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Electrodin´amica I

´ E. Reyes Gomez

Notas para un curso de Pregrado

Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de F´ısica Medell´ın

´ ´ 14 Octubre de 2010 Ultima actualizacion:

Prefacio Las notas de Electrodin´amica I han sido escritas tomando como base las conferencias impartidas por el autor en el Instituto de F´ısica de la Universidad de Antioquia desde el segundo semestre ˜ 2006 hasta la actualidad. Dichas notas est´an dirigidas fundamentalmente a los estudiantes del ano de la especialidad de F´ısica que asisten al curso Electromagnetismo I dictado en el sexto semestre de la carrera, pero pueden ser de inter´es tambi´en para aquellos que se sientan atra´ıdos por ´ ´ de las cuestiones analizadas en las notas es recola F´ısica Teorica. Para una mejor comprension mendable que el lector posea conocimientos de Matem´aticas Superiores, que abarquen desde el ´ de ecuaciones diferenciac´alculo diferencial e integral en una y varias variables hasta la solucion les en derivadas parciales de segundo orden. No pretendemos que el presente material sustituya ´ textos cl´asicos como por ejemplo el de Landau y Lifshitz, o como el c´elebre libro de Jackson. Solo ´ constituyan una modesta ayuda a la aspiramos a que las notas que se presentan a continuacion ´ por parte del lector de los temas fundamentales que se tratan aqu´ı. comprension Un agradecimiento especial a los Profesores del Instituto de F´ısica Nicol´as Raigoza y Lorenzo ´ del material, por sus comentarios, utiles ´ de la Torre por la lectura cr´ıtica de la primera version ˜ sugerencias y necesarios senalamientos que ya han sido corregidos. Deseo extender tambi´en mi gratitud a un grupo de estudiantes que han cooperado con el mejoramiento sistem´atico de estas notas. Ellos son: ˜ on ´ y Sebasti´an S´anchez Goez, estudiantes del curso Electromagnetismo I dicDavid Munet tado en el primer semestre del ano˜ 2009, cuyas dudas contribuyeron al esclarecimiento de ´ inicial de las notas, as´ı como a la correccion ´ de algunas cuestioalgunos temas en la version ´ 4.3 que no hab´ıan sido correctamente presentadas. nes de la seccion ˜ Andr´es Ordonez, estudiantes del curso Electromagnetismo I dictado en el primer semestre ˜ 2010, quien corrigio´ un error en la expresion ´ (1.70) de la version ´ inicial del manusdel ano ´ de la seccion ´ 4.2.1. crito, adem´as de contribuir a la claridad en la presentacion

´ E. Reyes Gomez Medell´ın, Septiembre de 2010

I

II

´ Indice general 1. Electrost´atica del vac´ıo 1.1. Principios b´asicos de la Electrost´atica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Ley de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Intensidad del campo electrost´atico. . . . . 1.1.2. Principio de Superposicion. 1.1.3. Ley de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Potencial electrost´atico. Ecuacion ´ de Green para la solucion ´ del problema electrost´atico. . . 1.2. M´etodo de la funcion 1.2.1. Identidad de Green. Funciones de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Problemas de Dirichlet y Neumann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ de la funcion ´ de Green. . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Ejemplos de obtencion ´ del problema electrost´atico. . . . . . . 1.3. M´etodo de las im´agenes para la solucion 1.3.1. Carga puntual frente a un bloque met´alico seminfinito a potencial cero. ´ esf´erico met´alico a potencial cero. . 1.3.2. Carga puntual frente a un cascaron ´ de variables para la solucion ´ de la ecuacion ´ de Laplace. . 1.4. M´etodo de separacion ´ de la ecuacion ´ de Laplace en coordenadas cartesianas. . . . . . 1.4.1. Solucion ´ de la ecuacion ´ de Laplace en coordenadas cil´ındricas. . . . . . 1.4.2. Solucion ´ de la ecuacion ´ de Laplace en coordenadas esf´ericas. . . . . . . 1.4.3. Solucion 1.5. Desarrollo en multipolos del campo electrost´atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Momenta de multipolos y algunas de sus propiedades. . . . . . . . . . . ´ de cargas puntuales. . . . . 1.5.2. Momenta de multipolos de una distribucion 1.6. Energ´ıa del campo electrost´atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ de un cuerpo cargado con un campo externo. . . . . . . 1.7. Energ´ıa de interaccion 1.7.1. Dipolo el´ectrico en presencia de un campo electrost´atico. . . . . . . . . . ´ 1.8. Radio cl´asico del electron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 1 3 4 6 7 9 10 14 14 15 17 17 21 26 28 29 30 30 32 34 36 38

2. Magnetost´atica del vac´ıo 2.1. Principios b´asicos de la Magnetost´atica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ley de fuerzas de Ampere y ley de Biot-Savart. . . . . . . . . . . . . . . . ´ . . . . . . . 2.1.2. Vector potencial magn´etico y transformaciones de calibracion. 2.2. Fuerza de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Part´ıcula cargada en presencia de un campo magn´etico. . . . . . . . . . . 2.2.2. Carga oscilante en presencia de un campo magn´etico. . . . . . . . . . . . . 2.3. Desarrollo en multipolos para el campo magnetost´atico. . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Momentum magn´etico de un sistema de part´ıculas puntuales. . . . . . . . ´ entre una corriente y un campo magn´etico exterior a ella. 2.4. Energ´ıa de interaccion ´ en la aproximacion ´ de multipolos. . . . . . . . . . . 2.4.1. Energ´ıa de interaccion 2.5. Dipolo magn´etico en presencia de un campo magn´etico externo. . . . . . . . . . . ´ de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Precesion

. . . . . . . . . . . .

40 40 40 42 45 46 47 48 51 52 53 54 56

III

´ Indice general

IV

´ de un dipolo en un campo magn´etico uniforme y constante. . . . 2.6.1. Precesion 2.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Ecuaciones de Maxwell ´ de la carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Ley de conservacion 3.2. Ley de Lenz y ley de Faraday. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ley de Ampere-Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ f´ısica de las ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Interpretacion 3.5. Potenciales del campo electromagn´etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Calibracion ´ de Lorenz. 3.5.1. Transformaciones generales de calibracion. 3.5.2. Ecuaciones de D 0 Alembert para los potenciales del campo. . . . . . ´ de la energ´ıa del campo electromagn´etico. . . . . . . 3.6. Ley de conservacion ´ del momentum lineal del campo electromagn´etico. . 3.7. Ley de conservacion 3.8. Ondas electromagn´eticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Densidad de energ´ıa y vector de Poynting de la onda plana. . . . . ´ de las ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3. Polarizacion 3.9. Paquete de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 59

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

60 60 61 62 63 65 65 66 67 70 73 74 76 77 79 82

4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion ´ ´ de las ecuaciones para los potenciales del campo electromagn´etico. . . 4.1. Solucion 4.1.1. Identidad de Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ de Green para la ecuacion ´ de D 0 Alembert en el espacio abierto. 4.1.2. Funcion 4.1.3. Potenciales retardados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Campo electromagn´etico de una part´ıcula cargada en movimiento arbitrario. . 4.2.1. Potenciales de Li´enard-Wiechert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Campo est´atico y campo de radiacion. ´ alejada de la fuente. . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Vector de Poynting en la region ´ 4.2.4. Potencia radiada. Formula de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ de la radiacion. ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Dispersion ´ de la radiacion ´ por part´ıculas aisladas. . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Dispersion ´ de la radiacion ´ por part´ıculas el´asticamente ligadas. . . . . . 4.3.2. Dispersion ´ . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Energ´ıa absorbida en el proceso de dispersion. ´ de la radiacion. ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Reaccion ´ de distribucion ´ espectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Funcion ´ de distribucion ´ espectral para el oscilador armonico ´ 4.4.2. Funcion simple. . . ´ de distribucion ´ espectral para el oscilador amortiguado. . . . . 4.4.3. Funcion ´ 4.5. Desarrollo en multipolos para el campo de radiacion. . . . . . . . . . . . . . . . ´ dipolar el´ectrica para el campo de radiacion. ´ 4.5.1. Aproximacion . . . . . . . ´ dipolar magn´etica para el campo de radiacion. ´ 4.5.2. Aproximacion . . . . . . ´ en la aproximacion ´ cuadrupolar el´ectrica. . . . . . 4.5.3. Campo de radiacion 4.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 83 87 88 88 88 91 93 94 95 95 99 101 102 104 105 105 109 112 114 116 119

Bibliograf´ıa

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. . . . . . . . . . . . . . .

120

C AP´I TULO 1

Electrost´atica del vac´ıo 1.1. Principios b´asicos de la Electrost´atica. 1.1.1. Ley de Coulomb. La ley de Coulomb posee un basamento experimental, y fue formulada por Charles-Augustin ´ entre dos cargas de Coulomb en 1785 [1]. Esta ley emp´ırica plantea que la fuerza de interaccion el´ectricas es directamente proporcional al producto de las cargas interactuantes, inversamente ´ a lo largo de la direccion ´ del segproporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y actua mento de recta que las une. La constante de proporcionalidad depende, obviamente, del sistema de unidades utilizado. Nosotros trabajaremos aqu´ı en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Matem´aticamente, ~ 1,2 = F

1 q1 q2 ~er , 4π²0 r2

(1.1)

siendo ²0 = 8, 8541878176×10−12 F/m la permitividad diel´ectrica del vac´ıo, q1 y q2 son los valores de las cargas 1 y 2, respectivamente, r es la distancia entre las cargas 1 y 2, y ~er = ~r/r es el vector ´ del segmento de recta que une las cargas q1 y q2 . El sentido de unitario a lo largo de la direccion la fuerza de Coulomb depende de los signos de las cargas q1 y q2 . En la naturaleza se verifican ´ unicamente las situaciones q > 0 (carga el´ectrica positiva), q < 0 (carga el´ectrica negativa), o q = 0 ´ cuando no existe (carga el´ectrica nula o ausencia de carga). La ley de Coulomb es v´alida solo ´ por la cual la fuerza de Coulomb es llamada movimiento relativo entre las cargas el´ectricas, razon en ocasiones fuerza electrost´atica.

1.1.2. Principio de Superposicion. ´ Intensidad del campo electrost´atico. ´ de la Electrodin´amica, que no es deducible Una idea de crucial importancia en la formulacion ´ Resumido en palabras, el a partir de la ley de Coulomb, es el llamado Principio de Superposicion. ´ plantea que la fuerza de interaccion ´ entre dos cargas 1 no es afectada Principio de Superposicion por la presencia de una tercera. Examinemos la primera consecuencia del Principio de Superpo´ Supongamos que tenemos N cargas puntuales 2 q1 , q2 , ..., qN , y otra carga puntual que sicion. llamaremos de prueba y que denotaremos con la letra Qp . La fuerza que ejerce el sistema de las N cargas sobre la carga de prueba Qp es igual a la suma vectorial de las fuerzas que ejercen, por separado, cada una de las cargas qi localizadas en las posiciones ~ri sobre la carga Qp ubicada en 1 Para abreviar, cada vez que nos refiramos a una carga el´ ectrica o conjunto de cargas el´ectricas, utilizaremos simplemente las palabras carga o cargas, respectivamente. 2 El modelo de carga puntual en Electrodin´ amica es el equivalente al modelo del punto material en Mec´anica. Toda la carga se asume concentrada en un punto del espacio caracterizado por el radio vector de posici´on ~r.

1

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

2

´ ~rQp , es decir, la posicion ~Q = F p

N X

~ i,Q = F p

i=1

N X i=1

qi Q p 1 ~eiQp , 4π²0 |~rQp − ~ri |2

´ de ~er , o, teniendo en cuenta la definicion N X ~rQp − ~ri ~ Q = Qp = Qp E(~rQp ), F qi p 4π²0 i=1 |~rQp − ~ri |3

(1.2)

siendo N 1 X ~r − ~ri . qi 4π²0 i=1 |~r − ~ri |3

~ r) = E(~

(1.3)

~ es un campo vectorial dependiente de la posicion, ´ asociado a la presencia del sisEl vector E tema de cargas, e independiente de la carga de prueba Qp . Este campo vectorial, que depende ´ ´ espacial y valores de las cargas puntuales qi , recibe el nombre de unicamente de la distribucion intensidad del campo electrost´atico en el punto ~r. ´ es que este conduce a ecuaciones Otra consecuencia importante del Principio de Superposicion ´ del estado f´ısico de las cargas y/o del campo electrost´atico. lineales para la determinacion A pesar de que en la naturaleza las cargas aparecen siempre en forma discreta (la carga el´ectrica es una magnitud cuantizada), suele utilizarse en ocasiones el modelo continuo, que asume la carga el´ectrica distribu´ıda continuamente sobre determinadas regiones del espacio, o bien sobre todo el espacio. Ambas concepciones pueden ser tratadas matem´aticamente desde el punto de ´ del modelo continuo. Definamos la funcion ´ escalar vista de la formulacion ρ(~r) =

N X

qi δ(~r − ~ri ).

(1.4)

i=1

´ Notese que, integrando sobre todo el espacio R3 , se tiene que la carga neta Q del sistema es Z Q=

ρ(~r)dV = R3

N X

qi .

(1.5)

i=1

´ ρ recibe el nombre de densidad de carga. Haciendo uso de ella no es dif´ıcil ver que, La funcion Z ~r − ~r0 1 ~ E(~r) = dV 0 . (1.6) ρ(~r0 ) 4π²0 R3 |~r − ~r0 |3 ´ anterior es general y v´alida tanto para distribuciones de carga discretas como contiLa expresion nuas, siempre que dichas distribuciones est´en definidas sobre todo el espacio tridimensional R3 . ´ continua de cargas definida unicamente ´ En el caso de una distribucion en el subconjunto V ⊂ R3 ´ ser´a igualmente v´alida la expresion Z Q= ρ(~r)dV. (1.7) V

~ reemplazando R3 por V en (1.6) ser´a correcta unicamente ´ equivalente para E ´ La expresion si no se le imponen condiciones adicionales, denominadas condiciones de frontera, al campo elec~ depende, en general, de las trost´atico en la frontera de V. En la mayor´ıa de los casos el valor de E propiedades del campo electrost´atico en la superficie que limita al volumen V. c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

3

´ Figura 1.1: Tomese el origen de coordenadas en el punto O o´ en el punto A, el valor de la densidad ´ de carga en el punto M no depende de dicha eleccion. ´ del origen El valor de la densidad de carga en un punto M ∈ R3 no depende de la eleccion de coordenadas. Sean O y A otros dos puntos arbitrarios de R3 diferentes de M (ver Fig. 1.1). ´ Supongamos que tenemos el origen de coordenadas en el punto O y que ~r 0 es el vector de posicion de M con respecto a O. Supongamos ahora que trasladamos el origen de coordenadas al punto ´ de M medido desde A. Obviamente ~r 00 = ~r 0 − ~rA , siendo ~rA el A y sea ~r 00 el vector de posicion ´ de A con respecto a O. La independencia de la densidad de carga en M de la vector de posicion ´ del origen de coordenadas puede expresarse matem´aticamente de la siguiente forma: eleccion ρ(M ) ≡ ρ(~r 0 ) = ρ˜(~r 00 ) = ρ˜(~r 0 − ~rA ),

(1.8)

siendo ρ y ρ˜ la densidad de carga medida desde O y desde A, respectivamente.

1.1.3. Ley de Gauss. ~ en (1.6). Tomemos la divergencia del vector E · ¸ Z Z ~r − ~r0 ~r − ~r0 1 0 0 ~ r) = 1 ∇ · ∇ · E(~ ρ(~r0 ) dV = ρ(~ r )∇ · dV 0 . 4π²0 4π²0 R3 |~r − ~r0 |3 |~r − ~r0 |3 R3 Pero sabemos que · ¸ ~r − ~r0 ∇· = 4πδ(~r − ~r0 ). |~r − ~r0 |3

(1.9)

En consecuencia, ~ r) = ρ(~r) . ∇ · E(~ ²0

(1.10)

´ (1.10) es la llamada forma diferencial de la ley de Gauss. Interpretemos el significado La relacion f´ısico de esta ley. Sea V ⊂ R3 un volumen, limitado por una superficie S suave a pedazos y ´ integrable en V, orientable, sobre el cual est´a definida la densidad de carga ρ que es una funcion ~ posee derivadas parciales de primer orden continuas sobre V (ver y supongamos adem´as que E Fig. 1.2). Entonces Z Z Q ~ dV = 1 ∇·E ρ dV = , ²0 V ²0 V y en virtud del Teorema de Gauss-Ostrogradsky, ZZ ~ · ~n dS = Q . ° E ²0 S c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

(1.11)

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

4

Figura 1.2: Volumen V limitado por una superficie S suave a pedazos y orientable. El vector normal exterior es ~n. ~ a trav´es de la superficie S es proporcional a la carga neta Q encerrada Es decir, el flujo del vector E ´ (1.11) es conocida como forma integral de la ley de Gauss. dentro de ella. La ecuacion ~ fluye desde la region ´ interior hacia la Suele adoptarse el convenio siguiente: Si el vector E ~ ´ exterior a la superficie S, entonces se asume que Q > 0. Por el contrario, si el vector E region ´ exterior hacia la region ´ interior a la superficie S, entonces se dice que Q < 0. fluye desde la region ´ fundamental de la ley de Gauss es que las cargas el´ectricas estacionarias son las La implicacion fuentes del campo electrost´atico.

1.1.4. Potencial electrost´atico. Ecuacion ´ de Poisson. ~ solucion ´ de la ecuacion ´ (1.10) est´a indeterminado en el rotacional de un campo El vector E ~ 0=E ~ + ∇ × A, ~ siendo A ~ un campo vectorial con derivadas parciales de vectorial arbitrario. Sea E ~ 0 = ∇·E ~ = ρ/²0 , o sea, los campos primer orden continuas. Entonces es f´acil verificar que ∇ · E 0 ~ ~ ´ de E y E son ambos soluciones de la ley de Gauss. Resulta necesario entonces la introduccion una magnitud f´ısica, caracter´ıstica del campo, que nos permita describirlo un´ıvocamente. ´ (1.6) tenemos que En virtud de la expresion ¸ · Z Z ~r − ~r 0 1 1 0 0 ~ r) = 1 dV = − dV 0 , E(~ ρ(~r 0 ) ρ(~ r )∇ 4π²0 R3 4π²0 R3 |~r − ~r 0 |3 |~r − ~r 0 | de donde ~ r) = − 1 ∇ E(~ 4π²0

Z R3

ρ(~r 0 ) dV 0 . |~r − ~r 0 |

´ Definiendo la funcion Z 1 ρ(~r 0 ) φ(~r) = dV 4π²0 R3 |~r − ~r 0 |

0

(1.12)

encontramos que ~ r) = −∇φ(~r). E(~

(1.13) c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

5

´ φ dada por (1.12) recibe el nombre de potencial electrost´atico. Analicemos el sigLa funcion ´ Supongamos que queremos llevar una carga q desde el punto nificado f´ısico de dicha funcion. ~ La velocidad A ∈ R3 hasta el punto B ∈ R3 en presencia de un campo electrost´atico externo E. ˜ para de la part´ıcula con respecto a la fuente del campo externo debe ser infinitamente pequena que la ley de Coulomb sea aplicable. El trabajo que hay que realizar sobre la carga en contra del campo electrost´atico es, en este caso, Z

B

WAB = −

Z ~ = −q ~ · dl F

A

B

Z ~ =q ~ · dl E

A

B

Z ~ =q ∇φ · dl

A

B

dφ = q[φ(B) − φ(A)]. A

El trabajo realizado por el campo sobre la carga ser´a obviamente −WAB . La integral de linea de ´ segundo tipo anterior no depende del camino que une los puntos A y B. Notese adem´as que WBA = −WAB , de donde se desprende que WAA = 0 (o bien WBB = 0). En otras palabras, Z ~ = 0, ~ · dl °E (1.14) C

siendo C un contorno cerrado que contiene a los puntos A y B. De acuerdo con el Teorema de ´ anterior se deriva que Green, de la expresion ~ = 0, ∇×E

(1.15)

lo cual puede comprobarse tambi´en mediante el c´alculo directo. El campo electrost´atico es, en consecuencia, un campo conservativo, y tiene sentido definir la ~ Esta es energ´ıa potencial de la carga q en presencia del campo electrost´atico E. U(~r) = qφ(~r).

(1.16)

´ En presencia de un campo electrost´atico, la energ´ıa potencial de la carga el´ectrica en la posicion ~r es directamente proporcional al valor del potencial electrost´atico en dicha posicion. ´ El trabajo realizado por el campo electrost´atico sobre la carga para moverla desde el punto A hasta el punto B es W = −∆U = −[U(B) − U (A)].

(1.17)

´ Notese que el potencial electrost´atico est´a indeterminado en una constante. Sean φ 0 y φ tales 0 que φ (~r) = φ(~r) + C0 , siendo C0 una constante num´erica. Es evidente que −∇φ 0 (~r) = −∇φ(~r) = ~ r). Esta indeterminacion ´ suele utilizarse para calibrar convenientemente el valor del potencial E(~ ´ del espacio. Una de las calibraciones m´as utilizadas en la electrost´atico en determinada region electrost´atica es elegir la constante C0 de forma tal que l´ım φ(~r) = 0.

(1.18)

r→+∞

´ en el potencial electrost´atico conduce a su vez a una indeterminacion ´ en la La indeterminacion energ´ıa potencial, pero esto carece de importancia puesto que lo que realmente interesa, desde el punto de vista f´ısico, no es el valor de la energ´ıa potencial en s´ı sino su diferencia, de la cual puede extraerse el trabajo realizado por el campo (o en contra de e´ l) para mover una carga el´ectrica de un punto del espacio a otro. Combinando las expresiones (1.10) y (1.13), no es dif´ıcil ver que ~ = −∇ · ∇φ = ρ , ∇·E ²0 c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

6

de donde se halla finalmente que ∇2 φ(~r) = −

ρ(~r) . ²0

(1.19)

´ de Poisson para el potencial electrost´atico. En regiones del espacio Esta es la llamada ecuacion ´ de Poisson se transforma en la ecuacion ´ de Ladonde la densidad de carga es nula, la ecuacion place ∇2 φ(~r) = 0.

(1.20)

´ exacta de la ecuacion ´ de Poisson en el espacio abierto R3 . Tal El potencial (1.12) es la solucion ´ puede comprobarse de forma directa calculando el Laplaceano de φ. Es decir, afirmacion · ¸ Z Z 1 ρ(~r 0 ) 1 1 0 2 2 2 0 ρ(~r )∇ ∇ φ(~r) = ∇ dV = dV 0 . 4π²0 4π²0 R3 r − ~r 0 | |~r − ~r 0 | R3 |~ Teniendo en cuenta que · ¸ 1 ∇2 = −4πδ(~r − ~r 0 ), |~r − ~r 0 |

(1.21)

´ (1.19) se recupera sin dificultad. la ecuacion

1.2. M´etodo de la funcion ´ de Green para la solucion ´ del problema electrost´atico. ´ est´atica de cargas con densidad ρ = ρ(~r), el problema fundamental de Dada una distribucion la electrost´atica consiste en encontrar las propiedades y estructura matem´atica del campo elec´ de cargas. Supongamos que tenemos un conjunto trost´atico producido por dicha distribucion volum´etrico abierto V ⊂ R3 sobre el cual est´a definido la densidad de carga ρ, y que est´a limitado ´ del problema por una superficie S suave a pedazos y orientable. En el interior de V la solucion ´ de Poisson (1.19), mientras que fundamental de la electrost´atica equivale a resolver la ecuacion ´ de dicho probleen el exterior de V (donde no est´a definida la densidad de carga), la solucion ´ de Laplace (1.20). Obviamente, en ambos casos necesitamos ma equivale a resolver la ecuacion ´ de las propiedades del campo electrost´atico sobre la superficie S. conocer alguna informacion De forma general, el problema fundamental de la electrost´atica para el interior de V puede ser ´ se indica. enunciado como a continuacion ´ ~r, encontrar el potencial electrost´atico Para casi todo punto M ∈ V 3 de vector de posicion ´ de la ecuacion ´ de Poisson φ = φ(~r) que es solucion ∇2 φ(~r) = −

ρ(~r) , ²0

y que satisface una de las tres condiciones siguientes en la superficie S frontera de V: ´ de frontera de primer tipo o de Dirichlet), 1. φ = f1 sobre S (condicion 3 La frase casi todo punto M ∈ V... indica la posibilidad de la existencia de puntos de V sobre los cuales el potencial electrost´atico posee singularidades esenciales. De cualquier manera, el volumen V puede ser redefinido, en la mayor´ıa de los casos, excluyendo los puntos singulares de φ. Este hecho es particularmente notable en el caso de un sistema de cargas ´ divergente en la posicion ´ de cada part´ıcula. En general, para distribuciones puntuales, donde el potencial es una funcion ´ acotada en su dominio. continuas de carga se exige que el potencial φ sea una funcion

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2.

∂φ ∂n

´ de frontera de segundo tipo o de Neumann), = f2 sobre S (condicion

3.

∂φ ∂n

´ de frontera de tercer tipo 4 ), + f3 (φ − f4 ) = 0 sobre S (condicion

siendo f1 , f2 , f3 y f4 funciones conocidas definidas sobre la superficie S, y ∂φ = ~n · ∇φ ∂n

(1.22)

´ de la normal ~n exterior a la superficie S. es la derivada direccional del potencial φ en la direccion

1.2.1. Identidad de Green. Funciones de Green. Sean las funciones Φ y Ψ con derivadas parciales continuas hasta el segundo orden, definidas en cierto conjunto volum´etrico abierto V ⊂ R3 limitado por una superficie S suave a pedazos y orientable. Definamos el campo vectorial ~ r) = Φ(~r)∇Ψ(~r) − Ψ(~r)∇Φ(~r). F(~

(1.23)

~ establece que El Teorema de Gauss-Ostrogradsky aplicado al campo vectorial F Z ZZ ~ ~ · ~ndS. ∇ · FdV = ° F V

S

Pero ~ = Φ∇2 Ψ − Ψ∇2 Φ ∇·F y ~ · ~n = Φ ~n · ∇Ψ − Ψ ~n · ∇Φ = Φ ∂Ψ − Ψ ∂Φ . F ∂n ∂n En consecuencia, ¸ Z ZZ · £ ¤ ∂Φ(~r) ∂Ψ(~r) 2 2 Φ(~r)∇ Ψ(~r) − Ψ(~r)∇ Φ(~r) dV = ° Φ(~r) − Ψ(~r) dS. ∂n ∂n V S Esta es la llamada identidad de Green. ´ G = G(~r,~r 0 ) tal que Supongamos ahora que existe cierta funcion ¡ ¢ ∇2 G(~r,~r 0 ) = −δ ~r − ~r 0 .

(1.24)

(1.25)

´ se conoce con el nombre funcion ´ de Green 5 . El significado de la funcion ´ de Green Dicha funcion es inmediato. En un sistema de unidades en el que la carga el´ectrica tenga las mismas unidades ´ de Green no es m´as que el potencial generado en el punto M ∈ R3 con vector de que ²0 , la funcion ´ ~r por una carga puntual de valor ²0 situada en el punto M 0 ∈ R3 (M 0 6= M ) con vector posicion ´ ~r 0 . Una propiedad importante de la funcion ´ de Green es su simetr´ıa, es decir, de posicion G(~r,~r 0 ) = G(~r 0 ,~r).

(1.26)

4 El problema matem´ ´ de una ecuacion ´ diferencial en derivadas parciales de segundo orden el´ıptica atico de la solucion ´ de frontera de tercer tipo es un problema llamado usualmente mal planteado o no bien definido. Este tipo con una condicion de problema mal definido no es, en general, apropiado para las aplicaciones en F´ısica y no lo examinaremos aqu´ı. 5 En algunos textos se le llama funcion ´ fuente o, en Ingl´es, source function.

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´ anterior, conocida como Teorema de Lyapunov [2], es una consecuencia del llamado La expresion Principio de Reciprocidad: una fuente situada en el punto M 0 produce sobre el punto M el mismo efecto que producir´ıa sobre M 0 la misma fuente ubicada sobre el punto M . Como corolario del Principio de Reciprocidad, es evidente que ¡ ¢ ∇02 G(~r,~r 0 ) = −δ ~r − ~r 0 . (1.27) ´ de la ecuacion ´ de Poisson (1.19) y hagamos en la Supongamos ahora que φ es la solucion identidad de Green (1.24) Φ ≡ φ y Ψ ≡ G. Entonces Z £ ¤ φ(~r 0 )∇02 G(~r,~r 0 ) − G(~r,~r 0 )∇02 φ(~r 0 ) dV 0 V ¸ ZZ · ∂G(~r,~r 0 ) r 0) 0 ∂φ(~ = ° φ(~r 0 ) − G(~ r ,~ r ) dS 0 . 0 0 ∂n ∂n S Teniendo en cuenta las ecuaciones (1.19) y (1.27), hallamos finalmente que φ(~r) =

1 ²0

¸ ZZ · ∂φ(~r 0 ) r,~r 0 ) 0 ∂G(~ ρ(~r 0 )G(~r,~r 0 )dV 0 + ° G(~r,~r 0 ) − φ(~ r ) dS 0 . ∂n 0 ∂n 0 V S

Z

(1.28)

´ anterior es la solucion ´ general de la ecuacion ´ de Poisson. El c´alculo de la funcion ´ La ecuacion ´ propios de la Teor´ıa de Green puede ser realizado haciendo uso de los teoremas de integracion ´ delta de Dirac, de Variable Compleja. Nosotros haremos aqu´ı uso de la propiedad de la funcion ´ la cual segun µ ¶ ¡ ¢ 1 ∇2 = −4π δ ~r − ~r 0 . (1.29) 0 |~r − ~r | De acuerdo con dicha propiedad, es evidente que G(~r,~r 0 ) =

1 + F(~r,~r 0 ), 4π|~r − ~r 0 |

(1.30)

´ armonica ´ siendo F(~r,~r 0 ) una funcion en los conjuntos a los que pertenecen las variables ~r y ~r 0 , 0 0 2 02 es decir, ∇ F(~r,~r ) = ∇ F(~r,~r ) = 0. Supongamos que V(R) es una bola, centrada en el origen de coordenadas, limitada por una superficie esf´erica S(R) de radio R. Si calibramos el potencial electrost´atico de acuerdo con la ´ (1.18), entonces es f´acil ver que relacion ZZ l´ım °

R→∞

S(R)

·

¸ r,~r 0 ) ∂φ(~r 0 ) 0 ∂G(~ − φ(~r ) dS 0 = 0, G(~r,~r ) ∂n 0 ∂n 0 0

(1.31)

y en consecuencia, 1 R→∞ ²0

Z ρ(~r 0 )G(~r,~r 0 )dV 0 =

φ(~r) = l´ım

V(R)

1 4π²0

Z R3

ρ(~r 0 ) dV 0 , |~r − ~r 0 |

(1.32)

´ (1.12) ya conocida de la ecuacion ´ de Poisson (1.19) en todo el espacio R3 . que es la solucion ´ ´ de frontera impuesta al potencial La solucion (1.28) depende obviamente del tipo de condicion ´ a continuacion. ´ electrost´atico sobre la superficie S. Veamos esta situacion

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1.2.2. Problemas de Dirichlet y Neumann. ´ del problema de Dirichlet Consideremos la solucion ( ∇2 φ(~r) = − ρ(²~r0 ) en V , φ(~r)|S = D(~r)

(1.33)

´ conocida. Puesto que la funcion ´ de Green est´a indeterminada en una funsiendo D una funcion ´ armonica, ´ ´ F cion podemos, una vez fijada la geometr´ıa de la superficie S, elegir una funcion ´ armonica en V tal que G|S = 0.

(1.34)

´ del problema de Dirichlet ser´a entonces A partir de (1.28) es posible ver que la solucion 1 φ(~r) = ²0

Z

ZZ ∂G(~r,~r 0 ) ρ(~r )G(~r,~r ) dV − ° D(~r 0 ) dS 0 . ∂n 0 V S 0

0

0

(1.35)

´ es unica ´ ´ Probemos que esta solucion y para ello recurramos al conocido m´etodo logico de demos´ por reduccion ´ al absurdo. Supongamos que φ1 y φ2 son soluciones diferentes del problema tracion ´ U = φ1 − φ2 , la cual, obviamente, es la solucion ´ del prode Dirichlet y construyamos la funcion blema ( ∇2 U (~r) = 0 en V . U (~r)|S = 0 Es evidente que ZZ ZZ ∂U (~r) 0 = ° U (~r) dS = ° U (~r)∇U (~r) · ~ndS. ∂n S S ´ anterior obtenemos que Aplicando ahora el teorema de Gauss-Ostrogradsky en la expresion Z Z Z Z 2 2 0= ∇ · [U (~r)∇U (~r)] dV = [∇U (~r)] dV + U (~r)∇2 U (~r) dV = [∇U (~r)] dV, V

V

V

V

donde hemos tenido en cuenta que ∇2 U (~r) = 0 en el volumen V. Debido a la arbitrariedad del volumen V sigue inmediatamente que ∇U (~r) = 0 en V, es decir, U es constante en V. Pero como U ´ continua en su dominio y U (~r)|S = 0, entonces U (~r) = 0 en V. As´ı, φ1 (~r) = debe ser una funcion ´ φ2 (~r) en V, lo cual es un absurdo pues hab´ıamos supuesto como hipotesis que φ1 (~r) 6= φ2 (~r) en ´ demuestra la unicidad de la solucion ´ del problema de Dirichlet. V. Esta contradiccion Consideremos ahora el problema de Neumann  ∇2 φ(~r) = − ρ(~r) en V ²0 ¯ , (1.36)  ∂φ(~r) ¯¯ = N (~r) ∂n

S

´ conocida. En este caso la parte armonica ´ ´ de Green puede donde N (~r) es una funcion de la funcion ser elegida de tal forma que ¯ ∂G ¯¯ 1 , (1.37) =− ¯ ∂n S A(S) c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

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siendo A(S) el a´ rea de la superficie S 6 . teniendo en cuenta (1.28) podemos ver que Z ZZ 1 φ(~r) = ρ(~r 0 )G(~r,~r 0 ) dV 0 + ° G(~r,~r 0 )N (~r 0 ) dS 0 + hφiS , ²0 V S

(1.38)

siendo ZZ φ(~r) hφiS = ° dS S A(S)

(1.39)

el valor medio del potencial sobre la superficie S. An´alogamente a como se hizo en el caso del ´ anterior para el problema de problema de Dirichlet, tambi´en puede demostrarse que la solucion ´ Neumann es unica.

