• Author / Uploaded
• moquete

• Categories
• Elasticidad (Física)
• Estrés (Mecánica)
• Tensor
• Vector Euclidiano
• Movimiento (física)

Citation preview

contenido

Descarga mas libros en: http://librosdejoe.blogspot.com

o busca en la web: librosdejoe

ELASTICIDAD Tercera edición

LUIS ORTIZ BERROCAL Catedrático numerario de Elasticidad y Resistencia de M aterialcs Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid

MADRID• BUENOS AIRES• CARACAS• GUATEMALA• LISBOA• MÉXICO NUEVA YORK• PANAMÁ• SAN JUAN• SANTAFÉ DE BOGOTÁ• SANTIAGO• SAO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍS SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO

ELASTI C IDAD . T e rcera edición No está perm itida la reproducció n tota l o pa rcia l de este libro, ni s u tratamiento informático. ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio. ya sea electrónico. por fotocopia, por registro u otros métodos. sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copy righ1. DERECH OS RESERVADOS

c 1998. respecto a la tercera edición en español por

McGRAW-HILL, INTERAMERICANA DE ESPAÑA. S. A. U. Edificio Valrcu lty. l." planta Basauri. 17 28023 Arav~1ca (Madrid) ISBN: 84-48 1-2046-9 Depósito lega l: M. 38.311-1998 Editora: Concepción Fernándcz Madrid Diseño de cubie rta: Des ig n Mas te r Dyma Compuesto en Puntographie, S. L. Impreso en COBRA, S. L.

IMPR ESO EN ESPAÑA - PRI NTED IN SPA IN

Contenido

Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

Notaciones.................................................................................

xv

l.

Introducción a l estudio de la E lasticidad ........ .. ....................... .......... . 1. J. 1.2.

Objeto de la Elasticidad y de la Resistencia de materiales . . . . . . . . . . . . . . . . Concepto de só lido............................................................ Definición de prisma mecánico............................................... Equilibrio estático y equilibrio elástico. .................. ......... .......... Esfuerzos que se derivan de la acción de un sistema de fuerzas sobre un prisma mecánico............................................................... Concepto de tensión...........................................................

8 11

Estado tcnsional en los sólidos elásticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t3

2.1. 2.2. 2.3.

13 14

J.3. 1.4. 1.5. 1.6. 2.

1 4 6 7

Componentes intrínsecas del vector tensión sobre un elemento de superficie. Estudio de los vectores tensión en un punto. Matriz de tensiones........ Condiciones necesarias entre las componentes de la matriz de tensiones. Ecuaciones de equilibrio...................................................... 2.4. Cambio del sistema de referencia..................................... . ....... 2.5. Tensiones y direcciones principales........................................... 2.6. Elipsoide de tensiones de Lamé.............................................. 2.7. Cuádricas indicatrices de tensiones........................................... 2.8. Cuádricas directrices de tensiones............................................ 2.9. Representación gráfica plana de las componentes intrínsecas del vector tensión en un estado tensional tridimensional. Círculos de Mohr......... 2. JO. Estados cilíndrico y esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 11. Tensiones octaédricas.......................................................... Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 43 46 47

3.

Análisis de las deformaciones en un medio continuo ...............................

69

3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

69 71 72 73

1n trod ucción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices que producen giro.................................................. Alargamientos producidos por una matriz. Direcciones principales....... Matrices infinitesimales........................................................

18 19 21 24 27 33

vii

VIII

CONTENIDO

3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9.

Deformaciones en el entorno de un punto....... . ........ . ................. Matriz de giro................................................................. Matriz de deformación. Significado de sus componentes................... Deformación de ángulos.............................................. . ....... Vector deformación unitaria en una di rección cualquiera. Componentes intrínsecas...................................................................... 3.1 O. Ley de dualidad entre los estados tcnsional y de deformación............ 3.11. Elipsoide de deformaciones........................................... . ....... 3.12. Cuádrieas indica trices de deformaciones..................................... 3.13. Cuádricas directrices de deformaciones...................................... 3.14. Representación gráfica plana de las componentes intrínsecas del vector deformación unitaria. Círculos de Mohr..................................... 3.15. Deformación volumétrica..................................................... 3.16. Condiciones de compatibilidad entre las componentes de la matriz de defonnación........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94 97

Relacio1ies entre tensiones y deforma ciones.... . ........ . .......... . ........ . .......

119

4.

73 76 79 83 84 87 88 88 90 91 93

4.1.

Relación experimental entre tensión y deformación. Diagrama tensióndcformación. Ley de Hooke.................................................. 4.2. Deformaciones transversales. Coeficiente de Poisson..... .. ........ . . . ..... 4.3. P rincipio de superposición.................................................... 4.4. Leyes de Hookc generalizadas................................................ 4.5. Ecuaciones de Lamé........................................................... Ejercicios.............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119 J22 124 125 131 132

Pla nteamiento general del problema elástico........................................

149

5.1. 5.2.

149

5.

Introducció n ................................................................... Formulación del problema elástico en desplazamientos. Ecuaciones de Na vier........................................................................... 5.3. Vector de Galerkin............. . ................ . .. . ........ .. ........ . . . ..... 5.4. Potencial de deformación..................................................... 5.5. Formulación del problema elástico en tensiones. Ecuaciones de Michell y de Bellrarni............................................................. .. ...... 5.6. Un icidad de la solución del problema elástico... . ................... . ...... 5.7. P rincipio de Saint-Venant.. .. .. . . . .. .. .. .. . .. . . . . .. .. . . . .. ... . .. . .. . .. .. .. .. . . 5.8. Deformaciones y tensiones de origen térmico. Teorema de Duhamel..... Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158 161 162 162 169

Elasticidad bidimensional en coordenadas cartesianas..............................

