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Introducción Definición de ecuación diferencial (ED): Una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama ecuación diferencial. Clasificación de las ED: las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: tipo, orden y linealidad. Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sóla variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes). El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en élla.

Solución de una ED: una función f, definida en algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser explícitas o implícitas. Una ED tiene, generalmente, un número infinito de soluciones o más bien una familia nparamétrica de soluciones. El número de paramétros, n, depende del orden de la ED. Cuando se dan valores específicos a los paramétros arbitrarios, es decir, cuando se asignan valores numéricos a los paramétros, se obtiene una solución particular de la ED. En algunas ocasiones se tiene una solución que no pertenece a la familia n-paramétrica, a tales soluciones se les llama singulares. Ejercicios resueltos En cada uno de los problemas 1 a 6, determine el orden de la ecuación diferencial dada; diga también si la ecuación es lineal o no lineal. En cada uno de los problemas 7 a 11, verifique que la función o funciones que se dan son una solución de la ecuación diferencial:

DGZ (1.1; 1.2) - B&D (1.1) - E&P (1.1) - MRS (1.1.2) Soluciones

Ecuaciones diferenciales de primer orden Para emprender la tarea de hallar la solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden,

,debemos conocer diversos métodos. El método que se emplee para resolverla depende de la forma particular que presente la ecuación. Los métodos que vamos a estudiar son: Integración directa, Separación de variables, Factor de integración, Sustitución apropiada. Pero, antes de entrar de lleno a solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden vamos a tratar algunos conceptos importantes.

Integración directa La ecuación diferencial de primer orden y' = f (x, y) toma una forma particularmente simple si en la función f no aparecen términos con y:

En este caso, para hallar la solución general basta con integrar ambos miembros de la igualdad, obteniéndose:

Nota: es aconsejable que se repasen las técnicas de integración, quien desee repasarlas puede hacer clic en el enlace correspondiente del marco izquierdo de esta ventana. Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 6 encuentre una función y = f (x) que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas.

S o l u c i o n e s 1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:

5. Solución:

6. Solución:

Ecuaciones separables Ecuación separable:

Como se puede observar, en este tipo de ecuaciones cada miembro de la igualdad involucra solo una de las variables. Para resolver ecuaciones separables se integra en ambos miembros de la igualdad. La solución, por lo general, es una función implícita. Es importante que se repasen las técnicas de integración.

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 15, resuelva la ecuación diferencial dada, por separación de variables:

Boyce y DiPrima (B&D)

Dennis G. Zill (DGZ) Soluciones

Ecuaciones lineales

Procedimiento Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, se procede de la siguiente manera:

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 9, encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada

Edwards y Penney (E&P) 1.5

Boyce y DiPrima (B&D) 2.1, 2.2

Soluciones

D.G. Zill (DGZ) 2.3

Ecuaciones exactas

Ejercicios resueltos D.G. Zill (DGZ)

Ecuaciones de Bernoulli

Ejemplo ilustrativo (E&P 1.6.23):

Ejercicios resueltos Edwards y Penney (E&P) 1.6.(19-24)

Ecuaciones homogéneas

Boyce y DiPrima (B&D)

D.G. Zill (DGZ)

Ejercicios resueltos Edwards y Penney (E&P) 1.6.(1-11)

Boyce y DiPrima (B&D)

D.G. Zill (DGZ)

G. F. Simmon (GFS)

Ecuaciones diferenciales de orden superior Vamos a concentrarnos ahora en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que uno. Antes de todo vamos a presentar algunas definiciones importantes Como ya se ha dicho en la introducción una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden presenta la siguiente forma general:

donde los coeficientes de la funcion y y los de sus derivadas son funciones exclusivas de la variable independiente x.

En el caso de que todos los coeficientes sean constantes, se tiene una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes:

Problema de valores iniciales:

Problemas de valores en la frontera:

Ejercicios resueltos

DGZ 4.1.1

1.1,2 (P: 12) "Definiciones y observaciones. Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial y de frontera" Ejercicios A 1. Complete la siguiente tabla:

2. Haga una tabla similar a la anterior para las ecuaciones diferenciales (32)-(41) de la página 10 y complete la tabla.

3. ¿Cuáles de las ecuaciones diferenciales ordinarias en la tabla del Ejercicio 1 son lineales y cuáles son no-lineales? Solución:

4. Trabaje el Ejercicio 3 para la tabla construida en el Ejercicio 2. Solución:

5. Muestre que cada una de las funciones definidas en la Columna I, con una exepción, es una solución de la correspondiente ecuación diferencial en la Columna II, sujeta a las condiciones dadas, si hay alguna.