1.2.3. Ejemplos de obtencion ´ de la funcion ´ de Green. ´ de la funcion ´ de Green para un problema de frontera espec´ıfico es una tarea en La obtencion general compleja. Sin embargo, la fortaleza de este m´etodo justifica completamente los esfuerzos ´ Una vez conocida la funcion ´ de Green para un que hay que realizar para encontrar dicha funcion: problema de frontera de Dirichlet o Neumann asociado a una superficie y volumen espec´ıficos, podemos resolver cualquier problema electrost´atico del tipo Dirichlet o Neumann, respectiva´ algunos ejemplos mente, asociado a la misma superficie y volumen. Examinemos a continuacion ´ de la funcion ´ de Green. sencillos de obtencion Funcion ´ de Green en el segmento unidimensional (0, l) con condiciones de Dirichlet en los extremos. Sea l ∈ R tal que l > 0, y consideremos el problema unidimensional de Dirichlet para la ´ de Green funcion ( 2 ∂ 0 0 0 ∂x2 G(x, x ) = −δ(x − x ) (x, x ) ∈ (0, l) × (0, l) . (1.40) G(0, x 0 ) = G(l, x 0 ) = 0 x 0 ∈ (0, l) ¡ ¢ ´ para G puede ser representada como una serie de las funciones sin nπ La solucion l x , siendo n ´ ´ de Dirichlet en los extremos del intervalo un numero natural, las cuales satisfacen la condicion (0, l) para cualquier valor de n y son un conjunto completo en este intervalo. Por lo tanto, G(x, x 0 ) =

+∞ X n=1

Cn (x 0 ) sin

³ nπ ´ x . l

(1.41)

´ Los coeficientes Cn (x 0 ) pueden calcularse a partir de la condicion 2 Cn (x ) = l

Z

0

6 Conviene

0

l

G(x, x 0 ) sin

³ nπ ´ x dx. l

(1.42) ¯

´ - aparentemente evidente aclarar que la eleccion

∂G ¯ ∂n ¯S

´ pues = 0 conduce a una contradiccion,

ZZ Z Z Z ¡ ¢ ∂G ° dS 0 = ∇ 0 · ∇ 0 G dV 0 = ∇02 G dV 0 = − δ ~r − ~r 0 dV 0 = −1. 0 S ∂n V V V ¯ ¯ Esto indica que ∂G no puede tomarse igual a cero sobre la superficie S. ∂n ¯ S

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Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

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Sustituyendo (1.42) en (1.41) obtenemos que G(x, x 0 ) =

2 l

Z

l

G(x 00 , x 0 )

0

+∞ X n=1

sin

³ nπ ´ ³ nπ ´ x sin x 00 dx 00 , l l

(1.43)

de donde +∞ ³ nπ ´ ³ nπ ´ 2X sin x sin x 00 . l n=1 l l

δ(x − x 00 ) =

(1.44)

´ de completitud. Esta es la llamada relacion ´ de completitud en la ecuacion ´ diferencial obteSustituyendo el desarrollo para G y la relacion nemos +∞ X

Cn (x 0 )

³ nπ ´2 l

n=1

sin

+∞ ³ nπ ´ 2 X ³ nπ ´ ³ nπ ´ x = sin x sin x0 , l l n=1 l l

de donde ¡ ¢ 0 2 sin nπ l x Cn (x ) = . l (nπ/l)2 0

(1.45)

Luego, +∞ 2 X sin G(x, x ) = l n=1 0

¡ nπ 0 ¢ ¡ nπ ¢ l x sin l x . 2 (nπ/l)

(1.46)

´ (1.46) nos da la funcion ´ de Green unidimensional buscada para el problema de La expresion Dirichlet en el segmento (0, l). Funcion ´ de Green en una seccion ´ circular con condiciones de Dirichlet en la frontera. ´ plana del c´ırculo de radio R mostrada en la figurap ´ Consideremos la seccion 1.3. La funcion 2 2 ´ analizada satisface, en coordenadas polares (r = x + y , ϕ), la de Green dentro de la region ´ diferencial ecuacion · ¸ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 1 r + 2 G(r, r 0 , ϕ, ϕ 0 ) = − δ(r − r 0 )δ(ϕ − ϕ 0 ). (1.47) 2 r ∂r ∂r r ∂ϕ r ´ de Green satisface, adem´as, las condiciones de frontera La funcion  0 0 0  G(r, r , 0, ϕ ) = G(r, r , ϕ, 0) = 0 G(R, r 0 , ϕ, ϕ 0 ) = G(r, R, ϕ, ϕ 0 ) = 0 .   G(r, r 0 , α, ϕ 0 ) = G(r, r 0 , ϕ, α) = 0

(1.48)

´ de Green que satisface las condiciones de frontera angulares puede proponerse La funcion como 0

0

G(r, r , ϕ, ϕ ) =

+∞ X

sin(αn ϕ) sin(αn ϕ 0 )fn (r, r 0 ),

n=1

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

(1.49)

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

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´ circular de radio R y apertura angular α. La funcion ´ de Green satisface la Figura 1.3: Seccion ´ de Dirichlet en la frontera. condicion siendo αn = con (1.44),

nπ α

y fn son funciones a determinar para cada valor de n. Por otra parte, de acuerdo

δ(ϕ − ϕ 0 ) =

+∞ 2X sin(αn ϕ) sin(αn ϕ 0 ). α n=1

(1.50)

´ diferencial para las funcioSustituyendo (1.49) y (1.50) en (1.47) obtenemos la siguiente ecuacion nes fn : α2 2 ∂ ∂ r fn (r, r 0 ) − n fn (r, r 0 ) = − δ(r − r 0 ). (1.51) ∂r ∂r r α ´ para fn es una ecuacion ´ diferencial homog´enea de Euler con coeficientes Si r 6= r 0 , la ecuacion ´ general tiene la forma variables, y su solucion fn (r, r 0 ) = A(r 0 )rαn + B(r 0 )r−αn . El arco r = r 0 define dos regiones disjuntas. Si r < r 0 , entonces fn ∼ An (r 0 )rαn , pues fn (0, r 0 ) = 0. Si por el contrario r > r 0 , entonces fn ∼ A(r 0 )rαn + B(r 0 )r−αn , pero como fn (R, r 0 ) = 0, entonces B(r 0 ) = −A(r 0 )R2αn . En consecuencia · µ ¶αn ¸ R 0 αn αn fn ∼ A(r ) r − R . r h¡ ¢ ¡ ¢ αn i αn Definiendo Cn (r 0 ) = A(r 0 )Rαn hallamos que fn ∼ Cn (r 0 ) Rr − Rr siempre que r sea mayor que r 0 . Podemos escribir entonces ( 0 An (r 0 )rhαn 0 i si r < r . ¡ ¢ ¡ ¢ fn (r, r ) = α α n n Cn (r 0 ) Rr − Rr si r > r 0 En virtud del principio de reciprocidad, fn (r, r 0 ) = fn (r 0 , r). En consecuencia, ( An (r)r0αn si r 0 < r 0 0 h³ 0 ´αn ¡ ¢α i . fn (r, r ) = fn (r , r) = n Cn (r) rR − rR0 si r 0 > r c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

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Comparando las dos expresiones anteriores podemos ver que ·µ 0 ¶αn µ ¶αn ¸ r R 0 An (r ) = βn − R r0 y Cn (r 0 ) = βn r0αn , siendo βn una constante num´erica que, atendiendo al propio principio de reciprocidad, debe tener el mismo valor cuando r > r 0 que cuando r < r 0 para cada valor dado de n. ´ general para fn tiene la forma As´ı, la solucion  h³ ´αn ¡ ¢α i n rαn r 0 − rR0 si r < r 0 R 0 h i fn (r, r ) = βn , ¡ ¢ ¡ ¢ α α r0αn r n − R n si r > r 0 R r o bien αn fn (r, r 0 ) = βn r−

·³

r + ´α n − R

µ

R r+

¶αn ¸ ,

(1.52)

siendo r− = m´ın(r, r 0 ) y r+ = m´ax(r, r 0 ). ´ diferencial (1.51) Calculemos ahora la constante βn . Para ello integremos la ecuacion ∂ ∂ α2 2 r fn (r, r 0 ) − n fn (r, r 0 ) = − δ(r − r 0 ) ∂r ∂r r α entre r = r 0 − ² y r = r 0 + ² (siendo ² > 0 tal que r 0 − ² > 0 ∀r 0 ), y luego tomemos el l´ımite cuando ² tiende a cero. As´ı, Z r 0 +² Z r 0 +² ∂ ∂ fn (r, r 0 ) 2 0 2 r fn (r, r ) dr − αn dr = − , ∂r ∂r r α 0 0 r −² r −² de donde ¯ ¯ Z r 0 +² ∂fn ¯¯ 2 ∂fn ¯¯ fn (r, r 0 ) 0 2 (r + ²) dr = − . − (r − ²) − α n ¯ ¯ ∂r r 0 +² ∂r r 0 −² r α r 0 −² 0

Pero

(1.53)

¯ ¸ · 0 R αn ∂fn ¯¯ (r + ²)αn −1 + r0αn = β α n n ∂r ¯r 0 +² R αn (r 0 + ²)αn +1

y ¯ ·µ 0 ¶αn µ ¶αn ¸ ∂fn ¯¯ r R = β α − (r 0 − ²)αn −1 . n n ∂r ¯r 0 −² R r0 Luego, ·µ βn αn Z −αn2

r0+² R

r 0 +²

r 0 −²

¶αn

µ +

R r0+²

¶αn ¸

·µ r

0αn

− βn αn

fn (r, r 0 ) 2 dr = − . r α c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

r0 R

¶αn

µ −

R r0

¶αn ¸

(r 0 − ²)αn

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

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Tomando el l´ımite cuando ² tiende a cero hallamos finalmente que βn = −

1 . ααn Rαn

´ de Green buscada ser´a entonces La funcion · µ ¶αn ¸ +∞ 1 X sin(αn ϕ) sin(αn ϕ 0 ) ³ r− ´αn ³ r+ ´αn R G(r, r , ϕ, ϕ ) = − − . α n=1 αn R R r+ 0

0

(1.54)

1.3. M´etodo de las im´agenes para la solucion ´ del problema electrost´atico. ´ de los problemas de Dirichlet o Neumann en el¯ interior de cierto volumen V limiLa solucion ∂φ ¯ tado por una superficie S exige del conocimiento de φ|S o ∂n ¯ , respectivamente. Las funciones S

de Green correspondientes a estos problemas, como ya hemos visto, est´an indeterminadas en una ´ F que es armonica ´ ´ funcion en el interior de V. Podemos entonces utilizar esta indeterminacion para proponer funciones F tales que las funciones de Green satisfagan las condiciones de frontera ´ apropiada de F suele recurrirse a dis´ımiles procedimientos. Uno de ellos sobre S. Para la eleccion ´ ´ adecuada de distribuutiliza el concepto de imagen proveniente de la Optica para la colocacion ciones de carga, en el exterior de V, tales que la suma de todas las contribuciones de las cargas involucradas en el problema y de las cargas colocadas en el exterior (usualmente denominadas im´agenes) reproduzcan sobre S las condiciones de frontera deseadas. ´ de Green G(~r,~r 0 ) puede ser interpretada, excepto por una consYa hemos visto que la funcion tante de proporcionalidad asociada al sistema de unidades utilizado, como el potencial generado ´ ~r por una carga puntual de valor ²0 ubicada en el punto de vector en el punto de vector de posicion ´ ~r 0 ∈ V, cuyo valor sobre la frontera S de V est´a determinado por las condiciones de posicion ´ de la correspondiente ecuacion ´ de Poisson en de Dirichlet o Neumann, es decir, es la solucion ´ de cargas im´agenes es colocada en el exterior de V, el interior de V. Puesto que la distribucion ´ de estas cargas al potencial electrost´atico ser´a una funcion ´ armonica ´ entonces la contribucion en ¨ ´ F. V, la cual puede ser identificada sin ambiguedades como la funcion ´ la aplicacion ´ del m´etodo de las im´agenes a la solucion ´ de dos problemas Veamos a cotinuacion concretos.

1.3.1. Carga puntual frente a un bloque met´alico seminfinito a potencial cero. Supongamos que tenemos un bloque met´alico conectado a tierra (potencial cero) que se ex´ de R3 tal que (x, y, x) ∈ (−∞, 0) × (−∞, +∞) × (−∞, +∞). Supongamos tiende sobre la region adem´as que tenemos una carga Q en el punto ~rQ = (xQ , yQ , zQ ) (xQ > 0). Queremos encontrar el potencial en todo punto del espacio (0, +∞) × (−∞, +∞) × (−∞, +∞). ´ ~ri = El problema puede resolverse f´acilmente colocando una carga imagen Qi en la posicion ´ (−xi , yi , zi ) (xi > 0) dentro del bloque met´alico. Notese que esta carga es exterior al volumen de inter´es situado a la derecha del eje y (ver Fig. 1.4). El potencial asociado al sistema de cargas es · ¸ Q Qi 1 + φ(~r) = 4π²0 |~r − ~rQ | |~r − ~ri | " # 1 Q Qi p = . +p 4π²0 (x − xQ )2 + (y − yQ )2 + (z − zQ )2 (x + xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

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Figura 1.4: Carga puntual frente a un bloque met´alico rectangular y seminfinito a potencial cero. ´ φ|S = 0 = φ(0, y, z). En consecuencia, Hay que imponer ahora la condicion Qi Q q +p 2 = 0, 2 2 2 xi + (y − yi )2 + (z − zi )2 xQ + (y − yQ ) + (z − zQ ) de donde es f´acil ver que Qi = −Q, xi = xQ , yi = yQ y zi = zQ . Por lo tanto, " φ(~r) =

Q 4π²0

p

# 1 1 −p . (1.55) (x − xQ )2 + (y − yQ )2 + (z − zQ )2 (x + xQ )2 + (y − yQ )2 + (z − zQ )2

´ de Green tiene la forma En este caso la funcion " 1 G(~r,~r ) = 4π 0

# 1 1 p −p . (1.56) (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 (x + x 0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2

1.3.2. Carga puntual frente a un cascaron ´ esf´erico met´alico a potencial cero.

´ esf´erico met´alico a potencial cero. Figura 1.5: Carga puntual frente a un cascaron Supongamos ahora que tenemos una carga puntual Q situada fuera del volumen limitado ´ es ´ esf´erico de radio a (ver Fig. 1.5). Consideremos adem´as que dicho cascaron por un cascaron ´ met´alico y que se encuentra a potencial cero. Notese que el potencial producido por la carga c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

16

´ respecto del centro de la esfera es ~r es Q sobre el punto del espacio cuyo vector de posicion invariante ante rotaciones del sistema alrededor del eje que une el centro de la esfera con la carga ´ punto del volumen interior Q. En consecuencia, la carga im´agen debe estar localizada en algun ´ y sobre el segmento que une el origen con la carga Q. Hemos supuesto limitado por el cascaron anticipadamente que el signo de la carga im´agen es opuesto al de la carga Q. En consecuencia, · ¸ 1 Q Qi φ(~r) = . − 4π²0 |~r − ~r 0 | |~r − ~r 00 | En ~r = ~a se tiene que φ(~a) = 0. Por lo tanto Q Qi , 0 = |~a − ~r | |~a − ~r 00 | o bien, Q2 |~a − ~r 00 |2 = Q2i |~a − ~r 0 |2 . De aqu´ı se obtiene inmediatamente que ¢ ¡ 2 ¢ ¡ Q − Q2i a2 + 2~a · Q2i ~r 0 − Q2~r 00 + Q2 r002 − Q2i r02 = 0.

(1.57)

Q2i ~r 0 − Q2~r 00

´ depende del a´ ngulo formado entre esos dos Notese que el producto escalar de ~a con ´ del vector ~a es arbitraria la ecuacion ´ anterior no debe ser una vectores. Puesto que la direccion ´ de dicho a´ ngulo, lo cual tiene lugar solamente ´ funcion si |Q2i ~r 0 −Q2~r 00 | = 0, o bien, Q2i ~r 0 = Q2~r 00 . De aqu´ı se concluye que r 00 . r0 Sustituyendo (1.58) en (1.57) hallamos que · ¸ r 00 2 2 Q 1 − 0 a + Q2 r002 − Q2 r 00 r 0 = 0, r Q2i = Q2

(1.58)

de donde (r 0 − r 00 )(a2 − r 0 r 00 ) = 0. ´ anterior se obtienen un par de soluciones. La primera de ellas es r 0 = r 00 , la cual De la ecuacion 2 ´ es v´alida sobre la superficie del cascaron. ´ La segunda solucion ´ r 00 = ra 0 (o no es general y solo 2 en forma vectorial, ~r 00 = ra02 ~r 0 ) es m´as general y contiene a la primera. Sustituy´endola en (1.58) hallamos a2 , r02 ´ la solucion ´ positiva Qi = Q ra0 es de inter´es. donde solo ´ para el potencial electrost´atico: De esta manera obtenemos la siguiente expresion   Q  1 a ¯ ¯ . φ(~r) = 0 0 − ¯ 4π²0 |~r − ~r | r 0 ¯~r − a2~r ¯¯ Q2i = Q2

(1.59)

r 02

´ de Green para el problema planteado (r ≥ a) ser´a entonces La funcion   1  1 a ¯ . G(~r,~r 0 ) = − ¯ 0 4π |~r − ~r 0 | r 0 ¯¯~r − a2~r ¯¯ r 02

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

(1.60)

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

17

1.4. M´etodo de separacion ´ de variables para la solucion ´ de la ecuacion ´ de Laplace. ´ Como se ha visto hasta ahora, si tenemos una densidad de carga ρ definida sobre una region V ∈ R3 limitada por una superficie S “buena” desde el punto de vista matem´atico, el potencial ´ de la ecuacion ´ de Poisson (1.19), mientras que en el compleelectrost´atico en V ser´a la solucion ´ de la ecuacion ´ de Laplace (1.20). En algumento de V el potencial electrost´atico ser´a la solucion ´ de la ecuacion ´ de Laplace admite nos casos con simetr´ıas particulares el problema de la solucion soluciones anal´ıticas 7 . De todos los problemas con simetr´ıas que permiten obtener soluciones ´ de Laplace, tres son de especial importancia: los problemas con simetr´ıa anal´ıticas de la ecuacion cartesiana, los problemas con simetr´ıa cil´ındrica, y los problemas con simetr´ıa esf´erica. Ilustremos ´ estos tres casos. a continuacion

1.4.1. Solucion ´ de la ecuacion ´ de Laplace en coordenadas cartesianas. ´ de Laplace, en coordenadas cartesianas, puede ser escrita en la forma La ecuacion µ 2 ¶ ∂ ∂2 ∂2 + 2 + 2 φ(x, y, z) = 0. ∂x2 ∂y ∂z

(1.61)

´ de (1.61), una funcion ´ del tipo Se propone, como solucion φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z).

(1.62)

´ diferencial hallamos Sustituyendo en la ecuacion Y (y)Z(z)

d2 d2 d2 X(x) + X(x)Z(z) 2 Y (y) + X(x)Y (y) 2 Z(z) = 0, 2 dx dy dz

o bien 1 d2 1 d2 1 d2 X(x) + Y (y) + Z(z) = 0. 2 2 X(x) dx Y (y) dy Z(z) dz 2 ´ anterior Puesto que las variables x, y y z son independientes, entonces cada t´ermino de la ecuacion debe ser una constante num´erica. Definamos −α2 =

1 d2 1 d2 1 d2 2 2 X(x), −β = Y (y), γ = Z(z), X(x) dx2 Y (y) dy 2 Z(z) dz 2

(1.63)

´ ´ ´ donde γ 2 = α2 + β 2 , es decir, los numeros α, β y γ son numeros pitagoricos. Reescribamos ahora de forma conveniente las tres ecuaciones anteriores, es decir, d2 X(x) + α2 X(x) = 0, dx2 d2 Y (y) + β 2 Y (y) = 0, dy 2 d2 Z(z) − γ 2 Z(z) = 0. dz 2

(1.64) (1.65) (1.66)

7 En la mayor´ıa de los casos, debido a la complejidad de las condiciones de frontera o del dominio sobre el cual se pre´ de Laplace, es necesario utilizar algoritmos num´ericos para poder obtener la solucion ´ deseada tende resolver la ecuacion (el paradigma de estos algoritmos es el m´etodo de diferencias finitas). En otros casos menos abundantes la soluci´on de ´ de Laplace admite una representacion ´ anal´ıtica. Hay que decir que aun ´ en algunos casos anal´ıticos la solula ecuacion ´ buscada no se puede representar en t´erminos de funciones elementales, y por lo tanto se necesitan de aproximaciones cion num´ericas para calcularla (esto ocurre, por ejemplo, cuando la soluci´on viene dada en t´erminos de una serie de funciones).

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

18

´ α, β y γ, determinados por Dependiendo de los valores que tomen las constantes de integracion las condiciones de frontera para el potencial o sus primeras derivadas, pueden tener lugar varios tipos de soluciones para el potencial (1.62). Veamos. • Caso 1: α 6= 0, β 6= 0. Las soluciones generales para X, Y y Z vienen dadas por las expresiones X(x) = a1 eiαx + a2 e−iαx , Y (y) = b1 eiβy + b2 e−iβy y Z(z) = c1 eγz + c2 e−γz , respectivamente. • Caso 2: α = 0, β = γ 6= 0 8 . ´ para la funcion ´ X es polinomica, ´ En este caso la solucion es decir, X(x) = a1 x + a2 . Adem´as, Y (y) = b1 eiβy + b2 e−iβy y Z(z) = c1 eβz + c2 e−βz . • Caso 3: α = β = γ = 0. En este caso las tres funciones X, Y y Z son polinomios de primer grado en sus respectivas variables, o sea, X(x) = a1 x + a2 , Y (y) = b1 y + b2 y Z(z) = c1 z + c2 . En todos los casos anteriores las constantes a1 , a2 , b1 , b2 , c1 y c2 se determinan tambi´en a partir de las condiciones de frontera espec´ıficas de cada problema concreto. ´ de la ecuacion ´ de Laplace en coordenadas cartesianas Ilustremos el procedimiento de solucion a partir de un ejemplo sencillo. Consideremos un cubo de lado a con dos caras opuestas conectadas a un potencial V y el resto de sus caras conectadas a tierra (potencial cero), tal y como se muestra en la figura 1.6. Queremos encontrar el valor del potencial en el interior del cubo. Se pro´ de la ecuacion ´ diferencial de Laplace, una funcion ´ del tipo (1.62). De acuerdo pone, como solucion 8 Los

casos α = γ 6= 0, β = 0 y α = β 6= 0, γ = 0 son equivalentes al caso 2.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

19

Figura 1.6: Cubo de lado a. Dos caras opuestas est´an conectadas a un potencial V , mientras que el resto de las caras permanecen conectadas a potencial cero. ´ de variables, elijamos las constantes α, β y γ de manera que se satiscon el m´etodo de separacion fagan las relaciones (1.63). Si tomamos el origen de coordenadas en uno de los v´ertices del cubo, las funciones X, Y y Z satisfacen las condiciones de frontera X(0) = X(a) = 0, Y (0) = Y (a) = 0 y Z(0) = Z(a) = V, ´ X ser´a solucion ´ de la ecuacion ´ diferencial (1.64), y se propone como respectivamente. La funcion X(x) = A1 sin(αx) + A2 cos(αx). Pero X(0) = 0 ⇒ A2 = 0. Luego, X(x) = A1 sin(αx). Por otra parte X(a) = A1 sin(αa) = 0, de donde es evidente que α ≡ αn = nπ a , siendo n un ´ ´ trivial X = 0, la cual no posee sentido f´ısico). numero natural (n = 0 conduce a la solucion Existen entonces infinitas soluciones para X, que denotaremos como Xn . As´ı, Xn (x) = An sin(αn x).

(1.67)

An´alogamente Ym (y) = Bm sin(βm y),

(1.68)

donde βm = mπ a . ´ Z de la ecuacion ´ diferencial (1.66), la cual se propone como Analicemos ahora la solucion Znm (z) = Cnm sinh(γnm z) + Dnm cosh(γnm z) p √ 2 = π n2 + m2 . De la condicion ´ de frontera Znm (0) = V se desprende siendo γnm = αn2 + βm a ´ autom´aticamente que Dnm = V para todos los valores posibles de los numeros n y m. Luego Znm (z) = Cnm sinh(γnm z) + V cosh(γnm z). c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

20

´ Znm (a) = V se obtiene inmediatamente que Por otra parte, de la condicion 1 − cosh(γnm a) . sinh(γnm a)

Cnm = V

En consecuencia

·

Znm (z) = V

¸ 1 − cosh(γnm a) sinh(γnm z) + cosh(γnm z) . sinh(γnm a)

(1.69)

´ particular para la ecuacion ´ de Laplace en el interior del cubo es Una soluciom · ¸ 1 − cosh(γnm a) φnm (x, y, z) = V An sin(αn x)Bm sin(βm y) sinh(γnm z) + cosh(γnm z) , sinh(γnm a) ´ general puede ser escrita como mientras que la solucion φ(x, y, z)

=

+∞ X +∞ X

φnm (x, y, z) n=1 m=1 +∞ X +∞ X

= V

·

An sin(αn x)Bm sin(βm y)

n=1 m=1

+

1 − cosh(γnm a) sinh(γnm z) sinh(γnm a)

cosh(γnm z)] .

´ Debemos encontrar ahora los valores de las constantes An y Bm . Es evidente que la solucion anterior satisface las condiciones de frontera en las variables x y y. En la variable z tenemos que φ(x, y, 0)

= φ(x, y, a) = V = V

" +∞ X

+∞ X +∞ X

An sin(αn x)Bm sin(βm y)

n=1 m=1

# " +∞ # X An sin(αn x) Bm sin(βm y) .

n=1

m=1

´ Las condiciones de frontera en la variable z son solamente satisfechas si An y Bm son las repre´ unidad en el intervalo (0, a). Si sentaciones de Fourier de la funcion 1=

+∞ X

An sin(αn x),

n=1

entonces An =

2 a

Z

a

sin(αn x) dx = 0

2 [1 − (−1)n ] . nπ

An´alogamente Bm =

2 [1 − (−1)m ] . mπ

´ buscada para el potencial dentro de la caja cubica ´ La solucion ser´a entonces µ ¶2 X +∞ X +∞ 2 [1 − (−1)n ] [1 − (−1)m ] φ(x, y, z) = V sin(αn x) sin(βm y) π nm n=1 m=1 · ¸ 1 − cosh(γnm a) × sinh(γnm z) + cosh(γnm z) . sinh(γnm a) c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

(1.70)

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

21

1.4.2. Solucion ´ de la ecuacion ´ de Laplace en coordenadas cil´ındricas. ´ de Laplace en coordenadas cil´ındricas tiene la forma La ecuacion µ ¶ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 r + + 2 φ(r, ϕ, z) = 0, (1.71) r ∂r ∂r r2 ∂ϕ2 ∂z p ¡ ¢ ´ periodica ´ siendo r = x2 + y 2 , ϕ = arctan xy , y φ una funcion de per´ıodo 2π en la variable ϕ, es decir, φ(r, ϕ, z) = φ(r, ϕ + 2π, z) para todos los valores permitidos de r y z. ´ de (1.71), una funcion ´ del tipo Se propone, como solucion φ(r, ϕ, z) = R(r)Φ(ϕ)Z(z),

(1.72)

´ 2π-periodica. ´ ´ diferencial donde Φ es, obviamente, una funcion Sustituyendo (1.72) en la ecuacion obtenemos 1 d d 1 d2 1 d2 r R(r) + 2 Φ(ϕ) + Z(z) = 0. rR(r) dr dr r Φ(ϕ) dϕ2 Z(z) dz 2 ´ de variables podemos escribir Aplicando ahora el m´etodo de separacion 1 d2 Z(z) = k 2 Z(z) dz 2

(1.73)

1 d2 Φ(ϕ) = −ν 2 . Φ(ϕ) dϕ2

(1.74)

y

Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales son Z(z) = c1 ekz + c2 e−kz

(1.75)

Φ(ϕ) = b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ ,

(1.76)

y

´ ´ Φ, el numero ´ respectivamente. Notese que, en virtud de la periodicidad de la funcion ν debe ser ´ necesariamente un numero entero. Para la parte radial R obtenemos µ ¶ 1 d d ν2 2 r R(r) + k − 2 R(r) = 0. r dr dr r Haciendo el cambio de variables u = kr hallamos µ ¶ 1 d ν2 d2 R(u) + R(u) + 1 − R(u) = 0. du2 u du u2 ´ diferencial de Bessel, cuyas soluciones linealmente independientes [3] son las Esta es la ecuacion ´ general de la ecuacion ´ para la parte radial funciones de Bessel Jν y de Neumann Nν . La solucion tiene la forma R(r) = a1 Jν (kr) + a2 Nν (kr).

(1.77) c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

22

Hay que destacar que las funciones Jν permanecen acotadas para valores del argumento en cualquier punto de la recta real, mientras que las funciones Nν divergen en un entorno del origen. Son de gran utilidad las siguientes propiedades [3]: ¶ µ ¶ µ Z a a2 2 λn 0 ν λnν r Jν r dr = Jν+1 (λnν )δnn0 (1.78) rJν a a 2 0 ´ de Bessel Jν , es decir Jν (λnν ) = 0), (siendo {λnν } el conjunto numerable de los ceros de la funcion +∞ 2 X Jν 1 δ(r − r 0 ) = 2 r a n=0

¡λ

¢ ¢ ¡ r Jν λanν r 0 , 2 (λ ) Jν+1 nν

(1.79)

1 δ(k − k 0 ). k

(1.80)

nν

a

y Z

+∞

rJν (kr)Jν (k 0 r)dr =

0

´ ´ de la ecuacion ´ Analicemos ahora, mediante un ejemplo, como se aplica el m´etodo de solucion de Laplace en coordenadas cil´ındricas. Evaluemos el potencial electrost´atico en el interior de un cilindro de altura L y radio a sabiendo que el potencial electrost´atico es nulo en la base y la cara ´ conocida en la cara superior del mismo (ver figura 1.7). lateral del cilindro, y es una funcion

Figura 1.7: Cilindro de altura L y radio a. El potencial electrost´atico es nulo en la base y la cara ´ conocida. lateral del cilindro, mientras que en su cara superior es una funcion ´ de la ecuacion ´ de Laplace en este caso tiene la forma La solucion £ ¤£ ¤ φ(r, ϕ, z) = [a1 Jν (kr) + a2 Nν (kr)] b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ c1 ekz + c2 e−kz . El potencial φ satisface las condiciones de frontera φ(r, ϕ, 0) = 0,

(1.81)

φ(a, ϕ, z) = 0,

(1.82) c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

23

y φ(r, ϕ, L) = V (r, ϕ).

