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Universidad Complutense Notas de curso de Electrodin´ amica cl´ asica Grupo A, 2004/05 Prof. Antonio Fern´ andez-Ra˜ na

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Universidad Complutense Notas de curso de Electrodin´ amica cl´ asica Grupo A, 2004/05

Prof. Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada Departamento de F´ısica Aplicada III

Bibliograf´ıa • L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Teor´ıa cl´ asica de campos (Revert´e, Barcelona, 1986); The classical theory of fields, (Pergamon Press, Oxford, 1975). • J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd edition (John Wiley, New York, 1998). Hay versi´on espa˜ nola de la segunda edici´on inglesa, Electrodin´ amica cl´ asica, 2ª edici´on (Alhambra Universidad, Barcelona, 1980). • W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism (Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1964). • Bo Thid´e, Classical electrodynamics, http://www.plasma.uu.se/CED/Book/index.html. • A. O: Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles (Dover, New York, 1980).

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

• F. Rohrlich, Classical Chraged Particles (Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1990).

0–2

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

´Indice 1. Recordatorio de las ecuaciones de Maxwell La ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo y en medios materiales. Energ´ıa electromagn´etica. Potenciales. Condiciones de frontera. Comportamiento de los campos electromagn´eticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´on temporal. 2. Relatividad especial y covariancia de las ecuaciones de Maxwell El principio de relatividad y los postulados de Einstein. Transformaciones de Lorentz. Transformaciones de las velocidades. Cuadrivelocidad y cuadriaceleraci´on. Principio de covariancia. Ap´endice. Grupos, vectores, formas y tensores. Grupos de Lie. Espacio eucl´ıdeo y rotaciones. Vectores, formas y tensores. Espacio de Minkowsky y grupo de Lorente. Vectores y tensores en el relatividad especial. Ap´ endice. Grupos, vectores, formas y tensores 3. Formulaci´ on relativista lagrangiana de la electrodin´ amica cl´ asica I Principio de ”m´ınima.acci´on. Acci´on y lagrangiano de una part´ıcula libre en relatividad especial. Potenciales del campo electromagn´etico. Din´amica de part´ıculas cargadas en un campo electromagn´etico: ecuaciones del movimiento. Invariancia gauge. El tensor electromagn´etico. Transformaciones de Lorentz de los campos E y B. Invariantes. Movimiento de part´ıculas cargadas en campos el´ectrico y magn´etico, uniformes y constantes: en un campo el´ectrico, en uno magn´etico y en campos cruzados. 4. Formulaci´ on relativista lagrangiana de la electrodin´ amica cl´ asica

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

II Primer par de ecuaciones de Maxwell. Acci´on del campo electromagn´etico. Cuadrivector corriente. Segundo par de ecuaciones de Maxwell. Densidad y flujo de energ´ıa. El tensor de energ´ıa-momento. Simetr´ıas y leyes de conservaci´on. Tensor can´onico de energ´ıa-momento y tensor sim´etrico. Invariancia gauge y conservaci´on de la carga. 5. Ondas electromagn´ eticas Ondas planas Ecuaci´on de ondas. Ondas planas. Efecto Doppler. Representaci´on espectral. Ondas guiadas. Modos TEM, TE, y TM. Gu´ıas rectangulares. Transmisi´on de energ´ıa. Cavidades resonantes. 6. Radiaci´ on de part´ıculas cargadas Soluci´on de la ecuaci´on de ondas en el vac´ıo. Funciones de Green. Potennotas EDC (v. 15/marzo/2005)

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ciales de Li´enard-Wiechert. Campos de velocidad y de aceleraci´on. Campos de una carga en movimiento uniforme. Radiaci´on de una carga acelerada. F´ormula de Larmor. Reacci´on a la radiaci´on. Carga con aceleraci´on lineal. Carga con aceleraci´on circular. Radiaci´on del sincrotr´on. Modelos cl´asicos del electr´on. 7. Radiaci´ on debida a distribuciones de fuentes

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Desarrollos multipolares Campos creados por una distribuci´on arbitraria de corriente. Aproximaciones en la soluci´on del problema de las fuentes. Campos creados por un dipolo el´ectrico. Campos de un dipolo magn´etico y un cuadrupolo el´ectrico. Sistemas radiantes: antenas.

0–4

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

Cap´ıtulo 1 Revisi´ on de las ecuaciones de Maxwell 1.1.

Las ecuaciones de Maxwell

Sean E(r, t) y B(r, t) los campos el´ectrico y magn´etico y D(r, t) y H(r, t), los vectores de desplazamiento y de intensidad magn´etica. Las cuatro ecuaciones de Maxwell que los relacionan son en el vac´ıo ∇ · B = 0,

(1.1)

∂B ∇×E = − , ∂t ρ , ∇·E = 0

(1.2) (1.3)

∂E , (1.4) ∂t donde ρ(r, t) y j(r, t) son las densidades de carga y de corriente. Por razones que quedar´an claras m´as adelante al estudiar la formulaci´on relativista, las dos primeras se conocen como el primer par y la tercera y la cuarta, el segundo par. — Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

∇ × B = µ0 j + µ0  0

En un medio material, estas ecuaciones se escriben a menudo en la forma ∇ · B = 0, ∇×E = −

(1.5) ∂B , ∂t

(1.6)

∇ · D = ρ,

(1.7) ∂D ∇×H = j+ , (1.8) ∂t a las que se deben a˜ nadir las relaciones D = E, B = µH y, si la corriente no est´a dada a priori, tambien j = σE. Las cantidades  y µ son la permitividad y notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1–1

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio la permeabilidad del medio, que representan fenomenol´ogicamente el efecto de las cargas y spines del mismo. Se llaman tambi´en a veces su constante el´ectrica y su constante magn´etica. σ es la conductividad el´ectrica cuya inversa es la resistividad el´ectrica. En muchas ocasiones, se trata de estudiar c´omo var´ıa el campo electromagn´etico en interacci´on con cargas libres cuyo movimiento no est´a dado a priori sino que est´a afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente interesante de electrones cuyas posiciones y velocidades son rk , vk . En ese caso hay que acoplar las ecuaciones de Maxwell con las de movimiento de cada carga. Para ello hay que hacer dos cosas (i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones X ρe = −e δ (3) (r − rk ),

(1.9)

k

y como densidad de corriente je = −e

X

δ (3) (r − rk )vk

(1.10)

k

(ii) A˜ nadir las ecuaciones de movimiento de los electrones   mvk d = Fk = −e(E + vk × B). dt (1 − vk2 /c2 )1/2

(1.11)

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

que es la segunda de Newton en su forma relativista, con la fuerza Fk sobre cada carga dada por la expresi´on de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t) y B = B(r, t) en la posici´on de cada carga. En el caso en que v/c  1 podemos aproximar el primer miembro por su expresi´on no relativista d(mv)/dt. Estas ecuaciones est´an siendo comprobadas incontables veces cada d´ıa, tanto desde el punto de vita te´orico, como en su aplicaci´on a multitud de instrumentos y dispositivos, como los que tenemos en nuestras casas. Constituyen una parte muy importante de la f´ısica b´asica.

1.2.

Energ´ıa electromagn´ etica

Las cantidades

1 UE = 2

Z

1 = 2

Z

E · D dv,

(1.12)

H · B dv,

(1.13)

V

y UM 1–2

V

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1.2. Energ´ıa electromagn´etica son, respectivamente, la energ´ıa potencial electrost´atica del sistema de cargas que produce el campo el´ectrico y la energ´ıa almacenada en el campo magn´etico. N´otese que las densidades de energ´ıa se pueden escribir tambi´en como 1 uE = E 2 , 2

uM =

1 2 B . 2µ

Veremos ahora qu´e ocurre en las situaciones din´amicas. Tomemos la diferencia entre la ecuaci´on (1.6) multiplicada escalarmente por H y la (1.8) multiplicada por E ∂B ∂D H · (∇ × E) − E · (∇ × H) = −H · −E· − E · j. ∂t ∂t El primer miembro de esta ecuaci´on es igual a ∇ · (E × H), por lo que ∇ · (E × H) = −H ·

∂B ∂D −E· − E · j. ∂t ∂t

(1.14)

Suponiendo que D, B, j dependen linealmente de E, H, E, esta ecuaci´on puede escribirse como ∇ · (E × H) = −

∂ 1 [E · D + B · H] − j · E. ∂t 2

(1.15)

El segundo miembro tiene una interpretaci´on clara: con un cambio de signo, es la derivada respecto al tiempo de la suma de las densidades de energ´ıas el´ectrica y magn´etica m´as el calentamiento Joule por unidad de volumen.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Integrando la ecuaci´on anterior en el volumen V , bordeado por S, y aplicando el teorema de Gauss, se llega de inmediato a Z Z Z d 1 j · E dv = (1.16) − [E · D + B · H] dv + (E × H) · n da. dt V 2 V S Esta ecuaci´on integral es muy importante, pues se trata de la conservaci´on de la energ´ıa. Se conoce como Teorema de Poynting en forma integral. Si definimos el vector de Poynting S=E×H (1.17) podemos escribir (1.16) en la forma ∂u + ∇ · S = −j · E, ∂t

(1.18)

donde u es la suma de las densidades de energ´ıa el´ectrica y magn´etica u = u E + uM = notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1 [E · D + B · H] . 2

(1.19) 1–3

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio La ecuaci´on (1.18) es el teorema de Poynting en forma diferencial. Su interpretaci´on de es clara: el segundo miembro es la energ´ıa por unidad de volumen que pierde el campo electromagn´etico debido al efecto Joule (o sea la energ´ıa transferida del campo a la agitaci´on t´ermica de la materia); el primer sumando del primer t´ermino es la variaci´on local de la densidad de energ´ıa y ∇ · S es la densidad de flujo de energ´ıa electromagn´etica, es decir la energ´ıa electromagn´etica que atraviesa una unidad de superficie normal a S por unida de tiempo. Integrada en un volumen V cualquiera (y transformando el t´ermino con S en una integral en la superficie S que bordea a V ) la ecuaci´on (1.18) nos dice que la variaci´on de energ´ıa electromagn´etica en ese volumen se debe a (i) el efecto Joule y (ii) al flujo de energ´ıa a trav´es del borde de V , representada por el vector de Poynting. En resumen u es la densidad de energ´ıa electromagn´etica almacenada en el campo y S es la densidad de flujo de energ´ıa.

1.3.

Los potenciales electromagn´ eticos

La ecuaci´on ∇ · B = 0 nos dice que el campo magn´etico es un rotacional, o sea que existe un campo vectorial A tal que B = ∇ × A. Ello implica que la ley de Faraday ∇ × E = −∂t B puede escribirse como ∇ × (E + ∂t A) = 0, lo que dice que (E + ∂t A) es el gradiente de una funci´on Φ. Recapitulando ∂A , B = ∇ × A. (1.20) ∂t A y Φ son los potenciales escalar y vectorial que pueden usarse para definir el campo electromagn´etico con s´olo cuatro funciones. E = −∇Φ −

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

1.4.

Condiciones de frontera

Sea una superficie f (r) = 0 que separa dos medios cuyas propiedades electromagn´eticas son diferentes. En su superficie hay (o se inducen) una densidad supeficial de carga ρ y una densidad superficial de corriente K. Indicamos las magnitudes en los dos medios por sub´ındices 1 y 2. Las condiciones de contorno para los campos E, D, B, H son las siguientes (siendo n un vector unitario normal a la superficie (i. e. n = ∇f /|∇f |) que suponemos dirigido del medio 1 al 2

1–4

(D2 − D1 ) · n = σ ,

(E2 − E1 ) × n = 0 ,

(1.21)

(H2 − H1 ) × n = K ,

(B2 − B1 ) · n = 0 .

(1.22)

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1.5. Transformaci´on de los campos electromagn´eticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´ on temporal Se pueden enunciar as´ı: Las componentes normal de B y tangencial de E son continuas en la superficie. La componente normal de D tiene una discontinuidad igual a la densidad superficieal de energ´ıa y la componente tangencial de H tiene una discontinuidad igual a la densidad de corriente. Si fluye una corriente de un medio al otro, su componete normal debe ser continua, (j 2 − j1 ) · n = 0 . Las condiciones de los potenciales son ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ − =0 2 − 1 = σ. ∂t 2 ∂t 1 ∂n 2 ∂n 1

(1.23)

(1.24)

La primera condici´on para Φ puede escribirse en la forma Φ2 = Φ 1 ,

(1.25)

La condici´on para el potencial vectorial tiene una expresi´on algo m´as complicada, depende la geometr´ıa de la superficie, y no se dar´a aqu´ı.

1.5.

Transformaci´ on de los campos electromagn´ eticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´ on temporal

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

El comportamiento de de las cantidades f´ısicas bajo ciertas transformaciones tienen mucha importancia. Ello se debe a que las propiedades b´asicas del espaciotiempo y la materia se expresan a menudo como ciertas invariancias bajo grupos de transformaciones. As´ı i) la homogeneidad del espacio se puede enunciar como la invariancia de las leyes b´asicas bajo traslaciones. Ello significa que al pasar de un punto a otro no cambian las leyes, o sea que todos los puntos del espacio son equivalentes para la f´ısica. Las leyes son las mismas en Madrid que en Barcelona, Bilbao, Nueva York ´ o Mosc´ u. Este fue un descubrimiento importante de Newton: debemos aceptar la idea de que las leyes son las mismas por todas partes, en contra de lo que se admit´ıa hasta entonces, siguiendo la tradici´on de la filosof´ıa aristot´elica que divid´ıa el mundo en uno sublunar y el de las estrellas. ii) la isotrop´ıa del espacio, o sea que todas las direcciones son equivalentes para las leyes de la f´ısica, se puede enunciar diciendo que ´estas deben ser invariantes bajo las rotaciones del espacio. notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1–5

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio iii) la equivalencia entre la derecha y la izquierda se conoce en f´ısica como invariancia bajo paridad. Significa que, si tenemos un proceso f´ısico cualquiera que sigue una cierta ley, el proceso obtenido mediante una imagen especular est´a tambi´en previsto por la misma ley. Se puede expresar dieciendo que las leyes sin invariantes bajo reflexiones r → −r. iv) el principio de relatividad se puede formular diciendo que las leyes son invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Para que estas ideas sean operativas es esencial el concepto de simetr´ıa. ¿Qu´e significa esta palabra en la vida ordinaria? Siempre alude a que algo no cambia cuando se realizan ciertas transformacione geom´etricas. Por ejemplo, una esfera es una figura muy sim´etrica. Esto significa que si la giramos alrededor de cualquier eje que pase por su centro, ella permanece invariante. Por su parte, un cubo no cambia bajo rotaciones de un ´angulo m´ ultiplo entero de π/4 alrededor de un eje que pase por los centros de dos caras opuestas o bajo rotaciones de ´angulo 2π/3 alrededor de un eje que pase por dos v´ertices opuestos o rotaciones de ´angulo π alrededor de un eje que pase por los puntos medios de dos aristas opuestas o bajo la reflexiones r → −r o xk → −xk , k = 1, 2, 3. Esas transformaciones y sus productos forman un grupo llamado el grupo de simetrias del cubo, lo mismo que el grupo de simetr´ıas de la esfera es el de las rotaciones alrededor de cualquier eje por su centro, m´as las reflexiones.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

An´alogamente, una columna cil´ındrica no cambia si la giramos un ´angulo cualquiera alrededor de su eje. O una h´elice, ante rotaciones de un ´angulo α alrededor de su eje multiplicadas por una traslaci´on seg´ un su eje de una longitud rα tan β, siendo r su radio y 2πr tan β su paso de rosca. Con frecuencia este tipo de simetr´ıas est´a asociado a una sensaci´on est´etica. Nos parece que las figuras geom´etricas son especialmente bellas, lo mismo que la belleza de una persona suele incluir una figura muy sim´etrica, por ejemplo respecto a un plano. Pues bien, las simetr´ıas matem´aticas que estamos considerando son algo parecido, pero lo que debe permanecer invariante no es la forma de un objeto en el espacio f´ısico, sino algo m´as abstracto y complejo: una ecuaci´on diferencial que expresa una ley f´ısica. En otras palabras, supongamos a Andr´es y Beatriz (o a Alicia y Bernardo) cuyos sistemas de coordenadas espaciales y relojes que miden el tiempo son distintos. Por ejemplo, Andr´es est´a en reposo en un sistema inercial y Beatriz se mueve respecto a Andr´es con velocidad constante o bien Andr´es est´a girado respecto a Beatriz. Supongamos que la relaci´on entre sus coordenadas y tiempos sea una simetr´ıa de una cierta ley. En ese caso, si Andr´es encuentra que esa ley da buenos resultados en su sistema, al realizar una serie de experimentos,

1–6

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1.5. Transformaci´on de los campos electromagn´eticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´ on temporal y se expresa mediante unas ecuaciones diferenciales del tipo F (¨ xk , x˙ k , xk ) = 0 , y les aplica la transformaci´on matem´atica que pasa al sistema de referecnia de Beatriz, obtendr´a las mismas ecuaciones, salvo posiblemente los nombres de las variables. O sea que la funci´on F es la misma para los dos. Entre las simetr´ıas fundamentales de la f´ısica, destacan las rotaciones, las reflexiones y la invariancia bajo inversi´on temporal t → −t. Por eso conviene mucho que sepamos cu´ales son las propiedades de los campos electromagn´eticos respecto a tales transformaciones.

