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• Javier Pantusin

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Ejercicio 13: Hallar la línea que pase por el punto (2,3) y cuya propiedad sea la siguiente: el segmento de cualquier tangente suya comprendido entre los ejes de coordenadas se divide en dos partes iguales en el punto de contacto.

Datos: 𝑀 = 𝑒𝑗𝑒 𝑥 ∩ 𝑡 {

𝑁 = 𝑒𝑗𝑒 𝑦 ∩ 𝑡

𝑦=0 (𝑦 − 𝑦0 = 𝑦′(𝑥 − 𝑥0 )

𝑀 = (𝑥0 −

{

𝑦0 , 0) 𝑦′

𝑥=0 (𝑦 − 𝑦0 = 𝑦′(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑁 = (0 , 𝑦0 − 𝑦 ′ 𝑥0 )

1

P = 2 𝑀𝑁 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑃 =( , ) 2 2 Problema F(x,y) = ? Desarrollo: (

𝑦 𝑥0 − 𝑦0′ 2

𝑥0 − −

) = 𝑥0

𝑦0 = 2𝑥0 𝑦′

𝑦0 = 𝑥0 𝑦′

𝑦0

𝑑𝑥 = −𝑥0 𝑑𝑦

Reemplazo (y0 , x0) por (y,x) e integro: ∫

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −∫ 𝑦 𝑥

ln(𝑦) = −𝐼𝑛(𝑥) + 𝑐 𝑘

𝑦 = 𝑥 ; 𝑘 = 𝑒𝑐 𝑘 = 𝑦𝑥 Reemplazo las condiciones iniciales que me da el problema para calcular el valor de k: 𝑃(2,3) ; 𝑘 = (2) ∗ (3) 𝑘=6 Por lo tanto nuestro respuesta sería: 𝑥𝑦 = 6 Ejercicio 71: Hallar la curva cuya propiedad consiste en que el producto del cuadrado de la distancia entre cualquiera de sus puntos y el origen de coordenadas por el segmento separado en el eje de las abscisas de ese punto es igual cubo de la abscisa de ese punto.

Datos: 𝑂 = (0,0)

𝑁 𝑒𝑗𝑒𝑥 ∩ 𝑛

𝑃 = (𝑥0 , 𝑦0 )

𝑦=0 1 { 𝑦 − 𝑦0 = − ′ (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑦 𝑁 = (𝑦 ′ 𝑦0 + 𝑥0 , 0) 2

(𝑂𝑃) ∗ (𝑂𝑁) = 𝑥 3 Problema: f(x,y) = ? Desarrollo: 2

(√(𝑥0 − 0)2 + (𝑦0 − 0)2 ) ∗ (√(𝑦 ′ 𝑦0 + 𝑥0 )2 − (0 − 0)2 ) = 𝑥 3 (𝑥0 2 + 𝑦0 2 ) ∗ (𝑦 ′ 𝑦0 + 𝑥0 ) = 𝑥 3 Reemplazmos x0 por x y y0 por y: (𝑥 2 + 𝑦 2 ) ∗ (𝑦 ′ 𝑦 + 𝑥) = 𝑥 3 2

3

𝑦 ′𝑥 𝑦 + 𝑥 3 + 𝑦 ′𝑦 + 𝑦 2 𝑥 = 𝑥 3 𝑦 ′ (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑦 + 𝑦 2 𝑥 = 0 (1) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

(2)

𝑧 ′ = 2𝑥 + 2𝑦𝑦 ′ 𝑦′ =

𝑧 ′ − 2𝑥 2𝑦

(3)

Reemplazo (2) y (3) en (1) 𝑧 ′ − 2𝑥 𝑧 + (𝑧 − 𝑥 2 )𝑥 = 0 2 𝑧´𝑧 − 2𝑥𝑧 + 2𝑥𝑧 = 2𝑥 3 𝑧

𝑑𝑧 = 2𝑥 3 𝑑𝑥

∫ 𝑧 𝑑𝑧 = 2 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑧2 = 𝑥4 + 𝑐 Pero z = x2 + y2 : (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 𝑥 4 + 𝑐 𝑦 4 + 2𝑥 2 𝑦 2 = 𝑐