193

6.

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

151 154 156

Estados elásticos bidimensiona les..................................... . ...... 193 Estado de deformación plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Estado tensional plano........................................................ 195 Direcciones y tensiones principales en u n estado elástico bidimensional.. 198 Elipse de tensiones............................................................. 202

CONTENIDO

6.6. Círculo de Mohr ............ ·"................................................. 6.7. Curvas representativas de un estado elástico plano......................... 6.8. El problema elástico en un estado de deformación plana.................. 6.9. El problema elástico en un estado tensional plano......................... 6.1 O. Función de Airy............................................................... 6.11. Función de Airy cuando las fuerzas de masa deriven de un potencial.... 6.12. Solución de Filón a la resolución del problema elástico plano..... ..... .. 6. 13. Funciones de Airy polinómicas............................................... 6.14. Flexión de una viga en voladizo cargada en su extremo........... .... .... 6.15. Presa de gravedad de perfil triangular....................................... Ejercicios..................................................................................

ix

203 205 212 214 215 216 218 219 226 230 233

7. Torsión............................ ............ ........................................ 273 7.1. Introducción................................................................... 7.2. Torsión en barras prismáticas de sección circular o anular................ 7.3. Torsión de barras prismáticas de sección arbitraria. Método semi-inverso de Saint-Venant............ ............... ......... ...................... ...... 7.4. Torsión de barras prismáticas de sección elíptica..................... ... ... 7.5. Torsión de barras prismáticas de sección triangular equilátera............ 7.6. Torsión de barras prismáticas de sección rectangular...................... Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.

279 288 293 298 304

Elasticidad en coordenadas cilíndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

8. 1. Introducción.................. .... ........................... ....... ........... 8.2. Matriz de tensiones..................... ....................................... 8.3. Ecuaciones de equilibrio.................. ...... .............................. 8.4. Matriz de deformaciones...................................................... 8.5. Relaciones entre tensiones y deformaciones................................. 8.6. Estados axilsimétricos. Función de deformación de Love.................. 8.7. La representación de Neuber-Papkovich. Problema de Boussi nesq ....... Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.

273 273

325 327 329 330 335 336 339 344

Elasticidad bidimensional en coordenadas polares .................................. 361 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9.

Estado de deformación plana................................................. Estado tensional plano........................................................ Función de tensiones en coordenadas polares........................ ...... . Distribución simétrica de tensiones respecto a un eje en casos de deformació n o de tensión planas, sin fuerzas de masa............................... Análisis elástico de una tubería cilíndrica de pared gruesa sometida a presión. Disco macizo giratorio ........................................................ Disco giratorio con orificio central..... ...................................... Chapa plana o laja indefinida con taladro circular sometida a tracción o compresión y esfuerzo cortante............................................... Sólido semi-indefinido sometido a carga uniformemente distribuida normal al plano que Jo limita. Problema de Flamant-Bo ussi nesq .......... ...

361 363 364 365 367 371 374 376 385

x

CONTENIDO

9.10. Placa semi-indefinida sometida a una fuerza tangencial o a un momento en un punto de su borde...................................................... 391 9.11. Cuña plana cargada en la arista de su dlcdro............................... 395 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

10. Teoría del potencial interno ......................................................... 10.1. Co ncepto de potencial interno o energía de deformació n............... 10.2. Relaciones entre las fuerzas exteriores y las deformaciones. Coeficientes de iníluencia................................................................. 10.3. Expresiones del potencial interno.......................................... 10.4. Principio de los trabajos virtuales... ......... ............................. 10.5. Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti............................... 10.6. Teorema de Castigliano.................................................... 10.7. Teorema de Mena brea..................................................... 10.8. Aplicación de principios variacionales para la resolución de problemas en Elasticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9. Método de Rayleigh- Ritz ................................................... Ejercicios................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

446 45 1 453

Teorías acerca del comienzo de deformaciones no elásticas.. ........ ............ 11.1. Deformación plástica de los materiales. Criterios de plastificación..... 11.2. Ensayo a tracción de un material. ........................................ 11.3. Teoría de la tensión principal máxima.................................... 11.4. Teoría de la tensión tangencial máxima.................................. 11.5. Teoría de la deformación longitudinal unitaria máxima................. 11.6. Teoría de la energía de deformación...................................... 11.7. Teoría de la energía de distorsión de von Mises........... .............. 11 .8. Teoría de la tensió n tangencial octaédrica ................................ 11.9. Teoría de Mohr.... ...................... ....... .................. .......... Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

467 467 471 474 475 478 479 482 485 486 489

Métodos experimentales en Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1. Introducción ................................................................. 12.2. Finalidad del método cxtcnsométrico .. ................................... 12.3. Galgas extensométricas eléct ricas.......................................... 12.4. Análisis de los datos obtenidos con galgas extensométricas............. 12.5. Fundamentos y finalidad del método fotoelástico........................ 12.6. Conceptos ópticos básicos del método fotoe lás tico. Leyes de Maxwell. 12.7. Aparatos fotoelásticos. Po lariscopios plano y circular............. . ..... 12.8. Efectos de un modelo ca rgado en un pola riscopio plano............... 12.9. Efectos de un modelo cargado en un pola riscopio circular.. ... . .. ..... 12. 1O. Métodos de separación de las tensiones principales.......... ........... 12.11. Otros métodos experimentales.............................................

509 509 509 5J1 516 522 522 525 527 532 537 540

11.

12.

