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• EscobarMon Leonel

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Lista de ejercicios de Teoría de los Juegos I. Juegos estáticos 1. Calcule, eliminando sucesivamente las estrategias dominadas, el equilibrio de los siguientes (a)

juegos

(b)

(c) ¿Cuáles son los equilibrios de Nash? 2. Encuentre el equilibrio en estrategias mixtas del siguiente T B

L 2,1 1,2

R 0,2 3,0

3. Encuentre el equilibrio en estrategias mixtas del siguiente T B

juego en forma normal.

juego en forma normal.

L R -2,-1 0,0 0,0 -1,-2

4. Consideremos dos empresas, una que ya está operando en el mercado (Empresa 1) y otra que quiere entrar (Empresa 2). La que ya está se plantea construir una nueva planta. Los pagos se indican a continuación. Entrar No entrar Construir 0,-1 2,0 No construir 2,1 3,0 Interprete los pagos y calcule los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas. 5. Dos empresas automovilísticas deciden lanzar al mercado al mismo tiempo un modelo de coche de gama intermedia. Cada una de ellas se está planteando si ofrecer o no financiación a los clientes, lo cual le supondría captar mayor cuota de mercado, pero llevaría consigo ciertos costes. Ambas empresas prefieren no ofertar dicha financiación, pero cada una teme que la otra la ofrezca y, por tanto, acapare mayor número de compradores. Supongamos que los beneficios esperados por las 1

empresas son los siguientes. Si ambas ofrecen financiación, 400 millones para cada una; si ninguna lo hace, 600 para cada una, y si una la ofrece y la otra no, la primera gana 800 y la segunda 300. Represente el juego en forma normal. Calcule los equilibrios de Nash. 6. Carlos (C) y Pepe (P) quieren dividirse mil pesetas. Simultáneamente cada uno anuncia la porción de las mil pesetas que quiere quedarse, si, (i = C, P ), siendo 0 ≤ si ≤ 1000. Si sC + sP ≤ 1000, cada uno recibe lo que ha pedido. En caso contrario, ninguno recibe nada. ¿Cuáles son los equilibrios de Nash en estrategias puras de este juego? 7. Suponga que seis hermanos necesitan decidir quién de ellos se lleva el coche el fin de semana y que acuerdan decidirlo de la siguiente manera. Todos escriben al mismo tiempo un número entre 0 y 10. Después calculan la media de los números escritos y aquél que haya escrito el número menor que la media más próximo a la misma se lleva el coche. En caso de empate, su padre decide quién se lleva el coche de forma aleatoria y equiprobable entre los que han empatado. Indique, explicando qué procedimiento ha seguido para encontrarlos, cuáles son los equilibrios de Nash de este juego. 8. Dos municipios pertenecientes a dos Comunidades Autónomas distintas compiten entre sí ofreciendo concesiones fiscales que ayuden a fomentar su desarrollo industrial. Si las dos simultáneamente ofrecen las mismas concesiones, la recaudación impositiva desciende sin que ello garantice el establecimiento de las empresas. En este caso preferirían haber recaudado más. Sin embargo, lo ideal sería atraer a estas empresas aunque ello conllevara algún coste fiscal. Represente esta situación como un juego, poniendo un ejemplo numérico y explicando los factores estratégicos relevantes. 9. En una misma zona un ayuntamiento está decidido a construir un instituto de bachiller o una guardería infantil, pero no tiene presupuesto para llevar a cabo los dos. La persona encargada de gestionar estos asuntos ha hablado con dos empresas indispensables para realizar cualquiera de las dos obras: una de construcción y otra de carpintería. Debido a la composición de la población, el edificio del instituto sería mayor que el de la guardería (requiere más construcción), pero ésta precisará de un parque de juegos de madera (requiere más carpintería). Además, a cada una de las empresas le interesa más participar en una obra determinada que en la otra (la de construcción en el instituto, y la de carpintería en la guardería infantil), pero ambas prefieren firmar el mismo contrato que firmar distintos contratos, ya que en este caso el ayuntamiento no llevaría a cabo ningún proyecto. El ayuntamiento les pide que presenten un proyecto. Como ninguna de las empresas tiene suficiente personal disponible para elaborar ambos proyectos, tienen que decidirse por uno u otro, sin saber qué es lo que va a hacer la otra. (a) Defina un juego en forma normal cuyos pagos reflejen los beneficios esperados por cada empresa en cada posible situación. (b) Calcule los equilibrios de Nash. 10. A veces resulta paradójico que las empresas, en vez de producir bienes claramente diferenciados que satisfagan a distintos segmentos del mercado, ofrezcan bienes con características muy similares. Estas características pueden referirse no solo a cualidades físicas, de diseño, etc., (piénsese, por ejemplo, en la similitud en cuanto a la programación de distintos canales de televisión) sino también a decisiones de localización. El siguiente modelo sirve para ilustrar este tipo de comportamiento. Suponga que en el paseo marítimo de una playa hay dos vendedores de helados. Los dos venden 2