1.5.1.

Rotaciones.

Una rotaci´on de coordenadas en el espacio tridimensional es una transformaci´on lineal, tal que la norma de un vector permanece invariante. En otras palabras, tal que la suma de los cuadrados de las coordenadas no cambia. O sea que se trata de una transformaci´on lineal X ajk xk . (1.26) xj → x0j = k

Para que (x0 )2 = (x)2 se debe cumplir X ajk aj` = δk` .

(1.27)

j

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Si la matriz A tiene por coordenadas ajk , esto significa que su inversa A−1 es igual ˜ o sea que a su traspuesta A, ˜ =I, AA (1.28) por lo que las matrices que expresan una rotaci´on se llaman (adecuadamente) ortogonales y su conjunto se conoce como grupo ortogonal O(3), el tres refiri´endose la dimensi´on del espacio. Pues bien, todo conjunto de tres cantidades que se transforman en una rotaci´on como las componentes de x se llama vector, por ejemplo la velocidad v o el momento lineal p. Hay, adem´as, cantidades que son invariante bajo rotaciones y se llaman escalares. Por ejemplo, los productos escalares de dos vectores, as´ı x2 , x · p o v · p, este u ´ltimo el doble de la energ´ıa cin´etica en f´ısica newtoniana. Si φ(xi ) es un escalar y Vk (xi ) es un vector, se tiene X ajk Vk (xi ) . (1.29) φ0 (x0i ) = φ(xi ) , Vj0 (x0i ) = k

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

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´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio Como vemos, los escalares son tensores de rango cero. Por otra parte hay cantidades con dos ´ındices Bij que se transforman como un vector respecto a cada uno, es decir X Bij → Bij0 = aik aj` Bk` . (1.30) k`

Son los llamados tensores de segundo rango o de dos ´ındices. Como ejemplos, podemos mencional los tensores de inercia de un s´olido o los de tensi´on y deformaci´on en mec´anica de medios continuos. Uno de ellos, el tensor electromagn´etico jugar´a un papel importante en este curso, como veremos m´as adelante. La generalizaci´on a tensores de rango n, o de n ´ındices, es inmediata. Los escalares son tensores de rango cero, sin ´ındices, y los vectores, tensores de rango uno o con un ´ındice. Si multiplicamos t´ermino a t´ermino dos tensores, se obtiene un tensor cuyo rango es la suma de los dos. As´ı el producto di´ adico de dos vectores P ij = Ai Bj es un tensor de rango dos. La cantidad Tijk = Ai Bij es un tensor de tres ´ındices, etc. Los operadores diferenciales tienen tambi´en propiedades de transformaci´on bajo las rotaciones. Por ejemplo, el gradiente es un operador vectorial. Como consecuencia, el gradiente de un escalar ∇φ es un vector, la divergencia de un vector ∇ · V es un escalar, la laplaciana es un operador escalar, de modo que la laplaciana de un escalar es otro escalar ∇2 φ. Para interpretar lo que significa una rotaci´on, podemos usar dos interpretacionees. En el punto de vista activo se considera que no cambian los ejes de referencia y el sistema f´ısico es el que se gira. En el punto de vista pasivo es al rev´es, los ejes se giran y el sistema se deja fijo. Para entenderlo mejor, tomemos una rotaci´on alrededor del eje z, o sea en el plano xy. Desde el punto de vista activo, giramos el sistema un ´angulo α y desde el pasivo, un ´angulo −α. La situaci´on relativa del sistema y los ejes es la misma en los dos puntos de vista.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Consideremos el producto vectorial A = B × C.

(1.31)

En componentes Di =

X

ijk Bj Ck ,

jk

donde el s´ımbolo ijk representa el tensor de Levi-Civita, que es de rango tres y completamente antisim´etrico. Vale cero si dos ´ındices son iguales, +1 si ijk es una permutaci´on par de (123) y -1 si es una permutaci´on impar. Es f´acil ver que 1–8

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1.5. Transformaci´on de los campos electromagn´eticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´ on temporal es un tensor invariante, pues 0ijk =

X

ai` ajm akn `mn = ijk .

`mn

En efecto, si dos ´ındices en (ijk) son iguales el segundo miembro se anula. Si, por ejemplo i = j, los terminos en ai` aim `mn se cancelan. Si ijk es una permutaci´on par, el segundo miembro es igual al determinante de A = (aij ) y si es una permutaci´on impar a menos el determinante (pues se han intercambiado dos filas). Como el determinante de una rotaci´on propia es +1, queda demostrado. N´otese que si la rotaci´on fuese imporpia, su determinante ser´ıa −1 y el tensor de Levi-Civita cambiar´ıa de signo en una reflexi´on. Los tensores a lo suq les ocurre tal cosa, se llaman pseudotensores. Pues bien, vemos que ijk es un pseudotensor. En el caso del producto vectorial D, su expresi´on sugiere que se puede considerar como un tensor antisim´etrico de rango dos cuyas componentes sean Bj Ck − Bk Cj . Por ser antisim´etrico tiene s´olo dos componentes distintas, lo que permite tratarlo como un vector. Pero el hecho de que el tensor de Levi-Civita sea un pseudotensor, indica que su ley de transformaci´on es X Di0 = det(a) aij Dj (1.32) j

O sea que un producto vectorial es realmente de un pseudovector. Esto tiene importancia pues es el caso del campo vectorial. Los pseudovectores se llaman tambi´en vectores axiales mientras que los vectores ordinarios se conocen como vectores polares. El producto vectorial de un axial por un polar es polar, el de dos axiales es axial. El producto escalar de un axial y un polar es un pseudoescalar y el de dos axiales un escalar.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

1.5.2.

Reflexiones.

La paridad o reflexi´on r → −r es una transformaci´on que cambia la axilidad de una figura, por ejemplo transformando una mano derecha en una mano izquierda. La matriz de tal transformaci´on es aij = −δij cuyo determinante vale −1. Ya hemos visto antes que los pseudotensores se transforman de modo distinto que los vectores bajo una reflexi´on. Si consideramos el conjunto de todas las rotaciones propias, es decir tales que det(a) = +1, es f´acil ver que forman un grupo llamado ortogonal. Si incluimos los productos de esas rotaciones por la paridad, resulta que det(a) = ±1, que se llama grupo ortogonal completo. La reflexi´on respecto a un plano tiene determinante −1 notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1–9

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio y es igual al producto de la paridad por una rotaci´on de ´angulo π en el plano. Por ejemplo (x, y, z) → (x, y, −z) es igual al producto de una rotaci´on en el plano xy por la reflexi´on r → −r.

1.5.3.

Inversi´ on temporal.

Las leyes b´asicas de la f´ısica cl´asica son invariantes por el cambio de la flecha del tiempo. N´otese que lo que es invariante no es cada trayectoria, sino la expresi´on matem´atica de la ley, es decir, la ecuaci´on del movimiento. Si tomamos una pel´ıcula de una carambola, que no contenga pistas como un reloj o una persona andando, resulta imposible saber al verla si esta siendo pasada hacia alante o hacia atr´as. Los planetas giran an torno al Sol aproximadamente en un plano y con un cierto sentido de giro. Ello se debe a un accidente hist´orico, pues podr´ıan igualmente girar en el sentido contrario. A las leyes del movimiento les da igual. N´otese que para pasar de un sentido al otro, basta con cambiar t → −t, v → −v, p → −p. Pues bien para tener en cuenta esta simetr´ıa temporal, es preciso que las ecuaciones sean invariante por esos cambios. Tomemos la segunda ley de Newton en la forma dp = −∇U (r) . dt

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

En la Tabla 1, se indican las propiedades de transformaci´on de las principales magnitudes electromagn´eticas ante rotaciones, paridad e inversi´on espacial.

1–10

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1.5. Transformaci´on de los campos electromagn´eticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´ on temporal

Tabla 1.1 Propiedades de transformaci´on de varias magnitudes bajo rotaciones, paridad e inversi´on temporal. Rotaci´ on (rango del tensor) Paridad

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Magnitud

Inversi´ on temporal

I. Mec´anicas Coordenada Velocidad Momento Momento angular Fuerza Torque Energ´ıa cin´etica Energ´ıa Potencial

x v p L=x×p F N=x×F p2 /2m U (x)

1 1 1 1 1 1 0 0

Impar (vector) Impar (vector) Impar (vector) Par (pseudovector) Impar (vector) Par (pseudovector) Par (escalar) Par (escalar)

Par Impar Impar Impar Par Par Par Par

II. Electromagn´eticas Densidad de carga Densidad de corriente Campo el´ectrico Desplazamiento Polarizaci´on Campo Magn´etico Intensidad Magn´etica Imanaci´on Vector de Poynting Tensor de Maxwell

ρ J E D P B H M S=E×H Tαβ

0 1 1 1 1 1 1 1 1 2

Par (escalar) Impar (vector) Impar (vector) Impar (vector) Impar (vector) Par (pseudovector) Par (pseudovector) Par (pseudovector) Impar (vector) Par (tensor)

Par Impar Par Par Par Impar Impar Impar Impar Par

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1–11

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio

1.6.

Ejercicios

1.1 Comprobar que la fuente del potencial vectorial en el gauge de Coulomb es la componente transversal o solenoidal de la corriente Jt (que verifica ∇ · Jt = 0). 1.2 Si existiesen los monopolos magn´eticos, uno de carga qm situado en el origen de coordenadas producir´ıa un campo magn´etico igual a µ0 q m r Bm = 4π r3 a) Demostrar que ese campo no es una soluci´on de las ecuaciones de Maxwell y, por tanto, es incompatible con la teor´ıa en ellas basada. b) Demostrar que, si se a˜ nade el t´ermino Bs = µ0 qm δ(x)δ(y)h(−z)ez al campo anterior, el campo suma s´ı obedece a las ecuaciones de Maxwell. Interpretar la soluci´on as´ı obtenida. 1.3 Supongamos que la relaci´on constitutiva de un material que expresa el vector polarizaci´on P en funci´on del campo el´ectrico en presencia de una campo magn´etico est´atico B0 incluye varias contribuciones de E, sus derivadas temporales y B0 . Usar argumentos de simetr´ıa que muestren que la expresi´on m´as general hasta el segundo orden en B0 tiene necesariamente la forma:  2  ∂2E ∂E ∂ E 1 P = χ0 E + χ1 × B0 + χ2 (B0 · B0 ) 2 + χ3 · B0 B0 0 ∂t ∂t ∂t2

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

1.4 Si en un conductor por el que fluye una corriente debida a un campo el´ectrico se aplica un campo magn´etico transversal, aparece una componente de campo el´ectrico en la direcci´on perpendicular a ambos y, como consecuencia, un voltaje entre los dos lados del conductor. Este fen´omeno se conoce como efecto Hall. Bas´andose en las propiedades se simetr´ıa espacial y temporal, demostrar que, para campos magn´eticos peque˜ nos. la generalizaci´on de la ley de Ohm que es correcta hasta el segundo orden en el campo magn´etico tiene la forma E = ρ0 J + R(H × J) + β1 H 2 J + β2 (H · J)H donde ρ0 es la resistividad en ausencia del campo magn´etico y R, β1 , β2 son ciertos coeficientes (R se conoce como coeficiente de Hall o coeficiente Hall). 1.5 Demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo son invariantes bajo las llamadas transformaciones de dualidad E → E0 = E cos θ + cB sen θ ,

1–12

cB → cB0 = −E sen θ + cB cos θ.

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

Cap´ıtulo 2 Relatividad especial 2.1.

2.1.1.

El principio de relatividad y los postulados de Einstein Sistemas inerciales.

Para describir los fen´omenos naturales, los f´ısicos usan sistemas de referencia, que tambi´en llamaremos referenciales, que consisten en sistemas de coordenadas para indicar la posici´on en el espacio y relojes fijos en cada sistema para indicar el tiempo.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Tienen un inter´es especial los llamados sistemas inerciales, que son sistemas de coordenadas en los que un m´ovil libre, o sea sin fuerzas aplicadas, se mueve con velocidad constante. Son importantes porque en ellos valen las leyes de Newton sin necesidad de incluir fuerzas de inercia. Si un sistema es inercial, todos aquellos que se mueven respeto a ´el con velocidad constante y sin rotaci´on son tambi´en inerciales. Rec´ıprocamente si dos sistemas son inerciales, se mueven uno respecto al otro con velocidad relativa constante. A pesar de la importancia que tiene en la fundamentaci´on de la din´amica cl´asica, la idea de sistema inercial es m´as bien reciente. Fue introducida por el fil´osofo y cient´ıfico alem´an Ludwig Lange en 1885. Gracias a ella, se aclar´o mucho la noci´on de relatividad, que estaba confusa incluso en las obras de los grandes mec´anicos del XVIII y XIX. Principio de relatividad: Las leyes de la naturaleza son las mismas en todos los sistemas inerciales de referencia. Esto significa que, si Andr´es y Beatriz cada uno en su referencia inercial, investigan mediante experimentos las leyes de la notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–1

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial naturaleza en un cierto sistema f´ısico, los dos obtendr´an las mismas leyes (salvo error, claro). Con frecuencia se distingue entre principio de relatividad de Galileo y de Einstein. El primero se refiere tan s´olo a leyes de la din´amica. El segundo a todas las leyes de la f´ısica, incluyendo en particular el electromagnetismo, o sea que es el principio de relatividad sin m´as cualificaci´on.