2.1 (P: 37) "El método de separación de variables" Ejercicios A 1. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, sujetos a las condiciones iniciales, donde se den:

Ejercicios B Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:

Ejercicios C

2.2 (P: 40) "El método de la transformación de variables" Ejercicios A Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:

Edwards y Penney

Capítulo1: Ecuaciones diferenciales de primer orden

Problemas 1.1: "Introducción" En cada uno de los problemas 1 a 12, verifique por sustitución que cada función dada es una solución de la ecuación diferencial considerada.

En cada uno de los problemas 17 a 26, compruebe primero que y(x) satisface la ecuación diferencial dada. Entonces, determinar un valor de la constante C de modo que y(x) satisfaga la condición inicial dada. En los problemas 27 a 31, se describe una función y = g(x) mediante alguna propiedad geométrica de su gráfica. Escriba una ecuación diferencial de la forma dy/dx = f (x, y) cuya solución (o una de sus soluciones) sea g(x). En los problemas 32 a 36, escriba una ecuación diferencial que sea un modelo matemático de la situación descrita. En los problemas 37 a 42, determine por inspección al menos una solución de la ecuación diferencial dada. Esto es, utilice sus conocimientos sobre derivadas para hacer una predicción y después compruebe su hipótesis.

Problemas 1.2: "Solución por integración directa" En los problemas 1 a 10, encuentre una función y = f (x) que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas. En los problemas 11 a 17, encuentre la función de posición x(t) de una partícula móvil con aceleración a(t), posición inicial xo = x(0) y velocidad inicial vo = v(0). Los problemas 18 a 34 son de aplicación.

Problemas 1.3: "Existencia y unicidad de las soluciones" En los problemas 1 al 10 proporcione un campo direccional de la ecuación diferencial dada. En cada un de los problemas 11 al 20 , identifique las isoclinas de la ecuación diferencial dada. Dibuje un esquema que muestre varias de estas isoclinas, cada una marcada con con cortos segmentos de línea que tengan la pendiente apropiada.

En los problemas del 21 al 30 determine si el teorema de existencia y unicidad garantiza o no la existencia de una solución para el problema de valor inicial dado. Si la existencia está garantizada, entonces determine si el teorema asegura o no la unicidad de la solución dada. Los seis los problemas siguientes ejemplifican que, si la hipótesis del teorema de existencia y unicidad no se aplica al punto (a, b), entonces puede no hber solución, o haber un número finito de soluciones, o haber infinitas soluciones que pasan por el punto (a, b).

Problemas 1.4: "Ecuaciones separables y aplicaciones" Encuentre las soluciones generales (implícitas si es necesario, explícitas si es conveniente) de las ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 18. Encuentre las soluciones particulares explícitas de los problemas con condición inicial 19 a 26. Los problemas 27 a 57 son de aplicación.

Problemas 1.5: "Ecuaciones lineales de primer orden" Encuentre soluciones generales de las ecuaciones diferenciales planteadas en los problemas 1 al 25. Si se da una condición inicial, encuentre la solución particular correspondiente. En todo caso, los apóstrofes denotan derivadas con respecto a x. Resuelva las ecuaciones diferenciales de los problemas 26 al 28 considerando a y como variable independiente más bien que a x. Los problemas 33 a 42 son de aplicación.

Problemas 1.6: "Métodos de sustitución. Ecuaciones homogéneas y Ecuaciones de Bernoulli" Encuentre la soluciones generales de las ecuaciones diferenciales propuestas en los problemas 1 a 30. Los problemas 31 a 45 están diseñados para profundizar en el tema.

Problemas 2.1: "Ecuaciones lineales de ordn superior. Introducción". En cada uno de los problemas 1 a 16, se da una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, dos funciones y1 y y2, y un par de condiciones iniciales. Primero compruebe que y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial y después encuentre una solución particular y = c1y1 + c2y2 que satisfaga las condiciones iniciales dadas.

Problemas 1.4(a) Encuentre las soluciones generales (implícitas si es necesario, explícitas si es conveniente) de las ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 18.

Encuentre las soluciones particulares explícitas de los problemas con condición inicial 19 a 26.

