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• Maria L. Contreras

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EL METODO HEURISTICO

Los métodos heurísticos son estrategias generales de resolución y reglas de decisión utilizadas por los solucionadores de problemas, basadas en la experiencia previa con problemas similares. Estas estrategias indican las vías o posibles enfoques a seguir para alcanzar una solución. Se basa en la utilización de reglas empíricas para llegar a una solución. El método heurístico conocido como “IDEAL”, formulado por Bransford y Stein (1984), incluye cinco pasos: Identificar el problema; definir y presentar el problema; explorar las estrategias viables; avanzar en las estrategias; y lograr la solución y volver para evaluar los efectos de las actividades (Bransford & Stein, 1984). El matemático Polya (1957) también formuló un método heurístico para resolver problemas que se aproxima mucho al ciclo utilizado para programar computadores. A lo largo de este curso se utilizará este método propuesto por Polya. Según

Polya

(1957),

cuando

se

intervienen cuatro operaciones mentales: 1. Comprender el problema. Leer el problema varias veces Establecer los datos del problema Aclarar lo que se va a resolver (¿Cuál es la pregunta?) Precisar el resultado que se desea lograr Determinar la incógnita del problema Organizar la información Agrupar los datos en categorías Trazar una figura o diagrama. 2. Hacer el plan. Escoger y decidir las operaciones a efectuar. Eliminar los datos inútiles. Descomponer el problema en otros más pequeños. 3. Ejecutar el plan (Resolver). Ejecutar en detalle cada operación. Simplificar antes de calcular. Realizar un dibujo o diagrama.

resuelven

problemas,

4. Analizar la solución (Revisar). Dar una respuesta completa Hallar el mismo resultado de otra manera. Verificar por apreciación que la respuesta es adecuada.

Como se aplica: Como disciplina científica, la heurística es aplicable a cualquier ciencia e incluye la elaboración de medios auxiliares, principios, reglas, estrategias y programas que faciliten la búsqueda de vías de solución a problemas; o sea, para resolver tareas de cualquier tipo para las que no se cuente con un procedimiento algorítmico de solución. Según Horst Müler: Los Procedimientos Heurísticos son formas de trabajo y de pensamiento que apoyan la realización consciente de actividades mentales exigentes. Los Procedimientos Heurísticos como Método científico pueden dividirse en principios, reglas y estrategias. Principios Heurísticos: constituyen sugerencias para encontrar (directamente) la idea de solución; posibilita determinar, por tanto, a la vez, los medios y la vía de solución. Dentro de estos principios se destacan la analogía y la reducción. Reglas Heurísticas: actúan como impulsos generales dentro del proceso de búsqueda y ayudan a encontrar, especialmente, los medios para resolver los problemas. Las Reglas Heurísticas que más se emplean son: * Separar lo dado de lo buscado. * Representar magnitudes dadas y buscadas con variables. * Determinar si se tienen fórmulas adecuadas. * Utilizar números (estructuras más simples) en lugar de datos. * Reformular el problema. Estrategias Heurísticas: se comportan como recursos organizativos del proceso de resolución, que contribuyen especialmente a determinar la vía de solución del problema abordado. Existen dos estrategias: El trabajo hacia adelante: se parte de lo dado para realizar las reflexiones que han de conducir a la solución del problema. El trabajo hacia atrás: se examina primeramente lo que se busca y, apoyándose de los conocimientos que se tienen, se analizan posibles resultados intermedios de lo que se puede deducir lo buscado, hasta llegar a los dados.

Gnoseología de la heurística Al estudiar cómo se generan los conocimientos innovadores bien podríamos estar hablando de una nueva disciplina que tiene como misión analizar los factores determinantes, del conocimiento heurístico, su naturaleza y su génesis, así como los procesos de definición y decisión referentes a un campo de conocimiento y transformación concreto, amén de dilucidar el carácter de las estrategias cognitivas para la innovación. La heurística refiere a estrategias, métodos, criterios o astucias utilizados para hacer posible la solución de problemas complejos y difíciles. El conocimiento heurístico es un tipo especial de conocimiento empleado a través del tiempo y en diversas latitudes por los seres humanos para resolver problemas de alta complejidad. Al conocimiento en la actualidad se le demanda el adjetivo heurístico que significa comprender,