429 429 430 432 435 439 442 444

Bibliografía ................................................. .'........................... . .. 545 Índice .............. ......... ............................. ......... ................ .... ..... 547

Presentación

La excelente acogida dispensada a las dos primeras ediciones de estas lecciones de Elasticidad nos ha ohligodo a redactar esw tercera edición. en la que se recogen todas las sugerencias que se han recibido sobre su contenido. a la vez que se corrigen las erraras ad1,ertidas. Quiere esro decir que esta nueva edición se edifica sobre las anteriores, de las que se mantiene todo aquello que sigue teniendo l'igencia, se cambia lo que se ha estimado conl'eniente y se amplían aquellos remas c¡11e lw sido aconsejable ampliar. Todo ello con las miras puestas en facilitar a nuestros alumnos la asimilación de la forma más fácil, y más profunda a la 1·e:;, de esta disciplina. El c:ome11ido de esta obra esttí encuadrado en el de un curso de Elasticidad y Resistencia de materiales para alumnos de Escuelas Térnicas Superiores. Se presenta como 1111 primer tomo por entender que el estudio de las bases de la teoría de la Elasticidad debe preceder al de la Resistencia de materiales. Es esto una cuestión compartida por eminentes profesores de Esrnelas Térnicas espaíiolas y de otros pa(ses, aunque ta111bién hay otros, eminentes asimismo, que dejie11den la tesis contraria, es decir, de presentar la Resistencia de materiales desde un p11nw de l'ista más intuitivo y tratar posteriormente los métodos más completos y, por ende, más rnmplejos de la teoría de la Elasticidad. No se nos oculta que nuestro planteamiento conllel'l/ un mayor grado de dificultad i11icial111e11te. Sin embargo. creemos que este esfuerz.o al principio se 1•e ampliamellle recompensado por cuwlfo proporciona al alumno, al plantearse el estudio de las caracrerr'sticas resiste11tes de los materiales, 1111 pe1fecto conocimiento de los estados tensional y de defor111ació11 que se crean en éstos al aplicarles ww determinada solicitación. permitiéndole moverse e11 un terrc1w firme en el que co11ocer la forma en que trabajan los 111ateriales. Ta111hié11 hay que seFíalar que el mayor grado de dijicul1ad inicial al que antes nos liemos referido. si hie11 es 111a11ifiesta en las ohras a1'm1z.adas de la materia por 11tiliz.ar la formulación tensorial. t¡ue generalmente el alr111111v desconoce, se l'e notableme11re disminuida en la que aquí se prese11ra por urili:ar en su desarrollo una formulaci' (JtlQ + r :-< ydQ

= r .•y adQ

+ o-,,Y (JdQ + rY= }•dO.

o-= dO. = r =·• ;Lt/Q + r y: f3d0. +

(2.2.6)

0-11= }•dO.

Se puede expresar este sistema de ecuaciones en forma matricial

(2.2.7) o bien simbólicamente

[. r>'=

[T] =

( r:x

!)':

(2.2.9)

ª"=

que es simétrica y depende exclusivamente de los seis valores (2.2.5) se llama matri: de te11si011es.

18

ELASTICIDAD

Las expresiones (2.2.7) o (2.2.8) indican que se obtiene la matriz del vector tensión correspondiente a un determinado pla no multiplicando la matriz de tensiones por la matriz del vector unita rio no rmal a dicho plano. Se deduce de ello que el estado tensio nal en el interior de un sólid o elástico es conocido, si lo es en Lodos sus puntos la matriz de tensio nes.

2.3.

Condiciones necesarias entre las componentes de la matriz de tensiones. Ecuaciones de equilibrio

Fijado un triedro de referencia Oxyz, las componentes de la matriz de tensiones en un punto serán, en general, función de las coordenadas de dicho punto. Sin em ba rgo, los valores que toman estas componentes no pueden ser arbitrarios, ya que siendo .7:. la fuerza por unidad de volumen de componentes (X, Y, Z), el planteamiento del equilibrio estático en el paralelepípedo elemental de la Figura 2.5 interio r al sólido nos conduce a:

(2.3.1)

Estas ecuaciones trad ucen las condiciones necesarias de eq uilibrio y son llamadas

ecuaciones de equilibrio interno. Como se ve, no bastan para la determinación de las componentes de la matriz de tensiones: son tres ecuaciones diferenciales en deri vadas parciales de primer o rden y seis el número de incógnitas. Pero también se tiene que verifica r el equilibrio en los puntos de la superlície del sólido elástico. Si.hes la fuerza por unidad de superficie exterio r de componen les (X, Y, Z), es

0,.,1 .... .

.

,

,'

Figura 2.5.

ESTADO TENSIONAL EN LOS SÓLIDOS ELÁSTICOS

19

evidente que la tensión en los . puntos de dicha superficie exterior dada por (2.2.7) ha de coincidir con .J'n. Las ecuaciones que traducen esta condición

/3 + T :.~ i' Y= •xy a+ a,,r /3 + '»= }' Z = '=x !X+ •r: f3 + a 3 . (2.9.9)

la potencia es positiva y M es exterior a C 1 . Análogamente

(2.9.10) La potencia de M respecto a C 2 es negativa y, por tanto, M es interior a este círculo. De la misma forma: (2.9.11)

la potencia de M respecto a C 3 es positiva, lo que indica que M es exterior a C 3 .