Problemas 1.1 En cada uno de los problemas 1 a 12 verifique por sustitución que cada función dada es una solución de la ecuación diferencial considerada:

En cada uno de los problemas 17 a 26, compruebe primero que y(x) satisface la ecuación diferencial dada. Entonces, determinar un valor de la constante C de modo que y(x) satisfaga la condición inicial dada.

En los problemas 27 a 31, se describe una función y = g(x) mediante alguna propiedad geométrica de su gráfica. Escriba una ecuación diferencial de la forma dy/dx = f (x, y) cuya solución (o una de sus soluciones) sea g(x).

En los problemas 32 a 36, escriba una ecuación diferencial que sea un modelo matemático de la situación descrita.

En los problemas 37 a 42, determine por inspección al menos una solución de la ecuación diferencial dada. Esto es, utilice sus conocimientos sobre derivadas para hacer una predicción y después compruebe su hipótesis.

Problemas 1.2 En los problemas 1 a 10, encuentre una función y = f (x) que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas.

En los problemas 11 a 17, encuentre la función de posición x(t) de una partícula móvil con aceleración a(t), posición inicial xo = x(0) y velocidad inicial vo = v(0).

Problemas 1.4(a) Encuentre las soluciones generales (implícitas si es necesario, explícitas si es conveniente) de las ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 18.

Encuentre las soluciones particulares explícitas de los problemas con condición inicial 19 a 26.

Problemas 1.5 Encuentre soluciones generales de las ecuaciones diferenciales planteadas en los problemas 1 al 25. Si se da una condición inicial, encuentre la solución particular correspondiente. En todo caso, los apóstrofes denotan derivadas con respecto a x.

Resuelva las ecuaciones diferenciales de los problemas 26 al 28 considerando a y como variable independiente más bien que a x.

Problemas 1.6(a) Encuentre las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales propuestas en los problemas 1 a 30.

1.6(b)

Problemas 2.1(a)

D.G. Zill

Capítulo1: Una introducción a las ecuaciones diferenciales Ejercicios 1.1: "Definiciones básicas y terminología" En los problemas 1 a 10, diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden de cada ecuación. En los problemas 11 a 40, verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Donde sea apropiado, c1 y c2 son constantes. En los problemas 41 y 42, verifique que la función definida parte por parte es una solución de la ecuación diferencial dada. En los problemas 43 a 46, compruebe que una familia uniparamétrica ...

En los problemas 47 y 48, encuentre valores de m tales que y = e^mx sea una solución de cada ecuación diferencial. Ejercicios 1.2: "Problema de valor inicial" En los problemas 1 a 10, determine una región del plano xy para la cual la ecuación diferencial dada tenga una solución única que pase por un punto (xo, yo) en la región. En los problemas 11 y 12 determine por inspección al menos dos soluciones del problema dado de valor inicial.

Ejercicios 1.3: "Algunos modelos matemáticos" Capítulo2: Ecuaciones diferenciales de primer orden Ejercicios 2.1: "Variables separables" En los problemas 1-40, resuelva la ecuación diferencial dada, por separación de variables. En los problemas 41-48, resuelva las ecuaciones diferenciales dadas sujetas a la condición inicial que se indica. En los problemas 49 y 50 halle una solución de la ecuación diferencial dada que pase por los puntos que se indican. Con frecuencia, un cambio radical en la solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. En los problemas 53-56 compare las soluciones de los problemas de valor inicial dados.

Ejercicios 2.2: "Ecuaciones exactas" En los problemas 1 a 24 determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala. En los problemas 25 - 30 resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a la condición inicial que se indica.

Ejercicios 2.3: "Ecuaciones lineales" En los problemas 1 a 40, determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Especifique un intervalo en el cual esté definida la solución general. En los ejercicios 41 a 50 resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a la condición inicial indicada. En los problemas 51 a 54, obtenga una solución continua para cada ecuación diferencial de modo que, además, la solución obtenida satisfaga la condición inical dada. Emplee una graficadora para trazar la curva solución.

