ρ → 0. La soluci´on queda φ (ρ, ϕ) = ρν [C cos νϕ + D sin νϕ] + F 0
teniendo presente que ν debe ser entero, la soluci´on general es 0
φ (ρ, ϕ) = F +
∞ X
ρν [Cν cos νϕ + Dν sin νϕ]
ν=1
usando la condici´on φ = V (ϕ) en ρ = R φ (R, ϕ) = V (ϕ) = F 0 +
∞ X
Rν [Cν cos νϕ + Dν sin νϕ]
(2.13)
ν=1
multiplicando por sin ν 0 ϕ dϕ e integrando Z 2π Z 2π V (ϕ) sin ν 0 ϕ dϕ = F 0 sin ν 0 ϕ dϕ 0
0
+
∞ X ν=1
R
ν
Cν
Z
0
2π
0
cos νϕ sin ν ϕ dϕ + Dν
Z
2π
0
sin νϕ sin ν ϕ dϕ 0
´ DE LAPLACE EN TRES DIMENSIONES, COORDENADAS CARTESIANAS 2.5. ECUACION Z
2π
∞ X
0
V (ϕ) sin ν ϕ dϕ =
0
Z
ν
R Dν
2π
sin νϕ sin ν 0 ϕ dϕ
0
ν=1
2π
Z
41
0
V (ϕ) sin ν 0 ϕ dϕ = πRν Dν 0
0
obteniendo
1 Dν = πRν
similarmente se obtiene Cν al multiplicar por
0
F
0
2π
F dϕ + 0
1 2π
=
0
Z
Z
V (ϕ) sin νϕ dϕ
∞ X
2π
V (ϕ) cos νϕ dϕ 0
R
ν=1
2π
2π
0 cos ν 0 ϕ
1 Cν = πRν integrando (2.13) en ϕ se tiene Z 2π Z V (ϕ) dϕ =
Z
ν
Cν
Z
2π
cos νϕ dϕ + Dν
0
Z
2π
sin νϕ dϕ 0
V (ϕ) dϕ
0
la soluci´on queda entonces φ (ρ, ϕ) =
1 2π
Z
2π
V (ϕ) dϕ
0
Z ∞ 1 X ρ ν 2π V ϕ0 cos νϕ0 cos νϕ dϕ0 + V ϕ0 sin νϕ0 sin νϕ dϕ0 + 2 π R 0 ν=1
inquietud: no se est´a definiendo las condiciones de frontera sobre una superficie cerrada (no se defini´o el potencial en las tapas del infinito), y sin embargo es soluble. Posible respuesta, un cilindro infinito es topol´ogicamente equivalente a un toro de radio infinito.
2.5.
Ecuaci´ on de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas 2
∇ φ (x, y, z) = 0 ⇒ separaci´on de variables φ = A (x) B (y) C (z)
∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z
φ (x, y, z) = 0
1 d2 B 1 d2 C 1 d2 A + + = 0 ⇒ γ 2 = α2 + β 2 2 2 2 A dx B dy C dz | {z } | {z } | {z } −α2
−β 2
γ2
Para obtener la soluci´on mas general debemos obtener todas las combinaciones con α, β, γ iguales a cero o diferentes de cero, la soluci´on m´as general requiere que α, β, γ sean complejos. En esta secci´on nos restringiremos al caso en que estos par´ametros son reales, en cuyo caso podemos tomar todos ellos con valores no negativos.
A (x) B (y) C (z)
α 6= 0, β 6= 0 Aeiαx + Be−iαx Ceiβy + De−iβy Eeγz + F e−γz
α = 0, β = γ 6= 0 ax + b Geiβy + He−iβy Jeβz + Ke−βz
β = 0, α = γ 6= 0 Leiαx + M e−iαx cy + d N eαz + P e−αz
α = 0, β = γ = 0 ex + f gy + h jz + k
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
42
la ligadura γ 2 = α2 + β 2 prohibe la posibilidad de α = β 6= 0, γ = 0, (aunque esta posibilidad existe cuando asumimos que estos par´ametros son complejos). La soluci´on cuasi general queda φ (x, y, z) = Aeiαx + Be−iαx Ceiβy + De−iβy Eeγz + F e−γz 0 0 0 0 + (ax + b) Geiβ y + He−iβ y Jeβ z + Ke−β z 0 0 0 0 + Leiα x + M e−iα x (cy + d) N eα z + P e−α z + (ex + f ) (gy + h) (jz + k)
(2.14)
α, α0 , β, β 0 son positivos, aunque en esta expresi´on final pueden tomar el valor cero. Cuando todos ellos toman el valor cero, se obtiene una constante por lo cual uno podr´ıa remover la constante que aparece en la expresi´on para el potencial, que es f hk. La soluci´on mas general implica sumatorias y/o integrales en α, α 0 , β, β 0 y las constantes est´an determinadas por las condiciones de frontera. Caja de lados a, b, c Asumamos una caja de lados a, b, c en donde el potencial es cero en todas las caras excepto en la paralela al plano XY, a una distancia c, en esta cara el potencial es V (x, y). Este problema se resuelve f´acilmente proponiendo una soluci´on en funciones senoidales en x, y y una funci´on libre en z (ver Jackson). Sin embargo, aqu´ı llegaremos a la soluci´on partiendo de la expresi´on general (2.14), aunque el procedimiento es mucho mas largo que el antes mencionado, nos dar´a cierta habilidad en el empleo de la f´ormula general. 1.
φ = 0 en x = 0, la soluci´on (2.14) queda φ (0, y, z) = (A + B) Ceiβy + De−iβy Eeγz + F e−γz 0 0 0 0 +b0 Geiβ y + He−iβ y Jeβ z + Ke−β z 0 0 + (L + M ) c0 y + d N eα z + P e−α z +f (gy + h) (jz + k)
φ (0, y, z) = (A + B) Φ1 (y, z) + b0 Φ2 (y, z) + (L + M ) Φ3 (y, z) + f [Φ4 (y, z) + hk] = 0 donde usaremos la notaci´on a0 , b0 , c0 para los coeficientes en el potencial, a fin de no confundirlos con las dimensiones del paralelep´ıpedo. Como cada Φ i (y, z) es linealmente independiente, y adem´as la constante f hk se puede remover, entonces cada coeficiente que acompa˜ na a los Φ i (y, z) se debe anular A + B = 0 ; b0 = 0 ; (L + M ) = 0 ; f = 0 la soluci´on queda φ (x, y, z) = sin αx Ceiβy + De−iβy Eeγz + F e−γz 0 0 0 0 +x Geiβ y + He−iβ y Jeβ z + Ke−β z 0 0 + sin α0 x c0 y + d N eα z + P e−α z +x (gy + h) (jz + k)
´ DE LAPLACE EN TRES DIMENSIONES, COORDENADAS CARTESIANAS 2.5. ECUACION 2.
43
φ = 0, en y = 0 φ (x, 0, z) = sin αx (C + D) Eeγz + F e−γz 0 0 +x (G + H) Jeβ z + Ke−β z 0 0 + sin α0 x (d) N eα z + P e−α z +xh (jz + k)
un argumento similar al anterior nos da C + D = 0 ; G + H = 0; d = 0, h = 0 estamos suponiendo que A y L de la expresi´on original son diferentes de cero. Puede chequearse que si cualquiera de ellos se hace cero las condiciones de frontera no se cumplen (chequear). La soluci´on queda 0 0 φ (x, y, z) = sin αx sin βy Eeγz + F e−γz + x sin β 0 y Jeβ z + Ke−β z 0 0 +y sin α0 x N eα z + P e−α z + xy (jz + k) 3.
φ = 0 en z = 0 φ (x, y, 0) = sin αx sin βy (E + F ) + x sin β 0 y (J + K) +y sin α0 x (N + P ) + xyk conduce a (E + F ) = (J + K) = (N + P ) = k = 0 quedando φ (x, y, z) = E sin αx sin βy sinh γz + Jx sin β 0 y sinh β 0 z +N y sin α0 x sinh α0 z + jxyz
4.
φ = 0 en x = a
conduce a
φ (a, y, z) = E (sin αa) sin βy sinh γz + Ja sin β 0 y sinh β 0 z +N y sin α0 a sinh α0 z + jayz sin αa = 0 ; J = 0 ; sin α0 a = 0, j = 0
quedando φ (x, y, z) = En sin αn x sin βy sinh γz + Nk y sin α0k x sinh α0k z con αn = 5.
nπ kπ ; α0k = a a
φ = 0 en y = b φ (x, b, z) = En sin αn x (sin βb) sinh γz + Nk b sin α0k x sinh α0k z conduce a Nk = 0, β = βm =
mπ b
φ (x, y, z) = Enm sin αn x sin βm y sinh γnm z
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
44 6.
φ = V (x, y) en z = c φ (x, y, c) = V (x, y) = Enm sin αn x sin βm y sinh γnm c multiplicamos por sin αn0 x sin βm0 y e integramos con lo cual se obtiene Z aZ b 4 V (x, y) sin αn x sin βm y Enm = dx dy ab 0 0 sinh γmn c con 2 γmn
=π
2
n2 m2 + 2 a2 b
a manera de consistencia se puede ver que si V (x, y) = 0, el potencial en el interior nos da φ = 0. Este ser´ıa el caso de un paralelep´ıpedo conductor conectado a tierra.
2.6. 2.6.1.
Ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esf´ ericas Operador momento angular orbital
Un operador momento angular es un operador con tres componentes Jˆ1 , Jˆ2 , Jˆ3 donde cada componente es herm´ıtica y satisface las relaciones de conmutaci´on h i Jˆi , Jˆj = iεkij Jk
el cuadrado de este operador se define como
ˆ2 = Jˆ12 + Jˆ22 + Jˆ32 J ˆ2 se puede verificar que cada componente conmuta con J h i 2 ˆ ˆ J , Jj = 0
ˆ2 y Jˆj admiten un conjunto com´ esto implica que J un de funciones propias. Elijamos Jˆ3 para encontrar este conjunto com´ un, se cumple que: ˆ2 Ψjm = j (j + 1) Ψjm ; Jˆ3 Ψjm = mΨjm J 1 3 j = 0, , 1, , 2, ...; m = j, j − 1, j − 2, .., − (j − 2) , − (j − 1) , −j 2 2 0 0 0 Ψjm , Ψj m = δj j δmm0
ˆ = −ir × ∇ se puede ver que este operador cumple con las El operador momento angular orbital cl´asico es L propiedades de un momento angular, por otro lado la exigencia de periodicidad en 2π nos exige excluir los valores semienteros de j. Es notable el hecho de que los valores propios solo depeden de la hermiticidad de los operadores y de su a´lgebra de Lie, pero no de su forma expl´ıcita.
2.6.2.
Separaci´ on de variables para la ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esf´ ericas ∇2 φ = 0
en coordenadas esf´ericas queda 1 ∂ 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ 2 ∂φ r + sin θ + =0 r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin2 θ ∂ϕ2
´ DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS ´ 2.6. ECUACION utilizando la identidad
escribimos
1 ∂ r 2 ∂r
r2
∂φ ∂r
1 ∂2 1 ∂ (rφ) + 2 2 r ∂r r sin θ ∂θ
hacemos separaci´on de variables de la forma
=
1 ∂2 (rφ) r ∂r 2
∂φ sin θ ∂θ
φ (r, θ, ϕ) =
45
+
∂2φ 1 =0 r 2 sin2 θ ∂ϕ2
U (r) Y (θ, ϕ) r
(2.15)
reemplazamos ∂2U U (r) 1 ∂ 1 Y (θ, ϕ) + r ∂r 2 r r 2 sin θ ∂θ
∂Y (θ, ϕ) U (r) 1 ∂ 2 Y (θ, ϕ) sin θ + =0 ∂θ r r 2 sin2 θ ∂ϕ2
y multiplicamos por r 3 / (U Y ) 1 ∂ ∂Y (θ, ϕ) 1 ∂ 2 Y (θ, ϕ) r 2 d2 U + sin θ + = 0 U (r) dr 2 sin θY (θ, ϕ) ∂θ ∂θ ∂ϕ2 sin2 θY (θ, ϕ) r 2 d2 U 1 1 ∂ ∂Y (θ, ϕ) 1 ∂ 2 Y (θ, ϕ) + sin θ + = 0 U (r) dr 2 Y (θ, ϕ) sin θ ∂θ ∂θ ∂ϕ2 sin2 θ ahora bien, el t´ermino entre par´entesis es justamente el operador momento angular orbital cl´asico al cuadrado (con signo menos) 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 2 ˆ ˆ L = −ir × ∇ ⇒ L = (−ir × ∇) = − sin θ + (2.16) sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 1 ∂ ∂Y (θ, ϕ) 1 ∂ 2 Y (θ, ϕ) 2 ˆ L Y (θ, ϕ) = − sin θ + (2.17) sin θ ∂θ ∂θ ∂ϕ2 sin2 θ la ecuaci´on se reduce a
ˆ 2 Y (θ, ϕ) r 2 d2 U L − =0 U (r) dr 2 Y (θ, ϕ) | {z } | {z } l(l+1)
quedando las ecuaciones
l(l+1)
r 2 d2 U = l (l + 1) U (r) dr 2
⇒
d2 U dr 2
−
l(l+1) r2 U
=0
ˆ 2 Y (θ, ϕ) = l (l + 1) Y (θ, ϕ) L La ecuaci´on radial es homog´enea para r de modo que podemos hacer r = e µ obteni´endose dU d2 U − − l (l + 1) U = 0 2 dµ dµ denotando D como el operador derivada 2 D − D − l (l + 1) U = 0 ⇒ [D − (1 + l)] [D + l] U = 0 la soluciones son
U = e(1+l)µ = r l+1 ; U = e−lµ = r −l
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
46 la soluci´on para r queda
U = Ar l+1 + Br −l veamos la soluci´on para la parte angular 1 ∂ ∂Y (θ, ϕ) 1 ∂ 2 Y (θ, ϕ) sin θ + + l (l + 1) Y (θ, ϕ) = 0 sin θ ∂θ ∂θ ∂ϕ2 sin2 θ separamos variables
Q (ϕ) d sin θ dθ
Y (θ, ϕ) = P (θ) Q (ϕ) dP (θ) P (θ) ∂ 2 Q (ϕ) sin θ + + l (l + 1) P (θ) Q (ϕ) = 0 dθ sin2 θ ∂ϕ2
(2.18)
multiplicamos por sin2 θ/ (P Q) 1 ∂ 2 Q (ϕ) sin θ d dP (θ) sin θ + l (l + 1) sin2 θ + =0 P (θ) dθ dθ Q (ϕ) ∂ϕ2 {z } | {z } | −m2
m2
la soluci´on se escogi´o de tal manera que en Q (ϕ) haya soluciones arm´onicas. ∂ 2 Q (ϕ) Ceimϕ + De−imϕ si m 6= 0 2 + m Q (ϕ) = 0 ⇒ Q (ϕ) = aϕ + b si m = 0 ∂ϕ2 la soluci´on en θ es
sin θ d P (θ) dθ
dP (θ) sin θ dθ
(2.19)
+ l (l + 1) sin2 θ − m2 = 0
sustituyamos
dx = − sin θ; sin2 θ = 1 − x2 dθ dx dP dP dP = = − sin θ dθ dθ dx dx sustituyendo esta derivada en la ecuaci´on sin θ d dP − sin θ sin θ + l (l + 1) sin2 θ − m2 = 0 P (θ) dθ dx x = cos θ ⇒
(2.20)
dividiendo por sin2 θ
multiplicando por P
1 1 d m2 2 dP − sin θ + l (l + 1) − P (θ) sin θ dθ dx sin2 θ dP 1 dθ d m2 1 − x2 + l (l + 1) − P (θ) dx dθ dx (1 − x2 ) dP 1 d m2 1 − x2 + l (l + 1) − P (θ) dx dx (1 − x2 ) d dx
o equivalentemente 1 − x2
= 0 = 0 = 0
dP m2 P 1−x + l (l + 1) P − =0 dx (1 − x2 ) 2
d2 P dP m2 P − 2x + l (l + 1) P − =0 dx2 dx (1 − x2 )
(2.21)
(2.22)
´ DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS ´ 2.6. ECUACION
47
la cual se conoce como ecuaci´on asociada de Legendre. Consideremos primeramente la soluci´on correspondiente a m = 0 1 − x2
d2 P dP + l (l + 1) P = 0 − 2x 2 dx dx
denominada ecuaci´on ordinaria de Legendre. Consideremos una soluci´on en series de potencias P (x) = xα
∞ X
aj xj
(2.23)
j=0
α es un par´ametro a determinar, al introducirlo en la ecuaci´on ordinaria de Legendre, se tiene ∞ ∞ ∞ 2 X X X d d 1 − x2 aj xj+α − 2x aj xj+α + l (l + 1) aj xj+α = 0 dx2 dx j=0
1 − x2
d dx
∞ X j=0
—————————–
j=0
aj (j + α) xj+α−1 − 2x
∞ X j=0
j=0
aj (j + α) xj+α−1 + l (l + 1)
∞ X 1 − x2 aj (j + α) (j + α − 1) xj+α−2
∞ X j=0
aj xj+α = 0
j=0
————————– − = 0
−2x
∞ X j=0
∞ X j=0
∞ X j=0
aj (j + α) xj+α−1 + l (l + 1)
——————∞ X j=0
aj (j + α) (j + α − 1) xj+α−2 −
2aj (j + α) xj+α + l (l + 1) ∞ X j=0
−
∞ X j=0
∞ X j=0
∞ X j=0
∞ X j=0
aj xj+α = 0
aj (j + α) (j + α − 1) xj+α
aj xj+α
aj (j + α) (j + α − 1) xj+α−2
[2aj (j + α) + aj (j + α) (j + α − 1) − aj l (l + 1)] xj+α = 0
aj (j + α) (j + α − 1) xj+α−2 − [(j + α) (2 + j + α − 1) − l (l + 1)] aj xj+α = 0
quedando finalmente ∞ X j=0
aj (j + α) (j + α − 1) xj+α−2 − [(j + α) (j + α + 1) − l (l + 1)] aj xj+α = 0
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
48 cada coeficiente debe ser cero por separado
aj (j + α) (j + α − 1) = 0
aj (j + α) (j + α + 1) − l (l + 1) = 0 con lo cual para j = 0, 1. Si a0 6= 0 ⇒con j = 0 α (α − 1) = 0 la primera relaci´on nos dice que α =cero o´ uno. Si a 1 6= 0 con j = 1 (1 + α) α = 0
para cualquier otro j se obtiene la recurrencia (α + j) (α + j + 1) − l (l + 1) aj+2 = aj (α + j + 1) (α + j + 2) las relaciones para j = 0 y j = 1 son en realidad equivalentes de modo que podemos elegir a 0 6= 0 o´ a1 6= 0, pero no los dos al tiempo. Eligiendo a 0 6= 0 obtenemos que α = 0 o´ α = 1. La relaci´on de recurrencia muestra que la serie de potencias tiene solo potencias pares (α = 0) o impares (α = 1). α resulta ser cero o uno. Para ambos valores de α la serie converge para x 2 < 1, y diverge en x = ±1 a menos que la serie sea truncada, convirti´endose entonces en un polinomio, esto solo es posible si l es cero o entero positivo. Adicionalmente, para l par (impar) se exige α = 0 (α = 1). Los polinomios se normalizan de tal manera que valgan 1 en x = 1 y se denominan polinomios de Legendre. En forma general estos polinomios est´an dados por Pl (x) =
l 1 dl x2 − 1 l l 2 l! dx
(2.24)
los cuales forman la soluci´on de la funci´on P (θ) definida en (2.18), i.e. P (θ) ≡ Pl (cos θ)
(2.25)
Los polinomios de Legendre Pl (x) forman un conjunto ortogonal y completo en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 Z 1 2 Pl (x) Pl0 (x) dx = δll0 2l +1 −1 ∞ 1X (2l + 1) Pl (x) Pl x0 = δ x − x0 2 l=0
y teniendo en cuenta las relaciones (2.20) se obtiene en t´erminos de θ x = cos θ ⇒ dx = − sin θ dθ; x = −1 ⇒ θ = π ; x = 1 ⇒ θ = 0 Z
1
Pl (x) Pl0 (x) dx =
−1
Z
0
Pl (cos θ) Pl0 (cos θ) [− sin θ dθ]
π
=
Z
π
Pl (cos θ) Pl0 (cos θ) sin θ dθ
0
las relaciones de ortogonalidad y completez quedan Z π Pl (cos θ) Pl0 (cos θ) sin θ dθ = 0 ∞
2 δll0 2l + 1
1X (2l + 1) Pl (cos θ) Pl cos θ 0 = δ cos θ − cos θ 0 2 l=0
´ DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS ´ 2.6. ECUACION
49
cualquier funci´on regular definida en el intervalo [−1, 1] puede escribirse Z ∞ X 2l + 1 1 f (x) = Al Pl (x) ⇒ Al = f x0 Pl x0 dx0 2 −1 l=0
la soluci´on de la parte angular con m = 0 se obtiene entonces reemplazando (2.19) y (2.25) en (2.18) usando m = 0: Ym=0 (θ, ϕ) = (aϕ + b) Pl (cos θ) (2.26) y la soluci´on a la ecuaci´on de Laplace con m = 0 se obtiene reemplazando (??, 2.26) en (2.15) y teniendo en cuenta que la superposici´on de soluciones tambi´en es soluci´on. φ (r, θ, ϕ) = (aϕ + b)
∞ X Ul (r) l=0
r
Pl (cos θ)
(2.27)
si asumimos simetr´ıa azimutal (i.e. independencia con respecto a ϕ), entonces a = 0, y la soluci´on queda ∞ X Bl l φ (r, θ) = Al r + l+1 Pl (cos θ) (2.28) r l=0
puede verse efectivamente que las soluciones con m 6= 0 ya no tienen simetr´ıa azimutal ya que tienen soluciones no triviales en ϕ. Al , Bl se determinan con las condiciones de frontera.
2.6.3.
Propiedades de Pl (cos θ)
??????????????????
2.6.4.
Esfera con φ = V (θ) en la superficie
Figura 2.3: Evaluar φ en el interior de una esfera sin carga en su interior si φ = V (θ) en la superficie (ver Fig. 2.3). φ (r, θ) =
∞ X l=0
para evitar divergencia en φ se hace B l = 0
φ (r, θ) =
Bl Al r + l+1 Pl (cos θ) r l
∞ X
Al r l Pl (cos θ)
l=0
en r = a ⇒ φ = V (θ) V (θ) =
∞ X
Al al Pl (cos θ)
l=0
multiplicamos por Pl0 (cos θ) sin θ dθ e integramos entre 0 y π. Z π Z π ∞ X l V (θ) Pl0 (cos θ) sin θ dθ = Al a Pl (cos θ) Pl0 (cos θ) sin θ dθ 0
=
l=0 ∞ X l=0
0
0
Al al
2 2Al0 al δll0 = 0 2l + 1 2l + 1
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
50 2l + 1 Al = 2al
φ (r, θ) =
Z ∞ X 2l + 1 2al
l=0
φ (r, θ) =
Z
π 0
π
2
0
a
0
Pl (cos θ)
Z
π
0
0
0
V θ Pl cos θ sin θ dθ r l Pl (cos θ)
0
∞ X 2l + 1 r l l=0
V θ 0 Pl cos θ 0 sin θ 0 dθ 0
0
0
V θ Pl cos θ sin θ dθ
0
0
si se quiere calcular el potencial por fuera de la esfera basta con reemplazar (r/a) l → (a/r)l+1 .
2.6.5.
Cascarones conc´ entricos
Cascar´on de radio b a potencial V0 cascar´on de radio a a potencial V para 0 ≤ θ ≤ π/2 ;
0 para π/2 ≤ θ ≤ π con φ = V0 en r = b ⇒ V0 =
∞ X l=0
Bl Al b + l+1 Pl (cos θ) b l
multiplicamos por Pl0 (x) e integramos Z
1
V0 Pl0 (x) dx =
−1
l=0 ∞ X
Bl Al b + l+1 b l
Z
1
Pl (x) Pl0 (x) dx −1
2 Bl Al b + l+1 δll0 = b 2l + 1 l=0 2 Bl l = Al b + l+1 b 2l + 1
2V0 δl0 0 2V0 δl0 por tanto se obtiene
∞ X
l
A0 + Bb0 = V0 si l = 0 l Al bl + bB si l ≥ 1 l+1 = 0
(2.29)
ahora aplicamos φ = V (θ) en r = a
Z
Z
2 V (x) Pl (x) dx = 2l + 1 −1
1
V (x) Pl (x) dx =
−1
V por tanto
1
Z
⇒
Z
0
−1
0 · Pl (x) dx +
1
Pl (x) dx = 0
2 2l+1 2 2l+1
Al y Bl se pueden calcular de (2.29, 2.30).
Z
Bl Al a + l+1 a l
1 0
V · Pl (x) dx = V
Z
1
Pl (x) dx
0
V δl0 si l = par 0 si l = impar
l Al al + aB =V l+1 B l Al al + al+1 =0
si l = 0 si l ≥ 1
(2.30)
2.7. PROBLEMAS CON CONDICIONES QUE NO SON DE FRONTERA
2.7.
51
Problemas con condiciones que no son de frontera
La unicidad de la soluci´on (2.28), nos conduce a que si encontramos cualquier m´etodo para hallar A l y Bl , estos valores ser´an u ´ nicos. En algunas ocasiones es posible encontrar estos coeficientes sin recurrir en forma expl´ıcita a las condiciones de frontera, conociendo por ejemplo el potencial en cierta regi´on (que no necesariamente pertenece a la frontera), usualmente el eje de simetr´ıa. Cuando aplicamos la soluci´on general Eq. (2.28) a dicho eje obtenemos ∞ X Bl φ (r = z, θ = 0) = Al z l + l+1 (2.31) z l=0
para la parte negativa del eje i.e. θ = π, tenemos que introducir un factor (−1) l . Si el potencial en esta regi´on puede desarrollarse en series de potencias, entonces podemos encontrar los coeficientes ya mencionados por comparaci´on de la serie de potencias con la Ec. (2.31). Para ilustrar este m´etodo, tomemos una esfera con potenciales ±V en las superficies de los hemisferios norte y sur respectivamente (ver Fig ??? en la P´ag. ???). Como veremos m´as adelante (secci´on 5.3.1), es plausible obtener una soluci´on al potencial generado en el exterior de la esfera evaluado sobre el eje de simetr´ıa (eje Z), y viene dado por la Ec. (5.18) ! z 2 − a2 ; z>a φ (z) = V 1 − √ z a2 + z 2 dado que z > a, la variable adecuada para la expansi´on es a/z (z 2 −a2 ) 2 a 2 z 1 − z z2 = V 1 − q φ (z) = V 1 − q 2 +z 2 a a 2 z2 1 + z2 z
una expansi´on de Taylor de esta funci´on nos da
∞ 2j − V X (−1)j−1 φ (z) = √ π j=1
1 2
Γ j− j!
1 2
a 2j z
(2.32)
comparando esta ecuaci´on con (2.31) tenemos ∞ ∞ 1 1 2j X Bl a V X j−1 2j − 2 Γ j − 2 l Al z + l+1 = √ (−1) z π j! z j=1
l=0
comparando las potencias de z se ve que a la derecha no hay potencias positivas de ´esta. Por tanto A l = 0. " # ∞ ∞ 1 1 X 1 1 V X j−1 2j − 2 Γ j − 2 (−1) Bl l+1 = √ a2j 2j z π j! z j=1
l=0
De esta expresi´on se ve que al lado izquierdo solo deben contribuir las potencias pares en l + 1, es decir impares en l. De modo que Bl = 0 si l es par, por esta raz´on podemos escribir la suma de la izquierda con l + 1 ≡ 2j, y dado que solo contribuyen los valores l = 1, 3, 5, 7, .. la suma se expresa como " # ∞ ∞ 1 1 X 1 V X 1 j−1 2j − 2 Γ j − 2 B2j−1 2j = √ (−1) a2j 2j z j! z π j=1
j=1
quedando B2j−1
2j − V = √ (−1)j−1 π
1 2
Γ j− j!
1 2
a2j
´ DE LAPLACE CAP´ITULO 2. ECUACION
52
el valor B2j−1 es u ´ nico y v´alido para todas las regiones de la esfera exterior a´ un fuera del eje, de modo que la soluci´on general para el potencial fuera de la esfera es φ (r, θ) =
∞ X
B2j−1
j=1
1 P2j−1 (cos θ) r 2j
quedando # 1 1 2j − Γ j − V 1 2 2 √ (−1)j−1 a2j 2j P2j−1 (cos θ) φ (r, θ) = π j! r j=1 " # ∞ 1 1 a 2j V X j−1 2j − 2 Γ j − 2 √ φ (r, θ) = (−1) P2j−1 (cos θ) j! r π ∞ X
"
(2.33)
j=1
N´otese que en realidad se usaron condiciones de Dirichlet para garantizar la unicidad, esto nos permite asegurar que una vez encontrados Al y Bl por cualquier m´etodo, estos conducen a la soluci´on (´ unica) en toda la regi´on.
2.8.
Expansi´ on de
1 |r−r0 |
en polinomios de Legendre
1 Una importante aplicaci´on de la t´ecnica anterior nos posibilita expandir la funci´on |r−r a muy 0 | (la cual ser´ importante en aplicaciones subsecuentes) en polinomios de Legendre. Esta funci´on satisface la ecuaci´on de Laplace para r 6= r0 . Si rotamos los ejes de tal forma que r 0 quede a lo largo de Z, tendremos una funci´on que satisface la ecuaci´on de Laplace y posee simetr´ıa azimuthal, de modo que podemos usar (2.28)
∞ X Bl 1 l = Al r + l+1 Pl (cos γ) |r − r0 | r
(2.34)
l=0
donde γ es el a´ngulo entre los vectores r y r 0 que en el caso de la rotaci´on ya descrita coincidir´ıa con θ de las coordenadas esf´ericas. Naturalmente, A l y Bl son en general funciones de r0 . Examinemos las condiciones de frontera 1.
Para r < r 0 y con
1 |r−r0 |
6= ∞, hay que evitar divergencia en r→0 se tiene que B l = 0 en (2.34) ∞
X 1 = Al r l Pl (cos γ) |r − r0 | l=0
a continuaci´on introduciremos la siguiente notaci´on: r > denota al mayor entre r y r 0 ; similarmente r< simboliza al menor entre r y r 0 . En esta notaci´on, la expansi´on anterior se escribe: ∞
X 1 l = Al r< Pl (cos γ) |r − r0 |
(2.35)
l=0
2.
Para r > r 0 con
1 |r−r0 |
6= ∞, hay que evitar divergencia en r→∞ , entonces A l = 0 en (2.34) ∞
X Bl 1 = P (cos γ) 0 l+1 l |r − r | r> l=0
(2.36)
´ DE 2.8. EXPANSION
1 |R−R0 |
53
EN POLINOMIOS DE LEGENDRE
Una soluci´on v´alida en ambas regiones se obtiene haciendo el producto entre los sumandos de (2.35) con los de (2.36) y sumando sobre l 6 . ! ∞ l X r< 1 = Cl Pl (cos γ) l+1 |r − r0 | r> l=0 para evaluar Cl consideramos el caso en que r y r0 son colineales i.e. γ = 0. Esto permite hacer f´acilmente una expansi´on en series de potencias. Para el caso r > r 0 la expansi´on adecuada es en r 0 /r
1 |r − r0 |
= =
! ∞ l X r< 1 = Cl Pl (cos 0◦ ) l+1 (r − r 0 ) r > l=0 # " 0 2 ∞ l 1 r< r0 r 1 X Cl Pl (1) = + ... C0 + C 1 + C 2 r> r> r r r l=0
pero a su vez 1 1 = (r − r 0 ) r
r0 1− r
se sigue que Cl = 1 (e igualmente para r
≡ el mayor entre x y x0 se obtiene Gb x, x0 = A 0 x0 x + B 0 x0 ⇒ A 0 x0 a + B 0 x0 = 0 Gb x, x
0
⇒ B 0 = −A0 a =
A0 x − A0 a = −A0 (a − x) = −A0 (a − x> )
6 La parte coseno tambi´en son funciones propias, y son completas en el mismo intervalo. Pero resulta muy dif´ıcil encontrar los coeficientes que ajusten las condiciones de frontera de este problema.
´ DE LA FUNCION ´ DE GREEN EN ELECTROSTATICA ´ 4.3. INTERPRETACION
77
una soluci´on v´alida para las dos regiones es el producto de las dos anteriores (recordemos que esta es la motivaci´on para introducir la notaci´on de x > , x< ). G x, x0 = Ga x, x0 Gb x, x0 = −A0 x0 A x0 x< (a − x> )
pero el factor −A0 (x0 ) A (x0 ) se puede absorber en una sola constante C (x 0 ) ≡ −A0 (x0 ) A (x0 ), y la funci´on de Green se escribe G x, x0 = C x0 x< (a − x> )
sin embargo, debemos tener presente que la soluci´on encontrada es solo para la parte homog´enea (x 6= x 0 ) la constante C (x0 ) debe contener la informaci´on sobre la parte inhomog´enea. Para tener en cuenta la parte inhomog´enea, integramos la ecuaci´on diferencial entre x = x 0 − ε, y x = x0 + ε, despu´es se hace ε → 0+ . Z
Es decir que
dG(x,x0 ) dx
x=x0 +ε 2 d G (x, x0 )
x=x0 −ε
dx2
dx = −4π
0 dG (x, x0 ) x=x +ε = −4π 0 dx x=x −ε
Z
x=x0 +ε
x=x0 −ε
δ x − x0
dx
dG (x, x0 ) dG (x, x0 ) 0 − 0 = −4π dx dx x=x +ε x=x −ε
es discontinua en x = x0 . Reemplazando nuestra soluci´on
d d 0 0 C x x< (a − x> ) − C x x< (a − x> ) = −4π dx dx 0 x=x +ε x=x0 −ε
cuando x = x0 + ε tenemos que x = x> y x0 = x< , y lo contrario cuando x = x0 − ε.
0 d d 0 0 0 C x x (a − x) − C x x a−x = −4π dx dx x=x0 +ε x=x0 −ε −C x0 x0 x=x0 +ε − C x0 a − x0 x=x0 −ε = −4π C x0 x0 + a − x 0 = 4π
donde se ha tomado el l´ımite cuando ε → 0 + . De la u ´ ltima expresi´on se obtiene C = 4π/a en este caso C result´o independiente de x0 . La soluci´on para la funci´on de Green es: 4π x< (a − x> ) G x, x0 = a
(4.8)
podemos verificar la simetr´ıa de G (x, x 0 ) en la expresi´on (4.8). Si por ejemplo x > x 0 entonces x = x> y x0 = x< , en cuyo caso esta funci´on queda 4π 0 G x, x0 = x (a − x) ; x > x0 a
no obstante, si intercambaimos a x, x 0 es claro que x sigue siendo el mayor y x 0 sigue siendo el menor, de modo que G (x, x0 ) = G (x0 , x).
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON
78
4.4.