ESTADO TENSIONAL EN LOS SÓLIDOS ELÁSTICOS

39

Queda demostrado, pues, que el punto M tiene que pertenecer al área sombreada de la figura. Por tanto, fijado un punto M, veamos có mo vienen representados en el diagrama de Mohr los parámetros que definen la orientación del plano re co rrespondiente. Consideremos el punto H de intersección de la circunferencia c 1 que pasa por M con C2 (Fig. 2.26). Este punto tiene la misma potencia que M respecto de e I • por pertenecer ambos a una circunferencia concéntrica con ella. Según (2.9.9) la potencia de M respecto a C 1 tiene por expresión (2.9.12)

Por otra parte, podemos expresar esta potencia en la forma siguiente: (2.9.13)

siendo & el ángulo indicado en la Figura 2.26. Comparando estas dos expresiones se deduce cos & =

±a

(2.9.14)

es decir, & es el ángulo que forma con la dirección principal correspondiente a la tensión u1 la normal al plano cuya tensión viene representada por el punto M en el diagrama de Mohr. Consideremos ahora el punto K de intersecció n de la circu nferencia c 3 , que pasa por M, con C2 • Según hemos visto, la potencia de K respecto de la circunferencia C 3 es (2.9.15)

o

D

Figura 2.26.

40

ELASTICIDAD

o también

(2.9.16) de donde

cos

y= ±Y

(2.9.17)

es decir, el ángulo }• es el ángulo que forma con la dirección principal correspondiente a la tensión

y=

60"

Sobre las caras de un paralelepípedo elemental que envuelve a un punto P de un sólido elástico existen las tensiones indicadas en la F igura E2.8a, estando expresadas en MPa_ Se pide: 1.º Calcular las tensiones y direcciones principales. 2.º Obtener analítica y de forma gráfica mediante los círculos de Mohr, las componentes intrínsecas del vector tensión correspondiente a un plano cuya normal forma ángulos iguales con los semiejes cartesianos ortogonales x y z indicados en la figura.

=

X

F igura E2.8a. l.º

Las tensiones principales son las raíces de la ecuación característica.

10 - a 20 -40 a3

-

20 -20 - a -20 2700

'

1

2

l

1

2

6y

Y.•y

Yx:

2

Yy:

2

Yx:

C(

1 -2 yy:

fJ

e=

y

(3.9.2)

e

Las proyecciones del vector sobre la dirección definida por Ü y sobre el plano n perpendicular a dicha dirección son sus componentes intrínsecas. La primera, e,., en la dirección de Ü, es la deformación longiiudinal unitaria en esta dirección. Su expresión, en función de las componentes de la matriz de deformación, se obtiene a partir del producto escalar

(3.9.3)

86

ELASTfClDAD

es decir, si (a, {J, y) son las componentes de Ü

i;_.

e,, = (o: /3

y)

2 "1.-.:y J ")

--

" ,,2 "xJ.

2

}'_.},

¡;}'

1 .,

"I x:

2

1 )':

1 Yx=

a

2 "'y:

fJ

t.

y

2

=

+ ">' " 132 + "= .. ,,2 "'fJ + "'r= f3··1 + }'x: "''' 1 + .. 1.~r"" J.1

(3.9.4)

que se reduce a (3.9.5) cuando el triedro de referencia coincide con las direcciones principales de la matriz [D]. 1 La otra componente que denotamos por }',, representa la deformación Lransversal

2

1111iraria. Veamos cuál es su significado físico. Si en la expresión (3.6.8) prescindimos del giro del entorno de P definido por la matriz [H] , ya que, como hemos visto, no afecta a la deformación propiamente dicha, la citada expresión se reduce a: [d'rJ

= [drJ + [DJ [tTr] = [I + DJ [drJ

.

JI:

u p

Figura 3.l l.

(3.9.6)

87

ANÁLISIS D E LAS DEFORMACION ES EN UN MEDIO CO 1T INUO

De la Figura 3.JO se deduce 1

2 l'n dr

tg ya que e"« 1. Como

1

2

1

o= (l +c,,)dr-2" ,. ., - y

(3.9.7)

y,, es un valor muy pequeño, podemos confundir tangente con

ángulo

o=21 y,,

(3.9.8)

es decir, filtrada la traslación del punto P y el giro de todo su entorno, la deformación transversal unitaria no es sino la variación angular que experimenta en P la dirección definida por el vector ¡¡, en la deformación defi nida por la matriz [D]. Las componentes intrínsecas del vector deformación unitaria están relacionadas con su norma mediante la ecuación

(3.9.9)

3.10.

Ley de dualidad entre los estados tensional y de deformación

En los epígrafes anteriores hemos podido observar una cierta analogía formal entre el vector tensión (j del estado tensional estudiado en el capítulo anterior y el vector deformación unitaria ¿; del estado de deformación, existentes en un sólido elástico. En efecto, podemos poner: ESTADO TENSIONAL

EST ADO D E DEFORMACIÓN

• Matriz de tensiones: [T] Sus autovalores son las lensiones principales u 1• u 2 , a 3 • y sus autovectorcs definen las direcciones principales.

• Matriz de deformación: [D] Sus autovalores son las deformaciones principales 1: 1, 1:2 , c3 , y sus autovectores definen las direcciones principales.

• Vector tensión

• Vector deformación unitaria

[e ] = [D] [Ü]

[a] = [T ] [iÍ]

Figura 3.12/J.