helados Frigo y no tienen posibilidad de diferenciarse en cuanto al precio de venta de estos productos. Su única decisión consiste en determinar dónde se van a colocar. Los consumidores están repartidos uniformemente por toda la playa y se dirigirán al puesto más cercano. Los vendedores deben decidir su localización para maximizar el número de clientes. La localización socialmente óptima es la que reduce al máximo la distancia total recorrida por el conjunto de los consumidores. Razone por qué los heladeros no tendrán incentivos para mantener esta localización (la clave es pensar por qué estas estrategias de localización no constituyen un equilibrio de Nash). ¿En qué sentido tenderán a moverse? ¿Dónde se situarán finalmente? ¿Cambiaría su respuesta si los bañistas tendieran a consumir menos helados si aumenta la distancia que tienen que recorrer hasta el puesto más cercano? 11. Considere el enunciado del ejercicio 10, pero cambiando el número de vendedores de helados de 2 a 3. Muestre que no existe equilibrio en estrategias puras. 12. Guillermo y Miguel comparten un piso donde cada uno tiene su habitación. A la hora de decorarlo, cada uno tiene que decidir cómo distribuir sus pertenencias. En concreto, cada uno tiene dos cuadros y debe decidir cuántos colgar en su habitación y cuántos en la sala común. Supóngase que la decisión es privada y que una vez que se cuelgan los cuadros ya no es posible cambiarlos de lugar. Sea xG y xM el número de cuadros que Guillermo y Miguel, respectivamente, deciden poner en su habitación (por tanto, xS = 4 − xG − xM es el número de cuadros que se cuelgan en la sala). La función de utilidad de Guillermo es uG(xG, xS ) = xG(1, 5 + xS ) y la de Miguel uM (xM , xS ) = xM (1, 5 + xS ). Así, por ejemplo, si Miguel cuelga un cuadro en su habitación y Guillermo dos en la suya (xM = 1, xG = 2, xS = 1) obtendrían una utilidad de uM = 2, 5, uG = 5. (a) ¿Cuáles son las estrategias de cada uno de los compañeros de piso? (b) Represente el juego. Es decir, describa en la usual matriz de doble entrada las utilidades para cada jugador de cada una de las posibles distribuciones de los cuadros, fruto de las estrategias que sigan ambos. (c) Calcule el único equilibrio de Nash de este juego. ¿ Es un buen resultado para Guillermo y Miguel? 13. Algunos contribuyentes deciden cada año si hacen o no la declaración de la renta. Por supuesto, la ventaja de no hacerlo es que, si no les inspeccionan, no pagan impuestos. El riesgo que corren es que si les inspeccionan, les hacen pagar, además de los impuestos, una multa por evasión fiscal. Fijémonos en el caso de un contribuyente. Para simplificar suponga que R es su renta, I son los impuestos que debería pagar si decidiera declarar, M es la multa que paga si no declara y le inspeccionan, y C es el coste de llevar a cabo la inspección, que la Agencia Tributaria ha de pagar independientemente de lo que descubra el inspector. (Suponga que una vez que llega el inspector, no hay forma de ocultar la renta y por tanto, se sabe los impuestos que ese individuo ha evadido). El individuo se preocupa por tener el máximo dinero posible y la Agencia Tributaria por su recaudación neta (esto es, los ingresos bien sean por impuestos o multas, menos los costes). (a) Especifique un juego en forma normal o estratégica que recoja la relación entre el contribuyente y la Agencia Tributaria. (b) Suponga que se cumplen las desigualdades M > C , I > C . (b.1) ¿Tiene alguno de estos jugadores una estrategia dominante? (b.2) Indique si hay en este juego un equilibrio de Nash en estrategias puras y razone brevemente su contestación en términos económicos.