esclarecer,

descubrir,

transformar,

innovar,

desarrollar,

evolucionar,

solucionar… Un método heurístico es un conjunto de procesos cognitivos, propositivos y reflexivos que son necesarios realizar para identificar en el menor tiempo posible alternativas de solución de alta calidad y flexibilidad para un determinado problema. Al principio esta forma de resolver problemas no fue bien vista en los círculos académicos, debido aparentemente a su escaso rigor lógico y matemático. Sin embargo, gracias a su potencial práctico para solucionar problemas reales se fueron abriendo poco a poco las puertas a los métodos heurísticos, sobre todo a partir de los años 60 del siglo XX. Actualmente las versiones matemáticas y diseñisticas de métodos heurísticos continúan desarrollándose y están incrementando el rango de sus aplicaciones, así como su variedad de enfoques. Nuevos métodos y técnicas heurísticas son utilizadas a diario por científicos de diversos campos, por empresarios, por diseñadores, por desarrolladores de informática y cibernética, para visualizar y hacer prospectivas con las cuales resolver problemas que antes eran demasiado complejos e impensables en las anteriores generaciones.

EL MÉTODO HEURÍSTICO EN MATEMÁTICA:

En los libros de matemáticas especializados se presentan las demostraciones usando los métodos antes expuestos y otros más, pero nunca se explica porqué o

cómo el matemático los escogió y usó para obtener una demostración. Esto no se considera parte de la prueba sino mas bien de la sagacidad del matemático quien guarda para si la ruta que lo llevó a su solución. Además, en las demostraciones no hay rastros de los intentos fallidos para obtener la prueba. Cualquiera que haya probado teoremas bien sabe que al hacer una demostración es muy común intentar varios caminos antes de encontrar el exitoso. Algunos autores consideran que hacer demostraciones es como construir un rompecabezas: ¨No hay reglas acerca de como deben ser resueltos los rompecabezas. La única regla concierne el producto final: todas las piezas deben estar en su lugar y el dibujo debe aparecer correctamente¨ (Velleman 94, pag. 82). De esta forma se hace una clara distinción entre ¨la explicación de los procesos del pensamiento para construir una prueba y la justificación de la conclusión¨ (Velleman 94, pag. 88). Mientras que lo primero se considera de interés y competencia solo para la psicología, lo segundo es la actividad principal en el quehacer matemático. Hay sin embargo, una excepción notable en el estudio de cómo resolver problemas en matemáticas: George Polya. Su primer libro en esta dirección se titula "Cómo solucionarlo" donde presenta su teoría heurística a través de una serie de preguntas e instrucciones aplicadas a multitud de ejemplos. Le sigue su obra ¨Matemáticas y Razonamiento Plausible¨ en dos volúmenes: ¨Inducción y Analogía en Matemáticas¨y ¨Patrones de Inferencia Plausible¨. Los ejemplos del primer volumen son todos casos de problemas resueltos por inducción o analogía (discutiremos este tema mas adelante). Estos preparan el terreno para el segundo volumen que se centra en la pregunta de si hay o no una lógica de la inducción o un cálculo de credibilidad para las hipótesis. Finalmente, Polya culmina su trabajo con la publicación de ¨Descubrimiento Matemático¨, donde extiende sus ejercicios y presenta la versión mas madura de su teoría de la resolución de problemas. Cabe señalar que el trabajo de Polya concierne a la matemática elemental y está dirigido a la enseñanza. En este sentido, su aportación al estudio de la heurística parece muy particular. Sin embargo, su propuesta puede extenderse a áreas