(1.83)

´ (1.81) es evidente que c2 = −c1 . Por otra parte, el potencial debe ser una funcion ´ De la condicion ´ (1.82) se obtiene acotada dentro del cilindro y, en consecuencia, a2 = 0. Adem´as, de la condicion que Jν (ka) = 0, en virtud de lo cual el producto ka debe ser un cero arbitrario de Jν , es decir, knν =

λnν . a

(1.84)

´ particular de la ecuacion ´ de Laplace es As´ı, una solucion µ ¶ µ ¶ £ ¤ λnν λnν φnν (r, ϕ, z) = Jν r sinh z b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ . a a ´ m´as general se obtendr´a de sumar φnν sobre todos los valores posibles de n (n = La solucion 1, 2, 3, ...) y ν (ν = 0, 1, 2, ...). Luego, φ(r, ϕ, z) =

+∞ X +∞ X

µ Jν

n=1 ν=0

¶ µ ¶ £ ¤ λnν λnν r sinh z b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ . a a

(1.85)

´ de frontera (1.83) obtenemos la relacion ´ Teniendo en cuenta que (1.85) debe satisfacer la condicion V (r, ϕ) =

+∞ X +∞ X n=1 ν=0

µ Jν

¶ µ ¶ £ ¤ λnν λnν r sinh L b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ . a a

(1.86)

³ ´ 0 Premultiplicando (1.86) por rJν 0 λna0 ν 0 r e−iν ϕ e integrando el resultado por r y ϕ sobre sus respectivos dominios hallamos que ¶ µ Z a Z 2π 0 λn0 ν 0 r e−iν ϕ V (r, ϕ)dϕdr rJν 0 a 0 0 µ ¶Z a µ ¶ µ ¶ +∞ X +∞ X λnν λn0 ν 0 λnν = 2π sinh L rJν 0 r Jν r dr [b1 δν,ν 0 + b2 δν,−ν 0 ] . a a a 0 n=1 ν=0 ´ anterior es nulo, y por lo tanto Obviamente el t´ermino proporcional a b2 en la expresion µ ¶ Z a Z 2π 0 λn0 ν 0 rJν 0 r e−iν ϕ V (r, ϕ)dϕdr a 0 0 ¶Z a µ ¶ µ ¶ µ +∞ X λn0 ν 0 λnν 0 λnν 0 0 0 L rJν r Jν r dr = 2πb1 sinh a a a 0 n=1 µ ¶ λn0 ν 0 = b1 πa2 sinh L Jν20 +1 (λn0 ν 0 ), a

(1.87)

donde hemos hecho uso de la propiedad (1.78). De esta manera obtenemos finalmente que (nν)

b1 ≡ b1

=

1 ¡ λnν ¢ 2 2 πa sinh a L Jν+1 (λnν )

Z

a 0

Z 0

2π

µ r0 Jν

¶ λnν 0 −iνϕ0 r e V (r0 , ϕ0 )dϕ0 dr0 . (1.88) a

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

24

´ 0 ³ An´alogamente, pero premultiplicando por rJν 0 λna0 ν 0 r eiν ϕ en (1.86) y siguiendo el procedimiento anterior, es posible ver que µ ¶ Z a Z 2π λnν 0 iνϕ0 1 (nν) 0 ¡ λnν ¢ 2 r J b2 ≡ b2 = r e V (r0 , ϕ0 )dϕ0 dr0 . (1.89) ν a πa2 sinh a L Jν+1 (λnν ) 0 0 ´ deseada puede ser escrita Sustituyendo (1.88) y (1.89) en (1.85) encontramos que la solucion como

³ ´ ³ ´ λnν ¶ µ +∞ +∞ r sinh λnν z Z a Z 2π 2 X X Jν λnν 0 a a ³ ´ φ(r, ϕ, z) = r cos[ν(ϕ − ϕ0 )]V (r0 , ϕ0 )dϕ0 dr0 . (1.90) r0 Jν 2 πa n=1 ν=0 J 2 (λnν ) sinh λnν L a 0 0 ν+1 a

´ diferencial de Laplace (1.71) escrita en coordenadas cil´ındricas. ToRetornemos a la ecuacion mando 1 d2 Z(z) = −k 2 , Z(z) dz 2

(1.91)

´ para la parte radial: en lugar de (1.73) obtenemos la siguiente ecuacion µ ¶ 1 d d ν2 r R(r) − k 2 + 2 R(r) = 0. r dr dr r ´ modificada de Bessel, y sus dos soluciones linealmente independienEsta es la llamada ecuacion tes se conocen con el nombre de funciones modificadas de Bessel Iν y Kν , o funciones de Infeld y McDonald, respectivamente. Para todo valor natural de ν (incluyendo el caso ν = 0) las funciones de Infeld son finitas en una vecindad del origen y divergentes en el infinito, mientras que, por el ´ contrario, las funciones de McDonald divergen en un entorno del origen y tienden monotonamente a cero en el infinito. Las funciones modificadas de Bessel se relacionan con las funciones de Bessel y Neumann mediante las expresiones Iν (x) = i−ν Jν (ix)

(1.92)

y Kν (x) =

π ν+1 i [Jν (ix) + iNν (ix)] . 2

(1.93)

´ general de la ecuacion ´ de Laplace en este caso puede proponerse como La solucion £ ¤£ ¤ φ(r, ϕ, z) = [a1 Iν (kr) + a2 Kν (kr)] b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ c1 eikz + c2 e−ikz . Evaluemos el potencial electroct´atico φ dentro de un cilindro de radio a y altura L imponiendo las condiciones de frontera mostradas en la figura 1.8, es decir, suponiendo que φ(r, ϕ, 0) = φ(r, ϕ, L) = 0 para (r, ϕ) ∈ (0, a) × (0, 2π) y que φ(a, ϕ, z) = V (ϕ, z) para (ϕ, z) ∈ (0, 2π) × (0, L). ´ del problema electrost´atico en el interior del cilindro Puesto que estamos buscando la solucion ´ buscada de la y debido al comportamiento de las funciones modificadas de Bessel, la solucion ´ diferencial puede ser escrita como ecuacion £ ¤£ ¤ φ(r, ϕ, z) = Iν (kr) b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ c1 eikz + c2 e−ikz . (1.94) ´ φ(r, ϕ, 0) = 0 es evidente, de acuerdo con la ecuacion ´ anterior, que c2 = −c1 . De la condicion Luego £ ¤ φ(r, ϕ, z) = Iν (kr) b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ sin(kz). c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

25

Figura 1.8: Cilindro de altura L y radio a. El potencial electrost´atico es nulo en las caras planas del ´ conocida. cilindro, mientras que en su cara lateral es una funcion ´ φ(r, ϕ, L) = 0 puede verse que k ≡ kn = nπ ´ De la condicion L . En consecuencia, una solucion ´ de Laplace para el caso que estamos considerando es particular de la ecuacion ³ nπ ´ £ ³ nπ ´ ¤ φnν (r, ϕ, z) = Iν r b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ sin z . (1.95) L L ´ general de la ecuacion ´ de Laplace se obtiene mediante la suma directa de φnν sobre La solucion todos los valores posibles de n y ν: φ(r, ϕ, z) =

+∞ X +∞ X

+∞ X +∞ X

φnν (r, ϕ, z) =

n=1 ν=0

n=1 ν=0

Iν

³ nπ ´ £ ³ nπ ´ ¤ r b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ sin z . L L

(1.96)

´ general encontrada debe satisfacer la condicion ´ de frontera que hemos impuesto en La solucion la cara lateral del cilindro, es decir, ³ nπ ´ £ ³ nπ ´ ¤ a b1 eiνϕ + b2 e−iνϕ sin z . L L n=1 ν=0 ³ 0 ´ 0 Premultiplicando por e−iν ϕ sin nLπ z e integrando por las variables ϕ y z en las regiones (0, 2π) y (0, L), respectivamente, hallamos que Z L Z 2π ³ nπ ´ 1 (nν) ¢ ¡ dz dϕ V (ϕ, z)e−iνϕ sin b1 ≡ b1 = z . (1.97) nπ L πLIν L a 0 0 ³ 0 ´ 0 An´alogamente, premultiplicando por eiν ϕ sin nLπ z e integrando por ϕ y z puede verse que φ(a, ϕ, z) = V (ϕ, z) =

b2 ≡

(nν) b2

+∞ X +∞ X

1 ¡ ¢ = πLIν nπ L a

Z

Iν

Z

L

dz 0

0

2π

dϕ V (ϕ, z)eiνϕ sin

³ nπ ´ z . L

(1.98)

Sustituyendo (1.97) y (1.98) en (1.96) encontramos finalmente que ¡ nπ ¢ Z 2π +∞ +∞ ³ nπ ´ Z L ³ nπ ´ £ ¡ ¢¤ 2 X X Iν L r ¡ nπ ¢ sin z z 0 cos ν ϕ − ϕ0 . (1.99) φ(r, ϕ, z) = dz 0 dϕ0 V (ϕ0 , z 0 ) sin πL n=1 ν=0 Iν L a L L 0 0

Las demostraciones de las expresiones (1.97), (1.98) y (1.99) se les reservan al lector. c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

26

1.4.3. Solucion ´ de la ecuacion ´ de Laplace en coordenadas esf´ericas. ´ de Laplace tiene la forma En coordenadas esf´ericas la ecuacion · ¸ 1 ∂ 1 1 ∂ 2 ∂ ∂ ∂2 r + sin(θ) + φ(r, θ, ϕ) = 0, r2 ∂r ∂r r2 sin(θ) ∂θ ∂θ r2 sin2 (θ) ∂ϕ2

(1.100)

o, alternativamente, 1 ∂ 1 1 ∂2 ∂ ∂2 rφ(r, θ, ϕ) + 2 sin(θ) φ(r, θ, ϕ) + 2 2 φ(r, θ, ϕ) = 0. 2 r ∂r r sin(θ) ∂θ ∂θ r sin (θ) ∂ϕ2

(1.101)

´ de (1.101), una funcion ´ del tipo Se propone, como solucion φ(r, θ, ϕ) =

U (r) Y (θ, ϕ), r

(1.102)

´ 2π-periodica ´ siendo Y una funcion en la variable ϕ. 3 Sustituyendo (1.102) en (1.101) y multiplicando el resultado por UrY obtenemos · ¸ r 2 d2 1 1 ∂ ∂ 1 ∂2 U (r) + sin(θ) + Y (θ, ϕ) = 0. U (r) dr2 Y (θ, ϕ) sin(θ) ∂θ ∂θ sin2 (θ) ∂ϕ2 ´ anterior podemos tomar Separando variables en la ecuacion · ¸ 1 1 ∂ ∂ 1 ∂2 sin(θ) + Y (θ, ϕ) = α. Y (θ, ϕ) sin(θ) ∂θ ∂θ sin2 (θ) ∂ϕ2

(1.103)

(1.104)

´ ´ (1.104) Es conocido que las soluciones, 2π-periodicas en ϕ, del problema definido por la ecuacion ´ son los armonicos esf´ericos s 2l + 1 (l − m)! imϕ m Ylm (θ, ϕ) = e Pl [cos(θ)] (1.105) 4π (l + m)! ´ con autovalores α = −l(l+1), siendo l un numero entero no negativo, m = −l, −l+1, ..., 0, ..., l− ´ 1, l y Pm esf´ericos satisfacen, entre otras, l los polinomios asociados de Legendre [3]. Los armonicos las siguientes propiedades: Z

Z

π

2π

dθ 0

0

+∞ X l X

dϕ Ylm (θ, ϕ)Yl∗0 m0 (θ, ϕ) sin(θ) = δll0 δmm0 .

∗ Ylm (θ, ϕ)Ylm (θ0 , ϕ0 ) = δ(ϕ − ϕ0 )δ[cos(θ) − cos(θ0 )].

(1.106)

(1.107)

l=0 m=−l ∗ Yl,−m (θ, ϕ) = (−1)m Ylm (θ, ϕ).

(1.108)

´ ´ El conjunto de los armonicos esf´ericos es un conjunto completo. Por lo tanto, cualquier funcion arbitraria f = f (θ, ϕ), lo suficientemente “buena” desde el punto de vista matem´atico, puede ser ´ expandida en serie de estos armonicos, es decir, f (θ, ϕ) =

+∞ X l X

Alm Ylm (θ, ϕ),

l=0 m=−l

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo donde

Z

Z

π

Alm = 0

o bien Alm =

2π

dθ 0

27

∗ dϕ f (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) sin(θ),

Z ∗ f (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ)dΩ,

´ siendo dΩ = sin(θ)dθdϕ el diferencial de a´ ngulo solido. ´ buscada satisface En virtud de (1.103) y (1.104) puede verse que la parte radial de la solucion ´ diferencial de Euler con coeficientes variables la ecuacion r 2 d2 U (r) = l(l + 1), U (r) dr2

(1.109)

´ es cuya solucion U (r) ≡ Ulm (r) = Alm rl+1 + Blm r−l .

(1.110)

´ general para el potencial electrost´atico en coordenadas De acuerdo con lo anterior, la solucion esf´ericas es ¸ · +∞ X l X Blm l φ(r, θ, ϕ) = (1.111) Alm r + l+1 Ylm (θ, ϕ). r l=0 m=−l

Las constantes Alm y Blm son calculables a partir de las condiciones de frontera espec´ıficas de cada problema particular. ´ de variables en el caso de simetr´ıa esf´erica, encontremos Para ilustrar el m´etodo de separacion ´ esf´erico de radio a, sabiendo que el potencial en la superficie el potencial dentro de un cascaron ´ conocida, es decir, φ(a, θ, ϕ) = V (θ, ϕ). de la esfera es una funcion Puesto que el potencial tiene que ser finito dentro de la esfera, las constantes Blm deben ser id´enticamente nulas para todos los valores posibles de l y m. Por lo tanto φ(r, θ, ϕ) =

+∞ X l X

Alm rl Ylm (θ, ϕ).

l=0 m=−l

Pero φ(a, θ, ϕ) = V (θ, ϕ) =

+∞ X l X

Alm al Ylm (θ, ϕ).

l=0 m=−l

´ anterior por Yl∗0 m0 (θ, ϕ), integrando por las variables Luego, premultiplicando en la expresion ´ angulares y teniendo en cuenta las relaciones de ortogonalidad de los armonicos esf´ericos encontramos que Z 1 ∗ V (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) dΩ, Alm = l a de donde Z +∞ X l ³ r ´l X ∗ φ(r, θ, ϕ) = Ylm (θ, ϕ) V (θ0 , ϕ0 )Ylm (θ0 , ϕ0 ) dΩ0 . a

(1.112)

l=0 m=−l

´ buscada para el potencial en el interior del cascaron. ´ El lector puede verificar Esta es la expresion ´ V (θ, ϕ) es una constante igual a φ0 , entonces el potencial sin dificultades que cuando la funcion ´ interior al cascaron ´ esf´erico es tambi´en una constante igual a φ0 (¡demu´estrelo!). en la region c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

28

1.5. Desarrollo en multipolos del campo electrost´atico. En la mayor´ıa de los casos que se presentan en F´ısica resulta dif´ıcil encontrar representaciones ´ del problema electrost´atico. Son necesarios entonces m´etodos anal´ıticas exactas para la solucion aproximados para resolver el problema electrost´atico fundamental, entre los cuales se destaca ´ efectuaremos un el llamado desarrollo en multipolos del campo electrost´atico. En esta seccion estudio detallado de dicho procedimiento. Redefinamos las variables x, y y z como x1 , x2 y x3 , respectivamente, y efectuemos un desa´ rrollo en serie de Taylor de la expresion " 0 −1

|~r − ~r |

=

3 X

#−1/2 (xi −

xi0 )2

(1.113)

i=1

´ hasta el segundo orden del en una vecindad de ~r 0 = 0. Por simplicidad vamos a trabajar solo desarrollo. As´ı, · ¸ · ¸ 1 X ∂2 1 1 X ∂ 1 1 0 x + xi0 xj0 . (1.114) ' + i 0 0 0 0 ∂x 0 0 0 r ∂x 2 ∂x ~ ~ |~r − ~r 0 | |~ r − r | |~ r − r | i i j ~r =0 ~r =0 i,j i Es posible demostrar, mediante el c´alculo directo, que 1 ∂ xi − xi0 0 = 0 ∂xi |~r − ~r | |~r − ~r 0 |3 y que 3(xi − xi0 )(xj − xj0 ) 1 ∂2 δij = − . 0 0 5 0 0 ∂xi ∂xj |~r − ~r | |~r − ~r | |~r − ~r 0 |3 Evaluando las expresiones anteriores en ~r 0 = 0 y sustituyendo el resultado en (1.114) hallamos que · ¸ 1 1 X xi xi0 1 X xi xj δij ' + + 3 5 − 3 xi0 xj0 . 3 r r 2 r r |~r − ~r 0 | i i,j ´ Notese que ¸ ¸ X · x2 X · xi xj δij δii 3 3 i 3 5 − 3 = 3 − 3 = 0. 3 5 − 3 δij = r r r r r r i i,j Entonces ¸ ¸ · · ¢ δij 1 X xi xj δij ¡ 1 X xi xj 3 5 − 3 xi0 xj0 = 3 5 − 3 3xi0 xj0 − r02 δij . 2 i,j r r 6 i,j r r Por lo tanto, ¸ · ¢ 1 1 X xi xi0 1 X xi xj δij ¡ 0 0 ' + + − 3 3xi xj − r02 δij . 0 3 5 3 r r 6 i,j r r |~r − ~r | i c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

(1.115)

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

29

Sustituyendo (1.115) en (1.12) obtenemos finalmente que · ¸ ~p · ~r Q 1 X xi xj δij φ(~r) ' + + Dij 3 5 − 3 , 4π²0 r 4π²0 r3 24π²0 i,j r r siendo

(1.116)

Z

Q=

ρ(~r 0 )dV 0 ,

(1.117)

~r 0 ρ(~r 0 )dV 0 ,

(1.118)

R3

Z ~p = R3

y Z Dij =

R3

¡

¢ 3xi0 xj0 − r02 δij ρ(~r 0 )dV 0 .

(1.119)

1.5.1. Momenta de multipolos y algunas de sus propiedades. Las magnitudes Q, ~p y (Dij ), dadas por las expresiones (1.117), (1.118) y (1.119), reciben el nombre de momentum de monopolo el´ectrico, momentum de dipolo el´ectrico y momentum de cuadrupolo el´ectrico, respectivamente 9 . El momentum de monopolo el´ectrico coincide con la ´ de carga ρ. El momentum de dipolo el´ectrico es un vector, carga neta debido a la distribucion mientras que el momentum de cuadrupolo el´ectrico es un tensor de segundo rango en el espacio ´ matricial es precisamente (Dij ). Los momenta de multipolos tridimensional cuya representacion ´ ´ dependen unicamente de la forma de la densidad de carga ρ y de su dominio de definicion. ´ del origen de Recordemos que el valor de la densidad de carga es independiente de la eleccion ´ 1.1.2), y examinemos coordenadas (ver la Fig. 1.1 y los comentarios realizados al final de la seccion algunas de las propiedades fundamentales de los momenta de multipolos. Propiedad 1. Si Q 6= 0, existe un punto de R3 llamado centro de carga, cuyo vector de poR 1 ~r ρ(~r)dV. Si el origen de ´ con respecto al origen de coordenadas viene dado por ~rQ = Q sicion coordenadas se desplaza hacia el centro de carga, entonces ~p = 0 con respecto al nuevo origen de coordenadas. Tomemos el punto A de la Fig. 1.1 en calidad de centro de carga, y ~rA en calidad de ~rQ . El momentum de dipolo el´ectrico medido desde el centro de carga es Z Z Z Z ~p = ~r 00 ρ˜(~r 00 )dV 00 = (~r 0 −~rQ ) ρ˜(~r 0 −~rQ )dV 0 = ~r 0 ρ˜(~r 0 −~rQ )dV 0 −~rQ ρ˜(~r 0 −~rQ )dV 0 Z =

Z ~r 0 ρ(~r 0 )dV 0 − ~rQ

ρ(~r 0 )dV 0 .

Teniendo en cuenta las definiciones de Q y de ~rQ sigue inmediatamente que ~p = 0. ´ del origen de Propiedad 2. Si Q = 0 y ~p 6= 0, entonces el valor de ~p no depende de la eleccion coordenadas. Si tomamos el origen de coordenadas en el punto A de la Fig. 1.1 entonces Z ~p = ~r 00 ρ˜(~r 00 )dV 00 . 9 Las integrales en las expresiones (1.117), (1.118) y (1.119) fueron tomadas sobre todo el espacio R3 . Dado el caso en ´ de cargas est´e caracterizada por una densidad ρ definida sobre un volumen finito V ⊂ R3 , entonces que la distribucion ´ las integrales en las definiciones para los momenta de multipolos pueden ser tomadas unicamente sobre V.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

30

Si transferimos el origen de coordenadas al punto O, teniendo en cuenta la independencia de la ´ del origen de coordenadas tendremos que densidad de carga de la eleccion Z Z Z 00 00 0 0 00 0 ~p = ~r ρ˜(~r )dV = (~r − ~rA )˜ ρ(~r − ~rA )dV = ~r 0 ρ(~r 0 )dV 0 − ~rA Q. ´ Pero Q = 0 por hipotesis. En consecuencia, Z Z ~p = ~r 00 ρ˜(~r 00 )dV 00 = ~r 0 ρ(~r 0 )dV 0 , ´ del origen de coordenadas. es decir, en este caso ~p no depende de la eleccion Propiedad 3. El tensor de componentes Dij es sim´etrico y su traza es nula. ´ de Dij , Atendiendo a la definicion Z Z ¡ 0 0 ¢ ¡ 0 0 ¢ 0 02 0 Dij = 3xi xj − r δij ρ(~r )dV = 3xj xi − r02 δji ρ(~r 0 )dV 0 = Dji . Por otra parte, Tr(Dij ) =

X i

Dii =

XZ ¡

3xi0 xi0

02

− r δii

¢

Z X ¡ 0 0 ¢ ρ(~r )dV = 3xi xi − r02 δii ρ(~r 0 )dV 0 , 0

0

i

i

de donde Z X Dii = (3r02 − 3r02 )dV 0 = 0. i

1.5.2. Momenta de multipolos de una distribucion ´ de cargas puntuales. ´ de carExaminemos ahora la estructura de los momenta de multipolos para una distribucion ´ (1.4), definida para la densidad de carga asociada a gas puntuales. De acuerdo con la expresion un sistema de N cargas puntuales qa (a=1, 2, 3..., N ) localizadas en las posiciones ~ra , respectivamente, y teniendo en cuenta las expresiones (1.117), (1.118) y (1.119), es posible ver mediante una ´ directa que sustitucion X Q= qa , (1.120) a

~p =

X

qa~ra ,

(1.121)

a

y Dij =

X

¡ ¢ qa 3xai xaj − ra2 δij .

(1.122)

a

1.6. Energ´ıa del campo electrost´atico. ´ 1.1.4, la energ´ıa potencial de una carga de valor q en preComo ya hemos visto en la seccion ´ (1.16) sencia de un campo electrost´atico viene dada por la expresion U(~r) = qφ(~r). c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

31

´ 1.1.4. Examinemos m´as deEl significado f´ısico de la energ´ıa potencial quedo´ claro en la seccion talladamente esta magnitud. ´ de cargas puntuales, es decir, un Consideremos primeramente el caso de una distribucion ´ ~rj . La energ´ıa potencial de la part´ıcula i en el sistema de N part´ıculas de cargas qj en la posicion campo electrost´atico generado por las N − 1 part´ıculas restantes es Ui = qi φ(~ri ),

(1.123)

siendo φ el potencial electrost´atico debido a la presencia de las N − 1 cargas restantes, o sea, φ(~r) =

N 1 X qj . 4π²0 j = 1 |~r − ~rj |

(1.124)

j 6= i

En consecuencia Ui =

N qi X qj . 4π²0 j = 1 |~ri − ~rj |

(1.125)

j 6= i

La energ´ıa total del sistema puede ser obtenida sumando todas las contribuciones Ui desde i = 1 hasta N , pero teniendo el cuidado de no repetir t´erminos en la suma. En consecuencia, U=

N 1 X X qi qj , 4π²0 i=1 j r0 Aplicando la ley de Gauss para obtener el vector intensidad del campo el´ectrico en todo el espacio es posible demostrar que ~ r) = E(r)~er , E(~ siendo E(r) =

(1.154)

( − 4π²er0 r3

si r ≤ r0

− 4π²e0 r2

si r > r0

0

.

La densidad de energ´ıa del campo electrost´atico ser´a ( 2 2 r e si r ≤ r0 1 ~ 6 2 2 w(~r) = ²0 |E(~r)| = 32πe2 ²0 r10 , 2 si r > r0 32π 2 ²0 r 4 y la energ´ıa total del campo electrost´atico almacenada en todo el espacio ser´a Z 3e2 U= w(~r) dV = . 20π²0 r0 R3

(1.155)

(1.156)

(1.157)

´ Notese que si r0 −→ 0 entonces U −→ +∞, que es el resultado conocido para la carga puntual. ´ r0 podemos asumir que la energ´ıa almacenada en el Para estimar el valor del radio del electron ´ es justamente su energ´ıa de reposo m0 c2 , siendo campo electrost´atico producido por el electron ´ Haciendo U = m0 c2 obtenemos f´acilmente que m0 la masa propia del electron. r0 =

3e2 . 20π²0 m0 c2

(1.158)

˚ El valor de r0 dado por la ecuacion ´ ´ (1.158) recibe el nombre de Notese que r0 ≈ 1,7 × 10−5 A. ´ radio cl´asico del electron. ´ que se proponga, los valores del radio Cualquiera que sea el modelo cl´asico del electron ´ electronico obtenidos se encontrar´an en la escala subnanom´etrica. Dichos modelos no pueden, en consecuencia, ser tomados como aceptables, pues en regiones espaciales de estas dimensiones ´ el modelo cl´asico del electron ´ no puntual pola f´ısica cl´asica es en general no aplicable. M´as aun, see objeciones serias. La m´as notable de ellas est´a relacionada con la inestabilidad de un sistema de cargas el´ectricas. Para confinar las cargas el´ectricas en dimensiones tan reducidas se precisa del concurso de fuerzas descomunales que garanticen que el sistema de cargas no “explote”. Uno ´ fue H. Poincar´e, quien en un c´elebre de los primeros cient´ıficos en percatarse de esta cuestion trabajo de 1906 [8] introdujo las llamadas tensiones de Poincar´e. Las tensiones de Poincar´e no son m´as que fuerzas del tipo no el´ectricas postuladas en la teor´ıa para darle estabilidad al modelo del ´ de dimensiones finitas no nulas. El origen de las tensiones de Poincar´e es desconocido, electron pues la teor´ıa cl´asica no es capaz de responder a las cuestiones relacionadas con la naturaleza de estas fuerzas. Hoy d´ıa se han desechado la mayor´ıa de las tentativas destinadas a entender las ´ desde el punto de vista de la teor´ıa cl´asica del campo electromagn´etico. propiedades del electron ´ debe ser comLa comunidad cient´ıfica est´a casi absolutamente de acuerdo en que el electron ´ la electrodin´amica prendido, como sistema f´ısico fundamental, desde el punto de vista que solo cu´antica est´a en condiciones de ofrecer. c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

38

1.9. Problemas propuestos 1. Del octante x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0 de la bola x2 + y 2 + z 2 ≤ c2 se ha substra´ıdo el cuerpo limitado por los planos coordenados y por el plano x + yb + zc = 1 (a > 0, b > 0, c > 0, a ≤ c, b ≤ c). Halle la carga del cuerpo si la a densidad de carga es ρ(~r) = λ0 z. ~ r) = ay~i+(ax+bz)~j+by~ 2. Determine el potencial del campo electrost´atico E(~ k, siendo a y b constantes. Calcule el traµ ¶ E0 √ E0 E0 bajo realizado por el campo al llevar la carga q desde el origen de coordenadas hasta el punto a , , , b 2 2 a +b

siendo E0 otra constante. ´ de Green para el interior de un sector circular plano de radio R con condiciones de frontera de 3. Calcule la funcion Dirichlet en la frontera. ´ de Green para el interior de una bola de radio R con la condicion ´ de frontera de Dirichlet. Repita 4. Calcule la funcion ´ de frontera de Neumann. el c´alculo utilizando la condicion 5. Sea el rect´angulo seminfinito R = (0, L) × (0, +∞) y (x, y) ∈ R. Supongamos que el potencial electrost´atico es conocido ¢ en la frontera de este rect´angulo: en particular φ(0, y) = φ(L, y) = 0 ∀y ∈ (0, +∞) y φ(x, 0) = ¡ V sin 4π x ∀x ∈ (0, L). Calcule el potencial electrost´atico en el interior de R. L 6. Sea una superficie cil´ındrica de radio R y altura 2a + b cerrada en ambos extremos por dos tapas circulares de radio R conectadas a potencial cero. Supongamos adem´as que el potencial electrost´atico sobre la superficie lateral viene ´ dado por la expresion   0 si 0 < z < a ∀ϕ ∈ (0, 2π) V (ϕ, z) = V 1 si a < z < a + b ∀ϕ ∈ (0, 2π) .   0 si a + b < z < a + 2b ∀ϕ ∈ (0, 2π) Calcule el potencial electrost´atico en el conjunto que tiene como frontera exterior a la superficie dada. ´ esf´erico de radio R viene dado por la expresion ´ 7. El potencial electrost´atico sobre un cascaron ( 1 si 0 < θ < π/2 ∀ϕ ∈ (0, 2π) V (θ, ϕ) = V . 0 si π/2 < θ < π ∀ϕ ∈ (0, 2π) ´ Encuentre el potencial electrost´atico en el interior del cascaron. 8. Demuestre que el vector intensidad del campo el´ectrico correspondiente a un dipolo el´ectrico de momentum di´ polar ~ p viene dado por la expresion · ¸ ~ ~ ~ 1 p · r p ~ = E 3 5 ~r − 3 . 4π²0 r r 9. Demuestre que el vector intensidad del campo el´ectrico correspondiente a un cuadrupolo el´ectrico de momentum ´ cuadrupolar con componentes Dij posee componentes dadas por la expresion · ¸ ¢ 15 1 3 ¡ Ek = Dij xi xj xk − 5 xi δjk + xk δij + xj δki . 24π²0 r7 r 10. Demuestre que un dipolo el´ectrico puntual de momentum dipolar ~ p responde a una densidad de carga ρ = −(~ p· ´ del dipolo. ∇)δ(~r − ~r0 ), siendo ~r0 el vector de posicion 11. Sean las cargas puntuales q1 = −e situada en el punto de coordenadas (0, a, 0), q2 = e localizada en (a, 0, 0), q3 = −e ubicada en el punto (0, −a, 0) y q4 = e localizada en (−a, 0, 0). Demuestre que el momentum cuadrupolar ´ de cargas viene dado por la expresion ´ el´ectrico asociado a esta distribucion   1 0 0 (Dij ) = 6ea2 0 −1 0 . 0 0 0 ´ ´ 12. Un a´ tomo de Hidrogeno en su estado b´asico tiene la densidad de carga electronica · ¸ e 2r ρ(~r) = − 3 exp − , πa0 a0 ´ y a0 el radio de Bohr. El nucleo ´ siendo e el valor absoluto de la carga del electron se supone puntual y est´a localizado en el origen. Verifique que Z ρ(~r) dV = −e. R3

Halle el potencial escalar y el vector intensidad del campo el´ectrico en todo el espacio. Calcule la energ´ıa de inte´ electron-n ´ ´ raccion ucleo.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 1. Electrost´atica del vac´ıo

39

´ ´ 13. En cierto estado excitado del a´ tomo de Hidrogeno, la nube electronica tiene la densidad de carga, escrita en coordenadas esf´ericas, · ¸ e 2r ρ(~r) = − r4 exp − sin4 (θ). 7 8 4π3 a0 3a0 ´ Demuestre que el momentum dipolar el´ectrico del a´ tomo de Hidrogeno asociado a este estado excitado es cero. Demuestre adem´as que el momentum cuadrupolar el´ectrico en dicho estado tiene la forma   −1 0 0 −1 0 . (Dij ) = 36ea20  0 0 0 2 ´ entre el nucleo ´ ´ 14. En el problema anterior, calcule la energ´ıa de interaccion positivo y la nube electronica del a´ tomo ´ (1.132) como el desarrollo en multipolos (1.135). en el estado dado, utilizando tanto la definicion

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

C AP´I TULO 2

Magnetost´atica del vac´ıo 2.1. Principios b´asicos de la Magnetost´atica. 2.1.1. Ley de fuerzas de Ampere y ley de Biot-Savart. ´ Varios cient´ıficos contribuyeron de forma decisiva al desarrollo de la teor´ıa de los fenomenos magn´eticos. Un pionero destacado fue Hans Christian Ørsted, quien en el verano de 1820 dio a ´ de una coconocer, en una carta que circulo´ por Europa, la evidencia experimental sobre la accion ´ en Francia, donde rriente el´ectrica sobre una aguja imantada [9]. La noticia tuvo gran repercusion ˜ A. M. Ampere se desempenaba como profesor de Matem´aticas en la Escuela Polit´ecnica de Paris. Enterado del descubrimiento de Ørsted y con escasos conocimientos previos sobre F´ısica Experimental, Ampere se propuso la tarea de elaborar una teor´ıa matem´atica que permitiese explicar la ´ entre corrientes el´ectricas y campos magn´eticos. Tres meses despu´es llego´ a resultados interaccion [10], y en 1827 publico´ un completo trabajo sobre el tema [11]. Fue precisamente Ampere quien por primera vez utilizara el vocablo corriente para designar el ´ movimiento ordenado de cargas por un conductor met´alico. Si tenemos un conductor con seccion ´ a la cantidad transversal S 1 , la corriente I que circula por el conductor es igual, por definicion, de carga Q que por unidad de tiempo atraviesa la superficie S, es decir, dQ . dt

I=

(2.1)

Resulta de gran utilidad definir el vector densidad de corriente ~J tal que ZZ ~J · ~n dS, I=

(2.2)

S

o sea, la corriente I es el flujo del vector densidad de corriente ~J a trav´es de la superficie abierta S. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad utilizada para medir la corriente el´ectrica es el Ampere (A), en honor al c´elebre f´ısico-matem´atico franc´es. Para un sistema de N part´ıculas puntuales el vector densidad de corriente se define como ~J =

N X

qi ~vi δ (~r − ~ri ) ,

(2.3)

i=1

´ respectivamente, de la i-´esima siendo qi , ~vi y ~ri la carga, la velocidad y el vector de posicion, ´ part´ıcula cargada del sistema. Para una carga simple de valor q, velocidad ~v y vector de posicion ~r0 se tendr´a entonces que ~J = q~vδ (~r − ~r0 ) = ρ~v, 1 Notese ´

(2.4)

que la superficie S es abierta.

40

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

41

donde ρ es la densidad de carga asociada a dicha part´ıcula. ´ entre dos corrientes se conoce como ley de fuerzas de La ley f´ısica que describe la interaccion Ampere o primera ley de Ampere. En el lenguaje de las matem´aticas modernas dicha ley puede enunciarse m´as o menos as´ı: supongamos que tenemos dos espiras “a” y “b” en el vac´ıo por las cuales circulan sendas corrientes estacionarias (independientes del tiempo) Ia e Ib , respectiva´ sobre la espira “b” debido a la presencia mente, como se muestra en la Fig. 2.1. La fuerza que actua

Figura 2.1: Dos espiras “a” y “b” por las cuales circulan las corrientes Ia e Ib , respectivamente, ´ a trav´es del campo magn´etico generado por dichas corrientes. interactuan de la espira “a” es ~ ab F

h i Z Z dl ~ b × dl ~ a × (~rb − ~ra ) µ0 Ia Ib = °° , 4π |~rb − ~ra |3 a b

(2.5)

´ siendo µ0 la permeabilidad magn´etica del vac´ıo definida por la relacion √

²0 µ0 =

1 c

(2.6)

´ de las ondas electromagn´eticas en el vac´ıo medida con respecto y c es la velocidad de propagacion ´ se asume de manera a cualquier sistema inercial de referencia. Aqu´ı el principio de superposicion natural, pues la fuerza que la espira “a” ejerce sobre la espira “b” es la suma (integral) de la fuerza que ejerce la espira “a” sobre cada elemento diferencial de la espira “b”. ´ (2.5) puede ser reescrita como La expresion · ¸ Z Z µ 0 Ia (~rb − ~ra ) ~ ~ ~ Fab = Ib ° dlb × ° dla × . 4π |~rb − ~ra |3 b a Definamos el vector Z ~ a × (~r − ~ra ) . ~ r) = µ0 Ia ° dl B(~ 4π a |~r − ~ra |3 c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

(2.7)

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

42

Entonces

Z ~ b × B(~ ~ ab = Ib ° dl ~ rb ). F

(2.8)

b

Las expresiones (2.5), (2.7) y (2.8) han sido escritas para el llamado caso filiforme, en el cual la corriente circula por una linea conductora de a´ rea cero. La ley de fuerzas de Ampere puede formularse de manera m´as general, con la ayuda del vector densidad de corriente ~J, cuando la corriente est´a definida sobre un conjunto V ⊂ R3 . Supongamos que tenemos dos vectores densidad de corriente ~J0 y ~J definidos sobre los conjuntos ´ entre las dos corrientes ser´a V0 y V, respectivamente. La fuerza de interaccion ¡ ¢ Z Z ~J(~r 0 ) × ~r − ~r 0 µ0 0~ ~ dV dV J0 (~r) × F= . (2.9) 4π V0 |~r − ~r 0 |3 V Definiendo ~ r) = µ0 B(~ 4π

Z

¡ 0¢ ~J(~r 0 ) × ~r − ~r dV |~r − ~r 0 |3 V

0

puede verse claramente que Z ~ = ~J0 (~r) × B(~ ~ r) dV. F

(2.10)

(2.11)

V0

~ recibe el nombre de vector de induccion ´ magn´etica, y es el responsable de caracteEl vector B ´ entre las corrientes a rizar al campo, denominado campo magn´etico, que propaga la interaccion trav´es del vac´ıo. Las expresiones (2.7) y (2.10) son las expresiones matem´aticas para la denominada ley de Biot-Savart para el caso filiforme y para el caso volum´etrico, respectivamente. Aunque ´ conveniente, la hisaqu´ı nosotros hemos presentado la ley de Biot-Savart como una definicion toria real del descubrimiento de esta ley es algo diferente. La ley de Biot-Savart fue establecida experimentalmente por Jean Baptiste Biot y su ayudante Felix Savart en 1820 [12]. Ellos encon´ entre un im´an permanente traron experimentalmente la dependencia de la fuerza de interaccion y un conductor recto, conectado a una pila de Volta, por el cual circulaba una corriente el´ectrica ´ moderna de la ley de Biot-Savart que hemos presentado constante en el tiempo. La formulacion puede obtenerse f´acilmente a partir de los resultados originales de Biot y su ayudante. Una primera mirada a la ley de Biot-Savart establece que el campo magn´etico es originado en primera instancia por una corriente el´ectrica, resultado que corroboraremos m´as adelante. Con ~ es una fuer´ a la expresion ´ (2.11) debemos hacer un comentario aclaratorio: la fuerza F relacion ´ entre la corriente de densidad ~J0 y la corriente de densidad ~J generadora del za de interaccion ~ o en otras palabras, ~J0 no es la fuente de B ~ en la expresion ´ (2.11). Utilizando campo magn´etico B, ´ entre la las expresiones (2.9), (2.10) y (2.11) el lector puede demostrar que la fuerza de interaccion corriente de densidad ~J0 y el campo magn´etico generado por la corriente de densidad ~J es exac´ entre la corriente de densidad ~J y el campo magn´etico generado tamente la fuerza de interaccion ~ por la corriente de densidad J0 , pero con signo contrario, es decir, se satisface la tercera ley de Newton en este caso.