2.1.2.

Velocidad de propagaci´ on de la interacci´ on.

La din´amica de Newton usaba fuerzas instant´ aneas. La ley de la gravitaci´on universal, por ejemplo, no incluye ninguna referencia ni al tiempo t ni a la velocidad de propagaci´on de la gravedad. Para ilustrar esta cuesti´on, imaginemos que en el Sol se produjese una explosi´on en un cierto instante t0 , de modo que dos mitades fuesen despedidas con una cierta velocidad en direcciones opuestas (o quiz´a en el n´ ucleo de la galaxia). Al cabo de un cierto tiempo, cambiar´ıa la ´orbita de la Tierra porque cambiar´ıa la fuerza de la gravedad del Sol. Seg´ un la teor´ıa de Newton, ese cambio ser´ıa instant´aneo, es decir, se notar´ıa desde el mismo instante t0 (si bien al principio el cambio ser´ıa peque˜ no). Hoy se piensa, en cambio, que la interacci´on gravitatoria tiene una velocidad finita de propagaci´on, que coincide con la velocidad de la luz c, de modo que los efectos de la explosi´on en el Sol se notar´ıa solo tras unos 8 minutos y 20 segundos (= 1 UA/c ' 500 s). Tambi´en sabemos hoy que esa velocidad c es la de propagaci´on de la interacci´on electromagn´etica y tambi´en es una velocidad l´ımita que no puede ser superada por ning´ un m´ovil. Su valor es

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

c = 299 792 458 m/s .

(2.1)

Como es una constante universal de la naturaleza, puede jugar el papel de patr´on universal. Hay que tener en cuenta que cuando se toma un patr´on, siempre es necesario suponer que algo no cambia. Por ejemplo, el metro se defin´ıa como “la diezmilmillon´esima parte del cuadrante de meridiano terrestre que pasa por Par´ıs” porque se supone que los meridianos de la Tierra tienen longitud invariante. Si se defini´o m´as tarde como la distancia entre dos marcas en una barra de platino iridiado mantenida a temperatura constante, fue porque esa aleaci´on se dilata o contrae muy poco ante cambios de temeperatura (es inevitable que haya algunos muy peque˜ nos). Luego se tom´o como definici´on la longitud de 1 650 763,73 longitudes de onda de una cierta radiaci´on emitida por el 86 Kr, lo que implica 2–2

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.1. El principio de relatividad y los postulados de Einstein suponer que la constante de Rydberg es realmente constante 2  me4 1 = constante . R= 4π0 4π~3 c Para aprovechar la constancia universal de c, el metro se define desde 1983 como la distancia recorrida por la luz en 3,335 640 952 × 10−9 s. Cabe mencionar que la revista Nature public´o entonces un editorial criticando la decisi´on de la Oficina Internacional de Pesas y Medidas porque no se puede asegurar que c no cambie en alguna medida que escapa a los experimentos actuales. En todo caso, se puede decir que se conoce actualmente el valor exacto, o sea sin error, de la velocidad de la luz (tambi´en ocurre con dos cantidades relacionadas: la permitividad y la permeabilidad del espacio vac´ıo).

2.1.3.

Sucesos, intervalo y tiempo propio.

Un suceso o evento es algo que ocurre en un punto del espacio en un instante de tiempo. Se define por cuatro cantidades, el valor del tiempo t y los de las tres coordenadas (x, y, z). Los sucesos se sit´ uan en un espacio de cuatro dimensiones, una temporal y tres espaciales, conocido como espacio-tiempo (se intent´o sin ´exito la palabra universo). Por abuso de lenguaje, se suele identificar suceso con punto del espacio-tiempo. Una part´ıcula puntual descibe una l´ınea en el espacio-tiempo (un tubo, si no es puntual).

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

La idea de espacio-tiempo fue introducida por el matem´atico alem´am Hermann Minkowski en el Congreso de la Asociaci´on de Matem´aticos, celebrado en Colonia en 1908, al decir que, como consecuencia de la teor´ıa de Einstein (que hab´ıa sido alumno suyo en Zurich), “A partir de ahora, el espacio por s´ı mismo y el tiempo por s´ı mismo est´an condenados a desvanecerse como meras sobras y s´olo quedar´a una ´ıntima uni´on de ellos dos: el espacio-tiempo”. Por eso el espaciotiempo de la relatividad especial se conoce como espacio de Minkowski. La idea de distancia entre dos puntos a lo largo de una trayectoria es muy importante en geometr´ıa eucl´ıdea. La distancia, sin m´as, es la distancia a lo largo de un a l´ınea recta que una los dos puntos. Sean estos P1 ≡ (x1 , y1 , z1 ) y P2 ≡ (x2 , y2 , z2 ). Su distancia s cumple s2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 . Si los puntos son P1 ≡ (x, y, z) y P2 ≡ (x + dx, y + dy, z + dz) el elemento de distancia, o de longitud, es ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 . notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–3

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial Una caracter´ıstica importante de la geometr´ıa eucl´ıdea es que el elemento de longitud se puede escribir como la suma de cuadrados de elementos de las coordenadas. En realidad, esto es ni m´as ni menos que el teorema de Pit´agoras. En el caso de que las coordenadas correspondan a ejes no ortogonales, de P modo que un punto se determine por el vector dr = xi ei pero con los vectores ei no siendo ortonormales ei · ej 6= δij , el elemento de longitud se escribe como X ds2 = gij dxi dxj , ij

donde gij = ei · ej es el llamado tensor m´etrico. En una geometr´ıa eucl´ıdea, siempre se puede conseguir que gij = δij , eligiendo adecuadamente los vectores de la base. Para estudiar el espacio-tiempo en relatividad, se usa el concepto de intervalo, que es an´alogo pero no igual al de distancia. El intervalo entre dos sucesos y el elemento de intervalo valen (suponiendo una base espacial ortonormal) s212 = c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 − (y2 − y1 )2 − (z2 − z1 )2 ,

(2.2)

ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 .

(2.3)

En general, conviene usar cuatro coordenadas para trabajar en el espacio-tiempo x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z . El intervalo es entonces ds2 = (dx0 )2 − (dx1 )2 − (dx2 )2 − (dx3 )2 =

X

gij dxi dxj .

ij

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Esto se parece a lo que ocurre en un espacio eucl´ıdeo, pero con tensor m´etrico igual a (notaci´on autoexplicativa) gij = diagonal(1, −1, −1, −1). Cuando un espacio tiene un elemento de distancia que se puede escribir como la suma de varios cuadrados de diferenciales de coordenadas menos la suma de varios otros, se dice que es un espacio pseudoeucl´ıdeo. La signatura de la m´etrica es el dato de cuantos signos m´as y cuantos signos menos hay en ella. La de la relatividad se puede expresar como (1,3) o (3,1) ( de modo equivalente) N´otese que sigo usando un cuadrado en el primer miembro, a pesar del hecho evidente que el segundo miembro puede ser negativo (se dice que la m´etrica 2–4

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.1. El principio de relatividad y los postulados de Einstein no es definida positiva). Los espacios en que el tensor m´etrico depende de las coordenadas, de modo que varia de punto a punto se califican de riemannianos o pseudoriemnnianos en honor al matem´atico alem´an Georg Friedrich Riemann (1826-1866), quien los introdujo en un importante trabajo titulado “Sobre las hip´otesis en que se basa la geometr´ıa”. Al hacerlo se apoy´o en la obra anterior de Gauss. 2.1.3.1.

Importancia del intervalo.

Se debe a que el intervalo entre dos sucesos toma el mismo valor para todos los observadores inerciales, porque es invariante bajo transformaciones de Lorentz. Como veremos esto es parecido a lo que le ocurre a la distancia en la geometr´ıa eucl´ıdea, que es invariante bajo rotaciones. 2.1.3.2.

Tipos de intervalo.

Supongamos que el punto del espacio-tiempo P1 es el origen de coordenadas y P2 ≡ (t, x, y, z). El intervalo entre P1 y P2 ser´a s212 = c2 t2 − `2 ,

con `2 = x2 + y 2 + z 2 .

Como el signo de s2 no est´a definido, un intervalo puede ser de tres tipos. a) de tipo tiempo (o temporal), si s212 > 0. Esto significa que se puede ir de P1 a P2 manteniendo siempre una velocidad menor que c. s12 es real. b) de tipo luz, si s212 = 0. En este caso un rayo de luz puede ir de P1 a P2 . Adem´as, s12 = 0.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

un movil puede ir de P1 a P2 c) de tipo espacio (o espacial), si s212 < 0. Ning´ pues se necesitar´ıa llegar a una velocidad superior a la de la luz. s12 es imaginario puro. Se define el cono de luz de un punto como el conjunto de los rayos de luz que salen de ese punto (o sea en un cierto instante). Su ecuaci´on es c2 t2 −(x2 +y 2 +z 2 ) = 0. Las partes con t > 0 (resp. t < 0) se llaman cono del futuro (resp. cono del pasado). Pues bien a) Si el intervalo entre P1 y P2 es de tipo tiempo, P2 est´a dentro del cono de luz de P1 . b) Si es de tipo luz, P2 est´a en el cono de luz. c) Si es de tipo espacio, P2 est´a fuera del cono de luz. notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–5

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial La gran importancia que tiene la noci´on de cono de luz est´a en sus consecuencias sobre las posibles relaciones causales entre P1 y P2 . a) El interior del cono de luz del futuro se llama futuro absoluto de P1 . Ello se debe a que t > 0 (o sea t2 > t1 ) para todos los observadores inerciales. En cambio, existe un sistema de referencia en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial. El intervalo temporal entre los dos eventos en ese sistema es igual a p c2 t212 − `212 s12 0 t12 = = . c c S´ı puede haber una influencia causal de P1 sobre P2 , pero no al rev´es. An´alogamente, el interior del cono de luz del pasado se llama pasado absoluto. Existe un sistema en que los dos sucesos ocurren en el mismo tiempo. Adem´as, s´ı puede haber una influencia causal de P2 sobre P1 , pero no al rev´es. b) Los sucesos en el cono de luz, est´an siempre separados (para que se diesen los dos en un mismo punto, el sistema deber´ıa viajar a velocidad c). Los del futuro ser´an siempre futuro y los del pasado, siempre pasado. c) Los puntos del exterior del cono de luz de P1 est´an siempre separados. No hay ning´ un referencial en que los dos ocurran en el mismo lugar. Como para viajar entre P1 y uno de ellos se necesita llegar a una velocidad superior a c, cosa imposible, no puede haber ninguna conexi´on causal con puntos de fuera del cono de luz.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Por otra parte, hay sistemas en los que P1 y P2 son simult´aneos. Su distancia espacial es en ese caso q 0 `12 = `212 − c2 t212 = is12 . Entender que el orden temporal entre dos sucesos separados por un intervalo tipo espacio depende del observador y que la simultaneidad de sucesos separados espacialmente no puede tener caracter absoluto fue el punto de partida de Einstein para su relatividad espacial. Al desarrollarla actu´o como un empirista, pues no ve´ıa modo de determinar experimentalmente que dos sucesos sean simultaneos, de m´odo v´alido para todos los observadores inerciales.

2.1.4.

Tiempo propio.

Sea un reloj que se mueve de manera arbitraria respecto a un sistema inercial S. Cerca de cada instante, se puede considerar que su movimiento es uniforme. As´ımismo introducimos sistemas de coordenadas en cada instante, unidas r´ıgida2–6

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.2. Las transformaciones de Lorentz mente al reloj, de modo que ´este se mueve intant´anamente en un sistema inercial. Sean (t, x, y, z) las coordenadas en el sistema S. En el intervalo dt, el reloj recorre p la distancia dx2 + dy 2 + dz 2 . En el sistema ligado r´ıgidamente al reloj S 0 , se tiene dx0 = dy 0 = dz 0 = 0. Como el intervalo es invariante, resulta ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = c2 dt0 2 , de donde p dt0 = dt 1 − (dx2 + dy 2 + dz 2 )/c2 dt2 . Como (dx2 + dy 2 + dz 2 )/dt2 = v 2 , resulta que p dt0 = dt 1 − v 2 /c2 . Por tanto, el tiempo que habr´a medido el reloj al moverse a lo largo de una cierta trayectoria entre los tiempos t1 y t2 en S ser´a t02



t01

Z

t2

r dt 1 −

= t1

v2 c2

(≤ t2 − t1 ) .

(2.4)

Esto significa que el tiempo medido por un reloj en movimiento respecto a un sistema S ser´a siempre menor que el de un reloj que est´e en reposo en s.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

2.2.

Las transformaciones de Lorentz

Dados dos sistemas S y S 0 , en movimiento relativo con velocidad constante, estas transformaciones relacionan las coordenadas espaciales y temporales de un suceso (el paso de un m´ovil por un punto es un ejemplo) en los dos sistemas. Suponiendo por simplicidad que los ejes de S y S 0 coinciden en el tiempo t = 0 y que el sistema primado se mueve con velocidad v paralela al eje x, su expresi´on matem´atica es x0 = p y0 t0

x − vt

, 1 − v 2 /c2 = y, z0 = z , t − (v/c2 )x = p . 1 − v 2 /c2

(2.5)

Estas son las famosas ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz o transformaciones de Lorentz, de modo m´as breve. notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–7

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial Es f´acil comprobar que la transformaci´on inversa de (3.41) es x0 + vt0 p x = , 1 − v 2 /c2 y = y0 , z = z0 , t0 + (v/c2 )x0 t = p . 1 − v 2 /c2

(2.6)

O sea que, como cab´ıa esperar, la inversa se obtiene de la directa mediante un simple cambio del signo de la velocidad. Una primera observaci´on, m´as bien trivial, es que si v → 0 (o equivalentemente si c → ∞) se obtienen las transformaciones de Galileo, las propias de la mec´anica de Newton. La expresi´on matem´atica (3.41) se puede obtener de varias maneras.

2.2.1.

Postulados de Einstein.