Figura 3. l 2a. • Componcnles intrínsecas: az =

O: O. Las dos cuádricas se reducen a un elipsoide real para e = + 1, ya que para e = - 1 el elipsoide es imaginario. Se deduce que la deformación longitudinal unitaria es positiva en todas las direcciones. ' " Dos deformaciones principales son positivas y otra negativa: 1: 1 >O; 1: 2 >O; 1: 3 < O. Para e = + 1 se tiene un hiperboloide de una hoja, y para e = - 1 un hiperboloide de dos hojas. Ambos hiperboloides tienen el mismo cono asintótico, de ecuación (3.12.3)

Se deduce que si la dirección que se considera es exterior al cono asintótico, cortando (e = + 1), la deformación longitudinal unitaria es positiva y, por tanto, se produce alargamiento. Si, por el contrario, la dirección es interior al cono asintótico, corta al hipe rboloide de dos hojas (e = - 1), en esa dirección se produce acortamiento. Si la dirección es coincidente con una de las generatrices del cono asintótico, entonces 1:11 = O, es decir, la deformación longitudinal unitaria es nula y el vector deformación unitaria solamente tiene componente transversal. 3.0 Una deformación principal es positiva y las otras dos negativas: c1 >O; 1::2 < O; i:1 O

la dirección corta al hiperboloide de una hoja: se p roduce alargamiento.

*

Si - 10 cc 2

+ 2 /J2 + 2 ¡·2

-

16 CX}' < O

la dirección corta al hiperboloide de dos hojas: se p rod uce acortamiento. *Si - 10 cx 2

+ 2 p2 + 2 y2 - 16 et)' =

O

la dirección coincide con una generatriz del cono asintótico, e,. = O; el vector deformación uni taria solamente tiene componente transversal. 3.8.

La matriz de deformación en un punto de un sólido elástico, referida a un sistema cartesiano ortogonal, es

Se pide:

t

1.° Calcular la deformación longitudinal unitaria en la dirección del vector 1 (113, 2/3, 2/3) referido a dicho sistema. 2.° Calcular la va riación experimentada en la deformación por el ángulo definido por los vectores 17 1 y 2 ( - 21 11 O). 3.° Determinar el valor de la deformación angular máxima. 4.° Hallar la matriz desviadora y calcular sus valores propios.

u

1.0

Js, Js,

La deformación longitud inal unitaria 1; 11 en la dirección definida por Ü 1 viene dada por 1:,.

= ex

1X

2

= 1:·ü 1 = [Ü 1lr [DJ [u 1 ] =

+ ¡;¡• //2 + f.: 1' 2 + Yxy ccp + }'¡.: P}' + Yx: ccy

Sustituyendo los valores que figuran en la matriz de defo rmación dada

f:,.

= 3k

1 22 -2 +k -2 3 3

+ 2k

22 1 2 22 - 2 - 2k - - + 4k - 2 3 3 3 3

27

=-

9

k

ANÁLISIS DE LAS DEFORMACIONES EN UN MEDIO CONTIN UO

111

se obtiene

~3k ] 2. 0 Se observa que los vectores,¡ 1 y Ü2 son perpendiculares entre sí, por lo que la fórmula que nos da la variación del ángulo delinido por los dos veclores que inicialmente forman un ángulo 1fJ

se reduce a

Sustituyendo valores

Y 12

=

6k

o

-2k

o

2k

4k

-2k

4k

4k

('3' 3·2 32)

- 2

J5 1

j5

o

y operando. se obtiene

,.,~ 3 v'8"'5 ~ 3."

A partir de la matriz de deformación se obtiene la ecuación característica

3k - 1:

o

- k

o

k-r.

2k

- k

21
'

(4.5.3)

pE E e + - - ¡;_ (1 + p)( 1 - 2 ¡t) 1 + ¡1 -

Si hacemos pE -;.' = - - --

( 1 + ,Ll) ( 1 - 2 ¡t)

(4.5.4)

132

ELASTICIDAD

y como. según (4.4.16)

G=

E 2 ( ( + JI)

resul tan, junto con las tensiones tangenciales despejadas de las ecuaciones (4.4. 17), las llamadas 1trnaciu11es de Lomé

a,,, = i.e + 2 . +

X = - 19,2 kp/ cm 3

=>

Y = - 12,8 kp/cm 3

=>

Z = 3,2 kp/ cm 3

Y= -12,8 kp/ cm 3

;

;

Z

=

3,2 kp/cm 3

3.º Para el cálculo del vector corrimiento, obtengamos los valores de las componentes (JJ.,, Pi' p) del vector 1 rot $", dados por el sistema (3.16. 7) lÍPx = {

dp,,

=o

dp=

=o

2 a dy - 8 a dz

Integrando:

P., = - 2 ay - 8 az P,, = C2

{

P: = C3

+ C1

174

ELASTICIDAD

siendo C 1, C 2 , C 3 constantes de integración que determinaremos con la condición de ser nulo el giro en el origen

Entrando con los va lores de P;U = x, y,:) o btenidos en el sistema (3. 16.3) se tiene

é'u iJx

- = 8ax

c1 u c1:

- =0

;

ov = o ax

jip

(1V

-

íJy

-

= O

i)z

(J\V

-ily = la (4.: -

2ay -

1•)

.

= 2a(4z - y)+ 2ay

+ 8a.:

8ti= ;

sistema eq ui valen te a c/11 =

8 ax dx

= J6a: dz 2uy- 8a.:] dy = - 4ay dy

de = [2a (4.: - y)+ 2ay + Saz] d: {

dw = [2a(4:

y) -

cuya integración nos da:

+ 110 8 a ;;2 + Vo 2 -2 a_1' + "'º

11

= 4a x 2

11

=

1

=

11

siendo 110 • re» w0 , constantes de integración que se determinan con la condición de ser nulo el desplazamiento del origen =

tlo

Vo

=

\Vo

= O

Po r tanto, las component\!S del vector corrimiento son:

1 { si'

2

11

r

= 4ax = 8 (/ : 2

IV =

5.3.

- 2ay 2

Para los puntos de un sólido elástico cilindrico, de generatrices ¡mralclas a l eje z, las componentes del \ ector des plazamiento S vienen dadas por las ecuaciones: 1

.,. {

{>

11 V

= a(x2 - 5y = 2axy

IV =

siendo a una constante.