Problemas bidimensionales
Encontremos la funci´on de Green con condiciones de Dirichlet sobre una regi´on rectangular de modo que G = 0 en x = 0, a y G = 0 en y = 0, b. La ecuaci´on de Green es 2 ∂2 ∂ + 2 G x, x0 , y, y 0 = −4πδ x − x0 δ y − y 0 2 ∂x ∂y utilicemos la expresi´on general de la funci´on de Green 7
X ϕ∗ (r0 ) ϕn (r) n G r, r0 = 4π λ − λn n usemos las funciones propias ϕnm (r) = minemos sus valores propios
√1 ab
sin αn x sin βm y, del operador ∇2 en dos dimensiones8 . Deter-
∂2 ∂2 1 √ sin αn x sin βm y + ∂x2 ∂y 2 ab 1 2 2 = − αn + βm √ sin αn x sin βm y ab 2 . Ahora bien, para que las funciones propias satisfagan la condici´ Lo valores propios son − α2n + βm on de frontera es necesario sin αn a = 0, sin βm b = 0, lo cual nos da αn a = nπ, βm b = mπ, de modo que αn =
nπ mπ ; βm = a b
la funci´on de Green queda G r, r G r, r
4.4.1.
0 0
= 4π
X n,m
=
h
√1 ab
ih
√1 ab 2 ) (α2n + βm
sin αn x0 sin βm y 0
sin αn x sin βm y
i
4π X [sin αn x0 sin βm y 0 ] [sin αn x sin βm y] 2 ) ab n,m (α2n + βm
Combinaci´ on de m´ etodo directo con expansi´ on ortonormal
Proponemos expansi´on ortonormal en x y m´etodo directo en y. ∞ X G x, x0 , y 0 y 0 = sin αn x sin αn x0 Fn y, y 0 n=1
La parte en x, x0 es sim´etrica y satisface las condiciones de frontera. Nos queda por tanto evaluar F n (y, y 0 ), a partir de la ecuaci´on de Green 2 ∂ ∂2 0 0 0 0 + G x, x , y, y = −4πδ x − x δ y − y ∂x2 ∂y 2 usando la relaci´on de completez para los senos en x, x 09 y la soluci´on para G se tiene 7
En esta expresi´ on general aparece un solo r´ otulo n, si existe mas de un r´ otulo siempre es posible renumerar para convertirlo en uno solo (n1 , n2 , . . . , nk ) → n. 8 De nuevo, los cosenos tambi´en intervienen en principio, pero se eliminan por las condiciones de frontera. 9 Recordemos que los senos son una base completa en el intervalo (0, a).
79
4.4. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES
# "X ∞ ∂2 ∂2 0 0 + sin αn x sin αn x Fn y, y ∂x2 ∂y 2 n=1 "∞ # 4π X 0 = − sin αn x sin αn x δ y − y 0 a n=1
de modo que ∞ X
sin αn x sin αn x
0
n=1
−α2n Fn
∂ 2 Fn (y, y 0 ) y, y + ∂y 2 0
# "∞ 4π X 0 sin αn x sin αn x δ y − y 0 = − a n=1
y en virtud de la independencia lineal de sin α n x ∂ 2 Fn (y, y 0 ) 4π −α2n Fn y, y 0 + = − δ y − y0 2 ∂y a 4π ∂y2 − α2n Fn y, y 0 = − δ y − y 0 a
De nuevo nos concentramos primero en la soluci´on homog´enea cuando y 6= y 0 , la cual tiene la forma general Fn (y, y 0 ) = A (y 0 ) cosh αn y + B (y 0 ) sinh αn y a) Si y < y 0 se cumple G = 0 en y = 0 ⇒ Fn1 = 0 en y = 0. de modo que Fn1 (y, y 0 ) = Bn1 (y 0 ) sinh αn y que se puede escribir como Fn1 y, y 0 = Bn1 y 0 sinh αn y< b) Para y > y 0 G = 0 en y = b
= Cn2 y 0 sinh αn (b − y) y, y 0 = Cn2 y 0 sinh αn (b − y> )
Fn2 y, y 0 Fn2
la soluci´on para ambas regiones es el producto de las soluciones anteriores = Bn1 y 0 Cn2 y 0 sinh αn y< sinh αn (b − y> ) y, y 0 = Cn y 0 sinh αn y< sinh αn (b − y> )
Fn y, y 0 Fn
donde de nuevo hemos absorbido dos constantes en una. La constante C se eval´ ua de nuevo integrando la ecuaci´on diferencial en una vecindad de la regi´on inhomog´enea
Z
Z
y=y 0 +ε
y=y 0 −ε
y=y 0 +ε y=y 0 −ε
∂y2 Fn
∂y2
−
dy −
α2n
α2n
Z
Fn y, y y=y 0 +ε
y=y 0 −ε
0
4π dy = − a
Fn dy = −
4π a
Z
y=y 0 +ε
y=y 0 −ε Z y=y0 +ε y=y 0 −ε
δ y − y0 δ y − y0
dy dy
si la funci´on Fn (y, y 0 ) es continua y acotada la integral sobre la funci´on tiende a cero cuando ε → 0 (no as´ı la integral de su segunda derivada) 0 +ε 4π ∂y Fn |y=y y=y 0 −ε = − a
80
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON
reemplazando las soluciones que tenemos hasta el momento ∂ Cn [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] ∂y y=y 0 +ε ∂ −Cn [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] ∂y 0
y=y −ε
4π = − a entonces
∂ 0 sinh αn y sinh αn (b − y) Cn ∂y y=y 0 +ε ∂ 0 sinh αn y sinh αn b − y −Cn ∂y y=y 0 −ε 4π = − a −αn Cn sinh αn y 0 cosh αn (b − y) y=y0 +ε −αn Cn sinh αn b − y 0 cosh αn y 0
y=y −ε
4π = − a tomando el l´ımite ε → 0+
αn Cn sinh αn y 0 cosh αn b − y 0 + sinh αn b − y 0 cosh αn y 0 4π = a
usando identidades para la suma de funciones hiperb´olicas 4π αn Cn sinh αn b cosh2 αn y 0 − sinh2 αn y 0 = a
pero cosh2 αn y 0 − sinh2 αn y 0 = 1 quedando
Cn =
4π aαn sinh αn b
y la funci´on de Green finalmente resulta ∞ 4π X sin αn x sin αn x0 sinh αn y< sinh αn (b − y> ) G x, x0 , y, y 0 = a n=1 αn sinh αn b
4.4.2.
M´ etodo directo
Partiendo de la ecuaci´on de Green 2 ∂ ∂2 + 2 G x, x0 , y, y 0 = −4πδ x − x0 δ y − y 0 2 ∂x ∂y
solucionamos primero la ecuaci´on homog´enea 2 ∂ ∂2 + 2 G x, x0 , y, y 0 = 0 2 ∂x ∂y
4.4. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES
81
v´alida para y 6= y 0 . Asumimos separaci´on de variables: G = A (x, x 0 ) B (y, y 0 ) reemplazando y dividiendo por AB 2 ∂ ∂2 + A (x, x0 ) B (y, y 0 ) 2 2 ∂x ∂y = 0 ABh h 2 i i ∂ ∂2 0 A (x, x0 ) B (y, y 0 ) + A (x, x0 ) ∂y 2 B (y, y ) ∂x2 = 0 AB ∂x2 A ∂y2 B + = 0 A B ∂y2 B ∂x2 A =− = −α2 A B donde α es una constante, las ecuaciones diferenciales quedan
cuyas soluciones son:
∂x2 A x, x0 + αA x, x0 = 0 ; ∂y2 B y, y 0 − αB y, y 0 = 0 = C1 x0 eiαx + C2 x0 e−iαx B y, y 0 = D1 y 0 eαy + D2 y 0 e−αy
A x, x0
la segunda ecuaci´on se puede escribir tambi´en como combinaci´on lineal de senos y cosenos hiperb´olicos, la soluci´on general es entonces
1.
2.
G x, x0 , y, y 0 = C1 x0 eiαx + C2 x0 e−iαx D1 y 0 exp (αy) + D2 y 0 exp (−αy)
Para y < y 0 , G = 0 en y = 0 se cumple si D1 = −D2 de modo que B1 y, y 0 = D1 y 0 sinh αy
y 0 , G = 0 en y = b se cumple si D1 eαb + D2 e−αb = 0. La soluci´on se puede escribir como B2 y, y 0 = K2 y 0 sinh α (b − y> )
El producto nos da la soluci´on para y en todo el intervalo
y la funci´on de Green es
B y, y 0 = K y 0 sinh αy< sinh α (b − y> )
G x, x0 , y, y 0 = C1 x0 eiαx + C2 x0 e−iαx K y 0 sinh αy< sinh α (b − y> )
Para determinar las constantes C1 (x0 ) , C2 (x0 ) tenemos en cuenta que G = 0 en x = 0 ⇒ C2 (x0 ) = −C1 (x0 ); con G = 0 en x = a ⇒ sin αa = 0, la soluci´on para x queda nπ An x, x0 = Cn x0 sin αn x ; αn = a
y un conjunto de soluciones para la funci´on de Green es
Gn x, x0 , y, y 0 = Cn x0 Kn y 0 sin αn x sinh αn y< sinh αn (b − y> )
82
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON
recordemos que por ahora estamos solucionando solo la parte homog´enea, y recordando que la superposici´on de soluciones es tambi´en soluci´on (principio de superposici´on solo v´alido para la parte homog´enea), entonces la soluci´on m´as general es una superposici´on de las soluciones ya encontradas X G x, x0 , y, y 0 = Cn x0 Kn y 0 sin αn x sinh αn y< sinh αn (b − y> ) n
ahora insertamos esta soluci´on en la ecuaci´on de Green inhomog´enea y expandimos δ (x − x 0 ) en la base ortonormal de senos. " # ∞ X X 4π 2 2 0 0 0 ∂x + ∂ y Cn x Kn y sin αn x sinh αn y< sinh αn (b − y> ) = − δ y − y sin αn x sin αn x0 a n n=1
"
X
+
n
= − X n
= −
0
−α2n Cn x Kn y sin αn x sinh αn y< sinh αn (b − y> )
X n
0
#
Cn x0 Kn y 0 sin αn x ∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] ∞
X 4π δ y − y0 sin αn x sin αn x0 a n=1
Cn x0 Kn y 0 sin αn x −α2n sinh αn y< sinh αn (b − y> ) + ∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] ∞
X 4π sin αn x sin αn x0 δ y − y0 a n=1
en virtud de la independencia lineal de sin α n x Cn x0 Kn y 0 −α2n sinh αn y< sinh αn (b − y> ) + ∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] 4π = − δ y − y 0 sin αn x0 a
(4.9)
gen´ericamente, esta ecuaci´on se puede escribir como
4π Cn x0 H y, y 0 = − δ y − y 0 sin αn x0 a 0 2 0 ≡ −αn Kn y sinh αn y< sinh αn (b − y> ) + Kn y 0 ∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] H y, y
con lo cual se tiene que
Cn x0 = Fn sin αn x0
(4.10)
y redefiniendo Rn (y 0 ) ≡ Fn Kn (y 0 ), la funci´on de Green queda X G x, x0 , y, y 0 = Rn y 0 sin αn x0 sin αn x sinh αn y< sinh αn (b − y> ) n
de nuevo esta forma de la funci´on de Green (al menos la parte en x) se pudo haber supuesto desde el principio usando la simetr´ıa G (x, x0 , y, y 0 ) = G (x0 , x, y, y 0 ) 10 . El factor Rn (y 0 ) contiene la informaci´on de la parte 10
N´ otese sin embargo que estrictamente hablando, la simetr´ıa nos dice que G (r, r0 ) = G∗ (r0 , r) que en realidad equivale a invertir todas las coordenadas simult´ aneamente. Esto no nos garantiza que una funci´ on de Green real sea sim´etrica cuando se invierte una coordenada solamente. Sin embargo, este ansatz es consistente en la mayor´ıa de los casos
83
4.4. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES
inhomog´enea en y y su valor se puede extraer integrando y entre (y 0 − ε, y 0 + ε) en la ecuaci´on inhomog´enea Retomando (4.9) pero teniendo en cuenta (4.10)
11 .
Rn y 0 sin αn x0 −α2n sinh αn y< sinh αn (b − y> ) + ∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] 4π = − δ y − y 0 sin αn x0 a Rn y 0 −α2n sinh αn y< sinh αn (b − y> ) + ∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] 4π = − δ y − y0 a −Rn y = −
4π a
Z
0
α2n
Z
y=y 0 +ε y=y 0 −ε
y=y 0 +ε y=y 0 −ε
sinh αn y< sinh αn (b − y> ) dy + Rn y
δ y − y0
0
Z
y=y 0 +ε
y=y 0 −ε
∂y2 [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] dy
la primera integral de la izquierda tiende a cero cuando ε → 0 + . La segunda queda
y=y0 +ε ∂ 4π Rn [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] = − ∂y a y=y 0 −ε ( ) ∂ 4π ∂ Rn [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] − [sinh αn y< sinh αn (b − y> )] = − ∂y ∂y a y=y 0 +ε y=y 0 −ε ( ) ∂ 4π ∂ Rn sinh αn y 0 sinh αn (b − y) − sinh αn y sinh αn b − y 0 = − ∂y ∂y a y=y 0 +ε y=y 0 −ε 4π Rn −αn sinh αn y 0 cosh αn b − y 0 − αn cosh αn y 0 sinh αn b − y 0 = − a 4π 0 0 0 0 Rn αn sinh αn y cosh αn b − y + cosh αn y sinh αn b − y = a 4π Rn αn sinh αn b cosh2 αn y 0 − sinh2 αn y 0 = a 4π Rn αn sinh αn b = a resultando Rn =
4π a αn sinh αn b
y la funci´on de Green se escribe 4π X sin αn x0 sin αn x sinh αn y< sinh αn (b − y> ) G x, x0 , y, y 0 = a n αn sinh αn b que coincide con la encontrada anteriormente. 11 La parte inhomog´enea en x ya se tuvo en cuenta al expandir δ (x − x0 ). Obs´ervese que para solucionar la parte homog´enea solo supusimos y 6= y 0 .
84
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON
4.4.3.
Problema bidimensional semi-infinito
Expansi´ on ortonormal Tomemos un rect´angulo cuya anchura tiende a infinito de tal forma que para condiciones de Dirichlet nos impone G = 0 en y = 0, b y G = 0 en x = ±∞. Las condiciones de frontera en y son satisfechas por una superposici´on discreta de senos como ya hemos visto. Por otro lado, las condiciones de frontera en x requieren el uso de una base completa en el intervalo (−∞, ∞), lo cual a su vez requiere del uso de bases cont´ınuas. Por tanto, es sensato usar la expansi´on ∞ X sin βn y sin βn y 0 G x, x0 , y, y 0 = n=1
Z
∞
0
An (k) eik(x−x ) dk
−∞
0
la proposici´on en la parte cont´ınua de la forma e ik(x−x ) est´a inspirada en la propiedad G (x, x 0 , y, y 0 ) = G∗ (x0 , x, y 0 , y) teniendo en cuenta que el intercambio y ↔ y 0 deja invariante a la funci´on de Green de acuerdo con la forma propuesta. Usamos las relaciones de completez
1 δ x−x = 2π 0
Z
∞
e
ik(x−x0 )
−∞
dk ; δ y − y
0
∞
1X nπ = sin βn y sin βn y 0 ; βn ≡ a n=1 b
Uso del teorema de valores propios La expresi´on (4.6) puede generalizarse, para un espectro de funciones propias con una parte cont´ınua y una parte discreta Z X ϕ∗n (k, r0 ) ϕn (k, r) 0 dk G r, r , λ = λ − λn (k) n
Se deja al lector la tarea de encontrar una base de funciones propias del operador ∂ x2 + ∂y2 que posea una parte discreta y otra cont´ınua. Combinaci´ on de expansi´ on ortonormal con m´ etodo directo asumimos G=
∞ X
sin βn y sin βn y 0 Fn x, x0
n=1
introduciendo esta expansi´on en la ecuaci´on de Green y expandiendo δ (y − y 0 ) en senos ∂x2 + ∂y2
∞ X
n=1
sin βn y sin βn y 0 Fn x, x0
= −
∞ X 4π δ x − x0 sin βn y sin βn y 0 b n=1
∞ ∞ X 2 X 4π ∂x Fn x, x0 − βn2 Fn x, x0 sin βn y 0 sin βn y = − δ x − x0 sin βn y sin βn y 0 b
n=1
por independencia lineal
n=1
4π ∂x2 − βn2 Fn x, x0 = − δ x − x0 b
para x 6= x0 la soluci´on es Fn (x, x0 ) = A (x0 ) eβn x + Be−βn x 1.
Si x < x0 ⇒ G → 0, cuando x → −∞, resultando Fn1 x, x0 = An1 eαn x = An1 eαn x
x0 ⇒ G → 0, cuando x → ∞, resultando
Fn2 x, x0 = Bn2 e−αn x = Bn2 e−αn x>
La soluci´on es
Fn1 x, x0 = Cn eαn x< e−αn x> = Cn e−αn (x> −x< )
al integrar en la vecindad de la inhomogeneidad en la ecuaci´on se obtiene Cn =
2π bαn
resultando G x, x0 , y, y 0 G x, x0 , y, y 0
= =
∞ 2π X sin βn y sin βn y 0 e−αn (x> −x< ) b αn
2π b
n=1 ∞ X
0
sin βn y sin βn y 0 e−αn |x−x | αn n=1
Combinaci´ on de m´ etodo directo con expansi´ on cont´ınua Podemos proceder usando una base cont´ınua sobre x y una funci´on libre en y Z ∞ Z ∞ 1 0 ik(x−x0 ) 0 0 G= e Fk y, y dk ; δ x − x = eik(x−x ) dk 2π −∞ −∞
introduciendo estas expansiones en la ecuaci´on de Green Z Z ∞ ik(x−x0 ) ∞ ik(x−x0 ) 4π 2 2 0 0 ∂x + ∂ y e Fk y, y dk = − δ y − y e dk 2π −∞ Z ∞ Z ∞−∞ 0 0 eik(x−x ) −k 2 Fk y, y 0 + ∂y2 Fk y, y 0 dk = −2δ y − y 0 eik(x−x ) dk −∞
la independencia lineal nos da
Anotaciones generales 1.
−∞
∂y2 − k 2 Fk y, y 0 = −2δ y − y 0
Hemos visto varias estrategias para calcular funciones de Green, que podemos numerar as´ı: a)
Expansi´on ortonormal en x, y: recomendable cuando podemos encontrar bases tanto en x como en y, que puedan ajustar f´acilmente las condiciones de frontera.
b)
Expansi´on ortonormal en x o´ y, y funci´on libre en la otra variable: recomendable si la expansi´on ortonormal es f´acilmente ajustable a las condic. de frontera y la ec. diferencial para la funci´on libre es f´acilmente soluble.
c)
M´etodo directo: Se asume funci´on libre en ambas variables. Si la ec. dif. es f´acilmente soluble, este m´etodo usualmente conduce a soluciones mas simples o cerradas.
d)
Uso del teorema de valores propios: Recomendable cuando podemos hallar una base de funciones propias en donde las condiciones de frontera sean f´acilmente ajustables. En esencia este m´etodo tambi´en es una expansi´on ortonormal, pero los coeficientes se hallan mas f´acilmente.
86 2.
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON Con fronteras en el infinito, es recomendable usar espectros cont´ınuos de funciones base. En particular, la representaci´on exponencial cont´ınua es de amplio uso en virtud del lema de Riemann-Lebesgue que nos dice que Z b l´ım e±ikx F (k) dk = 0 x→∞ a
si F (k) es absolutamente integrable i.e. Z
b a
|F (k)| dk = f inito
este lema nos garantiza que G → 0 cuando x → ±∞.
4.4.4.
Funci´ on de Green en coordenadas polares
Para escribir la ecuaci´on de Green en coordenadas polares ∇2 G r, r0 = −4πδ r − r0
debemos escribir el Laplaciano en coordenadas polares 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 ρ + 2 ∇ = ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2
as´ı como la representaci´on adecuada de la delta de Dirac en estas coordenadas. Para esto es necesario tener en cuenta que la distribuci´on debe cumplir la propiedad fundamental Z δ r − r0 d(n) r = 1 V
siempre que r0 est´e dentro del volumen. n se refiere a la dimensi´on del espacio en cuesti´on que en nuestro caso es n = 2, en coordenadas polares un diferencial de a´rea d 2 r se escribe en la forma dS = ρ dρ dϕ. Teniendo en cuenta que Z Z 0 δ ρ − ρ dρ = δ ϕ − ϕ0 dϕ = 1 podemos escribir
Z
Z
0
Z Z
δ ϕ − ϕ dϕ = δ ρ − ρ0 δ ϕ − ϕ0 dρ dϕ δ ρ − ρ dρ Z Z Z δ (ρ − ρ0 ) 0 1 = δ ϕ−ϕ ρ dρ dϕ = δ r − r0 dS ρ V 1 =
0
por tanto la representaci´on de la delta de Dirac en coordenadas polares queda
y la ecuaci´on de Green es entonces
δ (ρ − ρ0 ) δ r − r0 = δ ϕ − ϕ0 ρ
1 ∂ ∂G 1 ∂2G 4π 0 0 ρ + 2 = − δ ρ − ρ δ ϕ − ϕ ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ρ
(4.11)
A manera de ejemplo, para encontrar la funci´on de Green de la cu˜ na mostrada en la figura ???, es obviamente mas conveniente el uso de coordenadas polares. Las condiciones de Dirichlet equivalen a G = 0 en ϕ = 0, β
87
4.4. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES y en ρ = R hagamos una expansi´on de la forma 0
G ρ, ρ , ϕ, ϕ
0
δ ϕ−ϕ
0
∞ X
=
sin αn ϕ sin αn ϕ0 Fn ρ, ρ0
n=1 ∞ X
1 β
=
; αn =
nπ β
sin αn ϕ sin αn ϕ0
n=1
introduciendo las expansiones en la ecuaci´on de Green (4.11) ( "∞ #) # "∞ 2 X ∂ X ∂ ∂ 1 ρ sin αn ϕ sin αn ϕ0 Fn ρ, ρ0 + sin αn ϕ sin αn ϕ0 Fn ρ, ρ0 ∂ρ ∂ρ n=1 ρ ∂ϕ2 n=1 ∞
X 4π = − δ ρ − ρ0 sin αn ϕ sin αn ϕ0 β n=1
# "∞ ∂ X sin αn ϕ sin αn ϕ0 Fn ρ, ρ0 ∂ρ n=1 ( #) "∞ ∂2 X 0 0 +ρ sin αn ϕ sin αn ϕ Fn ρ, ρ ∂ρ2 n=1 "∞ # 2 X 1 ∂ 0 0 + sin αn ϕ sin αn ϕ Fn ρ, ρ ρ ∂ϕ2 n=1
∞
X 4π = − δ ρ − ρ0 sin αn ϕ sin αn ϕ0 β n=1
∞ X
sin αn ϕ sin αn ϕ0 ∂ρ Fn ρ, ρ0
n=1 ∞ X
+ −
ρ sin αn ϕ sin αn ϕ0 ∂ρ2 Fn ρ, ρ0
n=1 ∞ X
1 2 αn sin αn ϕ sin αn ϕ0 Fn ρ, ρ0 ρ n=1 ∞
X 4π = − δ ρ − ρ0 sin αn ϕ sin αn ϕ0 β n=1
∞ X
0
0
sin αn ϕ sin αn ϕ ∂ρ Fn ρ, ρ +
n=1 ∞
X 4π = − δ ρ − ρ0 sin αn ϕ sin αn ϕ0 β n=1
ρ∂ρ2 Fn
1 ρ, ρ − α2n Fn ρ, ρ0 ρ 0
resultando 1 4π ∂ρ Fn ρ, ρ0 + ρ∂ρ2 Fn ρ, ρ0 − α2n Fn ρ, ρ0 = − δ ρ − ρ0 ρ β 1 4π ρ∂ρ2 + ∂ρ − α2n Fn ρ, ρ0 = − δ ρ − ρ0 ρ β
88
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON
con ρ 6= ρ0 tenemos una ecuaci´on homog´enea cuya soluci´on es
1. 2.
Fn ρ, ρ0 = A ρ0 ραn + B ρ0 ρ−αn
Para ρ < ρ0 , G = 0 en ρ = 0 ⇒ Fn1 (ρρ0 ) = An1 (ρ0 ) ραn = An1 (ρ0 ) ρα ρ0 , G = 0 en ρ = R ⇒ Fn1 (ρρ0 ) = An2 (ρ0 ) Rρ n − Rρ = An2 (ρ0 )
La soluci´on homog´enea completa es: Fn ρ, ρ
0
= Cn ρ
0
ρα αn − R
R ρ>
ρ> α n R
−
R ρ>
αn i
αn
Al integrar la ecuaci´on diferencial entre ρ = ρ 0 − ε y ρ = ρ0 + ε se obtiene Cn = −2π/ (βRαn αn ) de modo que αn ∞ 2π X sin αn ϕ sin αn ϕ0 ρ< αn ρ> αn R 0 0 G ρ, ρ , ϕ, ϕ = − − β αn R R ρ> n=1
Esta soluci´on abarca como casos particulares al sector circular recto (β = π/2) y al semic´ırculo (β = π). Adicionalmente, si tomamos R → ∞ obtenemos 0
G ρ, ρ , ϕ, ϕ
0
∞ 2π X sin αn ϕ sin αn ϕ0 ρ< αn = β n=1 αn ρ>
que abarca en particular al cuadrante y al semiplano. A priori estar´ıamos tentados a pensar que el c´ırculo se puede generar con β = 2π, y el plano con β = 2π, R → ∞. Sin embargo, es importante enfatizar que ni el c´ırculo completo ni el plano se pueden generar de esta forma, como se explica en el siguiente problema. Problem 9 C´ırculo de radio R. Evaluar G para condiciones de Dirichlet. En este caso no hay condiciones de frontera para ning´ un valor de ϕ, por tanto el uso exclusivo de senos es inadecuado, por tanto es necesario 0 el uso de senos y cosenos, o equivalentemente, se puede usar e im(ϕ−ϕ ) con lo cual se propone ∞ X 0 G ρ, ρ0 , ϕ, ϕ0 = eim(ϕ−ϕ ) Fm ρ, ρ0 m=−∞
una proposici´ on de la forma 0
G ρ, ρ , ϕ, ϕ
0
=
∞ ∞ X X
0
Amn sin βn ρ sin βn ρ0 eim(ϕ−ϕ )
n=1 m=−∞
es inconsistente ya que G no es necesariamente cero en ρ = 0 puesto que este punto no hace parte de la frontera. Se necesitan de nuevo senos y cosenos en ρ.
4.4.5.
Funci´ on de Green en tres dimensiones
Funci´ on de Green para espacio infinito 1 1 ∇2 G (r, r0 ) = −4πδ (r − r0 ). Recordando que ∇2 |r−r = −4πδ (r − r0 ) y observando que |r−r 0| 0 | tiende a cero cuando r → ∞ tenemos que esta es justamente la funci´on de Green para espacio infinito (frontera en el infinito). Recordemos que esta fu´e la primera funci´on de Green que nos encontramos en el camino as´ı como la m´as simple.
89
4.5. PROBLEMAS
Podemos encontrar un representaci´on de fourier de esta funci´on de Green usando la ecuaci´on de Green y suponiendo una soluci´on de la forma Z ∞ 0 G r, r0 = A (k) eik·(r−r ) d3 k −∞
usando la ecuaci´on de Green y la representaci´on de Fourier de la delta de Dirac Z ∞ Z ∞ 4π 0 2 ik·(r−r0 ) 3 ∇ A (k) e d k=− eik·(r−r ) d3 k 3 (2π) −∞ −∞ Z
∞
2
k A (k) e
−∞
1 d k = − 2 2π 1 A (k) = 2π 2 k 2
ik·(r−r0 ) 3
la funci´on de Green queda 1 G r, r0 = 2 2π
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
0
eik·(r−r ) d3 k ⇒
0
eik·(r−r ) 3 d k k2
Una integraci´on por polos nos da que esta integral equivale a G r, r0 =
1 |r − r0 |
lo cual muestra la consistencia del procedimiento.
4.5.
Problemas 2
1) Considere una l´ınea recta infinita. Eval´ ue la funci´on de Green a partir de la ecuaci´on ddxG2 = −4πδ (x − x0 ). N´otese que no es posible satisfacer las condiciones de frontera utilizando sumatoria en senos y cosenos pues este sistema no es completo cuando el intervalo tiende a infinito, en tal caso se debe utilizar una expansi´on cont´ınua. Elijamos la expansi´on Z ∞ Z ∞ 1 0 0 ik(x−x0 ) 0 G x, x = g (k) e dk ; δ x − x = eik(x−x ) dk 2π −∞ −∞ introduciendo estas expansiones en la funci´on de Green Z ∞ Z ∞ 1 0 d2 G 2 ik(x−x0 ) =− k g (k) e dk = −4π eik(x−x ) dk ⇒ 2 dx 2π −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ 0 0 k 2 g (k) eik(x−x ) dk = 2 eik(x−x ) dk −∞
−∞
la independencia lineal de las funciones nos permite igualar coeficientes k 2 g (k) = 2 ⇒ g (k) = la funci´on de Green queda G x, x
0
=
Z
∞
−∞
2 k2
2 ik(x−x0 ) e dk k2
la condici´on de frontera G → 0 cuando x → ±∞ se garantiza a trav´es del lema de Riemann-Lebesgue Z b Z b ±ikx l´ım g (k) e dk = 0 si |g (k)| dk < ∞ y existe x→±∞ −a
−a
90
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON
en este caso (a, b) → (−∞, ∞) y g (k) = 2/k 2 Z
Z 2 dk = k2
∞
−∞
∞ −∞
2 ∞ 2 dk = − =0 k2 k −∞
de modo que g (k) es absolutamente integrable y se cumple el lema. Esta integral se puede calcular por polos. ——————————————————————2) Eval´ ue G para un paralelep´ıpedode lados a, b, c con condiciones de Dirichlet, usando triple suma de senos y doble suma de senos a) Usando triple suma de senos
G x, x0
X
=
Cmnl sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 sin γl z sin γl z 0
n,m,l
nπ mπ lπ , βm = , γl = a b c
αn =
los valores de αn , βm , γl garantizan las condiciones de frontera para G. el laplaciano aplicado a G queda
∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
G x, x0
= −
X
n,m,l
2 α2n + βm + γl2 Cmnl
× sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 sin γl z sin γl z 0
usando las relaciones de completez δ x − x0 δ z − z0
= =
1X 1X sin αn x sin αn x0 ; δ y − y 0 = sin βm y sin βm y 0 a n b m 1X sin γl z sin γl z 0 c l
definimos W ≡ sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 sin γl z sin γl z 0 e introduciendo las expansiones en la funci´on de Green X 4π X 2 − α2n + βm + γl2 Cmnl W = − W abc n,m,l
n,m,l
debido a la condici´on de ortogonalidad de los senos se tiene 4π 4π 2 α2n + βm + γl2 Cmnl = ⇒ Cmnl = 2 + γ2 abc abc α2n + βm l
con lo cual la funci´on de Green queda
X 4π sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 sin γl z sin γl z 0 G x, x0 = 2 + γ2 abc α2n + βm l n,m,l
b) Usamos doble suma en senos de x, y y asumimos una funci´on libre en z.