2.1.2. Vector potencial magn´etico y transformaciones de calibracion. ´ ´ (2.10) para la ley de Biot-Savart. Notese ´ Analicemos la expresion que · ¸ 0 ~r − ~r 1 . 0 3 = −∇ |~r − ~r | |~r − ~r 0 | c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

43

En consecuencia ~ r) = − µ 0 B(~ 4π

·

Z ~J(~r 0 ) × ∇ V

¸ 1 dV 0 . |~r − ~r 0 |

Pero "

# ¸ · ~J(~r 0 ) ∇ × ~J(~r 0 ) 1 ∇× × ~J(~r 0 ) + =∇ . 0 0 |~r − ~r | |~r − ~r | |~r − ~r 0 | ´ solamente ´ Puesto que el operador ∇× actua sobre la variable ~r entonces ∇ × ~J(~r 0 ) = 0. Por lo tanto " # · ¸ · ¸ ~J(~r 0 ) 1 1 ~J(~r 0 ) = −~J(~r 0 ) × ∇ ∇× = ∇ × . |~r − ~r 0 | |~r − ~r 0 | |~r − ~r 0 | As´ı, ~ r) = µ0 B(~ 4π

Z

"

~J(~r 0 ) ∇× |~r − ~r 0 | V

#

"

µ0 dV = ∇ × 4π

Z

0

V

~J(~r 0 ) dV |~r − ~r 0 |

Definamos el vector Z ~ 0 µ0 J(~r ) ~ A(~r) = dV 0 . 4π V |~r − ~r 0 |

# 0

.

(2.12)

Entonces ~ r) = ∇ × A(~ ~ r), B(~

(2.13)

~ guarda una ´ magn´etica es un campo vectorial solenoidal. El vector A es decir, el vector induccion sorprendente analog´ıa con el potencial escalar que estudiamos en el cap´ıtulo anterior [ver expre´ (1.12)]. Por analog´ıa este vector recibe el nombre de potencial vectorial del campo magn´etico, sion o simplemente vector potencial magn´etico. ~ 0yA ~ tales que Sean los vectores A ~ 0=A ~ + ∇Ψ, A

(2.14)

´ de clase C 2 (posee hasta segundas derivadas parciales continuas) en su siendo Ψ una funcion ´ dominio. Notese que 0

~ =∇×A ~ = B, ~ ∇×A ~ 0yA ~ conducen al mismo resultado f´ısico para B. ~ El potencial magn´eties decir, los vectores A ´ de clase C 2 en co vectorial est´a, en consecuencia, indeterminado en el gradiente de una funcion ´ Esta indeterminacion ´ puede ser util ´ para la teor´ıa, como veremos m´as su dominio de definicion. abajo, a la hora de encontrar ecuaciones sencillas para el potencial magn´etico vectorial. Las trans´ La utilidad de formaciones del tipo (2.14) reciben el nombre de transformaciones de calibracion. ´ magn´etica es invariante ante estas transformaciones reside en el hecho de que el vector induccion ~ 0yA ~ conducen al mismo resultado para B). ~ ´ (A transformaciones de calibracion c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

44

´ de transformacion ´ de calibracion ´ es el siguiente: Consideremos la transforUn ejemplo util ~ ~ 0 = 0. ´ de calibracion ´ (2.14) con A conocido, y supongamos que necesitamos que ∇ · A macion ~ Si cierto vector po´ ∇2 Ψ = −∇ · A. Entonces basta encontrar Ψ tal que cumpla con la condicion ~ ~ ´ ∇ · A = 0, se dice que dicho vector pertenece a la tencial magn´etico A satisface la condicion ´ de Coulomb. calibracion ~ y A. ~ Encontremos ahora algunas ecuaciones diferenciales adicionales para las magnitudes B ´ magn´etica es un campo vectorial solenoidal. Es evidente Como ya vimos, el vector induccion entonces que ~ = 0, ∇·B

(2.15)

´ (2.13). Por otra parte, de lo cual es f´acil convencerse tomando divergencia en la expresion ³ ´ ³ ´ ~ =∇× ∇×A ~ =∇ ∇·A ~ − ∇2 A. ~ ∇×B ~ no se altera al efectuar una transformacion ´ de calibracion, ´ Puesto que el resultado para el vector B ´ de Coulomb, en virtud de lo cual podemos entonces trabajar en la calibracion ~ = −∇2 A. ~ ∇×B

(2.16)

Pero, de acuerdo con (2.12), · ¸ Z Z ~ r 0) µ0 µ0 1 0 2 J(~ 0 2 ~ ∇ A= ∇ dV = J(~r )∇ dV 4π V 4π V |~r − ~r 0 | |~r − ~r 0 | Z ¡ ¢ ~J(~r 0 )δ ~r − ~r 0 dV 0 , = −µ0 2~

0

V

~ satisface la ecuacion ´ vectorial A ´ de Poisson es decir, la fucion ~ r) = −µ0~J(~r). ∇2 A(~

(2.17)

Es evidente que en regiones del espacio donde la densidad de corriente no est´e definida el poten´ de la ecuacion ´ de Laplace cial vectorial megn´etico ser´a solucion ~ r) = 0. ∇2 A(~

(2.18)

Sustituyendo (2.17) en (2.16) hallamos ~ = µ0~J(~r). ∇×B

(2.19)

Las ecuaciones (2.15) y (2.19) son conocidas con el nombre de ecuaciones de Maxwell para la magnetost´atica en honor al f´ısico escoc´es James Clerk Maxwell, quien sintetizara y generalizara en su tiempo toda la obra precedente sobre electricidad y magnetismo [13]. La primera nos ´ magn´etica es un campo vectorial solenoidal, o indica, como ya se dijo, que el vector induccion ~ ´ llamada tambi´en segunda en otras palabras, las lineas de B son cerradas. La segunda ecuacion, ley de Ampere (o simplemente ley de Ampere), establece claramente el origen del campo magnetost´atico en las corrientes el´ectricas estacionarias, es decir, una corriente el´ectrica estacionaria producir´a siempre un campo magn´etico vorticial.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

45

2.2. Fuerza de Lorentz. ´ sobre una distribucion ´ de cargas con una densidad de Como ya vimos, la fuerza que actua ~ viene dada por ´ con un campo magn´etico de induccion ´ B corriente ~J producto de su interaccion ´ la expresion Z ~ ~ r) dV. F = ~J(~r) × B(~ (2.20) ~ se le denomina en ocasiones componente magn´etica de la fuerza de Lorentz, A la magnitud F y a la magnitud ~f (~r) = ~J(~r) × B(~ ~ r)

(2.21)

se le llama componente magn´etica de la densidad de fuerza de Lorentz. Si conjuntamente con un campo magn´etico estamos tambi´en en presencia de un campo el´ectri~ entonces la fuerza total que actua ´ sobre la distribucion ´ de carga, caracterizada co de intensidad E, adem´as por la densidad de carga ρ, es Z h i ~ = ~ r) + ~J(~r) × B(~ ~ r) dV. F ρ(~r)E(~ (2.22) Esta es la llamada fuerza de Lorentz. Obviamente la densidad de fuerza de Lorentz es ~f = ρ(~r)E(~ ~ r) + ~J(~r) × B(~ ~ r).

(2.23)

Supongamos que tenemos una part´ıcula puntual de carga q movi´endose con una velocidad ~v ~ y de un campo magn´etico de induccion ~ ´ B, en presencia de un campo el´ectrico de intensidad E ambos uniformes y constantes. Como sabemos, la densidad de carga asociada a la part´ıcula es ρ(~r) = qδ [~r − ~r0 (t)] . ´ El vector densidad de corriente asociado a la part´ıcula viene dado por la expresion ~J(~r, t) = q~v(t)δ [~r − ~r0 (t)] ,

(2.24)

´ de la part´ıcula, la cual es en general una funcion ´ del tiempo 2 . La fuerza de siendo ~r0 la posicion ´ sobre la part´ıcula tiene la forma Lorentz que actua Z h i ~ =q ~ r) + ~v × B(~ ~ r) δ [~r − ~r0 (t)] dV, F E(~ o bien

n o ~ ~ [~r0 (t)] + ~v(t) × B ~ [~r0 (t)] . F(t) =q E

~ yB ~ son uniformes y constantes, entonces Puesto que los campos E h i ~ ~ + ~v(t) × B ~ . F(t) =q E

(2.25)

(2.26)

2 Aunque el vector densidad de corriente asociado a la part´ıcula puntual es una funcion ´ del tiempo, las leyes de la electrost´atica y la magnetost´atica son suficientes aqu´ı para estudiar el problema del movimiento de una part´ıcula cargada en presencia de campos el´ectricos y magn´eticos uniformes y constantes al menos en una primera aproximaci´on. Riguro´ part´ıcula-campo acelera a la part´ıcula, produciendo la emision ´ de radiacion ´ samente hablando, la fuerza de interaccion electromagn´etica que debe ser tenida en cuenta en las ecuaciones. Este problema ser´a considerado someramente en el ´ cap´ıtulo dedicado a la teor´ıa de la radiacion.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

46

2.2.1. Part´ıcula cargada en presencia de un campo magn´etico. Consideremos una part´ıcula de carga q en presencia de un campo magn´etico uniforme y cons´ y velocidad iniciales (en t = 0) dadas por ~r(0) = 0 y ~v(0) = ~v0 = (v0x , 0, v0z ), tante, con posicion ~ = (0, 0, B). Nuestro objetivo es respectivamente. Sin p´erdida de generalidad supongamos que B encontrar la ley de movimiento no relativista de la part´ıcula. De acuerdo con la segunda ley de Newton, ~ m~v˙ = q~v × B, ´ anterior se obtiene inmediatamente el sistema siendo m la masa de la part´ıcula. De la expresion de ecuaciones diferenciales   v˙ x = ωc vy (2.27) v˙ y = −ωc vx ,   v˙ z = 0 siendo qB (2.28) m ´ ´ ´ la denominada frecuencia ciclotronica. Notese que el movimiento de la part´ıcula en la direccion del campo magn´etico no es afectado por la presencia de dicho campo. Por otra parte, derivando ´ para v˙ y obtenemos v˙ x con respecto al tiempo y sustituyendo en el resultado la expresion ωc =

v¨x + ωc2 vx = 0. ´ diferencial anterior es de f´acil resolucion. ´ Teniendo en cuenta todo lo anterior, la La ecuacion ´ final para la velocidad de la part´ıcula en funcion ´ del tiempo es solucion   vx (t) = v0x cos(ωc t) (2.29) vy (t) = −v0x sin(ωc t) ,   vz (t) = v0z ´ de la part´ıcula en funcion ´ del tiempo es y la posicion  v0x  x(t) = ωc sin(ωc t) y(t) = vω0xc [cos(ωc t) − 1] .   z(t) = v0z t

(2.30)

Puede verse que la trayectoria de la part´ıcula en el espacio de las velocidades es una circunferencia, con centro en el eje vz , de radio |v0x | que est´a contenida en un plano paralelo al plano (vx , vy ) separado una distancia |v0z | de e´ l, o sea, ( 2 vx2 + vy2 = v0x . (2.31) vz = v0z En el espacio de las coordenadas tenemos que  ³ ´2  2 x + (y + y0 )2 = vω0xc , z = v t

(2.32)

0z

v0x ωc

´ del centro de la orbita ´ ´ la posicion ciclotronica. Las expresiones (2.32) describen ¯ ¯ ¯ v0x ¯ una helicoide de radio ¯ ωc ¯ cuyo eje es paralelo al eje z y pasa por el punto (0, −y0 , 0).

siendo y0 =

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

47

2.2.2. Carga oscilante en presencia de un campo magn´etico. Consideremos una part´ıcula oscilante de masa m y carga q que oscila con una frecuencia propia ω0 . Al conectar un campo magn´etico externo uniforme y constante la frecuencia del oscilador ´ cl´asica al fenomeno ´ se desdobla en dos frecuencias. Este hecho es una aproximacion conocido como efecto Zeeman. Calculemos dichas frecuencias, y supongamos para ello que el de vector ~ = (0, 0, B). La segunda ley de Newton para el oscilador en ´ magn´etica tiene la forma B induccion presencia del campo magn´etico externo tiene la forma d~p ~ − mω 2~r, = q~v × B 0 dt

(2.33)

o bien q ~ ~¨r + ω02~r = ~v × B. m De aqu´ı resulta el sistema de ecuaciones diferenciales   ¨ + ω02 x = ωc y˙ x y¨ + ω02 y = −ωc x˙ .   z¨ + ω02 z = 0

(2.34)

´ ´ de aplicacion ´ del campo magn´etico no es afectado por la Notese que el movimiento en la direccion ´ z la ecuacion ´ del movimiento continua ´ siendo presencia de dicho campo, es decir, en la direccion ´ de un oscilador armonico ´ la ecuacion simple con frecuencia propia ω0 . √ ´ por i = −1 y sumeEn el sistema de ecuaciones (2.34) multipliquemos la segunda ecuacion mos el resultado con la primera. Despu´es de hacerlo hallamos x ¨ + i¨ y + iωc (x˙ + iy) ˙ + ω02 (x + iy) = 0. Definiendo τ (t) = x(t) + iy(t)

(2.35)

encontramos que τ¨ + iωc τ˙ + ω02 τ = 0.

(2.36)

´ diferencial de Euler con coeficientes constantes, cuyo polinomio caracter´ısEsta es una ecuacion tico en la variable k es k 2 − ωc k − ω02 = 0, con ra´ıces ωc k± = ± 2

r ω02 +

ωc2 . 4

´ en el plano perpendicular al campo Las nuevas frecuencias de los modos normales de oscilacion magn´etico aplicado ser´an entonces Ω± = |k± |, o bien r ωc ω2 (2.37) Ω± = ω02 + c ± . 4 2 c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

48

Si el campo magn´etico es d´ebil (ω0 À

ωc 2 )

entonces

ωc . 2 ´ en el plano Para campos magn´eticos fuertes (ω0 ¿ ω2c ) uno de los modos normales de oscilacion perpendicular al campo magn´etico desaparece, y el modo sobreviviente oscila con una frecuencia ´ igual a la frecuencia ciclotronica. El lector puede continuar el desarrollo del problema y encontrar la ley de movimiento ~r = ~r(t) para el sistema considerado (¡int´entelo!). Ω± = ω0 ±

2.3. Desarrollo en multipolos para el campo magnetost´atico. ´ de corriente con vector densidad ~J distribu´ıda Supongamos que tenemos una distribucion 3 ´ (2.12), sobre todo el espacio R . De acuerdo con la definicion Z 0 ~J(~r ) ~ r) = µ0 A(~ dV 0 . (2.38) 4π R3 |~r − ~r 0 | ~ no altera el resultado f´ısico ´ de una calibracion ´ espec´ıfica para A Ya sabemos que la eleccion ~ ´ magn´etica B. Trabajemos entonces en la calibracion ´ de Coupara el c´alculo del vector induccion ~ = 0. Teniendo en cuenta (2.38), lomb ∇ · A " # Z ~J(~r 0 ) µ 0 ~ = ∇·A ∇· dV 0 = 0. (2.39) 4π R3 |~r − ~r 0 | ´ Notese que 3 " # " # ~J(~r 0 ) ~J(~r 0 ) 0 = −∇ · . ∇· |~r − ~r 0 | |~r − ~r 0 | En consecuencia ~ = − µ0 ∇·A 4π

Z

"

~J(~r 0 ) ∇ · |~r − ~r 0 | R3 0

(2.40)

# dV 0 = 0,

o bien, aplicando el teorema de Gauss-Ostrogradsky, ZZ ~J(~r 0 ) · ~n dS 0 = 0, l´ım ° R→+∞ S(R) |~ r − ~r 0 |

(2.41)

(2.42)

3 Supongamos que tenemos la funcion ´ vectorial ~f = ~f (~r,~r 0 ). Sea ξ~ = ~r − ~r 0 . Entonces ~f = ~f (ξ~ + ~r 0 ,~r 0 ), o bien ~f = ~f (~r,~r − ξ). ~ Notese ´ que

∂f1 ∂x1 ∂f2 ∂x2 ∂f3 ∂x3 ∇ξ · ~f = + + = ∇ · ~f . ∂x1 ∂ξ1 ∂x2 ∂ξ2 ∂x3 ∂ξ3 Por otra parte ∂f1 ∂x01 ∂f2 ∂x02 ∂f3 ∂x03 ∇ξ · ~f = + + = −∇ 0 · ~f . ∂x01 ∂ξ1 ∂x02 ∂ξ2 ∂x03 ∂ξ3 De aqu´ı se concluye que ∇ · ~f = −∇ 0 · ~f .

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

49

siendo S(R) una superficie esf´erica de radio R. Para que el l´ımite anterior sea efectivamente nulo es necesario que ~J(~r 0 ) · ~n tienda a cero lo suficientemente r´apido cuando r 0 tiende a infinito 4 . Igualando (2.39) y (2.41) hallamos " # " # Z Z ~J(~r 0 ) ~J(~r 0 ) µ0 µ0 0 0 ∇· dV = − ∇ · dV 0 , 4π R3 4π R3 |~r − ~r 0 | |~r − ~r 0 | ´ anterior, vemos que de donde, transformando los integrandos en la expresion Z

0 ~J(~r 0 ) · ~r − ~r dV 0 = 0 3 |~r − ~r | R3

Z

0 ~J(~r 0 ) · ~r − ~r dV 0 − 0 3 |~r − ~r | R3

Z R3

∇ 0 · ~J(~r 0 ) dV 0 , |~r − ~r 0 |

y en consecuencia, Z R3

∇ 0 · ~J(~r 0 ) dV 0 = 0. |~r − ~r 0 |

Es evidente entonces que ∇ · ~J = 0,

(2.43)

es decir, el vector densidad de corriente es un campo vectorial solenoidal 5 . Sea entonces un vector densidad de corriente ~J tal que ~J · ~n tiende al menos exponencialmente a cero cuando r → +∞ y cuya divergencia es nula (∇ · ~J = 0) en todo el espacio. Como sabemos ´ (1.115) del Cap´ıtulo anterior], [ver la expresion 1 1 ~r · ~r 0 + 3 + ... . 0 ' r r |~r − ~r | Sustituyendo en (2.38) hallamos Z Z ¡ ¢ ~ r) ' µ 0 ~J(~r 0 ) dV 0 + µ0 ~r · ~r 0 ~J(~r 0 ) dV 0 + ... . A(~ 3 4πr R3 4πr R3

(2.44)

Analicemos separadamente cada parte del miembro derecho de (2.44). Efectuando una analog´ıa con el desarrollo en multipolos para el potencial electrost´atico, el t´ermino proporcional a 1r es ´ del monopolo magn´etico al potencial vectorial. Estudiemos primeramente este la contribucion t´etmino y para ello calculemos cada componente de la integral de ~J. Utilizaremos aqu´ı el convenio de suma de Einstein, es decir, entenderemos que se suma sobre los ´ındices repetidos. Z Z Z Z Z ∂ ∂Jk ∂xi dV = (Jk xi ) dV − xi dV. Ji dV = Jk δki dV = Jk ∂x ∂x ∂x 3 3 3 3 3 k k k R R R R R 4 Esta condicion ´ se satisface de manera trivial para corrientes acotadas definidas en un conjunto finito de R3 , pues tales ´ de ~ corrientes son nulas fuera del dominio de definicion J y, en consecuencia, nulas en el infinito. Hasta donde he podido ´ saber, los unicos casos f´ısicamente realizables que conducen a densidades de corrientes con valores finitos en todo R3 ´ son aquellos relacionados con el movimiento cu´antico de part´ıculas cargadas en potenciales centrales coulombianos. Aun en estos casos la densidad de corriente tiende exponencialmente a cero a medida que la carga se aleja del centro (v´eanse ´ por ejemplo los problemas 7 y 8 al final de este Cap´ıtulo). Para nuestros propositos en el presente Cap´ıtulo es suficiente considerar que ~ J(~r 0 ) · ~ n tiende exponencialmente a cero cuando r 0 tiende a infinito. 5 Esta afirmacion ´ es v´alida unicamente ´ para el caso est´atico, como veremos en el Cap´ıtulo 3.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo Puesto que

∂Jk ∂xk

≡ ∇ · ~J = 0 se tiene que

Z

Z Ji dV =

R3

50

R3

ZZ ∂ ~r ~J(~r) · ~n dS = 0. (Jk xi ) dV = l´ım ° R→+∞ S(R) ∂xk

´ del monopolo magn´etico al potencial vectorial del campo es, en consecuencia, La contribucion nula 6 . ´ Consideremos ahora el segundo t´ermino en el desarrollo (2.44). Este t´ermino es la contribucion ~ del dipolo magn´etico al potencial vectorial del campo, y lo denotaremos como Am . As´ı, Z ¡ ¢ µ0 ~ ~r · ~r 0 ~J(~r 0 ) dV 0 . (2.45) Am = 4πr3 R3 Transformemos el t´ermino anterior. Se sabe que h i i ¡ h ¢ ~r × ~r 0 × ~J(~r 0 ) = ~r 0 ~r · ~J(~r 0 ) − ~r · ~r 0 ~J(~r 0 ). Luego Z

Z h i ~r 0 ~r · ~J(~r 0 ) dV 0 −

Z h i ~r × ~r 0 × ~J(~r 0 ) dV 0 =

(2.46)

R3

R3

R3

¡ ¢ ~r · ~r 0 ~J(~r 0 ) dV 0 .

Pero Z h i ~r 0 ~r · ~J(~r 0 ) dV 0 ≡

Z

R3

R3

Z = R3

∂ [xl Ji xl0 xk0 ] dV 0 − ∂xi0

Z xl Jl xk0 dV 0 = Z R3

(xl xl0 )

µ

Z R3

xl Ji δil xk0 dV 0 =

R3

xl Ji

∂xl0 ∂xi0

¶ xk0 dV

0

∂ [Ji xk0 ] dV 0 . ∂xi0

Puesto que Z ZZ ¡ ¢ ∂ 0 0 0 ~r · ~r 0 ~r ~J · ~n dS 0 = 0, [x J x x ] dV = l´ ım ° l i l k 0 R→+∞ S(R) R3 ∂xi entonces Z

Z Z h i ∂ 0 0 0 ~r 0 ~r · ~J(~r 0 ) dV 0 ≡ − (xl xl0 )δik Ji dV (xl xl ) [Ji xk ] dV = − ∂xi0 R3 R3 R3 Z Z Z ¡ ¢ ∂Ji 0 0 0 ~r · ~r 0 ~J(~r 0 ) dV 0 . − (xl xl0 )xk0 dV = − (x x )J dV ≡ − l k l 0 ∂xi R3 R3 R3

Sustituyendo en (2.46) hallamos Z Z h i 0 0 0 ~ ~r × ~r × J(~r ) dV = −2 R3

0

¡ ¢ ~r · ~r 0 ~J(~r 0 ) dV 0 ,

R3

de donde ¸ · Z Z Z h i ¡ 1 1 0¢ ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ ~ ~r · ~r J(~r ) dV = − ~r × ~r × J(~r ) dV = ~r × J(~r ) dV × ~r. 2 R3 2 R3 R3 6 Pese a los extraordinarios esfuerzos destinados a determinar experimentalmente la existencia en la naturaleza del monopolo magn´etico, todos los intentos han sido infructuosos hasta ahora.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

51

De esta manera, · Z ¸ 0 ~ m = µ0 1 ~J(~r 0 ) dV 0 × ~r. ~ r × A 4πr3 2 R3 Definamos 1 ~ = m 2

Z ~r × ~J(~r) dV.

(2.47)

R3

´ de corrientes de Este es el llamado momentum de dipolo magn´etico asociado a la distribucion densidad ~J. El lector puede demostrar que, debido a la ausencia del monopolo magn´etico, el mo´ del origen de coordenadas (¡int´entelo!). mentum de dipolo magn´etico no depende de la eleccion ´ Notese tambi´en que si la densidad de corriente est´a localizada en un volumen V ⊂ R3 entonces las integrales en las expresiones anteriores pueden ser tomadas sobre V sin ninguna dificultad. ~ el potencial vectorial del campo en la aproximacion ´ de m ´ dipolar De acuerdo con la definicion ´ magn´etica viene dado por la expresion ~ × ~r ~ m = µ0 m A . 4π r3

(2.48)

´ magn´etica correspondiente a esta aproximacion ´ ser´a El vector induccion · µ ¶ ¸ ~ × ~r) 1 ~m =∇×A ~ m = µ0 ∇ × (m ~ × ~r) . B +∇ × (m 3 4π r r3 ¡ ¢ ~ × ~r) = 2m ~ y ∇ r13 = −3 r~r5 . En consecuencia Pero ∇ × (m · ¸ ~ · ~r ~ µ0 m m ~ Bm = 3 5 ~r − 3 . 4π r r

(2.49)

´ Notese la analog´ıa entre este resultado y el obtenido para el campo electrost´atico del dipolo el´ectrico [ver el enunciado del problema 8 del Cap´ıtulo 1].

2.3.1. Momentum magn´etico de un sistema de part´ıculas puntuales. ´ Para un sistema de part´ıculas puntuales la densidad de corriente viene dada por la expresion X ~J(~r) = qi ~vi δ (~r − ~ri ) . i

´ En consecuencia, de acuerdo con la formula (2.47), Z X 1 1X ~ = m qi~r × ~vi δ (~r − ~ri ) dV = qi~ri × ~vi , 2 R3 i 2 i o bien ~ = m

1 X qi ~ri × ~pi , 2 i mi

siendo mi la masa de la i-´esima part´ıcula del sistema y ~pi su respectivo momentum lineal. Te~ i = ~ri × ~pi niendo en cuenta que el momentum angular de la i-´esima part´ıcula se define como L hallamos que 1 X qi ~ ~ = m Li . (2.50) 2 i mi c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

52 ³

Para un sistema de part´ıculas id´enticas ~ = m

qi mi

=

q m0

´ ∀i se tiene

q ~ L, 2m0

(2.51)

siendo ~ = L

X

~i L

i

´ (2.51) recibe el nombre de el momentum angular total del sistema de part´ıculas. La expresion ´ giromagn´etica. La mec´anica cu´antica permite obtener una generalizacion ´ de la relacion ´ relacion giromagn´etica, ya sea para un sistema de part´ıculas id´enticas o para una part´ıcula simple. Dicha ´ es generalizacion ~ ~ = GL. m

(2.52)

´ giromagn´etica, y puede obtenerse mediante la expresion ´ La constante G recibe el nombre de razon G=g

q , 2m0

(2.53)

siendo 1 ≤ g ≤ 2 el denominado factor de Land´e. En el l´ımite cl´asico se tiene que g = 1. Si q y m0 ~ se corresponde ´ respectivamente, y si g = 2, entonces m son la carga y la masa propia del electron, ´ con el momentum magn´etico de spin del electron.

2.4. Energ´ıa de interaccion ´ entre una corriente y un campo magn´etico exterior a ella. ¡ ¢ ~ ext = A1 , A2 , A3 ´ V ⊂ R3 y sea A Sea una corriente de densidad ~J definida sobre la region ext ext ext ~ ext no es la fuente el potencial magn´etico vectorial de un campo magn´etico externo a ~J (es decir, A ´ entre la corriente de densidad ~J y el campo magn´etico externo se de ~J). La energ´ıa de interaccion define como Z ~ ext (~r) dV. WI = − ~J(~r) · A (2.54) V

´ es v´alida aun ´ para casos no estacionarios. En general la fuerza de interaccion ´ entre Esta definicion ~ ´ el sistema de corrientes J y el campo magn´etico externo puede obtenerse a partir de la expresion ~ = −∇r WI + d ∇v WI . F dt

(2.55)

siendo ∇r el operador gradiente tomado con respecto a las coordenadas de las part´ıculas que conforman la corriente de densidad ~J y ∇v el operador gradiente tomado con respecto a las componentes del vector velocidad de dichas part´ıculas. Se asume que en general la energ´ıa de ´ WI puede ser una funcion ´ param´etrica de las coordenadas y de la velocidad de las interaccion part´ıculas cargadas que conforman la corriente de densidad ~J. ´ de las expresiones (2.54) y (2.55) al caso de una part´ıcula puntual de Ilustremos la aplicacion carga q que se mueve con una velocidad ~v, con respecto a cierto observador inercial, en presencia

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

53

de un campo magn´etico uniforme y constante. Debido a que la densidad de corriente en este caso tiene la forma ~J(~r) = q~vδ (~r − ~r0 ) , ´ ser´a, de acuerdo con (2.54), entonces la energ´ıa de interaccion ~ ext (~r0 ), WI = −q~v · A ´ entre el campo y la carga vendr´a dada por la expresion ´ mientras que la fuerza de interaccion i h i h ~ ext (~r0 ) . ~ = q∇r ~v · A ~ ext (~r0 ) − q d ∇v ~v · A F 0 dt Pero

(2.56)

h i ~ ext (~r0 ) = A ~ ext (~r0 ). ∇v ~v · A

Luego, h i d ~ ext (~r0 ) = d A ~ ext (~r0 ) = d~r0 · ∇r A ~ ext (~r0 ), ∇v ~v · A 0 dt dt dt es decir, h i d ~ ext (~r0 ) = ~v · ∇r A ~ ext (~r0 ). ∇v ~v · A 0 dt

(2.57)

Por otra parte, h i h i ~ ext (~r0 ) = ~v · ∇r A ~ ext (~r0 ) + A ~ ext (~r0 ) · ∇r ~v + ~v × ∇r × A ~ ext (~r0 ) ∇r0 ~v · A 0 0 0 ~ ext (~r0 ) × (∇r × ~v) . +A 0 ~ ext (~r0 ) = B. ~ Entonces Pero ∇r0 ~v = 0, ∇r0 × ~v = 0 y ∇r0 × A h i ~ ext (~r0 ) = ~v · ∇r A ~ ext (~r0 ) + ~v × B. ~ ∇r0 ~v · A 0

(2.58)

Sustituyendo (2.57) y (2.58) en (2.56) obtenemos finalmente que ~ = q~v × B. ~ F Esta es la parte magn´etica de la fuerza de Lorentz que, como ya hemos visto, es la fuerza que ´ sobre una part´ıcula puntual cargada en presencia de un campo magn´etico. actua

2.4.1. Energ´ıa de interaccion ´ en la aproximacion ´ de multipolos. ´ (2.54) para la definicion ´ de la energ´ıa de interaccion ´ entre una Retornemos a la expresion corriente el´ectrica y un campo magn´etico externo. Supongamos que el origen de coordenadas est´a en un punto arbitrario del dominio V de ~J, y efectuemos un desarrollo en serie de Taylor, hasta el primer orden en la potencia de ~r, para el potencial vectorial del campo magn´etico externo. ¯ h i ~ ext (~r) = A ~ ext (0) + ~r · ∇A ~ ext (~r)¯¯ A + ... . (2.59) ~r=0 c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo Sustituyendo (2.59) en (2.54) hallamos Z Z ¯ n h io ~ ~ ~J(~r) · ~r · ∇A ~ ext (~r)¯¯ WI = −Aext (0) · J(~r)dV − dV + ... . ~r=0 V V

54

(2.60)

Tomando en cuenta ahora que la integral en el primer t´ermino del miembro derecho de (2.60) es nula se hace evidente que Z ¯ io n h ~ ext (~r)¯¯ dV + ... . WI = − ~J(~r) · ~r · ∇A ~r=0 V ´ en la aproximacion ´ dipolar magn´etica mePodemos entonces definir la energ´ıa de interaccion ´ diante la expresion Z ¯ io n h (m) ~ ext (~r)¯¯ dV, (2.61) WI = − ~J(~r) · ~r · ∇A ~r=0 V o bien µ

Z (m)

WI Pero

=−

Jk xl V

¯ ¶ ∂ k ¯¯ Aext ¯ dV. ∂xl ~r=0

7

Jk xl =

1 1 ∂ [Jk xl − Jl xk ] + (xl xk Ji ) . 2 2 ∂xi

Por lo tanto (m) WI

1 =− 2

µ

Z [Jk xl − Jl xk ] V

¯ ¯ µ ¶ ¶ Z ∂ k ¯¯ ∂ ∂ k ¯¯ 1 Aext ¯ (xl xk Ji ) Aext ¯ dV − dV. ∂xl 2 V ∂xi ∂xl ~r=0 ~r=0

´ anterior es nula, como ya se ha visto. La segunda integral en el miembro derecho de la expresion Por otra parte ¯ µ ¶ ³ ¯ ´ ³ ´ ³ ´ ∂ k ¯¯ ~ ext ¯¯ ~ ext (0). [Jk xl − Jl xk ] Aext ¯ ≡ ~r × ~J · ∇ × A = ~r × ~J · B ∂xl ~r=0 ~r=0 En consecuencia Z 1 (m) ~ ext (0), ~r × ~J(~r) dV · B WI = − 2 V ´ del momentum del dipolo magn´etico, o, teniendo en cuenta la definicion (m)