- O

2 )

PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA ELÁSTICO

175

Sabiendo que las fuerzas de masa por unidad de volumen son despreciables, se pide: l.º Calcular las matrices de deformación y de giro en un punto P. 2.° Calcular las deformaciones principales. 3.° Dado el módulo de elasticidad transversal G, ¿qué valor toma el módulo de Young E para que ha ya equilibrio en todo punto? 4. 0 Si el sólido elástico es un cilindro de revolución de radio R , eje z y limitado por los planos z = Oy z = 11, calcular las fuerzas de superficie que tienen que actuar sobre las caras del mismo para pro\loc:ir el campo de desplazamientos dado. l.º A partir de las derivadas del vector desplazamiento

cu

ou

t11

- = 2 ax ' ex

,,)'= - 10 ti)'

ov ax = 2 ay

;¡- = 2 ax

'

aw

VII'

-=O

-

ax

az

)'

(

í)y

(1:

av =o

, sen a 1

(6.15.4)

Sustituyendo en estas ecuaciones las expresiones de las componentes de la matriz de tensiones dadas por (6.15.2) y dividiendo por cos ci:1 , tenemos Y = -(2cx + 6dy) - ( - 2bx - 2cy - yx) tg 1X 1 y11 y tg IX1 = - (-2bx - 2cy-yx)- (6ax + 2by) lg a 1

}' {

11

(6. 15.5)

Sustituyendo x por su expresión en fun ción de y X =

-

y tg a 1

y dividiendo los dos miembros de ambas ecuaciones por y, se obtiene

= 2c tg CL 1 - 6d - (2b tg e< 1 - 2c +y tg ci: 1) tg cc 1 }'u tg cx 1 = -(2h tg e< 1 - 2c + }' tg ix 1) - ( - 6a tg e< 1 + 2b) tg a 1

}' {

11

(6.15.6)

Para encontrar las otras dos ecuaciones que necesitamos para determinar los cuatro coeficientes impongamos las condiciones de contorno en Jos puntos del paramento situado aguas abajo.

232

ELASTICIDAD

En esta superlicie X = Y = O, por lo que las ecuaciones de contorno serán: O = u,.x cos cx 2 + r xr cos (90 + a 2 ) = u,.x cos ªi - r xy sen a 2 { O = r X>' cos cx + . cos (90 + cx ) = 2 10

( -

+ O.3 · 2 16) =

-

9,6 · 10 - 6

216 + o.3 . 84) = - 9s,4 . JO - "

03 p(a 1 +a,)= - '- 1 (84 + 216) = 4,5· JO - E - 2- 10 '

- 1

1

4."

ll ¡ =

- 9,6· JO - (>;

¡;2 = -95,4· JO - b;

4,5- 10 - 6

La deformación transversa l unitaria máxima es

1 ) ( ) V,, ~-

siendo

C3 =

lrm,1xl = 1ª 21= 2

!m;1x

m.lx

2G

108 kp/ cm 2 , segLi n se deduce del círculo de Mohr

2. 106

E

G = --2(1 + 11)

-

--- = 2 ( 1 0,3)

+

7,7 · 10 ~ kp/ cm 2

Luego: 108 2·7.7-10 5

rad

=

108 2-7,7-10 5 -2n

360º = 4 · JO - .f

3

2 d)

e)

Figura E6.ld y e.

ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL EN COO RDENADAS CARTESIANAS

237

Como se trata de á ng ulos muy pequeños, la variación angular que experimenta la dirección a la que corresponde la deformación transversal máxima es precisamente igual a ésta (Fig. E6. ld)

1

2 )',, MJ ::::: tg M

= --

1+

¡;11

1

== - " 2

1 11

Por ta nto 30

!:J,.O = 4 · I0 -

Las di reccio nes correspondientes coinciden con las bisectrices de los ejes principales 1 y 3. En este caso, la dirección principal que corresponde a la tens ión principal mayor (a = O) es perpenclicualr al plano director (Fig. E6.I

r,Y . =-;-uz

(7.3.6)

Dy

Podemos ver la condición que tiene que cumpl ir esta función de tensiones eliminando la funció n de alabeo entre las ecuaciones que resultan de sustituir en (7.3.6) las expresiones de r xr y r. dz ds

i) dy = - d oy ds ds

-- --- -

oz

=o

(7.3.8)

Este resultado nos dice que la función de tensiones es independiente de la abscisa curvilínea s en el contorno de la secció n, por lo que ha de tener un valor constante en todos los puntos del mismo. Si consideramos barras de secció n recta llena, es deci r, piezas cuya sección recta tiene un contorno simplemen te conexo, esta constante puede ser elegida arbitrariamente, ya q ue para la resolució n del problema elástico sólo nos interesan sus derivadas. Por consiguiente, por simplicidad, consideraremos en lo q ue sigue que

=o

en los puntos del contorno de la sección. y

e

z

Figura 7.11.