especializadas de las matemáticas e incluso puede ser de utilidad en otros campos del conocimiento. Para Polya, el matemático descubre sus resultados de la misma forma que un biólogo, observando la colección de sus especimenes (ya sean éstos números o plantas) y luego "adivinando" sus conexiones y relaciones (Polya 54, p.47). Estos dos difieren en que mientras la verificación por observación es suficiente para el biólogo, el matemático requiere de una prueba rigurosa para aceptar lo que ha encontrado. Sin embargo, la forma en que adivinan nuevos resultados es similar y puede guiarse mediante reglas heurísticas. En el trabajo de Polya, el estudio de la heurística tiene por objetivo entender el proceso para resolver problemas, en particular las operaciones mentales que son útiles en este proceso. Para este fin, toma en cuenta aspectos de índole lógico como de orden psicológico. Uno de sus argumentos que que la base de la heurística está en la experiencia de resolver problemas y en ver cómo otros lo hacen. Aunque su estudio no es sistemático ni teórico, sino mas bien a través de observaciones particulares, comentarios sobre estrategias heurísticas y multitud de ejemplos, desde su libro "Cómo resolverlo" se identifica un método general. En "Matemáticas y Razonamiento Plausible" propone reglas lógicas plausibles que guían la solución de problemas. La capacidad heurística es un rasgo característico de los humanos, es el arte y la ciencia del descubrimiento, de la invención, de resolver problemas mediante la creatividad y el pensamiento lateral o pensamiento divergente. ¿Cómo se emplea en la resolución de los problemas matemáticos? Veamos lo siguiente ¿QUÉ ES UN PROBLEMA? Problema es la búsqueda consciente, con alguna acción apropiada, para lograr una meta claramente concebida, pero no inmediata de alcanzar (G. Polya, 1962). Es una pregunta a la que es imposible dar respuesta inmediata. Esta pregunta determina toda la actividad posterior del sujeto, dándole un carácter selectivo (Luria, 1981). Una tarea difícil para el individuo que está tratando de resolverla (A. Schoenfeld, 1985). Es una situación en la que se intenta alcanzar un objetivo y se hace necesario encontrar un medio para conseguirlo (Chi, M., Glaser, R., 1986).

HEURÍSTICA Se denomina heurística a la capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata innovaciones positivas para sus fines. La capacidad heurística es un rasgo característico de los humanos, desde cuyo punto de vista puede describirse como el arte y/o la ciencia del descubrimiento y de la invención, o de resolver problemas mediante la creatividad y el pensamiento lateral o pensamiento divergente. La popularización del concepto se debe al matemático George Polya, quien nos da algunos procedimientos heurísticos para resolver problemas matemáticos: ➢ Si no consigues entender un problema, dibújalo. ➢

Si no encuentras la solución, haz como si ya la tuvieras y mira qué puedes

deducir de ella (razonando hacia atrás). ➢ Si el problema es abstracto, prueba examinar un ejemplo concreto. Trata primero un problema más general. EL MÉTODO DE POLYA Los cuatro pasos, a los que queda reducido el proceso que debe producirse en el pensamiento de un alumno promedio para alcanzar con éxito la resolución de un problema matemático, es según Polya: 1. ENTENDER EL PROBLEMA En el estudio de la resolución de problemas, reconocemos que la claridad en el entendimiento del problema resulta determinante en el proceso de resolverlo. En este primera fase, de familiarización hacia el problema, es importante reflexionaren cuestiones como "qué se pide", "qué se tiene" y "a dónde se quiere llegar". 2. CONFIGURAR UN PLAN Puedes usar la estrategia que creas conveniente. Esto último es bastante difícil para aquellos que no tienen experiencia en resolver problemas, pues los mecanismos de control del proceso son muchas veces bloqueados desde

las aulas escolares. Casi siempre ocurre porque los profesores, al presentar un

problema, lo hacen acompañándolo de una solución que para el estudiante se convierte en la estrategia única. 3. EJECUTAR EL PLAN En la formación de conceptos matemáticos, se requiere emplear un pensamiento móvil, reversible y estructurado, es decir, ser capaces de encontrar distintos caminos,

rodeos, asociaciones, para llegar a una solución; retornar después de un cambio al punto de partida, reconociendo la transformación que anula la realizada previamente; capaces de enramar todo concepto en una red, donde se distingan las relaciones de inclusión entre unas ideas y otras.