X G x, x0 = sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 Fmn z, z 0 n,m
91
4.5. PROBLEMAS
escribamos H ≡ sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 . Utilizando completez para δ (x − x0 ) , δ (y − y 0 ) y derivando G (x, x0 ) se obtiene X d2 Fnm 4π X 2 2 0 F H = − ⇒ − α + β Hδ z − z nm n m dz 2 ab m,n n,m 4π d2 Fnm 2 2 0 − α + β = − F δ z − z nm n m dz 2 ab
2 ≡ α2 + β 2 . sabemos que α = nπ/a, β = mπ/b. Para satisfacer las condiciones de frontera. definiendo γnm n m n m Para z 6= z 0 se obtiene la ecuaci´on homog´enea
d2 Fnm 2 − γnm ⇒ Fnm ∼ Aeγnm z + Be−γnm z dz 2 a1) Para z < z 0 se tiene que si z = 0 ⇒ G = 0 de modo que A = −B y tenemos una soluci´on de la forma Fnm ∼ sinh γnm z = sinh γnm z< b1) Para z > z 0 : si z = c ⇒ G = 0 Fnm ∼ sinh γnm (c − z> ) de modo que la soluci´on general se puede escribir como Fnm = ρnm sinh γnm z< sinh γnm (c − z> ) para hallar ρnm integramos la ecuaci´on diferencial entre (z 0 − ε, z 0 + ε) Z z=z 0 +ε Z Z z=z 0 +ε 2 0 d Fnm 4π z=z +ε 2 0 0 dz − γ F z, z dz = − δ z − z dz dz 2 ab z=z 0 −ε z=z 0 −ε z=z 0 −ε al ser Fnm una funci´on cont´ınua en los intervalos (z 0 − ε, z 0 ) y (z 0 , z 0 + ε) se tiene que Z z=z 0 +ε F z, z 0 dz = 0 l´ım ε→0 z=z 0 −ε
resultando
0 dFnm z=z +ε 4π dFnm dFnm 4π =− ⇒ − =− dz z=z 0 −ε ab dz z=z 0 +ε dz z=z 0 −ε ab
cuando z = z 0 + ε ⇒ z = z> y z 0 = z< . En el caso z = z 0 − ε ocurre lo contrario
d d 4π ρnm sinh γnm z 0 sinh γnm (c − z) − ρnm sinh γnm z sinh γnm c − z 0 = − dz dz ab d [sinh γnm (c − z)] 4π 0 d [sinh γnm z] ρnm sinh γnm z 0 = − 0 − ρnm sinh γnm c − z 0 dz dz ab z=z +ε z=z −ε 4π −γnm ρnm sinh γnm z 0 cosh γnm c − z 0 − γnm ρnm sinh γnm c − z 0 cosh γnm z 0 = − ab 4π 0 0 0 0 γnm ρnm sinh γnm z cosh γnm c − z + sinh γnm c − z cosh γnm z = ab
donde hemos apelado a la continuidad de las funciones hiperb´olicas para ignorar ε cuando este par´ametro tiende a cero. Usando identidades trigonom´etricas hiperb´olicas sinh a cosh (b − a) + sinh (b − a) cosh a = cosh2 a − sinh2 a sinh b = sinh b
92
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON γnm ρnm sinh γnm c =
quedando finalmente ρnm =
4π ab
4π γnm ab sinh γnm c
Con esto ya tenemos la forma completa de la funci´on de Green X 4π sinh γnm z< sinh γnm (c − z> ) G x, x0 = sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 γ ab sinh γ c nm nm n,m
————————————————————3) Encontrar la funci´on de Green para una regi´on bidimensional definida por 0 ≤ ϕ ≤ β, y 0 ≤ ρ < ∞. La ecuaci´on para G en coordenadas polares es ∂ 2 G 1 ∂G 1 ∂2G + + ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2 2 ∂ G ∂G 1 ∂ 2 G ρ 2 + + ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2
4π δ ρ − ρ0 δ ϕ − ϕ0 ρ = −4πδ ρ − ρ0 δ ϕ − ϕ0 = −
las condiciones de Dirichlet exigen que G = 0 en ϕ = 0, β y en ρ = 0 y ρ → ∞. La condici´on para ϕ puede ser satisfecha para una serie de senos. Entonces escribimos G de la forma ∞ X nπ G ρ, ρ0 , ϕ, ϕ0 = sin αn ϕ sin αn ϕ0 Fn ρ, ρ0 ; αn = β n=1
P 0 usando completez para expandir δ (ϕ − ϕ 0 ) = β1 ∞ n=1 sin αn ϕ sin αn ϕ en introduciendo estas expansiones en la ecuaci´on de Green 2 ∞ ∞ X X 1 dFn α2n 4π 0 d Fn 0 sin αn ϕ sin αn ϕ + − F = − δ ρ − ρ sin αn ϕ sin αn ϕ0 n dρ2 ρ dρ ρ2 β n=1
n=1
igualando coeficientes y multiplicando la ecuaci´on por ρ ρ
d2 Fn dFn + − dρ2 dρ d dFn ρ − dρ dρ
α2n 4π Fn = − δ ρ − ρ 0 ⇒ ρ β α2n 4π Fn = − δ ρ − ρ 0 ρ β
para ρ 6= ρ0 obtenemos la ecuaci´on homog´enea d dFn α2 ρ − n Fn = 0 dρ dρ ρ
cuya soluci´on es Fn (ρ, ρ0 ) = Aραn + Bρ−αn a1) si ρ < ρ0 , G = 0 para ρ = 0 de modo que B = 0 para que F n no diverja y cumpla la condici´on de frontera Fn ρ, ρ0 ∼ ραn ⇒ Fn ρ, ρ0 ∼ ρα ρ0 ⇒ G = 0 para ρ → ∞ de modo que A = 0 n Fn ρ, ρ0 ∼ ρ−αn ⇒ Fn ρ, ρ0 ∼ ρ−α >
la soluci´on toma la forma
Fn ρ, ρ
0
=
n Cn ρα
= Cn
ρ< ρ>
αn
93
4.5. PROBLEMAS integramos la ecuaci´on diferencial inhomog´enea entre ρ = ρ 0 − ε y ρ = ρ0 + ε con ε → 0 Z ρ=ρ0 +ε Z Z 0 0 d 4π ρ=ρ +ε dFn α2n ρ=ρ +ε Fn dρ = − δ ρ − ρ0 dρ ρ dρ − dρ ρ ρ=ρ0 −ε β ρ=ρ0 −ε ρ=ρ0 −ε dρ
la continuidad de Fn hace que se anule la segunda integral cuando ε → 0. dFn dFn 4π ρ − ρ =− dρ ρ=ρ0 +ε dρ ρ=ρ0 −ε β
cuando ρ = ρ0 + ε ⇒ ρ = ρ> , ρ0 = ρ< , cuando ρ = ρ0 − ε ⇒ ρ0 = ρ> , ρ = ρ< αn d ρ 0 αn d ρ 4π Cn ρ − Cn ρ = − 0 dρ ρ dρ ρ β ρ=ρ0 +ε ρ=ρ0 −ε αn α 1 αn Cn 4π −αn Cn ρ0 n − 0 αn [ραn ]ρ=ρ0 −ε = − ρ (ρ ) β ρ=ρ0 +ε 2αn Cn =
4π 2π ⇒ Cn = β αn β
por ser funciones cont´ınuas en la vecindad de ρ 0 hemos evaluado ambas en ρ0 y no en ρ0 + ε cuando ε → 0. La funci´on de Green queda ∞ 2π X sin αn ϕ sin αn ϕ0 ρ< αn 0 0 G ρ, ρ , ϕ, ϕ = β αn ρ> n=1
esta soluci´on abarca en particular 1) El cuadrante (β = π/2) y el semiplano (β = π) ———————————————– 4) Para la cu˜ na definida por G = 0 en ϕ = 0, β y ρ = 0, R as´ umase X G = anm sin αn ϕ sin αn ϕ0 sin βm ρ sin βm ρ0 n,m
nπ mπ ; βm = β R
αn ≡
¿Es esta una soluci´on consistente? La funci´on as´ı definida satisface las condiciones de Dirichlet, introduciendo G en la ecuaci´on diferencial, se mira si es posible encontrar para esta soluci´on un coeficiente que dependa exclusivamente de m, y n. ∂G ∂ρ ∂2G ∂ρ2 ∂2G ∂ϕ2
=
X
anm βm sin αn ϕ sin αn ϕ0 cos βm ρ sin βm ρ0
n,m
= − = −
X
2 anm βm sin αn ϕ sin αn ϕ0 sin βm ρ sin βm ρ0
n,m
X
anm α2n sin αn ϕ sin αn ϕ0 sin βm ρ sin βm ρ0
n,m
la ecuaci´on diferencial insertando la completez es X 2 βm cos βm ρ − α2n + βm sin βm ρ anm sin αn ϕ sin αn ϕ0 sin βm ρ0 n,m
=−
4π X sin αn ϕ sin αn ϕ0 sin βm ρ sin βm ρ0 ⇒ βR n,m
94
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON X m
4π X 2 βm cos βm ρ − α2n + βm sin βm ρ anm sin βm ρ0 = − sin βm ρ sin βm ρ0 βR m
dado que el coseno y el seno son funciones linealmente independientes, no es posible encontrar una expresi´on para el coeficiente anm que dependa exclusivamente de m y n como se propone al suponer la soluci´on de G; luego la soluci´on propuesta es inconsistente. La inconsistencia en la soluci´on est´a relacionada con la singularidad asociada a la frontera en ρ → 0 (chequear). ————————————————————— 5) Para la cu˜ na con R → ∞, ¿es posible escoger? Z ∞ ∞ X 0 G= sin αn ϕ sin αn ϕ an (k) exp ik ρ − ρ0 dk ? −∞
n=1
Veamos si resulta una soluci´on consistente para a (k) Z ∞ ∞ X ik 1 ∂G 0 = an (k) exp ik ρ − ρ0 dk ? sin αn ϕ sin αn ϕ ρ ∂ρ −∞ ρ n=1 Z ∞ ∞ X ∂2G 0 = − sin αn ϕ sin αn ϕ k 2 an (k) exp ik ρ − ρ0 dk 2 ∂ρ −∞ n=1 Z ∞ ∞ 2 1 ∂ G 1 X 2 0 = − 2 αn sin αn ϕ sin αn ϕ an (k) exp ik ρ − ρ0 dk 2 2 ρ ∂ϕ ρ −∞ n=1
introduciendo estas relaciones en la ecuaci´on diferencial, as´ı como la completez, nos da Z ∞ Z ∞ ∞ ∞ X α2 2X sin αn ϕ sin αn ϕ0 sin αn ϕ sin αn ϕ0 exp ik ρ − ik − k 2 ρ − n an (k) exp ik ρ − ρ0 dk = − ρ β n=1 −∞ −∞ n=1
por ortogonalidad de senos y exponenciales se obtiene α2n 2 2 ik − k ρ − an (k) = − ρ β
la cual nos da una soluci´on compleja para a n (k). Sin embargo, esta soluci´on claramente depende tambi´en de ρ y no exclusivamente de k lo cual contradice la hip´otesis, obs´ervese en particular que con a (k, ρ) ya no podemos despejar este coeficiente recurriendo a la independencia lineal (chequear). Por tanto la soluci´on es inconsistente. ——————————————– 6) Es posible escoger para la cu˜ na con R → ∞ la soluci´on Z ∞ G= Fk ϕ, ϕ0 exp ik ρ − ρ0 dk ? −∞
Introduciendo esta soluci´on y la completez en la ecuaci´on de Green se tiene Z ∞ Z 1 d2 Fk (ϕ, ϕ0 ) ∞ 0 2 0 0 0 ikFk ϕ, ϕ − ρk Fk ϕ, ϕ + exp ik ρ − ρ dk = −δ ϕ − ϕ 2 exp ik ρ − ρ0 d 2 ρ dϕ −∞ −∞ 1 d2 ik − ρk 2 + Fk ϕ, ϕ0 = −2δ ϕ − ϕ0 2 ρ dϕ
para ϕ 6= ϕ0 y multiplicando por ρ
d2 ikρ − ρ k + 2 dϕ 2 2
Fk ϕ, ϕ0
=0
95
4.5. PROBLEMAS
La soluci´on es en general compleja. Pero de acuerdo con esta ecuaci´on, F k (ϕ, ϕ0 ) depender´ıa de ρ contradiciendo la hip´otesis. Por tanto la soluci´on planteada es inconsistente. ——————————————————7) Sea un c´ırculo de radio R, eval´ ue G con condiciones de Dirichlet. Dado que no hay condiciones de frontera para ϕ (excepto por la exigencia de periodicidad 2π en ϕ) y teniendo en cuenta que para R no hay condici´on de frontera en R = 0 puesto que este punto no es de la frontera, no podemos hacer una expansi´on en senos ni podemos generarlo como caso particular de la cu˜ na 0 con β = 2π. Usaremos entonces una expansi´on en senos y cosenos o equivalentemente en exp [im (ϕ − ϕ )] G=
∞ X
m=−∞
en este caso la relaci´on de completez es ∞ X
m=−∞
Fm ρ, ρ0 exp im ϕ − ϕ0
exp im ϕ − ϕ0 = 2πδ ϕ − ϕ0
de modo que la ecuaci´on resultante es ∞ ∞ X X dFm (ρ, ρ0 ) d2 Fm (ρ, ρ0 ) m2 0 0 0 0 +ρ − F ρ, ρ exp im ϕ − ϕ = −2δ ρ − ρ exp im ϕ − ϕ m dρ dρ2 ρ m=−∞ m=−∞ 0 2 d dFm (ρ, ρ ) m ρ − Fm ρ, ρ0 = −2δ ρ − ρ0 dρ dρ ρ la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea para ρ 6= ρ 0 es Fm ρ, ρ0 = Aρm + Bρ−m
a1) ρ < ρ0 ⇒ G debe ser finita en ρ = 0 de modo que B = 0 ⇒ F m (ρρ0 ) ∼ ρm = ρm < b1) ρ > ρ0 ⇒ G = 0 en ρ = R de modo que AR m + BR−m = 0 ⇒ B = −AR2m la soluci´on general queda m m ρ> m R ρ> m R m −m m 2m −m m 0 Fm = Aρ> + Bρ> = Aρ> − AR ρ> = AR − =A − R ρ> R ρ> la soluci´on general es el producto de las dos anteriores m ρ> m R 0 m Fm ρ, ρ = Cm ρ< − R ρ>
integramos la ecauci´on inhomog´enea asumiendo continuidad de F m (ρ, ρ0 ) Z ρ=ρ0 +ε Z Z ρ=ρ0 +ε 0 d dFm (ρ, ρ0 ) m2 ρ=ρ +ε 0 ρ dρ − Fm ρ, ρ dρ = −2 δ dρ dρ ρ ρ=ρ0 −ε ρ=ρ0 −ε ρ=ρ0 −ε dFm (ρ, ρ0 ) dFm (ρ, ρ0 ) ρ − ρ = −2 dρ dρ ρ=ρ0 +ε ρ=ρ0 −ε m m d ρ> m R d ρ> m R m m ρ Cm ρ< − − ρ Cm ρ< − = −2 dρ R ρ> dρ R ρ > ρ=ρ0 +ε ρ=ρ0 −ε
d ρ dρ
Cm ρ
m 0 m m ρ m R d ρ R m − − ρ Cm ρ − = −2 R ρ dρ R ρ0 ρ=ρ0 +ε ρ=ρ0 +ε 0 m m m mρm−1 mRm ρ R m−1 ρ0 + − C ρ − mρ = −2 m Rm ρm+1 R ρ0 ρ=ρ0 +ε ρ=ρ0 +ε " # " # m (ρ0 )2m m (ρ0 )2m m m Cm + mR − Cm − mR = −2 Rm Rm
0 m
ρCm
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON
96
2mCm Rm = −2 ⇒ Cm = −
1 mRm
la soluci´on para G ser´a entonces 0
G ρ, ρ , ϕ, ϕ
0
∞ X
ρm < = m mR m=−∞
R ρ>
m
−
ρ m >
R
exp im ϕ − ϕ0
——————————————————— 8) Para el caso anterior, pruebe que las dos formas siguientes no son consistentes G ρ, ρ0 , ϕ, ϕ0 G ρ, ρ0 , ϕ, ϕ0
= =
∞ ∞ X X
n=1 m=−∞ ∞ X
Amn sin βn ρ sin βn ρ0 exp im ϕ − ϕ0
sin βm ρ sin βm ρ0 Fm ϕ, ϕ0
m=1
a) usando la primera forma y las expansiones para los deltas de Dirac, la ecuaci´on de Green 1 ∂ ∂G 1 ∂2G ρ + 2 = −4πδ ρ − ρ0 δ ϕ − ϕ0 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
queda
" ∞ ∞ # X X 1 ∂ ρ βn Amn cos βn ρ sin βn ρ0 exp im ϕ − ϕ0 ρ ∂ρ n=1 m=−∞ ) (∞ ∞ ∞ ∞ 4π X X 1 X X 2 0 0 =− − 2 Amn m sin βn ρ sin βn ρ exp im ϕ − ϕ sin βn ρ sin βn ρ0 exp im ϕ − ϕ0 ρ 2πR m=−∞ m=−∞ n=1
n=1
entonces
∞ ∞ X X 1 1 2 2 βn Amn cos βn ρ − βn Amn sin βn ρ − 2 Amn m sin βn ρ sin βn ρ0 exp im ϕ − ϕ0 ρ ρ m=−∞ n=1
∞ ∞ 4π X X =− sin βn ρ sin βn ρ0 exp im ϕ − ϕ0 2πR m=−∞ n=1
la independencia lineal de las funciones exp [im (ϕ − ϕ 0 )] nos lleva a ∞ X 1
n=1
ρ
βn Amn cos βn ρ −
βn2 Amn sin βn ρ
∞ 1 2 X 2 − 2 Amn m sin βn ρ sin βn ρ0 = − sin βn ρ sin βn ρ0 ρ R n=1
pero no podemos igualar coeficientes recurriendo a la independencia lineal en las funciones de ρ, ρ 0 debido a la aparici´on del factor cos βn ρ, esto a su vez est´a ligado al hecho de que en coordenadas polares, el laplaciano posee primeras derivadas en ρ lo cual no ocurre cuando utilizamos coordenadas cartesianas, una expresi´on an´aloga se obtiene con la segunda forma de expandir G. ————————————————————9) La funci´on de Green de Dirichlet para el espacio semiinfinito definido por −∞ < y < ∞, −∞ < z < ∞, x ≥ 0. Est´a dada por Z Z 1 ∞ ∞ sinh γx< exp {i [ky (y − y 0 ) + kz (z − z 0 )] − γx> } G r, r0 = dky dkz π −∞ −∞ γ γ 2 ≡ ky2 + kz2
97
4.5. PROBLEMAS
con base en este resultado, calcule el potencial debido a una placa plana infinita a potencial V , asumiendo que no hay cargas en x > 0. El potencial dentro de la regi´on donde ha sido calculado G viene dado por Z I ∂G (r, r0 ) 1 φ (r) = ρ r0 G r, r0 d3 r0 − φ r0 dS 0 0 4π ∂n V S
en nuestro caso ρ (r0 ) = 0 debido a la ausencia de cargas en la regi´on de inter´es. El potencial se reduce a I 0 1 0 ∂G (r, r ) φ (r) = − φ r dS 0 4π ∂n0 S
la superficie que limita la regi´on donde fu´e calculada G se puede pensar como una semiesfera de radio infinito cuya base es el plano Y Z donde est´a la placa, y el eje X es el eje de simetr´ıa de dicha semiesfera. Sin embargo, solo la base o superficie donde se encuentra la placa contribuye a la integral de superficie, ya que ∂G/∂n0 = 0 cuando alguna de las variables tiende a infinito, lo cual se puede chequear a trav´es de las derivadas parciales ∂G/∂xi . Luego solo S10 (el plano Y Z) contribuye a la integral. El vector n 0 es un vector perpendicular a dicha superficie saliendo del volumen donde se calcul´o G, por tanto n 0 = −ux y la condici´on de frontera en la derivada direccional se convierte en ∂G ∂G =− ∂n0 ∂x0 x0 =0 como x0 = 0 a lo largo de toda la integraci´on, se tiene que x 0 = x< puesto que x ≥ 0. De esta forma la derivada direccional en la superficie es Z ∞Z ∞ 1 ∂ ∂G sinh γx0 exp {i [ky (y − y 0 ) + kz (z − z 0 )] − γx} = − − dky dkz 0 0 ∂x x0 =0 π ∂x −∞ −∞ γ 0 x =0 Z ∞Z ∞ ∂G 1 cosh γx0 exp i ky y − y 0 + kz z − z 0 − γx dky dkz − = − ∂x0 x0 =0 π −∞ −∞ x0 =0 Z ∞Z ∞ ∂G 1 − = − exp i ky y − y 0 + kz z − z 0 − γx dky dkz 0 ∂x x0 =0 π −∞ −∞
por otro lado φ (x0 ) = V sobre S10 y dS10 = dz 0 dy 0 , la expresi´on para el potencial queda entonces Z ∞Z ∞Z ∞Z ∞ V 0 0 φ (r) = exp i k y − y + k z − z − γx dky dkz dz 0 dy 0 y z 4π 2 −∞ −∞ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ V 0 0 0 0 φ (r) = exp −ikz z dz exp −iky y dy [exp {i [ky y + kz z] − γx}] dky dkz 4π 2 −∞ −∞ −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ 2πV 0 0 φ (r) = δ (kz ) exp −iky y dy [exp {i [ky y + kz z] − γx}] dky dkz 4π 2 −∞ −∞ −∞ y recordadno la definici´on de γ Z ∞Z ∞ h n q oi φ (r) = V δ (ky ) δ (kz ) exp i [ky y + kz z] − ky2 + kz2 x dky dkz −∞ Z−∞ q h i ∞ φ (r) = V δ (ky ) exp iky y − ky2 x dky −∞
y el potencial queda finalmente φ (r) = V
98
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON
????????????????? es bueno revisar si es cierto que la integral de superficie sobre el resto de la semiesfera se anula. —————————————————10) Calcule G para el ortoedro de altura semi infinita (0 ≤ z ≤ ∞) y de base rectangular (a, b). Si proponemos una soluci´on de la forma X nπ mπ G= Fmn z, z 0 sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 ; αn = ; βm = a b m,n esta soluci´on garantiza las condiciones de frontera en X e Y . La ecuaci´on de Green en coordenadas cartesianas queda X d2 Fmn X 4π 2 − γmn Fmn sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 = − δ z − z 0 sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 2 dz ab m,n m,n 2 ≡ α2 + β 2 . La ecauci´ donde hemos definido γmn on diferencial para Fmn queda n m
d2 Fmn 4π 2 0 − γ F = − δ z − z mn mn dz 2 ab
resolvemos la homog´enea z 6= z 0 , su soluci´on general es Fmn = A exp (γmn z) + B exp (−γmn z) a) z < z 0 ⇒ G = 0 cuando z = 0 ⇒ Fmn = A1 sinh γmn z< b) z > z 0 ⇒ G = 0 cuando z → ∞ ⇒ Fmn = A2 exp (−γmn z> ) la soluci´on en ambos intervalos es Fmn z, z 0 = Cmn sinh γmn z< exp (−γmn z> ) integramos la ecuci´on inhomog´enea entre z 0 − ε y z 0 + ε dFmn dFmn 4π − =− dz z=z 0 +ε dz z=z 0 −ε ab
d d 4π 0 0 sinh γmn z exp (−γmn z) − sinh γmn z exp −γmn z Cmn = − dz dz ab z=z 0 +ε z=z 0 −ε n o 4π Cmn −γmn sinh γmn z 0 exp (−γmn z) z=z 0 +ε − γmn cosh γmn z exp −γmn z 0 z=z 0 −ε = − ab 4π 0 0 −Cmn γmn exp −γmn z sinh γmn z + cosh γmn z = − ab
Cmn γmn exp −γmn z 0 exp γmn z 0 =
Cmn =
4π ab 4π abγmn
la funci´on de Green es G=
4π X sinh γmn z< exp (−γmn z> ) sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 ab m,n γmn
esta es la soluci´on para un orotedro de base (a, b) cuya base inferior est´a sobre el plano XY y con 0 ≤ z ≤ ∞. Sin embargo, si la altura va desde −∞ ≤ z ≤ ∞ la soluci´on de G toma otra forma. ——————————————9) Calcule G para el ortoedro de altura infinita (−∞ ≤ z ≤ ∞) y de base rectangular (a, b).
99
4.5. PROBLEMAS
Se podr´ıa usar la misma forma funcional del problema anterior, la funci´on F mn cumple la misma ecuaci´on diferencial pero con diferentes condiciones de frontera. En lugar de ello, usaremos la expansi´on Z ∞ X 0 G x, x0 , y, y 0 , z, z 0 = sin αn x sin αn x0 sin βm y sin βm y 0 anm (k) eik(z−z ) dk −∞
m,n
la ecuaci´on de Green queda −
X
0
sin αn x sin αn x sin βm y sin βm y
m,n
0
Z
∞ −∞
0 2 anm (k) α2n + βm + k 2 eik(z−z ) dk
Z ∞ 0 4π X 0 0 sin αn x sin αn x sin βm y sin βm y eik(z−z ) dk = − 2πab m,n −∞
2 2 2 ⇒ a (k) = anm (k) = α2n + βm + k 2 anm (k) = 2 2 + k2) ab ab (αn + βm
y la funci´on de Green queda finalmente 0
0
G x, x , y, y , z, z
0
=
X
0
sin αn x sin αn x sin βm y sin βm y
0
m,n
Z
∞ −∞
0
2eik(z−z ) dk 2 + k2 ) ab (α2n + βm
la integral se puede calcular por polos. ————————————— 10) Evaluar G en el octante x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. En este caso es mas conveniente usar coordenadas esf´ericas. La raz´on es que para estas coordenadas hay dos variables acotadas y solo una se eval´ ua en un intervalo semi infinito (0 ≤ ρ ≤ ∞). En coordenadas cil´ındricas habr´ıan dos variables no acotadas y en cartesianas habr´ıa tres ????????? ————————————————————11) Evaluar G para una cu˜ na con un a´ngulo de abertura β y tal que a ≤ ρ ≤ R. Proponemos una soluci´on de la forma X nπ G ρ, ρ0 , ϕ, ϕ0 = sin αn ϕ sin αn ϕ0 Fn ρ, ρ0 ; αn = β n La ecuaci´on diferencial es la misma que aparece en el problema de la cu˜ na completa con 0 ≤ ρ ≤ R. La soluci´on es Fn = Aραn + Bρ−αn
pero las condiciones de frontera son diferentes na completa, a) ρ < ρ0 ⇒ G = 0 en ρ = a ⇒ Aaαn + Ba−αn = 0, con un procedimiento similar al de la cu˜ se tiene que αn ρ < αn a Fn = A1n − a ρ< b) ρ > ρ0 ⇒ G = 0 en ρ = R
Fn = A2n la soluci´on general es Fn = C n
ρ < αn − a
ρ > αn − R
a ρ
αn
ρ > αn − R
integrando la ecuaci´on diferencial homog´enea se obtiene # " dF dF 4π ρ − =− dρ ρ=ρ0 +ε dρ ρ=ρ0 −ε β
R ρ>
αn
100
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON
resultando
αn 0 αn αn ρ 0 αn a ρ R Cn αn − + 0 a ρ R ρ0 0 αn αn 0 αn αn ρ a ρ R 4π −Cn αn + − =− a ρ0 R ρ0 β
simplificando
αn R a αn 4π h 2Cn αn ⇒ Cn = Cn = − = a R β βαn
la funci´on de Green queda 0
G ρ, ρ , ϕ, ϕ
0
2π
R αn a
−
a αn R
i
αn αn a ρ > αn R 2π X sin αn ϕ sin αn ϕ0 ρ < αn h i = − − α α n n R β n α a ρ< R ρ> − Ra n a
——————————————————————— 10) Para la geometr´ıa anterior, asumamos una densidad lineal de carga en un segmento de arco de radio c. Los potenciales a lo largo de l1 , l2 , l3 , l4 son 0, V2 , V, V1 respectivamente. Encuentre el potencial en el interior de la regi´on. La carga total viene dada por β (2πrλ) = βrλ = βcλ q= 2π donde c es el radio de la cu˜ na. Z R Z Z 2π dϕ qδ (r − c) q=q = (c dr dϕ) δ (r − c) dr 2π 2πc a 0 la densidad superficial equivalente es σ=
qδ (r − c) βcλδ (r − c) βλδ (r − c) = = 2πc 2πc 2π
con esta densidad de carga y conociendo G y φ en la superficie se tiene Z I ∂G 1 0 0 0 φ (r) = ρ r GD r, r dV − φs r0 dS 0 4π ∂n0
en nuestro caso bidimensional, la primera integral ser´a de superficie y la segunda de l´ınea αn αn Z ∞ βλδ (r 0 − c) X ρ < αn a ρ > αn R 0 φ (r) = Kn sin αn ϕ sin αn ϕ − − r 0 dr 0 dϕ0 2π a ρ< R ρ> n=1 Z Z Z Z I 1 1 0 ∂G 0 0 0 0 ∂G − φ r dl + + + G r, r dV − φ r dS 0 D s 1 4π l1 ∂n0 4π ∂n0 l2 l3 l4
donde l1 es el segmento radial correspondiente a ϕ = 0. l 2 es el segmento de arco para r = R y l3 , l4 corresponden a segmento radial con ϕ = β y segmento de arco con r = a respectivamente. La integral sobre l1 se anula puesto que ϕ0 = 0. Evaluamos primero la integral en ϕ 0 Z R ∞ Z β X βλδ (r 0 − c) [] . . . r 0 dr 0 Kn sin αn ϕ sin αn ϕ0 dϕ0 2π a 0 n=1
la integral en ϕ0 es
∞ Z X
n=1 0
β
Kn sin αn ϕ sin αn ϕ0 dϕ0 =
∞ X Kn sin αn ϕ
n=1
αn
[1 − cos αn β]
(4.12)
101
4.5. PROBLEMAS
para hacer la integral en r 0 se parte el intervalo entre a y R en r 0 < r y r 0 > r. Para r < c ⇒se anula la integral en el intervalo a ≤ r 0 ≤ r. Para r > c ⇒se anula la integral en el intervalo r < r 0 ≤ R. a) Para r < c 0 αn αn Z R h r αn a αn i 0 βλ r R δ r0 − c − r − dr 0 0 2π a r R r a αn βλ h r αn a αn i c αn R = − c − (4.13) 2π a r R c b) Para r > c 0 αn αn βλ r a αn r αn R 0 0 δ r −c − 0 r − dr 0 2π a r R r a αn r αn βλ h c αn a αn i R c − − 2π a c R r Z
= R
r
(4.14)
∂G 0 0 0 φ (r0 ) ∂n 0 dl2 . En tal caso r = R de modo que r > r h r αn a αn i 2α X ∂G ∂G n 0 = = Kn sin αn ϕ sin αn ϕ − 0 0 ∂n r0 =R ∂r r0 =R a r R Z X ∞ h r αn a αn i 2α n = V2 Kn sin αn ϕ sin αn ϕ0 − R dϕ0 a r R l2 n=1 Z ∞ h r αn a αn i β X = 2V2 − Kn αn sin αn ϕ sin αn ϕ0 dϕ0 a r 0 n=1
Calculemos
l2
la integral angular coincide con (4.12) de modo que Z
= 2V2
l2
con lo cual
Z
h r αn
= 2V2 l2
a
−
h r αn a
∞ a αn i X Kn αn sin αn ϕ [1 − cos αn β] r αn
−
n=1
∞ a αn i X
r
n=1
Kn sin αn ϕ [1 − cos αn β]
Ahora calculemos la integral sobre l 4 αn X ∂G ∂G r αn R 2αn 0 = − 0 = Kn sin αn ϕ sin αn ϕ − 0 ∂n r0 =a ∂r r0 =a R r a
sea dl = a dϕ
similarmente,
Z
= V1 l4
Z
l4
Z
β
0
X
Kn sin αn ϕ sin αn ϕ0
2αn a dϕ a
αn r αn R − R r
αn X ∞ r αn R = 2V1 − (1 − cos αn β) Kn sin αn ϕ R r n=1
finalmente, evaluemos sobre l3
∂G 1 ∂G = 0 ∂n0 ϕ0 =β ρ ∂ϕ0 ϕ0 =β αn αn ∞ X ρ < αn ρ > αn a R = αn sin αn ϕ cos αn β Kn − − a ρ> R ρ> n=1
(4.15)
102
´ DE POISSON EN ELECTROSTATICA ´ CAP´ITULO 4. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACI ON
en este caso dl = dr 0 αn αn Z Z RX ρ < αn a ρ > αn R =V αn sin αn ϕ cos αn β Kn − − dr 0 a ρ R ρ < > l3 a haciendo nuevamente la partici´on a) r 0 < r αn 0 αn Z Z rX a αn R r r αn = V − 0 − αn sin αn ϕ cos αn β Kn dr 0 a r R r l3 a Z RX h r αn a αn i r 0 αn R αn dr 0 +V αn sin αn ϕ cos αn β Kn − − 0 a r R r r i X αn Kn sin αn ϕ cos αn β r αn R αn h r αn a αn − + −2 αn R r a r l3 αn h r αn a αn i r αn R + − + 2− a r R r αn αn Z X a αn r αn R R r αn a αn = 2V Kn sin αn ϕ cos αn β − − + + − R R a r a r l3 Z α α h n n X R r αn a αn i a αn R r αn + + = 2V Kn sin αn ϕ cos αn β − − − R a r R a r l3 (4.16) La soluci´on para φ (r) en el interior es la suma de las expresiones anteriores Z
= V
φ (r) =
Z
ρ r0
GD r, r0
dV 0 −
4 I ∂G 1 X φs r0 dS 0 0 4π ∂n li i=1
de (4.12) y (4.13) para r < c Z
ρ dV =
V
∞ X Kn sin αn ϕ n=1
αn
αn βλc h r αn a αn i c αn R [1 − cos αn β] − − 2π a r R c
(4.17)
αn βλc h c αn a αn i r αn R [1 − cos αn β] − − 2π a c R r
(4.18)
y de (4.12) y (4.14) para r > c Z
ρ dV = V
∞ X Kn sin αn ϕ
n=1
αn
por otro lado 4 I ∞ n h r αn a αn i 1 X 1 X 0 ∂G 0 − φs r dS = − (1 − cos α β) K sin α ϕ V2 − n n n 4π ∂n0 2π n=1 a r i=1 li αn αn ∞ r αn R V X a αn R + V1 − − Kn sin αn ϕ cos αn β − R r 2π R a n=1 r αn R αn r αn a αn + − + − (4.19) R r a r
luego el potencial para r > c es la suma de (4.17)+ (4.19) y para r > c es la suma de (4.18)+ (4.19).
Cap´ıtulo 5
M´ etodo de im´ agenes 5.1.
M´ etodo de im´ agenes y teorema de unicidad
Supongamos que tenemos cierta distribuci´on de cargas en el interior de un volumen V , con unas condiciones de frontera dadas sobre la superficie que delimita a este volumen. En particular, tomemos condiciones de Dirichlet. Ahora supongamos que podemos encontrar una distribuci´on virtual de cargas ubicadas en el exterior del volumen V , de tal manera que la superposici´on de la distribuci´on real de cargas (en el interior de V ) con la distribuci´on virtual (en el exterior de V ) emulen las condiciones de frontera en la superficie. Uno de los teoremas de unicidad que hemos demostrado nos dice que dada una cierta distribuci´on interior de cargas y unas condiciones de frontera con el potencial, la soluci´on para el potencial en el interior del volumen V , es u ´ nica. Ahora bien, comparando la situaci´on real (distribuci´on interior mas condiciones de frontera) con la situaci´on virtual (cargas reales interiores mas cargas virtuales exteriores), podemos inferir que el potencial en el interior del volumen V , es el mismo en ambas situaciones. Para demostrarlo, observemos que en ambos casos la distribuci´on interior es la misma (debido a que las cargas virtuales est´an todas en el exterior de V ), y as´ı mismo las condiciones de frontera tambi´en coinciden ya que las cargas virtuales se colocaron precisamente para ajustarse a esa condici´on. No obstante, es necesario aclarar que el valor del potencial en el exterior del volumen V , en general no es el mismo en ambas situaciones; esto se puede ver teniendo en cuenta que si tomamos el complemento del volumen de Dirichlet, las cargas virtuales estar´ıan alterando la carga interior (donde el interior se define ahora en el complemento de V ). Esto nos sugiere un m´etodo para encontrar el potencial en el interior de un volumen en ciertas situaciones especiales, en las cuales es f´acil encontrar una distribuci´on de cargas virtuales exteriores que puedan emular las condiciones de frontera, sin alterar la distribuci´on interior. Las cargas ubicadas en el exterior se denominan im´agenes de modo que este procedimiento se conoce como m´etodo de im´agenes. Surge entonces la pregunta ¿cu´al es la ventaja del m´etodo de las im´agenes?. Debemos observar que al introducir las cargas imagen las condiciones de frontera dejan de ser relevantes en el problema (siempre y cuando se cumplan) y en su lugar debe solucionarse el problema (en general m´as simple) de calcular el potencial en el interior del volumen, por simple superposici´on entre las cargas interiores (reales) y exteriores (im´agenes). Adicionalmente, si conocemos las superficies equipotenciales de una cierta distribuci´on de cargas, es f´acil retroalimentar el problema puesto que un conductor con la forma de una de ´estas superficies equipotenciales (y con un potencial igual al potencial de esta superficie) puede utilizar la distribuci´on original como im´agen. Veamos la conexi´on del m´etodo de im´agenes con el formalismo de Green. Recordemos que la funci´on de Green m´as general asociada a la ecuaci´on de Poisson, se escribe como ∇2 G r, r0 = −4πδ r − r0 y que su soluci´on mas general se escribe
G r, r0 =
1 + F r, r0 0 |r − r | 103
´ ´ CAP´ITULO 5. METODO DE IMAGENES
104
donde F (r, r0 ) debe satisfacer la ecuaci´on de Laplace, el primer t´ermino en la funci´on de Green corresponde al potencial de una carga unidad, en tanto que el segundo t´ermino es un potencial generado dentro del volumen delimitado por la superficie debido a cargas externas a este volumen (ya que dentro del volumen obedece a una ecuaci´on de Laplace) de tal manera que hace que G (r, r 0 ) cumpla las condiciones de frontera. La interpretaci´on de la funci´on F (r, r 0 ) nos proporciona otro punto de vista del m´etodo, ya que F (r, r 0 ) es el potencial equivalente a im´agenes colocadas en el exterior del volumen, de tal forma que junto con la carga unidad (Kc q = 1) ubicada en una posici´on interior r 0 , nos d´e un potencial cero en la superficie (o cualquiera que sea la condici´on sobre la funci´on de Green en la superficie).
5.2.