284

ELASTICIDAD

Finalmente, comprobemos que en cualqu ie r secció n recta la resultante de las fuerzas engend radas po r las tensiones tangenciales rx)· y rx= es nula, así como que el momento resulta nte respecto de O de dichas fuerzas es igual al momento to rsor M r· En efecto, las compo nentes ele la resu lta nte son:

ft fL

r.,r dy d: =

f f ~~ f f ~~

dz = O

dy

r_cdyd: = -

dz

dy = O

que se anulan a mbas po r ser

287

at/J = Lxy + z oy Ge

o -+ oif¡ oy::::;> aif¡= •x= --y oz (lz Ge

(7.3.16)

De las expresiones obtenidas se deduce que la determinación de la funci ón de alabeo se reduce, conocidas las tensiones, a la integración de la diferencial total

if¡

(7.3. 17) Nos puede interesar buscar la relación existente entre el momento torsor M T y el ángulo de torsión por unidad de longitud O. Para ello, sustituyamos las expresiones de las tensiones que figuran en la matriz (7.3.4) en la expresión del momento torsor (7.3.9)

A la integral J

=

ff (y2

+ z2 + y iJ if¡ - : : Dif¡) dQ

o:::

0

c1y

(7.3. 19)

se le denomina inercia torsio11al. Al cociente entre el par torsor aplicado y el ángulo de torsión por unidad de longitud, que es la relación que íbamos buscando, AJT = GJ

o

(7.3.20)

se le denomina rigidez torsio11al. La rigidez torsional es, pues, el producto del módulo de elasticidad transversal G del material por la inercia torsional J. Observamos que la inercia torsional J es igual al momento de inercia polar I 0 de la sección respecto del centro de torsión }= fL( y2+=2)dQ = f o

(7.3.21)

288

ELASTICIDAD

solamente cuando se anula el alabeo, esto es, cuando la sección recta es circular, como hemos visto en el epígrafe anterior. En tal caso, el centro de torsión coincide con el centro de gravedad de Ja sección. Veamos, como aplicación de lo expuesto, cómo podríamos resolver el cálculo de la distribución de tensiones en el caso de sección recta cuya ecuación analítica de Ja curva de su contorno fuera de la forma:

f(y,z) = O

(7.3.22)

!:J.f(y, z) = constante

(7.3.23)

y tal que su laplaciana fu era constante

En tal caso, comprobamos que cualquier función del tipo

(7.3.24)

untos donde se produce. 3." Ángulo que gira la sección del extremo libre respecto de la sección empotrada. •1·

.\ '

b

=

X

(/

o

= Figura E7.6a. 1: ·

La función ele tensiones ser:i de la forma =

e

(J'2+ :2 - i) (/ 2

¡,2

siendo C una constante que determi naremos aplicando la ecuación que relaciona y el momento torsor 1\llr existente en una determinada sección

(< +z:- l)dydz

M.,. =2ffn(y, :)dyr/: = 2Cfí . .J n a

h

de donde

C

=2

ff (' M ~ •

!!

y2

(./

M.,.

:) + 2 - 1 dydz h

Sustituyendo las expresiones de los momentos de inercia / ,.e /: de la sección respecto de los ejes y y : , respectivamente, así como la correspondiente ai á rea de la sección, tenemos:

C =

Mr n ah (°2 ¡,2 2 - + - - 4) ª2 ¡,2 4

Mr nah

TORSIÓN

315

Teniendo en cuenta que la ley de momentos torsores es Al .,. = m (/ - x) en una sección a distancia x del empotra mient o, la función de tensiones o fund ó n de Prandtl que nos resuelve el problem a eltístico de torsión en los puntos de dicha secci(\n es

Í

= -

i) 1

111 (/ - x)- (y1

-1 +:-21

n ah

a

h

ex presión en la que habrá que tener en cuenta que 111 viene dado en 111·1/ 111 y si operamos en el S. I. habrá que multiplicar po r 9.8 x 10 3 para ex presar en N · 111/111 el mo ment o to rsor unifo rmemente repartido. 1 " La tensión tangencial máxima se prod uce en la sel'.ción en la que el momento torsor es 1rníximo. es decir. en la secl'.ión del empo tramiento, y dentro de ésta en los pun tos que son ex tremos del eje menor. y

= 11' (

11.

OJ

r"'·"

Figura E7.6b. Como

T. que gira la sección del ex lrc1no libre respecto de la secció n del empotramiento tendremos en cuenta que la ex presión del •í ngulo de torsió n en una sección del prisma es:

d 1

se obtiene hl rigidez to rsional f\1 .,. G n a 3 h3 (/ ./ = - = - - ()

l/2

+ ¡, 2

Sustituyendo esta expresió n en la correspomliente dd ángulo de torsión. obtenemos linalmcnlc

l

111 ¡1 (a2 + /J1) = - --3--

7.7.

2 G rra h·'

Una barra prismática cuya sección recia es un lriángulo equihítero de lado a = 0,2 m, tiene un ex tremo em1>olrado y el otro libre. Sobre la barra actúa un momento lorsor 111 = 0,816 1111/111 uniformemente repartido en toda su longitud. Sabiendo que el módulo de elasticidad trans,·ersal es G = 80 G Pa, se pide: I .º Calcular la función de tensiones que resuelve el problema de torsión, respecto del sistema de referencia indicado en la Figur:i E7.7a. 2.º l lallar el ,·a lor de la rigidez torsional. 3.º Si la longitud de la barra en L = 3 m, hallar el á ngulo de giro de la sección B del ex tremo libre. 4.º Calcular la máxima tensión tangencial que se produce en la barra .

•1·

11/

X

=

= 1112

a/2

Figura E7.7a. l."

Respct:lo de la referencia indicada. la función de tensio nes tl!ndría que ser de la forma = C

(.r -

11

~ 3)

(y - , 3:)(.r

siendo C una constante para cada determinada sect:ión.

+ , ¡ J:J

TORSIÓN

3 17

Evidentemente, la función se anula en todos los puntos del contorno y cumple también la condició n, para ser función de tensiones, de tener laplaciana constante, ya que

/). ()>

= C /). ( .\'~1 -

3 : -, .I'

aj3 2

- - I'2

-

.

3a,/3 ') J3 +2- :- = 2 a 3

C

Como

D.