PROBLEMAS CON VARIABLES Un cuaderno y un borrador cuestan en total S/.4.20. Si el :uaderno costó 4 soles más que el borrador, ¿cuánto costó cada uno? CREANDO PROBLEMAS A PARTIR DEL PROBLEMA ANTERIOR Un papá y su hija tienen juntos 45 años. Si el papá tiene 32 años más que la hija, ¿cuántos años tiene cada uno? ➢ Los carneros del pastor Un pastor había ido a la escuela hasta el 1° grado y sólo recordaba contar hasta 10. Todas las tardes contaba sus carneros, y para saber si estaban completos, los agrupaba de 4 en 4 y de 5 en 5, y siempre le sobraba uno. Pero si los agrupaba de 7 en 7 no le sobraba ninguno. Si el rebaño no llegaba a los 60, ¿cuántos carneros tenía? AHORA, A PARTIR DEL PROBLEMA ANTERIOR, CREAR UNO PARECIDO ➢ El problema de Caperucita Cierto día caminaba Caperucita Roja por el bosque, cuando de pronto el lobo la atacó, y en la huida dejó abandonada la cesta con pastelillos que su mamá hizo para la abuela. Llorando la encontró el leñador, quien le preguntó: ¿cuántos pastelillos llevabas? Y ella respondió: No sé, solo sé que al agruparlos de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4 o de 5 en 5, me sobraban 1 , 2 , 3 ó 4 . ¿Cuántos pastelillos llevaba Caperucita? ➢ Los trenes apurados El tren A parte con dirección a B, a las 7 am. y recorre cada hora 50 km por hora. Otro tren parte de B hacia A, a las 7.30 am. y lleva una velocidad de 70 km. por hora. ¿A qué hora se encontrarán si la distancia de A hasta B es de 235 km.? ➢ El justo pago Cierta vez, estaban dos pastores tranquilamente en la montaña, cuando se les acercó un forastero que andaba perdido por allí. Empezaron a charlar y, sin darse cuenta, les llegó la

hora de comer. El forastero no llevaba comida, pero los pastores, muy amables, le invitaron gustosamente. Uno de los pastores, Antonio, sacó de su mochila 6 quesos, y el otro, Paco, puso los 3 que llevaba consigo; todos los quesos eran del mismo tamaño y peso. Entre los tres comieron los 9 quesos. Una vez terminada la comida, el forastero se despidió agradeciendo por el almuerzo, y para compensarles les entregó las 9 monedas que llevaba consigo, y les pidió que se las repartieran por la comida. ¿Cómo deberán repartirse las 9 monedas? ➢ El carpintero laborioso Un carpintero debe cortar una madera en tres pedazos, un pedazo corto, otro mediano y otro largo. A pedido del cliente, el pedazo corto debe medir la mitad del mediano, y el largo debe ser 3 metros más largo que el mediano. Si el cliente trajo un tablón de 18 metros de largo, ¿cuánto deberá medir cada trozo? ➢

COMPRENDER EL PROBLEMA

Cuando Carmen nació, Jorge tenía 4 años. Actualmente sus edades suman 62 años, ¿cuál es la edad actual de Carmen? ¿Es necesario aplicar Álgebra? Dos pastores hablaban: - ¿Por qué no me das una de tus ovejas?, así tendremos igual cantidad. A lo que su amigo responde: mejor dame una de las tuyas así yo tendré el doble de ovejas que tú. ¿Cuántas ovejas tiene cada uno?

UN PROBLEMA MAL ENTENDIDO ➢ Las gardenias y los pinos Ángela compró gardenias y pinos para plantar en su jardín. En total gastó 88 soles en 12 plantas. La gardenias cuestan S/. 12 cada una y los pinos S/. 5 cada uno. ¿Cuántas plantas compró de cada tipo? ➢ Los niños sobre ruedas 8 niños están montando ya sea una bicicleta o un triciclo. Si en total hay 18 llantas, ¿cuántos triciclos hay? ➢ El vendedor de arroz

Don Isaac tenía un saco de arroz recién llegado del norte, del cual vendió la cuarta parte, luego consumió en su casa la tercera parte de lo que le quedaba y al final le quedaron 48 kilos. ¿Cuántos kilos de arroz tenía el saco al principio?