Carga frente a un plano equipotencial
A manera de ejemplo consideremos una carga puntual q colocada frente a un plano conductor infinito ubicado en el plano Y Z y a potencial cero. Puede verse f´acilmente que si ubicamos una carga puntual imagen al otro lado del plano a la misma distancia y de signo opuesto, las condiciones de frontera sobre el plano Y Z (potencial cero) se cumplen autom´aticamente. Sea r una posici´on (en x > 0) donde queremos evaluar el potencial, y sean r 0 y r0i las posiciones de la carga real y de la imagen respectivamente, podemos ver que r = xi+yj + zk
;
r 0 = x0 i + y 0 j + z 0 k
;
r0i = −x0 i + y 0 j + z 0 k
(5.1)
las posiciones del punto donde se quiere evaluar el potencial, el punto donde se ubica la carga real y el punto donde se ubica la carga imagen respectivamente. El potencial generado por el dipolo es Kc q Kc q −q φ (r) = q (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 (x + x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
claramente este potencial se anula en x = 0. Mas sint´eticamente φ (r) =
Kc q Kc q − |r − r0 | |r − r0i |
(5.2)
a partir del potencial es f´acil calcular la distribuci´on de carga sobre la superficie del conductor, usando la relaci´on (1.31) v´alida para conductores y usando coordenadas cil´ındricas σ (r) = −
1 ∂φ qd =− 4πKc ∂n1 2π (r 2 + d2 )3/2
siendo d la distancia del plano a la carga, y r la distancia del punto de evaluaci´on al eje vertical al plano que pasa por la carga. Si se integra esta cantidad obtenemos que la carga total inducida sobre el conductor es −q, lo cual se puede ver por ley de Gauss 1 . La fuerza que el plano hace sobre la carga se puede calcular de dos maneras: 1) calculando la fuerza que la distribuci´on de carga en el plano hace sobre la carga puntual, usando superposici´on, 2) calculando la fuerza entre la imagen y la carga real. No obstante, es de anotar que aunque el problema del potencial en el interior del semiespacio (x > 0) y el de la fuerza se pueden resolver de forma equivalente con la imagen, la energ´ıa interna del sistema carga realcarga imagen es diferente (el doble) que la energ´ıa del sistema carga real-plano conductor. Hay dos maneras de ver esta diferencia: a) Si se calcula la integral del campo al cuadrado Ec. (1.18), para el sistema de las dos cargas contribuyen los dos semiespacios, por simetr´ıa ambos semiespacios contribuyen igual. En contraste, para el sistema carga-conductor, solo el semiespacio con x > 0 contribuye, ya que el otro semiespacio tiene campo cero. b) Para calcular la energ´ıa interna del sistema carga conductor, solo hay que calcular el 1 Teniendo en cuenta que el conductor es neutro, el resto de la carga se acumula (en un conductor real) en los bordes de la placa y en la superficie opuesta a la que da frente a la carga puntual.
5.2. CARGA FRENTE A UN PLANO EQUIPOTENCIAL
105
trabajo necesario para traer la carga puntual real desde el infinito hasta el punto donde se localiza 2 . En contraste, para calcular la energ´ıa interna del dipolo, se pueden traer las dos cargas simult´aneamente en forma sim´etrica, en cuyo caso hay que hacer un trabajo igual al anterior pero sobre cada carga. ¿Porqu´e la fuerza sobre la carga real, s´ı es igual para los dos sistemas? se puede ver simplemente porque la carga real est´a en el interior de la regi´on en donde ambos producen el mismo potencial y por tanto el mismo campo, y la fuerza es qE. La esencia de que la fuerza coincida en tanto que la energ´ıa no, es el hecho de que la fuerza es una variable local (definida en un punto) que depende de otra variable local (el campo) que coincide en ambas configuraciones. La energ´ıa en cambio es un concepto global que depende en general de la configuraci´on del campo en todo el espacio, y el m´etodo de las im´agenes solo nos garantiza que el campo es el mismo para ambas configuraciones en una cierta porci´on del espacio, la regi´on exterior de Dirichlet posee campos diferentes para ambas configuraciones. A pesar de ello, es posible calcular la energ´ıa interna de un sistema de cargas en presencia de un conductor a trav´es del m´etodo de las im´agenes como veremos en la secci´on 5.8. Ahora estamos en capacidad de conectar el problema del sistema carga real-carga imagen con la funci´on de Green en el semiespacio x ≥ 0. Si hacemos K c q = 1 en la Ec. (5.2), lo que tenemos es una carga puntual “unidad” ubicada en r0 y un sistema de cargas exteriores (la carga imagen) tal que la superposici´on de las dos da potencial cero en la frontera, la carga real estar´ıa generando el factor 1/ |r − r 0 |, y la carga imagen est´a generando el factor F (r, r0 ). Es claro entonces que la asignaci´on K c q = 1 en la Ec. (5.2) nos da la funci´on de Green para el semiespacio con x ≥ 0. 1 1 G r, r0 = − para semiespacio con x ≥ 0 (5.3) 0 |r − r | |r − r0i |
donde r, r0 , r0i vienen dados por la Ec. (5.1). Claramente la funci´on de Green (5.3) cumple la condici´on de Dirichlet en las fronteras (y, z → ±∞, x → ∞, y ´ x = 0). Donde 1 F r, r0 = − |r − r0i |
La funci´on de Green aqu´ı calculada puede ser utilizada para calcular el potencial en x ≥ 0 para cualquier condici´on de frontera en x = 0, con cualquier distribuci´on de carga localizada y que est´e encerrada en el semiespacio determinado por x ≥ 0 (el hecho de que la carga est´e localizada nos garantiza que el potencial sea constante en el infinito definido por y, z → ±∞, x → ∞). No debemos olvidar que la formulaci´on de Green es para vol´ umenes cerrados, (aunque no necesariamente cerrados f´ısicamente) en donde el potencial o su derivada normal se deben conocer en una superficie cerrada, que en este caso es como una “semiesfera infinita”. Veamos un ejemplo de aplicaci´on de la funci´on de Green (5.3) para el semiespacio.
5.2.1.
L´ınea de carga finita
Supongamos una l´ınea de densidad lineal λ constante, paralela al eje X, con φ = V a en x = 0. Ver Fig. ???. Queremos evaluar el potencial debido a esta configuraci´on en la regi´on x ≥ 0. ??**Este ejemplo f´ısicamente podr´ıa representar a un hilo perfectamente aislante frente a un plano infinito perfectamente conductor. Si el hilo no fuera aislante su carga tender´ıa a acumularse en un extremo. Hablando mas f´ısicamente, ser´ıa un hilo cuya longitud y distancia al plano sean mucho menores que las dimensiones del plano. (revisar este argumento ya que en tal caso el potencial no se puede hacer cero en el infinito). Primero debemos calcular la densidad volum´etrica equivalente Z Z Z Z q = ρ (r) dV = λ dx δ (z) dz δ (y) dy Z Z q = λδ (z) δ (y) dx dy dz = λδ (z) δ (y) dV 2 La redistribuci´ on de cargas que se produce cuando se va acercando la carga al conductor no requiere trabajo adicional, ya que su superficie es equipotencial.
´ ´ CAP´ITULO 5. METODO DE IMAGENES
106
la densidad volum´etrica equivalente es entonces ρ r0 = λδ z 0 δ y 0
(5.4)
Calculando G para espacio semi-infinito Ec. (5.3), en coordenadas cartesianas y evaluando ∂G/∂n 0 : ∂G ∂G = ∇G · n|x0 =0 = ∇G · (−i)|x0 =0 = − (∇G)x0 |x0 =0 = − 0 (5.5) ∂n0 x0 =0 ∂x x0 =0 ∂G ∂ 1 1 − 0 = − 0 q −q ∂x x0 =0 ∂x 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) (x + x ) + (y − y ) + (z − z ) 0 x =0
=
−2x
q 3 2 2 2 0 0 x + (y − y ) + (z − z )
la integral de superficie en la semiesfera infinita, solo tiene contribuci´on en el plano Y Z ya que el t´ermino ∂G/∂n0 se anula en la superficie semiesf´erica de radio infinito (∂G/∂n 0 → 0, con x → ∞, y/o con y, z → ±∞). Reemplazando (5.4), (5.3) y (5.5) en (4.3) y usando coordenadas cartesianas se tiene Z ∞ Z ∞ Z d+l 1 φ (r) = λδ z 0 δ y 0 q −∞ −∞ d (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 1 dx0 dy 0 dz 0 −q 2 2 2 (x + x0 ) + (y − y 0 ) + (z − z 0 ) 1 − 4π
Z
Z
−2x 0 Va q 3 dS x2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
1 q (x − x0 )2 + y 2 + z 2 1 dx0 −q 2 (x + x0 ) + y 2 + z 2
φ (r) = λ
Va x + 2π
5.3.
Z
∞
−∞
Z
1 0 0 q 3 dy dz −∞ x2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ∞
Carga puntual frente a una esfera conductora
Supongamos que tenemos una esfera conductora de radio a (a potencial cero) y una carga puntual en el exterior como ilustra la Fig. ???, queremos evaluar el potencial en el exterior de la esfera. De modo que nuestro volumen “cerrado” est´a entre la esfera de radio a, y una esfera de radio infinito. Por simetr´ıa la carga imagen debe estar en la l´ınea que une a la carga real con el centro de la esfera, y debe estar en el interior de la esfera (para que sea exterior a nuestro volumen “cerrado”), y debe ser de signo opuesto a la carga real para que sea posible una cancelaci´on del potencial en r = a.
107
5.3. CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA ESFERA CONDUCTORA El potencial se escribe como φ (r) =
Kc q Kc q 0 Kc q Kc q 0 p p + = + |r − r0 | |r − r” | (r − r0 ) · (r − r0 ) (r − r” ) · (r − r” )
(5.6)
en r = a se tiene que φ = 0. Cuando el vector posici´on de evaluaci´on del potencial tiene magnitud a, lo denotaremos como r =~a Kc q 0 Kc q φ (~a) = p +p =0⇒ (~a−r0 ) · (~a−r0 ) (~a−r” ) · (~a−r” ) q2 q 02 = ⇒ (~a−r0 ) · (~a−r0 ) (~a−r” ) · (~a−r” ) q 2 ~a−r” · ~a−r” − q 02 ~a−r0 · ~a−r0 = 0
q 2 a2 − 2~a · r” + r”2 − q 02 a2 − 2~a · r0 + r 02 = 0 = 0 a2 q 2 − q 02 + q 2 r”2 − q 02 r 02 − 2~a · q 2 r” − q 02 r0
(5.7)
en virtud de que ~a toma todas las direcciones la cantidad 2~a · q 2 r” − q 02 r0 implica un cos θ arbitrario posibles de modo que es necesario que q 2 r” − q 02 r0 = 0 y como r0 y r” son paralelos se tiene que q 02 =
q 2 r” r0
reemplazando este valor de q 0 en la expresi´on (5.7) se obtiene q 2 r” q 2 r” 2 2 a q − 0 + q 2 r”2 − 0 r 02 r r r” a2 q 2 1 − 0 + q 2 r”2 − q 2 r”r 0 r 2 0 a r − r” + r 0 r”2 − r”r 02 a2 r 0 − r” + r 0 r” r” − r 0 a2 − r 0 r” r 0 − r”
(5.8)
= 0 = 0 = 0 = 0 = 0
es obvio que (r 0 − r”) 6= 0 ya que el uno es interior (r” < a) y el otro es exterior (r 0 > a) de modo que r” =
0 qa a2 q = ⇒ q 0 = − qa ⇒ 0 r r0 r0
(5.9)
donde hemos usado (5.8). Obs´ervese que |q 0 | < |q|. Reemplazando (5.9) en (5.6), el potencial fuera de la esfera queda φ (r) = φ (r) =
Kc q Kc q 0 Kc q Kc qa + = − 0 ” 0 |r − r | |r − r | |r − r | r 0 r− a20 r00 r r Kc q Kc qa − |r − r0 | r 0 r− a2 r0 r 02
(5.10)
y la funci´on de Green para r ≥ a, es este potencial con la carga real normalizada a uno (K c q = 1) i.e.
´ ´ CAP´ITULO 5. METODO DE IMAGENES
108
Gr>a r, r0 =
a 1 − 0 |r − r | r 0 r− a2 r0 02 r
(5.11)
Observemos que cuando la carga real se aproxima a la superficie, la magnitud de la carga imagen va aumentando tendiendo a la magnitud de la carga real. Adicionalmente, la carga imagen tambi´en se acerca a la superficie de la esfera y cuando la carga real est´a muy pr´oxima a la esfera, la carga imagen tiende a estar equidistante a ella, veamos: Sea r 0 = a + ε con ε/a a. Evaluando la densidad de superficie (5.12) usando el potencial (5.10) obtenemos φ (r) =
=
φ (r) =
Kc q Kc qa Kc q Kc qa =p − − r 0 2 0 0 |r − r | r 0 r− a r0 (r − r ) · (r − r ) a2 0 a2 0 0 02 r r r− r02 r · r− r02 r Kc q √ − 2 02 r + r − 2rr 0 cos θ Kc q √ − 2 02 r + r − 2rr 0 cos θ
q 0 r r 2 + q 0 r
r 2
a
Kc qa
a4 r 02
+
−
Kc q a 2 r0
2 2 ra02 rr 0 cos θ
− 2 rr0
cos θ
siendo θ el a´ngulo entre r0 y r. Derivando y evaluando en r = a a2 1 − 02 Kc q a r σ=− 3/2 4πa2 r 0 2 cos θ 1 + ra02 − 2a 0 r
(5.13)
al integrar para obtener la carga se obtiene justamente la carga imagen. Esto u ´ ltimo tambi´en se puede ver por ley de Gauss, para lo cual podemos construir una superficie S cerrada que encierre tanto a la esfera como a la carga real exterior, el flujo Φ debido al campo generado por el sistema esfera-carga real es exactamente el mismo que generar´ıa el sistema carga real- carga imagen, ya que la superficie Gaussiana esta toda en la regi´on del espacio en donde ya se prob´o que el potencial (y por tanto el campo el´ectrico) son iguales para ambas configuraciones. Como en ambos casos el flujo es el mismo, la ley de Gauss me dice que la carga neta debe ser la misma en ambos casos, por lo cual la carga inducida en la esfera debe coincidir en magnitud y signo con la carga imagen.
109
5.3. CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA ESFERA CONDUCTORA La fuerza que la esfera ejerce sobre la carga q, se puede calcular a partir de la carga imagen qa qa Kc qq 0 Kc Kc F = u = q − u = q − 0 uρ ρ ρ 2 2 0 0 2 2 L r (r − r”) r r0 − a r0
F = −
−2 Kc q 2 a 3 a2 uρ 1 − a2 r0 r 02
con r 0 >> a (aproximaci´on de carga lejana) a2 Kc q 2 a Kc q 2 a 3 1 + 2 u ≈ − uρ F≈− 2 ρ a r0 r 02 r 03
si r 0 ' a (aproximaci´on de carga cercana) es decir r 0 = a + ε con ε/a > q, si q es un portador de carga fundamental (usual p mente el electr´ on). En este l´ımite, el punto de equilibrio inestable para dicho portador est´ a ubicado en r 0 ≈ a 1 + 1/2 q/Q , es decir muy cerca a la superficie de la esfera.
´ 5.6. ESFERA CONDUCTORA COLOCADA EN CAMPO EL ECTRICO UNIFORME
113
ya que θ ∼ 0. En el l´ımite Q → ∞, y R → ∞ con Q/R 2 constante, la aproximaci´on se vuelve exacta. Sea una esfera de radio a, ubicada en el origen. El potencial se puede pensar como debido a cuatro fuentes puntuales ±Q y ±q 0 , donde ±q 0 son im´agenes de las cargas lejanas ∓Q. Kc Q Kc Q √ −√ r 2 + R2 + 2rR cos θ r 2 + R2 − 2rR cos θ Kc Qa Kc Qa − q + q 4 2 4 2 R r 2 + Ra 2 + 2aR r cos θ R r 2 + Ra 2 − 2aR r cos θ
φ (r) =
al expandir para los radicales teniendo en cuenta que R >> r, y R >> a, obtenemos φ (r) =
q R 1+
−
R2
q
Kc Q r 2 +2 R
r 2
R
r
R
cos θ
Kc Qa 4 + Ra +
φ (r) = teniendo en cuenta que
Kc Qa q + r 2 R
R2
q R 1+2
q R 1+ r
R
Kc Q r R cos θ +
q R 1+2
−
a 2
R
despreciando t´erminos de tercer orden φ (r) '
−
Kc Q r 2 −2 R
+
R2
cos θ
− r 2
R
Kc Qa q
q
r R
r 2
R
q R 1−2
cos θ
Kc Qa 4 + Ra −
a 2 R
Kc Q r R cos θ +
r 2 R
r R
cos θ
r 2 R
R2
Kc Q r R cos θ +
− r 2
R
q R 1−2
Kc Q r R cos θ +
r 2 R
1 1 3 √ = 1 ∓ x + x2 2 8 1±x φ (r) =
φ (r) =
("
r 2 2 r 1 r 2 3 r 1 − cos θ − + 2 cos θ + R 2 R 8 R R #) r 2 2 r 1 r 2 3 r − 1 + cos θ − + −2 cos θ + R 2 R 8 R R Kc Q r 1 r 2 3 r 2 2 1 − cos θ − + cos θ R R 2 R 2 R " #) r 2 2 r 1 r 2 3 r − 1 + cos θ − + −2 cos θ + R 2 R 8 R R Kc Q R "
#
???????????/ φ (r) = −
2Kc Qr 2Kc Q a3 cos θ + cos θ + ... R2 R2 r 2
donde Q/R2 se ha considerado constante, de modo que el campo E = 2K c Q/R2 tambi´en lo es
a3 φ (r) = −E r cos θ − 2 cos θ r
´ ´ CAP´ITULO 5. METODO DE IMAGENES
114
El primer t´ermino corresponde al campo uniforme E, el segundo es debido a la carga inducida sobre la superficie conductora y cuya densidad es 3 1 ∂φ σ=− = E cos θ 4π ∂r r=a 4π R Probar que σdA = 0, lo cual es l´ogico por simetr´ıa (se puede observar desde el punto de vista de las cuatro cargas ±Q, ±q 0 ). El momento de dipolo inducido sobre la esfera es p ~=
5.7.
Z
σrdA ; pz =
Z
σa3 cos θ sin θ dθ dφ =
π/2 3a3 E sin3 θ = Ea3 4π 3 0
M´ etodo de las im´ agenes como problema inverso
Vale la pena anotar que el problema de la carga puntual frente al plano conductor infinito conectado a tierra se puede ver en la forma inversa: asumamos un dipolo y construyamos las superficies equipotenciales de tal configuraci´on. En particular, es f´acil ver que el lugar geom´etrico correspondiente a un plano que pasa por la mitad entre las cargas y que es perpendicular a la l´ınea que une a las cargas, es una superficie equipotencial para el dipolo y con potencial cero. Por tanto si recubrimos este lugar geom´etrico con un conductor que est´e justamente a potencial cero entonces tomando por ejemplo la carga positiva como la real nos indica que la carga negativa es la im´agen correcta. T´ıpicamente, las superficies equipotenciales son cerradas. Para una distribuci´on dada de cargas, asumamos que conocemos una superficie equipotencial cerrada S que delimita un volumen V y que corresponde a un potencial φ0 . Denominemos qi a las cargas de la distribuci´on que quedan por dentro de V y llamemos q¯i a las cargas que quedan por fuera. Analicemos ahora un primer problema: el conjunto de cargas q¯i permanece intacto y en el volumen V con superficie S colocamos un conductor a potencial φ 0 . Por argumentos de unicidad el potencial y el campo en el exterior de V generado por esta configuraci´on, es id´entico al generado por la configuraci´on de cargas qi en V y q¯i en el exterior de V . Esto significa que para la configuraci´on dada por este conductor y las cargas reales q¯i , las cargas qi son im´agenes adecuadas. Veamos ahora un segundo problema: asumamos un conductor a potencial φ 0 y que posee una cavidad en el volumen V con superficie S, de tal manera que en el interior de la cavidad tenemos la distribuci´on de cargas reales q i . Por argumentos similares llegamos a que las q¯i son im´agenes adecuadas que permiten emular la condici´on de frontera en la superficie de la cavidad de modo que los potenciales y campos en el interior de la cavidad se pueden generar como superposici´on de las cargas qi y q¯i . Un caso particular simple se obtiene cuando la superficie equipotencial encierra toda la carga. En tal caso si colocamos un conductor en V con superficie S, no tendr´ıamos cargas reales en el exterior del conductor, por tanto los potenciales y campos que genera la distribuci´on de cargas son id´enticos (en el exterior de V ) a los que genera el conductor aislado. En conclusi´on, la determinaci´on de las superficies equipotenciales de una configuraci´on me puede ayudar a resolver problemas de conductores que ocupen el lugar geom´etrico de tales superficies y que est´en al potencial de ´estas.
5.8.
Energ´ıa interna electrost´ atica usando el m´ etodo de im´ agenes
Como hemos visto el m´etodo de im´agenes es una herramienta u ´ til para calcular campos y potenciales electrost´aticos, funciones de Green y fuerzas que los conductores ejercen sobre ciertas distribuciones de carga. Sin embargo, no es obvio como calcular la energ´ıa interna de una configuraci´on electrost´atica usando dicha t´ecnica. Llamemos sistema A (el sistema real) aqu´el que consiste de un conductor y cierta distribuci´on de cargas en el exterior de ´este, y sistema B (el sistema virtual) el que consiste de la distribuci´on de
´ ´ ´ 5.8. ENERG´IA INTERNA ELECTROSTATICA USANDO EL METODO DE IMAGENES
115
cargas mas el conjunto de cargas im´agenes (ver Fig. 5.1). La raz´on por la R cual no es directo el c´alculo de la energ´ıa interna del sistema A basado en el sistema B es que la integral E2 dV no es la misma para ambas configuraciones, puesto que en la regi´on interior al conductor el campo el´ectrico es diferente en cada sistema. Para una forma y tama˜ no arbitrarios del conductor no hay una simetr´ıa evidente que conecte las energ´ıas de ambas configuraciones. Veremos a continuaci´on la manera en que se puede calcular la energ´ıa interna del sistema A basados en el sistema B. System A fs
System B
qc qk
qj rj
qj
rk
rj
Figura 5.1: El sistema A se define como el conjunto compuesto por el conductor y la distribuci´ on de cargas {qj } fuera del conductor (izquierda). El sistema B consiste en la distribuci´ on de cargas {q j } m´ as el conjunto de cargas im´ agen {¯ qk }, (derecha). Queremos encontrar la energ´ıa potencial interna asociada con el sistema A que consiste en un conjunto de cargas ubicadas en cierta regi´on exterior a un conductor. Al conjunto de cargas (reales) lo denotaremos por {qj }. Tomamos como punto de partida la expresi´on (1.15) Z 1 (A) Uint = ρ (r) φ (r) dV, (5.19) 2
donde ρ (r) , φ (r) denotan densidad de carga y potencial respectivamente. Como ya se discuti´o en la secci´on 1.3.1 la Ec. (5.19) conduce a divergencias cuando hay part´ıculas puntuales presentes debido a la inclusi´on de t´erminos de autoenerg´ıa. Por supuesto los t´erminos de autoenerg´ıa se pueden remover para obtener solo resultados finitos. Extrayendo la autoenerg´ıa y teniendo en cuenta que la integral solo contribuye en regiones donde hay carga presente, vemos que M
1 1X (A) Uint = qc φs + qj φA (rj ) , 2 2
(5.20)
j=1
donde φs es el potencial (constante) en la superficie del conductor, r j describe la localizaci´on de la carga puntual qj , qc es la carga neta (superficial) del conductor, y φ A (rj ) es el potencial el´ectrico en rj debido a todas las fuentes (excluyendo a la propia q j i.e. removiendo la divergencia). El m´etodo de las im´agenes nos garantiza que el potencial electrost´atico en la regi´on exterior al conductor es equivalente al potencial generado por el sistema B (las cargas {qj } mas el conjunto de im´agenes). En particular, el potencial electrost´atico generado por el conjunto de im´agenes mas las cargas reales en el punto r j est´a dado por4 φB (rj ) =
N X k=1
M
X Kc qr Kc q¯k + = φA (rj ) , |¯ r k − rj | |rr − rj |
(5.21)
r6=j
donde (¯ qk , ¯ rk ) denota el conjunto de im´agenes y sus posiciones, as´ı mismo (q r , rr ) denota las cargas reales y sus posiciones excluyendo a qj . Reemplazando (5.21), en (5.20) resulta M N M X X X 1 1 Kc q¯k Kc qr (A) Uint = qc φs + qj + . (5.22) 2 2 |¯ r k − rj | |rr − rj | j=1
4
k=1
r6=j
Una vez m´ as, el autopotencial generado por la carga puntual qj en el punto rj ha sido extra´ıdo.
´ ´ CAP´ITULO 5. METODO DE IMAGENES
116
A partir de la ley de Gauss, se puede ver que la carga neta q c sobre la superficie del conductor, es la suma algebraica de las cargas im´agen. Similarmente, el potencial sobre la superficie del conductor es aqu´el generado por el sistema B en cualquier punto de dicha superficie, por tanto obtenemos qc =
N X
q¯k ; φs =
N X j=1
k=1
N
X Kc q¯k Kc qj + , |rj − rs | |¯ r k − rs |
(5.23)
k=1
donde rs es la posici´on de cualquier punto en la superficie del conductor. Reemplazando (5.23) en (5.22), encontramos la energ´ıa interna del sistema A en t´erminos exclusivamente de los componentes del sistema B "N # N N M N M M X X X K q 1 K q ¯ 1 X X Kc q¯k qj 1 X X Kc qr qj (A) c j c m + + + (5.24) Uint = q¯k 2 |rj − rs | |¯ r m − rs | 2 |¯ r k − rj | 2 |rr − rj | m=1
j=1
k=1
j=1 k=1
j=1 r6=j
La energ´ıa interna del sistema A se puede escribir entonces como (A)
Uint
qc
1 qc φs + 2 N X = q¯k ; =
k=1
(B) Uext
≡
M X N X
j=1 k=1
1 (B) {q } Uext + Uintj , 2 M N X X Kc qj Kc q¯m φs = + |rj − rs | m=1 |¯ r m − rs | j=1
M
M
M
X Kc q¯k qj 1 X X Kc qr qj {q } = qj φ¯ (rj ) ; Uintj = |¯ r k − rj | 2 |rr − rj | j=1
(5.25)
j=1 r6=j
donde φ¯ (rj ) es el potencial generado por las im´agenes en el punto r j donde se ubica la carga qj . Por tanto, (B) Uext representa la energ´ıa potencial externa asociada con la distribuci´on de cargas reales cuando ´estas est´an {q } inmersas en el campo generado por las im´agenes. Finalmente U intj representa la energ´ıa interna asociada a la distribuci´on real de cargas {qj }, i.e. el trabajo necesario para ensamblar esta distribuci´on si ´esta estuviera aislada (es decir en ausencia del conductor y/o las im´agenes). Por supuesto, la distribuci´on (y tal vez las im´agenes) pueden ser cont´ınuas, en cuyo caso las sumas se convierten en integrales. En muchos casos estaremos interesados en el trabajo necesario para traer la distribuci´on de carga como un todo, es decir {qj } se mueve como un cuerpo r´ıgido inmerso en el campo generado por el conductor. En {q } tal caso el t´ermino Uintj deja de ser relevante puesto que no cambia en el proceso y podemos removerlo de la formulaci´on. Si adicionalmente el conductor se conecta a tierra, la energ´ıa interna adquiere una forma particularmente simple, 1 (B) (A) Uint = Uext . (5.26) 2 En este punto conviene discutir brevemente acerca de la diferencia entre energ´ıa potencial externa e interna. En primer lugar debemos precisar el sistema de part´ıculas para el cual definimos los conceptos de energ´ıa interna y externa. Una vez definido el sistema, la energ´ıa potencial interna es la energ´ıa potencial asociada con las fuerzas internas y corresponde al trabajo necesario para ensamblar el sistema comenzando con las part´ıculas muy alejadas entre s´ı5 . Por otro lado, la energ´ıa potencial externa es aquella asociada con las fuerzas externas, y corresponde al trabajo necesario para traer el sistema como un todo desde el infinito hasta su configuraci´on final, inmerso en un campo de fuerzas generado por todas las fuentes exteriores al (B) sistema en cuesti´on. En nuestro caso, U ext representa la energ´ıa potencial externa asociada con el sistema 5 En algunos casos cuando el sistema est´ a compuestos de subsistemas que act´ uan como cuerpos r´ıgidos, la energ´ıa interna se puede definir como la necesaria para ensamblar estos subsistemas comenzando con ellos muy lejos uno de otro. Esto implica ignorar la energ´ıa necesaria para ensamblar los subsistemas, lo cual est´ a justificado puesto que en el proceso la energ´ıa interna asociada a cada subsistema no est´ a cambiando y por tanto no es relevante en el problema. No obstante, debe tenerse presente que si algunos subsistemas pueden cambiar su energ´ıa interna en el proceso, estas energ´ıas deben inclu´ırse en el c´ alculo de la energ´ıa interna total del sistema.
´ ´ ´ 5.8. ENERG´IA INTERNA ELECTROSTATICA USANDO EL METODO DE IMAGENES
117
de cargas reales exteriores al conductor, las fuerzas externas son las generadas por el conjunto de cargas (B) im´agen. En consecuencia, Uext es el trabajo necesario para traer la distribuci´on {q j } como un todo desde (A) el infinito hasta su configuraci´on final en presencia de las cargas im´agen. Por otro lado, U int representa el {q }
trabajo necesario para ensamblar el sistema A. Finalmente U intj es la energ´ıa necesaria para ensamblar al (A) conjunto de cargas reales en ausencia de fuerzas externas, vale decir que esta cantidad contribuye a U int pero si el sistema de cargas se trae desde el infinito “ya ensamblado” y no se redistribuye en el proceso (es decir se comporta como cuerpo r´ıgido) dicha cantidad es irrelevante en el problema. N´otese que las energ´ıas potenciales internas y externas son diferentes tanto conceptual como operativamente.
5.8.1.
Ejemplos de c´ alculo de energ´ıa interna por m´ etodo de im´ agenes
Trabajaremos dos tipos de configuraciones (a) Sistemas en los cuales el conductor est´a aislado (de modo que la carga neta qc es fija), (b) Sistemas en los cuales el potencial en la superficie del conductor es constante (e.g. conectado a tierra o a una bater´ıa). En todos los casos consideramos al sistema exterior de cargas como {q } un cuerpo r´ıgido de modo que omitiremos el t´ermino U intj de la Ec. (5.25). Ejemplo 1: Un caso muy simple es el de una carga puntual en frente de un plano infinito conectado a tierra. Para muchos prop´ositos este sistema es equivalente a reemplazar el conductor por una carga im´agen de signo opuesto igual magnitud e igual distancia al otro lado del plano formando un dipolo f´ısico, es f´acil ver que la energ´ıa interna correspondiente al sistema A, es la mitad de la energ´ıa interna asociada al sistema B. Esto se puede ver por dos argumentos,R (a) El espacio se puede dividir en dos mitades separadas por el conductor. Para el sistema B la integral E2 dV da contribuciones id´enticas en ambas mitades, en tanto que en el sistema A solo una de estas mitades contribuye a la energ´ıa. (b) Calculando el trabajo necesario para traer q desde el infinito. En el sistema A solo se realiza trabajo sobre q puesto que la redistribuci´on de cargas en el conductor no requiere trabajo debido a que dichas cargas se mueven en una equipotencial. En contraste, si ensamblamos el sistema B trayendo ambas cargas simult´aneamente, podemos trabajar sobre ambas en forma sim´etrica, resultando claramente un trabajo dos veces mayor. Esta soluci´on es consistente con lo que se encuentra al aplicar la Ec. (5.26), y se puede estimar por argumentos de simetr´ıa. Sin embargo, la Ec. (5.26) es v´alida mucho m´as all´a de este ejemplo, incluso en escenarios sin ninguna simetr´ıa evidente. Ejemplo 2: Sea una carga puntual q ubicada en r 0 en presencia de un conductor aislado con carga neta qc . Estamos interesados en calcular el trabajo externo necesario para traer q desde el infinito hasta r 0 . La carga neta es invariante durante el proceso y la energ´ıa interna del sistema al comienzo y al final del proceso se obtiene aplicando (5.22) (A,i)
Uint
(f ) X K q ¯ 1 1 1 (A,f ) c k q , = qc φis ; Uint = qc φfs + (f ) 2 2 2 r r − ¯ 0
k
k
donde φis , φfs son los potenciales en del conductor al comienzo y al final del proceso respectin la superficie o (f ) (f ) vamente, el conjunto de im´agenes q¯k , ¯ rk es la configuraci´on que fija el potencial del conductor al final del proceso (i.e. con q localizada en r 0 ). Hemos asumido que la distribuci´on de las im´agenes es localizada durante todo el proceso con lo cual se asegura que la energ´ıa potencial asociada con la carga puntual es cero cuando ´esta se ubica en el infinito. El trabajo externo para traer a q desde el infinito hasta r 0 , es el cambio en la energ´ıa interna (f ) X K q ¯ 1 1 (A) c k q , Wext = ∆Uint = qc (φfs − φis ) + (5.27) (f ) 2 2 r r − ¯ k
0
k
los valores de φis y φfs se pueden obtener de la Ec. (5.23) utilizando la configuraci´on de im´agenes al principio
´ ´ CAP´ITULO 5. METODO DE IMAGENES
118
y al final del proceso respectivamente 6 . Es claro que los valores de φfs , φis dependen de la geometr´ıa del conductor. N´otese sin embargo, que si la carga neta es nula, W ext se vuelve independiente de ´estos potenciales y el resultado tiene la misma forma que aqu´el en el cual el conductor est´a conectado a tierra (ver Ecs. 5.26, 5.25) sin importar cu´al sea la geometr´ıa del conductor 7 . Ejemplo 3: Carga puntual q ubicada en r 0 con conductor conectado a una bater´ıa que lo mantiene a un potencial fijo V . En el proceso de traer q desde el infinito hasta r 0 , la bater´ıa debe proporcionar una carga ∆Q al conductor para mantener constante su potencial, de tal modo que aplicando (5.22) al comienzo y al final y haciendo la diferencia, obtenemos el cambio en la energ´ıa interna (f ) X K q¯ V 1 (A) c k q . ∆Uint = ∆Q + (f ) 2 2 r r − ¯ 0
k
k
Nuevamente, hemos asumido que la configuraci´on de im´agenes est´a localizada a lo largo del proceso. De(i) (f ) notemos qc , qc a las cargas totales en la superficie del conductor al principio y al final del proceso respectivamente. Usando la Ec. (5.23), el cambio en la energ´ıa interna es " ! !# (f ) X X X K q ¯ V 1 (A) (f ) (i) c k q . q¯k q¯m (5.28) ∆Uint = − + (f ) 2 2 r r − ¯ m k
0
k
k
Este cambio en la energ´ıa interna es igual al trabajo neto externo sobre el sistema, el cual se puede separar en dos t´erminos: el trabajo hecho por la bateria sobre el conductor para suplir la carga ∆Q y el trabajo hecho por la fuerza externa sobre q (A)
∆Uint = Wext = Wbatt + WFext . El trabajo hecho por la bater´ıa es claramente Wbatt = V ∆Q = V
"
X k
de modo que WFext viene dado por WFext
V = 2
"
X
(i) q¯m
m
!
−
(f ) q¯k
X k
(f )
q¯k
!