Ejercicios 2.4: "Ecuaciones homogéneas" En los problemas 1 a 10, determine si la función dada es homogénea. Si lo es, indique su grado de homogeneidad. En los problemas 11 a 30, resuelva la ecuación dada usando una sustitución apropiada. En los problemas 31 a 44, resuelva la ecuación diferencial dada, sujeta a la condición inicial que se indica. Ejercicios 2.4(6): "Soluciones por sustitución" En los problemas 1 a 10, resuelva cada una de las ecuaciones con la sustitución adecuada. Resuelva la ecuación homogénea de cada uno de los problemas 11 a 14, sujeta a la condición inicial respectiva. En los problemas 15 a 20, resuelva la respectiva ecuación de Bernoulli empleando una sustitución adecuada. En los problemas 21 y 22, resuelva la respectiva ecuación de Bernoulli sujeta a la condición inicial indicada. Capítulo3: Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden Ejercicios 3.1: Ecuaciones lineales Crecimiento y decaimiento exponencial. Período medio. Datación con radiocarbono. Ley de Newton del enfriamiento. Mezclas. Circuitos en serie. Término transitorio. Término de estado estable. Capítulo4: Ecuaciones diferenciales de orden superior Ejercicios 4.1: "Teoría preliminar: ecuaciones lineales" Ejercicios 4.1.1: "Problema de valor inicial y de valor en la frontera" En los problemas 11 y 12, defina un intervalo que abarque x = 0 para el cual el problema de valor inicial correspondiente tenga solución única. Ejercicios 4.1.2: "Ecuaciones homogéneas"

En los problemas 23 a 30 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general.

Ejercicios 1.1 En los problemas 1 a 10, diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden de cada ecuación:

En los problemas 11 a 40, verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Donde sea apropiado, c1 y c2 son constantes.

Ejercicios 1.2 En los problemas 1 a 10, determine una región del plano xy para la cual la ecuación diferencial dada tenga una solución única que pase por un punto (xo, yo) en la región.

En los problemas 11 y 12 determine por inspección al menos dos soluciones del problema dado de valor inicial.

Ejercicios 1.3

Ejercicios 2.1(a) Nota: la mayoría de las soluciones de las integrales (o similares) que aparecen en los siguientes ejercicios se encuentran en la página Cálculo integral en el apartado "Técnicas de integración", bien en los ejercicios resueltos de la sección correspondiente o bien en alguna de las misceláneas de ejercicios de ese apartado. En este momento del proceso de aprendizaje de los métodos de solución de ecuaciones diferenciales es aconsejable que se dedique algún tiempo a repasar los métodos de integración. En los problemas 1-40, resuelva la ecuación diferencial dada, por separación de variables.

2.1(b) En los problemas 41-48, resuelva las ecuaciones diferenciales dadas sujetas a la condición inicial que se indica.

2.2(a) En los problemas 1 a 24 determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

En los problemas 25 - 30 resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a la condición inicial que se indica:

2.2(b) En los problemas 31-34 halle el valor de k de modo que la ecuación diferencial correspondiente sea exacta:

Ejercicio 2.3 En los problemas 1 a 40, determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Especifique un intervalo en el cual esté definida la solución general. Nota: las soluciones, paso a paso, de las integrales (o de formas equivalentes) que surgen en los siguientes ejercicios las pueden hallar en mi página "Cálculo integral" en la sección correspondiente.

En los ejercicios 41 a 50 resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a la condición inicial indicada:

En los problemas 51 a 54, obtenga una solución continua para cada ecuación diferencial de modo que, además, la solución obtenida satisfaga la condición inical dada. Emplee una graficadora para trazar la curva solución:

Ejercicios 2.4

En los problemas 1 a 10, determine si la función dada es homogénea. Si lo es, indique su grado de homogeneidad.

En los problemas 11 a 30, resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución apropiada:

Ejercicios 2.4 (6 ed.) En los problemas 1 a 10, resuelva cada una de las ecuaciones con la sustitución adecuada.

Resuelva la ecuación homogénea de cada uno de los problemas 11 a 14, sujeta a la condición inicial respectiva

En los problemas 15 a 20, resuelva la respectiva ecuación de Bernoulli empleando una sustitución adecuada.

En los problemas 21 y 22, resuelva la respectiva ecuación de Bernoulli sujeta a la condición inicial indicada.

3.1(a)

Ejercicios 4.1.1

En los problemas 11 y 12, defina un intervalo que abarque de valor inicial correspondiente tenga solución única.

Ejercicios 4.1.2

para el cual el problema

En los problemas 23 a 30 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general.

http://www.youtube.com/watch?v=yeXoxNP8_xY