4. MIRAR HACIA ATRÁS Comprobar y examinar la solución obtenida. Comúnmente, los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. La retrospectiva permite que el alumno revise cómo pensó ¡inicialmente, cómo encaminó una estrategia, cómo efectuó los cálculos; en fin, todo el camino recorrido para abtener la solución. Este proceso cuidadoso es un excelente ejercicio de aprendizaje, y sirve para detectar / corregir posibles errores. ➢ Jugando con escarbadientes Construye una casa usando 11 escarbadientes, como se indica. Fíjate si puedes hacer que la casa enfrente la dirección opuesta moviendo sólo un escarbadientes. ➢ Una sobre relojes ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj a las 6.20 pm.? ➢ PROBLEMAS NO PROBLEMÁTICOS Un padre tiene 52 años y su hijo 27 años. ¿Hace cuántos años la edad del padre fue el doble de la edad del hijo? Entender el problema no es nada difícil, y posiblemente nos ahorre mucha energía. ➢

¿EJERCICIO O PROBLEMA?

Hallar a + b, si: ala + a2a + a3a + a4a = 13b2 ➢ El fiestón del año

En una fiesta se encuentran

63 personas entre hombres

y mujeres. En un

determinado momento bailan en parejas (H y M), excepto 17 mujeres que se van al jardín a tomar aire. ¿Cuántos hombres hay en la reunión? ➢ Del examen tomado en Colombia Una empresa con 15 000 empleados realiza durante un año un recorte del 10% de su nómina; después la incrementa en un 15%, con lo que al final del año la empresa tiene: A. 13500 empleados B. 13725 empleados C. 15 525 empleados D. 15750 empleados ➢ Las hijas de Marcelo Marcelo es un profesor de Matemática que un día se encontró con su amigo Chaupín, y éste le preguntó: ¿Cuántas hijas tienes? Tres contestó Marcelo. ¿Qué edades tienen?- preguntó Chaupín . El producto de sus edades es 36 y la suma de las mismas es igual a los años que llevo casado. Chaupín, quien estuvo en la boda, pensó un rato y luego le dijo a Marcelo: Para saber las edades de tus hijas me falta un dato. ¡Ah!, verdad, me olvidaba: la mayor se llama como mi mamá. ¿Qué edad tienen las hijas del profesor Marcelo?

NIVELES DE DESEMPEÑO COGNITIVO

NIVELI

NIVEL II

NIVEL III

(Reproducción)

(Aplicación)

(Creación)

Reconocer,

(Los de nivel I) y Reconocer

y

identificar, describir además, aplicarlos a contextualizar e conceptos

interpretar una y planteada

situaciones

situación problemáticas, y componentes

identificar e

interrelaciones,

propiedades

reflexionar sobre sus establecer relaciones internas

las

estrategias

de

solución, fundamentar y justificar lo realizado.

UN

NIVEL

II

EN

DESEMPEÑO

COGNITIVO

EN

EL

COMPONENTE

GEOMÉTRICO En esta figura uno de los cuadrados de la derecha se cubre con 4 cuadrados iguales a los de la izquierda. ¿Cuántos triángulos se necesitan para cubrir

exactamente los dos cuadrados de la derecha? A. 4

UN

B. 8

NIVEL

III

EN

C. 6

DESEMPEÑO

COGNITIVO

EN

EL

COMPONENTE

GEOMÉTRICO Mario construye 10 cuadrados separados utilizando varillas, y Celia construye también cuadrados de la misma forma; pero utiliza 44 varillas. Coloca verdadero o falso: A.

Mario construye tantos cuadrados como Celia. B.

Mario construye 1 cuadrado

más que Celia. C.

Celia utiliza 4 varillas menos que Mario para construir los cuadrados. D.

Celia forma más cuadrados que Mario.

RECOMENDACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: 1. Permítale a sus alumnos equivocarse 2. Estimule la discusión

3. Dele suficiente tiempo a sus alumnos para equivocarse 4. La obtención de una solución no culmina el proceso 5. Preste atención a las sugerencias y opiniones de los alumnos 6. Estimule a sus estudiantes a buscar vías alternas de solución a los problemas 7. Conduzca a sus alumnos a obtener variaciones de un problema dado

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://es.scribd.com/doc/6132277/MATEMATICA-EL-METODO-HEURISTICO

http://arquepoetica.azc.uam.mx/escritos/heuristica.html Polya 54 G. Polya. "Mathematics and Plausible Reasoning. Volume II Patterns of Plausible Inference". Princeton University Press, 1968. http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/atocha.htm