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(c) Ahora suponga que se cumplen las desigualdades I + M < C (esto podría ocurrir si los inspectores de Hacienda reivindicaran unos salarios muy altos y las multas por evasión fueran poco importantes). (c.1) ¿Tiene alguno de estos jugadores una estrategia dominante? (c.2) Indique si hay en este juego un equilibrio de Nash en estrategias puras y razone brevemente su contestación en términos económicos. 14.(Feb 05) La municipalidad de Madrid está organizando una operación llamada “Madrid Verde”. En una calle de Chamartín, cada familia que posee una casa recibe dos árboles. Sólo dos vecinos viven en esa calle. Cada uno debe decidir cuantos árboles plantar en su jardín (en cuyo caso los árboles no se pueden ver desde la calle) y cuantos en la entrada de su casa (en cuyo caso los árboles se ven desde la calle). Los árboles que se pueden ver desde la calle contribuyen a revalorizar el barrio. El vecino 2 valora más que el vecino 1 los árboles que se ven desde la calle ya que tiene la intención de vender su casa próximamente. Se supone que la decisión es privada y que una vez que se plantan los árboles, ya no es posible cambiarlos de lugar. Sean x1 y x2 el número de árboles que el vecino 1 y el vecino 2, respectivamente, deciden poner en su jardín. Sea xc el número de árboles que se pueden ver desde la calle. La función de utilidad del vecino 1 esta dada por U1(x1, x2) = x1(1.5 + xc) y la del vecino 2 por U2(x1, x2) = x2(1.5 + axc), donde a > 1. 1. Represente este juego en forma normal y encuentre todos los equilibrios de Nash en estrategias puras. 2. ¿Maximizan los equilibrios encontrados en la pregunta 1 la utilidad social (UT (x1, x2) = U1(x1, x2) + U2(x1, x2)? Justifica tu respuesta. 3. Calcula TODOS los EN en estrategias mixtas del juegos. 15. En una mercado hay dos empresas que venden dos productos ligeramente diferenciados (por ejemplo, pastas de dientes que se diferencian en su color y sabor). Las respectivas funciones de demanda vienen dadas por q1 = 1000 − 2p1 + p2, y q2 = 1000 − 2p2 + p1. Ambas empresas tienen acceso a la misma tecnología que les permite producir cada unidad de cualquiera de estos productos a un coste igual a 2 (no hay costes fijos). La variable estratégica de las empresas es el precio. Se trata de determinar el equilibrio de Nash sabiendo que toman esta decisión simultáneamente. La cantidad que vendan y su beneficio dependerá no sólo de su decisión sino también de la del competidor. Determine el equilibrio de Nash de este juego. 16. Los dos finalistas en una competición atlética tienen a priori idénticas probabilidades de ganar. En esta situación de igualdad, cualquier ayuda externa puede ser decisiva, por lo que ambos podrían considerar doparse, pero si ambos lo hacen se restablece la igualdad. Para simplificar, supongamos que estos atletas no reparan en que doparse supone un riesgo para su salud (son maximizadores instantáneos y no reconocen el coste futuro de esta acción) y que la utilidad del ganador es uno y la del perdedor es cero. (a) Represente el juego al que se enfrentan, en el que las estrategias posibles son doparse (D) o no (ND) y calcule los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas del juego. (b) Suponga ahora que el Comité Olímplico, en un intento de evitar el dopaje, obliga al atleta ganador a realizar un test que detecta sustancias dopantes con probabilidad p: si dicho test resulta positivo, se da como ganador al otro atleta (sin que éste tenga que realizar ningún test). Represente el juego y determine los valores de p para los que es un equilibrio de Nash que ninguno de los dos atletas se dope. ¿Para qué valores es este equilibrio único? (Tenga en cuenta que ahora los atletas