Primero, como lo hizo Einstein, mediante sus dos famosos postulados, el de relatividad y el de la constancia de la velocidad de la luz. 1. Postulado de relatividad. Las leyes de la f´ısica son las mismas en todos los sistemas inerciales. (Ning´ un sistema inercial es especial.) 2. Postulado de la constancia de la velocidad de la luz. La velocidad de la luz en el vac´ıo tiene el mismo valor en todos los sistemas inerciales.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

De estos dos postulados se pueden deducir la transformaciones de Lorentz, que implican que la velocidad de la luz c es una velocidad l´ımite con caracter universal, la invariancia del intervalo y la relaci´on (2.4) entre los tiempos de un reloj en movimiento general y otro en un sistema inercial y la invariancia del intervalo (2.2)-(2.3). Pero las transformaciones (3.41) pueden deducirse tambi´en a partir de la invariancia del intervalo. Suponemos que tienen que tender a las de Galileo cuando c → ∞, por lo que cabe restringirse a transformaciones lineales en las coordenadas. Busquemos las transformaciones en el espacio-tiempo que dejen invariante el valor del intervalo, usando como coordenadas (x, y, z, ct). Y para ello empezamos por notar que el problema es muy parecido al de hallar las transformaciones que dejan invariante la distancia en el espacio euccl´ıdeo bi- o tri-dimansional. Sabemos 2–8

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.2. Las transformaciones de Lorentz que son las rotaciones. Una rotaci´on en el plano xy se puede escribir siempre como x0 = x cos φ + y sen φ , y 0 = −x sen φ + y cos φ . Estas ecuaciones representan una rotaci´on de un ´angulo φ de los ejes coordenados. Es evidente que las propiedades de las funciones trigonom´etricas garantizan que x2 + y 2 = x0 2 + y 0 2 . La diferencia con el espacio-tiempo es el signo menos debido a la signatura de la m´etrica, o sea su signatura. Como an´alogo a una rotaci´on en el plano, tomemos una rotaci´on cuadridimensional en el plano (x, ct). La cantidad que debe mantenerse invariante es ahora (ct)2 − x2 . Lo mismo que antes eso se consegu´ıa gracias a las funciones trigonom´etricas, en este caso hay que usar funciones hiperb´olicas. Recordemos su definici´on sinh ψ =

eψ − e−ψ , 2

cosh ψ =

eψ + e−ψ , 2

tanh =

eψ − e−ψ , eψ + e−ψ

cumpli´endose que cosh2 ψ − sinh2 ψ = 1. Es f´acil comprobar que la expresi´on general de una transformaci´on lineal que conserve el intervalo es x0 = x cosh ψ − ct sinh ψ , ct0 = −x sinh ψ + ct cosh ψ , pues (ct0 )2 − x0 2 = (ct)2 − x2 . Para hallar el valor de ψ adecuado a la transformaci´on de Lorentz (3.41), notemos que si x = 0, la transformaci´on es

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

x0 = −ct sinh ψ , con lo que

ct0 = ct cosh ψ ,

x0 = − tan ψ . ct0

Como x0 /t0 = −v, resulta que tanh ψ =

v =β, c

ψ = arctanh

v . c

Teniendo en cuenta que tanh ψ sinh ψ = p , 1 − tanh2 ψ notas EDC (v. 15/marzo/2005)

1

cosh ψ = p

1 − tanh2 ψ

, 2–9

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial resulta sinh ψ = p

β

,

cosh ψ = p

1

. 1− 1 − β2 Sustituyendo se obtiene la expresi´on de la transformaci´on de Lorentz (3.41) que queda as´ı probada a partir de la invariancia del intervalo. β2

La analog´ıa con las rotaciones se puede conseguir usando una coordenada temporal imaginaria. En vez de x0 = ct, sea x4 = ict. El intervalo se escribe entonces formalmente como el de una m´etrica eucl´ıdea X ds2 = (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 + (dx4 )2 = gij dxi dxj , ij

donde gij = δij (el signo global no importa). Pues bien, la transformaci´on de Lorentz en el plano (t, x) se puede escribir como x0 = x cos(iψ) + ict sen(iψ) , ict0 = −x sen(iψ) + ict cos(iψ) . Teniendo en cuenta que cos(iψ) = cosh ψ y sen(iψ) = −i sinh ψ, se comprueba que coincide con la expresi´on hallada m´as arriba. O sea, de manera puramente formal, una transformaci´on de Lorentz con velocidad paralela al eje x se puede escribir como una rotaci´on de un ´angulo imaginario puro igual a iarctanh(v/c) en el plano (ict, x) si se usa ict como cuarta coordenada.

2.3.

Transformaci´ on de las velocidades

Sea un m´ovil que se mueve con velocidades u y u0 en los sistemas S y S 0 respectivamente. La relaci´on entre sus dos velocidades es u0x + v , 1 + u0x (v/c2 ) p uy 1 − v 2 /c2 = 1 + ux (v/c2 ) p uz 1 − v 2 /c2 = 1 + ux (v/c2 )

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

ux = u0y u0z

2.4.

(2.7)

Cuadrivelocidad y cuadriaceleraci´ on

En f´ısica newtoniana la velocidad se define como la derivada de las tres coordenadas cartesianas de una part´ıcula respecto al tiempo, de modo que la velocidad 2–10

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.5. Principio de covariancia es el trivector vk = dxk /dt. En relatividad, se define una velocidad con cuatro componentes, un cuadrivector, derivando respecto al tiempo propio τ en vez de respecto al tiempo coordenado t, de modo que uµ =

dxµ . dτ

El elemento de tiempo propio de la part´ıcula es p dτ = ds/c = 1 − v 2 /c2 dt , por lo que la cuadrivelocidad se puede escribir como uµ =

c p

1 − v 2 /c2

, p

v 1 − v 2 /c2

! ,

que, como se ve, tiene dimensiones de velocidad. Es posible definir tambi´en la cuadriaceleraci´ on como la segunda derivada wµ =

d2 xµ duµ = . dτ 2 dτ

Los dos vectores cumplen las relaciones uµ uµ = c 2 ,

uµ w µ = 0 .

A veces, se define la cuadrivelocidad de modo alternativo y equivalente como   dxµ 1 dxµ µ u = = , ds c dτ

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

que no tiene dimensiones (Landau y Lifshitz as´ı lo hacen). Con esta definici´on uµ uµ = 1.

2.5.

Principio de covariancia

El principio de relatividad dice que las leyes de la f´ısica tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales. Por eso las consideraciones anteriores son de gran importancia. En efecto, una manera de construir leyes que cumplan ese principio, que sean invariantes Lorentz como se dice, es que se expresen mediante magnitudes cuya variaci´on bajo transformaciones de Lorentz est´e claramente definida, o sea, en lenguaje tensorial. Cualquier ley se escribe como una igualdad entre dos expresiones matem´aticas. Para que sea invariante Lorentz, todos los notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–11

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial t´erminos a la derecha y todos los t´erminos a la izquierda deben deben ser tensores del mismo rango. Tambi´en lo deben ser los dos miembros. De ese modo, si valen en el sistema de referencia de un observador inercial, est´a garantizado que valgan tambi´en en todos los dem´as. Esta prescripci´on se conoce como Principio de covariancia. N´otese que ello no s´olo sirve para presentar en un lenguaje coherente una teor´ıa ya conocida y probada, sino que es una exigencia esencial a la hora de buscar nuevas leyes que cumplan el principio de relatividad, eliminando algunas que podr´ıan parecer atractivas, pero que no son covariantes. Dos u ´ltima observaci´on. Algunos fil´osofos o soci´ologos (?), o simplemente opinantes, de la posmodernidad se apoyan en la teor´ıa de Einstein para defender relativismos u otras formas de pensamiento d´ebil, cuando lo que ella dice en verdad es que s´ı hay cosas absolutas, en el sentido que son las mismas para todos los observadores inerciales. Son las leyes de la naturaleza, nada menos. Por ello el nombre de relatividad es confundente. Einstein no la bautiz´o cuando la propuso en 1905 y mejor hubiera sido llamarla Teor´ıa del absoluto o de la absolutidad, o Teor´ıa del invariante, como empez´o a ser conocida cuando la palabra relatividad hizo fortuna.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Usaremos, en este curso, la teor´ıa de la relatividad especial, elemento indispensable para formular adecuadamente las leyes del electromagnetismo. Relatividad especial, tambi´en llamada a veces restringida, significa que est´a basada en las transformaciones de Lorentz como grupo de invariancia y vive en un espacio plano, aunque no eucl´ıdeo del todo. Pero, como el propio Einstein se dio cuenta en 1911, esa teor´ıa no es definitiva porque no puede albergar de forma satisfactoria a la gravedad. Para conseguirlo, el mismo Einstein desarroll´o en los a˜ nos 1907-1911 su Relatividad General, mucho m´as completa, cuyo grupo de invariancia es el de las transformaciones suaves (es decir suficientemente derivables).

2–12

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.6. Ejercicios

2.6.

Ejercicios

2.1 Ejercicios de c´alculo tensorial: a) Determinar si las siguientes cantidades son tensores, diciendo en su caso si son covariantes o contravariantes, siendo φ un escalar dxα

y

∂φ(x1 , x2 , . . . , xn ) . ∂xµ

b) En el caso del grupo general de transformaciones xµ → x0 µ = x0 µ (xα ), un tensor se define mediante la ley de transformaci´on T

0 αβ...γ

X ∂x0 α ∂x0 β ∂x0 γ µν...ρ ... T = ∂xµ ∂xν ∂xρ

Demostrar que esta definici´on de tensor se reduce a las ya conocidas en los casos eucl´ıdeo u pseudoeucl´ıdeo y probar las siguientes igualdades ∂xα = δβα , ∂xβ

∂xα ∂x0 β = δγα , ∂x0 β ∂xγ

en las que se usa el convenio de Einstein de los ´ındices repetidos. Razonar que eso indica quer la delta de Kronecker δβα es un tensor mixto, una vez covariante y otra contravariante. Demostrar que c) el producto de dos tensores Cγαβδ = Aγαβ B δ es tambi´en un tensor;

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

d) si un tensor es sim´etrico (resp. antisim´etrico) respecto a dos ´ındices, es decir, si Aα...β... = Aβ...α... en un sistema de coordenadas, lo es tambi´en en cualquier otro sistema. En otras palabras, la simetr´ıa o antisimetr´ıa de los tensores es invariante por cambios de coordenadas. p 2.2 Demostrar que el tiempo propio dτ = dt 1 − (v/c)2 y las cantidades c2 B 2 − E 2 y E · B son invariantes relativistas. 2.3 Hallar la f´ormula de adici´on de velocidades cuando la velocidad v del sistema S 0 respecto al S tiene una direcci´on cualquiera, expresando el resultado en forma vectorial. 2.4 Hallar los campos de un condensador plano con densidad propia de carga σ0 que se mueve con velocidad v: a) paralela a las placas; b) perpendicular a las placas. Comprobar los invariantes de la transformaci´on. 2.5 Dos rectas paralelas muy pr´oximas, paralelas al eje z y con densidades de carga λ y −λ, se mueven paralelamente a s´ı mismas con velocidades +v y −v. En el sistema del laboratorio los campos que crean valen aproximadamente E = 0 y B = (µ0 I/2πρ)uρ , siendo I = 2λv. notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–13

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial a) Usando los invariantes del campo, determinar si existe alg´ un sistema de referencia en el cual E 6= 0, B = 0.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

b) Una carga q se mueve paralelamente a las dos rectas con velocidad u. Por transformaci´on de los campos, hallar la fuerza sobre la carga en un sistema ligado a ella.

2–14

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.6. Ejercicios

Ap´ endice 2.1: Grupos, vectores, formas y tensores A2.1.1

Definici´ on de grupo y de grupo de Lie. Un grupo es un conjunto de objetos que incluye una ley de composici´on binaria que asigna un elemento a cada par de elementos ordenados a y b. Se escribe a · b = p. Esa ley cumple tres propiedades 1) Es asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c. 2) Existe un elemento identidad e, tal que a · e = e · a = a para todo a. 3) Cada elemento del grupo a tiene un inverso a−1 tal que a−1 · a = a · a−1 = e. En este curso nos interesan en especial los grupos continuos, tales que sus elementos dependen continuamente de varios par´ametros 1 , · · · , n . Si la dependencia es anal´ıticas, el grupo se llema grupo de Lie, en honor del matem´atico noruego Sophus Lie, que fue un pionero en su investigaci´on. Ejemplos de grupos de Lie son el de las rotaciones en n dimensiones, el de las traslaciones o el de Lorentz. Los par´ametros son ´angulos, distancias o ´angulos y velocidades, respectivamente ( o funciones de ellos). En general los grupos de Lie se representan por matrices, de modo que a cada elemento (a menudo una transformaci´on) le corresponde una matriz que act´ ua en un espacio vectorial, que conserve la ley de multiplicaci´on. Es otras palabras, el grupo de Lie y el grupo de matrices deben ser homomorfos. Una tal correspondencia se llama representaci´ on lineal del grupo de Lie.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

A2.1.2 Espacio eucl´ıdeo y grupo de las rotaciones Qu´ e cosa es un vector. Varios n´ umeros sin m´as no son necesariamente las componentes de un vector en un cierto espacio vectorial. En este apartado, dar´e dos definiciones de vector, en el caso de ese espacio de tres dimensiones con geometr´ıa eucl´ıdea. La primera observaci´on es que las componentes de un vector siempre deben expresar, de alg´ un modo, una direccionalidad. Intuitivamente hablando, el ejemplo m´as simple es el de una velocidad. Consideremos el conjunto de los vectores tridimensionales r = (r1 , r2 , r3 ) [≡ (x, y, z)], que representaremos como una columna de tres n´ umeros, y una transformaci´on lineal A : r → r0 = Ar, donde A es una matriz 3 × 3 

 a11 a12 a13   A = (aij ) =  a21 a22 a23  . a31 a32 a33 notas EDC (v. 15/marzo/2005)

(2.8)

2–15

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial La expresi´on en coordenadas de la transformaci´on es X ri → ri0 = aij rj ,

(2.9)

j

o, en forma matricial, 

    r10 a11 a12 a13 r1  0      r2  =  a21 a22 a23   r2  . a31 a32 a33 r3 r30

(2.10)

Pues bien la primera definici´on de vector tridimensional es la siguiente: un vector es un conjunto de tres cantidades que se transforman seg´ un (2.9)-(2.10) ante una transformaci´on lineal de coordenadas. La generalizaci´on a n dimensiones es inmediata. Nos interesa ahora el caso particular en que las matrices A representan rotaciones en tres dimensiones. Se definen por la propiedad de mantener invariante el m´odulo de los vectores r2 = ˜r · r, donde ˜r = (r1 , r2 , r3 ), es decir es un vector fila (la tilde sobre una matriz indica traspocici´on). N´otese que un producto vectorial implica una m´etrica. Se puede escribir, pues, ˜ r2 = r · r = ˜rr = ˜r0 r0 = ˜rAIAr , donde I es la matriz unidad (correspondiente a la transformaci´on identidad). Como esto debe ocurrir para todos los vectores r, es necesario que se cumpla ˜ =I, AA

o sea A˜ = A−1 .

(2.11)

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

La traspuesta de A es igual a su inversa o, tambi´en, A es autoadjunta, es decir, igual a su propia adjunta1 . Las matrices que cumplen esa propiedad se llaman matrices ortogonales. El conjunto de tales matrices en n dimensiones forma un grupo continuo, o de Lie, llamado grupo ortogonal On . El de las rotaciones en el espacio f´ısico es, pues, O3 . La relaci´on anterior implica que det(A) = [det(A)]−1 , por lo que det(A) = ±1. El conjunto de las transformaciones con determinante +1 forman un grupo llamado grupo ortogonal propio, compuesto por las rotaciones que cambian una mano derecha en una mano derecha. Las que tienen determinante −1 transforman una mano derecha en una izquierda y al rev´es. Cada una de ellas es producto de una rotaci´on propia por una reflexi´on r → −r, cuya matriz es −I. No forman grupo pues el producto de dos de ellas tiene determinante +1. El conjunto de todas, las propias y las no propias, s´ı forma grupo evidentemente. Se llama grupo ortogonal completo. 1

La matriz adjunta de A es la inversa de la traspuesta, o la traspuesta de la inversa.