= -2 GO = 2aj3c

=

C=

Go - aj3

que es constante para cualquier determinada sección. Por tanto. la función de tensiones que resuelve el problema de torsión de la barra considerada es

siendo O el

o

=

a.J3 6

=

e '

B

l

L

11

1

{-

Figura E7.9. I ." La función de Prandtl que resuelve el problema elásti co de la torsi ón de la barra, como sabemos, es de la forma

2 -¡yJ2

)(ª-

2

cl p2

1 cl cp) + -p1 -cíJ2 -('(}2 = 2

o

es decir, la función , rl ·=) u( ()óa,,x --+ - +- +v (N5r"· - -' + - +- +

ax

ay

( c>Ty:

C v

ª"·' = - 60 MPa

=>

a,,Y = - 15 MPa

=>

)

Figura E10.9. El potencial interno del sistema será: 1 P2 -- a 2 ED. 2

:1= 4 -

1

+ - - P 1 aJ2. 2 ED.

'

aP 2 = (2

2E0.

+

'2l v "

El desplazamiento del nudo A, que es el punto de aplicación de la carga P, en virtud del teo rema de Castigliano, será:

c5,,

df

aP

= dP = E0.(2

+

M 40 · 2.000 v2l = . . (2 2 106 4 1

c5 A =

0,34 mm

+

M y2)cm = 0.034cm

1

2." Para calcular el acortamiento de la barra CD aplicamos en los nudos C y D cargas licticias horizontales Q (Fig. E 10.9c). La ecuación de equilibrio en el nudo A es la misma que se tenía anteriormente. En el nudo D: N, - Q - 2N cos 45°

= O = N1

=

P

Q) 2

afi

+

Q

La expresión del potencial interno es, en este caso ."!- =

1 P2 42E0. 2

u + -1- (P + 2 ED.

El acortamiento de la barra CD. en virtud del teorema de Castigliano, será: b

CD

=

o T) (-iJ Q Q = O =

P

-- a

ED.

'2 V"

be

2.000 40 · '2 cm = O O14 cm 106. 4 V" ,

= 2.

=

0,14 mm

TEORÍA DEL POTENCIAL INTERNO

463

10.10. Sabiendo que el porencial inrerno de una pieza pris málica recra sometida a rracción o compreNz sión tiene por expresión: y/ = EO. l ; siendo N el esfuerzo normal, / la longitud, E el módulo de 2 elasticidad y n el área de la sección recta. Se pide: l.º Calcular el corrimiento del nudo A del sistema articulado indicado en la Figura E l0.10 cuando se a plica la carga P. 2.0 Hallar los a largamientos o acortamientos de las barras del sistema. Q

Las barras AB y AC son del mismo material y a mbas tienen igua l área de sección recta. 4 cm1 ; E = 2 · 105 M Pa; P = 8.000 N; a = 1 m.

=

Figura El 0.1 O. l.º El corrimiento del nudo A tendrá dos componentes: una vertical i5., y o tra ho rizontal ó11• Para obtener estas d os componentes mediante la aplicación del teorema de Castigliano consideraremos una fuerza ficticia horizon ta l Q (Fig. E lO. IOa) aplicada en el nudo A. en el que está tam bién a plicada la carga P. Planteando el equilibrio en el nudo A tenemos: y

X

A

p

Figura ElO.IOa.

Q + N 2 cos 30" - N, cos 45º = O { N 1 sen 45º + Ni ·sen 30º - P = O

=

- N, .ji. + Ni {

N1

j2 +

fi =

N2 = 2 P

- 2 Q

464

ELASTICI DAD

sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución es

N1

=

2(Pj3 + Q) j2( 1 + fi¡; Nz

2(P - Q) 1 + j3

=

es decir, obtenemos los esfuerzos no rmales N 1 y N 2 que actúan sobre las barras AB y AC respectivamente. El potencial interno del sistema, en función de P y de Q, tendrá por expresión

_

:'/ = -

4 (Pj3

2EQ 2( 1

+

+

Q) 2

r-,

a...,¡2

J 3)2

+-

1

4(P -

2EQ ( 1

+

Q) 2 2j3a

+ j3)2

-- =

309,4 · 10- 3 (P

3

;Q

189.47 · 10

_ 3 (Pj3

+

Q) 2

EQ

a+

2

Q) a

Aplicando el teorema d e Castiglia no obtenemos las componentes del vector corrimiento

o.,. = (º;"' -(JpQQ=O = f> 11

= (º·-.' !\

iJQ)Q =o

Pj3 p a = 1.755,62 · 10 37894 · 10 - 3 - a+ 6 188 · 10 - J -' EQ , EQ

=

378 94 · 10 - 3 P j3 a - 6 18 8 · 10 - 3 -p. a

'

EQ

'

EQ

=

3

aP Er-.

>l

37 54 · 10 - 3 aP '

EO

El signo más significa que tiene el mismo sentido al asignado a la carga ficticia. Q. Por tanto, el corrimiento pedido es (Fig. EIO.IOb)

Figura EIO.IOb.

Dv

=

aP

aP

1,755 EQ OH = 0,037 EQ

Sustituyendo valores

=

c5 V

off =

1 755 >

1 . 8.000 m 2· 10 5 · 10(, ·4·10 - 4

1 . 8.000 0,037 2. 1os. 106. 4. 10- 4 /11

=

1,755 · 10 - 3 cm 3

= 0,37. 10

b = ( - 0.37 · 10- 3 , -1 ,755 · 10- 3 ) cm

cm

465

TEOR ÍA DEL POTENCIAL INTERNO

2." Conocida la expresión del potencial interno de una barra sometida a tracción o compresión, el alargamiento de la misma se puede calcular aplic