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• Shakira Malionof Mamani Bonifacio

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CÁLCULO

EN

VARIAS VARIABLES

Hoja de Ejercicios 1 - Superficies cuadráticas 1. En cada uno de los siguientes casos, grafique la curva de intersección de la superficie S y el plano P indicados: a) S : 45x 2 − 180 y 2 − 4z 2 = 36

y

b) S : x + 2 y − z − 50 = 0

P : y = 5.

c) S :

2

2

2

2

2

y z x + + =1 27 9 3

y

y

P : z = 6.

P : x = −3.

2. Identifique cada una de las siguientes ecuaciones con la superficie cuadrática que describe (de las indicadas en las figuras I-VIII). Dé razones de su elección. a) x 2 + 4 y 2 + 9z 2 = 1.

e) 9x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1.

b) x 2 − y 2 + z 2 = 1.

f) −x 2 + y 2 − z 2 = 1.

c) y = 2x 2 + z 2 .

g) y 2 = x 2 + 2z 2 .

d) x 2 + 2z 2 = 1.

h) y = x 2 − z 2 .

3. En cada uno de los siguientes casos, indique el tipo y esboce la gráfica de la superficie cuadrática que corresponde a la ecuación dada: a) 4x 2 + 9 y 2 − 8x − 36 y − 36z − 68 = 0.

f) 36x 2 − 72x + 9 y 2 + 4z 2 = 0.

b) 2x 2 + y 2 − z 2 − 4x + 4z − 2 = 0.

g) x 2 + 2 y 2 − 3z 2 + 2x − 12 y + 12z + 7 = 0.

c) x 2 + y 2 − z 2 − 4x + 4z − 2 = 0.

h) 4x 2 + 4 y 2 + 4z 2 − 12x − 12z + 9 = 0.

d) z 2 − 4x 2 − 9 y 2 − 2z + 8x + 18 y − 48 = 0.

i) x 2 − y 2 − 2x + 4 y + z − 6 = 0.

e) 4 y 2 + z 2 = 4x 2 + 8 y + 6z + 3.

j) (x − 2)2 + ( y + 2)2 − (z − 2)2 = 16.

4. Considere la superficie S : x 2 − 4 y 2 = z. a) Halle y grafique las intersecciones de S con los planos x = 0, y = 0, z = −1. b) Esboce la gráfica de S, indicando los elementos hallados en el ítem a). 5. Dada la superficie S : ciones con:

(x − 2)2 + y 2 − z 2 = 1, esboce la gráfica de S, especificando sus intersec4

i) Los ejes coordenados; ii) Los planos coordenados. 6. Sea k una constante. Usando las intersecciones con los planos coordenados, grafique la superficie S : kz 2 − z −

x2 − y2 = 0 4

cuando: a) k = 0. b) k = 1. 7. Sean a una constante y S la superficie dada por la ecuación x 2 − y 2 + z 2 − az = 0. a) Halle el valor de a para que la intersección de la superficie S con el plano X Z tenga como ecuación  ‹ 1 2 1 2 x + z− = . 2 4 b) Con el valor obtenido en a) indique el tipo y esboce la gráfica de la superficie S, mostrando las intersecciones con los planos coordenados X Z, Y Z y con el plano z = 1/2. 8. Sea S la superficie dada por la ecuación 9 y 2 − 4x 2 − 36z = 0. a) Halle y grafique las intersecciones de S con los planos X Z, Y Z. b) Halle las intersecciones de S con los planos z = γ, para γ = −1, 0, 1. c) Grafique S indicando los elementos hallados en a)y b). 9. Encuentre todos los planos P que no intersectan a la superficie S1 : x 2 + 2x − 4 y 2 − z 2 − 4 = 0 ni a la superficie S2 : x 2 + 2x − 4 y 2 + z 2 + 16 = 0. Justifique su respuesta. Sugerencia. Analice las intersecciones de S1 y S2 con los planos de la forma z = c, con c constante. 10. La intersección de las superficies S1 : x 2 − 2 y 2 + z 2 = 4 y S2 : 2x 2 − y 2 = 2 está contenida en la unión de dos planos. Halle una ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a dichos planos.