WI

~ ext (0). ~ ·B = −m

(2.62)

2.5. Dipolo magn´etico en presencia de un campo magn´etico externo. ´ (2.62) el vector induccion ´ magn´etica del campo externo aparece evaluado en la En la expresion ´ del origen de coordenadas (fue alrededor de ~r = 0 que se efectuo´ el desarrollo de Taylor posicion 7 Le

proponemos al lector que demuestre esta identidad.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

55

para el potencial magn´etico vectorial del campo externo). Si el campo magn´etico externo no es ´ magn´etica puede depender de la eleccion ´ del origen del homog´eneo el valor del vector induccion ´ coordenadas. Suele aceptarse como v´alida la expresion ~ r) ~ · B(~ WI (~r) = −m

(2.63)

~ y un campo magn´etico ´ entre un dipolo magn´etico de momentum m para la energ´ıa de interaccion ~ ´ B. externo no homog´eneo de induccion ´ entre el el dipolo magn´etico y el campo magn´etico externo vendr´a enLa fuerza de interaccion ´ tonces dada por la relacion i h ~ r) = −∇WI (~r) = ∇ m ~ r) , ~ · B(~ (2.64) F(~ o, teniendo en cuenta que h i h i h i ~ r) = ( m ~ r) + B(~ ~ r) · ∇ m ~ r) × (∇ × m) ~ r) , ~ · B(~ ~ · ∇) B(~ ~ + B(~ ~ +m ~ × ∇ × B(~ ∇ m

(2.65)

´ puede utilizarse tambi´en la expresion ~ r) = (m ~ r) ~ · ∇) B(~ F(~

(2.66)

´ dipolo-campo. Partiendo de la definicion ´ de derivada direccional, para la fuerza de interaccion ´ 1.7.1 del Cap´ıtulo 1, podemos escribir de forma an´aloga a como se hizo en la seccion ~ = m ∂ B(~ ~ r), F ∂nm

(2.67)

~ y la derivada direccional est´a tomada a lo largo del vector unitario ~nm en la direcsiendo m = |m|, ~ La fuerza de interaccion ´ y sentido de m. ´ dipolo-campo se manifiesta unicamente ´ cion cuando el ´ magn´etica es una funcion ´ no trivial de la posicion. ´ Una part´ıcula de momentum vector induccion ~ en presencia de un campo magn´etico uniforme y constante no experimendipolar magn´etico m ´ (2.66). tar´a fuerza alguna, como es evidente de la expresion De la misma manera podemos calcular el valor del torque producido sobre el dipolo magn´eti~ en presencia de un campo magn´etico externo. Como se desprende de la co de momentum m ´ (1.141) dada en la seccion ´ 1.7.1 del Cap´ıtulo 1, definicion ~τ m = m

i h i ∂ h ~ r) = ( m ~ r) , ~r × B(~ ~ · ∇) ~r × B(~ ∂nm

(2.68)

o bien ~ r) + ~r × (m ~ r). ~ × B(~ ~ · ∇) B(~ ~τ m = m

(2.69)

´ ´ en presencia de un campo magnetost´atico homog´eneo, caso en el cual la fuerza Notese que aun ´ dipolo-campo es nula, el torque que actua ´ sobre el dipolo magn´etico es diferente de interaccion de cero en general, y su valor es ~ ~ × B. ~τ m = m

(2.70)

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

56

2.6. Precesion ´ de Larmor. ~ y cuya razon ´ giromagn´etica Consideremos una part´ıcula de momentum dipolar magn´etico m ´ (2.52), es G. De acuerdo con la expresion ~ ~ = GL, m ~ el momentum angular de dicha part´ıcula. Por lo tanto, siendo L ~ ~ 1 dm dL = = ~τ m . G dt dt

(2.71)

Sustituyendo (2.71) en (2.69) obtenemos ~ dm ~ r) + ~r × (m ~ r). ~ × GB(~ ~ · ∇) GB(~ =m dt Definamos ~ = GB. ~ Ω

(2.72)

~ posee unidades de frecuencia. Esta magnitud es conocida con el nombre de ´ Notese que Ω = |Ω| frecuencia de Larmor. As´ı, ~ dm ~ + ~r × (m ~ ~ ×Ω ~ · ∇) Ω, =m dt

(2.73)

o bien ³ ´ ~ dm ~ . ~ · ∇) ~r × Ω = (m dt

(2.74)

´ dipolo-campo, el torque ~τ m produce un cambio en el momentum anDebido a la interaccion gular de la part´ıcula, y consecuentemente un cambio en su momentum magn´etico. El momentum ´ del tiempo, solucion ´ de la ecuacion ´ diferencial de primer magn´etico ser´a entonces una funcion ´ suponiendo la condicion ´ inicial orden (2.74). Resolvamos dicha ecuacion   m01 ~ = 0) = m02  . m(t (2.75) m03 Definamos el vector ~ = ~r × Ω. ~ K

(2.76)

´ (2.74) puede ser escrita como el sistema de ecuaciones diferenciales acoplaEntonces la ecuacion das dK1 dK1 dK1 dm1 = m1 + m2 + m3 , dt dx1 dx2 dx3 dm2 dK2 dK2 dK2 = m1 + m2 + m3 , dt dx1 dx2 dx3 y dK3 dK3 dK3 dm3 = m1 + m2 + m3 . dt dx1 dx2 dx3 c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

57

En forma matricial el sistema anterior puede ser escrito como ~ dm ~ = K m, dt

(2.77)

siendo (K)ij =

dKi . dxj

(2.78)

Supongamos que K es diagonalizable. Entonces existe una matriz S tal que S−1 K S = D,

(2.79)

siendo D la forma diagonal de K. Puesto que K es independiente del tiempo, entonces S y D tambi´en ser´an independientes del tiempo. ~ tal que Definamos el nuevo vector M ~ ~ m(t) = S M(t).

(2.80)

~ satisface la condicion ´ inicial Evidentemente el nuevo vector M     m01 M01 ~ = 0) = M ~ 0 = M02  = S−1 m02  . M(t m03 M03

(2.81)

Sustituyendo (2.80) en (2.77) encontramos que d ~ ~ S M(t) = K S M(t), dt de donde d ~ ~ ~ M(t) = S−1 K S M(t) = D M(t). dt

(2.82)

´ diferencial (2.82) puede ser integrada de manera muy sencilla, pues las componentes La ecuacion ~ de M est´an desacopladas. As´ı,     M1 (t) M01 exp (D11 t) M2 (t) = M02 exp (D22 t) , (2.83) M3 (t) M03 exp (D33 t) siendo D11 , D22 y D33 los autovalores de K, es decir, las componentes diagonales de D.

2.6.1. Precesion ´ de un dipolo en un campo magn´etico uniforme y constante. Ilustremos el procedimiento anterior con un ejemplo sencillo. Supongamos que el campo mag~ = (0, 0, B). En este caso Ω ~ = (0, 0, Ω) ´ y que B netost´atico externo es independiente de la posicion, ~ = ~r × Ω ~ = (x2 , −x1 , 0)Ω. En virtud de (2.78), yK   0 Ω 0 K = −Ω 0 0 . 0 0 0 c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

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´ caracter´ıstica Los autovalores D de K pueden obtenerse de la ecuacion ¯ ¯ ¯−D Ω 0 ¯¯ ¯ 0 ¯¯ = 0, det ¯¯ −Ω −D ¯ 0 0 −D¯ de donde hallamos que  D11 = 0  D22 = −iΩ .  D33 = iΩ

(2.84)

Los autovectores normalizados de K correspondientes a los autovalores D11 , D22 y D33 son  ~v1 = (0, 0, 1)  ~v2 = √12 (i, 1, 0) , (2.85)  ~v3 = √12 (−i, 1, 0) respectivamente. La matriz S se obtiene como la transpuesta de la matriz formada por los autovectores de K, es decir,   0 √i2 − √i2 √1  . (2.86) S = (~v1^ , ~v2 , ~v3 ) = 0 √12 2 1 0 0 ´ Notese que, en este caso,  0 − √i −1 † S =S = 2 √i 2

0 √1 2 √1 2

 1 0 . 0

En virtud de (2.81) y de (2.87),   m03 −im01 √+m02  . ~ 0= M   2

(2.87)

(2.88)

im01√+m02 2

De acuerdo con (2.83), (2.84) y (2.88),     m03 M1 (t) −im01 √+m02 exp (−iΩt) . M2 (t) =    2 im01√+m02 M3 (t) exp (iΩt) 2 Teniendo finalmente en cuenta las expresiones (2.80), (2.86) y (2.89) hallamos   m01 cos(Ωt) + m02 sin(Ωt) ~ ~ m(t) = S M(t) = −m01 sin(Ωt) + m02 cos(Ωt) . m03

(2.89)

(2.90)

´ Notese que ~ ~ ~ ~ m(t) · m(t) = m201 + m202 + m203 = m(0) · m(0).

(2.91)

De acuerdo con todo lo anterior, el dipolo magn´etico precesa con la frecuencia de Larmor ´ con un campo magnetost´atico homog´eneo. El modulo ´ debido a su interaccion del vector mo´ mentum magn´etico se conserva en el tiempo y no es afectado por el movimiento de precesion. ´ ´ del campo externo Notese adem´as que la componente del momentum magn´etico en la direccion no depende del tiempo. c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 2. Magnetost´atica del vac´ıo

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2.7. Problemas propuestos 1. Por un cilindro muy largo de radio a, tan largo que puede ser considerado infinito, circula una corriente constante ~ en el exterior del cilindro. ´ magn´etica B de densidad ~ J. Calcule el valor del vector induccion 2. Describa el movimiento de una part´ıcula no relativista de carga q y masa m0 en presencia de un campo magn´etico ~ y de un campo el´ectrico de intensidad E, ~ ambos uniformes y constantes. ´ B de induccion ~ ´ B 3. Demuestre que el potencial magn´etico vectorial de un campo magn´etico uniforme y constante de induccion ´ viene dado por la expresion ~ × ~r. ~ = 1B A 2 4. Sea una bola de radio a sobre cuyo volumen se encuentra distribu´ıda uniformemente la carga Q. Si la esfera rota con velocidad constante ω alrededor de uno de sus di´ametros, calcule el momentum dipolar de la bola. Calcule ´ magn´etica en el centro de la bola. adem´as el vector induccion 5. Suponiendo que la bola que rota en el problema anterior es el electr´on no puntual con radio cl´asico r0 determinado ´ 1.8 del Cap´ıtulo 1, encuentre cu´al debe ser el valor de la velocidad angular ω para que el momentum en la seccion ~ coincida con el momentum magn´etico de spin del electron. ´ Halle la velocidad tangencial de un punto magn´etico m cualquiera sobre el ecuador de la bola. ¿El valor de velocidad obtenido puede ser admitido como v´alido? ~ Demuestre que esta part´ıcula tiene asociada la densidad de co6. Una part´ıcula tiene el momentum magn´etico m. ~ × ∇) δ (~r − ~r0 ), siendo ~r0 el vector de posicion ´ de la part´ıcula. rriente ~ J = (m ´ ´ 7. En cierto estado excitado del a´ tomo de Hidrogeno la nube electronica tiene asociada una densidad de corriente cuyas componentes en coordenadas esf´ericas son Jr = Jθ = 0 y · ¸ e~ 2r 3 Jϕ = r exp − sin3 (θ), 2π38 m0 a70 3a0 ´ respectivamente, y a0 es el radio de Bohr. Calcule el valor siendo e y m0 la carga y la masa de reposo del electron, ~ en el origen de coordenadas. ´ magn´etica B del vector induccion ´ ´ 8. En otro estado excitado del a´ tomo de Hidrogeno la densidad de corriente asociada a la nube electronica es, en coordenadas esf´ericas, Jr = Jθ = 0 y · ¸ e~ r Jϕ = r exp − sin(θ). 64πm0 a50 a0 ~ n . Calcule la energ´ıa de interaccion ´ ´ electron´ Suponga que el nucleo del a´ tomo tiene un momentum magn´etico m ´ ´ Ignore el valor del momentum magn´etico de spin del nucleo asociada con el movimiento orbital del electron. ´ electron.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

C AP´I TULO 3

Ecuaciones de Maxwell En el Cap´ıtulo 1 estudiamos las propiedades del campo el´ectrico producido por una distri´ est´atica de cargas, mientras que en el Cap´ıtulo 2 intentamos comprender las propiedades bucion del campo magn´etico producido por corrientes estacionarias. Un movimiento ordenado de car´ temporal de la carga en cierta region ´ del espacio gas, sea estacionario o no, implica la variacion ´ (2.1) al inicio del Cap´ıtulo 2]. Esta variacion ´ de la carga debe conducir, en ge[ver la expresion neral, a campos el´ectricos cuyas propiedades deben tambi´en variar en el tiempo, caso en el cual las ecuaciones obtenidas para caracterizar al campo electrost´atico no ser´ıan v´alidas. Es necesaria ´ de la teor´ıa con vistas a incluir la dependencia temporal en las ecuaentonces una generalizacion ´ de ciones fundamentales que describen los procesos el´ectricos y magn´eticos. La generalizacion las teor´ıas dedicadas a describir de manera independiente las propiedades de los campos el´ectricos y magn´eticos fue el resultado del trabajo de varios cient´ıficos, entre los cuales se destacaron Michael Faraday, Heinrich Friedrich Lenz y James Clerk Maxwell, entre otros, y resulto´ en una ´ unica teor´ıa (denominada Electrodin´amica) que describe las propiedades de un ente f´ısico m´as general - llamado campo electromagn´etico - del cual tanto los campos el´ectricos como los campos magn´eticos son simplemente casos particulares.

3.1. Ley de conservacion ´ de la carga. Sea V ⊂ R3 un conjunto abierto, limitado por una superficie S suave a pedazos y orientable, sobre el cual est´a definida la densidad de carga ρ = ρ(~r, t). La densidad de carga ρ, ahora depen´ y del tiempo, es la fuente de un campo el´ectrico tambi´en dependiente de la diente de la posicion ´ y del tiempo. En otras palabras, la ley de Gauss debe seguir siendo v´alida aun ´ cuando Q posicion ´ del tiempo. Matem´aticamente hablando tendremos que sea una funcion ~ r, t) = ∇ · E(~

ρ(~r, t) . ²0

(3.1)

Por otra parte, si ocurre un cambio temporal en la carga Q almacenada en V, entonces dicho cambio debe ser producido por un flujo de carga no nulo que atraviesa la superficie S. El cambio temporal de la carga almacenada en V debe ser proporcional al flujo de corriente a trav´es de S, es decir, ZZ dQ(t) ° ~J(~r, t) · ~n dS = − . (3.2) dt S ´ anterior nos indica que si el El signo negativo que precede al miembro derecho de la expresion ~ flujo del vector densidad de corriente J est´a definido en el sentido de la normal exterior ~n a la superficie S, entonces la carga almacenada en V disminuye a medida que el tiempo transcurre

60

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell ³

61

´ ´ (3.2) se conoce con el nombre de ley de conservacion ´ de la < 0 y viceversa. La ecuacion carga, y posee un basamento netamente experimental. Teniendo en cuenta que Z Q(t) = ρ(~r, t)dV dQ dt

V

y que ZZ Z ° ~J(~r, t) · ~n dS = ∇ · ~J(~r, t) dV S

V

´ (3.2) que puede verse a partir de la ecuacion ¸ Z · ∂ ∇ · ~J(~r, t) + ρ(~r, t) dV = 0, ∂t V de donde, en virtud de la arbitrariedad de V, se tiene finalmente que ∂ ∇ · ~J(~r, t) + ρ(~r, t) = 0. ∂t

(3.3)

´ (3.3) es conocida con el nombre de ley de conservacion ´ de la carga en forma diferenLa expresion ´ de continuidad. cial, o simplemente como ecuacion

3.2. Ley de Lenz y ley de Faraday. ˜ 1831 Michael Faraday descubrio´ que cuando un conductor cerrado se mueve corEn el ano tando las l´ıneas de campo de un campo magn´etico se produce una corriente en dicho conductor [14]. Faraday mostro´ tambi´en que el mismo efecto ten´ıa lugar si el flujo magn´etico que atravesaba ´ de a´ rea delimitada por el conductor cerrado variaba con el tiempo. Este fenomeno ´ la seccion se ´ electromagn´etica. La corriente producida en el conductor debido al fenomeno ´ llamo´ induccion ´ electromagn´etica se debe a la aparicion ´ de una diferencia de potencial inducida de la induccion ´ del flujo magn´etico a trav´es del a´ rea delimitada por el circuito cerrado. A tal por la variacion diferencia de potencial se le dio el nombre de fuerza electromotriz, aunque es evidente que dicha magnitud no es una fuerza f´ısicamente hablando. La polaridad de la fuerza electromotriz y, en consecuencia, el sentido de la corriente inducida en el conductor cerrado, resultan ser tales que ´ del flujo magn´etico que las produjo. Este hecho se conoce con el nombre se oponen a la variacion de ley de Lenz, en honor al f´ısico estonio Heinrich Friedrich Lenz, quien fue su descubridor en el ˜ 1834 [15]. ano Sea una superficie abierta S suave y orientable. Desde el punto de vista matem´atico la ley de Lenz se puede enunciar de la siguiente manera: la fuerza electromotriz E puede calcularse ´ mediante la expresion E(t) = − siendo

d φB (t), dt

(3.4)

ZZ ~ r, t) · ~n dS B(~

φB (t) =

(3.5)

S

´ magn´etica a trav´es de S. el flujo del vector induccion c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

62

La fuerza electromotriz, por ser en realidad una diferencia de potencial generadora de una ´ de cierto campo el´ectrico no conservacorriente el´ectrica, puede ser escrita como la circulacion ~ Si suponemos que C es el borde de la superficie S tal que S y C poseen tivo de intensidad E. orientaciones asociadas, entonces Z ~ . ~ r, t) · dl E(t) = ° E(~ (3.6) C

´ con la ley de Lenz obtenemos Combinando esta expresion Z ZZ d ~ ~ ~ r, t) · ~n dS. ° E(~r, t) · dl = − B(~ dt C S Aplicando el teorema de Stokes hallamos ¸ ZZ · ∂ ~ ~ ∇ × E(~r, t) + B(~r, t) · ~n dS = 0, ∂t S y en virtud de la arbitrariedad de la superficie S se tiene finalmente que ~ r, t) = − ∇ × E(~

∂ ~ B(~r, t). ∂t

(3.7)

´ (3.7), unicamente ´ La ecuacion deducible a partir de la pr´actica experimental, es conocida con ´ de la ecuacion ´ (1.15) del Cap´ıtulo el nombre de ley de Faraday. Esta constituye una generalizacion 1, y es una de las leyes fundamentales de la Electrodin´amica.

3.3. Ley de Ampere-Maxwell. ´ (2.19) del Cap´ıtulo 2] Consideremos ahora la ley de Ampere [ver ecuacion ~ = µ0~J ∇×B ´ Obviamente y calculemos la divergencia t´ermino a t´ermino en dicha ecuacion. ~ = µ0 ∇ · ~J = 0. ∇·∇×B ´ con la ecuacion ´ de conde donde se deduce que ∇ · ~J = 0. Este resultado est´a en contradiccion tinuidad (3.3). En otras palabras, la ley de Ampere dada por (2.19) es incompatible con la ley de ´ de la carga. Se impone entonces una generalizacion ´ de la ley de Ampere para lograr conservacion ´ puede concretarse si la compatibilidad necesaria entre estas dos leyes f´ısicas. La generalizacion ~ sumamos un t´ermino adicional (que denotaremos como JD ) a la corriente ~J en la ley de Ampere, y luego utilizamos las leyes f´ısicas conocidas para intentar determinar la forma de dicho t´ermino. Procediendo de esta manera h i ~ r, t) = µ0 ~J(~r, t) + ~JD (~r, t) . ∇ × B(~ (3.8) Tomando divergencia puede verse que h i ~ r, t) = 0 = µ0 ∇ · ~J(~r, t) + ∇ · ~JD (~r, t) . ∇ · ∇ × B(~

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

63

´ anterior Haciendo en la expresion ∂ρ(~r, t) ∇ · ~JD (~r, t) = ∂t ´ de continuidad queda garantizado. Pero de acuerdo con (3.1) es el cumplimiento de la ecuacion evidente que ∇ · ~JD (~r, t) = ²0 ∇ ·

∂ ~ E(~r, t), ∂t

de donde ¸ · ∂ ~ ~ ∇ · JD (~r, t) − ²0 E(~r, t) = 0, ∂t y finalmente ~JD (~r, t) = ²0 ∂ E(~ ~ r, t). ∂t

(3.9)

A la magnitud ~JD se le denomina usualmente corriente de desplazamiento, aunque no es una corriente propiamente hablando. Si bien la corriente ordinaria ~J tiene su origen en el flujo de carga ´ el´ectrica a trav´es de cierta superficie, la corriente de desplazamiento es producida por la variacion temporal del flujo del campo el´ectrico a trav´es de dicha superficie. Sustituyendo (3.9) en (3.8) se tiene que ~ r, t) = µ0~J(~r, t) + µ0 ²0 ∂ E(~ ~ r, t). ∇ × B(~ ∂t

(3.10)

´ (3.10) es la unica ´ ´ posible de la ley de Ampere que es compatible con La ecuacion generalizacion ´ de la carga, y se conoce con el nombre de ley de Ampere-Maxwell 1 . A la ley de conservacion diferencia de la ley de Faraday, que fue deducida a partir de observaciones experimentales, la ley de Ampere-Maxwell tiene su origen en la necesidad de eliminar incongruencias en la teor´ıa, ´ de conespec´ıficamente la ya mencionada incompatibilidad entre la ley de Ampere y la ecuacion tinuidad.

3.4. Interpretacion ´ f´ısica de las ecuaciones de Maxwell. Las llamadas ecuaciones de Maxwell de la Electrodin´amica son las siguientes: ~ r, t) = − ∂ B(~ ~ r, t), ∇ × E(~ ∂t ~ r, t) = µ0~J(~r, t) + ∇ × B(~ ~ r, t) = ∇ · E(~

(3.11)

1 ∂ ~ E(~r, t), c2 ∂t

ρ(~r, t) , ²0

(3.12) (3.13)

1 La generalizacion ´ de la ley de Ampere se debio´ al genio creador de James Clerk Maxwell [13]. Por esta razon ´ su ´ de la citada ley. apellido aparece junto al de Ampere en la denominacion

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

64

y ~ r, t) = 0. ∇ · B(~

(3.14)

´ de continuiEn (3.12) hemos tenido en cuenta que µ0 ²0 = 1/c2 . Conjuntamente con la ecuacion dad, las cuatro ecuaciones vectoriales de Maxwell son las ecuaciones fundamentales de la Electrodin´amica y parte importante de los pilares sobre los cuales se sustenta el edificio de la F´ısica Cl´asica. ´ (3.11), coExaminemos el significado de cada una de las ecuaciones de Maxwell. La ecuacion nocida con el nombre de ley de Faraday, nos indica que un campo magn´etico variable en el tiempo induce un campo el´ectrico rotacional, tambi´en variable en el tiempo. La ley de Ampere-Maxwell ´ temporal (3.12) establece que un movimiento ordenado de cargas el´ectricas y/o una variacion de un campo el´ectrico son capaces de generar un campo magn´etico rotacional dependiente del ´ tiempo. Notese que la ley de Ampere-Maxwell es sim´etrica con la ley de Faraday, excepto por ´ (3.13) nos dice que las cargas el´ectricas son fuentes de el t´ermino proporcional a ~J. La ecuacion campos el´ectricos, y da por sentada la existencia en la naturaleza de monopolos el´ectricos. La ´ de la ecuacion ´ an´aloga para el caso est´atico discutida ´ (3.14), que es una generalizacion ecuacion ´ 2.1.2 del Cap´ıtulo 2, nos habla del car´acter solenoidal del vector induccion ´ magn´etien la seccion ca, del car´acter cerrado de las l´ıneas del campo magn´etico y de la inexistencia del monopolo magn´etico en la naturaleza. Las ecuaciones de Maxwell, en particular la ley de Faraday y la ley de ´ indisoluble entre campo el´ectrico y campo magn´etiAmpere-Maxwell, nos ofrecen una conexion ´ co. Campo el´ectrico y campo magn´etico constituyen unicamente componentes de un objeto f´ısico m´as amplio: el campo electromagn´etico. Las ecuaciones de Maxwell son en realidad un sistema de ocho ecuaciones diferenciales linea´ seis son linealmente independientes. Esto se debe en primer lugar al hecho les de las cuales solo ´ de la posicion ´ o de que en la Electrodin´amica no pueden existir magnitudes dependientes solo ´ de continuidad que juega el papel de condicion ´ del tiempo 2 y, en segundo lugar, a la ecuacion de ligadura entre corrientes y cargas. Examinemos esto con un poco m´as de detalle. Tomemos primeramente divergencia en la ley de Faraday. En consecuencia ~ r, t) = − ∂ ∇ · B(~ ~ r, t), ∇ · ∇ × E(~ ∂t de donde se tiene que ∂ ~ r, t) = 0 ∇ · B(~ ∂t y ~ r, t) = f (~r), ∇ · B(~ ´ de la posicion ´ que actua ´ como constante de integracion ´ en la variable tiemsiendo f una funcion ´ po. Pero en la Electrodin´amica no pueden existir magnitudes f´ısicas que dependan unicamente ~ r, t) = 0. ´ en virtud de lo cual f (~r) ≡ 0 y por lo tanto ∇ · B(~ de la posicion, Tomando divergencia en la ley de Ampere-Maxwell obtenemos ~ r, t) = µ0 ∇ · ~J(~r, t) + 1 ∂ ∇ · E(~ ~ r, t), ∇ · ∇ × B(~ c2 ∂t 2 La imposibilidad de la existencia en la Electrodin´ ´ ´ o del amica de magnitudes dependientes unicamente de la posicion tiempo descansa en el hecho crucial de que las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante las transformaciones relativistas de Lorentz. En consecuencia, la Electrodin´amica puede ser formulada con independencia del sistema de referencia ´ tanto las coordenadas espaciales como el tiempo poseen el mismo valor conceptual, inercial adoptado. En tal formulacion lo cual imposibilita separar el espacio del tiempo como dos entes independientes.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

65

´ de continuidad, encontramos y teniendo en cuenta la ecuacion i ∂ h ~ r, t) − ρ(~r, t) = 0. ²0 ∇ · E(~ µ0 ∂t As´ı, ~ r, t) − ρ(~r, t) = g(~r), ²0 ∇ · E(~ ´ de la posicion. ´ Utilizando el mismo argumento que en el caso anterior donde g es una funcion ~ r, t) = ρ(~r,t) . tenemos que g(~r) ≡ 0 y consecuentemente ∇ · E(~ ²0 Las ecuaciones (3.13) y (3.14) pueden ser obtenidas a partir de las ecuaciones (3.11), (3.12) y de ´ de continuidad. la ecuacion

3.5. Potenciales del campo electromagn´etico. En general, el campo electromagn´etico puede ser caracterizado por los llamados potenciales ~ Veamos del campo electromagn´etico. Estos son el potencial escalar φ y el potencial vectorial A. ~ yB ~ a partir de dichos potenciales. ´ como podemos obtener los vectores del campo E Puesto que el campo magn´etico es solenoidal podemos proponer ~ r, t) = ∇ × A(~ ~ r, t). B(~

(3.15)

Sustituyendo (3.15) en la ley de Faraday hallamos ~ ~ r, t) = − ∂ ∇ × A(~ ~ r, t) = −∇ × ∂ A(~r, t) , ∇ × E(~ ∂t ∂t es decir, # ~ r, t) ∂ A(~ ~ r, t) + = 0. ∇ × E(~ ∂t "

(3.16)

´ anterior es un campo conservativo y Esto significa que el vector entre corchetes en la expresion ´ escalar. As´ı, puede ser escrito como el gradiente de una funcion ~ ~ r, t) + ∂ A(~r, t) = −∇φ(~r, t), E(~ ∂t de donde ~ ~ r, t) = −∇φ(~r, t) − ∂ A(~r, t) . E(~ ∂t

(3.17)

3.5.1. Transformaciones generales de calibracion. ´ Calibracion ´ de Lorenz. ~ es un campo solenoidal, entonces el potencial vectorial del campo electroPuesto que B magn´etico est´a indeterminado, como ya hemos visto en el Cap´ıtulo 2, en el gradiente de una ~ yA ~ + ∇f conducen al mismo resultado f´ısico para B. ~ Si ´ escalar f = f (~r, t), es decir, A funcion ~ ~ sustitu´ımos A por A + ∇f en (3.17) entonces ~ ~ r, t) = −∇φ(~r, t) − ∂ A(~r, t) − ∇ ∂f (~r, t) . E(~ ∂t ∂t c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

66

~ se mantenga inalterable ante la transformacion ~ → A+∇f ~ ´ A Para que E para el potencial vectorial ´ φ → φ − ∂f es necesario efectuar simult´aneamente la transformacion en el potencial escalar del ∂t campo electromagn´etico. Al conjunto de transformaciones simult´aneas ( 0 ~ (~r, t) = A(~ ~ r, t) + ∇f (~r, t) A φ 0 (~r, t) = φ(~r, t) − ∂f (~r,t)

(3.18)

∂t

´ (o simplemente transse les conoce con el nombre de transformaciones generales de calibracion ´ ´ formaciones de calibracion). Notese que 0

~ (~r, t) + ∇·A

1 ∂φ 0 (~r, t) ~ r, t) + 1 ∂φ(~r, t) + ¤f (~r, t), = ∇ · A(~ c2 ∂t c2 ∂t

(3.19)

siendo ¤ = ∇2 −

1 ∂2 c2 ∂t2

(3.20)

el operador de D 0 Alembert, llamado tambi´en D 0 Alemberteano. Si elegimos f tal que ¤f = 0 entonces 0

~ (~r, t) + ∇·A

1 ∂φ 0 (~r, t) ~ r, t) + 1 ∂φ(~r, t) . = ∇ · A(~ c2 ∂t c2 ∂t

~ yB ~ ´ de calibracion ´ no altera el resultado f´ısico para los vectores E Puesto que una transformacion ´ en la cual se satisface la condicion ´ del campo, podemos tomar la calibracion ~ r, t) + 1 ∂φ(~r, t) = 0, ∇ · A(~ c2 ∂t

(3.21)

~ y φ satisfacen la condi´ de Lorenz. Si los potenciales del campo A llamada usualmente condicion ´ de Lorenz, entonces estaremos en presencia de la calibracion ´ de Lorenz 3 . cion

3.5.2. Ecuaciones de D 0 Alembert para los potenciales del campo. La estructura matem´atica de los potenciales del campo est´a determinada por las densidades de carga y corriente asociadas al sistema en estudio. Sustituyendo (3.17) en (3.13) es evidente que " # ~ r, t) ρ(~r, t) ∂ A(~ = , ∇ · −∇φ(~r, t) − ∂t ²0 o bien, ∇2 φ(~r, t) +

∂ ~ r, t) = − ρ(~r, t) . ∇ · A(~ ∂t ²0

(3.22)

Por otra parte, sustituyendo (3.15) y (3.17) en la ley de Ampere-Maxwell hallamos " # ~ r, t) ∂ A(~ ∂ ~ r, t) = µ0~J(~r, t) + µ0 ²0 −∇φ(~r, t) − , ∇ × ∇ × A(~ ∂t ∂t 3 Esta

´ debe su nombre al f´ısico-matem´atico dan´es Ludvig Valentin Lorenz, quien la introdujo en 1867 [16]. calibracion

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell ´ anterior, o, transformando convenientemente la expresion · ¸ 1 ∂2 ~ 1 ∂φ(~r, t) 2~ ~ ∇ A(~r, t) − 2 2 A(~r, t) − ∇ ∇ · A(~r, t) + 2 = −µ0~J(~r, t). c ∂t c ∂t

67

(3.23)

´ de Lorenz, entonces, a partir de las expreSi asumimos que estamos trabajando en la calibracion siones (3.22) y (3.23), es evidente que ¤φ(~r, t) = −

ρ(~r, t) ²0

(3.24)

y que ~ r, t) = −µ0~J(~r, t). ¤A(~

(3.25)

Los potenciales escalar y vectorial del campo electromagn´etico son entonces soluciones de las ecuaciones no-homog´eneas de D 0 Alembert (3.24) y (3.25), respectivamente. En regiones espaciotemporales donde la densidad de carga es nula el potencial escalar del campo electromagn´etico ´ de la ecuacion ´ homog´enea de D 0 Alembert, conocida tambi´en como ecuacion ´ de ser´a solucion onda. Lo mismo ocurrir´a con el potencial vectorial del campo electromagn´etico si la densidad de ´ particular del espacio-tiempo. En otras palabras, corriente es cero en alguna region ¤φ(~r, t) = 0

(3.26)

~ r, t) = 0 ¤A(~

(3.27)

y

en regiones espacio-temporales donde la densidad de carga y la densidad de corriente son, respectivamente, id´enticamente nulas.