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tienen incertidumbre sobre dos fenómenos independientes: quién ganará la carrera y cuál será el resultado del test.) 17. (Sept 2005) Dos hermanas, Alicia y Beatriz se plantean la forma de repartirse dos euros. En primer lugar, Alicia decide si quiere un reparto igualitario o no. Si es igualitario se acaba el juego. Si decide que no lo sea, se juegan los dos euros a los chinos, esto es, cada una saca simultáneamente 1 o 2 monedas. Si la suma de las monedas que sacan las dos hermanas es par, Alicia se queda 1.25 euros y Beatriz 0.75. Si la suma es impar, Beatriz se queda 1.5 y Alicia 0.5. Encontrar todos los Equilibrios de Nash del juego que resulta si Alicia no quiere el reparto igualitario. Calcular los pagos esperados de las dos hermanas en dichos equilibrios. 18. Pedro y Miguel viven en casas contiguas. Desde su terraza Pedro no puede ver su propio jardín, pero tiene una magnífica vista del jardín de Miguel. Así, Pedro valora en 2 mil euros que el jardín de Miguel esté mantenido, pero sólo en 500 euros que su propio jardín esté mantenido. La situación y preferencias de Miguel son completamente recíprocas. Puesto que los jardines son visibles desde la vía pública, el ayuntamiento subvenciona (por importe de 500 euros) a cada vecino de las calles en las que todos los jardines estén bien mantenidos. Pedro y Miguel son los únicos vecinos de su calle, El coste de mantenimiento de cada jardín es de mil euros. (a) Represente el juego al que se enfrentan Pedro y Miguel. (b) Calcule los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas. 19. Dos empresas que trabajan en aislamientos tienen que decidir la cantidad que van a producir y comercializar en el mercado. Cada una conoce la estructura de la demanda de su producto cuyas características son similares a las de la otra empresa, pero ninguna sabe cuánto piensa producir el otro. supongamos que cada empresa tiene unos costes c(qi) = 10 + 2qi y que las dos estiman que su demanda conjunta vienen dada por p(q1 + q2) = 320 − 2(q1 + q2). (a) ¿Cuáles son las estrategias de cada productor? Teniendo en cuenta que su objetivo es maximizar el beneficio, ¿cuáles son sus funciones de pago? ¿Y sus curvas de reacción? (c) ¿Cuál será el equilibrio de Nash si ambas empresas deciden su nivel de producción simultáneamente? 20. Considera el modelo de duopolio de Cournot con la función de demanda p (q) = a − q, pero con costes asimétricos: c1 para la empresa 1 y c2 para la empresa 2. ¿Cuál es el equilibrio de Nash si 0 < ci < a 2 ? ¿Cuál si c1 < c2 < a, pero 2c2 > a + c1? Nota: puede resolver el problema con números que satisfagan estas condiciones.

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II. Juegos dinámicos 21. La siguiente figura ilustra el árbol de un juego G entre dos jugadores con información perfecta. I.α r

l

II.γ

II.β m

L I.δ l D

M

R L

R

M I.ε

r L

l D

L

D

W

D

W

r D

(a) Identifique los conjuntos de información de cada jugador asignándoles una letra griega. (b) ¿Cuáles son las estrategias puras de cada jugador? ¿Y sus acciones en cada conjunto de información? (c) ¿Cuál sería el resultado de jugar la combinación de estrategias (rll, LM ), donde rll es la estrategia del primer jugador y LM la del segundo? (d) Identifique todos los posibles pares de estrategias (una para jugador) que permiten seguir el camino rRl. 22. Dado el siguiente juego representado en forma extensiva 1 I1

D1 2

I2 3 5

D2

I2

-1 -1

0 0

D2 10 2

(a) Calcule los equilibrios de Nash de este juego. (b) Represente la forma normal equivalente. (c) ¿Es alguno de estos equilibrios un equilibrio perfecto en subjuegos? (d) Suponga que ahora el jugador B observa la decisión del jugador A antes de tomar su decisión. Responda a los tres apartados anteriores tras realizar esta modificación en el juego. 23. Dado el siguiente juego representado en forma extensiva 6

1 I

D

2.1

2.2

I.1

D.1

I.2

D.2

0 3

2 1

0 3

1 2

(a) Indique cuáles son las estrategias factibles para cada jugador y calcule los equilibrios perfectos en subjuegos. (b) Represente la forma normal equivalente y calcule los equilibrios de Nash. 24. Consideremos un juego en el que, en el primer movimiento, el jugador I elige una acción i ∈ {0, 1}. En el segundo movimiento la “Naturaleza” selecciona de manera aleatoria y con la misma probabilidad una acción j ∈ {0, 1}. En el tercer movimiento, el jugador II elige una acción k ∈ {0, 1} sin saber lo que ha elegido el primer jugador pero conociendo j . Para determinar los pagos se tiene que, si i +j +k = 1 el primer jugador paga al segundo una unidad. En caso contrario se la paga el segundo al primero. (a) Dibuje el árbol del juego. (b) Indique cuáles son los conjuntos de información de cada jugador. (c) ¿Cuáles son las estrategias puras de cada jugador? ¿Y sus acciones en cada conjunto de información? (d) Si jugásemos la combinación de estrategias siguiente: para el primer jugador (0) y para el segundo (1,0), es decir, ((0), (1,0)) ¿a qué nudo final podríamos llegar? ¿cuál sería la probabilidad de llegar ahí? 25. Imagínese que el mercado de aspiradoras estuviera dominado por una marca llamada Rapilimpia y que una nueva empresa, Neolimpia, estuviera pensando entrar en el mercado. Si Neolimpia entra, Rapilimpia tiene 2 alternativas: acomodarse a la entrada de Neolimpia, aceptando una diminución en su cuota de mercado o entablar una guerra de precios. Supongamos que si Rapilimpia decide acomodarse a la entrada de su competidora, ésta, Neolimpia, tendría un beneficio de 10 millones de euros; pero si Rapilimpia se inclinase por entablar una guerra de precios, a Neolimpia esta decisión le supondría una pérdida de 20 millones de euros. Si Neolimpia se mantiene al margen de este mercado evidentemente su beneficio será nulo. Supongamos que como monopolio Rapilimpia puede conseguir unos beneficios de 30 millones de euros, que compartir el mercado reducirá sus beneficios a 10 millones y entablar una guerra de precios le costaría 10 millones. Dibuje el juego en forma extensiva. Páselo a la forma estratégica y calcule los equilibrios de Nash en estrategias puras. ¿Cuáles son los equilibrios perfectos en subjuegos? 26. En el sector de la informática suele considerarse que hay determinadas empresas que son líderes y otras que esperan a que éstas anuncien su estrategia de mercado para ajustar consecuentemente sus decisiones. Analicemos esta industria suponiendo que ITM desempeña el papel de líder de Stackelberg y otra pequeña empresa, MIGA, el de seguidora. Supongamos que las dos tienen acceso a una misma tecnología siendo los costes de producción c(qi) = cqi, donde c > 0. La curva de