2–16

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.6. Ejercicios 2.6.0.0.1. Formas lineales. Consideremos ahora otro concepto. Una forma lineal en el espacio tridimensional es una funci´on lineal de los vectores que toma valores entre los n´ umeros reales. Como es lineal, toda forma F est´a definida por tres n´ umeros, sean (u1 , u2 , u2 ), tales que Fu (v) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 =

X

ui v i .

(2.12)

i

Es f´acil ver que el conjunto de las formas lineales en un espacio vectorial V tiene tambi´en la estructura de espacio vectorial. Se conoce por espacio dual de V. El teorema de Riesz establece que hay una correspondencia biun´ıvoca entre V y su dual, de modo que a cada vector le corresponde una forma. Nos interesan las formas invariante por O3 (en el caso general, por un cierto grupo). Para ello, su valor debe ser el mismo en un sistema con primas (o sea, rotado) X X X Fu0 0 (v0 ) = u0i vi0 = u0i aij vj = Fu (v) . (2.13) i

i

j

Como esto se debe cumplir para todo vector v, las dos ecuaciones anteriores implican que los coeficientes de la forma se transforman del modo uj =

X

aij u0i ,

i

y, si la matriz aij es ortogonal, esto equivale a u0i =

X

aij uj .

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

j

O sea que los coeficientes de una forma se transforman como los componentes de un vector. Esto parece sugerir que un vector y una forma son la misma cosa. Pero no es as´ı, en general son dos conceptos que hay que saber distinguir. Ocurre sin embargo que, en el caso eucl´ıdeo con el grupo de las rotaciones, las componentes de la forma son la misma terna que la del vector u a que est´a asociada en virtud del teorema de Riesz. Pero en el caso general, las cosas son algo m´as complicadas y conviene, como se ver´a m´as abajo. Cuando hay una m´etrica dada por un producto escalar, se puede establecer una relaci´on biun´ıvoca entre el conjunto de los vectores y el de las formas. Gracias a ello y en el caso de una geometr´ıa eucl´ıdea con una base ortogonal, es posible y c´omodo identificarlos, si bien con un cierto abuso de lenguaje poco importante. Pero eso no se puede hacer en relatividad, que usa una geometr´ıa pseudoeucl´ıdea con el grupo de Lorentz en vez del de las rotaciones. notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–17

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial Eso permite formular la segunda definici´on de vector antes anunciada: un vector es el conjunto de los coeficientes de una forma lineal. Pero conviene insistir que hay en ella un cierto abuso de lenguaje. 2.6.0.0.2. Qu´ e cosa es un tensor. Un tensor de rango n o de n ´ındices en el espacio eucl´ıdeo R3 es un objeto de 3n componentes Tij···n que en la transformaci´on de coordenadas (2.9) cambia del modo siguiente X 0 Tij···n → Tij···n = aii0 ajj 0 · · · ann0 Ti0 j 0 ···n0 (2.14) i0 j 0 ···n0

Es evidente que un ejemplo de tensor de rango n es el conjunto de los productos de las componentes de n vectores Rij···n = Ai Bj · · · Nn . En otras palabras, un tensor es un objeto con varios ´ındices que se transforma como un vector respecto a cada ´ındice. Con esta definici´on, un vector es un tensor de rango uno y un escalar es un tensor de rango cero. Como sabemos una matriz de transformaci´on es un objeto de dos ´ındices, lo que plantea una pregunta. ¿Es tambi´en un tensor? Consideremos una transformaci´on lineal dada por la matriz B = (bij ), es decir X u → v = Bu, o sea ui → v i = bij uj . (2.15) j

Apliquemos la matriz de transformaci´on A = (aij ) que nos pasa a un sistema con primas, en el que la transformaci´on dada por B ser´a X u0 → v0 = Bu0 , o sea u0i → vi0 = b0ij u0j . (2.16)

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

j

2–18

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.6. Ejercicios La situaci´on puede describirse con el diagrama B



u

v

A ↓

↓ A B0

u0

v0 .



(2.17)

Esto significa que v0 = B 0 Au = ABu . Como esto debe verificarse para todo vector u, se ha de cumplir B 0 A = AB ,

es decir B 0 = ABA−1 .

(2.18)

Tomando componentes b0ij =

X

ai` (˜ a−1 )jm b`m

(2.19)

`m

Como A˜−1 = A, entonces (˜ a−1 )jm = ajm , de donde b0ij =

X

ai` ajm b`m ,

(2.20)

`m

que indica que las componentes de la matriz B se transforman como las de un tensor. En f´ısica abundan los tensores. Tres ejemplos de segundo dos: el de inercia de un s´olido r´ıgido y los de deformaci´on y tensi´on en mec´anica de medios continuos.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Producto y contracci´ on de tensores. Se define el producto de dos tensores de rangos n y m como el tensor de rango m + n cuyas componentes son los 3n+m productos de las del primero por el segundo. Ejemplo: la diada o producto di´adico de dos vectores es el tensor Dij = Ai Bj . La operaci´on igualar dos de los ´ındices de un tensor y sumar despu´es en sus posibles valores se llama contracci´ on. Por ejemplo la traza de una matriz de dos P ´ındices es la contracci´on del tensor correspondiente Tr (Aij ) = j Ajj . Es f´acil comprender que la contracci´on de un tensor de rango n es otro tensor, pero de rango n − 2. Por ejemplo si contraemos los dos primeros ´ındices del tensor de P (2.14), el objeto resultante, Uk···n = i Tiik···n , se transformar´a como un tensor de rango n − 2 pues X

0 Tiik···n → Tiik···n =

i

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

X

aii0 aij 0 · · · ann0 Ti0 j 0 ···n0 .

i0 j 0 ···n0

2–19

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial Como

P

i

aii0 aij 0 = δi0 j 0 , resulta que X

0 Uk···n =

akk0 · · · ann0 Uk0 ···n0

(2.21)

k0 ···n0

Luego la contracci´on de un tensor de n ´ındices es un tensor de n−2 ´ındices. Como ejemplo, el producto escalar de dos vectores es la contracci´on de su producto P di´adico (la contracci´on de ak bj es k ak bk ). Con frecuencia se simplifica la notaci´on mediante lo que se llama convenio de Einstein de los ´ındices repetidos que consiste, simplemente, en sobrentender que siempre que haya dos ´ındices repetidos hay que sumar sobre sus valores posibles. Por ejemplo el producto escalar de ak y bk se puede escribir de dos maneras: como P k ak bk o, con un poco menos menos de tinta, como ak bk . Eso permite escribir muchas f´ormulas de modo m´as econ´omico. Un ejemplo interesante de tensor es el llamado tensor de energ´ıa-momento, que jugar´a un papel importante en este curso. Tiene rango dos e indica la densidad de energ´ıa y la densidad de flujo de la energ´ıa de un campo elecromagn´etico. 2.6.0.0.3. Caso general. Supongamos un espacio vectorial de n dimensiones al que asignamos una m´etrica dada por el “tensor m´etrico”gij , que es sim´etrico gij = gji , tal que el producto escalar de dos vectores ui y v i est´a dada por (n´otese que las componentes de los vectores ser´an indicadas por super´ındices) u·v =

X

gij ui v j .

(2.22)

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

ij

En una geometr´ıa eucl´ıdea existen bases tales que ei · ej = δij con lo que tenemos el producto escalar de las matem´aticas elementales. Pero puede ocurrir que, por alguna raz´on, deseemos usar una base no ortogonal. En el caso del espacio de Minkowsky, lo m´as que se puede llegar es a una m´etrica diagonal con un 1 y tres −1, o sea cuatro vectores ortogonales pero, bien uno de ellos bien tres, con norma negativa. La expresi´on (2.22) se puede escribir de modo m´as simple introduciendo las cantidades X X uj = gij ui , tal que uj = g jk uk , (2.23) j

j

pues entonces u·v =

X ij

2–20

gij ui v j =

X j

uj v j =

X i

ui vi =

X

g ij ui vj ,

(2.24)

ij

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.6. Ejercicios donde la matriz del tensor sim´etrico g ij es la inversa de la de gij , es decir que X gik g kj = δij . (2.25) k

Propiamente hablando, las cantidades con el super´ındice, las xk , son las componentes de un vector y las que llevan el sub´ındice, las xk , de una forma. Pero dada la correspondencia biun´ıvoca entre vectores y formas a la que se refiere el teorema de Riesz, resulta aceptable, y conveniente a un cierto nivel, identificar los vectores con las formas. Se dice entonces que las cantidades xk son componentes contravariantes y las xk , componentes covariantes. La operaci´on de pasar de las unas a las otras, mediante la contracci´on con el tensor m´etrico se llama subir y bajar ´ındices. En el caso eucl´ıdeo es posible elegir los vectores de la base de modo que xk = xk , pero eso resulta imposible en el tratamiento de la relatividad. Dada una transformaci´on de coordenadas X xi → x0 i = aij xj ,

(2.26)

j

se dice que v ≡ (v 1 , . . . v n ) es un vector si sus componentes cambian en esa transformaci´on del mismo modo que las x0 s, o sea X vi → v0 i = aij v j . j

Supondremos que esa transformaci´on forma parte de un grupo de Lie. El producto escalar permite asociar a cada vector u una forma lineal Fu de modo que X Fu (v) = u · v = gij ui v j , ij

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

que, como se ha visto m´as arriba, se puede escribir X Fu (v) = u · v = ui v i .

(2.27)

i

Si esa cantidad es invariante por el grupo, debe ser igual a X X X X uj v j = u0j v 0 j = u0j ajk v k = uk v k . j

j

jk

k

Para que sean iguales debe ocurrir que X X j uk = a k u0j , o sea u0j = a`j u` . k

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–21

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial Vemos que, en el caso m´as general, las componentes contravariantes y covariantes se transforman de distinta manera X X j u0 i = aij uj , ui = a i u0j . (2.28) j

j

Estas son las maneras en que se transforman las componentes de los vectores y las formas. Gracias a la existencia de un producto escalar con su tensor gij , podemos decir tambi´en que son las maneras de transformarse de las componentes contravariantes y covariantes de los vectores. En el caso eucl´ıdeo con el grupo On , si multiplicamos la u ´ltima ecuaci´on por (a−1 )iq y sumamos en i, teniendo en P −1 i ` cuenta adem´as que i (a ) q a i = δq` se llega a X u0q = (a−1 )iq ui i

En el caso eucl´ıdeo con el grupo de las rotaciones, la inversa de la matriz es igual a la traspuesta, por lo que X q u0 q = a i ui . que es la misma ley (2.26).

A2.1.3 Espacio de Minkowski, grupo de Lorentz, cuadrivectores y tensores. La teor´ıa de la relatividad vive en el espacio de Minkowsky, un espacio de cuatro dimensiones, con vectores a ≡ aµ = (a0 , a1 , a2 , a3 ), dotado del producto escalar X a·b= ηµν aµ bν , (2.29) µν

que corresponde al tensor m´etrico de Minkowsky

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

gµν = ηµν = diag (1, −1, −1, −1) , en notaci´on autoexplicativa. Ese producto escalar es invariante por el grupo de Lorentz, cuyas transformaciones son del tipo x → x0 = Ax

(2.30)

siendo A una matriz 4 × 4. Si G la matriz del tensor gij , es decir   1 0 0 0  0 −1 0 0    G ≡ (gij ) =  ,  0 0 −1 0  0 0 0 −1 2–22

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.6. Ejercicios podemos escribir un producto escalar de los vectores u0 y v 0 en la forma ˜ u0 · v 0 = u˜0 Gv 0 → u˜AGAv = u˜Gv .

(2.31)

Como esto se debe cumplir para todo par de vectores, es necesario que ˜ AGA = G.

(2.32)

Esta es la condici´on que cumplen las matrices del grupo de Lorentz (es f´acil comprobar que el conjunto de las matrices que la cumplen tiene estructura de grupo). N´otese que en el caso eucl´ıdeo, la matriz G es la unidad, con lo que (2.32) se transforma en la conocida condici´on A˜ = A−1 . La regla para formar las componentes covariantes de un vector es simple con el tensor m´etrico de Minkowsky. Est´a claro que a0 = a0 ,

a1 = −a1 ,

a2 = −a2 ,

a3 = −a3 ,

o sea que subir o bajar un ´ındice espacial equivale a cambiar el signo, mientras que si el ´ındice es temporal la componente no cambia. El tensor m´etrico se puede escribir de tres maneras gij , gji = δji g ij

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

donde la matriz g ij es la inversa de gij .  1 0 0  0 −1 0  (g ij ) = (gij ) =   0 0 −1 0 0 0

Es f´acil comprobar que   1 0 0   0   0 1 j  , gi =   0 0 0  0 0 −1

0 0 1 0

0 0 0 1

    

Usaremos el siguiente convenio. Los ´ındices griegos van siempre de 0 a 3 y los latinos de 1 a 3. Esto significa que las letras griegas se usan para designar a las cuatro coordenadas de espacio y tiempo y las latinas para las de espacio. Esta es la notaci´on tradicional en el Occidente, mientras que en la Uni´on Sovi´etica se usaba m´as la contraria, por eso es la que tiene el libro de Landau. Como hemos visto, un suceso se determina en relatividad por cuatro datos (ct, x, y, z) que vamos a considerar como las cuatro coordenadas de un vector en el espacio de Minkowsky, de modo que x0 = ct,

x1 = x,

x2 = y,

x3 = z .

El “cuadrado del m´odulo”de este vector vale xµ xµ = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x2 )2 = x0 x0 + x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 , notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–23

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial que queda invariante ante las “rotaciones.en cuatro dimensiones, o sea ante las transformaciones de Lorentz. De hecho si se aplica al cuadrivector general (a0 , a1 , a2 , a3 ) una transformaci´on de Lorentz con velocidad v a lo largo del eje x, se transforma en otro con componentes dadas por las mismas expresiones (3.41) a1 − βx0 a0 1 = p , 1 − β2 a0 2 = a2 , a0 3 = a3 , a0 − βa1 a0 0 = p , 1 − β2

(2.33)

con β = v/c es la velocidad expresada en unidades de la velocidad de la luz c. Ante esa transformaci´on de Lorentz el cuadrado de su magnitud aµ aµ = (a0 )2 − (a1 )2 − (a2 )2 − (a2 )2 , permanece invariante. O sea, las transformaciones de Lorentz no s´olo se aplican a las coordenadas espaciales y al tiempo. Convenio de Einstein de los ´ındices repetidos. En el caso de los tensores relativistas, es decir, en el espacio de Minkowski, este convenio siempre se aplica a un par de ´ındices que sean uno contravariante y otro covariante, com ocurre en el producto de dos cuadrivectores, por ejemplo la cuadrivelocidad y la cuadriaceleraci´on u · w = uµ wµ .

2.6.0.0.4. Tensores. En relatividad un tensor es un objeto con n ´ındices arriba y m abajo. Se dice que es n veces contravariante y m veces covariante

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Aµν ,

Rαβγ .