!#
−
X m
(i) q¯m
!#
,
(f ) 1 X Kc q¯k q , + (f ) 2 r r − ¯ k
0
(5.29)
(5.30)
k
el conductor conectado a tierra es un caso especial con V = 0. Los ejemplos 2, 3 son v´alidos para cualquier forma y tama˜ no del conductor. Apliquemos estos resultados a un conductor esf´erico de radio R, con el origen en el centro de la esfera. Ejemplo 4: La esfera se conecta a una bater´ıa que mantiene su potencial V constante. La estructura de las im´agenes ya se obtuvo en la secci´on 5.5 . En la notaci´on de la figura 5.2, con la carga q en cierta posici´on x0 , la estructura de im´agenes est´a descrita por qR R2 VR ; x ¯1 = ; q¯2 = ; x ¯2 = 0 , (5.31) x0 x0 Kc La configuraci´on inicial de im´agenes se obtiene haciendo x 0 → ∞, y para la configuraci´on final asumimos que la posici´on es justamente x0 , usando (5.23) encontramos q¯1 = −
(i)
(i)
qc(i) = q¯1 + q¯2 = 6
VR qR V R (f ) (f ) ; qc(f ) = q¯1 + q¯2 = − + Kc x0 Kc
(5.32)
qc es dado en el problema. pero por consistencia podemos chequear si este valor se obtiene usando la configuraci´ on de im´ agenes al principo o al final del proceso en la Ec. (5.23), dado que qc es invariante durante el proceso. 7 No obstante, el resultado no es necesariamente el mismo para carga nula que para potencial cero, dado que la configuraci´ on de im´ agenes no es en general, la misma en ambos casos.
´ ´ ´ 5.8. ENERG´IA INTERNA ELECTROSTATICA USANDO EL METODO DE IMAGENES
R
q2 q1 x1
q x0
119
x
Figura 5.2: Carga puntual q en presencia de un conductor esf´erico de radio R. Las cargas q¯1 , q¯2 representan la configuraci´ on de im´ agenes, y adquieren diferentes valores y posiciones de acuerdo con el caso estudiado. Sin embargo, q¯2 est´ a siempre en el origen y la configuraci´ on q¯1 , q¯2 , q yace sobre el eje X. reemplazando (5.31, 5.32) en (5.29, 5.30) encontramos qRV x0 qRV 1 Kc q 2 R − x0 2 x20 − R2
Wbatt = − WFext
=
(f )
=
Kc q¯2 q 1 Kc q q¯1 . + (f ) x0 2 x −x ¯1 0
(5.33)
la esfera conectada a tierra se obtiene haciendo V = 0 (´o q¯2 = 0). Examinando la u ´ ltima l´ınea de la ecuaci´on (5.33) vemos que el primer t´ermino de W Fext es equivalente al trabajo para traer la carga q en presencia de la im´agen q¯2 (que es invariante durante el proceso). Vale la pena enfatizar que en este t´ermino el factor 1/2 no est´a presente debido a que la carga q¯2 es estacionaria y constante en magnitud en el proceso de traer q, de modo que la fuerza externa necesaria para traer la carga es siempre de la forma K c q¯2 q/r 2 en la direcci´on de movimiento. En contraste, el segundo t´ermino posee el factor 1/2 y tal t´ermino es equivalente a la mitad del trabajo requerido para transportar la carga q en presencia de la im´agen q¯1 si tal im´agen estuviera siempre en su posici´on final, y con su magnitud final. Este factor surge del hecho de que durante el proceso de traer q, la carga im´agen q¯1 tiene que cambiar su posici´on y magnitud, con el fin de mantener su rol de carga im´agen. Example 5: La esfera est´a aislada con una carga neta q c . De nuevo, la estructura de las im´agenes ya ha sido estudiada en la secci´on 5.4, y en la notaci´on de la Fig. 5.2 est´a dada por q¯1 = −
qR R2 qR ; x ¯1 = ; q¯2 = qc − q¯1 = qc + ; x ¯2 = 0 , x0 x0 x0
(5.34)
el potencial en la superficie del conductor cuando la carga yace en su posici´on final, es aqu´el generado por la carga q¯2 solamente, puesto que los potenciales generados por q¯1 y q se cancelan mutuamente por construcci´on. Por otro lado, el potencial en la superficie del conductor cuando q yace en el infinito, es claramente de la forma Kc qc /R, y usando (5.34) los potenciales sobre la superficie del conductor al comienzo y al final del proceso se escriben qR K q + c c x0 Kc q¯2 Kc qc φfs = = ; φis = , (5.35) R R R reemplazando las expresiones (5.34, 5.35) en (5.27) encontramos ( " #) qc qR 1 1 Wext = Kc q + − 2 . x0 2 x20 x0 − R 2
En este caso, no hay trabajo sobre el conductor como ocurre en el caso de la esfera conectada a tierra (V = 0 en la Ec. 5.33). En particular, en el escenario con un conductor neutro i.e. q c = 0, el trabajo necesario para
´ ´ CAP´ITULO 5. METODO DE IMAGENES
120
traer la carga es mayor que en el caso de la esfera conectada a tierra en virtud de que una segunda carga im´agen localizada en el centro de la esfera y del mismo signo que q debe ser a˜ nadida, dicha im´agen conduce a una interacci´on repulsiva que requiere incrementar el trabajo externo.
z l
-l
-a
a
x
Figura 5.3: Alambre infinito con densidad lineal de carga constante λ, en frente de un conductor infinito conectado a tierra. El alambre punteado es la correspondiente im´ agen. Example 6: Consideremos un alambre infinito con densidad lineal uniforme λ, que yace a una distancia a al lado derecho de un conductor plano infinito conectado a tierra, ver Fig. 5.3. En este caso la im´agen consiste de otro alambre infinito de densidad lineal −λ al lado izquierdo del plano. En este ejemplo la distribuci´on real y la configuraci´on de im´agenes son ambas distribuciones cont´ınuas. Los potenciales el´ectricos en un ˆ (x > 0) debido al alambre y su im´agen est´an dados por punto r =xˆı + yˆ +z k p Φ(r) = 2Kc λ ln (x − a)2 + y 2 + C1 , p ¯ Φ(r) = −2Kc λ ln (x + a)2 + y 2 + C2 .
(5.36)
Para asegurar que el potencial sobre el plano sea nulo (plano Y Z) debemos escoger las constantes arbitrarias como C1 = −C2 = C de modo que el potencial total sobre el lado derecho del plano est´a dado por ΦT (r) = 2Kc λ ln
s
(x − a)2 + y 2 , (x + a)2 + y 2
el cual satisface la condici´on ΦT (0, y, z) = 0. Nuestro prop´osito es calcular la energ´ıa interna electrost´atica del sistema A, para el cual usamos la Ec. (5.25) con φ s = 0 Z 1 (B) (A) (B) ¯ dq (5.37) Uint = Uext ; Uext ≡ Φ(a,0,0) 2 donde la energ´ıa potencial externa asociada con el alambre real en el campo generado por el sistema virtual (sistema B) puede ser escrito como (B)
Uext ¯ = Φ(a,0,0)λ, L con L la longitud de un trozo de alambre con densidad λ, de la Ec. (5.36) encontramos que
´ ´ ´ 5.8. ENERG´IA INTERNA ELECTROSTATICA USANDO EL METODO DE IMAGENES
121
(B)
Uext = −2Kc λ2 ln (2a) − Cλ. L Usando la Ec. (5.37) la energ´ıa potencial por unidad de longitud del alambre en presencia del conductor plano conectado a tierra puede escribirse como (A)
Uint Cλ = −Kc λ2 ln (2a) − , L 2 y el trabajo externo por unidad de longitud para llevar el alambre (en presencia del conductor) desde la distancia ai hasta la distancia af viene dada por: i→f
Wext = −Kc λ2 ln L
ai af
.
122
´ ´ CAP´ITULO 5. METODO DE IMAGENES
Cap´ıtulo 6
Funci´ on de Green y ecuaci´ on de Poisson en coordenadas esf´ ericas Cuando tenemos en cuenta problemas con alguna simetr´ıa esf´erica, es conveniente escribir la ecuaci´on de Green ∇2 G = −4πδ r − r0
en coordenadas esf´ericas, para lo cual se utiliza el Laplaciano en coordenadas esf´ericas que ya se emple´o en el cap´ıtulo anterior, as´ı como la funci´on delta de Dirac en estas mismas coordenadas.
6.1.
Delta de Dirac en coordenadas esf´ ericas
Definimos δ (r − r 0 ), δ (cos θ − cos θ 0 ) , δ (ϕ − ϕ0 ) a trav´es de las siguientes relaciones Z
0
⇒ = =
Z
Z
∞
0
δ r − r dr = 1 ,
δ r−r
0
dV = 1 =
Z
0
Z
0
∞
2π
δ ϕ−ϕ
0
δ r − r dr
0
dϕ = 1 ,
Z
0
Z
π
δ cos θ − cos θ 0 sin θ dθ = 1
2π 0
δ ϕ−ϕ
δ (r − r 0 ) δ (ϕ − ϕ0 ) δ (cos θ − cos θ 0 ) 2 r dr sin θ dθ dϕ r2 Z δ (r − r 0 ) δ (ϕ − ϕ0 ) δ (cos θ − cos θ 0 ) dV r2
0
dϕ
Z
0
π
0
δ cos θ − cos θ sin θ dθ
Por lo tanto, el delta de Dirac en coordenadas esf´ericas queda δ (r − r 0 ) δ (ϕ − ϕ0 ) δ (cos θ − cos θ 0 ) δ r − r0 = r2
con lo cual ya estamos listos para escribir la ecuaci´on de Green en ´estas coordenadas
6.2.
Funci´ on de Green en coordenadas esf´ ericas
Ya conocemos la expresi´on anal´ıtica para la funci´on de Green para espacio infinito con condiciones de Dirichlet (G → 0, r → ∞). La cual viene dada por G r, r0 = 123
1 |r − r0 |
´ DE GREEN Y ECUACION ´ DE POISSON EN COORDENADAS ESFERICAS ´ 124CAP´ITULO 6. FUNCION Para ajustar esta funci´on de Green a problemas con simetr´ıa esf´erica, es conveniente expandir la soluci´on en arm´onicos esf´ericos ∞ X l X 0 ∗ G r, r = Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 Flm r, r 0 (6.1) l=0 m=−l
∗ Ylm
(θ 0 , ϕ0 )
se debe a que la funci´on de Green debe satisfacer G (r, r 0 ) = G∗ (r0 , r). Utilizando la inclusi´on de la completez de los arm´onicos esf´ericos ∞ X l X ∗ δ ϕ − ϕ0 δ cos θ − cos θ 0 = Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 l=0 m=−l
reemplazando en ∇2 G = −4πδ (r − r0 ) y usando el Laplaciano en coordenadas esf´ericas ∞ l 1 ∂2 1 ˆ2 4πδ (r − r 0 ) X X ∗ (rG) − 2 L G = − Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 2 2 r ∂r r r l=0 m=−l
ˆ 2 definido por (2.16). Usando (6.1) se obtiene con L ∞ X l X
∗ Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0
l=0 m=−l
1 d2 rFlm r, r 0 2 r dr
∞ l 1 ˆ2 X X ∗ Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 Flm r, r 0 − 2L r l=0 m=−l
= −
∞ l 4πδ (r − r 0 ) X X ∗ 0 0 Y (θ, ϕ) Y θ , ϕ lm lm r2 l=0 m=−l
ˆ 2 con valor propio ahora teniendo en cuenta que los arm´onicos esf´ericos son funciones propias del operador L 0 0 l (l + 1), y teniendo en cuenta que este operador es solo funci´on de θ, ϕ y no de θ , ϕ se obtiene ∞ X l X
∗ Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0
l=0 m=−l
1 d2 rFlm r, r 0 2 r dr
∞ l 1 X X ∗ − 2 l (l + 1) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 Flm r, r 0 r l=0 m=−l
= −
∞ l 4πδ (r − r 0 ) X X ∗ 0 0 Y (θ, ϕ) Y θ , ϕ lm lm r2 l=0 m=−l
igualando coeficientes
multiplicando por r 2
1 d2 1 4πδ (r − r 0 ) 0 0 rF r, r − l (l + 1) F r, r = − lm lm r dr 2 r2 r2
d2 0 0 0 rF r, r − l (l + 1) F r, r = −4πδ r − r lm lm dr 2 0 la soluci´on para r 6= r ya la hemos estudiado cuando solucionamos la ecuaci´on de Laplace r
Blm Flm r, r 0 = Alm r l + l+1 r
(6.2)
´ DE GREEN EN COORDENADAS ESFERICAS ´ 6.2. FUNCION
125
Para r < r 0 Flm 6= ∞, para r → 0 de modo que la soluci´on tiene la forma l Flm = Alm r
r 0 , Flm → 0 cuando r → ∞ (condici´on de frontera en el infinito) Flm =
Blm l+1 r>
la soluci´on para ambos casos es Flm = Clm
l r< l+1 r>
para hallar Clm multiplicamos la ecuaci´on (6.2) por r dr e integramos entre r 0 − ε y r 0 + ε. Z
r 0 +ε
r 0 −ε
d2 r 2 rFlm r, r 0 dr − l (l + 1) dr
Z
r 0 +ε
r 0 −ε
0
Flm r, r dr = −4π
Z
r 0 +ε r 0 −ε
δ r − r0
dr
2
d 0 la primera integral se soluciona f´acilmente por partes con u = r, dv = dr 2 [rFlm (r, r )] dr ⇒ du = dr, d 0 v = dr [rFlm (r, r )]. Asumimos Flm acotada y cont´ınua de modo que la integral sobre la funci´on tiende a cero cuando ε → 0.
Clm "
Clm r
"
d r dr
d dr
l r
! # (r 0 )l (r 0 )l r l+1 − r l+1 r r 0 r
#
"
! # l l r< r< d − Clm r r l+1 − r l+1 = −4π dr r r > > 0 0 r +ε r −ε l l d r r − Clm r r 0(l+1) − r 0(l+1) = −4π dr r r r 0 −ε
r +ε
Clm =
4π 2l + 1
La funci´on de Green queda G r, r0 =
∞ X l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l X Ylm (θ, ϕ) Ylm r< 1 = 4π 0 l+1 |r − r | 2l + 1 r>
(6.3)
l=0 m=−l
A partir de esta funci´on de Green se puede calcular el potencial debido a cualquier distribuci´on localizada y est´atica de cargas en el espacio libre. Como en tal caso tanto la funci´on de Green como el potencial son cero en el infinito, la integral de superficie se anula y solo queda la integral de volumen. Z ∞ X l l X ∗ 0 0 r< Ylm (θ, ϕ) φ (r) = 4πKc ρ r0 Ylm θ , ϕ l+1 r 02 dr 0 dΩ0 2l + 1 r>
(6.4)
l=0 m=−l
esta expresi´on es la base para la expansi´on del potencial en multipolos esf´ericos como veremos en la secci´on 8.1.2.
´ DE GREEN Y ECUACION ´ DE POISSON EN COORDENADAS ESFERICAS ´ 126CAP´ITULO 6. FUNCION
6.2.1.
Teorema de adici´ on de arm´ onicos esf´ ericos
1 Comparando la expresi´on obtenida para |r−r erminos de arm´onicos esf´ericos y en t´erminos de 0 | en t´ polinomios ordinarios de Legendre, Ecs. (2.37, 6.3) obtenemos ∞ X l ∞ ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l l X X Ylm (θ, ϕ) Ylm 1 r< r< = 4π = P (cos γ) l l+1 l+1 |r − r0 | 2l + 1 r> r> l=0 m=−l
l=0
donde γ es el a´ngulo entre r y r0 . De lo anterior se deduce Pl (cos γ) = 4π
l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) X Ylm (θ, ϕ) Ylm 2l + 1
(6.5)
m=−l
resultado que se conoce como teorema de adici´on de los arm´onicos esf´ericos. En particular, si θ = θ 0 , ϕ0 = ϕ ⇒ γ = 0 l X |Ylm (θ, ϕ)|2 Pl (cos 0) = Pl (1) = 1 = 4π 2l + 1 m=−l
de lo cual se deriva la propiedad l X |Ylm (θ, ϕ)|2 1 = 2l + 1 4π
(6.6)
m=−l
6.3.
Esfera uniformemente cargada
Calcular el potencial interior y exterior debido a una esfera de densidad volum´etrica constante ρ y radio a. Usando (6.4) Z ∞ X l l X ∗ 0 0 r< Ylm (θ, ϕ) ρ r0 Ylm φ (r) = 4πKc θ , ϕ l+1 r 02 dr 0 dΩ0 2l + 1 r> l=0 m=−l
Z Z a l ∞ X l X 0 r< 02 0 Ylm (θ, ϕ) ∗ 0 0 = 4πρKc Ylm θ , ϕ dΩ r dr l+1 2l + 1 0 r> l=0 m=−l ∞ X l i Z a rl X Ylm (θ, ϕ) h√ < 02 0 = 4πρKc 4πδl0 δm0 r dr l+1 2l + 1 r 0 > l=0 m=−l 0 √ Z a r< 02 0 = 4πρKc Y00 4π 0+1 r dr 0 r> φ (r) = 4πρKc
Z
a 0
1 02 0 r dr r>
a) Para r < a Z
0
a
Z a 1 02 0 1 02 0 r dr + r dr r r Z0 r > Z ar > 1 02 0 1 02 0 = r dr + r dr 0 0 r r r 1 = 3a2 − r 2 6
1 02 0 r dr = r>
Z
r
´ DE GREEN PARA EXTERIOR E INTERIOR DE LA ESFERA COMBINANDO IM AGENES ´ 6.4. FUNCION C b) Para r > a ⇒ r > r 0
Z
0
φ (r) = φ (r) =
a
Z
1 02 0 r dr = r> 4πKc ρ 3 Kc Q a3
0
1 2
1 2
a
1 02 0 a3 r dr = r 3r
3a2 − r 2 a3 r
3a2 − r 2 a3 r
si r < a si r > a si r < a si r > a
En r = a ambos potenciales coinciden, como debe ocurrir en la interface. El potencial afuera coincide con el de una carga puntual situada en el centro de la esfera con carga Q. En el interior el potencial es el generado por la carga interior con respecto al punto.
6.4.
Funci´ on de Green para exterior e interior de la esfera combinando im´ agenes con autofunciones
En la secci´on 5.3 se calcul´o la funci´on de Green exterior e interior para la esfera de radio a, a partir del m´etodo de las im´agenes, Ec. (5.11) G r, r0
= = ≡
1 a − 0 |r − r | r 0 r− a2 r0 r 02 1 1 − r0 r ar0 0 |r − r | a − r0 1 1 − 0 |r − r | k − k0
como el segundo t´ermino es semejante al primero, es f´acil hacer la expansi´on del segundo t´ermino en 0 0 0 arm´onicos esf´ericos, solo tenemos que saber cual de los t´erminos rar o´ ar r 0 (o k, k ) tiene mayor magnitud 0 a) Problema exterior, en este caso tanto r como r 0 son mayores que a, de modo que rr 0 > a2 ⇒ rar > 0 0 a ⇒ rar > ar on para r0 r 1 ar0 es r 0 de modo que aplicando la Eq. (6.3) la expansi´
G2 r, r
0
a
l ∞ X ∗ (θ 0 , ϕ0 ) X Ylm (θ, ϕ) Ylm = 4π 2l + 1 l=0 m=−l
y la funci´on de Green completa queda
−
r0
r0 a r0
l
rr 0 l+1 a
" # ∞ X l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l X Ylm (θ, ϕ) Ylm r< a2l+1 G r, r = 4π − l+1 2l + 1 r (rr 0 )l+1 > l=0 m=−l 0
b) Problema interior, r y r 0 menores que a entonces rr 0 ar 0 < 0 a r de modo que G2
∞ X l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) X Ylm (θ, ϕ) Ylm r, r0 = 4π 2l + 1 l=0 m=−l
rr 0 a
l
r 0 a l+1 0 r
´ DE GREEN Y ECUACION ´ DE POISSON EN COORDENADAS ESFERICAS ´ 128CAP´ITULO 6. FUNCION y la funci´on de Green completa queda " # ∞ X l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l X Ylm (θ, ϕ) Ylm r< (rr 0 )l G r, r = 4π − 2l+1 l+1 2l + 1 a r> l=0 m=−l 0
las funciones de Green interior y exterior se pueden considerar como un caso particular del siguiente problema
6.5.
Funci´ on de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esf´ ericos conc´ entricos con G = 0 en la superficie
Figura 6.1: Problema de Dirichlet para la regi´ on comprendida entre dos cascarones esf´ericos. Resolveremos la ecuaci´on de Green para la regi´on mostrada en la Fig. 6.1. Partiendo de ∇ 2 G (r, r0 ) = −4πδ (r − r0 ). Siguiendo el procedimiento usual encontramos
a) Para r < r 0 → f = 0 en r = a
B F r, r 0 = Ar l + l+1 r f = Al
a2l+1 l r< − l+1 r
b2l+1 − l+1 r>
!
b) si r > r 0 → f = 0 en r = b
el F que cumple ambas es f = Clm
"
a2l+1 l r< − l+1 r
a 1 l h i r< φ (r) = −4πKc ρ r0 − l+1 − sin θ 0 r 02 dr 0 dθ 0 dϕ l+1 2l+1 2l+1 b r r < > l=0 m=−l (2l + 1) 1 − (a/b) Z ∞ X l ∗ 0 0 l X Ylm (θ, ϕ) Ylm (θ , ϕ ) 1 r l−1 h i + φa θ 0 , ϕ 0 − a a2 sin θ 0 dθ 0 dϕ0 l+1 2l+1 2l+1 r b S1 1 − (a/b) l=0 m=−l Z ∞ X l ∗ (θ 0 , ϕ0 ) 2l+1 1 X Y (θ, ϕ) Y a lm lm h i + φb θ 0 , ϕ 0 r l − l+1 b2 sin θ 0 dθ 0 dϕ0 l+2 2l+1 r b S2 1 − (a/b) l=0 m=−l
´ DE GREEN Y ECUACION ´ DE POISSON EN COORDENADAS ESFERICAS ´ 130CAP´ITULO 6. FUNCION simplificando Z
# " ∗ (θ 0 , ϕ0 ) 2l+1 Ylm (θ, ϕ) Ylm a l h i r< φ (r) = −4πKc ρ r − l+1 2l+1 r< l=0 m=−l (2l + 1) 1 − (a/b) " #) l r> 1 × l+1 − 2l+1 sin θ 0 r 02 dr 0 dθ 0 dϕ0 b r> 1 rl Z ∞ X l al+1 rl+1 − b2l+1 X ∗ 0 0 + φa θ 0 , ϕ0 Ylm Ylm (θ, ϕ) θ , ϕ sin θ 0 dθ 0 dϕ0 2l+1 S1 1 − (a/b) l=0 m=−l 2l+1 Z ∞ X l r l − arl+1 X ∗ 0 0 Ylm (θ, ϕ) + φb θ 0 , ϕ0 Ylm θ , ϕ sin θ 0 dθ 0 dϕ0 2l+1 l S2 l=0 m=−l b 1 − (a/b) ∞ X l X 0
definiendo
(1) Hlm
(2) Hlm
(a, b) ≡
R
S1
(a, b) ≡
R
S2
tenemos que Z
∗ (θ 0 , ϕ0 ) sin θ 0 dθ 0 dϕ0 φa (θ 0 , ϕ0 ) Ylm h i 1 − (a/b)2l+1 ∗ (θ 0 , ϕ0 ) sin θ 0 dθ 0 dϕ0 φb (θ 0 , ϕ0 ) Ylm h i 1 − (a/b)2l+1
" # ∗ (θ 0 , ϕ0 ) Ylm (θ, ϕ) Ylm a2l+1 l h i r< − l+1 ρ r φ (r) = −4πKc 2l+1 r< (2l + 1) 1 − (a/b) l=0 m=−l " #) l r> 1 × l+1 − 2l+1 sin θ 0 r 02 dr 0 dθ 0 dϕ0 b r> ∞ X l X 1 rl (1) + al+1 l+1 − 2l+1 Ylm (θ, ϕ) Hlm (a, b) r b 0
∞ X l X
l=0 m=−l
+
∞ X l X l=0 m=−l
φ (r) = −4πKc +
∞ X
Z
l X
0
a2l+1 1 (2) r − l+1 Ylm (θ, ϕ) Hlm (a, b) r bl l
0
ρ r GdV +
l=0 m=−l
∞ X l X
l=0 m=−l
"
(2)
Hlm (a, b) al+1 (1) r Ylm (θ, ϕ) − 2l+1 Hlm (a, b) l b b l
Ylm (θ, ϕ) l+1 (1) a2l+1 (2) a H (a, b) − Hlm (a, b) lm r l+1 bl
definiendo (2)
Hlm (a, b) al+1 (1) a2l+1 (2) l+1 (1) − H (a, b) ; B ≡ a H (a, b) − Hlm (a, b) lm lm bl b2l+1 lm bl Z ∞ X l X Blm 0 0 0 l φ (r) = −4πKc ρ r G r, r dV + Ylm (θ, ϕ) Alm r + l+1 r
Alm ≡
l=0 m=−l
#
131
6.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE
La soluci´on general posee una integral de volumen que depende de la distribuci´on de carga ρ (r) pero que adem´as posee un factor modulador G asociado a la geometr´ıa de las fronteras, cuando la frontera es el infinito este t´ermino queda como en el caso del potencial de distribuci´on localizada que ya conoc´ıamos. Para otras geometr´ıas el t´ermino modulador da cuenta de la forma en que las condiciones de frontera afectan la contribuci´on de la distribuci´on volum´etrica. La integral de superficie, es la que contiene la informaci´on expl´ıcita sobre las condiciones de frontera; dichas condiciones son generadas por las cargas interiores exteriores y superficiales de la regi´on de Dirichlet. Discusi´on (chequear) El potencial solo se puede evaluar estrictamente dentro del volumen de Dirichlet cuando uno usa las funciones de Green, la carga superficial alojada sobre la superficie de Dirichlet no est´a en el interior de modo que su influencia est´a inclu´ıda indirectamente en la integral de superficie. Con frecuencia el potencial es cont´ınuo en las interfaces (a menos que haya cargas puntuales o singularidades de alg´ un tipo) de modo que al resolver el problema interior podemos tomar el l´ımite cuando se tiende a la frontera y el potencial obtenido ser´a el correcto para la superficie (debe tender a las condiciones de frontera), recordemos que la componente perpendicular del campo si puede tener discontinuidad. La integral de superficie es soluci´on de la ecuaci´on de Laplace ????. Los coeficientes A lm , Blm est´an determinados por las condiciones de frontera. Podemos chequear que en los casos a) a → 0, b) b → ∞, c) a → 0, b → ∞, los potenciales se reducen a lo que se espera.
6.6.
Disco cargado uniformemente
Sea un disco de radio a y densidad superficial σ, que yace en el plano XY y centrado en el origen. Esta distribuci´on de carga es localizada, se toma entonces el G para espacio infinito. Como la distribuci´on es superficial debemos hallar el ρ equivalente Z Z Z Z Z σ ρdV = q = σdA = σr dr dϕ × δ (cos θ) sin θ dθ = δ (cos θ) r 2 dr dϕ sin θ dθ r Z Z σ σ σdA = δ (cos θ) dV ⇒ ρ = δ (cos θ) r r Reemplazando esta densidad equivalente en el potencial asociado a la funci´on de Green para espacio infinito Ec. (6.4) se tiene Z Z ∞ X l l X ∗ 0 0 r< Ylm (θ, ϕ) 0 0 0 φ (r) = 4πKc ρ r G r, r dV = 4π ρ r0 Ylm θ , ϕ l+1 r 02 dr 0 dΩ0 2l + 1 r> l=0 m=−l Z ∞ X l l X ∗ 0 0 r< Ylm (θ, ϕ) σ 0 Y θ φ (r) = 4π δ cos θ , ϕ r 02 dr 0 sin θ 0 dθ 0 dϕ0 lm l+1 2l + 1 r0 r> l=0 m=−l # Z "Z a l ∞ X l X ∗ 0 0 Ylm (θ, ϕ) r< 0 0 0 0 0 0 φ (r) = 4πσ δ cos θ Ylm θ , ϕ sin θ dθ dϕ r dr l+1 2l + 1 r 0 > l=0 m=−l utilizamos la propiedad r Z π Z 2π π 2l + 1 0 0 0 0 ∗ 0 0 f θ δ cos θ sin θ dθ = f ; Ylm , ϕ dϕ = 2π Pl (0) δm0 2 2 4π 0 "Z # a l r< 2l + 1 0 0 Pl (0) δm0 r dr l+1 4π 0 r> l=0 m=−l "Z # ∞ a l X r Y (θ, ϕ) < 0 0 p l0 φ (r) = 8π 2 σ Pl (0) r dr l+1 4π (2l + 1) r 0 > l=0
∞ X l X Ylm (θ, ϕ) φ (r) = 8π σ 2l + 1 2
r
´ DE GREEN Y ECUACION ´ DE POISSON EN COORDENADAS ESFERICAS ´ 132CAP´ITULO 6. FUNCION r
2l + 1 Pl (cos θ) 4π "Z # ∞ a l X r< 0 0 φ (r) = 2πσ Pl (cos θ) Pl (0) r dr l+1 r 0 > l=0 Yl0 (θ, ϕ) =
la integral sobre r 0 se divide como es usual en dos casos a) r < a ⇒ Z
a
l r< r 0 dr 0 = l+1 r>
a
l r< r 0 dr 0 = l+1 r>
a
l r< r 0 dr 0 = l+1 r>
0
Z
0
Z
0
Z
Z r 0 l Z a l r< (r ) 0 0 rl 0 0 r dr = r dr + r 0 dr 0 l+1 l+1 l+1 0 r r (r ) 0 r 0 r > l r 1 r + −r si l 6= 1 l + 2 −l + 1 al−1 a r + r ln si l = 1 3 r r
l r< r 0 dr 0 + l+1 r>
Z
a
de modo que φ (r) = 2πσP1 (cos θ) P1 (0) | {z } =0
hr
3
+ r ln
a i r
+ 2πσ
∞ X
Pl (cos θ) Pl (0)
"Z
a
0
l=0,l6=1
l r< r 0 dr 0 l+1 r>
#
teniendo en cuenta quePl (0) = 0 con l impar φ (r) = 2πσ
∞ X
P2k (cos θ) P2k (0)
k=0
b) r > a
Z
a 0
l r< r 0 dr 0 = l+1 r>
φ (r) = 2πσa
∞ X k=0
Z
a
0
r 1 + 2k + 2 −2k + 1
r 2k a2k−1
−r
(r 0 )l 0 0 al+2 1 r dr = r l+1 l + 2 r l+1
P2k (cos θ) P2k (0) a 2k+1 2 (k + 1) r
se puede observar que en r = a ambas soluciones coinciden. Solo valores pares de l contribuyen. Se puede 2σ ver que para r >> a se sigue φ → Kc πa = Krc q . Tambi´en se puede ver de la soluci´on para r < a que en r r = 0, el potencial es cero.
6.7.
Condici´ on de frontera en esfera con varilla interna
Calcular el potencial generado por una varilla y con la condici´on de frontera φ = V en r = a. La varilla est´a ubicada sobre el eje Z positivo con uno de sus extremos en el origen, su longitud es b < a, su densidad lineal es λ. La densidad volum´etrica de carga equivalente es Z R Z b Z dϕ q = λ dr = λ dr δ (cos θ − 1) sin θ dθ 2π 0 Z Z Z λ 2 q = r dr δ (cos θ − 1) sin θ dθ dϕ 2πr 2 Z Z λ q = δ (cos θ − 1) r 2 dr sin θ dθ dϕ = ρ dV 2πr 2 ρ r0, θ0 =
λ δ cos θ 0 − 1 02 2πr
6.8. CARGA SUPERFICIAL EN SEMIC´IRCULO
133
en este caso intervienen tanto la integral de volumen como la de superfcie Z Z 0 ∂G 0 1 0 0 0 dS φ r = ρ r G r, r dV − φS r0 4π ∂n0 dS 0 = a2 sin θ 0 dθ 0 dϕ0 usando las propiedades Z
2π
Z0
0
∗ Ylm 0, ϕ dϕ0 = 2π
∗ Ylm θ 0 , ϕ0
dΩ0 =
r
2l + 1 Pl (1) δm0 = 2π 4π
√ 4πδl0 δm0
r
2l + 1 δm0 4π
Las soluciones quedan b b φ (r) = λ 1 − + λ ln +V + a r ( " ) # ∞ r 2l+1 b 2(l+1) r 2l+1 X 1 1 P2l+1 (cos θ) 1− 1− +λ + 2 (l + 1) a a 2l + 1 b l=0
para r < b. Y φ (r) = λ
∞ X l=0
1 Pl (cos θ) (l + 1)
" l+1 # b l+1 b r l − +V r a a
para r > b. Es importante anotar que 1.
φ es singular en r = 0
2.
en r = a se reproduce la condici´on de frontera
3.
en r = b ambas soluciones coinciden
4.
Si a → ∞ se obtiene el potencial de una varilla en espacio libre.
Se puede hacer b → ∞, con a → ∞ (pero manteniendo b < a), y V = 0. Para obtener el potencial generado por la varilla semi-infinita.
6.8.
Carga superficial en semic´ırculo
Carga superficial σ constante en el semidisco ubicado en z = 0. Cascar´on a potencial cero. Evaluar φ (r) interior. Como el potencial es cero en la superficie solo sobrevive la integral de volumen, veamos la densidad equivalente Z Z Z Z σ 2 π σdA = σr dϕ dr = r dϕ dr δ cos θ − cos sin θ dθ r 2 δ (cos θ − 0) ρ = σ r hay que tener presente que la integral volum´etrica de carga solo var´ıa entre [0, π] para la variable ϕ. Con esto se obtiene
´ DE GREEN Y ECUACION ´ DE POISSON EN COORDENADAS ESFERICAS ´ 134CAP´ITULO 6. FUNCION
φ (r) = 4πσ
l X X 2iYlm (θϕ) r (2l + 1) m l6=1
m=−l impar
1 1 + l−1 l+2
1−
s
Yl0 (θ, ϕ) π 2l + 1 (l − m)! m √ Pl (0) + √ 4π (l + m)! 2l + 1 4π
r l−1 a
+ 4πσ
"
1 X Y1m (θ, ϕ) 2i 3 m
m=−1
r
# a Y10 (θ, ϕ) 3 m P1 (0) + √ π r ln 8π r 12π
Si la carga cubre el a´ngulo completo en ϕ, la expresi´on es mucho m´as simple debido a la simetr´ıa azimuthal y es X l−1 1 1 r φ (r) = σ 2π Pl (cos θ) Pl (0) + r 1− l−1 l+2 a l6=1
6.9.