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demanda del producto viene dada por p(Q) = 120 − Q, donde Q es la cantidad total de producto suministrada en el mercado. El juego se desarrolla de la siguiente forma: ITM anuncia cuánto va a producir. Tras observar esta decisión, MIGA decide su producción. Represente este juego en forma extensiva (o esboce al menos una aproximación). ¿Cuáles son las estrategias de cada empresa? ¿y sus funciones de pago o beneficio? Determine el equilibrio perfecto en subjuegos (equilibrio de Stackelberg) ¿Entrará o no MIGA en este mercado? 27. Considere el mismo enunciado del problema anterior pero ahora suponga que la función de costes de MIGA es c(qi) = qi + K , donde K representa el coste fijo (por ejemplo de adquirir esta tecnología) que sólo se paga en caso de planificar una producción positiva. ¿Habrá algún valor de K por encima del cuál, en equilibrio, MIGA decidirá no introducir el producto? 28. En el siguiente juego de negociación no cooperativo, una empresa (E ) y un sindicato (S ) tratan de repartirse los posibles beneficios que se generan por su actividad económica. Suponga que éstos son de 2 millones de euros. Se arbitra un proceso negociador que establece tres etapas. Las peticiones de acuerdo se hacen de forma sucesiva, alternándose E , S y E . En cada etapa, el que no hace la petición tiene la posibilidad de aceptar o rechazar el acuerdo. Si acepta, la negociación acaba y si rechaza, formula su petición. Si no llegan a ningún acuerdo, tras la tercera propuesta de acuerdo, ninguno de las dos partes obtiene nada. (a) ¿Qué posible acuerdo pueden pactar, y cuándo, si los dos aplican un factor de descuento de δ = 1/4? (b) ¿Qué posible acuerdo pueden pactar y cuándo, si E tiene un factor de descuento de δE = 1/4 y S uno de δS = 1/2? (c) Compare los dos acuerdos anteriores y argumente si le parecen razonables los resultados obtenidos. 29.(Sept 2005) Suponga que Extra y Ultra son los únicos productores de coches que compiten en España. La demanda de coches en España está dada por p(Q) = 10 − Q, donde Q es la suma de las producciones de los dos productores. Los costes totales de Extra y Ultra son respectivamente CE (qE ) = 3qE y CU (qU ) = 2qU . (a) Suponga que Extra y Ultra eligen simultáneamente las cantidades a producir (qE and qU ). Determinar la curva de reacción de cada productor y el equilibrio de Nash de este juego. Comparar los beneficios de equilibrio de cada productor. (b) Suponga ahora que el juego cambia. Extra elige su cantidad qE . Tras observar esta decisión, Ultra elige su cantidad qU . Represente este juego en forma extensiva y calcule el equilibrio perfecto en subjuegos. (c) ¿Cual es la cantidad de dinero que Ultra debería pagar a Extra para que Extra escoja su cantidad simultáneamente a la suya? ¿Está Ultra dispuesta a pagar esta cantidad de dinero? 30. Tres oligopolistas operan en un mercado cuya demanda viene dada por p(Q) = 150 − Q, en donde Q = q1 + q2 + q3 y qi es la cantidad producida por la empresa i (= 1, 2, 3). Cada empresa tiene una función de costes C (qi) = 30qi. Las empresas eligen las cantidades de la siguiente manera: (i) la empresa 2 elige q2, (ii) las empresas 1 y 3 observan q2 y, simultáneamente, eligen q1 y q3, respectivamente. (a) Considere q2 y q1 fijas, ¿Cuál es la función de reacción de la empresa 3? (Es decir, cuál es su mejor respuesta frente a estas dos cantidades.) (b) ¿Es la función de reacción de la empresa 1 análoga a la hallada para la 3? ¿Y la de la empresa 2? 8