Se llaman tambi´en tensores mixtos para indicar que tiene, a la vez, indices de los dos tipos. Los ´ındices se suben y se bajan mediante la misma regla simple que para los vectores. Al cambiar un ´ındice que vale 0, nada cambia; si vale 1, 2 o 3 cambia el signo. Para contraer dos ´ındices es preciso que sea uno covariante y otro contravariante. Adem´as de las tres formas anteriores del tensor m´etrico, tiene inter´es el pseudotensor tensor completamente antisim´etrico de rango cuatro eαβγδ , una generalizaci´on del de Levi-Civitta. Su valor es 0 si dos de los ´ındices son iguales y +1 o −1 si son los cuatro distintos y los ´ındices forman una permutaci´on par o impar, respectivamente, de los n´ umeros (0, 1, 2, 3). Por ejemplo e0123 = +1, e1023 = −1, e1123 = 0. N´otese que e0123 = −1. Ese tensor tiene por tanto 4! = 24 componentes no nulas. 2–24

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.6. Ejercicios 2.6.0.0.5. Vectores y pseudovectores. Si se realiza una inversi´on de coordenadas (o sea una simetr´ıa respecto al origen, (x, y, z) → (−x, −y, −z)), las tres componentes espaciales de un vector “ordinario” cambian de signo. Si s´olo se invierte una de las coordenadas (por ejemplo, se invierte z si se realiza una simetr´ıa respecto al plano xy), la componente correspondiente de los vectores cambia de signo). Consideremos, sin embargo, el producto escalar de dos vectores, como es el caso del campo magn´etico. Es f´acil comprobar que sus componentes permanecen invariantes en una inversi´on de coordenadas. Si s´olo se invierte una, la componente correspondiente del producto escalar no cambia; por contra las otras dos s´ı cambian de signo. En el primer caso, se dice que se trata de un vector polar; en el segundo, que es un vector axial. Es f´acil comprobar que el campo el´ectrico es polar y el campo magn´etico, axial. Tambi´en se conocen esos dos tipos como vector y pseudovector, respectivamente. Sea C = A × B. Est´a claro que (usando el convenio de los ´ındices repetidos) Ci =

1 eijk Cjk , 2

siendo Cjk = Aj Bk − Ak Bj .

La primera igualdad puede escribirse tambi´en como Ci = eijk Cjk .

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

En general, un pseudotensor se comporta como un tensor para transformaciones de coordenadas sin inversi´on o con la inversi´on de un n´ umero para de coordenadas (o cuando la mano derecha cambia en una mano derecha), m´as precisamente si no cambia la axilidad del sistema de ejes. Pero no cambia de signo sus componentes en una inversion de un n´ umero impar de coordenadas, como s´ı lo hace un tensor. Como ejemplo de pseudoescalar tomemos el producto escalar de un vector y un pseudovector, E · B en electromagnetismo por caso. Cambia de signo, al reves que un escalar en una inversi´on de las tres coordenadas. Sea T µν un tensor antisim´etrico de rango dos en cuatro dimensiones. Se define su dual ∗ T ρσ como 1 ∗ ρσ T = eρσµν Tµν . 2 De la misma manera el dual de un vector Rα es el tensor de rango tres ∗ Rβγδ = eαβγδ Rα . Este tipo de tensores son especialmente importantes porque aparacen muy a menudo en las aplicaciones f´ısicas, como veremos. Sea T αβ uno de ellos. Sus componentes (T 01 , T 02 , T 03 ) forman un vector polar, como es f´acil de comprender aplicando las leyes de transformaci´on. Por su parte, las componentes (T 32 , T 13 , T 21 ) forman un vector axial. Tambi´en se puede entender bien esto al notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–25

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial observar que esas tres componentes son las coordenadas del vector dual del tensor T ij y se comportan como un producto vectorial. Se puede escribir   0 −ex −ey −ez  e 0 −bz by   x  (T αβ ) =  ,  ey bz 0 −bx  ez −by bx 0 y con notaci´on evidente T αβ = (−e, b),

Tαβ = (e, b)

El gradiente en cuatro dimensiones de una funci´on f es   1 ∂f ∂f = , ∇f . ∂xi c ∂t Sus cuatro componentes son las coordenadas covariantes de un vector, escritas a menudo como ∂i f . La diferencial de la funci´on vale obviamente df = ∂i dxi y es un escalar, pues est´a claro que es el producto escalar de dos vectores. 2.6.0.0.6. Integrales en cuatro dimensiones. Se usan integrales de l´ınea, de superficie bidimensional, de volumen tridimensional y de cuadrivolumen. Veamos cu´ales son los elementos difrenciales.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

(i) Integrales de l´ınea. El elemento de integraci´on es simplemente dxi . (ii) Integrales de superficie bidimensional. En el espacio tridimensional, las proyecciones del ´area de un paralelogramo formado por dr y dr0 sobre los plano xi xj son dxi dx0j − dxj dx0i . El conjunto de tales proyecciones es un tensor de rango dos. Su dual es el doble del producto escalar dr × dr0 , cuyas componentes son las ´areas de las tres proyecciones. An´alogamente, en el espacio de Minkowsky el tensor dS αβ = dxα dx0 β − dxβ dx0 α tiene por componentes las ´areas de las proyecciones en los seis planos xα xβ . Como elemento de ´area se usa su dual d∗ S γδ =

1 γδαβ  dSαβ 2

(iii) Integrales de volumen tridimensional. del tensor de rango tres dxβ dx0 β dS βγδ = dxγ dx0 γ dxδ dx0 δ 2–26

De modo parecido se usa el dual

dx00 β dx00 γ dx00 δ

,

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2.6. Ejercicios es decir

1 dS α = − αβγδ dSβγδ 6 0 123 1 023 por ejemplo dS = dS , dS = dS ... (iv) Integral en un volumen cuadridimensional

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

dΩ = dx0 dx1 dx2 dx3 = cdtdV

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

2–27

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial

2–28

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

Cap´ıtulo 3 Formulaci´ on lagrangiana de la electrodin´ amica cl´ asica I 3.1.

Principio de “m´ınima acci´ on” en mec´ anica newtoniana

Sea un sistema mec´anico de n grados de libertad y descrito por n coordenadas (q1 , q2 , · · · , qn ) y, para simplificar supongamos que el potencial no depende del tiempo. Sean sus energ´ıas cin´etica T y potencial V y su funci´on lagrangiana L T = T (q, q) ˙ ,

L = L(q, q) ˙ = T (q, q) ˙ − U (q) .

U = U (q) ,

(3.1)

Sus ecuaciones del movimiento se pueden obtener con gran sencillez a partir del principio de la “m´ınima” acci´on en su forma de Hamilton. Podemos enunciar este principio de la siguiente manera

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

(1)

Principio de Hamilton: Cuando el sistema va desde la configuraci´on qk (2) en t = t1 hasta la qk en t = t2 , se cumple que la integral de acci´ on S Z t2 S= L(q, q) ˙ dt (3.2) t1

toma un valor estacionario. Ello implica que se deben cumplir la ecuaciones diferenciales de EulerLagrange d ∂L ∂L − = 0, k = 1, 2, . . . n , (3.3) dt ∂ q˙k ∂qk que son por tanto las ecuaciones del movimiento del sistema. En este contexto, se suelen llamar simplemente las ecuaciones de Lagrange. notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3–1

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla Ejemplo. Part´ıcula en tres dimensiones sometida al ptential U (x, y, z). El lagrangiano es 1 L = mv 2 − U 2 y las ecuaciones de Lagrange m¨ x = −∂x U ,

m¨ y = −∂y U ,

m¨ z = −∂z U .

Prueba del principio de Hamilton. Definimos las variaciones de las coordenadas δqk (t) como funciones con buen comportamiento que se anulan en t1 y t2 , o sea que δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0 . (3.4) De ese modo los conjuntos qk (t) + δqk (t) son conjuntos de funciones que cumplen (1) todas ellas las condiciones inicial y final qk (t1 ) + δqk (t1 ) = qk y qk (t2 ) + δqk (t2 ) = (2) qk . Que la integral de acci´on tome un valor estacionario significa que, al variar las coordenadas, se anule la parte de primer orden de la variaci´on de la integral. La variaci´on de la integral de acci´on vale  Z t2 Z t2  ∂L ∂L δq + δ q˙ dt , (3.5) δS = [L(q + δq, q˙ + δ q) ˙ − L(q, q)] ˙ dt = ∂q ∂ q˙ t1 t1 salvo t´erminos de segundo orden y superiores en las variaciones (n´otese que por simplicidad se han omitido los sub´ındices en las coordenadas y velocidades. Hay que sobreentender que esa expresi´on es una suma extendida a los valores k = 1, 2, · · · , n). Tal como hemos definido la variaci´on, est´a claro que la variaci´on y la derivada respecto al tiempo conmutan, es decir δ q˙ =

d δq . dt

(3.6)

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Gracias a ello podemos integrar por partes el segundo t´ermino del tercer miembro de (3.5), con lo que Z

t2

t1

t  Z t2  ∂L 2 d ∂L ∂L δ q˙ dt = δq − δq dt ∂ q˙ ∂ q˙ t1 dt ∂ q˙ t1

anul´andose el primer t´ermino del segundo miembro por la condici´on (3.4), de modo que (3.5) toma la forma " #   Z t2  n Z t2  X d ∂L ∂L d ∂L ∂L δS = − − δq(t) dt =− − δqk (t) dt dt ∂ q˙ ∂q dt ∂ q˙k ∂qk t1 k=1 t1 (3.7) 3–2

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3.2. La acci´ on de una part´ıcula libre en relatividad La u ´nica manera en que las integrales en (3.7) sean nulas para todas las variaciones posibles es que se anulen los par´entesis, lo que conduce a las ecuaciones de Lagrange (3.3). Rec´ıprocamente, ´estas ecuaciones implican δS = 0. Momentos conjugados. A cada variable qk le corresponde un momento conjugado pk definido as´ı ∂L . pk = ∂ q˙k A las variables cartesianas xk les corresponde el momento lineal pk = mvk , a la rotaci´on alrededor de un eje, la componente sobre ese eje del momento angular, etc. Hamiltoniano. (o funci´on hamiltoniana) Se define as´ı X H= pk q˙k − L . k

Su derivada total respecto al tiempo vale dH ∂L = , dt ∂t o sea que si L no depende expl´ıcitamente del tiempo el hamiltoniano es una constante del movimiento. Eso ocurre al estudiar leyes que no dependan del tiempo. Si la energ´ıa cin´etica es la suma de una funci´on cuadr´atica de las velocidades P P T2 = ij 12 Aij q˙i q˙j , otra parte lineal T1 = k Bk q˙k y otra independiente de las velocidades T0 , el hamiltoniano vale H = T2 − T0 + U. Cuando T = T2 , caso frecuente, H puede identificarse con la energ´ıa.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

3.2.

La acci´ on de una part´ıcula libre en relatividad

Sea una part´ıcula libre, por ejemplo un electr´on, que se mueve. ¿C´omo plantear su movimiento desde el punto de vista variacional? En primer lugar el integrando de la acci´on debe ser un escalar, pues de otra forma la teor´ıa no ser´ıa covariante Lorentz ni, por tanto, relativista. Adem´as debe ser tambi´en una forma diferencial de primer orden. El u ´nico integrando que cumple esas condiciones es λ ds, siendo λ una constante. Por tanto la acci´on debe ser Z 2 S = −λ ds , (3.8) 1

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3–3

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla donde la integral se toma a lo largo de la trayectoria (o l´ınea de universo) de la part´ıcula en el espacio de Minkowski. Los l´ımites de la integral son dos puntos de espacio-tiempo, o sea una posici´on en el tiempo incial t1 y otra en el tiempo final t2 . Se puede comprobar que λ debe ser positiva. Hasta ahora el elemento diferencial que aparece en la integral de acci´on es la diferencial del tiempo, de R2 modo que S = 1 Ldt. La ecuaci´on (3.8) toma la forma Z t2 p λ c 1 − v 2 /c2 dt , (3.9) S=− t1

donde v es la velocidad. El lagrangiano es, pues, p L = −λ c 1 − v 2 /c2 .

(3.10)

Para determinar la constante λ usaremos dos criterios: i) el lagrangiano L debe tener dimensiones de energ´ıa; y ii) cada part´ıcula est´a caracterizada por su masa m. Esto sugiere que podr´ıa ser λ = mc. Para comprobarlo, tomemos el caso de peque˜ na velocidad, cuando vale la teor´ıa newtoniana. Aproximando la ra´ız hasta t´erminos en primer orden en v 2 /c2 , resulta L = −λ c

p λv 2 . 1 − v 2 /c2 ≈ −λc + 2c

(3.11)

Comparando con la expresi´on newtoniana L = mv 2 /2 se comprueba que el valor anterior de λ es el correcto. Quedan pues la acci´on y el lagrangiano en la forma Z 2 Z 2 p 2 S = −mc ds = −mc dτ , L = −mc2 1 − v 2 /c2 . (3.12) 1

1

Energ´ıa y momento lineal. La definici´on del momento lineal p = (p1 , p2 , p3 ), el conjugado a las coordenadas cartesianas, es

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

pk =

∂L , ∂ x˙ k

o sea

p= p

mv 1 − v 2 /c2

.

(3.13)

En cuanto a la energ´ıa, la tomaremos igual al hamiltoniano, es decir E=

3 X

pk q˙k − L ,

o sea

mc2

E=p

1

1 − v 2 /c2

.

(3.14)

Como vemos se obtienen as´ı las conocidas expresiones relativistas. N´otese que a peque˜ nas velocidades 1 E ' mc2 + mv 2 , 2 3–4

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3.2. La acci´ on de una part´ıcula libre en relatividad y que, a cualquier velocidad, E2 = p2 + m 2 c2 . c2 El hamiltoniano puede escribirse as´ı H=c

p p2 + m2 c2 .

Tambi´en

v . c2 A primera vista parece que la idea de una part´ıcula con masa nula m = 0 no tiene sentido. Sin embargo s´ı lo tiene, si suponemos que esa part´ıcula siempre tiene la velocidad c respecto a todos los observadores inerciales, como se deduce por otra parte de las transformaciones relativistas de las velocidades. En ese caso p=E

E = pc.

3.2.1.

Formulaci´ on cuadridimensional.

El principio de “m´ınima” acci´on es 2

Z

2

δS = −mc δ

dτ = 0 , 1

donde τ es el tiempo propio. Teniendo en cuenta que dτ = (dxµ dxµ )1/2 /c, que dδxµ = δdxµ y que δ(dxµ dxµ )1/2 = dxµ δdhµ /(dxµ dxµ )1/2 , es decir que la variaci´on y el diferencial conmutan, esa variaci´on vale Z 2 Z 2 dxµ δdxµ uµ dδxµ . δS = −m = −m dτ 1 1 — Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Integrando por partes δS = −

m uµ δxµ |21

Z +m 1

2

δxµ

duµ dτ . dτ

El primer t´ermino del segundo miembro vale cero porque la variaciones se anulan en los tiempos extremos. La condici´on δS = 0 implica pues que duµ /dτ = 0 , es decir, la cuadrivelocidad es constante, como corresponde a una part´ıcula libre. notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3–5

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla Tal como se hace en mec´anica te´orica newtonana, podemos considerar a la acci´on como una onda, haciendo fijo el l´ımite inferior 1 y variando el superior 2, o sea considerando las coordenadas de este u ´ltimo como variables. De ese modo µ tenemos una funci´on S = S(x ). Si variamos s´olo estas coordenadas del punto final queda δS = −m uµ δxµ , porque la integral en la expresi´on de δS, ecuaci´on anterior, se anula y s´olo queda el primer t´ermino en el l´ımite superior. El cuadrivector ∂S pµ = − µ ∂x es el cuadrivector momento. De hecho en mec´anica cl´asica las derivadas (∂x S, ∂y S, ∂z S) son las tres componentes del momento lineal p mientras que −∂t S es la energ´ıa de la part´ıcula. Por tanto las componentes covariantes y contravariantes del cuadrimomento son E E pµ = ( , p) , pµ = ( , −p) , c c por lo que pµ = m uµ lo que coincide con las definiciones anteriores. La consecuencia de estos argumentos en que la energ´ıa sobre c y el momento lineal forman un cuadrivector, llamado de energ´ıa-momento. En una transformaci´on de Lorents se cambia, pues, del modo px − vE/c2 0 p px = p0y = py 2 2 1 − v /c E − vpx p0z = pz , E = p . 1 − v 2 /c2 Debido a la identidad uµ uµ = 1 se cumple que pµ pµ = m2 c2 , — Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

que es otra forma de la relaci´on relativista entre la energ´ıa y el momento.