Distribuci´ on poligonal de cargas
Consideremos N cargas puntuales qi , colocadas en los v´ertices de un pol´ıgono regular de N lados inscrito en una circunferencia de radio a. El pol´ıgono est´a en el plano XY de modo que θ = π2 . Eval´ ue el potencial. Se usa la funci´on de Green para espacio infinito. Hay que constru´ır el equivalente volum´etrico de la densidad de carga, dos cargas subtienden un a´ngulo ϕ = 2π/N . Asumamos que hay una carga en ϕ = 0, de modo que hay una carga para ϕk = k 2π N donde k = 1, ..., N es entero, ϕ N = 0. Z
ρdV
Z
π = q= qk = qk δ cos θ − cos sin θ dθ 2 k=1 k=1 N δ (r − a) X 2πn ⇒ ρ = δ (cos θ) qk δ ϕ − r2 N N X
N X
Z
δ (r − a) 2 r dr r2
Z
2πn δ ϕ− N
k=1
el potencial es Z ∞ X l l X ∗ 0 0 r< Ylm (θ, ϕ) φ (r) = 4π ρ r0 Ylm θ , ϕ l+1 r 02 dr 0 dΩ0 2l + 1 r> l=0 m=−l
Z N X ∞ X l X Ylm (θ, ϕ) 2πn ∗ 0 0 0 0 0 = 4π qk dΩ Ylm θ , ϕ δ cos θ δ ϕ − 2l + 1 N k=1 l=0 m=−l Z l δ (r 0 − a) r< × r 02 dr 0 l+1 r 02 r>
Cap´ıtulo 7
Funciones de Green en coordenadas cil´ındricas La base natural para expansiones en coordenadas cil´ımdricas son las funciones de Bessel. Por tanto, podemos encontrar la funci´on de Green para espacio infinito en t´erminos de funciones de Bessel, de la misma forma es conveniente calcular la funci´on de Green para el espacio entre dos cilindros. Lo cual nos permite calcular f´acilmente potenciales (de la ec. de Poisson) cuando tenemos problemas que involucran esta simetr´ıa.
135
136
CAP´ITULO 7. FUNCIONES DE GREEN EN COORDENADAS CIL´INDRICAS
Cap´ıtulo 8
Multipolos el´ ectricos Es bien sabido que cuando tenemos una distribuci´on localizada de cargas, para puntos muy lejanos a la distribuci´on, el campo observado se asemeja al de una carga puntual. Nos podemos preguntar ¿que pasa cuando la carga neta de la distribuci´on es cero?, ciertamente el campo a´ un en puntos lejanos no es necesariamente cero, debido a que las cargas individuales que componen a la distribuci´on, est´an a diferentes distancias y orientaciones relativas con respecto al punto de observaci´on. La forma mas obvia de proceder consiste en la aplicaci´on directa del principio de superposici´on. No obstante, para distribuciones complejas existen alternativas simplificadoras que si bien son solo aproximadas, nos pueden dar una visi´on m´as sencilla del problema. El prop´osito del presente cap´ıtulo es desarrollar estos m´etodos de aproximaci´on para campos lejanos. En particular, veremos m´as adelante que la presente formulaci´on adquiere notable importancia en los casos en que no se conoce la distribuci´on de carga de manera detallada, como ocurre por ejemplo cuando estudiamos campos en la materia. En dicha situaci´on no es posible una aplicaci´on directa del principio de superposici´on.
8.1. 8.1.1.
Expansi´ on multipolar del potencial electrost´ atico Multipolos cartesianos
Para una distribuci´on localizada de cargas, y realizando integraci´on sobre todo el espacio, solo queda la integral de volumen Z ρ (r0 ) dV 0 φ (r) = Kc (8.1) |r − r0 | Para valores de r >> r 0 , el potencial puede ser expandido en potencias de r 0 /r. Dado que r, r0 son vectores posici´on, esta expansi´on depende fuertemente del origen de coordenadas elegido. En general se elige un origen cercano a la distribuci´on para acelerar la convergencia de los t´erminos (es decir, disminuir los valores de r 0 /r). 1 |r − r0 |
−1 −1 p −1/2 = r − r0 = (r − r0 ) · (r − r0 ) = r 2 + r 02 − 2r · r0 = = =
(
"
#)−1/2 0 2 02 −1/2 0 r r · r 1 r r · r0 2 r 1+ −2 2 = 1+ 2 −2 2 r r r r r # " 02 2 − 12 − 12 − 1 1 r · r0 r · r0 1 r r 02 1− −2 2 + −2 2 + ... r 2 r2 r 2! r2 r ! # " 1 1 r 02 r · r0 3 r 04 (r · r0 )2 r 02 r · r0 1− −2 2 + +4 −4 2 2 + ... r 2 r2 r 8 r4 r4 r r 137
´ CAP´ITULO 8. MULTIPOLOS ELECTRICOS
138
h i Realizaremos la expansi´on que est´a en el par´entesis cuadrado, hasta orden O (r 0 /r)2 . Por ejemplo, el t´ermino (r · r0 ) /r 2 = (rr 0 cos θ) h/r 2 = (ri0 /r) cos θ es del orden O [r 0 /r]; el t´ermino (r · r0 )2 /r 4 = r 2 r 02 cos2 θ /r 4 = r 02 /r 2 cos2 θ es del orden O (r 0 /r)2 . La expansi´on hasta segundo orden del t´ermino entre par´entesis cuadrados nos da entonces ! # " r · r0 1 1 1 r 02 3 (r · r0 )2 = 1− −2 2 4 + ... + |r − r0 | r 2 r2 r 8 r4 " # 1 1 1 r · r0 1 1 r 02 3 1 (r · r0 )2 = + 4 − + + ... |r − r0 | r r r2 2 r r2 8r r4 1 |r − r0 |
=
1 r · r0 1 r 02 3 (r · r0 )2 + 3 − + + ... r r 2 r3 2 r5
y factorizando potencias iguales en r 0 , la expansi´on queda 1 1 r · r0 1 = + 3 + 5 3 r · r0 r · r0 − r 2 r 02 + . . . 0 |r − r | r r 2r
(8.2)
reemplazando (8.2) en (8.1) el potencial queda Z 1 r · r0 0 1 0 0 2 02 φ (r) = Kc ρ r + 3 + 5 3 r · r r · r − r r + . . . dV 0 r r 2r Z Z Z Kc r Kc r φ (r) = ρ r0 dV 0 + Kc 3 · r0 ρ r0 dV 0 + 5 · 3r0 r0 − I r 02 ρ r0 dV 0 · r + . . . (8.3) r r 2r
n´otese que las integrales que aparecen en (8.3) no dependen del punto r de evaluaci´on del potencial, sino solo de la distribuci´on de carga como tal. Si sintetizamos estos t´erminos integrales adecuadamente los podemos escribir de la siguiente manera φ (r) =
q ≡ Q ≡
Z
Z
Z
dV
0
; p≡
0
rρ r
0
Z
dV ⇒ pi = ρ r 0 x0i dV 0 Z 0 0 02 0 0 3r r − I r ρ r dV ⇒ Qij = ρ r0 3x0i x0j − r 02 δij dV 0
ρ r
0
Kc q Kc (p · r) Kc + + 5 r·Q·r + . . . 3 r r 2r 0
(8.4)
(8.5) (8.6)
Las Ecs. (8.5, 8.6) nos definen los 3 primeros multipolos cartesianos. La Ec. (8.4) la podemos reescribir en la forma Kc q Kc (p·b r) Kc φ (r) = + 3b + r·Q·b r + ... 2 r r 2r siendo b r ≡ r/r, de esta expresi´on se v´e que cada t´ermino integral (multipolo) lo definimos de acuerdo con la potencia de 1/r que lo acompa˜ na: q ≡momento de monopolo el´ectrico (carga, escalar), su contribuci´on al potencial es de la forma 1/r; p ≡momento de dipolo el´ectrico (vector), su contribuci´on al potencial es de la forma 1/r 2 . Q ≡momento de cuadrupolo el´ectrico (Diada), contribuci´on al potencial ∼ 1/r 3 . Cuando se toman todos los t´erminos de la expansi´on, el resultado es exacto siempre que r > r 0 (no ser´ıa estrictamente necesario que fuera mucho mayor). Sin embargo, la utilidad pr´actica de estas expansiones se da usualmente en el r´egimen de campo lejano (r >> r 0 ), en el cual es posible tomar solo unos pocos t´erminos, aunque existen excepciones a esta regla (ver secci´on 8.1.4). Para el cuadrupolo se puede observar que 3 X i=1
Qii = tr [Q] = 0 ; Qij = Qji
´ MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELECTROST ATICO ´ 8.1. EXPANSION
139
es decir que es un tensor de segundo rango, sim´etrico y de traza nula. Esta diada solo tiene en consecuencia, 5 componentes independientes (sin tener en cuenta las posibles simetr´ıas adicionales de la distribuci´on de carga). Estos multipolos tambi´en se pueden obtener tomando la expansi´on de |r − r 0 |−1 en polinomios de Legendre Ec. (2.37) y reemplaz´andola en el potencial (8.1), teniendo en cuenta que cos γ = b r ·b r0 y que r > r 0 de modo que r 0 = r< , r = r> . Finalmente resulta u ´ til tener en cuenta que el potencial (8.4) se puede generar a partir de la siguiente densidad volum´etrica equivalente 1 ρ (r) = qδ (r) − p · ∇δ (r) + Q : ∇∇δ (r) + . . . 6
(8.7)
lo cual se deja como ejercicio al lector.
8.1.2.
Multipolos esf´ ericos
El potencial para una distribuci´on localizada de cargas en t´erminos de arm´onicos esf´ericos viene dado por la Ec. (6.4) Z ∞ X l l X ∗ 0 0 r< Ylm (θ, ϕ) ρ r0 Ylm θ , ϕ l+1 r 02 dr 0 dΩ0 φ (r) = 4πKc 2l + 1 r> l=0 m=−l
si tomamos r > r 0 como en la expansi´on cartesiana, tenemos que r = r > , r 0 = r< Z ∞ X l X ∗ 0 0 0 l 02 0 4πKc Ylm (θ, ϕ) φ (r) = ρ r0 Ylm θ , ϕ r r dr dΩ0 l+1 2l + 1 r l=0 m=−l
de nuevo, la integral depende solo de la distribuci´on de cargas, y no del punto de evaluaci´on del potencial, con lo cual podemos absorber este t´ermino en un coeficiente. ∞ X l X 4πKc Ylm (θ, ϕ) φ (r) = qlm 2l + 1 r l+1
(8.8)
l=0 m=−l
donde hemos definido los multipolos esf´ ericos como qlm =
Z
∗ 0 0 0 l θ , ϕ r dV 0 ρ r0 Ylm
(8.9)
una propiedad importante es que ql,−m =
Z
ρ r
0
∗ Yl,−m
∗ ql,−m = (−1)m qlm
0
θ ,ϕ
0
r
0 l
0
dV = (−1)
m
Z
l ρ r0 Ylm θ 0 , ϕ0 r 0 dV 0
teniendo en cuenta la forma expl´ıcita de los primeros arm´onicos esf´ericos, as´ı como las siguientes relaciones eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ ; x0 = r 0 sin θ cos ϕ0 ; y 0 = r 0 sin θ 0 sin ϕ0 ; z 0 = r 0 cos θ 0 0 ∗ x0 + iy 0 = r 0 sin θ 0 e−iϕ ∝ Y11 θ 0 , ϕ0 2 0 ∗ x0 − iy 0 = r 02 sin2 θ 0 e−2iϕ ∝ Y22 θ 0 , ϕ0
´ CAP´ITULO 8. MULTIPOLOS ELECTRICOS
140 se obtiene q00 = q10 = q22 = q21 = q20 =
r Z r Z 1 q 3 3 0 0 0 0 0 0 √ ρ r dV = √ ; q11 = − x − iy ρ r dV = − (px − ipy ) 8π 8π 4π 4π r Z r 3 3 z 0 ρ r0 dV 0 = pz 4π 4π r Z r 1 15 0 0 1 15 0 2 0 0 x − iy ρ r dV = (Q11 − 2iQ12 − Q22 ) 4 2π 12 2π r r Z 15 1 15 0 0 0 0 0 z x − iy ρ r dV = − (Q13 − iQ23 ) − 8π 3 8π r Z r 0 1 1 5 5 02 02 0 3z − r ρ r dV = Q33 (8.10) 2 4π 2 4π
Las Ecs. (8.10), muestran la relaci´on que hay entre los multipolos esf´ericos y los cartesianos. En la expansi´on multipolar en arm´onicos esf´ericos, las funciones en base a las cuales se hizo la expansi´on son ortogonales en l y en m. De modo que los coeficientes q lm son independientes para cada valor de l y m. A cada valor de l, le corresponden 2l + 1 multipolos. En contraste, la expansi´on en serie de Taylor no nos da t´erminos ortogonales entre s´ı, de modo que no conforma una base, por tanto los coeficientes (multipolos multipolos cartesianos de orden l, pero cartesianos) no tienen porqu´e ser independientes 1 . Hay (l+1)(l+2) 2 solo 2l + 1 son independientes. Por ejemplo, el cuadrupolo esf´erico (l = 2) tiene 5 componentes (todas independientes), en tanto que el cuadrupolo cartesiano posee 9. Sin embargo, el hecho de que el tensor cartesiano es sim´etrico y de traza nula hace que solo tenga 5 componentes independientes. El octupolo esf´erico (l = 3) tiene 7 componentes; el cartesiano tiene 10, pero dado que es un tensor de tres ´ındices P puede ser constru´ıdo de modo que adem´as de ser completamente antisim´etrico, tenga “trazas” umero de componentes independientes a 7. nulas ( πiij = 0, j = 1, 2, 3) lo que reduce el n´ Como ya vimos antes, los multipolos dependen fuertemente de la escogencia del origen de coordenadas. Imaginemos que los multipolos qlm son nulos para todo l < l0 , de modo que l0 es el menor valor de l para el cual los multipolos esf´ericos son no nulos. Puede demostrarse que Theorem 10 Si los multipolos qlm son nulos para todo l < l0 , pero los multipolos con l = l0 no son nulos, entonces los 2l0 + 1 multipolos ql0 m son independientes del origen de coordenadas. Sin embargo los multipolos de orden m´ as alto (l > l0 ), dependen en general del origen. Exercise 11 Veamos la manera en que transforma el momento dipolar cuando se hace un cambio de origen. Para ello escribamos el momento dipolar enfatizando en el origen de coordenadas utilizado Z pA = rA ρA (rA ) d3 rA
sea r0 el vector posici´ on del nuevo origen B con respecto al antiguo origen A. Llamando r B a las nuevas coordenadas de posici´ on con respecto a B, se tiene que r B = rA − r0 y el momento dipolar visto por B es Z Z Z pB = rB ρB (rB ) d3 rB = (rA − r0 ) ρB (rB ) d3 (rA − r0 ) = (rA − r0 ) ρB (rB ) d3 rA
Adicionalmente, para un valor fijo de r A se tiene que ρA (rA ) = ρB (rB ) ya que lo que estamos midiendo es la densidad de la misma distribuci´ on en el mismo punto del espacio, vista por diferentes sistemas de referencia en reposo relativo. Por tanto Z Z Z 3 3 pB = (rA − r0 ) ρA (rA ) d rA = rA ρA (rA ) d rA − r0 ρA (rA ) d3 rA pB = p A − r 0 Q
1 Esto se puede ver tambi´en por el comportamiento de los tensores multipolares ante rotaciones. Los tensores cartesianos son reducibles en tanto que los esf´ericos son irreducibles.
´ MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELECTROST ATICO ´ 8.1. EXPANSION
141
esto nos da la manera en que el dipolo de la distribuci´ on transforma cuando cambiamos el origen. En particular si la carga neta de la distribuci´ on se anula nos queda que p B = pA ; de modo que cuando el monopolo es nulo, el dipolo es independiente del origen, lo cual es un caso particular del teorema 10.
8.1.3.
Ilustraci´ on de los t´ erminos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc.
Asumiendo una carga puntual q ubicada en el origen, el potencial es de la forma K c q/r y se comporta como el primer t´ermino de la Ec. (8.4), raz´on por la cual se conoce este t´ermino como monopolo. Ahora tomemos por ejemplo un sistema de dos cargas puntuales q, −q a una cierta distancia d. Si d ) = hl (kr 0 ) → (−i)l+1 ekr0 con estas aproximaciones, la relaci´on asint´otica para la ecuaci´on (14.24) queda 0
eikr e−ik·r r0 e
−ik·r
= 4πik
∞ X l X
l=0 m=−l
= 4π
l ∞ X X
(−i)
eikr ∗ 0 0 jl (kr) Y (θ, ϕ) Y θ , ϕ lm lm kr 0
∗ (−i)l jl (kr) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0
l=0 m=−l
θ 0 , ϕ0
0
l+1
r0
se asocian a y por otro lado k va en la direcci´on de n 0 . Por lo tanto θ, ϕ est´an recordemos que asociados a r en tanto que θ 0 , ϕ0 est´an asociados a k. Tambi´en se puede escribir e
−i(k·r−ωt)
= 4π
∞ X l X
l=0 m=−l
14.3.9.
∗ (−i)l jl (kr) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 eiωt
Resumen
Para espacio infinito, la funci´on de onda se puede escribir como Z ∞Z Z 1 ˘ r, r0 , ω e−iω(t−t0 ) dω dt0 dV 0 ψ (r, t) = f r0 , t 0 G 2π −∞
˘ (r, r0 , ω) puede expresarse en la integral espacial se realiza sobre el volumen de las fuentes. La funci´on G ikR cualquiera de sus representaciones e /R, fourier, arm´onicos esf´ericos etc. Recordemos adem´as que los potenciales φ (r, t) y A (r, t) satisfacen la ecuaci´on de onda inhomog´enea cuando usamos el gauge de Lorentz. Adem´as, cada potencial tiene como fuentes para la parte inhomog´enea las cargas y las corrientes. 1 ∂2 ∇2 − 2 2 φ (r, t) = −4πρ (r, t) c ∂t 1 ∂2 4π 2 ∇ − 2 2 A (r, t) = − J (r, t) c ∂t c la soluci´on para espacio infinito es φ (r, t) = A (r, t) =
Z ∞Z Z 1 ˘ r, r0 , ω e−iω(t−t0 ) dω dt0 dV 0 ρ r0 , t 0 G 2π −∞ Z ∞Z Z 1 ˘ r, r0 , ω e−iω(t−t0 ) dω dt0 dV 0 J r0 , t 0 G 2πc −∞
´ DE ONDA CAP´ITULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACION
282
14.3.10.
Ejercicio: carga puntual en reposo
La densidad volum´etrica equivalente si la carga est´a en el origen, es δ (r 0 ) ρ r0 , t = q 4πr 02 evaluaremos el potencial escalar usando la funci´on de Green para todo el espacio, expandida en arm´onicos esf´ericos. Z 1 ˘ r, r0 , ω e−iω(t−t0 ) dω dt0 dV 0 ρ r0 , t 0 G 2π Z 1 δ (r 0 ) ˘ 0 φ (r, t) = G r, r0 , ω e−iω(t−t ) dω dt0 dV 0 q 02 2π 4πr Z ∞ l 4πiq δ (r 0 ) X X (1) φ (r, t) = jl (kr< ) hl (kr> ) × 2π · 4π r 02 l=0 m=−l 0 ∗ ×Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 e−iω(t−t ) k dω dt0 dV 0
φ (r, t) =
debido a la delta de Dirac, r 0 solo contribuye para r 0 → 0, se tiene entonces que r 0 = r< Z Z Z (X ∞ X l (1) δ (r 0 ) 0 φ (r, t) = j kr hl (kr) l r 02 l=0 m=−l o 0 ∗ × Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 dV 0 e−iω(t−t ) k dω dt0 iq 2π
efectuando la integral volum´etrica primero IV
Z
Z (1) δ (r 0 ) 0 02 0 ∗ = jl kr hl (kr) r dr Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 dΩ0 02 r Z Z (1) 0 0 0 ∗ = δ r jl kr hl (kr) dr Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 dΩ0 | {z } =1 Z (1) ∗ = jl (0) hl (kr) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 dΩ0
usando la propiedad jl (0) = δl0 (1)
IV = hl (kr) δl0 volviendo a la expresi´on para el potencial escalar y recordando que k = ω/c
φ (r, t) = φ (r, t) = φ (r, t) =
iqc 2π
Z Z (X ∞ X l Z
l=0 m=−l
(1) hl
(kr) δl0 e
−ikc(t−t0 )
)
Z iqc (1) −ikc(t−t0 ) 0 h0 (kr) e dt k dk 2π Z Z iqc 0 (1) h0 (kr) e−ikct eikct dt0 k dk 2π
k dk dt0
´ A LA ECUACION ´ DE ONDA INHOMOGENEA ´ 14.3. SOLUCION
φ (r, t) = φ (r, t) = φ (r, t) = φ (r, t) =
14.3.11.
283
Z Z 0 iqc (1) −ikct ik(ct0 ) d (ct ) e h0 (kr) e k dk 2π c Z iqc eikr −ikct 2πδ (k) (−i) e k dk 2π kr c Z o q n ikr −ikct e e δ (k) dk r q r
Dipolo puntual oscilante
Calcular los campos generados por un dipolo el´ectrico puntual oscilante es de gran inter´es puesto que como hemos visto, la aproximaci´on dipolar es muy buena en la mayor´ıa de problemas de campos en la materia. Por otra parte, estos dipolos que ya hemos estudiado en la situaci´on est´atica, podr´ıan oscilar por efectos t´ermicos o por perturbaciones externas tales como campos externos variables en el tiempo. Como se trata de un dipolo puntual, lo ubicaremos por simplicidad en el origen de coordenadas, si asumimos un momento dipolar p0 y una frecuencia de oscilaci´on ω0 podemos escribir el vector de polarizaci´on como P (r, t) = p0 δ (r) e−iω0 t naturalmente, el valor real de P es la parte real de esta cantidad, pero es mas c´omodo trabajar con el exponencial complejo y tomar la parte real al final del proceso. En el cap´ıtulo de campos el´ectricos en la materia aprendimos que la densidad volum´etrica equivalente del dipolo es ρ (r, t) = −∇ · P y como δ (r) solo sobrevive para r → 0, se puede integrar el a´ngulo s´olido y obtener δ (r) ur 1 dδ (r) δ (r) δ (r) = ; ∇δ (r) = − 2 4πr 2 4π r 2 dr r3 la densidad queda ρ (r, t) = −∇ · p0 δ (r) e−iω0 t = −p0 · [∇ δ (r)] e−iω0 t u 1 dδ (r) δ (r) r b· ρ (r, t) = −p0 k −2 3 e−iω0 t 4π r 2 dr r p0 b δ (r) −iω0 t 1 dδ (r) ρ (r, t) = − k · ur −2 3 e 4π r 2 dr r p0 1 dδ (r) δ (r) ρ (r, t) = − cos θ 2 −2 3 e−iω0 t 4π r dr r
b en la direcci´on del eje Z, entonces θ es el a´ngulo si convenientemente colocamos p0 (o equivalentemente k) en coordenadas esf´ericas, puesto que ser´ıa el a´ngulo entre el eje Z y el vector unitario radial. ˘ (r, r0 , ω) en arm´onicos esf´ericos, el potencial queda Expandiendo G Z ∞Z Z 1 ˘ r, r0 , ω e−iω(t−t0 ) dω dt0 dV 0 φ (r, t) = ρ r0 , t 0 G 2π −∞ Z Z Z 1 δ (r 0 ) p0 1 dδ (r 0 ) 0 −iω0 t0 φ (r, t) = − cos θ − 2 03 e 2π 4π r 02 dr 0 r ( ) ∞ X l X 0 (1) ∗ × 4πik jl (kr< ) hl (kr> ) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 e−iω(t−t ) dω dt0 dV 0 l=0 m=−l
´ DE ONDA CAP´ITULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACION
284
Z Z Z 1 dδ (r 0 ) δ (r 0 ) 1 p0 0 −iω0 t0 φ (r, t) = − 2 03 e − cos θ 2π 4π r 02 dr 0 r ( ) ∞ X l X 0 (1) ∗ × 4πik jl (kr< ) hl (kr> ) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 e−iω(t−t ) dω dt0 dV 0 l=0 m=−l
Z Z Z ip0 δ (r 0 ) 1 dδ (r 0 ) 0 φ (r, t) = − − 2 03 cos θ 2π r 02 dr 0 r ) (∞ l X X 0 0 (1) ∗ × jl (kr< ) hl (kr> ) Ylm (θ, ϕ) Ylm θ 0 , ϕ0 dV 0 k e−iω(t−t ) dω e−iω0 t dt0 l=0 m=−l
ip0 φ (r, t) = − 2π
Z Z
0
0
IV k e−iω(t−t ) dω e−iω0 t dt0
realizamos primero la integral de volumen IV
=
Z ×
IV
1 dδ (r 0 ) δ (r 0 ) − 2 r 02 dr 0 r 03
cos θ (∞ l X X
∞ X l X
=
0
∗ (kr> ) Ylm (θ, ϕ) Ylm
0
θ ,ϕ
l=0 m=−l
Ylm (θ, ϕ)
l=0 m=−l
Z
(1) jl (kr< ) hl
∗ cos θ 0 Ylm θ 0 , ϕ0
Z
1 dδ (r 0 ) δ (r 0 ) − 2 r 02 dr 0 r 03
0
)
dV 0
(1)
jl (kr< ) hl (kr> ) r 02 dr 0
dΩ0
recordando que cos θ =
r
4π Y10 (θ, ϕ) 3
tenemos que estas integrales solo sobreviven para r 0 → 0 de modo que r 0 = r< . IV
=
r Z
IV IV
r
Z ∞ l 4π X X 1 dδ (r 0 ) δ (r 0 ) (1) Ylm (θ, ϕ) hl (kr) − 2 jl kr 0 r 02 dr 0 02 0 03 3 r dr r l=0 m=−l
∗ 0 0 Y10 θ 0 , ϕ0 Ylm θ , ϕ dΩ0
Z ∞ l 4π X X 1 dδ (r 0 ) δ (r 0 ) (1) = Ylm (θ, ϕ) hl (kr) − 2 03 (δl1 δm0 ) jl kr 0 r 02 dr 0 02 0 3 r dr r l=0 m=−l r Z 4π dδ (r 0 ) δ (r 0 ) (1) = Y10 (θ, ϕ) h1 (kr) − 2 j1 kr 0 dr 0 0 0 3 dr r
´ A LA ECUACION ´ DE ONDA INHOMOGENEA ´ 14.3. SOLUCION
285
recordando que Z
j1 (x) = j1 (x) = dj1 (kr 0 ) dr 0 dj1 (kr 0 ) dr 0 tenemos IV
df (x) dx x=x 0 1 d sin x d sin x =− −x x dx x dx x 1 (sin x − x cos x) x2 d 1 0 0 0 sin kr − kr cos kr dr 0 k 2 r 02 1 2kr 0 cos kr 0 − 2 sin kr 0 + k 2 r 02 sin kr 0 2 03 k r
d f (x) δ (x − x0 ) dx = − dx
= =
(1)
= cos θ h1 (kr) × 1 1 0 0 0 2 02 0 0 0 0 × l´0ım − 2 03 2kr cos kr − 2 sin kr + k r sin kr − 2 2 03 sin kr − kr cos kr r →0 k r k r IV
(1)
= cos θ h1 (kr) × − 2kr 0 cos kr 0 − 2 sin kr 0 + k 2 r 02 sin kr 0 − 2 (sin kr 0 − kr 0 cos kr 0 ) × l´0ım r →0 k 2 r 03 IV IV
−k 2 r 02 sin kr 0 = cos θ (kr) l´0ım r →0 k 2 r 03 sin kr 0 (1) = − cos θ h1 (kr) l´0ım r →0 r0 (1) h1
(1)
IV = −k cos θ h1 (kr) reemplazando en el potencial Z Z h i ip0 0 0 (1) −k cos θ h1 (kr) k e−iω(t−t ) dω e−iω0 t dt0 φ (r, t) = − 2π Z Z ip0 0 2 (1) −iω(t−t0 ) φ (r, t) = cos θ k h1 (kr) e dω e−iω0 t dt0 2π Z Z ip0 2 (1) −iω(t−t0 ) −iω0 t0 0 φ (r, t) = cos θ k h1 (kr) e e dt dω 2π Z Z 1 2 (1) −iωt i(ω−ω0 )t0 0 φ (r, t) = ip0 cos θ k h1 (kr) e e dt dω 2π Z (1) φ (r, t) = ip0 cos θ k 2 h1 (kr) e−iωt δ (ω − ω0 ) dω y teniendo en cuenta que k = ω/c φ (r, t) = ip0 cos θ
ω02 c2
(1)
h1
ω
0
c
r
e−iω0 t
´ DE ONDA CAP´ITULO 14. SOLUCIONES DE LA ECUACION
286
ix 1 d e d eix (1) h1 (x) = −i (−1) x =i = x dx x dx x eix i eix ieix − 2 = − 1+ − x x x x !# " i( ω 0 r ) ω02 e c i φ (r, t) = ip0 cos θ − ω0 1 + ω0 e−iω0 t c2 r r c c ω 1 r ic 0 φ (r, t) = −ip0 cos θ + e−iω0 (t− c ) 2 c r ω0 r
φ (r, t) = −ip0 cos θ
ω0 i + 2 rc r
r
e−iω0 (t− c )
el espectro es monocrom´atico con frecuencia ω 0 (l = 1, m = 0). Es interesante analizar algunos casos l´ımite 1.
Si ω0 → 0 el potencial se reduce a p0 cos θ/r 2 es decir al dipolo el´ectrico est´atico.
2.
En la aproximaci´on de campo lejano es decir con r >> λ, es decir k 0 r >> 1 se tiene que ω0 ω0 1 r > >1⇒ >> 2 ⇒ c rc r r ip0 cos θ φ (r, t) ≈ − ω0 e−iω0 (t− c ) cr n´otese que a´ un para el campo de radiaci´on lejano no hay simetr´ıa esf´erica debido al factor cos θ, esto se debe a que el momento dipolar rompe esta simetr´ıa a´ un cuando el dipolo sea puntual. Efectivamente, θ est´a midiendo el a´ngulo entre el momento dipolar y el vector de observaci´on r.
3.
Para campo cercano φ (r, t) ≈
p0 cos θ −iω0 (t− r ) c e r2
lo cual corresponde a campo de dipolo est´atico afectado por un t´ermino oscilante para calcular A (r, t) debe tenerse en cuenta que J (r, t) =
∂P (r, t) = −iωp0 e−iω0 t ∂t
con lo cual se obtiene A (r, t) = (1)
h0 (x) =
ω02 p0 k (1) ω0 r −iω0 t ω0 p0 k −iω0 (t− r ) c h0 e = −i e 2 c c cr eix ix
Es f´acil comprobar que A y φ satisfacen la condici´on de Lorentz. Con estos potenciales se puede proceder a calcular los campos E = −∇φ (r, t) − dichos campos toman la forma
1 ∂A (r, t) ; B = ∇ × A (r, t) c ∂t
14.4. TRANSFORMADA DE FOURIER DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL
287
2iω0 2 − E (r, t) = p0 er cos θ r3 cr 2 1 iω0 ω02 +eθ − 2 − 2 sin θ e−iω0 (t−r/c) r3 cr c r iω0 p0 1 iω0 B (r, t) = −eϕ − sin θ e−iω0 (t−r/c) cr r c de nuevo se puede apreciar que en el l´ımite ω 0 → 0, se obtiene el dipolo puntual el´ectrico, y el campo magn´etico tiende a cero. Tambi´en se puede observar que el campo el´ectrico tiene componente radial, pero no B, de modo que el campo de dipolo el´ectrico es transverso magn´etico (TM). Por otro lado en la zona de radiaci´on (campo lejano) se tiene que E r 1 se tiene que 1 − β 1 − β iπ E0I ⇒ E0R = E0R = − 1 + β e E0I 1 + β 1 − β iδR E0I ei(δI +π) E0R e = 1 + β luego δR = δI + π de modo que la onda reflejada estar´ıa en antifase con la incidente. Finalmente, el vector de onda kT se relaciona con kI teniendo en cuenta que los dos est´an asociados a la misma frecuencia kT kT
ω ω v1 v1 = = kI ⇒ v2 v1 v2 v2 v1 n2 = kI = kI v2 n1 =
Un punto interesante consiste en averiguar como se reparte la intensidad incidente entre las ondas reflejada y transmitida. Para ello usaremos la medida de intensidad tomada como promedio temporal del vector de Poynting, usando la expresi´on (15.5) calculamos el promedio temporal del vector de Poynting para cada onda hSI i =
2 cn1 E0I cn1 |E0I |2 uz = uz 8πµ1 8πµ1
2 cn1 E0R cn1 1 − β 2 cn1 2 2 hSR i = − |E0R | uz = − uz = − E uz 8πµ1 8πµ1 1+β 8πµ1 0I 2 2 2 cn2 E0I cn2 E0T cn2 2 2 hST i = |E0T | uz = uz = uz 8πµ2 8πµ2 1+β 8πµ2 definimos el coeficiente de reflexi´on como el cociente entre la intensidad de la onda reflejada sobre la intensidad de la onda incidente. An´alogamente se define el coeficiente de transmisi´on IR |hSR i| 1−β 2 R ≡ = = II |hSI i| 1+β 2 2 IT µ1 n2 2 2 T ≡ = =β II n1 µ2 1 + β 1+β naturalmente se cumple que R+T = 1, que equivale a la conservaci´on de la energ´ıa. El balance de intensidad promedio se puede escribir como hSI i · uz = hSR i · (−uz ) + hST i · uz lo cual nos dice que la energ´ıa incidente es igual a la suma de la energ´ıa reflejada mas la transmitida. De las Ecs. (15.20), se v´e que si β ≈ 1, la onda reflejada es casi nula en tanto que la transmitida queda pr´acticamente como la incidente, lo cual es de esperarse ya que al ser los dos medios casi id´enticos, el fen´omeno se asemeja a la propagaci´on en un solo medio diel´ectrico. Si por otro lado, β >> 1, la onda transmitida est´a muy atenuada en tanto que la reflejada tiene pr´acticamente las mismas caracter´ısticas que la incidente, salvo su direcci´on de propagaci´on. Adicionalemente la onda reflejada estar´ıa en antifase con la incidente, formando una interferencia casi perfectamente destructiva en el campo el´ectrico (y casi perfectamente constructiva en el campo magn´etico) generando una onda cuasiestacionaria ?* (chequear). Por otra parte, dado que para la mayor parte de materiales se tiene que µ 1 ≈ µ2 ≈ µ0 , la condici´on β < 1 (> 1) se traduce en n2 < (>) n1 . Los coeficientes de reflexi´on y transmisi´on quedan n1 − n 2 2 4n1 n2 R= ; T = n1 + n 2 (n1 + n2 )2
´ CAP´ITULO 15. ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS
300
Por ejemplo, cuando la luz pasa del aire (n 1 = 1) al vidrio (n2 = 1,5), R = 0,04 y T = 0,96 es decir casi toda la luz se transmite como era de esperarse. ?* Si comparamos el problema anterior con el de la transmisi´on de una onda sobre dos cuerdas en donde el nudo tiene masa despreciable y donde µ 01 , µ02 denota sus densidades lineales, se tiene (bajo el supuesto de que µ1 ≈ µ2 ≈ µ0 ) que las relaciones entre las amplitudes incidente reflejada y transmitida son id´enticas cuando estos coeficientes se escriben en t´erminos de la velocidad, la condici´on n 1 ≈ n2 equivale a la condici´on µ01 ≈ µ02 y n2 >> n1 equivale a µ02 >> µ01 ambos equivalentes son razonables ya que el primero implica que se pasa a un medio casi id´entico al inicial por lo cual se espera un reflejo d´ebil y una transmisi´on casi perfecta. Por otro lado la condici´on mec´anica µ 02 >> µ01 equivale a tener una cuerda de masa enorme al otro lado con lo cual se espera que la transmisi´on sea casi nula. ¿que pasa con el caso β (1 n2 sin θc
de modo que sin θT es un n´ umero real mayor que uno, esto implica que θ T debe ser complejo s p p sin2 θI cos θT = 1 − sin2 θT = 1 − = 1 − w2 = iQ 2 sin θc p Q ≡ w2 − 1 ; w = sin θT
de modo que la onda transmitida se escribe como
ET = E0T ei(kT ·r−ωt)
´ Y DISPERSION ´ 15.4. ABSORCION
305
calculando kT · r kT · r = (−kT sin θT ux + kT cos θT uz ) · (xux + zuz ) kT · r = kT z cos θT − kT x sin θT
reemplazando en la onda transmitida ET ET ET
= E0T ei(kT ·r−ωt) = E0T exp [i (kT z cos θT − kT x sin θT − ωt)] = E0T exp {[ikT z (iQ) − kT xw − ωt]}
= E0T exp [−kT zQ] exp [−i (kT xw + ωt)]
esta expresi´on nos indica que la onda trasmitida (o refractada) se propaga sin amortiguamiento en la direcci´on −ux y se propaga con amortiguamiento en la direcci´on u z . Finalmente, hay una forma muy conveniente de reescribir la fase oscilante de esta onda ωt kT xw + ωt = kT w x + = kT w (x + vt) kT w de lo cual se sigue que v es la velocidad de fase y v=
ω c = kT w n1 sin θI
15.4.