(c) Resuelva el subjuego de las empresas 1 y 3: considere q2 fija y calcule las cantidades de equilibrio de las empresas 1 y 3 usando sus funciones de reacción. La solución quedará en función de q2. (d) Conociendo cuál será el resultado en el subjuego, ¿cuál es la mejor respuesta de la empresa 2? (e) Con lo obtenido en (3) y (4) describa la solución completa de este mercado oligopolístico y especifique qué cantidades acabarán produciendo las distintas empresas. (f ) ¿Qué beneficios están obteniendo las empresas? 31. Dos empresas españolas se reparten el mercado de productos lácteos en Getafe. Una de ellas, la empresa OBESA, vende sólo productos con toda su grasa. La otra, llamada LISA vende sólo productos desnatados. Es sabido que en Getafe la gente no está demasiado preocupada por guardar la línea, de forma que de no lanzar LISA una agresiva campaña publicitaria sobre los peligros de la obesidad, los beneficios al final del año para LISA y OBESA serían de 1 y 6 millones de euros respectivamente. Si, por el contrario, LISA lanza su campaña, OBESA tiene la opción de contraatacar con la publicación de un dossier acerca de las graves carencias en vitaminas de los productos desnatados de su rival. En el caso en que ese dossier viera la luz, LISA aún tiene opción de echar más leña al fuego, lanzando un publireportaje acerca de la falta de higiene en la fábrica de OBESA. Los departamentos de marketing de ambas empresas calculan que si LISA lanza su campaña contra la obesidad y OBESA no reacciona aireando su dossier, los beneficios al final de año serían de 4 en millones de euros para LISA y de 3 para OBESA. Por el contrario, si OBESA reacciona tras la campaña de LISA publicando el dossier y LISA no reacciona ante esta acción, los beneficios serán de 2 millones de euros para LISA y de 4 para OBESA. Sin embargo, si LISA reacciona a la publicación del dossier aireando el publireportaje acerca de la falta de higiene en OBESA, los beneficios a final de año serian de 3 millones de euros para LISA y de sólo 1 para OBESA. (a) Represente el juego que afrontan LISA y OBESA en forma extensiva y en forma normal. Calcule todos los equilibrios de Nash del juego (en estrategias puras y mixtas). (b) ¿Cuáles de los equilibrios encontrados son perfectos en subjuegos? 32. Dos empresas compiten en un mercado cuya demanda es P (q) = 10 − q, donde q = q1 + q2 es la cantidad total producida. Las funciones de costes de las empresas son Ci(qi) = ciqi, i = 1, 2. (a) Suponiendo que ambas empresas deciden su producción simultáneamente, calcule la función de reacción de cada empresa y el equilibrio de Nash (el resultado vendrá expresado en función de c1 y c2). Suponga que inicialmente c1 = c2 = 2, pero que la Empresa 1 tiene la posibilidad de adoptar una nueva tecnología cuya función de costes es C (q) = q, y cuyo coste de instalación es K . Suponga también que la Empresa 2 decide su nivel de producción sabiendo si la Empresa 1 ha adoptado o no la nueva tecnología (b) Determine para qué valores de K la Empresa 1 adoptaría la nueva tecnología en el equilibrio perfecto en subjuegos. 33. Tres vecinas (Ana, Bea, Cruz) de un barrio deben elegir uno solo de tres proyectos (a, b, c). Las preferencias se representan a continuación en una tabla. Cada columna indica el orden de preferencia para la vecina correspondiente, siendo el proyecto más preferido cuanto más arriba esté en la columna.