3.6. Ley de conservacion ´ de la energ´ıa del campo electromagn´etico. ~ y B, ~ y suponConsideremos un campo electromagn´etico caracterizado por los vectores E gamos que existe cierta carga de valor q movi´endose con una velocidad ~v a trav´es de dichos campos. El diferencial de trabajo dWf realizado por el campo electromagn´etico sobre la carga en el diferencial de tiempo dt es ³ ´ ~ =q E ~ · dl ~ + ~v × B ~ · ~vdt = q E ~ · ~vdt. dWf = F ´ Notese que el³ estado de ´movimiento de la part´ıcula est´a determinado aqu´ı por la fuerza de Lo~ = q E ~ + ~v × B ~ y, en consecuencia, la velocidad ~v de la part´ıcula est´a ligada con los rentz F ´ anterior se puede vectores del campo a trav´es de las ecuaciones del movimiento. La expresion ´ (2.4) del Cap´ıtulo 2, en virtud de la cual generalizar al caso continuo utilizando la expresion ·Z ¸ ·Z ¸ dWf ~ ~ ~ dWf = E(~r, t) · ρ(~r, t)~vdV dt = E(~r, t) · J(~r, t)dV dt = dt. dt V V ´ anterior es evidente que De la expresion Z dWf ~ r, t) · ~J(~r, t)dV. = E(~ dt V c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

(3.28)

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

68

~ ~J es la potencia por unidad de volumen entregada por el campo electromagn´etico La magnitud E· ~ est´an conectados a trav´es de las al sistema con densidad de corriente ~J. Aqu´ı los vectores ~J y E ecuaciones de Maxwell. ´ (3.12)], Como sabemos [ver ecuacion ~ r, t). ~ r, t) = µ0~J(~r, t) + µ0 ²0 ∂ E(~ ∇ × B(~ ∂t Luego, ~ r, t) − ²0 ∂ E(~ ~ r, t), ~J(~r, t) = 1 ∇ × B(~ µ0 ∂t y en consecuencia ~ r, t) · ~J(~r, t) = 1 E(~ ~ r, t) · ∇ × B(~ ~ r, t) − ²0 E(~ ~ r, t) · ∂ E(~ ~ r, t). E(~ µ0 ∂t

(3.29)

´ Notese que ³ ´ ~ ×B ~ =B ~ ·∇×E ~ −E ~ ·∇×B ~ = −B ~ ∂B ~ −E ~ · ∇ × B. ~ ∇· E ∂t Por lo tanto ³ ´ ~ −∇· E ~ ×B ~ . ~ ·∇×B ~ = −B ~ · ∂B E ∂t

(3.30)

Sustituyendo (3.30) en (3.29) obtenemos que ~ r, t) · ~J(~r, t) = E(~ = =

h i 1 ~ ∂ ~ ~ r, t) · ∂ E(~ ~ r, t) − 1 ∇ · E(~ ~ r, t) × B(~ ~ r, t) B(~r, t) · B(~ r, t) − ²0 E(~ µ0 ∂t ∂t µ0 · ¸ h i 1 ∂ 1 2 1 ~ r, t) × B(~ ~ r, t) − B (~r, t) + ²0 E 2 (~r, t) − ∇ · E(~ 2 ∂t µ0 µ0 · ¸ £ ¤ ∂ ²0 1 ~ ~ r, t) . − E 2 (~r, t) + c2 B 2 (~r, t) − ∇ · E(~r, t) × B(~ (3.31) ∂t 2 µ0 −

Definamos las magnitudes w(~r, t) =

¤ ²0 £ 2 E (~r, t) + c2 B 2 (~r, t) 2

(3.32)

y ~S(~r, t) = 1 E(~ ~ r, t) × B(~ ~ r, t). µ0

(3.33)

´ (3.31) puede ser escrita entonces en la forma La expresion ~ r, t) · ~J(~r, t) = ∂ w(~r, t) + ∇ · ~S(~r, t). −E(~ ∂t

(3.34)

´ anterior. Como ya vimos, el t´ermino Analicemos detalladamente cada t´ermino de la ecuacion ~ · ~J posee dimensiones de potencia por unidad de volumen, por lo que las magnitudes w y ~S E deben poseer dimensiones de energ´ıa por unidad de volumen y de energ´ıa por unidad de a´ rea ´ ´ de y tiempo, respectivamente. En efecto, la formula (3.32) para w constituye una generalizacion c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

69

´ (1.130) para la densidad de energ´ıa del campo electrost´atico definida en el Cap´ıtulo la expresion ´ (3.32) contiene, adem´as de la contribucion ´ del campo el´ectrico a la densidad de 1. La expresion ´ adicional debida a la presencia del vector induccion ´ magn´etica, incluenerg´ıa, una contribucion ~ yB ~ puedan ser funciones del tiempo. La magnitud w yendo la posibilidad de que los campos E ´ recibe el nombre de densidad de energ´ıa del campo electromagn´etico. Por otra parte, la direccion ~ ´ y el sentido de y el sentido del vector S, denominado vector de Poynting, determina la direccion ´ de la energ´ıa transportada por el campo electromagn´etico, y su modulo ´ la propagacion representa ´ y sentido. la cantidad de energ´ıa que por unidad de a´ rea y tiempo fluye en dicha direccion ´ (3.34) recibe el nombre de teorema de Poynting o ley de conservacion ´ de la energ´ıa La ecuacion del campo electromagn´etico 4 . Escribamos el teorema de Poynting en forma integral, y para ello consideremos el conjunto volum´etrico abierto V ⊂ R3 limitado por una superficie S suave a pedazos y orientable. Entonces Z Z Z ∂ ~ r, t) · ~J(~r, t) dV = − E(~ w(~r, t) dV + ∇ · ~S(~r, t) dV, V V ∂t V o bien, ZZ Z d ~ ~ r, t) · ~J(~r, t) dV, ~ W (t) + ° S(~r, t) · n dS = − E(~ dt S V

(3.35)

siendo Z W (t) =

w(~r, t) dV

(3.36)

V

la energ´ıa del campo electromagn´etico almacenada en el volumen V. Para examinar el significado ~ · ~J = 0. Entonces, en este caso f´ısico del teorema de Poynting supongamos inicialmente que E particular, ZZ d W (t) + ° ~S(~r, t) · ~n dS = 0. dt S ´ ´ anterior es muy parecida a la ecuacion ´ de continuidad que establece la Notese que la ecuacion ´ de la carga, y por lo tanto describe un proceso de conservacion ´ en el cual no ley de conservacion existen fuentes ni sumideros de energ´ıa. Si dentro del volumen V ocurre un cambio en la energ´ıa del campo electromagn´etico, entonces debe existir un flujo no nulo de energ´ıa atravesando la ´ de W en el interior de V. Este flujo de energ´ıa, superficie S que es responsable de la variacion como ya hemos dicho, est´a caracterizado por el vector de Poynting. ~ · ~J 6= 0 la ecuacion ´ (3.35) describe un proceso de conservacion ´ en el cual pueden Cuando E existir fuentes o sumideros de energ´ıa electromagn´etica en el interior de V 5 . El t´ermino que carac~ ~J, y permite describir teriza la presencia de dicha fuente o sumidero de energ´ıa es precisamente E· la posibilidad de transformar la energ´ıa del campo electromagn´etico en otro tipo de energ´ıa (por ejemplo, energ´ıa cin´etica del sistema de cargas y corrientes) o viceversa. En general, el cambio de la energ´ıa del campo electromagn´etico dentro de V se debe, o bien a la existencia de un flujo de energ´ıa a trav´es de S, o bien a que el campo electromagn´etico est´a realizando un trabajo (positivo o negativo) sobre el sistema de cargas y corrientes, o a ambas razones simult´aneamente. 4 El teorema debe su nombre al f´ısico ingl´ ˜ 1884 estableciera la ley de conservaes John Henry Poynting, quien en el ano ´ de la energ´ıa del campo electromagn´etico [17]. cion 5 Cuando hablamos de fuentes o sumideros de energ´ıa electromagn´ etica nos referimos a regiones del espacio-tiempo ´ de la energ´ıa del campo electromagn´etico en otro tipo posible de energ´ıa y vicedonde puede ocurrir la transformacion versa.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

70

3.7. Ley de conservacion ´ del momentum lineal del campo electromagn´etico. ´ 2.2 del Cap´ıtulo 2 [ver ecuacion ´ (2.23)], La densidad de fuerza de Lorentz, vista en la seccion puede ser generalizada al caso en que las magnitudes del campo son dependientes del tiempo. En este caso la densidad de fuerza de Lorentz tiene la forma ~f (~r, t) = ρ(~r, t)E(~ ~ r, t) + ~J(~r, t) × B(~ ~ r, t).

(3.37)

~ y B. ~ Como ya sabemos, ´ Escribamos ~f unicamente en t´erminos de los campos E ~ ρ = ²0 ∇ · E y ~ ~J = 1 ∇ × B ~ − ²0 ∂ E . µ0 ∂t Por lo tanto, ~f = ²0

³

´ ³ ´ ~ E ~ + 1 ∇×B ~ ×B ~ − ²0 ∇·E µ0

Ã

~ ∂E ∂t

! ~ × B.

(3.38)

Puesto que ´ ∂ ³~ ~ = E×B ∂t

Ã

~ ∂E ∂t

!

à ~ +E ~ × ×B

~ ∂B ∂t

! ,

es evidente que à ! à ! ³ ´ ~ ~ ∂E ∂ ∂ B ~ = ~ ×B ~ −E ~ × ×B E , ∂t ∂t ∂t y teniendo en cuenta que ~ ∂B ~ = −∇ × E, ∂t encontramos finalmente que ! à ³ ´ ~ ∂E ~ = ∂ E ~ ×B ~ +E ~ × ∇ × E. ~ ×B ∂t ∂t ´ anterior en (3.38) obtenemos que Sustituyendo la expresion ³ ´ ³ ´ ³ ´ ~ ~f = ²0 ∇ · E ~ E ~ − 1B ~ × ∇×B ~ − ²0 E ~ × ∇×E ~ − 1 ∂S , 2 µ0 c ∂t ´ de vector de Poynting y que µ0 ²0 = 1/c2 . La expresion ´ donde hemos tenido en cuenta la definicion ~ = 0. Entonces anterior puede ser reescrita teniendo en cuenta que ∇ · B ³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´ ~ ~f = ²0 ∇ · E ~ E ~ + 1 ∇·B ~ B ~ − 1B ~ × ∇×B ~ − ²0 E ~ × ∇×E ~ − 1 ∂S . 2 µ0 µ0 c ∂t c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

(3.39)

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

71

´ (3.39) puede ser modificada con ayuda de la densidad tensorial de Levi-Civita. La ecuacion Haciendo uso del convenio de suma de Einstein, la i-´esima componente de la densidad de fuerza de Lorentz ser´a entonces ´ ´ ³ ³ ∂Ej 1 ∂Bj 1 1 ∂Si ~ ~ fi = ²0 Ei + Bi − ²ijk Bj ∇ × B − ²0 ²ijk Ej ∇ × E − 2 ∂xj µ0 ∂xj µ0 c ∂t k k 1 1 1 ∂Si ∂Ej ∂Bj ∂Bm ∂Em . = ²0 Ei + Bi − ²ijk ²klm Bj − ²0 ²ijk ²klm Ej − 2 ∂xj µ0 ∂xj µ0 ∂xl ∂xl c ∂t Pero sabemos que ²ijk ²klm = ²kij ²klm = δil δjm − δim δjl . En consecuencia, fi

= = = =

¤ £ ¤ ∂Ej ∂Bj 1 1 £ ∂Bm ∂Em 1 ∂Si δil δjm − δim δjl Bj + Bi − − ²0 δil δjm − δim δjl Ej − 2 ∂xj µ0 ∂xj µ0 ∂xl ∂xl c ∂t ∂Ej ∂Bj ∂Ei 1 1 ∂Bi ∂Em 1 ∂Bm 1 ∂Si ²0 Ei + ²0 Ej + Bi + Bj − ²0 Em − Bm − 2 ∂xj ∂xj µ0 ∂xj µ0 ∂xj ∂xi µ0 ∂xi c ∂t

²0 Ei

∂ 1 ∂ ²0 ∂E 2 1 ∂B 2 1 ∂Si (Ei Ej ) + (Bi Bj ) − − − 2 ∂xj µ0 ∂xj 2 ∂xi 2µ0 ∂xi c ∂t · ¸ ¢ ∂ 1 1 ∂Si ²0 ¡ 2 ²0 Ei Ej + , Bi Bj − E + c2 B 2 δij − 2 ∂xj µ0 2 c ∂t

²0

es decir, fi =

¢ ¤ ∂ £ ¡ 1 ∂Si ²0 Ei Ej + c2 Bi Bj − wδij − 2 , ∂xj c ∂t

(3.40)

´ (3.32) para la densidad de energ´ıa del campo electrodonde hemos tenido en cuenta la definicion − → − → magn´etico. Definamos el tensor T cuyas componentes son ¡ ¢ Tij = ²0 Ei Ej + c2 Bi Bj − wδij . (3.41) ´ (3.40) puede ser escrita en forma vectorial como Entonces la expresion → − − 1 ∂ ~S ~f = ∇ · → T − 2 . (3.42) c ∂t − → − → El tensor T recibe el nombre de tensor de esfuerzos de Maxwell debido a la analog´ıa con el ´ tensor de esfuerzos de la Teor´ıa de la Elasticidad. Notese que el tensor de esfuerzos de Maxwell ´ seis componentes independientes y adem´as es sim´etrico, posee solo Tr (Tij ) =

3 X

Tii = −w.

(3.43)

i=1

El significado f´ısico del tensor de esfuerzos de Maxwell es inmediato a partir de la mencionada teor´ıa: si tomamos un volumen V ⊂ R3 limitado por una superficie S suave a pedazos y − → − → orientable, la divergencia de T no es m´as que la densidad de fuerza que sobre V ejerce el cam→ − → − po electromagn´etico, mientras que el flujo de T a trav´es de S es la fuerza que ejerce el campo electromagn´etico sobre dicha superficie. Integrando sobre V obtenemos Z Z Z − → − → 1 d ~f dV = ~ = ~S dV, F ∇ · T dV − 2 c dt V V V c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

72

o bien ~ + d 1 F dt c2

Z

ZZ − → → ~S dV = ° − T · ~n dS.

V

(3.44)

S

De acuerdo con la segunda ley de Newton, ~ = dP ~ p, F dt ~ p el momentum lineal total asociado a las part´ıculas del sistema. El miembro izquierdo siendo P ´ de (3.44) puede entonces ser escrito como una unica derivada temporal, es decir, ZZ ´ − → → d ³~ ~f =° − Pp + P T · ~n dS, (3.45) dt S donde hemos definido Z ~f = 1 ~S dV, P c2 V

(3.46)

magnitud que puede ser interpretada como el momentum lineal total asociado al campo elec~ f solo ´ depende de magnitudes propias del campo. La expresion ´ (3.45) se tromagn´etico, ya que P ´ del momentum lineal del campo electromagn´etico, conoce con el nombre de ley de conservacion ´ del momentum lineal del sistema inaunque ella en realidad se refiere a la ley de conservacion tegrado por el campo electromagn´etico y su fuente (part´ıculas cargadas en movimiento relativo con respecto a cierto observador inercial).

´ luminosa. Figura 3.1: Dispositivo de Lebedev para el estudio experimental de la presion ´ en ausencia de part´ıculas cargadas el campo electromagn´etico es capaz de transportar Aun momentum lineal. El cambio de momentum lineal del campo electromagn´etico sobre cierta su´ P dada por la formula ´ perficie S de a´ rea A(S) puede producir sobre dicha superficie una presion c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

P=

1 d~ Pf . A(S) dt

73

(3.47)

El efecto que el campo electromagn´etico puede ejercer sobre una superficie dada es especialmente notable en el caso de las ondas electromagn´eticas 6 , de las cuales la luz visible es un caso particu´ luminosa fue el cient´ıfico lar. El pionero en estudiar experimentalmente los efectos de la presion ˜ 1901. Para llevar a cabo sus estudios Lebedev desarrollo´ un disruso P. N. Lebedev [18] en el ano positivo simple, ilustrado en la Fig. 3.1, consistente en un par de aletas de masas y a´ reas iguales unidas por un eje r´ıgido, que pueden girar alrededor del centro de dicho eje. Una de las caras de cada aleta est´a recubierta por un material reflectante, mientras que la cara opuesta est´a recubier´ de las aletas es tal que las caras reflectantes ta por un material negro absorbente. La disposicion se alternan consecutivamente con las caras absorbentes. El sistema es colocado en una campana ´ entre las de vidrio en la que se hace un vac´ıo para minimizar los efectos de la fuerza de friccion aletas y el aire. Al iluminar el sistema con luz visible las aletas comienzan a rotar. Este efecto es f´acilmente explicable a partir de la teor´ıa electromagn´etica. Le sugerimos al lector que desarrolle ´ a partir de los conceptos vistos aqu´ı. dicha explicacion

3.8. Ondas electromagn´eticas. ´ espacio-temSupongamos que tenemos un campo electromagn´etico definido en cierta region poral en la cual tanto la densidad de carga ρ como la densidad de corriente ~J son nulas. Las ecuaciones de Maxwell en este caso toman la forma ∂ ~ B(~r, t), ∂t

(3.48)

1 ∂ ~ E(~r, t), c2 ∂t

(3.49)

~ r, t) = − ∇ × E(~ ~ r, t) = ∇ × B(~

~ r, t) = 0, ∇ · E(~

(3.50)

~ r, t) = 0. ∇ · B(~

(3.51)

y

´ (3.48) tendremos que Tomando rotacional en la ecuacion ~ = − ∂ ∇ × B, ~ ∇×∇×E ∂t de donde, en virtud de (3.49) ³ ´ 2~ ~ − ∇2 E ~ = − 1 ∂ E, ∇ ∇·E 2 c ∂t2 y de acuerdo con (3.50) hallamos finalmente que ¶ µ 1 ∂2 ~ 2 ~ r, t) = 0. ∇ − 2 2 E(~r, t) = ¤ E(~ c ∂t

(3.52)

6 Las ondas electromagn´ ´ ´ son un caso particular de campo electromagn´etico. eticas, como veremos en la proxima seccion,

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

74

An´alogamente, tomando rotacional en (3.49) y teniendo en cuenta las ecuaciones de Maxwell (3.48) y (3.51) obtenemos que µ ¶ 1 ∂2 ~ 2 ~ r, t) = 0. ∇ − 2 2 B(~r, t) = ¤ B(~ (3.53) c ∂t ~ yB ~ son soluciones de la ecuacion ´ homog´enea de D 0 Alembert, tambi´en conocida Los campos E ´ de onda. En otras palabras, en regiones del espacio-tiempo donde con el nombre de ecuacion ρ y ~J son simult´aneamente nulas tanto la componente el´ectrica como la componente magn´etica ´ de onda. Tales ondas se conocen del campo electromagn´etico ser´an soluciones de la ecuacion con el nombre de ondas electromagn´eticas, y son un caso especial de campo electromagn´etico. ´ de las ondas electromagn´eticas en el vac´ıo es exactamente c, como La velocidad de propagacion puede inferirse de las ecuaciones homog´eneas de D 0 Alembert. Para que las soluciones de las ~ yB ~ tienen que ser, adem´as, ecuaciones de onda (3.52) y (3.53) tengan sentido f´ısico, los campos E soluciones de las ecuaciones de Maxwell (3.48)-(3.51).

3.8.1. Ondas planas. ´ de las ecuaciones homog´eneas de D 0 Alembert (3.52) y (3.53) es la onda Una posible solucion plana caracterizada por los vectores h ³ ´i ~ r, t) = E ~ 0 exp i ~k · ~r − ωt E(~ (3.54) y h ³ ´i ~ r, t) = B ~ 0 exp i ~k · ~r − ωt , B(~

(3.55)

~0 y B ~ 0 las amplitudes complejas del campo el´ectrico y el campo magn´etico, respectivasiendo E mente, de la onda electromagn´etica, ~k es el denominado vector de onda y ω es la frecuencia de ´ la onda. Esta onda es monocrom´atica, pues la frecuencia de la onda posee un unico valor bien ´ de propagacion ´ de la onda es justamente la direccion ´ del vector ~k. definido. Adem´as, la direccion Debemos exigir que las expresiones (3.54) y (3.55) sean tambi´en soluciones de las ecuaciones de Maxwell. As´ı, h ³ ´i ~ = 0 ⇒ i~k · E ~ 0 exp i ~k · ~r − ωt = 0, ∇·E de donde ~k · E ~ = 0.

(3.56)

An´alogamente h ³ ´i ~ = 0 ⇒ i~k · B ~ 0 exp i ~k · ~r − ωt = 0, ∇·B de donde ~k · B ~ = 0.

(3.57)

Por otra parte, h ³ ´i h ³ ´i ~ ~ 0 exp i ~k · ~r − ωt = iω B ~ 0 exp i ~k · ~r − ωt , ~ = − ∂ B ⇒ i~k × E ∇×E ∂t c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

75

y en consecuencia ~k × E ~ = ω B. ~

(3.58)

De la misma forma ~ = ∇×B

h ³ ´i h ³ ´i ~ 1 ∂E ~ 0 exp i ~k · ~r − ωt = −i ω E ~ 0 exp i ~k · ~r − ωt , ⇒ i~k × B 2 2 c ∂t c

y por lo tanto ~k × B ~ = − ω E. ~ c2

(3.59)

´ (3.58) hallamos que Premultiplicando vectorialmente por ~k en la expresion 2

~k × ~k × E ~ = ω~k × B ~ = − ω E, ~ c2 de donde ³ ´ 2 ~k ~k · E ~ − k2 E ~ = − ω E. ~ c2 ´ (3.56) obtenemos finalmente que Teniendo en cuenta la relacion ω |~k| = k = . c

(3.60)

~ yB ~ son mutuamente ortogonales. Puesto que los vectores E ~ yB ~ ´ Notese que los vectores ~k, E ´ asociados a la onda electromagn´etica que se propaga en el vac´ıo son perpendiculares a la direccion ´ de dicha onda (es decir, perpendiculares al vector de onda ~k), se dice que la onda de propagacion ´ es transversal. En determinadas circunstancias, que no analizaremos electromagn´etica en cuestion aqu´ı, pueden tener lugar ondas electromagn´eticas longitudinales en las cuales uno de los vectores ~ oB ~ resulta ser paralelo a ~k, pero esto solo ´ puede ocurrir cuando la onda electromagn´etica se E propaga a trav´es de ciertos medios materiales no vac´ıos. ~ B = |B| ~ y los vectores unitarios ~ek , ~eE y ~eB a lo largo Definamos las magnitudes E = |E|, ~ y B, ~ respectivamente. Entonces, teniendo en cuenta que de las direcciones de los vectores ~k, E ~k = k ~ek = ω ~ek en la expresion ´ (3.59) hallamos que c ω ~ = − ω E, ~ ~ek × B c c2 de donde ~ ~ × ~ek = 1 E. B c

(3.61)

De forma similar puede demostrarse, a partir de (3.58), que 1 ~ = B. ~ ~ek × E c

(3.62)

´ Tomando modulo en ambos miembros de (3.61) [o de (3.62)] y teniendo en cuenta la ortogonali~ yB ~ es f´acil ver que dad entre ~k, E E = cB,

(3.63) c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

76

o bien c2 B 2 − E 2 = 0.

(3.64)

~ yB ~ asociados a la onda electromagn´etica plana no son, en consecuencia, indepenLos campos E dientes entre s´ı. Encontremos ahora las relaciones que satisfacen los vectores unitarios ~ek , ~eE y ~eB . Premulti~ en la expresion ´ (3.61) hallamos plicando vectorialmente por B ³ ´ ~ ×B ~ × ~ek = B ~ B ~ · ~ek − B 2~ek = 1 B ~ × E. ~ B c Luego ~ek =

~ ×B ~ ~ ×B ~ E E . = 2 cB EB

´ (3.63). As´ı, Aqu´ı hemos tenido en cuenta la expresion ~ek = ~eE × ~eB .

(3.65)

La cantidad φ(~r, t) = ~k · ~r − ωt

(3.66)

´ pase conoce con el nombre de fase de la onda plana. La superficie definida por la ecuacion ram´etrica φ(~r, t) = const se llama superficie de fase constante o frente de onda en el instante t. El ´ param´etrica frente de onda de la onda plana es precisamente un plano, definido por la ecuacion ~k · ~r − ωt = const,

(3.67)

o bien ~ek · ~r − ct = const,

(3.68)

´ donde la variable t juega el papel del par´ametro. Notese que el vector ~k es siempre perpendicular al frente de onda en este caso, de donde se infiere que el frente de onda de la onda plana es ´ de propagacion ´ de dicha onda en cualquier instante de tiempo. perpendicular a la direccion

3.8.2. Densidad de energ´ıa y vector de Poynting de la onda plana. ´ (3.32), la densidad de energ´ıa de la onda plana es De acuerdo con la expresion w=

· ¸2 ¢ ²0 ²0 c2 1 ²0 ¡ 2 ~ , ~ek × E E + c2 B 2 = E 2 + 2 2 2 c

´ (3.62). De aqu´ı puede verse sin dificultades que donde hemos tenido en cuenta la relacion w = ²0 E 2

(3.69)

es la densidad de energ´ıa de la onda plana. ´ (3.33) para el vector de Poynting, En virtud de la definicion ~S = ²0 c2 E ~ × B. ~ c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

77

De acuerdo con (3.62), ¸ · h ³ ´i ~S = ²0 c2 E ~ × 1 ~ek × E ~ = ²0 c ~ek E 2 − E ~ ~ek · E ~ , c de donde ~S = ²0 cE 2~ek ,

(3.70)

´ (3.69) para la densidad de energ´ıa de la onda plana, o bien, teniendo en cuenta la expresion ~S = c w ~ek .

(3.71)

´ del vector de Poynting es la direccion ´ de propagacion ´ de la energ´ıa de la onda elecLa direccion ´ del vector de onda. tromagn´etica, la cual coincide con la direccion

3.8.3. Polarizacion ´ de las ondas planas. Sea

h ³ ´i ~ r, t) = E ~ 0 exp i ~k · ~r − ωt E(~

el campo el´ectrico asociado a cierta onda plana monocrom´atica. Tomemos un sistema de referencia tal que ~k = (0, 0, k). Entonces h i ~ r, t) = E ~ 0 exp [i (kz − ωt)] = E ~ 0 exp i ω (z − ct) . E(~ c Los frentes de onda en este caso son los planos z = const. Analicemos el comportamiento del ~ 0 del campo el´ectrico es en general un campo el´ectrico en el plano particular z = 0. La amplitud E vector complejo, que puede ser escrito como ~ 0 = E0x~ex + E0y~ey = E0x eia~ex + E0y eib~ey , E donde ~ex y ~ey son los vectores unitarios a lo largo de las direcciones de los ejes x y y, respectivamente, mientras que E0x [E0y ] y a [b] son la amplitud real y la fase, respectivamente, de la ~ 0 . En consecuencia, componente E0x [E0y ] del vector E ~ E(0, t) = E0x eia e−iωt~ex + E0y eib e−iωt~ey = Ex (0, t) ~ex + Ey (0, t) ~ey ,

(3.72)

siendo Ex (0, t) = E0x ei(a−ωt)

(3.73)

Ey (0, t) = E0y ei(b−ωt) .

(3.74)

y

Tomemos, sin p´erdida de generalidad, b = 0 en (3.74) y definamos Ex (t) = Re [Ex (0, t)] = E0x cos(a − ωt)

(3.75)

Ey (t) = Re [Ey (0, t)] = E0y cos(ωt).

(3.76)

y

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

78

Entonces Ex (t) = E0x [cos(ωt) cos(a) + sin(ωt) sin(a)] .

(3.77)

Pero de acuerdo con (3.76), cos(ωt) =

Ey (t) , E0y

de donde, sustituyendo en (3.77) encontramos que s Ey2 (t) Ex (t) Ey (t) = cos(a) + 1 − 2 sin(a). E0x E0y E0y ´ anterior obtenemos finalmente que Eliminando el radical en el miembro derecho de la expresion ·

Ex (t) E0x

¸2

·

Ey (t) + E0y

¸2 −2

Ex (t)Ey (t) cos(a) = sin2 (a). E0x E0y

(3.78)

´ de una elipse cuyo semieje mayor forma un a´ ngulo θ con el eje Ex tal que Esta es la ecuacion tan(2θ) = 2

E0x E0y 2 − E 2 cos(a). E0x 0y

(3.79)

´ Notese que la cantidad a es la diferencia de fase entre Ex y Ey [ver relaciones (3.73) y (3.74), respectivamente]. Si no hubi´esemos tomado b = 0 en (3.74), entonces habr´ıamos obtenido ecuaciones similares a (3.78) y (3.79), pero reemplazando a por b − a. ´ entre las partes reales de las dos componentes fundamentales del campo el´ectrico La relacion ´ de la onda. De acuerdo con (3.78), la en una superficie de fase constante define la polarizacion ´ el´ıptica. Pueden existir, sin embargo, onda monocrom´atica plana posee, en general, polarizacion ´ que pueden ser obtenidos a partir de la expresion ´ (3.78). Veamos diferentes tipos de polarizacion estos casos. 1. a = 2nπ. En este caso Ex (t) =

E0x Ey (t), E0y

´ de la onda electromagn´etica plana es lineal. y la polarizacion 2. a = (2n + 1)π. Entonces se tiene que Ex (t) = −

E0x Ey (t), E0y

´ de la onda tambi´en es lineal. y la polarizacion 3. a = (2n + 1) π2 conduce a que ·

Ex (t) E0x

¸2

· +

Ey (t) E0y

¸2 = 1.

´ de la onda electromagn´etica plana es el´ıptica no rotada. En este caso la polarizacion c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

79

4. Finalmente, si en el caso anterior tenemos que E0x = E0y = E0 , entonces Ex2 (t) + Ey2 (t) = E02 , ´ de la onda es circular. es decir, la polarizacion ´ con par´ametro t, de la elipse Las expresiones (3.75) y (3.76) constituyen una parametrizacion, ´ (3.78). La variacion ´ del tiempo hace que la elipse se recorra en un sentido u dada por la relacion otro, dependiendo del valor de la cantidad a. Si 0 < a < π la elipse se recorre en el sentido de las ´ de llama dextrogira. ´ manecillas del reloj, y la polarizacion Si por el contrario π < a < 2π la elipse ´ se llama levogira. ´ se recorre en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, y la polarizacion

3.9. Paquete de ondas. Un paquete de ondas es una onda electromagn´etica localizada tanto desde el punto de vista ´ de espacial como temporal. El paquete de ondas puede ser expresado como una superposicion ondas planas monocrom´aticas con amplitudes dependientes de los par´ametros de la onda (~k y ω). Consideremos la onda monocrom´atica plana, con amplitud dependiente de la frecuencia ~ ω (z, t) = E ~ 0 (ω) ei(kz−ωt) , E

(3.80)

~ ´ del eje z. Sea ahora E(z, ´ de infinitas que se propaga a lo largo de la direccion t) la superposicion ondas de frecuencia ω Z +∞ Z +∞ ~ ~ ~ 0 (ω) ei(kz−ωt) dω. E(z, t) = Eω (z, t) dω = E (3.81) 0

0

~ ω las satisface, entonces E ~ tambi´en satisface las Como las ecuaciones de Maxwell son lineales y E ~ ´ de la ecuacion ´ de onda, en ecuaciones de Maxwell. Es evidente que E tambi´en es una solucion virtud de lo cual dicha magnitud es la componente el´ectrica del campo asociado a una onda elec´ de ondas tromagn´etica. Dicha onda electromagn´etica, por estar constitu´ıda por la superposicion monocrom´aticas de frecuencias diferentes, suele llamarse paquete de ondas. ~ 0 (ω) es la encargada de modular la amplitud de la componente de frecuencia ω ´ E La funcion en el paquete de ondas. Para el caso particular ~ 0 δ (ω − ω0 ) ~ 0 (ω) = E E obtenemos, despu´es de sustituir en (3.81), ~ ~ 0 ei(kz−ω0 t) , E(z, t) = E ´ para la onda monocrom´atica plana de frecuencia ω0 . que es la expresion ´ Consideremos ahora el caso en que el paquete de ondas est´a integrado solamente por ondas ∆ω monocrom´aticas con frecuencias contenidas en el segmento ω0 − ∆ω 2 ≤ ω ≤ ω0 + 2 . En otras palabras, supongamos que ( ∆ω ~ ~ 0 (ω) = E0 si |ω − ω0 | ≤ 2 . E (3.82) 0 si |ω − ω0 | > ∆ω 2 c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

80

Entonces Z ~ ~0 E(z, t) = E

ω0 + ∆ω 2

ei(kz−ωt) dω.

(3.83)

ω0 − ∆ω 2

´ de la frecuencia. Si ∆ω ¿ ω0 podemos efectuar un En general el vector de onda k es una funcion desarrollo de k en serie de potencias de ω − ω0 , es decir, ¯ dk ¯¯ k(ω) ' k(ω0 ) + (ω − ω0 ) + ... . (3.84) dω ¯ω=ω0 ´ de primer orden podemos tomar En una aproximacion k(ω) ' k(ω0 ) +

1 (ω − ω0 ), vg (ω0 )

(3.85)

siendo vg (ω0 ) la velocidad de grupo 7 a la frecuencia ω0 . En consecuencia Z ~ ~0 E(z, t) = E

ω0 + ∆ω 2

e

i(k0 z+

ω−ω0 vg

Z z−ωt)

ω0 − ∆ω 2

~ 0 ei(k0 z−ω0 t) dω = E

ω0 + ∆ω 2

h

e

i

z vg

i −t (ω−ω0 )

dω,

ω0 − ∆ω 2

con k0 = k(ω0 ). Haciendo el cambio de variables u = ω − ω0 encontramos que Z ~ ~ 0 ei(k0 z−ω0 t) E(z, t) = E

∆ω 2

− ∆ω 2

e

h i i vzg −t u

du = h

·µ ¶ ¸ ~ 0 ∆ω z ∆ω i(k0 z−ω0 t) E i sin −t e . z ∆ω vg 2 − t vg 2

Definamos ~ ~ 0 sin(ξ) ∆ω, A(ξ) =E ξ siendo

(3.86)

·

¸ z ∆ω ξ= −t . vg (ω0 ) 2

(3.87)

Entonces i(k0 z−ω0 t) ~ ~ E(z, t) = A(ξ)e .

(3.88)

7 Ya hemos visto que, para el caso de una onda electromagn´ ´ entre el modulo ´ etica plana, la relacion del vector de onda ´ y la frecuencia de la onda viene dada por la expresion

k=

ω . c

´ ~ ´ de dispersion ´ de la onda. En general, la relacion k = ~ k(ω) [o tambi´en ω = ω(~ k)] se conoce con el nombre de relacion Suelen definirse la velocidad de fase de la onda por la expresi´on vf =

ω , k

y la velocidad de grupo de la onda como vg =

dω 1 = . dk dk/dω

En general, la velocidad de grupo es siempre menor o igual que la velocidad de propagaci´on de la onda en el vac´ıo (vg ≤ c), mientras que la velocidad de fase puede ser menor, igual, o mayor que c. En el caso particular de la onda monocrom´atica plana las velocidades de fase y grupo coinciden, y ambas son iguales a c.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

81

~ ´ ´ Notese que la m´axima amplitud de E(z, t) se obtiene cuando ξ = 0. Atendiendo a la definicion (3.87), zm ξ=0 ⇒ − t = 0, vg (ω0 ) de donde zm = vg (ω0 )t.