3.3.

Cuadripotencial del campo electromagn´ etico

3.3.1.

Interacci´ on a distancia e interacci´ on por campos interpuestos.

En las presentaciones elementales de la f´ısica se suele considerar que las fuerzas entre cuerpos o part´ıculas se efect´ uan de manera instant´anea. Por ejemplo, al 3–6

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3.3. Cuadripotencial del campo electromagn´etico estudiar el Sistema Solar de modo newtoniano no se tienen en cuenta la posibilidad de que la acci´on gravitatoria tarde un tiempo en ir de un cuerpo a otro. Lo mismo ocurre en el caso del electromagnetismo elemental. Esto parec´ıa evidente al principio, debido a que esas acciones se transmiten de hecho con una velocidad muy alta, la de la luz, por lo que la idea de acci´on a distancia da muy buenos resultados si las velocidades implicadas no son relativistas. Pero un tratamiento m´as fino exige incluir ese retraso de la acci´on. Ello se hace suponiendo que hay un campo intermedio que se propaga entre dos part´ıculas que interact´ uan. En este curso trataremos esta cuesti´on en el caso de las cargas a alta velocidad o aceleradas. Consideraremos ahora el movimiento de una carga puntual en un campo electromagn´etico exterior, es decir que no cambia a causa de la part´ıcula. En ese caso el lagrangiano debe tener dos t´erminos: uno el mismo que antes, para la part´ıcula libre, y otro que represente a la interacci´on. La experiencia dice que este u ´ltimo R2 µ es de la forma −e 1 Aµ dx , siendo e la carga de la part´ıcula y Aµ = Aµ (r, t) un cuadripotencial que representa al campo electromagn´etico. Veremos que resulta ser igual a Aµ = (Φ/c, A) . N´otese que Φ/c y A tienen las mismas dimensiones, m´as concretamente [Aµ ] = Fuerza/Intensidad de corriente,

o sea [Aµ ] = kg·m·s−2 ·A−1 = N/A .

Tomaremos pues la siguiente expresi´on para la acci´on de una part´ıcula con carga e Z 2  S= −mc2 dτ − eAµ dxµ . (3.15)

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

1

Esa integral se puede escribir como Z 2  S = −m c2 dτ − e Φ dt + e A · dr 1 ! r Z 2 v2 2 = −mc 1 − 2 − eΦ + eA · v dt . c 1

(3.16)

El lagrangiano es, por tanto, r L = −mc

2

1−

v2 − eΦ + eA · v c2

Momento lineal. Ese momento ser´a px = ∂L/∂vx , por lo que mv P= p + eA = p + eA . 1 − v 2 /c2 notas EDC (v. 15/marzo/2005)

(3.17)

(3.18) 3–7

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla P es el momento can´onico y p el momento mec´ anico. El Hamiltoniano vale H =

X k

= p

x˙ k

∂L −L ∂ x˙ k

mc2 1 − v 2 /c2

+ eΦ

(3.19)

El hamiltoniano puede expresarse, y es importante hacerlo as´ı, en t´erminos del momento can´onico de la part´ıcula. El c´alculo es simple y sale p H = m2 c4 + c2 (P − eA)2 + eΦ . (3.20) En el caso de peque˜ na velocidad, L = mv 2 /2 − eΦ + ev · A, con lo que H=

3.4.

1 (P − eA)2 + eΦ . 2m

(3.21)

Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electromagn´ etico

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Entre una carga y un campo electromagn´etico hay acciones mutuas (interacciones), de modo que el campo cambia el movimiento de la part´ıcula (mediante fuerzas) y, a su vez, el movimiento de la part´ıcula modifica el campo (emitiendo radiaci´on, por ejemplo). Debe ser as´ı si la energ´ıa se conserva. Conviene empezar por lo que se llama una part´ıcula de prueba, cuya carga y energ´ıa son tan peque˜ nas que su acci´on sobre el campo se puede despreciar. Un ejemplo es el de un electr´on en un campo macrosc´opico. Para estudiar el problema en esa aproximaci´on, considerarremos variaciones de las coordenadas de la part´ıcula en el lagrangiano en (3.16), pero no del vector Aµ (r, t). Las ecuaciones de Lagrange son   d ∂L ∂L = , dt ∂vk ∂xk

(3.22)

con el lagrangiano L dado por (3.17). N´otese que el segundo miembro es igual a ∇L = e∇(A · v) − e∇Φ . El gradiente del producto escalar de dos vectores arbitrarios est´a dado por la f´ormula ∇(a · b) = (a · ∇)b + (b · ∇)a + b × (∇ × a) + a × (∇ × b) . 3–8

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3.4. Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electromagn´etico Aplicando esta f´ormula y teniendo en cuenta que v no depende de r, resulta ∇L = e (v · ∇)A + e v × (∇ × A) − e∇Φ . Como en las ecuaciones de Lagrange ∂L/∂v = P = p + eA, resulta que esas ecuaciones tienen la forma ∂A dp = −e − e∇Φ + ev × (∇ × A) . (3.23) dt ∂t Esta ecuaci´on tiene un aire muy conocido. Definiendo los vectores E, B como E = −∇Φ − ∂t A ,

B = ∇ × A,

(3.24)

las ecuaciones (3.22) toman la forma dp = eE + ev × B, dt es decir, expresan la ley de Lorentz.

(3.25)

Cosas sueltas. En el caso de peque˜ nas velocidades la ecuaci´on (3.25) toman la forma dv m = eE + ev × B. (3.26) dt La derivada temporal de la energ´ıa cin´etica vale ! dp dT d mc2 p =v· = = eE · v. (3.27) dt dt dt 1 − v 2 /c2

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

O sea que el campo magn´etico no efect´ ua trabajo sobre la part´ıcula. Las ecuaciones del movimiento en mec´anica newtoniana son invariantes bajo la inversi´on del tiempo. Esto significa que si un cierto movimiento es posible, tambi´en lo es el movimiento que se obtiene cambiando el signo de todas las velocidades (por ejemplo ser´ıa posible un sistema solar como el nuestro en que los planetas se movieran con exactamente las velocidades opuestas a las que ahora tienen). De hecho esas ecuaciones son reversibles temporalmente. En el caso que nos ocupa, eso sigue siendo cierto con tal de que cambiemos adem´as el signo del campo magn´etico. De modo m´as preciso, las ecuaciones (3.25) son invariantes bajo los cambio t → −t , E → E , B → −B , (3.28) lo que corresponde a Φ → Φ,

A → −A .

(3.29)

O sea, si un movimiento de cargas en un campo electromagn´etico es posible, el movimiento inverso en el tiempo es tambi´en posible si se cambia el signo del campo magn´etico. notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3–9

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla

3.5.

Invariancia gauge

Un problema que se plantea es decidir au´ales son m´as importantes, los potenciales (Φ, A) o los campos (E, B). A primera vista parecen m´as fundamentales los primeros, pues los segundos se deducen un´ıvocamente de ellos y, adem´as, s´olo tiene cuatro grados de libertad en cada punto, por seis de los campos. Sin embargo, lo que caracteriza al campo electromagn´etico desde el punto de vista experimental es su acci´on sobre las cargas y eso se lleva a cabo mediante los campos el´ectrico y magn´etico. Un problema interesante en este caso es saber si los potenciales est´an un´ıvocamente determinados por los campos. La respuesta es no. En particular, si se suman a los potenciales las derivadas de una funci´on arbitraria del espacio-tiempo, de modo que ∂f , (3.30) ∂xµ los campos E y B no cambian, como se comprueba f´acilmente. Est´a claro que tal cambio equivale a a˜ nadir al integrando de la integral de acci´on una diferencial exacta pues ∂f e µ dxµ = d(ef ) , ∂x por lo que la acci´on cambia en la cantidad eδ[f (2) − f (1)] que vale cero pues las variaciones en los dos extremos del intervalo son nulas. O sea que la acci´on permanece invariante y nada cambia en el proceso f´ısico. Adem´as es f´acil comprobar que el cambio (3.30) equivale a Aµ → A0µ = Aµ −

1 ∂t f, A → A0 = A + ∇f , c de modo que no cambian los vectores E y B.

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Φ → Φ0 = Φ −

(3.31)

Esta es la famosa invariancia de gauge bajo la transformaci´ on de gauge (3.30). Un caso particular es a˜ nadir una constante al potencial escalar y un vector conP stante al potencial vectorial, lo que se consigue tomando f = ak xk .

3.6.

El tensor electromagn´ etico

Consideremos de nuevo el principio variacional para el movimiento de una part´ıcula en un campo electromagn´etico exterior Z 2  δS = δ −m c2 dτ − eAµ dxµ = 0 . (3.32) 1

3–10

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3.6. El tensor electromagn´etico Variaremos ahora no s´olo la trayectoria de la part´ıcula sino tambi´en el potencial p dxµ dxµ /c, se puede escribir la ecuaci´on Aµ . Teniendo en cuenta que dτ = anterior en la forma  Z 2 dxµ dδxµ µ µ + eAµ dδx + eδAµ dx = 0 . δS = − m dτ 1 A continuaci´on integramos los dos primeros t´erminos por partes, introduciendo la cuadrivelocidad uµ = dxµ /dτ , con lo que llegamos a δS =

−[(m uµ + eAµ )δxµ ]21

Z +

2

(m duµ δxµ + e δxµ dAµ − eδAµ dxµ ) = 0 . (3.33)

1

El primer t´ermino del segundo miembro es clramente nulo, ya que las variaciones δxµ se anulan en los extremos del intervalo. Aplicando al resto las igualdades δAµ = resulta Z 1

2



∂Aµ ν δx ∂xν

dAµ =

∂Aµ ν dx , ∂xν

∂Aµ µ ν ∂Aµ dx δx m duµ δx + e ν δxµ dxν − e ∂x ∂xν µ

 = 0.

Sustituyendo duµ = (duµ /dτ )dτ en el primer t´ermino y dxµ = uµ dτ en el segundo y el tercero, intercambiando adem´as los ´ındices mudos µ y ν en el el tercero, se obtiene    Z  ∂Aν ∂Aµ duµ −e − m uν δxµ dτ = 0 . dτ ∂xµ ∂xν Como las funciones δxµ son arbitrarias, se debe cumplir   ∂Aν ∂Aµ duµ m =e − uν . dτ ∂xµ ∂xν

(3.34)

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Conviene introducir el tensor electromagn´etico definido como Fµν =

∂Aν ∂Aµ − , µ ∂x ∂xν

(3.35)

o tambi´en Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , donde la F es la inicial de Faraday, el f´ısico que introdujo la idea de campo. La ecuaci´on del movimiento toma la forma duµ m = eF µν uν . dτ

(3.36)

Esa es la expresi´on de las ecuaciones del movimiento de una carga puntual en un campo EM en formalismo cuadridimensional. Sustituyendo Aµ = (Φ, A), resulta notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3–11

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla que el tensor electromagn´etico vale (los ´ındices de filas y columnas son (0, 1, 2, 3))     0 −Ex /c −Ey /c −Ez /c 0 Ex /c Ey /c Ez /c  E /c  −E /c 0 −Bz By  0 −Bz By   x    x µν F =  , Fµν =  .  Ey /c  −Ey /c Bz 0 −Bx  Bz 0 −Bx  Ez /c −By Bx 0 −Ez /c −By Bx 0 (3.37) En la notaci´on m´as breve, usada en el cap´ıtulo anterior F µν = (−E/c, B) ,

Fµν = (E/c, B) .

Las dimensiones de F µν son [F µν ] = J/A = N · m/A . Es importante comprobar que las componentes de los trivectores el´ectrico y magn´etico son las componentes de un tensor antisim´etrico de rango dos, el tensor electromagn´etico. De esta afirmaci´on deduciremos c´omo cambian E y B en una transformaci´on de Lorentz. El sentido de las ecuaciones (3.36) se entiende f´acilmente, al dar valores al ´ındice µ en (3.36). Las tres componentes espaciales µ = 1, 2, 3 son, en otra forma, las ecuaciones (3.25); la componente temporal, con µ = 0, da la ecuaci´on del trabajo (3.27). Alguien podr´ıa pensar que no tiene mucho inter´es poner esas ecuaciones en formalismo de cuatro dimensiones si, al fin y al cabo, son las mismas. Pero n´otese que en esta forma es evidente que se trata de una teor´ıa relativista pues se cumple evidentemente el principio de covariancia: los dos miembros se transforman de igual modo, los dos son cuadrivectores. Lo mismo que hicimos antes, consideremos a la acci´on como una onda en el espacio-tiempo. Para hacerlo fijemos el punto inicial, usemos la trayectoria correcta y variemos solamente el punto final. Se tiene evidentemente

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

δS = −(m uµ + eAµ ) δxµ .

(3.38)

Por tanto

∂S = m uµ + eAµ = pµ + eAµ . ∂xµ Como el primer miembro de esta ecuaci´on es el cuadrivector Pµ de los momentos conjugados de la part´ıcula, resulta que ´este vale   Ecin + eΦ µ , p + eA . (3.39) P = c −

Vemos que la componente cero de ese cuadrivector es la energ´ıa cin´etica m´as la potencial, como era de esperar. 3–12

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3.6. El tensor electromagn´etico

3.6.1.

Transformaciones de Lorentz del campo

Un vector y un tensor de segundo rango se transforman as´ı R 0 µ = aµρ Rρ ,

T 0 µν = aµρ aνσ T ρσ .

(3.40)

Teniendo en cuenta la expresi´on conocida de las transformaciones de Lorentz, x0 = p y0 t0

x − vt

, 1 − v 2 /c2 = y, z0 = z , t − (v/c2 )x = p , 1 − v 2 /c2

x0 1 = γ(x1 − vx0 /c) o sea

x0 2 = x2 ,

x0 3 = x 3

(3.41)

x0 0 = γ(x0 − vx1 /c),

resulta que la matriz (aµρ ) es igual a





1 1−v 2 /c2 −v/c

√ −v/c2

0 0 1−v /c2   √ 1  1−v2 /c2 √1−v2 /c2 0 0 µ aρ =   0 0 1 0  0 0 0 1

    .  