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Ana Bea Cruz a b c b c a c a b La elección se hará por mayoría simple en una votación en dos etapas. En la primera se vota entre a y b y el proyecto ganador en esta etapa se enfrenta a c, de esta segunda votación saldrá el proyecto que se llevará a cabo. (a) ¿Cuál será el resultado si en cada etapa las vecinas votan sinceramente? (Es decir, si votan al proyecto más preferido). Analicemos este mecanismo de elección como un juego (las vecinas podrán votar estratégicamente). (b) Suponga que a ha sido elegido en la primera etapa. Explica por qué en la segunda votación que todas voten por el proyecto c es un equilibrio de Nash. (c) ¿Por qué es poco plausible este equilibrio? ¿Qué refinamiento (o criterio de selección) lo elimina como equilibrio? (d) ¿Cuál sería el equilibrio perfecto en subjuegos que cumple este refinamiento en las dos etapas? 34. La demanda de mercado de un monopolista es P (q) = 160 −q y su función de costes C (q) = 40q, donde el precio P y el coste C están expresados en euros y la cantidad q en millones de unidades. El monopolista debe decidir si adoptar una nueva tecnología que reduciría a solo 10 euros el coste unitario de producción (es decir, su función de costes pasaría a ser C (q) = 10q). Para adoptar esta nueva tecnología el monopolista tiene que comprar maquinaria y realizar obras de adaptación de sus factorías cuyo coste asciende a 2.100 millones de euros. (a) Determine si el monopolista adoptará o no la nueva tecnología El gobierno ha decidido permitir la entrada de una nueva empresa en el mercado a cambio de que dicha empresa entre con la nueva tecnología. La entrada en el mercado de una nueva empresa requeriría una inversión de 3.000 millones de euros. (b) Suponiendo que esta nueva empresa entra en el mercado, calcule el precio de equilibrio en situación de duopolio y la producción y beneficios de cada empresa en los dos siguientes casos (b.1) la empresa instalada no adopta la nueva tecnología, y (b.1) la empresa instalada adopta la nueva tecnología. (c) Con los datos en (a) y (b) construya el juego en el que la monopolista decide si invertir o no en la nueva tecnología y la posible entrante decide si entrar on no. (Si la posible entrante no entra tiene beneficios nulos). (d) Determine el resultado de equilibrio suponiendo que la nueva empresa decide su entrada o no en el mercado después de observar si el monopolio adopta o no la nueva tecnología. En este equilibrio, ¿ adoptaría el monopolio la nueva tecnología? ¿ Entraría en el mercado la nueva empresa? 35. Una madre y una hija juegan el siguiente juego. Primero la hija toma una acción A, que produce un ingreso para sí misma Ih (A) = 10 − (A − 5)2 y un ingreso para la madre Im (A) = 5 − (A − 3)2. Segundo, la madre observa los ingresos Ih e Im y decide qué herencia B legar a su hija. La función de utilidad de la hija es uh (Ih, B) = (Ih + B)2 y la de la madre um (Im, B, uh) = (Im − B)2 + 2uh. (a) Encuentre el equilibrio perfecto en subjuegos. Pista: Dada una acción A de la hija (y, por tanto, unas cantidades Ih e Im) encuentre la cantidad B que maximiza la utilidad de la madre (quedará en función de A). A continuación calcule la acción de la hija que maximiza su utilidad dada la reacción de la madre que acaba de calcular. 10

(b) Muestre que el resultado del equilibrio es el mismo que el de corresponde a tomar la acción A que maximiza el ingreso agregado familiar Ih +Im (a pesar de que sólo la madre muestra preferencias altruistas). 36. Dos socios A y B estudian completar un proyecto. Cada uno de ellos recibe 25 millones de euros cuando el proyecto se complete, pero nada antes de ese momento. El coste que falta para completar el proyecto es de 7 millones. Ninguno de los dos socios se puede comprometer de manera creíble para contribuir en el futuro, así que acuerdan lo siguiente. En un primer momento, el socio A elige contribuir con cA. Si esta cantidad es suficiente para concluir el proyecto, el juego termina y cada socio recibe los 25 millones. Si no es suficiente (cA es menor que 7 millones), entonces el socio B elige su contribución cB . Si la suma de ambas contribuciones permite completar el proyecto cada uno recibe los 25 millones, en caso contrario no reciben nada. La única manera de lograr el dinero para contribuir en este proyecto es retirándolo de otras actividades a las que se dedica cada socio. Suponga que en ellas cada socio puede ganar c2 i , (i = A, B ). (a) Encuentra el equilibrio perfecto en subjuegos. Suponga ahora que el coste para finalizar el proyecto es de 12 millones. (b) Calcule el nuevo equilibrio perfecto en subjuegos. 37. En el mercado de Telecomunicaciones las empresas BT y DT compiten en cantidades siendo BT una líder en ese mercado (esto es, determina su producción antes que DT). En este mercado la demanda total es Q = 20 −p y las funciones de costes de las empresas son lineales con Ci(qi) = 10qi. Ambas empresas están realizando I+D de forma simultánea lo que les permite reducir su coste marginal desde 10 hasta ci. El coste de lograr un coste marginal de ci es F (ci) = (10 − ci)2. El coste marginal alcanzado se convertirá en información pública para ambas empresas tras la etapa de I+D. (a) Si ninguna empresa decide reducir su coste, calcula las cantidades que se ofertarán en ese mercado en un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos. (b) Calcula los costes marginales que se realizarán en equilibrio de Nash perfecto en subjuegos. Esto es, determina el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos del juego en el que primero se realiza I+D de forma simultánea, lo que determina los costes marginales de producción, y después se compite en cantidades a la Stackelberg. 38. Un torturador propone a sus dos prisioneros un juego macabro. El prisionero número 1 puede decidir si el juego pasa a la fase B o se queda en la fase A. Si el juego se queda en la fase A, ambos prisioneros serían sometidos a una tortura suave (que les produce a ambos prisioneros una utilidad de 2). Si se pasa a la fase B, ambos prisioneros elegirían simultánea e independientemente un número entero entre 1 y 100. Si la suma de los números es par, el individuo 1 sería castigado con una tortura fuerte (que le produce una utilidad de 1) y el individuo 2 no recibiría tortura (lo que le produce una utilidad de 3). Si la suma es impar, el castigado (utilidad 0) es el individuo 2 y el librado (utilidad 5) es el (a). Encuentra todos los equilibrios de Nash en puras y mixtas del subjuego de este juego. (Nota que el conjunto de estrategias se puede simplificar a dos, escoger un número par o impar, ya que la suma de dos enteros pares o dos impares es un número par, y la suma de un par con un impar es un número impar). (b). Muestra que para el individuo 1 la estrategia de quedarse en la fase A está estrictamente dominada por la estrategia mixta que consiste en pasar a la fase B y una vez allí jugar un equilibrio de Nash en mixtas. 11