(3.89)

Es decir, el punto de m´axima amplitud del paquete de ondas electromagn´eticas considerado se ´ es general y v´alida para cualquier paquete desplaza con la velocidad de grupo. Esta conclusion de ondas que se propague en el vac´ıo. Elijamos ahora z = z0 fijo. Sea t tal que · ¸ π z0 ∆ω ξ1 = −t ≥ vg (ω0 ) 2 2 y ∆t tal que · ξ2 =

¸ z0 ∆ω π − (t + ∆t) ≤− . vg (ω0 ) 2 2

La cantidad ∆t puede ser considerada aqu´ı como el tiempo que demora el paquete de ondas en ´ del pulso (paquete) pasar por el punto de coordenada z0 , es decir, como el tiempo de duracion ´ (3.88). Restando las dos expresiones anteriores hallamos electromagn´etico descrito por la relacion ∆ω ∆t ≥ 2π.

(3.90)

´ del punto de m´axima amplitud del paquete, Sea ahora z = zm + ∆z, donde zm es la posicion tal que · ¸ · ¸ z ∆ω zm + ∆z ∆ω ξ= −t = −t ≥ π. vg (ω0 ) 2 vg (ω0 ) 2 La cantidad ∆z puede ser considerada como la longitud espacial del paquete de ondas. En consecuencia, ·µ ¶ ¸ zm ∆z ∆ω ∆z ∆ω −t + = ≥ π. vg (ω0 ) vg (ω0 ) 2 vg (ω0 ) 2 ´ (3.89). Pero, de acuerdo con (3.85), es evidente que Aqu´ı hemos tenido en cuenta la relacion k − k0 = ∆k =

ω − ω0 ∆ω = . vg (ω0 ) vg (ω0 )

De esta manera encontramos finalmente que ∆z ∆k ≥ 2π.

(3.91)

´ (3.90) es inmediato: para una onda electromagn´etica estricEl significado f´ısico de la relacion ´ del paquete de tamente monocrom´atica (∆ω = 0) se tiene que ∆t → ∞, es decir, la duracion ondas es infinito o, en otras palabras, la onda electromagn´etica est´a deslocalizada en el tiempo. En este caso se dice que la onda electromagn´etica es temporalmente coherente. An´alogamente, en virtud de (3.91), si el vector de onda est´a bien determinado (∆k = 0) entonces ∆z → ∞, o sea, la onda electromagn´etica est´a deslocalizada en el espacio. Suele decirse entonces que la onda electromagn´etica es espacialmente coherente. En la pr´actica no existen ondas coherentes desde el ´ en el caso de la radiacion ´ laser punto de vista temporal ni desde el punto de vista espacial. Aun ∆k ˜ y , aunque muy peque nas, no -la m´as coherente creada por el ser humano- las magnitudes ∆ω ω k son exactamente iguales a cero. c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

Cap´ıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell

82

3.10. Problemas propuestos 1. La part´ıcula cargada de carga q se mueve en el plano XY a lo largo de la recta y = x − a con velocidad constante ~ v alej´andose del origen de coordenadas. En el instante de tiempo t = 0 la part´ıcula se encontraba sobre el eje x. ´ de Calcule las densidades de carga y corriente asociadas a la part´ıcula y verifique el cumplimiento de la ecuacion continuidad. ´ la ley x(t) = A sin(ωt). Calcule las densidades 2. La part´ıcula cargada con carga q se mueve a lo largo del eje x segun ´ de continuidad. Halle los de carga y corriente asociadas a la part´ıcula y verifique el cumplimiento de la ecuacion . Demuestre valores medios hρi y h~ Ji de las densidades de carga y corriente, respectivamente, en el per´ıodo T = 2π ω que Z hρi dV = q. 3. La part´ıcula de carga q se mueve en el plano XY siguiendo una trayectoria circular de radio a con velocidad angular constante ω. La trayectoria circular tiene su centro en el origen de coordenadas, y en el instante de tiempo t = 0 la part´ıcula se encontraba sobre la rama positiva del eje x. Halle las densidades de carga y corriente asociadas a la part´ıcula y escr´ıbalas en coordenadas cil´ındricas. Demuestre que Z hρi dV = q y que Z

Z dr

dz hJϕ i dV =

q , T

´ T de la part´ıcula, de la componente ϕ de la densidad de siendo hJϕ i el valor medio, en un per´ıodo de revolucion corriente. 4. En el plano XY se encuentra un hilo conductor que describe la par´abola y = αx2 (α > 0). Un campo magn´etico ~ est´a aplicado en la direccion ´ B ´ perpendicular al plano de la par´abola. En homog´eneo y constante de induccion ´ constante a dirigida a lo largo del eje y, un el instante de tiempo t = 0 comienza a desplazarse, con aceleracion puente met´alico que une las dos ramas de la par´abola y que es paralelo al eje x. Hallar la fuerza electromotriz ´ de y. inducida en el circuito formado por la par´abola y el puente en funcion 5. Calcule los valores medios de la densidad de energ´ıa y del vector de Poynting asociados a una onda electro~ 0. magn´etica plana de frecuencia ω y amplitud E ~ del campo electromagn´etico de una onda monocrom´atica plana que se propaga en la 6. En el plano z = 0 el vector E ´ del eje z es direccion h i ~ = E0 e−i(ωt− π4 )~ex + e−iωt~ey , E siendo ~ex y ~ey los vectores unitarios a lo largo de las direcciones de los ejes x y y, respectivamente, ω es la frecuencia ´ ´ que vincula las partes reales de las dos componentes de la onda y E0 es un numero real. Encuentre una expresion ~ ¿Qu´e tipo de polarizacion ´ posee la onda dada? dadas de E.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

C AP´I TULO 4

Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion ´ 4.1. Solucion ´ de las ecuaciones para los potenciales del campo electromagn´etico. ~ del campo electromagn´etico satisfacen las ecuaciones Ya hemos visto que los potenciales φ y A 0 ´ 3.5.2 del Cap´ıtulo 3] no-homog´eneas de D Alembert [ver ecuaciones (3.24) y (3.25) en la seccion ¤φ(~r, t) = −

ρ(~r, t) ²0

y ~ r, t) = −µ0~J(~r, t), ¤A(~ respectivamente. La forma expl´ıcita para los potenciales del campo electromagn´etico puede ser ´ de Green para la encontrada con el auxilio de la conocida identidad de Kirchhoff y de la funcion ´ de D 0 Alembert en el espacio abierto. Veamos. ecuacion

4.1.1. Identidad de Kirchhoff. ´ de la identidad de Kirchhoff nos hemos basado en el formalismo desarroPara la deduccion llado en la referencia [2]. ´ del problema diferencial Estudiemos la solucion · ¸ 1 ∂2 ∇2 − 2 2 u(~r, t) = ¤u(~r, t) = −f (~r, t) (4.1) c ∂t ´ y para ello consideremos la superficie definida por la ecuacion 1 |~r − ~r0 | = |t − t0 |, (4.2) c ´ ~r0 en llamada usualmente cono luminoso con v´ertice en el punto M0 de radiovector de posicion ´ el instante t0 . Notese que si en el instante de tiempo t = 0 se emite una onda electromagn´etica ˜ llegar´a al punto M de radio desde el punto M0 , entonces en el instante de tiempo t > t0 la senal ´ ~r y, obviamente, vector de posicion 1 |~r − ~r0 | = t − t0 , t > t0 . (4.3) c An´alogamente, si en el instante de tiempo t < t0 se emite desde el punto M de radiovector de ´ ~r una onda electromagn´etica, entonces la senal ˜ arribar´a al punto M0 en el instante de posicion tiempo t0 tal que 1 |~r − ~r0 | = t0 − t, t < t0 . c

(4.4) 83

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

84

Las ecuaciones (4.3) y (4.4) definen la parte superior y la parte inferior, respectivamente, del cono luminoso con respecto a su v´ertice M0 . Efectuemos en (4.1) el cambio de variables · ¸ |~r − ~r0 | ∗ t = t − t0 − (4.5) c y pasemos a las coordenadas esf´ericas (r, θ, ϕ) tomando el origen de coordenadas en el punto M0 . Denotemos U (r, θ, ϕ, t∗ ) = u(r, θ, ϕ, t)

(4.6)

F (r, θ, ϕ, t∗ ) = f (r, θ, ϕ, t).

(4.7)

y

´ Notese que ∂u ∂U 1 ∂U = + , ∂r ∂r c ∂t∗

∂2u ∂2U 2 ∂2U 1 ∂2U = + + , ∂r2 ∂r2 c ∂r∂t∗ c2 ∂t∗2

∂u ∂U = , ∂θ ∂θ ∂U ∂u = , ∂ϕ ∂ϕ

∂2u ∂2U = , ∂θ2 ∂θ2 ∂2u ∂2U = , ∂ϕ2 ∂ϕ2

∂u ∂U = ∗, ∗ ∂t ∂t En consecuencia,

∂2u ∂2U = . ∂t∗2 ∂t∗2

∂2U 2 ∂U 1 ∂ ∂U 1 ∂2U 2 ∂U 2 ∂2U + + sin(θ) + + + ∂r2 r ∂r r2 sin(θ) ∂θ ∂θ cr ∂t∗ c ∂r∂t∗ r2 sin2 (θ) ∂ϕ2 1 ∂2U 1 ∂2U + − 2 ∗2 = −F, 2 ∗2 c ∂t c ∂t de donde obtenemos que ¤u

=

∇2 U (~r, t∗ ) = −F (~r, t∗ ) −

2 ∂ ∂U (~r, t∗ ) r . cr ∂r ∂t∗

(4.8)

´ no-homog´enea de Poisson, en la cual t∗ actua ´ como un par´ametro. Esta es una ecuacion 3 Sea V ⊂ R un conjunto volum´etrico limitado por una superficie orientable S con vector normal ~n y supongamos que V contiene el origen de coordenadas, es decir, M0 ∈ V. Ya hemos ´ del problema diferencial visto en el Cap´ıtulo 1 que la solucion ∇2 u(~r) = −f (~r) ´ general admite la solucion ¸ Z ZZ · ∂u(~r 0 ) ∂ 0 0 u(~r) = G(~r,~r 0 )f (~r 0 ) dV 0 + ° G(~r,~r 0 ) − u(~ r ) G(~ r ,~ r ) dS 0 , ∂n 0 ∂n 0 V S siendo G(~r,~r 0 ) =

1 4π|~r − ~r 0 | c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

85

´ de Green para la ecuacion ´ de Poisson. Por lo tanto la solucion ´ de la ecuacion ´ (4.8) en el la funcion punto M0 (~r0 = 0) en el instante t∗ es ¸ · ¸ ZZ · Z 1 1 ∂U (~r, t∗ ) ∂ 1 2 ∂ 1 ∂U (~r, t∗ ) U (0, t∗ ) = ° − U (~r, t∗ ) dS + r dV 4π S r ∂n ∂n r 4π V cr2 ∂r ∂t∗ Z F (~r, t∗ ) 1 dV. (4.9) + 4π V r Consideremos la integral · ¸ Z 1 ∂ ∂U (~r, t∗ ) I= r dV. 2 ∂t∗ V r ∂r ´ (4.9) puede ser reescrita como Entonces la expresion ¸ ZZ · Z 1 ∂U (~r, t∗ ) 1 2 1 1 F (~r, t∗ ) ∗ ∂ 1 ∗ U (0, t ) = ° − U (~r, t ) dS + I+ dV. 4π S r ∂n ∂n r 4π c 4π V r

(4.10)

(4.11)

~ tal que Dado un campo vectorial H ~ = Hr~er + Hθ~eθ + Hϕ~eϕ H ´ escrito en coordenadas esf´ericas, su divergencia puede calcularse mediante la expresion · ¸ 1 ∂ 2 ∂ ∂ ~ = ∇·H r sin(θ) Hr + r sin(θ) Hθ + r Hϕ . r2 sin(θ) ∂r ∂θ ∂ϕ Si en particular Hθ = Hϕ = 0, entonces ~ = 1 ∂ r 2 Hr . ∇·H r2 ∂r Definamos ∗ ~ r, t∗ ) = 1 ∂U (~r, t ) ~er . H(~ ∗ r ∂t

Entonces

Z

ZZ ZZ 1 ∂U (~r, t∗ ) ∗ ∗ ~ ~ ~er · ~n dS. I= ∇ · H(~r, t ) dV = ° H(~r, t ) · ~n dS = ° ∂t∗ V S S r

Pero ~er · ~n = ∇r · ~n =

dr . dn

Luego ZZ 1 ∂U (~r, t∗ ) dr I=° dS. ∂t∗ dn S r

(4.12)

Sustituyendo (4.12) en (4.11) encontramos que ¸ ZZ · 1 1 ∂U (~r, t∗ ) ∂ 1 2 dr ∂U (~r, t∗ ) U (0, t∗ ) = ° − U (~r, t∗ ) + dS 4π S r ∂n ∂n r cr dn ∂t∗ Z 1 F (~r, t∗ ) + dV. 4π V r c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

(4.13)

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

86

Retornemos ahora a las variables originales (~r, t). Puesto que en virtud de (4.6) se tiene que u(~r, t) = U (~r, t∗ ), entonces ∂u ∂U = ∇u · ~n = ∇U · ~n + ∗ ∇t∗ · ~n. ∂n ∂t ´ (4.5) Pero de acuerdo con la expresion ∇t∗ · ~n =

1 dr 1 ∇r · ~n = . c c dn

Luego ∂u ∂U 1 dr ∂U = + . ∂n ∂n c dn ∂t∗

(4.14)

Supongamos ahora que t∗ = 0 en (4.5). En este caso |~r − ~r0 | c

(4.15)

³ r´ U (~r, 0) = u ~r, t0 − , c

(4.16)

t = t0 − y

´ donde ~r0 = 0 por haber tomado el origen de coordenadas sobre el punto M0 . Notese que si ~r = ~r0 = 0 entonces t = t0 . Por lo tanto U (0, 0) = u(~r0 , t0 ).

(4.17)

´ (4.13) en t∗ = 0 y teniendo en cuenta las expresiones (4.6), (4.7), (4.14), Evaluando la expresion (4.15), (4.16) y (4.17) encontramos ¢ ¢# ¡ ¡ ZZ " ³ 1 1 ∂u ~r, t0 − rc r´ ∂ 1 1 dr ∂u ~r, t0 − rc u(~r0 , t0 ) = ° − u ~r, t0 − + dS 4π S r ∂n c ∂n r cr dn ∂t ¡ ¢ Z f ~r, t0 − rc 1 (4.18) + dV. 4π V r ´ general de la ecuacion ´ diferencial (4.1) en el v´ertice del cono luminoso. La Esta es la solucion ´ anterior puede ser f´acilmente extendida para cualesquiera valores de ~r y t. As´ı, expresion · ¸ · ¸¾ ZZ ½ 1 1 ∂u ∂ 1 1 d|~r − ~r 0 | ∂u u(~r, t) = ° − [u] + dS 0 4π S |~r − ~r 0 | ∂n 0 ∂n 0 |~r − ~r 0 | c|~r − ~r 0 | dn 0 ∂t Z 1 [f ] + dV 0 , (4.19) 4π V |~r − ~r 0 | donde hemos definido ¶ µ 1 0 0 [u] = u ~r , t − |~r − ~r | , c ·

(4.20)

¸ µ ¶ ∂u ∂u 1 0 0 ~ ~ = r , t − |~ r − r | , ∂n 0 ∂n 0 c c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

(4.21)

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion ·

¸ µ ¶ ∂u ∂u 1 0 0 ~r , t − |~r − ~r | = ∂t ∂t c

87

(4.22)

y µ ¶ 1 [f ] = f ~r 0 , t − |~r − ~r 0 | . c

(4.23)

´ (4.19) se conoce con el nombre de formula ´ La expresion de Kirchhoff o identidad de Kirchhoff.

4.1.2. Funcion ´ de Green para la ecuacion ´ de D 0 Alembert en el espacio abierto. Consideremos el problema diferencial  ¡ 0 0¢  ¤G(~r,~r , t) = −δ ~r − ~r δ(t), r→∞ G(~r,~r 0 , t) −→ 0,   ∂G(~r,~r 0 ,t) r→∞ −→ 0,

~r ∈ R3 , ~r 0 ∈ R3 , t ∈ (0, +∞), (4.24)

∂n

siendo ~n un vector normal a una esfera de radio R centrada en el origen de coordenadas. Obvia´ anterior equivale a tomar el l´ımite R → ∞ 1 . mente el l´ımite r → ∞ en¡ la expresi on 0¢ Haciendo f (~r, t) = δ ~r − ~r δ(t) en la identidad de Kirchhoff (4.19) y teniendo en cuenta las condiciones de frontera para G hallamos µ ¶ Z Z ¡ 00 1 [f ] 1 1 1 0 0¢ 00 00 G(~r,~r , t) = dV = δ ~r − ~r δ t − |~r − ~r | dV 00 . (4.25) 4π V |~r − ~r 00 | 4π V |~r − ~r 00 | c En consecuencia, G(~r,~r 0 , t) =

µ ¶ 1 1 0 ~ δ t − |~ r − r | . c 4π|~r − ~r 0 |

(4.26)

´ de Green para la ecuacion ´ de D 0 Alembert en el espacio abierto. Dado el probleEsta es la funcion ma diferencial  3  ¤u(~r, t) = −f (~r, t), ~r ∈ R , t ∈ (0, +∞), r→∞ u(~r, t) −→ 0, (4.27)   ∂u(~r,t) r→∞ −→ 0, ∂n

´ u viene dada por la convolucion ´ de la inhomogeneidad f con la funcion ´ de Green la solucion (4.26), es decir [2], Z u(~r, t) =

Z

+∞

¢ ¡ f (~r 0 , τ ) G ~r,~r 0 , t − τ dV 0 .

dτ 0

(4.28)

R3

1 Esta aclaracion ´ es v´alida tambi´en para cualquier problema diferencial en el espacio abierto, como los dados por las expresiones (4.27), (4.29) y (4.30).

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

88

4.1.3. Potenciales retardados. Ahora estamos en condiciones de resolver las ecuaciones para los potenciales del campo electromagn´etico en el espacio abierto. Estas ecuaciones son  ρ(~ r,t) 3   ¤φ(~r, t) = − ²0 , ~r ∈ R , t ∈ (0, +∞), r→∞ (4.29) φ(~r, t) −→ 0,   r→∞ ~ ∂φ( r ,t)  −→ 0 ∂n

y  ~  = −µ0~J(~r, t),  ¤A(~r, t) r→∞ ~ r, t) −→ 0, A(~   ~ (~r,t) r→∞  ∂A −→ 0

~r ∈ R3 , t ∈ (0, +∞), (4.30)

∂n

para los potenciales escalar y vectorial, respectivamente. De acuerdo con (4.28) es evidente que µ ¶ Z +∞ Z 1 ρ(~r 0 , τ ) 1 0 ~ φ(~r, t) = dτ δ t − τ − |~ r − r | dV 4π²0 0 c r − ~r 0 | R3 |~

0

y ~ r, t) = µ0 A(~ 4π

Z

dτ R3

0

de donde φ(~r, t) =

Z

+∞

Z

1 4π²0

R3

¶ ~J(~r 0 , τ ) µ 1 0 ~ δ t − τ − |~ r − r | dV 0 , c |~r − ~r 0 |

¡ ¢ Z ρ ~r 0 , t − 1c |~r − ~r 0 | 1 [ρ] 0 dV = dV 4π²0 R3 |~r − ~r 0 | |~r − ~r 0 |

0

(4.31)

y ~ r, t) = µ0 A(~ 4π

Z R3

¡ ¢ Z ~J ~r 0 , t − 1 |~r − ~r 0 | µ0 [~J] 0 c dV = dV 0 . 0 4π R3 |~r − ~r 0 | |~r − ~r |

(4.32)

Por razones obvias los potenciales dados por las expresiones (4.31) y (4.32) reciben el nombre de potenciales retardados. Por ejemplo, si tenemos un diferencial de carga dependiente del tiempo situado en el punto de radiovector ~r 0 , el diferencial de potencial que crear´a la carga infinitesimal sobre un punto del espacio de radiovector ~r en el instante t depender´a del estado de dicha carga ´ en infinitesimal en el instante t − t 0 , siendo t 0 = 1c |~r − ~r 0 | el tiempo que demora la interaccion 0 propagarse desde el punto de radiovector ~r hasta el punto de radiovector ~r. Este hecho refleja la ´ de la interaccion ´ en el campo electromagn´etico. finitud de la velocidad de propagacion

4.2. Campo electromagn´etico de una part´ıcula cargada en movimiento arbitrario. 4.2.1. Potenciales de Li´enard-Wiechert. ´ resultan ser los potenciales retardados De especial importancia para la Teor´ıa de la Radiacion relacionados con el movimiento arbitrario de una part´ıcula cargada. Estos potenciales, estudiados c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

89

por los f´ısicos Alfred-Marie Li´enard [19] y Emil Johann Wiechert [20], se conocen con el nombre de potenciales de Li´enard-Wiechert. ´ ~r0 = ~r0 (t) moSupongamos que tenemos una part´ıcula de carga q y radiovector de posicion vi´endose con la velocidad ~v(t) = ~r˙ 0 (t). Como ya es sabido, la densidad de carga asociada a la part´ıcula es ρ(~r, t) = q δ [~r − ~r0 (t)] . El potencial escalar retardado ser´a entonces 1 φ(~r, t) = 4π²0

Z R3

[ρ] q 0 0 dV = 4π²0 |~r − ~r |

Z R3

£ ¡ ¢¤ δ ~r 0 − ~r0 t − 1c |~r − ~r 0 | dV 0 . |~r − ~r 0 |

La integral anterior puede ser reescrita como µ ¶ Z Z £ 0 ¤ dV 0 q 1 0 ~ ~ ~ φ(~r, t) = dτ δ r − r0 (τ ) δ τ − t + |~r − r | , 4π²0 R3 |~r − ~r 0 | c de donde q φ(~r, t) = 4π²0

Z

¤ £ δ τ − t + 1c R(τ ) dτ, R(τ )

(4.33)

siendo ~ R(t) = |R(t)| = |~r − ~r0 (t)|.

(4.34)

´ delta de Dirac en la expresion ´ (4.33). Como es sabido, la funcion ´ delta Analicemos la funcion de Dirac satisface la propiedad δ [f (τ )] =

X δ(τ − τi ) ¯ ¯ , ¯ df ¯ i ¯ dτ ¯

(4.35)

τ =τi

´ f (τ ) = 0. Definamos siendo τi los ceros simples 2 de la ecuacion 1 f (τ ) = τ − t + R(τ ). c

(4.36)

Entonces df (τ ) 1 dR(τ ) =1+ . dτ c dτ

(4.37)

Puede verse sin dificultades que ~ dR(τ ) d 2 ~ ) · dR(τ ) = −2R(τ ~ ) · ~v(τ ), R (τ ) = 2R(τ ) = 2R(τ dτ dτ dτ donde hemos tenido en cuenta que ~ ) d d~r0 (τ ) dR(τ = [~r − ~r0 (τ )] = − = −~v(τ ). dτ dτ dτ 2 Decimos

¯

df (x) ¯ dx ¯x=x

´ f (x) = 0 si se cumplen simult´aneamente las relaciones f (x0 ) = 0 y que x0 es un cero simple de la ecuacion

6= 0.

0

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

90

En consecuencia R(τ )

dR(τ ) ~ ) · ~v(τ ), = −R(τ dτ

de donde dR(τ ) = −~n(τ ) · ~v(τ ), dτ

(4.38)

siendo ~n(τ ) =

~ ) R(τ . R(τ )

(4.39)

Sustituyendo (4.39) en (4.37) obtenemos df (τ ) ~ ), = 1 − ~n(τ ) · β(τ dτ

(4.40)

donde ~ ) = ~v(τ ) β(τ c

(4.41)

es la velocidad de la part´ıcula expresada en unidades de la velocidad de la luz en el vac´ıo. ´ f (τ ) = 0 puede tener como m´aximo una ra´ız. Si suponemos que la ecuacion ´ La ecuacion f (τ ) = 0 tiene al menos dos ra´ıces diferentes τ1 y τ2 , entonces se satisfacen simult´aneamente las relaciones 1 τ1 = t − R(τ1 ) c y 1 τ2 = t − R(τ2 ). c Restando ambas ecuaciones hallamos que τ2 − τ1 =

1 [R(τ1 ) − R(τ2 )] , c

o bien, c(τ2 − τ1 ) = R(τ1 ) − R(τ2 ).

(4.42)

´ ~r0 (τ2 ) y ~r0 (τ1 ) es Por otra parte, la distancia ∆l entre los puntos de vectores de posicion ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯~ ¯ ¯~ ¯ ¯~ ¯ ~ ∆l = |∆~r0 | = |~r0 (τ2 ) − ~r0 (τ1 )| = |~r − ~r0 (τ1 ) − [~r − ~r0 (τ2 )]| = ¯R(τ 1 ) − R(τ2 )¯ ≥ ¯R(τ1 )¯−¯R(τ2 )¯ , es decir, ∆l ≥ R(τ1 ) − R(τ2 ).

(4.43)

Sustituyendo (4.42) en (4.43) hallamos finalmente que ∆l ≥ c∆τ,

(4.44) c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

91

donde ∆τ = τ2 − τ1 . Esto significa que la part´ıcula debe moverse desde el punto de radio vector ´ ~r0 (τ1 ) hasta el punto de radio vector de posicion ´ ~r0 (τ2 ) con una celeridad media igual de posicion o mayor a la velocidad de la luz en el vac´ıo, lo cual no debe ocurrir. En consecuencia, no pueden ´ f = f (τ ). Notese ´ ´ existir m´as de una ra´ız para la funcion adem´as que la unica posible ra´ız de la df (τ ) ´ f (τ ) = 0 es una ra´ız simple, pues la derivada dτ dada por (4.40) es siempre diferente ecuacion ´ de la variable t, de cero para cualquier valor del tiempo 3 . Esta ra´ız es obviamente una funcion ´ f (τ ) = τ − t + 1c R(τ ) = 0. definida impl´ıcitamente por la ecuacion ´ ´ f (τ ) = 0. En virtud de las Denotemos entonces como τR = τR (t) a la unica ra´ız de la ecuacion expresiones (4.35), (4.36) y (4.40) obtenemos δ [f (τ )] =

δ[τ − τR (t)] ~ )|τ =τ |1 − ~n(τ ) · β(τ

.

(4.45)

R (t)

Sustituyendo (4.45) en (4.33) es posible ver que Z q δ[τ − τR (t)] φ(~r, t) = ~ )|τ =τ 4π²0 |~r − ~r0 (τ )| |1 − ~n(τ ) · β(τ

dτ,

R (t)

de donde ¯ ¯ q 1 ¯ φ(~r, t) = ¯ ~ 4π²0 |1 − ~n(τ ) · β(τ )| |~r − ~r0 (τ )| ¯ τ =τ

.

(4.46)

R (t)

De forma an´aloga podemos proceder con el potencial vectorial del campo electromagn´etico generado por una part´ıcula en movimiento arbitrario teniendo en cuenta que ~J(~r, t) = ρ(~r, t) ~v(t) = q ~v(t) δ [~r − ~r0 (t)] . El lector puede demostrar sin muchas dificultades que ¯ ¯ ~ µ q v (τ ) ¯ 0 ~ r, t) = A(~ . ¯ ~ )| |~r − ~r0 (τ )| ¯ 4π |1 − ~n(τ ) · β(τ

(4.47)

τ =τR (t)

Los potenciales del campo electromagn´etico dados por las expresiones (4.46) y (4.47) son los conocidos potenciales de Li´enard-Wiechert.

4.2.2. Campo est´atico y campo de radiacion. ´ ~ yB ~ asociados al campo electromagn´etico producido por el movimiento de la Los vectores E part´ıcula pueden ser calculados a partir de las expresiones ~ ~ = −∇φ − ∂ A E ∂t y ~ = ∇ × A. ~ B 3 La derivada df (τ ) dτ

~ = 1, lo cual significa que que ~ ´ puede ser nula solamente si ~ n·β v = c~ n, y esto tampoco debe ocurrir.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

92

Sustituyendo (4.46) y (4.47) en las expresiones anteriores es posible demostrar f´acilmente que i nh i o ¯¯ £ ¤h ˙ 2 ~ ) × ~β(τ ~ ) + 1 R(τ )~n(τ ) × ~n(τ ) − β(τ ¯ ~ 1 − β (τ ) ) n (τ ) − β(τ c ¯ ~ r, t) = q E(~ (4.48) ¯ h i3 ¯ 4π²0 2 ~ ~ 1 − n(τ ) · β(τ ) R (τ ) ¯ τ =τR (t)

y ~ r, t). ~ r, t) = 1 ~n [τR (t)] × E(~ B(~ c

(4.49)

´ de las expresiones anteriores se deja en manos del lector (¡int´entelo!). La demostracion ~ del campo electromagn´etico puede ser reescrita como La componente E ~ r, t) = E ~ 1 (~r, t) + E ~ 2 (~r, t), E(~

(4.50)

siendo i¯ £ ¤h 2 ~ ) ¯¯ ~ 1 − β (τ ) n (τ ) − β(τ ¯ ~ 1 (~r, t) = q E ¯ h i3 ¯ 4π²0 2 ~ 1 − ~n(τ ) · β(τ ) R (τ ) ¯

(4.51) τ =τR (t)

y nh i o ¯¯ ˙ ~ ~ ~n(τ ) × ~n(τ ) − β(τ ) × β(τ ) ¯ ¯ ~ 2 (~r, t) = q E ¯ h i3 ¯ 4π²0 c ~ ) R(τ ) 1 − ~n(τ ) · β(τ ¯

.

(4.52)

τ =τR (t)

~ 1 posee una estructura que recuerda al campo electrost´atico de una carga punEl t´ermino E ~ 1 . El l´ımite no relativista puede ser tual. Analicemos el l´ımite no relativista de la componente E ~ ´ β = |β| → 0 o, equivalentemente, c → +∞. alcanzado en las ecuaciones mediante la condicion ´ τ − t + 1c R(τ ) = 0, es evidente que Puesto que τR (t) es la ra´ız simple de la ecuacion l´ım τR (t) = l´ım τR (t) = t.

β→0

(4.53)

c→+∞

En consecuencia, ~ 1 (~r, t) β→0 E −→

q ~n(t) , 4π²0 R2 (t)

(4.54)

´ que tiene la misma estructura que la del campo electrost´atico de la part´ıcula puntual, expresion ~ La componente E ~ 1 decae a cero como 12 cuando R excepto por la dependencia temporal en R. R tiende a infinito, y recibe el nombre de campo est´atico. ~ 2 dada por (4.52) no tiene un an´alogo electrost´atico, y tiende a cero como 1 La componente E R ´ y es el t´ermino dominante para cuando R tiende a infinito. Este es el llamado campo de radiacion, ´ ´ es nulo en ausencia de aceleracion, ´ es grandes valores de R. Notese que el campo de radiacion ˙ ~ decir, cuando β = 0.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

93

4.2.3. Vector de Poynting en la region ´ alejada de la fuente. ´ espacial alejada de la part´ıcula, es decir, de la fuente del campo electromagn´etiEn una region ´ es decir, co, el campo el´ectrico (4.50) est´a esencialmente dominado por el t´ermino de radiacion, ~ r, t) ' E ~ 2 (~r, t). E(~ El vector de Poynting asociado al campo electromagn´etico de la part´ıcula en movimiento arbitrario es ´i ³ ´ h ³ ~ . ~ ~n · E ~S = ²0 c2 E ~ = ²0 c ~n E 2 − E ~ ×B ~ = ²0 c E ~ × ~n × E ´ ´ alejada de la fuente se tiene que Notese que en la region ~ ' ~n · E ~ 2 = 0. ~n · E Luego ~S = ²0 c E 2 ~n, 2 de donde  ¯ nh i o 2 ¯ ˙   ~ ~   ¯ ~ ~ n(τ ) × n(τ ) − β(τ ) × β(τ ) q2 ¯ ~S(~r, t) = ~ n (τ ) ¯ h i 3  ¯ 16π 2 ²0 c    ~ ) R(τ ) 1 − ~n(τ ) · β(τ ¯

.

(4.55)

τ =τR (t)

´ de la Teor´ıa Cl´asica En lo sucesivo nos dedicaremos, por simplicidad, a tratar la formulacion ´ en el l´ımite no relativista. Para una formulacion ´ relativista de esta teor´ıa el lector de la Radiacion puede consultar la referencia [21]. El vector de Poynting en el l´ımite no relativista puede ser escrito como ~S(~r, t) =

n h io2 q2 ˙ ~β(t) ~ ~ ~n(t), n (t) × n (t) × 16π 2 ²0 cR2 (t)

o bien ~S(~r, t) = Pero

q2 16π 2 ²0 c3 R2 (t)

n h io2 ~n(t) × ~n(t) × ~v˙ (t) ~n(t).

(4.56)

³ ´ ³ ´ ~n × ~n × ~v˙ = ~n ~n · ~v˙ − ~v˙ .