(3.42)

Los potenciales se transforman como un vector, o sea Φ − vAx Φ0 = p 1 − v 2 /c2

Ax − vΦ/c2 A0x = p 1 − v 2 /c2

A0y = Ay ,

A0z = Az ,

(3.43)

y los campos el´ectrico y magn´etico cambian como componentes de un tensor de rango dos en una transformaci´on de Lorentz a lo largo del eje x. M´as concretamente as´ı

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Ex0 = Ex Bx0 = Bx

Ez + vBy Ey − vBz , Ez0 = p Ey0 = p 2 2 1 − v /c 1 − v 2 /c2 By + vEz /c2 Bz − vEy /c2 By0 = p , Bz0 = p 1 − v 2 /c2 1 − v 2 /c2

(3.44) (3.45)

Prueba. En primer lugar veamos que las componentes F 01 y F 23 no cambian, o sea que Ex , Bx son las mismas en los dos sistemas. F 0 01 = −Ex0 /c = a0α a1β F αβ = (a01 a10 − a00 a11 )F 01 = γ 2 (β 2 − 1)Ex /c = −Ex /c , donde se ha usado (3.42). An´alogamente para F 23 . notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3–13

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla Por su parte las componentes (F 02 , F 03 ) transforman como x0 y las (F 12 , F 13 ), como x1 . Tambi´en se puede aplicar (3.40), por ejemplo −Ey0 /c = F 0 02 = a0α a2β F αβ = (a00 a22 + a01 a22 )F 02 = γ(−Ey /c + βγBz ) , de lo que resulta la ecuaci´on (3.44), usando (3.42), y an´alogamente con las dem´as. En el caso de que la velocidad entre los dos sistemas sea peque˜ na β  1, tomando hasta los t´erminos en β, resulta Ez0 = Ez + vBy

Ex0 = Ex

Ey0 = Ey − vBz ,

Bx0 = Bx

By0 = By + vEz /c2 ,

Bz0 = Bz − vEy /c2 ,

que en forma vectorial se escriben E0 = E − B × V ,

B0 = B +

1 E×V. c2

(3.46)

Si en el sistema S no hay campo magn´etico, B = 0, en el sistema S 0 ese campo valdr´a 1 (3.47) B0 = 2 E × V . c N´otese que en S 0 los campos el´ectrico y magn´etico son perpendiculares.

3.6.2.

Invariantes del campo

A partir del campo electromagn´etico se pueden formar cantidades que no var´ıan bajo una transformaci´on de Lorentz. Se llaman invariantes Lorentz. Pensemos en el tensor de rango cuatro T αβγδ = F αβ F γδ . Podemos hacer dos cosas con ´el. (i) contraer sus ´ındices 1o y 3o y 2o y 4o; (ii) contraerlo con el tensor completamente antisim´etrico eαβγδ . Resultan as´ı dos cantidades invariantes

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Fαβ F αβ ,

eαβγδ Fαβ Fαβ ,

(3.48)

el primero es un escalar, es decir un tensor de rango cero; el segundo es un pseudoscalar. Tomando las expresiones anteriores del tensor electromagn´etico, es f´acil calcular los valores de estos invariantes que son, respectivamente, Fαβ F αβ = 2 (B 2 − E 2 /c2 ) ,

eαβγδ Fαβ Fαβ = 4 E · B/c .

(3.49)

Que estas cantidades sean invariantes significa que su valor es el mismo en todos los sistemas inerciales. En particular si se anulan en un sistema, se anulan 3–14

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3.7.

Part´ıcula cargada en un campo el´ectrico uniforme y constante

siempre. Esto implica que si E y B son perpendiculares en un punto del espaciotiempo de un sistema inercial, lo son tambi´en en el punto correspondiente de todos los dem´as. Si tienen el mismo m´odulo, ocurre lo mismo. Igual sucede si E/c > B, o si E/c < B. Una u ´ltima observaci´on es conveniente para lo que se tratar´a en el pr´oximo cap´ıtulo. Teniendo en cuenta que c2 = (0 µ0 )−1 , y recordando que las densidades de energ´ıa el´ectrica y magn´etica son Ue = 0 E 2 /2 y Um = B 2 /2µ0 , el primer invariante puede escribirse en la forma   2 0 E 2 B αβ 2 2 2 − = 4µ0 (Um − Ue ) , (3.50) Fαβ F = 2 (B − E /c ) = 4µ0 2µ0 2 y por tanto su integral espacial es proporcional a la diferencia entre las energ´ıas asociadas a los campos magn´etico y el´ectrico.

3.7.

Part´ıcula cargada en un campo el´ ectrico uniforme y constante

En lo sucesivo, usaremos la siguente notaci´on: un campo es uniforme si no depende de la posici´on y es constante si no depende del tiempo. Si el campo el´ectrico es constante, se expresa como E = −∇Φ, donde Φ = −E·r con la posible adici´on de una constante. N´otese que esa adici´on es la u ´nica transformaci´on de gauge permitida si E es constante y B = 0. Como E es constante, el lagrangiano es independiente del tiempo, por lo que la energ´ıa se conserva. Su valor es E=p

mc2 1 − (v 2 /c2 )

+ qΦ ,

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

siendo q el valor de la carga. Supongamos que, en el momento inicial, la carga tiene un momento lineal p0 . Su movimiento estar´a confinado al plano formado por los vectores E y p0 . Tomemos el caso en que sean perpendiculares, definiendo las coordenadas (x, y) de modo que E = (E, 0) y p0 = (0, p0 ). La ecuaciones del movimiento son (el sobrepunto indica derivada respecto a t)) p˙x = qE,

p˙y = 0 ,

px = qEt ,

py = p 0 .

la trayectoria,

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3–15

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla y la energ´ıa cin´etica de la carga, q q 2 2 2 4 2 Ecin = m c + c p0 + (cqET t) = E02 + (cqEt)2 donde E0 es la energ´ıa cin´etica inicial. La velocidad verifica v=

pc2 , Ecin

por lo que dx px c2 c2 qEt = =p 2 dt Ecin E0 + (cqEt)2 dy py c2 p0 c2 = =p 2 dt Ecin E0 + (cqEt)2

(3.51) (3.52)

Integrando estas ecuaciones, se tiene 1 x= qE

q

E02

+

(cqEt)2

,

p0 c y= arcsinh qE



cqEt E0

 .

(3.53)

Por simplicidad, se han tomado iguales a cero las constantes de integraci´on. Eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores (recordando que cosh2 u − sinh2 u = 1), resulta como ecuaci´on de la trayectoria x=

qEy E0 cosh , qE p0 c

(3.54)

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

curva conocida como catenaria. En el caso no relativista, si v  c, se puede aproximar p0 = mv0 y E0 = mc2 , con lo que la ecuaci´on de la trayectoria resulta ser qE 2 x= y + const , (3.55) 2mv02 es decir una par´abola, como en el tiro parab´olico, naturalmente.

3.8.

Part´ıcula cargada en un campo magn´ etico uniforme y constante

Tomamos el campo B en la direcci´on del eje z. La ecuaci´on del movimiento toma la forma p˙ = q v × B (3.56) 3–16

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3.8.

Part´ıcula cargada en un campo magn´etico uniforme y constante

Como el sistema es independiente del tiempo, se conserva la energ´ıa y, como el trimomento vale p = Ev/c2 , resulta E v˙ = q v × B c2

(3.57)

Eso se puede escribir en la forma v˙ y = −ωvx ,

v˙ x = ωvy ,

v˙ z = 0,

(3.58)

donde la frecuencia ω, conocida como frecuencia del ciclotr´ on, vale ω=

qc2 B . E

(3.59)

Combinando las dos ecuaciones (3.58) resulta v˙ x + iv˙ y = −iω(vx + ivy ) , cuya soluci´on es vx + ivy = ae−iωt , siendo a una cantidad compleja que se puede escribir como a = v0t e−iα . Resulta entonces que la trayectoria de la carga verifica vx = v0t cos(ωt + α) ,

vy = v0t sen(ωt + α) .

(3.60)

La constante v0t es la componente normal al campo magn´etico de la velocidad en el momento inicial. Integrando de nuevo x = x0 + r sen(ωt + α) , siendo

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

r=

y = y0 + r cos(ωt + α)

v0t v0t E = 2 . ω qc B

(3.61)

(3.62)

La tercera ecuaci´on tiene la solcui´on z = z0 + v0z t .

(3.63)

La trayectoria es una h´elice cuyo eje pasa por (x0 , y0 ), es paralelo a B y cuyo radio es r. Su paso de rosca es 2πvz /ω. En el caso no relativista, la frecuencia vale ω= notas EDC (v. 15/marzo/2005)

qB . m

(3.64) 3–17

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla

3.9.

Part´ıcula cargada en campos el´ ectrico y magn´ etico uniformes y constantes

Consideramos ahora el movimiento de una carga puntual q de masa m, sometida a campos el´ectrico y magn´etico constantes y uniformes. Tomaremos s´olo el caso no relativista en que la velocidad de la carga es peque˜ na, v  c y el momento lineal se puede aproximar como p = mv. Elegimos el eje z seg´ un la direcci´on de B, estando el campo E en el plano yz. Las ecuaciones del movimiento son mv˙ = q(E + v × B o sea m¨ x = q yB ˙ ,

m¨ y = qEy − q xB ˙ ,

m¨ z = qEz .

(3.65)

La soluci´on de la tercera es z=

qEz 2 t + v0z t + z0 . 2m

(3.66)

Sumando la primera (3.65) con la segunda multiplicada por i, resulta qEy d (x˙ + iy) ˙ + iω(x˙ + iy) ˙ =i , dt m

(3.67)

donde ω = qB/m es el l´ımite no relativista de la frecuencia del ciclotr´on. La soluci´on general de (3.67) es la general de la homogn´enea m´as una particular de la completa. La primera es ae−iωt con a una constante de integraci´on compleja, la segunda puede ser qEy /mω = Ey /B, es decir

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

(x˙ + iy) ˙ = ae−iωt +

Ey . B

(3.68)

La constante se puede escribir como a = beiα , con b real. Eligiendo adecuadamente el origen del tiempo (m´as concretamente, redefiniendo el tiempo de t a tnuevo = t − α/ω, se puede eliminar la fase α, o sea tomar a real. Resulta entonces x˙ = a cos ωt +

Ey , B

y˙ = −a sen ωt .

(3.69)

Las constantes de integraci´on se han elegido de tal modo que, en el instante inicial, la velocidad de la carga es paralela al eje y. Las dos componentes de la velocidad son peri´odicas, siendo sus valores medios en el tiempo hxi ˙ = 3–18

Ey , B

hyi ˙ = 0. notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3.9. Part´ıcula cargada en campos el´ectrico y magn´etico uniformes y constantes

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

Figura 3.1: Proyecci´on en el plano xy de la trayectoria de una carga en dos campos E y B cruzados, en los casos |a| > Ey /B, |a| < Ey /B y |a| = Ey /B Esto significa que aparece una velocidad en la direcci´on perpendicular al plano que contiene los vectores E y B, calificada como velocidad de deriva (drift velocity en ingl´es). Su valor es E×B , (3.70) vderiva = B2 y se superpone a una velocidad peri´odica con frecuencia ω. Hemos supuesto que el tratamiento no relativista da una buena aproximaci´on, para lo cual se necesita que Ey  1, B siendo los valores de Ey y B totalmente arbitrarios mientras verifiquen la relaci´on anterior. Integrando ahora las ecuaciones (3.69), con las condiciones iniciales x = y = 0 en t = 0, resulta x=

a Ey sen ωt + t, ω B

y=

a (cos ωt − 1) . ω

(3.71)

Ey (1 − cos ωt) , ωB

(3.72)

Si a = −Ey /B, la soluci´on es x=

Ey (ωt − sen ωt) ωB

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

y=

3–19

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

curva conocida como cicloide. Los otros casos corresponden a las llamadas epicicloide e hipocicloide.

3–20

notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3.10. Ejercicios

3.10.

Ejercicios

3.1 A partir de la expresi´on tridimensional del lagrangiano de una part´ıcula cargada en un campo el´ectrico, deducir el hamiltoniano siguiendo el mismo m´etodo que el din´amica cl´asica. 3.2 Estudiar si la densidad legrangiana del campo electromagn´etico es invariante bajo transformaciones de gauge y discutir las consecuencias de que lo sea o no. 3.3 Estudiar la trayectoria de una carga puntual en un campo electromagn´etico constante y uniforme cuyos vectores el´ectrico E y magn´etico B son paralelos. 3.4 ¿Existe la posibilidad de que un campo electromagn´etico sea puramente el´ectrico en un sistema inercial y puramente magn´etico en otro? ¿Que condici´on debe cumplirse en un sistema S para que E = 0 en otro sistema S 0 . 3.5 En un cierto sistema de referencia S se tiene un campo electromagn´etico uniforme E, B. Se busca un sistema S 0 en el que E0 k B0 . ¿Tendr´a siempre soluci´on este problema? Si la tiene, ¿es u ´nica? En tal caso, hallar la velocidad v 0 0 0 de S respecto a S y determinar E y B . 3.6 En una onda electromagn´etica progresiva en el vac´ıo, el campo el´ectrico tiene la expresi´on E = E0 ei(kx−ωt) uy . a) ¿Hay alg´ un otro sistema de referencia en el que el campo sea puramente el´ectrico o puramente magn´etico? b) Encontrar alguna raz´on por la que la fase deba ser invariante.

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3.7 Una densidad lagrangiana empleada algunas veces para el campo electromagn´etico es 1 1 ∂µ Aν ∂ µ Aν + j µ Aµ . L=− 2cµ0 c Compararla con la est´andar, usada en este curso, examinando bajo que condiciones conduce a las ecuaciones de Maxwell. 3.8 Por un conductor cil´ındrico infinitamente largo y de radio a fluye una corriente I. De su superfice se desprende un electr´on cuya velocidad inicial v0 es paralela al conductor. Estudiar el movimiento del electr´on en el campo magn´etico del alambre y hallar la distancia m´axima a la que se alejar´a de ´este. 3.9 Una part´ıcula de carga e y masa m se mueve en un campo electrost´atico de potemcial Φ = k(x2 − y 2 ), con k > 0. La posici´on y la velocidad iniciales son r0 = (x0 , y0 , z0 ) y v0 = (0, 0, v0 ). notas EDC (v. 15/marzo/2005)

3–21

´ n lagrangiana de la electrodina ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´sica I cla a) Escribir las ecuaciones relativistas del movimiento. b) Determinar la trayectoria en la aproximaci´on no relativista. 3.10 Un cierto selector de velocidades consiste en dos placas cil´ındricas muy pr´oximas, entre las que se aplica una diferencia de potencial constante V , con el objeto de que las part´ıculas cargadas describan una trayectoria curvada, de modo que s´olo salgan del selector las que han entrado con la velocidad v0 . Como la distancia d entre las placas es muy peque˜ na, el campo el´ectrico puede suponerse uniforme en m´odulo. a) Escribir las ecuaciones relativistas del movimiento para una de las cargas incidentes con velocidad v0 .

— Antonio Fern´ andez-Ra˜ nada 2005 —

b) Determinar la relaci´on entre v0 y la diferencia de potencial aplicada V para que salga del selector.

3–22

notas EDC (v. 15/marzo/2005)