(c). Calcula el/los equilibrio/s perfectos en subjuegos. 39. Considera un modelo de negociación en dos períodos. En el primero, el jugador A hace una oferta de reparto de 1 millón de euros (x, 1 − x) donde x es la cantidad que A se quedaría para el. El jugador B puede aceptar o rechazar. Si acepta, se acaba el juego; si rechaza, pasamos al segundo período donde cada uno debe proponer simultáneamente un reparto. Si A dice x (el se queda con x y da 1 − x al jugador B) y B dice y (B propone quedarse con la cantidad y dando al jugador A una cantidad 1 − y), entonces los pagos son (x, y) si x + y ≤ 1, y (0, 0) en caso contrario. Los pagos son descontados con factor de descuento δ = 1/4. (a). Resuelve el subjuego que comienza cuando B rechaza. Calcula las funciones de mejor respuesta de A y B, y encuentra los equilibrios de Nash del subjuego. Calcula el pago esperado en equilibrio de este subjuego. Nota: Si hubiera varios equilibrios de Nash suponemos que cada uno de ellos se juega con la misma probabilidad. (b). Encuentra todos los equilibrios perfectos en subjuegos. Nota: Si B está indiferente entre aceptar y rechazar suponemos que siempre acepta. 40. (Feb 2005) Lucía acude a comprar un coche a un mercado de vehículos de segunda mano. Deambulando por el mercado encuentra uno que se adapta a sus necesidades. En ese mercado los coches pueden ser de dos tipos: de buena calidad (tipo B) con probabilidad de 50% o de mala calidad (tipo M) con probabilidad 50%. En el primer caso, tendría un valor para ella de 10.000 €. Sin embargo, si fuera del tipo M el valor es nulo para Lucía. Para el vendedor, un coche tipo B tiene un valor de 6.000 €(el valor es nulo si el tipo fuera M). Todas las valoraciones son de conocimiento común tanto para Lucía como para el vendedor. El juego que se establece entre Lucía y el vendedor es el siguiente: en primer lugar, la naturaleza determina la calidad del coche posible objeto de transacción, cuestión que pasa a ser conocida por ambos. A continuación, el vendedor realiza una oferta. Por último, Lucía decide si la acepta o la rechaza. Si no llegan a un acuerdo ambos ganan 0. (Para simplificar suponga que si el vendedor recibe la misma cantidad caso de aceptar o rechazar, siempre se inclina por aceptar). (a) Represente el juego anterior en forma extensiva. (b) Determine el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos de este juego, especificando cuidadosamente las estrategias de cada jugador. En este equilibrio, ¿cuáles serían los pagos esperados de ambos jugadores? (c) Supongamos ahora que es Lucía quien hace una oferta que el vendedor decide si debe aceptar o rechazar. ¿Cuál sería el ENPS? (d) Supongamos ahora que el coche que se pone a la venta es tipo B, y que Lucía realiza la oferta. Sin embargo, ahora Lucía es consciente de la presencia de Javier, un nuevo comprador, que valora el coche en 12.000 € y realizará su oferta después de Lucía. ¿Cuál sería el resultado del juego que se establece entre los tres jugadores?

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