Por lo tanto h ³ ´i2 ³ ´2 ³ ´2 ³ ´2 © ª ~n × ~n × ~v˙ = ~n · ~v˙ + v˙ 2 −2 ~n · ~v˙ = v˙ 2 − ~n · ~v˙ = v˙ 2 1 − cos2 [θ(t)] = v˙ 2 sin2 [θ(t)], siendo θ = θ(t) el a´ ngulo formado entre los vectores ~v˙ y ~n. Sustituyendo el resultado anterior en ´ (4.56) tenemos finalmente que la expresion 2 2 2 ~S(~r, t) = q v˙ (t) sin [θ(t)] ~n(t). 16π 2 ²0 c3 R2 (t)

(4.57)

´ alejada de la fuente del campo electromagn´etiEste es el valor del vector de Poynting en la region co. c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

94

4.2.4. Potencia radiada. Formula ´ de Larmor. ´ del espacio alejada de la fuente del Habiendo determinado el vector de Poynting en una region campo, podemos pasar ahora a calcular la cantidad de energ´ıa electromagn´etica que por unidad de a´ rea y tiempo atraviesa cierta superficie S orientable que encierra a la part´ıcula cargada. Este ´ flujo de energ´ıa estar´a esencialmente asociado al campo de radiacion. Para llevar a cabo nuestro c´alculo elijamos a S como una superficie esf´erica centrada en la ´ de la part´ıcula ~r0 (t), de radio R(t) = |~r −~r0 (t)| lo suficientemente grande como para que posicion ´ ´ en la componente el´ectrica del campo electromagn´etico solamente domine el t´ermino de radiacion ´ asociado al movimiento arbitrario de la carga q. Notese que el vector ~n(t) = ~r−~r0 (t) es siempre |~ r−~r0 (t)| normal a la superficie de la esfera considerada. Tomemos un sistema de coordenadas en el cual el ´ de la aceleracion ´ ~v˙ (t). El diferencial de potencia transferido a trav´es de eje z est´e en la direccion la superficie S en el instante de tiempo t ser´a dP (t) = ~S(~r, t) · ~n(t) dS = ~S(~r, t) · ~n(t) R2 (t) dΩ, ´ siendo dΩ el diferencial de a´ ngulo solido. En el l´ımite no relativista, teniendo en cuenta la expre´ (4.57) para el vector de Poynting, hallamos que sion dP (t) =

q2 v˙ 2 (t) sin2 [θ(t)] dΩ. 16π 2 ²0 c3

(4.58)

´ Notese que dP es independiente de R, es decir, la potencia transferida a trav´es de la superficie ´ permanece finita aun ´ cuando nos alejamos ifinitamente de la S debida al t´ermino de radiacion ´ fuente del campo. La potencia radiada por unidad de a´ ngulo solido ser´a dP (t) q2 = v˙ 2 (t) sin2 [θ(t)]. dΩ 16π 2 ²0 c3

(4.59)

´ anterior se conoce con el nombre de formula ´ La expresion diferencial de Larmor para la poten´ cia radiada por una part´ıcula cargada en movimiento arbitrario. Una primera mirada a la formula ´ de Larmor nos indica que la potencia por unidad de a´ ngulo solido es siempre una magnitud po´ diferente de cero sitiva. En consecuencia, siempre que la part´ıcula cargada posea una aceleracion ´ El campo electromagn´etico de la radiacion ´ emitida por la perder´a energ´ıa en forma de radiacion. ´ alejada de la fuente tanto la componenpart´ıcula cargada es detectable en el infinito. En la region ~ como la componente magn´etica B ~ del campo de radiacion ´ ser´an soluciones de las te el´ectrica E ´ tendr´a la estructura de una respectivas ecuaciones de onda y, por lo tanto, el campo de radiacion onda electromagn´etica. ´ por el La formula integral de Larmor puede ser f´acilmente obtenida mediante la integracion ´ ´ (4.59). La potencia total radiada ser´a entonces a´ ngulo solido de la expresion P =

q 2 v˙ 2 16π 2 ²0 c3

Z sin2 (θ) dΩ =

q 2 v˙ 2 16π 2 ²0 c3

Z

Z

2π

dϕ 0

π

dθ sin3 (θ),

0

de donde obtenemos finalmente que P (t) =

q 2 v˙ 2 (t) . 6π²0 c3

(4.60)

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

95

4.3. Dispersion ´ de la radiacion. ´ Cuando una onda electromagn´etica monocrom´atica plana de frecuencia ω se propaga en el ´ con un sistevac´ıo su vector de onda ~k permanece constante a menos que dicha onda interactue ´ entre una onda electromagn´etica y un sistema de cargas ma de cargas y corrientes. La interaccion ´ del vector de onda manteniendo constante su valor abel´ectricas puede modificar la direccion ´ ´ cl´asica de la radiacion ´ electromagn´etica. El soluto. Tal fenomeno es conocido como dispersion ´ ´ de la radiacion ´ electromagn´etica, al igual que la conocida dispersion ´ fenomeno de la dispersion ´ de part´ıculas α por nucleos de a´ tomos de oro en el experimento de Rutherford, est´a caracterizado ´ eficaz de dispersion, ´ que calcularemos a continuacion. ´ por la denominada seccion

4.3.1. Dispersion ´ de la radiacion ´ por part´ıculas aisladas. Supongamos que tenemos una onda electromagn´etica monocrom´atica plana de vector de onda ~k y frecuencia ω que incide sobre una part´ıcula cargada aislada 4 y que luego es dispersada con el 0 ´ particular nuevo vector de onda ~k , pero con el mismo valor de ω. En este proceso de dispersion

0 ´ de la onda electromagn´etica con la part´ıcula cargada se cumple que |~k| = |~k |. La interaccion ´ ´ dependiente del tiempo, producto de lo cual se genera produce en esta ultima una aceleracion ´ que da lugar a la onda electromagn´etica dispersada. Estamos a su vez un campo de radiacion ´ eficaz diferencial del proceso de dispersion, ´ la interesados en calcular primeramente la seccion ´ cual se define mediante la relacion dP dσ = dΩ , dΩ |~Si |

(4.61)

´ ngulo solido ´ radiada por la part´ıcula cargada y ~Si es el siendo dP dΩ la potencia por unidad de a vector de Poynting de la onda electromagn´etica incidente. Supongamos que el campo electromagn´etico de la onda incidente viene dado por las expresiones ( ~ i (~r, t) = E ~ 0 cos(~k · ~r − ωt), E (4.62) ~ i (~r, t) = 1 N ~ ×E ~ i (~r, t), B c siendo ~ ~ = k. N k

(4.63)

´ Estudiemos el movimiento no relativista de la part´ıcula cargada originado por su interaccion ´ de con la onda electromagn´etica incidente. En virtud de la segunda ley de Newton la aceleracion ´ de la ecuacion ´ diferencial la part´ıcula podr´a ser determinada mediante la solucion ~E +F ~ B, m~v˙ = F

(4.64)

~E y F ~ B son la parte el´ectrica siendo m y q la masa y la carga de la part´ıcula, respectivamente, y F y la parte magn´etica, respectivamente, de la fuerza de Lorentz, es decir, ~E = qE ~i F

(4.65)

4 El

´ con otras part´ıculas, y solo ´ lo hace con la onda hecho de que la part´ıcula est´e aislada significa que ella no iteractua electromagn´etica incidente.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

96

y ~ B = q ~v × B ~ i. F

(4.66)

´ diferencial (4.64) podemos recurrir a dos consideraciones fundamenPara resolver la ecuacion ´ no relativista para el movimiento de la tales. La primera est´a relacionada con la aproximacion pat´ıcula. Puede verse que ´ ³ ´ ³ ~×N ~ E. ~ F ~ − β~ · N ~E N ~ ×E ~i = β ~ ×F ~ E = β~ · F ~ B = q ~v × N F c En virtud de lo anterior es evidente que ~ B | ∼ β |F ~ E |. |F En el l´ımite no relativista (β ¿ 1) es posible despreciar la parte magn´etica de la fuerza de Lorentz ´ est´a relacionada con la denofrente a la parte el´ectrica de dicha fuerza. La segunda consideracion ´ de onda larga. Supongamos que L es la cota m´axima del movimiento de la minada aproximacion ´ part´ıcula. Notese que ~k · ~r ∼ ωc L = 2π λ L, donde λ=

2πc ω

(4.67)

´ de onda larga es la llamada longitud de onda de la onda electromagn´etica. En la aproximacion ~ ´ tendremos que L ¿ 1 y la dependencia con el vector de posici on r de los campos dados por (4.62) λ puede ser ignorada. De acuerdo con las dos consideraciones anteriores, la segunda ley de Newton para la part´ıcula interactuando con la onda electromagn´etica incidente es m~v˙ = q E~0 cos(ωt), de donde obtenemos inmediatamente que q ~v˙ = E~0 cos(ωt). m

(4.68)

´ de la part´ıcula necesaria para calcular la potencia radiada por unidad de Esta es la aceleracion ´ a´ ngulo solido. Sea Θ el a´ ngulo formado entre los vectores ~n = ~r−~r0 y ~v˙ . Se puede apreciar, de acuerdo con |~ r−~r0 | ~ i (notese ~ i son ´ (4.68), que el a´ ngulo Θ es el mismo a´ ngulo formado entre ~n y E que los vectores ~v˙ y E 0 ~ colineales). Denotemos por θ y θ a los a´ ngulos que forman los vectores ~n y Ei , respectivamente, con el eje z, y por ϕ y ϕ 0 a los a´ ngulos que forman las proyecciones sobre el plano XY de los ~ i , respectivamente, con el eje x. Supongamos adem´as que el vector de onda ~k de vectores ~n y E la onda electromagn´etica incidente est´a sobre el eje z. Puesto que la onda electromagn´etica es ~ i est´a sobre el plano XY , es decir, transversal entonces el campo el´ectrico de la onda incidente E π 0 ´ descrita aqu´ı es mostrada en la figura 4.1. θ = 2 . La situacion ´ Sustituyendo (4.68) en la formula diferencial de Larmor (4.59) tenemos que µ 2 2 ¶ 2 dP q q E0 2 = cos (ωt) sin2 (Θ). (4.69) dΩ 16π 2 ²0 c3 m2 ´ ´ incidente en la aproximacion ´ Por otra parte, el modulo del vector de Poynting de la radiacion de onda larga es |~Si | = ²0 c E02 cos2 (ωt).

(4.70) c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

97

´ eficaz de dispersion. ´ Figura 4.1: Sistema de coordenadas utilizado para calcular la seccion Sustituyendo (4.69) y (4.70) en (4.61) hallamos dσ q4 sin2 (Θ). = 2 dΩ 16π ²20 m2 c4

(4.71)

´ anterior en t´erminos de los a´ ngulos definidos en la Fig. 4.1. Notese ´ Escribamos la expresion que cos(Θ) = cos(θ) cos(θ 0 ) + sin(θ) sin(θ 0 ) cos(ϕ 0 − ϕ). En nuestro caso θ 0 =

π 2,

de donde

cos(Θ) = sin(θ) cos(ϕ 0 − ϕ). Puesto que sin2 (Θ) = 1 − cos2 (Θ) = 1 − sin2 (θ) cos2 (ϕ 0 − ϕ), entonces £ ¤ dσp q4 dσ = = 1 − sin2 (θ) cos2 (ϕ 0 − ϕ) . dΩ dΩ 16π 2 ²20 m2 c4

(4.72)

´ de la onda electromagn´etica incidente. Por lo tanto la expreEl a´ ngulo ϕ 0 define la polarizacion ´ (4.72) es la seccion ´ eficaz diferencial de dispersion ´ para una onda electromagn´etica con una sion ´ bien definida que es dispersada por una part´ıcula cargada aislada, razon ´ por la cual polarizacion dσ ´ incidente no tiene una polarizacion ´ bien definida la hemos denotado como dΩp . Si la radiacion ´ (4.72) con respecto a la variable ϕ 0 . As´ı, entonces es necesario promediar la ecuacion Z 2π £ ¤ dσ 1 q4 = 1 − sin2 (θ) cos2 (ϕ 0 − ϕ) dϕ 0 2 2 2 4 dΩ 2π 0 16π ²0 m c ¸ · Z 2π 1 q4 2 2 0 0 . cos (ϕ − ϕ) dϕ 1 − sin (θ) = 16π 2 ²20 m2 c4 2π 0 c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

98

Teniendo en cuenta que 1 2π

Z

2π

cos2 (ϕ 0 − ϕ) dϕ 0 =

0

1 2

y que 1−

¤ 1 1£ sin2 (θ) = 1 + cos2 (θ) 2 2

´ eficaz diferencial de dispersion ´ correspondiente a una onda elechallamos finalmente la seccion tromagn´etica no polarizada que es dispersada por una part´ıcula cargada aislada, la cual hemos dσ denotado como dΩnp y tiene la forma £ ¤ dσnp q4 = 1 + cos2 (θ) . 2 2 2 4 dΩ 32π ²0 m c

(4.73)

´ eficaz integral de dispersion ´ se obtiene integrado la seccion ´ eficaz diferencial por el La seccion ´ ´ bien definida tenemos que a´ ngulo solido. Para el caso de la onda incidente con polarizacion Z π Z 2π £ ¤ q4 σp = dθ dϕ 1 − sin2 (θ) cos2 (ϕ 0 − ϕ) sin(θ) 2 2 2 4 16π ²0 m c 0 0 ¸ Z π· 4 q 1 2 2π = 1 − sin (θ) sin(θ) dθ 16π 2 ²20 m2 c4 2 0 Z π £ ¤ q4 π 1 + cos2 (θ) sin(θ) dθ. = 2 2 4 2 16π ²0 m c 0 Pero Z 0

π

£ ¤ 8 1 + cos2 (θ) sin(θ) dθ = . 3

Luego σp =

q4 . 6π²20 m2 c4

(4.74)

Para el caso de la onda incidente no polarizada tendremos σnp =

q4 2 32π ²20 m2 c4

Z

Z

π

2π

dθ 0

£ ¤ dϕ 1 + cos2 (θ) sin(θ) =

0

q4 32π 2 ²20 m2 c4

8 2π , 3

de donde se tiene que σnp =

q4

. 6π²20 m2 c4

(4.75)

´ ´ eficaz diferencial de dispersion ´ depende notaNotese que σp = σnp . A pesar de que la seccion ´ de la onda electromagn´etica incidente, la seccion ´ eficaz integral de blemente de la polarizacion ´ (4.75)] ´ es independiente de dicha polarizacion. ´ La expresion ´ (4.74) [o bien la expresion dispersion ´ ´ eficaz integral de dispersion. ´ se conoce con el nombre de formula de Thomson [22] para la seccion ´ eficaz integral de Thomson suele denotarse mediante el s´ımbolo σth . La seccion c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

99

´ ´ ´ de onda larga, es decir, en La formula de Thomson es correcta solamente en la aproximacion el l´ımite de las bajas frecuencias. Un criterio para establecer cu´ando la frecuencia es baja y cu´ando 2 ´ con la denominada frecuencia de Compton ωco = mc no es la comparacion ~ , donde m es la masa ´ de reposo de la part´ıcula cargada y ~ es la constante de Dirac 5 . La formula de Thomson es v´alida para valores de frecuencia tales que ω ¿ ωco . Para valores de la frecuencia de la onda cercanos a ´ la frecuencia de Compton comienzan a jugar un papel relevante los efectos cu´anticos, y la formula ´ de Thomson ya no es v´alida. A partir de la Electrodin´amica Cu´antica es posible deducir la formula ´ eficaz de dispersion, ´ la cual ofrece buenos resultados en de Klein-Nishina [24, 25] para la seccion ´ un amplio rango de la frecuencia de la onda elecromagn´etica incidente y se reduce a la formula de Thomson en el l´ımite de las bajas frecuencias.

4.3.2. Dispersion ´ de la radiacion ´ por part´ıculas el´asticamente ligadas. ´ de la onda electromagn´etica suponiendo que esExaminemos ahora el proceso de dispersion ta incide sobre una part´ıcula de masa m y carga q que oscila con la frecuencia propia ω0 y que posee una constante de amortiguamiento igual a γ. El campo electromagn´etico que caracteriza a la onda incidente sigue siendo el dado por las expresiones (4.62) y (4.63). Para los efectos del ´ eficaz de dispersion ´ supondremos tambi´en que est´an dadas las condiciones c´alculo de la seccion ´ no relativista y de la aproximacion ´ de onda larga. La separa el cumplimiento de la aproximacion gunda ley de Newton para el oscilador amortiguado bajo los efectos del campo electromagn´etico incidente tiene la forma q ~ ~v˙ (t) + ω02 ~r0 (t) + γ ~v(t) = E0 cos(ωt). m ´ del movimiento para un oscilador amortiguado forzado, cuya solucion ´ es Esta es la ecuacion ~ cos(ωt + α) ~r0 (t) = A

(4.76)

con ~ =−qE ~0q A m

1 (ω 2

−

2 ω02 )

(4.77) +

γ 2 ω2

y tan(α) =

γω . ω 2 − ω02

(4.78)

´ de la part´ıcula ser´a En consecuencia el cuadrado de la aceleracion v˙ 2 (t) =

q 2 E02 ω 4 cos2 (ωt + α) , m2 (ω 2 − ω02 )2 + γ 2 ω 2

(4.79)

´ y la potencia radiada por unidad de a´ ngulo solido ser´a dP q 4 E02 ω4 = cos2 (ωt + α) sin2 (Θ). 2 2 3 dΩ 16π ²0 m c (ω 2 − ω02 )2 + γ 2 ω 2

(4.80)

5 La frecuencia de Compton fue introducida por Arthur H. Compton en 1922 [23] al ofrecer la explicacion ´ del fenomeno ´ conocido como efecto Compton, que consiste en el cambio de la frecuencia de una onda electromagn´etica de rayos X cuan´ La frecuencia de la radiacion ´ dispersada depende unicamente ´ do es dispersada por un electron. del a´ ngulo formado entre ´ incidente y el vector de onda de la radiacion ´ dispersada. Para el electron ´ la frecuencia de el vector de onda de la radiacion Compton posee un valor aproximado de 7,8 × 1020 s−1 .

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

100

´ directa de las expresiones (4.70) y (4.80) en la definicion ´ (4.61) para la Mediante la sustitucion ´ eficaz diferencial de dispersion ´ hallamos seccion dσ q4 ω4 cos2 (ωt + α) = sin2 (Θ). dΩ 16π 2 ²20 m2 c4 (ω 2 − ω02 )2 + γ 2 ω 2 cos2 (ωt) ´ anterior se infiere claramente el car´acter resonante de la seccion ´ eficaz diferencial De la expresion ´ Centremos nuestro an´alisis en regiones de frecuencia alejadas de la resonancia. Si de dispersion. ´ de amortiguamiento d´ebil (γ ¿ 1) se tiene, de acuerdo con (4.78), que ω 6= ω0 , bajo la condicion α ≈ 0 y, en consecuencia, cos2 (ωt + α) ≈ cos2 (ωt). En este caso dσ q4 ω4 = sin2 (Θ). 2 2 2 4 dΩ 16π ²0 m c (ω 2 − ω02 )2 + γ 2 ω 2 ´ bien definida entonces, de acuerdo Si la onda electromagn´etica incidente posee una polarizacion ´ del sistema de coordenadas como en la Fig. 4.1 obtenemos inmediatamente que con la eleccion £ ¤ dσp q4 ω4 1 − sin2 (θ) cos2 (ϕ 0 − ϕ) . = 2 2 2 2 4 2 2 2 2 dΩ 16π ²0 m c (ω − ω0 ) + γ ω

(4.81)

´ bien definida entonces es necesaSi la onda electromagn´etica incidente no tiene una polarizacion ´ anterior, obteni´endose rio promediar sobre la variable ϕ 0 en la expresion £ ¤ ω4 q4 dσnp = 1 + cos2 (θ) . 2 2 2 4 2 dΩ 32π ²0 m c (ω 2 − ω02 ) + γ 2 ω 2

(4.82)

´ son, en ambos casos, funciones de la frecuencia Las secciones eficaces diferenciales de dispersion ´ incidente. de la radiacion ´ determinada, es eviCon independencia de si la onda incidente posee o no una polarizacion ´ eficaz integral de dispersion ´ en este caso es una funcion ´ de la frecuencia ω dente que la seccion ´ que viene dada por la formula σ(ω) = σth

ω4 2

(ω 2 − ω02 ) + γ 2 ω 2

,

(4.83)

siendo σth =

q4 6π²20 m2 c4

(4.84)

´ eficaz de Thomson definida en la seccion ´ anterior. A este resultado puede llegarse intela seccion ´ grando las expresiones (4.81) y (4.82) sobre el a´ ngulo solido. ´ eficaz integral de dispersion, ´ en las De acuerdo con la estructura matem´atica de la seccion regiones de frecuencia alejadas de la resonancia pueden distinguirse dos casos de inter´es. 1. Si ω À ω0 entonces σ(ω) −→ σth , es decir, el oscilador cargado dispersa la onda electromagn´etica incidente como si fuese una part´ıcula aislada. ³ ´4 ´ eficaz integral 2. Si ω ¿ ω0 entonces σ(ω) −→ σth ωω0 . Este comportamiento de la seccion ´ del oscilador amortiguado cargado se conoce como ley de la dispersion ´ de de dispersion Rayleigh 6 [26]. 6 A partir de una version ´ ligeramente modificada de la ley de la dispersion ´ de Rayleigh puede darse una explicacion ´ sencilla del porqu´e el cielo de nuestro planeta es casi siempre de color azul.

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

101

4.3.3. Energ´ıa absorbida en el proceso de dispersion. ´ ´ de la onda electromagn´etica por la part´ıcula cargada parte Durante el proceso de dispersion de la energ´ıa de la onda es transferida a part´ıcula en forma de energ´ıa mec´anica, es decir, es absorbida por la part´ıcula cargada. Para determinar cu´anta energ´ıa de la onda es efectivamente ´ de la energ´ıa del campo absorbida por la part´ıcula podemos recurrir a la ley de conservacion ´ (3.34) del Cap´ıtulo 3. Para nuestro caso particular la ley electromagn´etico, dada por la expresion ´ de la energ´ıa tiene la forma, de conservacion ~ i (~r, t) · ~J(~r, t) = −E

∂ w(~r, t) + ∇ · ~Si (~r, t), ∂t

donde ~J(~r, t) = q ~v(t) δ [~r − ~r0 (t)] es la densidad de corriente asociada a la part´ıcula cargada. Pero ~ i (~r, t) = E ~ i (t) y ~Si (~r, t) = ~Si (t). Por lo tanto ´ de onda larga se tiene que E en la aproximacion ~ i (t) · ~J(~r, t) = −E

∂ w(~r, t). ∂t

´ por todo el espacio encontramos que Integrando esta expresion dW (t) ~ i (t) · ~v(t). = −q E dt ´ de la energ´ıa del campo electromagn´etico en un per´ıodo T de la onda incidente La variacion ´ puede entonces calcularse mediante la relacion Z

T

∆W = −q

~ i (t) · ~v(t) dt. E

(4.85)

0

Obviamente, la energ´ıa absorbida por la part´ıcula en igual intervalo de tiempo es ∆Wa = −∆W.

(4.86)

´ de la onda electromagn´etica por un Ilustremos el c´alculo de ∆W para el caso de la dispersion oscilador cargado amortiguado. De acuerdo con las expresiones (4.76), (4.77) y (4.78) tenemos que ~0 qE q ~v(t) = ~r˙ 0 (t) = m

ω

sin(ωt + α).

2

(ω 2 − ω02 ) + γ 2 ω 2

En consecuencia ∆W = −

q 2 E02 ω q m 2 (ω 2 − ω02 ) + γ 2 ω 2

Z

T

sin(ωt + α) cos(ωt) dt. 0

El lector puede comprobar f´acilmente que Z

T

sin(ωt + α) cos(ωt) dt = 0

π sin(α) ω

y γω

sin(α) = q

2

,

(ω 2 − ω02 ) + γ 2 ω 2 c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

102

en virtud de lo cual ∆W = −

q 2 E02 π γω . m (ω 2 − ω02 )2 + γ 2 ω 2

(4.87)

Teniendo en cuenta (4.86), la energ´ıa absorbida por la part´ıcula en un per´ıodo de la onda incidente es ∆Wa =

q 2 E02 π γω . m (ω 2 − ω02 )2 + γ 2 ω 2

(4.88)

´ de energ´ıa por parte de la part´ıcula dispersora de la onda electromagn´etica es un La absorcion proceso resonante. La energ´ıa absorbida en un per´ıodo de la onda es m´axima a la frecuencia ω0 , ´ (4.88). como puede notarse de la expresion

4.4. Reaccion ´ de la radiacion. ´ ´ diferente Una part´ıcula cargada en movimiento arbitrario posee en general una aceleracion ´ ´ que es finito de cero y, de acuerdo con la formula de Larmor, generar´a un campo de radiacion ´ alejada de la fuente. Puesto que toda radiacion ´ electromagn´etica es portadora de un en la region ´ temporal del momentum lineal del campo de radiacion ´ originado momentum lineal, la variacion en la part´ıcula producir´a una fuerza no conservativa que actuar´a sobre la carga modificando su ´ de la radiacion ´ y la estado de movimiento. Tal fuerza recibe el nombre de fuerza de reaccion ~ r. denotaremos por F ´ es estimar el valor de la fuerza de reaccion ´ de la raNuestro objetivo en la presente seccion ´ en el caso de un oscilador cargado caracterizado por la constante el´astica κ. De acuerdo diacion ´ del movimiento del oscilador teniendo en cuenta la con la segunda ley de Newton la ecuacion ~ presencia de Fr es ~ r. m~¨r + κ~r = F

(4.89)

´ de energ´ıa cin´etica en un per´ıodo T de Sea E la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula. La variacion ´ es oscilacion Z T ~ r · ~r˙ dt. ∆E = F (4.90) 0

Consideremos que la p´erdida de energ´ıa cin´etica sufrida por la carga oscilante en un per´ıodo se ´ ´ de la energ´ıa mec´anica de la part´ıcula en energ´ıa del campo debe unicamente a la transformacion ´ Entonces electromagn´etico de radiacion. ∆E = −∆W,

(4.91)

´ recibe de la part´ıcula en un per´ıodo de oscilacion. ´ siendo ∆W la energ´ıa que el campo de radiacion ´ Teniendo en cuenta la formula de Larmor, "Z # Z T Z T T ... q2 q2 d˙ ¨ ¨ ¨ ˙ ~r · ~r = ~r · ~r dt − ~r · ~r dt . ∆W = 6π²0 c3 0 6π²0 c3 0 dt 0

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion Pero 7 Z

T

0

103

¯T d˙ ¨ ¯ ~r · ~r dt = ~r˙ · ~¨r¯ ≈ 0. dt 0

Luego, q2 ∆W = − 6π²0 c3

Z

T

... ~r˙ · ~r dt.

(4.92)

0

Sustituyendo las expresiones (4.90) y (4.92) en (4.91) vemos que Z

T

~ r · ~r˙ dt = F

0

q2 6π²0 c3

Z

T

... ~r · ~r˙ dt,

0

de donde se halla que ~r = F

q 2 ... ~r . 6π²0 c3

(4.93)

´ de la radiacion, ´ obtenida por M. Abraham [5], fue posteriormente geneEsta fuerza de reaccion ´ conocida con el nombre de fuerza de ralizada por P. Dirac al caso relativista en una expresion ´ de la radiacion ´ de Lorentz-Dirac. Para conocer los detalles de tal generalizacion ´ el lector reaccion puede consultar la referencia [27]. ´ de la radiacion ´ contradice el esp´ıritu de El resultado de Abraham para la fuerza de reaccion la Mec´anica C´asica, pues de acuerdo con esta teor´ıa no deben existir, en las ecuaciones del movi´ de ordenes superiomiento de un sistema mec´anico, derivadas temporales del vector de posicion ´ de la radiacion ´ depende, sin embargo, de la res a dos. De acuerdo con (4.93) la fuerza de reaccion ´ de la part´ıcula con respecto al tiempo, lo cual conduce obviamente tercera derivada de la posicion a resultados no f´ısicos. Cierto artificio matem´atico de car´acter aproximado nos permite corregir ´ ´ de la radiacion ´ es el mencionado problema. Supongamos que el modulo de la fuerza de reaccion ´ ´ es decir, mucho menor que el modulo de la fuerza el´astica de restitucion, ~ r | ¿ |κ~r|. |F ´ la ecuacion ´ del movimiento (4.89) se transforma en Bajo esta aproximacion, m~¨r + κ~r ' 0. ´ anterior con respecto al tiempo y teniendo en cuenta que ω0 = Derivando la expresion hallamos ... ~r = −ω02~r˙ .

pκ m

´ de la radiacion, ´ una aproximacion ´ del tipo Con esto se logra, para la fuerza de reaccion 2 2 ~ r = − q ω0 ~r˙ , F 6π²0 c3 7 Notese ´

(4.94)

¯T ¯ que ~r˙ · ~¨ r¯ no es estrictamente igual a cero, sino aproximadamente igual a cero. Esto se debe a que el movi0

´ ´ de la radiacion. ´ miento oscilatorio de la part´ıcula no es exactamente armonico debido a los efectos de la fuerza de reaccion ˜ frente a los efectos de la fuerza de restitucion ´ el´astica, Pero si asumimos que tales efectos son considerablemente pequenos ´ de la velocidad de la part´ıcula en un per´ıodo completo de oscilacion ´ puede ser considerada casi cero. entonces la variacion

c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

104

´ que es una fuerza dependiente de la velocidad del tipo fuerza de Stokes. El campo de radiacion puede entonces ser interpretado como un medio viscoso por el cual se mueve la part´ıcula. La ´ diferencial del movimiento en este caso es ecuacion ~¨r + γ~r˙ + ω02~r = 0,

(4.95)

siendo γ=

q 2 ω02 . 6π²0 mc3

(4.96)

4.4.1. Funcion ´ de distribucion ´ espectral. ´ de la radiacion ´ afecta notablemente las caracter´ısticas del espectro de freLa fuerza de reaccion ´ de la radiacion ´ est´a presente, cuencias radiado por la part´ıcula oscilante. Si la fuerza de reaccion ´ del movimiento de un oscilador amortiguaentonces la part´ıcula cargada obedece a la ecuacion ´ emitida por la part´ıcula barrer´a una banda de do y, como veremos m´as adelante, la radiacion frecuencias cuyo ancho est´a directamente relacionado con el par´ametro γ dado por (4.96). Si la ´ de la radiacion ´ est´a ausente (γ → 0) entonces el oscilador radiar´a unicamente ´ fuerza de reaccion ´ emitida por a la frecuencia propia ω0 . En general, el espectro de las frecuencias de la radiacion ´ de distribucion ´ espectral, una part´ıcula acelerada puede ser caracterizado por la llamada funcion ´ se muestra. la cual es obtenida como a continuacion La energ´ıa total radiada por una part´ıcula cargada acelerada cualquiera es, de acuerdo con la ´ formula de Larmor, Z +∞ q2 W = (4.97) |~¨r(t)|2 dt. 6π²0 c3 −∞ ´ ~a = ~a(t) = ~¨r(t) tal que Sea ~˜ a = ~˜ a(ω) la transformada de Fourier de la aceleracion 1 2π

~a(t) =

Z

+∞

~˜ a(ω)eiωt dω.

(4.98)

−∞

Entonces Z ~˜ a(ω) =

+∞

~a(t)e−iωt dt.

(4.99)

−∞

Pero µ |~¨r(t)|2 = ~a(t) · ~a∗ (t) = Luego Z

+∞

1 2π

¶2 Z

+∞

−∞

Z

+∞

∗ 0 ~˜ a(ω 0 ) · ~˜ a (ω) ei(ω −ω)t dω 0 dω.

−∞

µ |~¨r(t)|2 dt =

−∞

= =

¶2 Z +∞ Z +∞ Z +∞ ∗ 0 1 ~˜ dt a(ω 0 ) · ~˜ a (ω) ei(ω −ω)t dω 0 dω 2π −∞ −∞ −∞ Z +∞ Z +∞ ∗ 1 ~˜ a(ω 0 ) · ~˜ a (ω) δ(ω 0 − ω) dω 0 dω 2π −∞ −∞ Z +∞ 1 |~˜ a(ω)|2 dω. 2π −∞ c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

105

´ en (4.97) hallamos Sustituyendo esta expresion Z

+∞

W =

˜ (ω) dω, W

(4.100)

−∞

siendo ˜ (ω) = W

q2 |~˜ a(ω)|2 . 12π 2 ²0 c3

(4.101)

˜ (ω) es claro: el producto W ˜ (ω) dω es la cantidad de energ´ıa El significado f´ısico de la magnitud W ˜ (ω) recibe el radiada por la part´ıcula en el intervalo de frecuencias (ω, ω + dω). La magnitud W ´ de distribucion ´ espectral de la energ´ıa radiada, o simplemente funcion ´ de nombre de funcion ´ espectral. distribucion

4.4.2. Funcion ´ de distribucion ´ espectral para el oscilador armonico ´ simple. ´ del movimiento (4.89) despreciamos los efectos de la fuerza de reaccion ´ de la Si en la ecuacion ´ entonces es evidente que la part´ıcula cargada se comportar´a como un oscilador armoni´ radiacion, ´ el´astica. Obviamente co simple bajo los efectos de la fuerza de restitucion ~ i(ω0 t+α) , ~¨r(t) = −ω02 Ae

(4.102)

~ y α constantes de integracion ´ dependientes de las condiciones iniciales del movimiento siendo A de la part´ıcula. En este caso, de acuerdo con (4.99), Z ~˜ ~ iα a(ω) = −ω02 Ae

+∞ −∞

~ eiα 2π δ(ω − ω0 ). ei(ω0 −ω)t dt = −ω02 A

En consecuencia ~ 2 δ 2 (ω − ω0 ) |~˜ a(ω)|2 = 4π 2 ω04 |A| ´ en (4.101), hallamos finalmente que y, sustituyendo esta expresion ˜ (ω) = W0 δ 2 (ω − ω0 ), W

(4.103)

siendo W0 =

~ 2 q 2 ω04 |A| . 3²0 c3

(4.104)

´ ´ de la radiacion ´ sobre el movimiento de la part´ıcuNotese que si los efectos de la fuerza de reaccion ´ de distribucion ´ espectral ser´a diferente de cero la oscilante son despreciados entonces la funcion ´ ´ es decir, el campo de radiacion ´ oscilar´a tambi´en unicamente a la frecuencia propia de oscilacion, con la frecuencia ω0 .

4.4.3. Funcion ´ de distribucion ´ espectral para el oscilador amortiguado. ´ de distribucion ´ espectral para el oscilador cargado amortiguado Encontremos ahora la funcion ´ cuya ecuacion ´ diferencial del movimiento viene dada por (4.95). Esta por el campo de radiacion, ´ diferencial de Euler con coeficientes constantes, cuya solucion ´ depende de la es una ecuacion c E. Reyes Gomez, ´ ° 2010.

´ Cap´ıtulo 4. Teor´ıa Cl´asica de la Radiacion

106

´ existente entre ω0 y γ2 . Pueden tener lugar tres casos diferentes: ω0 > γ2 , ω0 < γ2 y ω0 = γ2 . relacion ´ De los tres casos mencionados solamente el primero tiene realmente sentido f´ısico en el marco del ´ de la radiacion ´ dependiente de la velocidad de la modelo desarrollado para la fuerza de reaccion ´ ´ el´astica part´ıcula, pues este caso es el unico compatible con el hecho de que la fuerza de restitucion ´ de la radiacion. ´ Sin embargo, el resto de los casos ser´an sea mucho mayor que la fuerza de reaccion igualmente examinados, pues puede ocurrir que el amortiguamiento del oscilador no est´e dado ´ ´ sino tambi´en por la presencia de otras interacciones que unicamente por el campo de radiacion, pueden ser modeladas como un medio viscoso. Caso 1. ω0 > γ2 . ´ (4.96) para γ, la condicion ´ ω0 > Atendiendo a la definicion ω0