Absorci´ on y dispersi´ on
15.4.1.
Ondas planas en medios conductores
En las condiciones de frontera que hemos trabajado hasta ahora, hemos asumido que la densidad de carga y de corriente libres, es nula. Aunque esta suposici´on puede ser razonable para medios diel´ectricos, como el vidrio o el agua destilada, no es en general cierto en el caso de medios conductores. En este caso, la ley de Ohm nos dice que la corriente libre en un medio conductor es proporcional al campo el´ectrico Jf = σE en este caso las ecuaciones de Maxwell para medios lineales is´otropos y homog´eneos asumen la siguiente forma ∇·E =
ρf ε
∇·B = 0
; ∇×E=− ;
∂B ∂t
∇ × B = µJf + µε
(15.29) ∂E ∂t
(15.30)
Es f´acil demostrar que estas ecuaciones de Maxwell conducen a las siguiente ecuaciones de onda inhomog´eneas para los campos E, B εµ ∂ 2 E c2 ∂t2 εµ ∂ 2 B ∇2 B − 2 c ∂t2 ∇2 E −
= 4π∇ρf + = −
4πµ ∂Jf c2 ∂t
4π (∇ × Jf ) c
Por otro lado la ecuaci´on de continuidad para las cargas y corrientes libres nos da ∇ · Jf = −
∂ρf ∂t
(15.31)
´ CAP´ITULO 15. ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS
306
usando la ley de Ohm y la ley de Gauss en la ecuaci´on de continuidad se llega a σ∇ · E = −
∂ρf σ = ρf ∂t ε
donde hemos asumido σ constante lo cual es consistente con la suposici´on de homogeneidad del material. Esta ecuaci´on diferencial tiene soluci´on para ρ f en funci´on del tiempo ρf (t) = e−(σ/ε)t ρf (0) lo cual significa que cualquier carga libre que est´e inicialmente presente, se disipar´a con un tiempo caracter´ıstico dado por τ = ε/σ. Este hecho implica que a´ un en presencia de campos dependientes del tiempo, la carga libre en el interior del conductor tiende a emigrar a la superficie de ´este. Para un conductor ideal σ → ∞, y τ → 08 . Una forma mas realista de hablar de un buen conductor es comparando τ con cualquier otro tiempo caracter´ıstico del sistema (por ejemplo con 1/ω donde ω es una frecuencia de oscilaci´on caracter´ıstica del sistema). Teniendo en cuenta que los tiempos de disipaci´on de carga libre son muy cortos (∼ 10−14 s) esta fase transitoria es usualmente despreciable y no la consideraremos en lo que sigue de modo que la ley de Gauss en (15.29) resulta en una ecuaci´on homog´enea. Usando la ley de Ohm se tiene que ∇ × Jf = σ∇ × E = −
∂Jf σ ∂B ∂E ; =σ c ∂t ∂t ∂t
con ρf = 0, y los resultados anteriores, las ecuaciones de onda (15.31) resultan εµ ∂ 2 E c2 ∂t2 εµ ∂ 2 B ∇2 B − 2 c ∂t2
4πµσ ∂E c2 ∂t 4πµσ ∂B = c2 ∂t εµ ∂ 2 4πµσ ∂ E (r, t) 2 =0 ∇ − 2 2− 2 B (r, t) c ∂t c ∂t ∇2 E −
=
(15.32)
el t´ermino extra en esta “ecuaci´on de onda modificada” act´ ua como un amortiguamiento (similar al amortiguamiento en flu´ıdos que es usualmente proporcional a la primera derivada de la posici´on). Es natural preguntarse si la soluci´on de onda plana es todav´ıa una soluci´on a esta ecuaci´on diferencial y en caso afirmtivo, cu´ales son las diferencias con respecto a la soluci´on no amortiguada. Si introducimos una soluci´on tipo onda plana de la forma h i h i e · r − ωt e · r − ωt E (r, t) = E0 exp i k ; B (r, t) = B0 exp i k
en la ecuaci´on de onda, resulta que −e k2 +
εµω 2 4πµσω εµω 2 2 e + i = 0 ⇒ k = c2 c2 c2
1+i
4πσ εω
(15.33)
e=k be b es un vector unitario real y e donde hemos parametrizado al vector k k donde k k es complejo9 . Ahora parametrizamos e k ≡ α + iβ (15.34)
8 Por supuesto, cualquier modelo realista impone l´ımites a este tiempo por efectos relativistas. Por otro lado para tiempos caracter´ısticos menores que el tiempo promedio entre colisiones τc , el tiempo t´ıpico de disipaci´ on de carga libre est´ a dado por τC y no por τ . En realidad esto ocurre para la mayor´ıa de buenos conductores. 9 N´ otese que esta no es la forma m´ as general de parametrizar un vector complejo, ya que con esta parametrizaci´ on se est´ a asumiendo que todas las componentes complejas del vector poseen la misma fase. No obstante, tal parametrizaci´ on nos brinda una soluci´ on consistente para la Ec. (15.33)
´ Y DISPERSION ´ 15.4. ABSORCION
307
sacando la ra´ız cuadrada de e k 2 resulta s 1/2 s 1/2 r r 2 ω µε 4πσ 2 ω µε 4πσ 1+ α= 1+ + 1 ; β= − 1 c 2 ωε c 2 ωε
(15.35)
b · r y escribimos finalmente definimos ξ ≡ k
E (r, t) = E0 exp (−βξ) exp [i (αξ − ωt)]
la parte compleja de k nos da el factor de amortiguamiento. De una forma similar al caso con vector de onda real, es posible encontrar una relaci´on entre E y B. Reemplazando la forma de la onda plana en la ley de Faraday se obtiene ce k B= b k×E ω con lo cual tenemos una extensi´on natural compleja para el ´ındice de refracci´on B=n eb k×E ; n e≡
ce k ω
debido al factor complejo en n e, los campos E y B est´an en general en desfase. Para calcular la diferencia de fase entre ambos basta con extraer la fase del vector de onda complejo β iφ p 2 e k = e k e = α + β 2 eiφ ; tan φ = α 2 tan φ 2αβ 4πσ 2β = 2 tan 2φ = = = 2 2 2 1 − tan φ α −β ωε α 1 − αβ 2 1 4πσ ⇒ φ = arctan 2 ωε y
2 #1/4 √ " p ω µε 4πσ e 1+ k = α 2 + β 2 = c ωε
con lo cual la expresi´on para B en funci´on de E resulta
" #1/4 4πσ 2 √ B = µε 1 + eiφ b k×E ωε
el campo magn´etico est´a “atrasado” en una fase φ con respecto al campo el´ectrico. Recurriendo a las ecuaciones de Maxwell con divergencia se llega de nuevo a que los campos son transversales, la relaci´on b es un vector real. La ecuaci´on de anterior nos muestra que tambi´en son perpendiculares entre s´ı ya que k Ampere Maxwell no da informaci´on adicional. Volviendo a la expresi´on original para e k 2 Ec.(15.33) vemos que la parte real proviene de la corriente de desplazamiento en tanto que la parte imaginaria proviene de la corriente de conducci´on. Como la parte imaginaria es la que nos da la desviaci´on con respecto al caso con vector de onda real, usaremos como par´ametro de desviaci´on el cociente entre ellos es decir 4πσ/ (ωε), con lo cual se distinguen dos casos 1) 4πσ/ (ωε) |L4j L4j |
y
L244 ≥ 1
(17.19)
CAP´ITULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
348
La Ec. (17.19) plantea dos posibilidades: L 44 ≤ −1 que implica una inversi´on del tiempo y L 44 ≥ 1 que implica una transformaci´on cont´ınua a partir de la identidad 2 . Las transformaciones de Lorentz con L 44 ≥ 1 se denominan ort´ ocronas en tanto que las de L 44 ≤ −1 se denominan no ort´ ocronas. Solamente las transformaciones ortogonales propias ort´ ocronas pueden evolucionar en forma cont´ınua a partir de la identidad. De las cuatro subclases solo las transformaciones propias ort´ ocronas forman un grupo, las otras tres subclases no. A las trasnformaciones de Lorentz propias ort´ocronas se les conoce como transformaciones de Lorentz restringidas, solo ellas pueden generar rotaciones cont´ınuas en el espacio y reducirse a las transformaciones de Galileo en el l´ımite de bajas velocidades. En consecuencia, solo trabajaremos transformaciones de Lorentz restringidas denomin´andolas simplemente transformaciones de Lorentz. A las transformaciones de Lorentz restringidas que corresponden a dos sistemas de ejes paralelos que se mueven uniformemente uno respecto al otro se les denomina transformaciones de Lorentz puras (o boosts). La matriz descrita por (17.10) corresponde a una transformaci´on de Lorentz pura. La intuici´on nos indica que una transformaci´on de Lorentz restringida puede descomponerse en una transformaci´on de Lorentz pura junto con una rotaci´on espacial sin movimiento relativo (en uno u otro orden). Veamos como se realizar´ıa tal descomposici´on. Descompongamos la transformaci´on de Lorentz en un boost seguido de una rotaci´on L = RP (17.20) Las coordenadas del sistema transformado x 0ν est´an relacionadas con las coordenadas no primadas por e 0 ⇒ xµ = Lνµ x0 x0 = Lx ⇒ x = L−1 x0 ⇒ x = Lx ν
(17.21)
nos preguntamos ahora cual es la velocidad del origen de S 0 vista por un observador en S. En el origen de S 0 tenemos que x0j = 0 y las coordenadas del origen de S 0 vistas por el observador en S se obtienen aplicando (17.21) con x0j = 0 (17.22) xj = L4j x04 ; x4 = L44 x04 de las Ecs. (17.22) vemos que la velocidad relativa (normalizada a unidades de c) del origen de S 0 tiene entonces las siguientes componentes βj =
xj ixj iL4j x04 iL4j = = = 0 ct x4 L44 x4 L44
(17.23)
combinando las Ecs. (17.18, 17.23) se obtiene L244
L4j L4j 1+ L244
= 1⇒
L244
"
L4j 1− i L44
L244 (1 − βj βj ) = 1
2 #
=1 (17.24)
podemos ver que |βj | est´a entre cero y uno usando la primera desigualdad en (17.19) aplicada a (17.23) iL4j 2 L4j L4j 2 ≤1 |βj | = ≤ L44 L44 2
por otra parte, despejando el valor de L 44 en t´erminos de β en (17.24) se obtiene 3 L44 = 1 − βj2 2
−1/2
=γ
(17.25)
La identidad tiene L44 = 1 como se puede ver de (17.10) con v = 0. Con un argumento similar al que se us´ o para transformaciones ortogonales impropias en R3 , no es de esperarse que para una transformaci´ on cont´ınua haya un cambio abrupto desde la identidad (con L44 = 1) hasta un valor de L44 ≤ −1 sin pasar por estados intermedios. Por lo tanto, las matrices con L44 ≤ −1 contienen al menos una transformaci´ on discreta. 3 N´ otese que en (17.25) hemos asumido que L44 ≥ 1 al tomar la ra´ız cuadrada positiva.
17.1. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ
349
construyendo entonces una transformaci´on de Lorentz pura P (β) asociada al vector velocidad relativa del origen de S 0 Ec. (17.23), vemos que la transformaci´on inversa debe ser P (−β). Ahora teniendo en cuenta (17.20) se encuentra entonces que la matriz R se puede despejar L
RP (β) ⇒ LP (−β) = RP (β) P (−β)
=
⇒ R = LP (−β)
(17.26)
se puede demostrar formalmente que este producto entre P (−β) y L corresponde a una rotaci´on en el espacio usando los elementos matriciales de P (−β) y la ortogonalidad de L. No obstante se puede ver geom´etricamente que en la Ec. (17.20), el sistema intermedio de coordenadas definido por P (β) est´a en reposo respecto al sistema final de ejes de modo que R solo puede girar las coordenadas. Esta descomposici´on nos permite deducir que los par´ametros independientes siempre ser´an las tres componentes de la velocidad relativa entre los sistemas y los tres grados de libertad de la rotaci´on espacial (por ejemplo los a´ngulos de Euler). Por otro lado, puede demostrarse que la composici´on de transformaciones de Lorentz puras no es en general otra transformaci´on de Lorentz pura a menos que sean paralelas las velocidades relativas de las transformaciones sucesivas. El caso general es muy complejo y poco ilustrativo, veamos entonces un c´alculo sencillo que posee amplias aplicaciones en F´ısica moderna dando origen al efecto llamado precesi´ on de Thomas. Tomaremos tres sistemas inerciales con or´ıgenes O 1 , O2 , O3 . El sistema O1 es el laboratorio y O2 tiene velocidad β relativa a O1 . O3 se mueve con velocidad β 0 relativa a O2 . Sin p´erdida de generalidad se puede tomar a β en la direcci´on de x3 de O1 y a β 0 lo podemos tomar sobre el plano x2 x3 de O2 de modo que β y β 0 definen el plano x2 − x3 de O2 . Supondremos que las componentes de β 0 son muy peque˜ nas de modo que 0 solo las conservamos hasta el menor grado no nulo. Con esto, γ para la transformaci´on entre O2 y O3 se puede sustitu´ır por la unidad. Con base en lo anterior la matriz L que nos lleva de O 1 a O2 tiene la forma dada por (17.12) y la matriz que nos lleva de O 2 a O3 se escribe usando la aproximaci´on γ 0 ∼ = 1 en (17.10) L0jk = δjk
;
L0j4 = iβj0
;
L04k = −iβk0
y recordando que por construcci´on β 10 = 0, expl´ıcitamente queda 1 0 0 0 0 1 0 iβ20 L0 = 0 0 1 iβ30 0 0 0 −iβ2 −iβ3 1
;
L044 = 1
siendo β20 , β30 las componentes de β 0 . La matriz producto con la misma 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 iβ 0 0 2 = 0 L00 = L0 L = 0 0 0 1 iβ3 0 0 γ iβγ 0 0 0 0 −iβ2 −iβ3 1 0 0 −iβγ γ 0 1 0 0 0 0 0 1 ββ2 γ iβ20 γ L00 = L0 L ∼ = 0 0 γ iβγ 0 0 −iβ2 −iβγ γ
aproximaci´on est´a dada por 0 0 0 1 βγβ20 iγβ20 0 0 0 γ + βγβ3 iβγ + iγβ3 −iβ20 −iβγ − iγβ30 γ + βγβ30
(17.27)
donde se ha despreciado β30 frente a β por considerar a β 0 peque˜ na. Se puede ver que (17.27) no representa una transformaci´on de Lorentz pura ya que por ejemplo los elementos L 00ij de las coordenadas espaciales no son sim´etricos como lo demandan las Ecs. (17.10) para transformaciones de Lorentz puras. Usando la Ec. (17.23), podemos ver que las componentes de la velocidad relativa entre O 1 y O3 se escriben en la forma β200 =
iL0042 β20 = ; L0044 γ
β300 = β
;
β100 = 0
(17.28)
CAP´ITULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
350
dado que (β 00 )2 = (β200 )2 + (β300 )2 ' β 2 y por tanto γ 00 ' γ, podemos aproximar la transformaci´on de Lorentz pura asociada a la velocidad relativa β 00 reemplazando estas aproximaciones en (17.10) βj00 βk00 00 βj00 βk00 ∼ γ − 1 δ + (γ − 1) = jk β 002 β2 = −iβk00 γ 00 ∼ = −iβk00 γ ; L44 = γ 00 ;
Ljk = δjk + L4k
; Lj4 = iβj00 γ 00 ∼ = iβj00 γ 00 (17.29)
y combinando las Ecs. (17.28, 17.29) podemos constru´ır P (β). Escribiremos P (−β) que es el que nos interesa 1 0 0 0 β20 0 1 0 00 βγ (γ − 1) −iβ2 P −β = 0 β2 0 βγ (γ − 1) γ −iβγ iβ20
0
iβγ
γ
y usando la Ec. (17.26) podemos encontrar la matriz de rotaci´on correspondiente de los ejes de O 3 con respecto a O1 . Suprimiendo los t´erminos de orden superior en β 0 se obtiene 1 0 0 0 β20 1 0 00 00 βγ (γ − 1) 0 R = L P −β = (17.30) 0 0 − β2 (γ − 1) 1 0 βγ
0
0
0
1
como esta rotaci´on es a primer orden en β 20 se puede comparar con una rotaci´on infinitesimal 4 . Comparando entonces la submatriz 3×3 superior izquierda (17.30) con la matriz infinitesimal (??) se obtiene que (17.30) est´a asociada a una rotaci´on alrededor del eje x 1 con un a´ngulo (peque˜ no) dado por ∆Ω1 =
β20 (γ − 1) (γ − 1) = β200 β βγ β2
este es entonces un ejemplo concreto de dos transformaciones de Lorentz a ejes paralelos sucesivas (boosts de Lorentz) que dan como resultado la combinaci´on de un boost con una rotaci´on. Esta paradoja tiene imporantes aplicaciones especialmente en F´ısica at´omica como veremos a continuaci´on. Consideremos una part´ıcula que se mueve en el laboratorio con una velocidad v no constante, el sistema en el cual esta part´ıcula est´a en reposo no es inercial y por tanto no es aplicable el formalismo anterior. Para obviar esta dificultad, consideraremos un conjunto de sistemas inerciales todos coincidentes con el original en t = 0 y que viajan a diferentes valores de velocidad relativa (todos los valores de velocidad que se requieran). En consecuencia, la part´ıcula estar´a en reposo instant´aneo con respecto a alguno de estos sistemas de referencia en cualquier instante de tiempo. Pensemos que O1 es el sistema del laboratorio y que O2 y O3 son sistemas en los cuales la part´ıcula est´a en reposo instant´aneo en dos tiempos t 2 y t3 respectivamente. De acuerdo con las Ecs. (17.28), el observador O1 ver´a en el tiempo ∆t = t3 − t2 una variaci´on ∆v en la velocidad de la part´ıcula que solo tiene componente x2 de valor β200 c. β 00 c v (γ − 1) (γ − 1) ∆Ω1 = 2 = (∆v) v c c v 2 /c2 v2 Dado que el eje x3 se ha tomado a lo largo de v, y que ∆v va alo largo de x 2 , la ecuaci´on anterior se puede escribir en forma vectorial. El vector asociado a la rotaci´on (peque˜ na) durante este tiempo se puede escribir ∆Ω = − (γ − 1)
v × ∆v v2
4 Las ecuaciones desarrolladas en la secci´ on (??) son v´ alidas para matrices infinitesimales pero tambi´en son aproximadamente v´ alidas para rotaciones finitas suficientemente peque˜ nas como para permitir mantener solo t´erminos de primer orden.
17.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ USANDO ESPACIOS DE RIEMANN DE CUATRO DIMENSION de modo que si la part´ıcula tiene alguna direcci´on espec´ıfica asociada a ella (como un vector de esp´ın), el sistema del laboratorio observar´a que esta direcci´on experimenta una precesi´on de velocidad angular ω = − (γ − 1)
v×a v2
(17.31)
siendo a la aceleraci´on de la part´ıcula vista desde O 1 . La Ec. (17.31) aparece con frecuencia en la literatura en la forma que posee cuando se toma el l´ımite de velocidad peque˜ na que permite aproximar a γ ω=
1 (a × v) 2c2
ω es la frecuencia de precesi´on de Thomas.
17.2.
Transformaciones de Lorentz usando espacios de Riemann de cuatro dimensiones
Una forma alternativa de trabajar el espacio en donde ocurren las transformaciones de Lorentz es asumir que el espacio tetradimensional es real de modo que la cuarta coordenada (deniminada la coordenada cero en la notaci´on m´as usual) se escribe como x 0 ≡ ct. Debemos por supuesto mantener el postulado fundamental de que la luz se propague a la misma velocidad en todos los sistemas, lo cual se manifiesta como la invarianza de la cantidad dada en la ecuaci´on (17.4). Para que esta cantidad siga representando el m´odulo al cuadrado de un vector en un espacio real, es necesario que el espacio deje de ser eucl´ıdeo y se convierta en un espacio de Riemann con tensor m´etrico diagonal definido por 1 0 0 0 0 1 0 0 G= (17.32) 0 0 1 0 0 0 0 −1 donde los ´ındices 1230 representan las tres coordenadas espaciales y la coordenada temporal. El m´odulo al cuadrado de un vector en tal espacio viene dado por eGx = xi xi − x20 = xi xi − c2 t2 x
(17.33)
que nos representa al invariante que queremos. Una transformaci´on de Lorentz homog´enea es una transformaci´on lineal en este espacio real que mantiene invariante este m´odulo de los vectores. Es evidente que la matriz asociada a estas transformaciones debe ser real en este espacio, de modo que la denotaremos por Λ. La condici´on de invarianza del m´odulo de los vectores ante una transformaci´on de Lorentz se escribe matricialmente en la forma ] (Λx) = x e eGx ⇒ (Λx)G eGx ⇒ x eΛGΛx eGx xe0 Gx0 = x =x
y como esto es v´alido para un vector arbitrario en este espacio, la condici´on para las transformaciones de Lorentz resulta e ΛGΛ =G (17.34)
La Ec. (17.34) es una transformaci´on de congruencia que deja invariante al tensor m´etrico. Haciendo la analog´ıa con las matrices ortogonales del espacio eucl´ıdeo (donde el tensor m´etrico cartesiano es 1), podemos decir que (17.34) es la condici´on de ortogonalidad de Λ en el espacio real de Riemann con tensor m´etrico G5 . 5
Es claro que esta condici´ on se reduce a la ortogonalidad usual cuando G = 1.
CAP´ITULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
352
La relaci´on entre las f´ormulas expresadas en el espacio de Minkowski y las expresadas en el espacio real de Riemann se logra con las siguientes asociaciones simples x4 = ix0 ;
Λj0 = iLj4
;
Λ0k = −iL4k
(17.35)
en tanto que los dem´as elementos no var´ıan, lo cual es de esperarse ya que ambos contienen al subespacio R3 dotado de la misma estructura. A manera de ejemplo, la transformaci´on de Lorentz pura con velocidad relativa a lo largo de x3 correspondiente a la Ec. (17.12), tiene la siguiente representaci´on matricial real en este espacio de Riemann 1 0 0 0 0 1 0 0 Λ= 0 0 γ −βγ 0 0 −βγ γ el producto escalar se escribe usando el tensor m´etrico
eGy =e (x, y) ≡ x yGx = (y, x) eGy = xµ gµν yν x
donde la igualdad entre (x, y) y (y, x) viene dada por el car´acter real de este producto interno. La condici´on de ortogonalidad de la Ec. (17.34) garantiza la invarianza del producto escalar ante una transformaci´on de Lorentz Λ. Es usual escrbir estas f´ormulas de manera mas compacta mediante un conveniente cambio de notaci´on. Supongamos que formamos un vector en el espacio de Riemann con los elementos de coordenadas dx µ y estudiemos su comportamiento ante una trasnformaci´on general de coordenadas del tipo yν = fν (x1 , x2 , ...) se encuentra que las propiedades de transformaci´on de dx µ son dyν =
∂fν ∂yν dxµ = dxµ ∂xµ ∂xµ
(17.36)
las derivadas son los elementos de la matriz jacobiana de la trasnforamci´on entre (x) e (y). Cuando la trasnformaci´on A es lineal, ser´ıan simplemente los elementos matriciales A νµ . Por otro lado, las componentes de un vector gradiente se transforman de acuerdo con al ecuaci´on ∂ ∂xµ ∂ = ∂yν ∂yν ∂xµ
(17.37)
n´otese que en (17.37) los coeficientes corresponden a los elementos de la matriz jacobiana de la transformaci´on inversa de (y) hacia (x). Los vectores que se transforman de acuerdo con la regla dada por la Ec. (17.36) se denominan vectores contravariantes y se denotan con supra´ındices D 0ν =
∂yν µ D ∂xµ
en contraste, los vectores que transforman de la manera prescrita por la Ec. (17.37) se denominan covariantes y se denotan con sub´ındices ∂xµ Fν0 = Fµ ∂yν El producto de las matrices jacobianas correspondientes a una transformaci´on y a su inversa debe ser la matriz unidad ya que corresponde a pasar de (x) a (y) y volver de nuevo a (x). De aqu´ı se desprende
17.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ USANDO ESPACIOS DE RIEMANN DE CUATRO DIMENSION que el poducto interno entre un vector contravariante y un vector covariante queda invariante ante la trasnformaci´on, ∂yν ∂xρ µ D 0ν Fν0 = D Fρ = δµρ D µ Fρ = D µ Fµ ∂xµ ∂yν en el caso de espacios cartesianos, no hay diferencia entre vectores covariantes y contravariantes ante transformaciones lineales ortogonales. Si la matriz A describe la transformaci´on, un vector contravariante transforma seg´ u la prescripci´on D 0ν = Aνµ D µ en tanto que un vector covariante transforma en la siguiente forma e Fν0 = A−1 µν Fµ = A Fµ = Aνµ Fµ µν
de modo que no es necesario distinguir hasta ahora entre los dos tipos de comportamiento ante la transformaci´on. De la misma manera en que definimos tensores cartesianos seg´ un la prescripci´on (??) heredada de la transformaci´on de los vectores, uno define las propiedades de transformaci´on de tensores de cualquier rango en espacios no eucl´ıdeos. Por tanto, un tensor covariante G de segundo ordense transforma con la prescripci´on G0µν = Gρλ
∂xρ ∂xλ ∂yµ ∂yν
y se puede demostrar que la contracci´on de un tensor de segundo rango covariante con un tensor de segundo rango contravariante (o con dos vectores contravariantes) es invariante ante la transformaci´on. Similarmente, la contracci´on de un tensor de segundo rango covariante con un vector contravariante transforma como un vector covariante Gµν H µν = s1 Gµν Rµ M ν = s2 ; Gµν D µ = Fν donde s1 y s2 son invariantes ante la transformaci´on (escalares) y F ν es un vector covariante. Veamos la demostraci´on de la tercera ecuaci´on Fµ0 = G0µν D 0ν = Gρλ Fµ0 = Fρ
∂xρ ∂xλ ∂yν τ ∂xρ ∂xρ D = Gρλ δλτ D τ = Gρλ Dλ ∂yµ ∂yν ∂xτ ∂yµ ∂yµ
∂xρ ∂yµ
En un espacio de Riemann el tensor m´etrico se construye a trav´es de un elemento diferencial de longitud de arco (ds)2 = gµν dxµ dxν que se construye de tal manera que sea invariante ante las transformaciones de inter´es. De esto se desprende que el tensor m´etrico es covariante. N´otese que en el caso particular de las transformaciones de Lorentz, esto se e −1 GΛ−1 puede ver directamente de la condici´on de ortogonalidad (17.34) si la escribimos en la forma G = Λ considerada como transformaci´on de congruencia en G. Vemos entonces que en el espacio de Riemann real de cuatro dimensiones, el producto escalar de dos vectores contravariantes Aµ , B ν se puede escribir en la forma gµν Aµ B ν = (gµν Aµ ) B ν = Aν B ν
(17.38)
donde hemos tenido en cuenta el car´acter covariante del tensor m´etrico para obtener el vector covariante Aν .En particular, el cuadrado del m´odulo del vector posici´on en el cuadriespacio real se puede escribir en la forma xn xn
CAP´ITULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
354
de esta forma los productos internos se pueden construir sin aluci´on directa al tensor m´etrico, teniendo en cuenta que un facto del producto escalar se sustituye por el vector covariante que se obtiene al contaer con el tensor m´etrico como se v´e en (17.38). Si nos interesa el producto escalar de dos vectores covariantes, debemos “subir” el ´ındice por contracci´on con el inverso del tensor m´etrico, el cual se puede demostrar que es contravariante. En el caso del cuadriespacio real donde el tensor m´etrico es diagonal con elementos ±1 son sus propios inversos y no hay diferencias entre tensores m´etricos covariantes y contravariantes. Es claro que esta no es la u ´ nica forma de constru´ır el tensor m´etrico, el cual fu´e dise˜ nado para generar el invariante (17.33) por medio del m´odulo al cuadrado del vector posici´on en tal espacio, podemos en cambio constur´ır el invariante en la forma xG0 x ≡ xµ G0µν xν = −xi xi + c2 t2 de modo que el tensor m´etrico queda
1 0 G= 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 −1
(17.39)
es claro que bajo la m´etrica (17.39) se mantiene invariante la velocidad de la luz y las matrices Λ que describen a las transformaciones de Lorentz no se modifican. Todo el formalismo permanece inalterado excepto que el producto interno cambia de signo 6 . El tensor G tiene la signatura (+ + +−) en tanto que el tensor G0 tiene la signatura (− − −+). Tambi´en podemos identificarlos por sus trazas T rG = 2, T rG 0 = −2. El uso del formalismo de Minkowski o de Riemann presenta cada uno sus ventajas y desventajas. En teor´ıa general de la relatividad ser´a necesario usar la m´etrica de un esapcio curvo para lo cual es muy adecuado el uso de espacios de Riemann, por otro lado en meca´nica cu´antica donde la funciones de onda o vectores de estado son complejos, el uso de una coordenada compleja complica la operaci´on de conjugaci´on compleja. Por otro lado, cuando nos restringimos al marco de la relatividad especial, las operaciones en el espacio de Minkowski suelen tener analog´ıas muy cercanas al esapcio eucl´ıdeo y no es necesaria la distinci´on entre vectores covariantes y contravariantes, debido a la trivialidad del tensor m´etrico. En todo caso la mayor´ıa de f´ormulas presentan el mismo aspecto en ambos casos o su transici´on de uno a otro esquema es muy sencilla. Un aspecto com´ un en ambos formalismos es la idea de que elemento de longitud de arco tiene un car´acter indefinido, pues (ds)2 puede ser positivo, negativo o cero.
17.3.
Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski
El primer postulado de la relatividad especial nos dice que las leyes de la F´ısica deben poseer la misma forma en todos los sistemas inerciales. Por lo tanto, es de gran importancia poder verificar que las leyes de la naturaleza sean invariantes en forma bajo las transformaciones de Lorentz. Esta verificaci´on se facilita enormenente con la introducci´on del concepto de tensor de Minkowski. Cuando hablamos de la invarianza ante transformaciones de Lorentz, nos referimos tanto a los boosts como a las rotaciones en el espacio ordinario. Como la invarianza ante rotaciones tridimensionales nos es m´as familiar podemos usar esta invarianza como modelo para establecer un m´etodo que se generalice a todas las transformaciones de Lorentz. Ya hemos definido los tensores euclidianos y su comportamiento bajo rotaciones. Para satisfacer el requerimiento de que una ley de la F´ısica sea invariante ante rotaciones tridimensionales es usual escribir las ecuaciones que expresan esa ley de modo que todos sus t´erminos sean escalares o todos vectoriales (en el sentido euclidiano). M´as en general, todos los t´erminos deben ser tensores del mismo rango y este 6 En ambos casos el tensor G describe una pseudom´etrica ya que la norma de un vector en este espacio no est´ a necesariamente definida positiva.
17.3. FORMULACIONES COVARIANTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI
355
requisito asegura de manera autom´atica la invarianza de la forma de la ecuaci´on ante una rotaci´on de los ejes espaciales. Por ejemplo una relaci´on escalar tiene la forma general a=b y dado que los dos miembros de la igualdad por ser escalares euclidianos son invariantes ante rotaciones espaciales de los ejes, es evidente que la relaci´on ser´a v´alida para todos los sistemas de coordenadas con origen com´ un. Una relaci´on vectorial ser´a de la forma F=G que se puede escribir en t´erminos de tres relaciones num´ericas entre las componentes 7 Fi = G i
(17.40)
Claramente, estas componentes no son invariantes ante rotaciones espaciales. En general, se transforman a nuevas componentes Fi0 , G0i que son las componentes de los vectores transformados (pasivamente) F 0 , G0 . Pero como los dos miembros de las ecuaciones se transforman de igual manera, entre las componentes transformadas se debe cumplir la misma relaci´on Fi0 = G0i y por tanto la relaci´on vectorial tambi´en se preserva con la rotaci´on espacial; en el nuevo sistema coordenado escribimos F0 = G 0 Es importante enfatizar que la invarianza en la forma se debe a que ambos miembros de la ecuaci´on son vectores. Decimos que los t´erminos de la ecuaci´on son covariantes. Es necesario aclarar que el concepto de covarianza empleado aqu´ı tiene un significado muy distinto al de la covarianza de vectores en el espacio de Riemann. La covarianza en espacios de Riemann se refiere a la propiedad seg´ un la cual algunos vectores transforman bajo un cambio de coordenadas seg´ un la matriz jacobiana de la transformaci´on, en este escenario el t´ermino se usa por contraposici´on a los vectores (o tensores) contravariantes que transforman con el inverso de la matriz jacobiana bajo el cambio de coordenadas. En el caso que nos ocupa ahora, la covarianza se define para los t´erminos de una ecuaci´on que expresa alguna ley de la F´ısica, para indicar que todos los t´erminos involucrados en la ecuaci´on (escalares, vectores, tensores) transforman en la misma manera de modo que se mantiene la forma de la ecuaci´on. La covarianza por supuesto se puede generalizar para ecuaciones que involucran tensores de orden arbitrario, si tenemos una ecuaci´on tensorial de la forma C = D los tensores transformados implicar´an la misma igualdad C0 = D0 siempre que los tensores de ambos miembros sean del mismo rango. Por ejemplo, si una ecuaci´on posee t´erminos que son escalares, otros que son vectores etc, no se podr´a mantener invariante ante una transformaci´on ortogonal tridimensional. Podemos concluir que la invarianza de una ley F´ısica ante una rotaci´ on del sistema de coordenadas espaciales, exige la covarianza de los t´erminos de la ecuaci´ on ante transformaciones ortogonales tridimensionales. Vamos ahora al espacio extendido de Minkowski o espacio de universo. El manejo all´ı es id´entico una vez que hemos caracterizado a las transformaciones ortogonales en este espacio y por ende la estructura de sus tensores de cualquier rango. A los tensores en este espacio los llamamos tensores de Minkowski o tensores de universo, gen´ericamente escalares de universo, vectores de universo (cuadrivectores), etc. En consecuencia, la invarianza de una ley F´ısica ante transformaciones de Lorentz ser´a inmediata si se expresa en forma cuadridimensional covariante, de modo que todos los t´erminos son tensores de universo del mismo rango. De lo anterior se deriva que una teor´ıa F´ısica en el marco de la relatividad especial solo tiene validez si es covariante ante transformaciones de Lorentz (boosts y rotaciones espaciales). 7
N´ otese que las Ecs. (17.40) son relaciones num´ericas pero no son relaciones escalares.
CAP´ITULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
356
Notemos por ejemplo que el producto de un n´ umero por un cuadrivector solo ser´a otro cuadrivector si el n´ umero es un escalar de universo. Supongamos que α es un n´ umero que no es escalar de universo, en un sistema S el producto de este n´ umero por un cuadrivector es αF = W ante una transformaci´on de Lorentz, F y W transforman como cuadrivectores con una cierta matriz M de transformaci´on, por otro lado α 0 transforma en la forma α0 = Nα siendo N un operador diferente a la identidad (ya que no es escalar de universo). Tenemos entonces α0 F0 = (Nα) (MF) = NM (αF)
;
W0 = MW ⇒ α0 F0 6= W0
por tanto si W es cuadrivector αF no lo es y la ecuaci´on no es covariante de Lorentz. La ecuaci´on se vuelve covariante si N = 1. Finalmente, notemos que una ecuaci´on pude ser covariante sin ser manifiestamente covariante. Por ejemplo, supongamos que tenemos una ecuaci´on de la forma Fµν + Tµν + Hµν = Rµν y supongamos que Fµν , Tµν , Hµν no son tensores de universo pero que R µν s´ı lo es. En general esta ecuaci´on no ser´a covariante, pero puede ocurrir que la suma de los tres t´erminos no tensoriales s´ı transforme como un tensor gracias a ciertos efectos de cancelaci´on, ciertamente si estos t´erminos no son tensores ser´a mucho m´as complejo demostrar la covarianza de la ecuaci´on (si es que es covariante). Esta anotaci´on es u ´ til, porque a menudo ocurre que se construye una teor´ıa en forma manifiestamente covariante, pero luego para efectos pr´acticos de c´alculo se transforma a una estructura en donde la covarianza no es evidente. El ejemplo m´as simple de cuadrivector de Lorentz es el vector de posici´on de un “punto” en el espacio de Minkowski o de universo, donde sus componentes se denotan por (x 1 , x2 , x3 , x4 ). Las cuatro coordenadas de un punto de universo nos dice cuando (tiempo) y donde (espacio) ha ocurrido un suceso, a todo punto de este espacio se le llama entonces un suceso o un evento. Cuando una part´ıcula en el espacio ordinario sigue una determinada trayectoria, su punto representativo en el espacio de Minkowski describe una trayectoria conocida como l´ınea de universo. El cuadrivector dx µ representa la variaci´on del cuadrivector posici´on para un movimiento diferencial a lo largo de la l´ınea de universo. Este t´ermino multiplicado por s´ı mismo es un invariante de Lorentz de modo que representa un escalar de universo denominado dτ 1 (dτ )2 = − 2 dxµ dxµ (17.41) c para elucidar el significado F´ısico de dτ evaluaremos (17.41) en un sistema inercial en el cual la part´ıcula est´e en reposo instant´aneo. En este sistema el cuadrivector transformado dx 0µ asociado a esta part´ıcula est´a descrito por (0, 0, 0, icdt0 ) y el invariante dτ se escribe (dτ )2 = −
1 0 0 0 2 dx dx = dt µ µ c2
con lo que se v´e que dτ es el intervalo de tiempo medido por un reloj que se mueva con la part´ıcula, que se denomina el tiempo propio o tiempo de universo. Ahora veamos la relaci´on entre dτ y el intervalo de tiempo correspondiente a un cierto sistema inercial dt, usando la Ec. (17.41) i i 1 h 1 h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (dx ) + (dx ) + (dx ) + (dx ) = − (dx ) + (dx ) + (dx ) − c (dt) 1 2 3 4 1 2 3 c2 v c2 u " 2 2 2 # u 1 dx1 dx2 dx3 = (dt) t1 − 2 + + c dt dt dt
(dτ )2 = − dτ
357
17.3. FORMULACIONES COVARIANTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI que se puede escribir en la forma
dτ dt = p 1 − β2
(17.42)
debemos tener en cuenta que en este caso β nos est´a representando la velocidad de una part´ıcula con respecto a un sistema de referencia inercial S. Este es un uso diferente al que se le ha dado hasta ahora como velocidad relativa (normalizada a c) de un cierto sistema de referencia inercial S 0 con respecto a otro sistema inercial S. Por supuesto, se puede pensar en β como la velocidad relativa del sistema S 0 (con respecto a S) de tal modo que la part´ıcula est´a en reposo instant´aneo con respecto a S 0 . La Ec. (17.42) nos dice que el intervalo de tiempo medido por el sistema en el cual la part´ıcula no est´a en reposo es siempre mayor que el intervalo de tiempo medido en el sistema en donde la part´ıcula est´a en reposo instant´aneo. Este fen´omeno se conoce como dilataci´ on del tiempo y ha sido comprobado experimentalmente en diversas situaciones, particularmente en la observaci´on de las vidas medias de part´ıculas elementales inestables. La vida media de estas part´ıculas se puede medir cuando ´estas est´an en reposo y se compara con su vida media cuando est´an en vuelo a velocidades cercanas a la de la luz. Hemos visto que el cuadrado del m´odulo de un cuadrivector no es necesariamente definido positivo. Los cuadrivectores cuyo m´odulo cuadrado sean positivos se denominan del g´enero espacial o tambi´en se denominan como de espacio o espacialoides. Cuando el m´odulo es cero (lo cual no significa necesariamente que el cuadrivector sea cero) se denominan como de luz. Finalmente, cuando su m´odulo cuadrado es negativo se dice que es del g´enero temporal, como de espacio o ´ espacialoide. Puesto que este m´odulo al cuadrado es un escalar de universo, esta denominaci´on no depender´a del sistema inercial utilizado. Los nombres se deben a que el m´odulo de un vector espacial tridimensional es definido positivo al igual que el cuadrivector del g´enero espacial, adicionalmente un cuadrivector de este g´enero siempre se puede transformar de tal forma que se anule su cuarta componente (temporal). Por otro lado, un cuadrivector del g´enero temporal tiene su cuarta componente no nula, pero se puede transformar de tal forma que se anulen todas sus tres componentes espaciales. A manera de ilustraci´on veamos el comportamiento del vector diferencia o relativo entre dos puntos de universo. Este vector relativo puede ser del g´enero espacial temporal o de luz, definiremos a este vector relativo como Xµ ≡ x1µ − x2µ donde los sub´ındices 1 y 2 denotan los dos sucesos. El m´odulo de este cuadrivector relativo ser´a Xµ Xµ = |r1 − r2 |2 − c2 (t1 − t2 )2 de modo que Xµ ser´a del g´enero espacial si los dos puntos de universo est´an separados de modo que |r1 − r2 |2 > c2 (t1 − t2 )2 ser´a como de luz si se cumple la igualdad |r1 − r2 |2 = c2 (t1 − t2 )2 y finalmente ser´a del g´enero temporal si |r1 − r2 |2 < c2 (t1 − t2 )2 la condici´on para que el vector diferencia sea temporal equivale a decir que se puede cubrir la distancia entre los dos eventos o sucesos mediante una se˜ nal luminosa (e incluso algunas se˜ nales m´as lentas que la luminosa), en cuyo caso se habla de sucesos o eventos causalmente conectados. La condici´on de cuadrivector del g´enero espacial equivale a que estos eventos no podr´an conectarse con ninguna onda luminosa o se˜ nal que viaje a velocidad menor o igual que c, decimos que los eventos est´an causalmente desconectados. Finalmente, si el cuadrivector diferencia es como de Luz, solo una se˜ nal que viaje a velocidad c podr´a conectar a estos sucesos (y no se pueden conectar con se˜ nales que viajen a velocidades menores), claramente estos son eventos causalmente conectados.
CAP´ITULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
358
Podemos elegir el eje x3 de modo que quede alineado con los ejes espaciales r 1 − r2 del cuadrivector relativo. En tal caso se tiene que |r 1 − r2 | = x3(1) − x3(2) . Si realizamos una transformaci´on de Lorentz pura con velocidad v a lo largo de x3 podemos aplicar las transformaciones dadas en (17.1) para la cuarta componente de Xµ vx vx t1 − c3(1) t2 − c3(2) 2 2 p t01 = ; t02 = p 1 − β2 1 − β2 vx vx3(2) vx3(1) −vx3(2) t1 − c3(1) t − t − t − 2 2 1 2 c2 c2 p p t01 − t02 = − p = 1 − β2 1 − β2 1 − β2 v c (t1 − t2 ) − c x3(1) − x3(2) p c t01 − t02 = (17.43) 1 − β2 si Xµ es del g´enero espacial y los sucesos son tales que t 1 > t2 nos queda que c (t1 − t2 ) < x3(1) − x3(2)
y ser´a posible encontrar una velocidad v < c de modo que se anule la cuarta componente ic (t 01 − t02 ) ≡ X40 . F´ısicamente la anulaci´on de la componente temporal significa que es posible encontrar un sistema inercial que viaje a velocidad v < c en el cual los dos sucesos sean simult´aneos. Adicionalmente, tambi´en es posible encontrar valores de v < c que haga que el miembro de la derecha en (17.43) se vuelva negativo lo cual indicar´ıa que t02 > t01 , de modo que encontramos un sistema de referencia inercial en el cual se invierte la secuencia de los sucesos. El que pueda invertirse la secuencia de sucesos entre eventos del g´enero espacial no constituye una violaci´on de la causalidad ya que estos eventos est´an causalmente desconectados y no hay manera de que un suceso pueda influ´ır en el otro. Por ejemplo, nada de lo que ocurra ahora en la tierra puede afectar a la estrella alfa centauri dentro de los siguentes cuatro a˜ nos en virtud de su distancia a la tierra de unos cuatro a˜ nos luz. En contraste, para separaciones del g´enero temporal entre sucesos, no es posible encontrar una transformaci´on de Lorentz que los haga simult´aneos y menos a´ un que pueda invertir el orden temporal de los sucesos. As´ı debe ser puesto que estos eventos s´ı est´an causalmente conectados y pueden influ´ır el uno sobre el otro. Esto implica que el antes y el despu´es, o la causa y el efecto, son conceptos invariantes de Lorentz y se preserva la causalidad. Es importante establecer la generalizaci´on relativista de las cantidades Newtonianas m´as importantes. Por ejemplo la velocidad dxi vi = dt no puede extrapolarse de manera inmediata para constru´ır un cuadrivector de Lorentz ya que la cantidad vµ = dxµ /dt es el producto de un cuadrivector (dx µ ) con una cantidad que no es escalar (dt no es invariante de Lorentz) de modo que el resultado no es un cuadrivector. El invariante m´as obvio asociado a dt es el tiempo propio τ de modo que resulta natural definir la cuadrivelocidad u ν como la variaci´on por unidad de tiempo del vector de posici´on de una part´ıcula (medida en un sistema S) con respecto al tiempo propio de dicha part´ıcula (invariante) dxν dxν uν = = p (17.44) dτ dt 1 − β 2 cuyas componentes espacial y temporal son ui =
dx vi dx4 ic p i =p ; u4 = p =p 2 2 2 dt 1 − β 1−β dt 1 − β 1 − β2
(17.45)
la cuadrivelocidad (o velocidad de universo) m´odulo cuadrado es invariante de Lorentz uν uν =
v2 c2 − = −c2 1 − β2 1 − β2
(17.46)
17.3. FORMULACIONES COVARIANTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI
359
y es adem´as del g´enero temporal. Por supuesto, la cuadrivelocidad no tiene un significado F´ısico directo ya que para medir dxν y dτ se est´an usando en general sistemas de referencia diferentes. Sin embargo, la Ec. (17.45) nos muestra que la cuadrivelocidad contiene toda la informaci´on sobre la velocidad F´ısica y tiene la ventaja de que si escribimos las expresiones en t´erminos de la cuadrivelocidad, ser´a m´as f´acil chequear la covarianza de las ecuaciones gracias a la naturaleza cuadrivectorial de u ν . Otro cuadrivector de enorme importancia es el cuadrivector j µ formado con la corriente el´ectrica j unida con la cantidad icρ siendo ρ la densidad de corriente el´ectrica. Para obtener esta forma cuadrivectorial comenzamos con la ecuaci´on de continuidad ∇·j+
∂ρ =0 ∂t
que me expresa la conservaci´on de la carga, si asumimos que la conservaci´on de la carga es v´alida en todos los sistemas de referencia inerciales, entonces esta ecuaci´on debe conservar su forma ante una transformaci´on de Lorentz. Dado que j est´a asociado en la ecuaci´on de continuidad a derivadas en el tiempo es razonable pensar que haga parte de las componentes espaciales de un cuadrivector, similarmente dado que ρ est´a asociado a una derivada temporal resulta razonable pensar que hace parte de la componente temporal del cuadrivector. Para escribir esta ecuaci´on en forma manifiestamene covariante escrib´amosla en componentes ∂jk ∂ρ + ∂xk ∂t
∂jk ∂jµ ∂ (icρ) =0⇒ + =0 ∂xk ∂ (ict) ∂xµ ⇒ ∂µ jµ = 0 ; jµ ≡ (j1 , j2 , j3 , icρ) =
0⇒
(17.47)
Dado que ∂µ es un cuadrivector, se tiene que jµ tambi´en debe serlo si la ecuaci´on de continuidad ha de ser covariante, es decir si la carga se ha de conservar en todos los sistemas inerciales. Por otro lado, se puede ver a jµ como el cuadrivector ρ0 uµ siendo ρ0 la densidad de carga en el sistema en el cual las cargas est´an en reposo, es decir es la densidad de carga propia. Por otro lado, el operador cuadrigradiente se transforma en el espacio de Minkowski como un cuadrivec8 tor ∂xµ ∂ ∂ ∂ ∂ = = L0µν = Lνµ 0 0 ∂xν ∂xν ∂xµ ∂xµ ∂xµ donde hemos usado la ortogonalidad de L. Vemos pues que la cantidad ∂ µ jµ es invariante ante una transformaci´on de Lorentz (escalar de universo) ya que es la contracci´on de dos cuadrivectores. Este ejemplo nos muestra una forma de escribir una ley F´ısica en una forma manifiestamente covariante. Veamos otro ejemplo de cuadrivector muy importante en la F´ısica. Es bien conocido de la teor´ıa cl´asica electromagn´etica que los potenciales escalar y vectorial obedecen ecuaciones de onda desacopladas ∇2 A −
1 ∂2A 4π =− j 2 2 c ∂t c
;
∇2 φ −
1 ∂2φ = −4πρ c2 ∂t2
(17.48)
siempre y cuando se imponga la condici´on de Lorentz. ∇·A+
1 ∂φ =0 c ∂t
(17.49)
N´otese que la condici´on de Lorentz es semejante en estructura a la ecuaci´on de continuidad, por ello usando un argumento similar al usado para la ecuaci´on de continuidad es natural pensar que A est´a asociado a las componentes espaciales de un cuadrivector y φ a la componente temporal. Esta asociaci´on parece estar reforzada por las Ecs. (17.48) donde A tiene como fuente a j (que a vez forma parte de la componente espacial 8
Recordemos que en la formulaci´ on de espacios de Riemann, este operador se transforma covariantemente y la ecuaci´ on (17.47) es el producto escalar de un vector covariante con un contravariante, esto se denota como ∂ µ j µ = 0. En general los invariantes en el espacio de Riemann son combinaciones de tensores covariantes con tensores contravariantes, de modo que deben escribirse con ´ındice arriba contra´ıdo con ´ındice abajo e.g. j µ kµ , kµν pµν .
CAP´ITULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
360
del cuadrivector jµ ) en tanto que φ tiene como fuente a ρ (donde este u ´ ltimo es parte de la componente temporal de jµ ). Comencemos por la condici´on gauge Ec. (17.49) que se puede reescribir como ∂ (iφ) ∂ ∂ = 0 ⇒ ∂µ = ∇, = ∇, ; Aµ ≡ (A, iφ) (17.50) ∂i Ai + ∂ (ict) ∂x4 ∂ict ⇒ ∂ µ Aµ = 0 (17.51) las Ecs. (17.48) se pueden reescribir en la forma ∇2 A +
∂2A ∂ (ict)2
=−
4π j c
;
∇2 iφ −
1 ∂ 2 iφ 4π = − icρ 2 2 c ∂t c
(17.52)
definimos el operador de D’Alembert en la forma 1 ∂2 ∂ = ∇2 + = ∂ i ∂i + ∂ 4 ∂4 2 2 c ∂t ∂ (ict)2 ∂2 ≡ ∂ µ ∂µ = ∂xµ ∂xµ
2 ≡ ∇ 2 − 2
las Ecs. (17.52) en el espacio de Minkowski quedan 2 A = −
4π j c
;
2 iφ = −
4π icρ c
que se puede condensar en una sola ecuaci´on cuadrivectorial con j µ = (j, icρ) 2 Aµ = −
4π jµ c
(17.53)
Las Ecs. (17.51) y (17.53) est´an escritas de manera manifiestamente covariante. En (17.51) ambos miembros son escalares de universo, en tanto que en (17.53) ambos miembros son vectores de universo, pues el operador de D’Alembert es un escalar de universo. Estas ecuaciones demuestran que la teor´ıa electromagn´etica de Maxwell es covariante con respecto a las transformaciones de Lorentz de modo que est´a descrita por la relatividad especial y no por la relatividad de Galileo. El lector puede verificar que el uso del gauge de Coulomb ∇ · A = 0 hace mucho m´as dif´ıcil el proceso de colocar las ecuaciones de manera manifiestamente covariante.
17.4.
Fuerza y energ´ıa en relatividad
Las leyes de Newton son invariantes de Galileo y por tanto no son invariantes de Lorentz. En consecuencia, es necesario encontrar una generalizaci´on adecuada de fuerza cuya ley fundamental satisfaga los requisitos de covarianza ante transformaciones de Lorentz. Naturalmente, debemos tambi´en exigir que las ecuaciones relativistas se reduzcan a la ecuaci´on din´amica fundamental de Newton en el l´ımite β → 0 d (mvi ) = Fi dt
(17.54)
es f´acil ver que las componentes espaciales de un cuadrivector forman un vector espacial, ya que las transformaciones de Lorentz contienen a las rotaciones espaciales (L 4i = Li4 = 0 y L44 = 1). No obstante, el rec´ıproco no es cierto, las componentes de un vector espacial no se transforman necesariamente como lo har´ıan las componentes espaciales de un cuadrivector. Por ejemplo, se puede multiplicar a las componentes del trivector por una funci´on cualquiera de β y sus propiedades de rotaci´on no se alteran. En cambio, esta multiplicaci´on s´ı alterar´ıa las propiedades de transformaci´on de las tres componentes espaciales de un cuadrivector ante una transformaci´on de Lorentz. En concordancia con esto, las componentes espaciales de
17.4. FUERZA Y ENERG´IA EN RELATIVIDAD
361
p la cuadrivelocidad uν forman un vector espacialpv/ 1 − β 2 . Sin embargo, la v no hace parte de ning´ un cuadrivector, para que lo sea debe dividirse por 1 − β 2 . Primero buscaremos una generalizaci´on cuadrivectorial del miembro izquierdo en (17.54), es claro que la cuadrivelocidad definida en (17.45) posee una parte espacial que se reduce a v cuando β → 0. Tomaremos a m como un invariante que lo llamaremos la masa en reposo o masa propia de la part´ıcula. En cuando al tiempo t, este no es un invariante relativista pero sabemos que el tiempo propio τ s´ı es un invariante que adem´as se reduce a t cuando β → 0. Los argumentos anteriores sugieren que la generalizaci´on de la ley de Newton (17.54) para una part´ıcula tenga la forma d (muν ) = Kν dτ
(17.55)
donde Kν debe ser un cuadrivector llamado fuerza de Minkowski. N´otese que en general las componentes espaciales de K ν no tienen que coincidir con las componentes de la fuerza, salvo por supuesto en el l´ımite no relativista con β → 0. Podemos pensar por ejemplo que K i se puede constru´ır como el producto de F i con cierta funci´on h (β) que se reduzca a la unidad en el l´ımite no relativista. Para conocer la forma de h (β) debemos conocer el comportamiento de la fuerza ante una transformaci´on de Lorentz. Utilizaremos dos procedimientos. En el primer procedimiento, tendremos en cuenta que las fuerzas fundamentales son solo cuatro: las interacciones gravitacional, electromagn´etica, nuclear d´ebil y nuclear fuerte. La idea ser´ıa expresar las leyes que gobiernan a estas interacciones de manera covariante. No obstante, no se conoce teor´ıas covariantes para las fuerzas nucleares, entre otras cosas porque tales interacciones no se pueden modelar cl´asicamente en forma satisfactoria (en la teor´ıa cu´antica la fuerza pierde su significado y es reemplazada por la energ´ıa potencial). Sin embargo, en el caso electromagn´etico cl´asico es de esperarse que podamos constru´ır una expresi´on de la fuerza que nos proporcione una ecuaci´on covariante, despu´es de todo la teor´ıa especial de la relatividad fu´e constru´ıda justamente para que las ecuaciones de Maxwell fueran invariantes de Lorentz. Afortunadamente, esta construcci´on ser´a suficiente ya que las propiedades de transformaci´on de las fuerzas deben ser las mismas independientemente de su origen. Por ejemplo, el hecho de que una part´ıcula est´e en equilibrio (suma de fuerzas cero) debe ser independiente del sistema de referencia inercial utilizado y esto solo es posible si las fuerzas transforman todas igual, incluso si cada una es de diferente naturaleza. Vimos que a partir de la expresi´on para la fuerza de Lorentz escrita en t´erminos de potenciales en lugar de campos, la fuerza electromagn´etica que se ejerce sobre una part´ıcula cargada viene dada por ∂ 1 1 dAi φ− v·A + Fi = −q ∂xi c c dt recordando la definici´on del cuadripotencial (17.50), y de la cuadrivelocidad (17.45) podemos escribir la expresi´on φ − (1/c) v · A en forma covariante 1 1p φ− v·A =− 1 − β 2 uν Aν c c
y las componentes Fi de las fuerzas son " # p p ∂ 1 1 dA i Fi = −q − 1 − β 2 uν Aν + 1 − β2 p ∂xi c c 1 − β 2 dt qp ∂ dAi Fi = 1 − β2 (uν Aν ) − c ∂xi dτ una extensi´on cuadrivectorial del t´ermino entre par´entesis es de la forma ∂ dAµ (uν Aν ) − ∂xµ dτ
(17.56)
CAP´ITULO 17. RELATIVIDAD ESPECIAL
362
este t´ermino es claramente un cuadrivector, pues el primer t´ermino es la derivada ∂ µ (operador cuadrivectorial) de un escalar de universo, el segundo t´ermino es el producto de un cuadrivector dA µ por un escalar de universo (dτ )−1 . En consecuencia, la expresi´on en par´entesis cuadrados enp(17.56) est´a asociada a las componentes espaciales de un cuadrivector. Por tanto, F i es el producto de 1 − β 2 por la componente espacial de un cuadrivector, el cual identificamos como la fuerza de Minkowski K ν . Por tanto la relaci´on entre la fuerza ordinaria y la de Minkowski est´a dada por p Fi = K i 1 − β 2 (17.57)
esta relaci´on debe ser general e independiente del origen de las fuerzas. Para el caso de part´ıculas cargadas sometidas a un campo electromagn´etico, la fuerza de Minkowski se obtiene de la extrapolaci´on de la expresi´on (17.56) dAµ q ∂ Kµ = (uν Aν ) − (17.58) c ∂xµ dτ En un segundo procedimiento, se define la fuerza como la variaci´on del momento lineal por unidad de tiempo, en todos los sistemas de Lorentz se tiene entonces que Fi =
dpi dt
(17.59)
pero para ello ser´a necesario redefinir el momento lineal p i de modo que en el l´ımite no relativista se reduzca a mvi . Podemos hallar la forma que toma el momento y el significado de K µ haciendo que la Ec. (17.55) se parezca en lo posible a (17.59). A partir de la relaci´on entre τ y t y de la definici´on de cuadrivelocidad, podemos escribir las componentes espaciales de (17.55) en la forma ! p d mvi p = Ki 1 − β 2 (17.60) dt 1 − β2
y comparando (17.60) con (17.59) vemos que el teorema de conservaci´on del momento lineal (reemplazante m´as general que la tercera ley de Newton) ser´a invariante de Lorentz si definimos la cantidad de movimiento en la forma mvi pi = p (17.61) 1 − β2
y que Fi y Ki est´en relacionadas como lo indica la ecuaci´on (17.57). N´otese que la ecuaci´on (17.61) se reduce a mvi cuando β → 0 como se esperaba. Los dos procedimientos conducen entonces a los mismos resultados. Comparando (17.61) con la definici´on (17.45) de la cuadrivelocidad vemos que p i es la parte espacial del llamado cuadrivector momento energ´ıa pν = muν (17.62) la ecuaci´on de movimiento generalizada para una part´ıcula se escribe entonces dpν = Kν dτ
(17.63)
hasta ahora solo hemos estudiado la parte espacial de las ecuaciones cuadrivectoriales (17.55, 17.63). Para obtener informaci´on de la parte temporal hagamos el producto interno de (17.55) por la cuadrivelocidad uν
d d m (muν ) = uν uν = K ν uν dτ dτ 2
de (17.46) vemos que uν uν = −c2 y como m es tambi´en constante, vemos que la expresi´on de la mitad se anula. Luego Kν uν ≡ K i ui + K 4 u4 = 0
17.4. FUERZA Y ENERG´IA EN RELATIVIDAD
363
y usando las Ecs. (17.45, 17.57) tenemos Fi
vi
p Kν uν ≡ p + K4 1 − β2 1 − β2
ic
p 1 − β2
!
=
F·v icK4 +p =0 1 − β2 1 − β2
de modo que la cuarta componente de la fuerza de Minkowski ser´a K4 =
i F·v p c 1 − β2
(17.64)
la componente temporal de la Ec. (17.55) se obtiene empleando (17.45) y (17.64) ! i F·v d 1 d ic (mu4 ) = K4 ⇒ p mp = p 2 2 dτ dt c 1−β 1−β 1 − β2
finalmente la cuarta componente de (17.55) queda de la forma ! d mc2 p =F·v dt 1 − β2
(17.65)
recordemos ahora el escenario no relativista. En este escenario F · v corresponde al trabajo por unidad de tiempo que se hace sobre la part´ıcula dW/dt. Teniendo en cuenta adem´as el teorema fundamental del trabajo y la energ´ıa resulta dW = dT siendo T la energ´ıa cin´etica. De esto se concluye que F·v =
dT dW = (l´ımite no relativista) dt dt
Extrapolando esta definici´on al caso relativista tenemos que dT = F · v (escenario relativista) dt
(17.66)
Comparando (17.65) con (17.66) se obtiene la generalizaci´on relativista de la energ´ıa cin´etica mc2 T =p 1 − β2
(17.67)
en el l´ımite β 2 r=R " # ) ∗ (θ 0 , ϕ0 ) l √ Ylm r< + 2δl1 δm0 uz l+1 2l + 1 r> r=R simplificando t´erminos resulta r Z ∗ 1 r< b r 2π 0 0 ∗ 0 0 dΩ = 4π Y1,−1 θ , ϕ − Y11 θ , ϕ ux 2 0 3 3 r> r=R |r − r | r=R ∗ 1 r< ∗ − i Y1,−1 θ 0 , ϕ0 + Y11 θ 0 , ϕ0 uy 2 3 r> r=R ∗ (θ 0 , ϕ0 ) r √ Y10 < + 2 uz 2 3 r> r=R
(C.10)
∗ (θ 0 , ϕ0 ) tenemos y usando la propiedad Y1,−1 (θ 0 , ϕ0 ) = −Y11 ∗ ∗ ∗ Y1,−1 θ 0 , ϕ0 − Y11 θ 0 , ϕ0 = −Y11 θ 0 , ϕ0 − Y11 θ 0 , ϕ0 = −2Re Y11 θ 0 , ϕ0 " r # r 3 3 0 iϕ0 = = −2Re − sin θ e sin θ 0 cos ϕ0 8π 2π
similarmente ∗ ∗ ∗ Y1,−1 θ 0 , ϕ0 + Y11 θ 0 , ϕ0 = −Y11 θ 0 , ϕ0 + Y11 θ 0 , ϕ0 = −2iIm Y11 θ 0 , ϕ0 " r # r 3 3 0 = −2iIm − sin θ 0 eiϕ = i sin θ 0 sin ϕ0 8π 2π ∗ (θ 0 , ϕ0 ) = Y (θ 0 , ϕ0 ) = y teniendo en cuenta que Y10 10
Z
r=R
p 3/4π cos θ 0 la Ec. (C.10) queda
! # r (" r b r 2π 3 1 r < dΩ = 4π sin θ 0 cos ϕ0 ux 2 |r − r0 | 3 2π 3 r> r=R " ! # "√ r 3 1 r< 2 0 0 − i i sin θ sin ϕ uy + 2 2π 3 r> 3 r=R
r
3 cos θ 0 4π
!
r< 2 r>
#
)
uz (C.11) r=R
´ C.2. INTEGRAL VOLUMETRICA DEL CAMPO SOBRE UNA ESFERA Z
r=R
393
b r 4π r< sin θ 0 cos ϕ0 ux + sin θ 0 sin ϕ0 uy + cos θ 0 uz dΩ = 2 0 |r − r | 3 r> r=R
(C.12)
y teneiendo en cuenta (C.2) tenemos que Z r=R
b r 4π r< b dΩ = r 2 |r − r0 | 3 r> r=R
recordemos que r< denota el menor entre r y r 0 . Pero como r = R en esta integral, podemos quitar esta condici´on simplemente redefiniendo a r < como el menor entre R y r 0 . Similarmente hacemos con r> . Con esta redefinici´on la condici´on se simplifica a Z b r 4π r< b dΩ = (C.13) 2 r 0| |r − r 3 r> r=R
y reemplazando (C.13) en (C.4) resulta Z Z 4π r< 2 0 0 b ρ r E (r) dV = −Kc R 2 r dV 3 r> r . Esta expresi´on coincide con (8.12)
(C.14)
394
´ ´ APENDICE C. MULTIPOLOS ELECTRICOS
Ap´ endice D
Ondas planas D.1.
Incidencia obl´ıcua de onda plana perpendicular al plano de incidencia
La onda incidente se escribe como EI (z, t) = (E0I )y ei(kI ·r−ωt) uy ; kI = −kI sin θI ux + kI cos θI uz i h bI × EI = n1 kI × EI = n1 kI × (E0I ) ei(kI ·r−ωt) uy BI (z, t) = n1 k y kI kI h i h i n1 kI sin θI n1 kI cos θI BI (z, t) = − ux × (E0I )y ei(kI ·r−ωt) uy + uz × (E0I )y ei(kI ·r−ωt) uy kI kI i(kI ·r−ωt) BI (z, t) = −n1 (E0I )y [sin θI uz + cos θI ux ] e y como solo nos interesan las amplitudes en virtud de (15.21) se tiene que E0I = (E0I )y uy
;
B0I = −n1 (E0I )y [sin θI uz + cos θI ux ]
Dado que ya demostramos que los otros vectores de onda tambi´en yacen en el plano de incidencia, y teniendo en cuenta que kI = kR , θI = θR y la ley de Snell Ec. (15.27) se tiene kR = −kR sin θR ux − kR cos θR uz = −kI sin θI ux − kI cos θI uz p n1 kT = −kT sin θT ux + kT cos θT uz = −kT sin θI ux + kT 1 − sin2 θT uz n2 s 2 n1 n1 kT = kT − sin θI ux + 1 − sin2 θI uz n2 n2 las ondas reflejada y transmitida siguen teniendo polarizaci´on perpendicular al plano de incidencia. h i n1 n1 kR × ER = − [kI sin θI ux + kI cos θI uz ] × (E0R )y ei(kR ·r−ωt) uy kR kI BR (z, t) = −n1 (E0R )y [sin θI uz − cos θI ux ] ei(kR ·r−ωt)
BR (z, t) =
la amplitud de los campos el´ectrico y magn´etico reflejados es E0R = (E0R )y uy ; B0R = −n1 (E0R )y [sin θI uz − cos θI ux ] 395
´ APENDICE D. ONDAS PLANAS
396
para los campos transmitidos se tiene s 2 n2 n n 1 1 BT (z, t) = kT × ET = n2 − sin θI ux + 1 − sin2 θI uz × (E0T )y ei(kT ·r−ωt) uy kT n2 n2 s 2 n1 BT (z, t) = − n1 sin θI uz + 1 − sin2 θI ux (E0T )y ei(kT ·r−ωt) n2 la amplitud de los campos el´ectrico y magn´etico transmitidos es s
E0T = (E0T )y uy ; B0T = − n1 sin θI uz + 1 −
n1 n2
2
sin2 θI ux (E0T )y
con los valores de estos coeficientes se procede a aplicar las condiciones de frontera (15.28) ε1 [E0I + E0R ]z = ε2 [E0T ]z ⇒ trivial la otra condici´on es [B0I + B0R ]z
=
[B0T ]z ⇒ −n1 (E0I )y sin θI − n1 (E0R )y sin θI = −n1 sin θI (E0T )y
⇒ − (E0I )y − (E0R )y = − (E0T )y y la siguiente se escribe
[E0I + E0R ]x,y = [E0T ]x,y pero solo hay componente a lo largo de y de modo que solo una de estas ecuaciones es no trivial [E0I + E0R ]y = [E0T ]y ⇒ (E0I )y + (E0R )y = (E0T )y finalmente
1 1 [B0I + B0R ]x,y = [B0T ]x,y µ1 µ2
pero no existe componente y 1 1 [B0I + B0R ]x = [B0T ]x ⇒ µ1 µ2 s 2 h i n1 cos θI 1 n1 − (E0I )y + (E0R )y = − 1 − sin2 θI (E0T )y µ1 µ2 n2
Bibliograf´ıa [1] Edward M. Purcell, “Electricity and Magnetism” Berkeley Physics Course Vol. 2, 2nd Ed., McGraw-Hill International Editions (1985). [2] Mituo Uehara, “Green’s functions and coefficients of capacitance” Am. J. Phys. 54, 184 (1986). [3] Vicente Lorenzo and Basilio Carrascal “Green’s functions and symmetry of the coefficients of a capacitance matrix ” Am. J. Phys. 56, 565 (1988). [4] C. Donolato “Approximate evaluation of capacitances by means of Green’s reciprocal theorem” Am. J. Phys. 64, 1049 (1996). [5] W. Taussig Scott, “The Physics of Electricity and Magnetism” 2nd Ed., John Wiley & Sons, Inc. (1966); Gaylord P. Harnwell, “Principles of Electricity and Electromagnetism” McGraw-Hill Book Company Inc. (1949); Leigh Page, Norman I. Adams Jr. “Principles of Electricity” 3rd Ed., D. Van Nostrand Company, Inc. (1958). [6] J. D. Jackson “Classical Electrodynamics” 3rd Ed., John Wiley & Sons (1998). [7] David J. Griffiths “Introduction to Electrodynamics” 3rd Ed., Prentice Hall (1999).
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