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• Nohe Lita

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Ejercicios Serie 1

Problema 1 Cuál es la tasa anual de interés simple que permite acumular (capitalizar) un monto de $7000 después de 5 años, con una inversión inicial de $5000. Solución. El monto invertido inicialmente es A(0) = 5000, su valor acumulado después de 5 años es A(5) = 7000, y se habla de tasa de interés simple. Tenemos 7000 = 5000(1 + it) con t = 5:

⇔ ⇔ ⇔

7000 = 5000[1 + (i × 5)] 7000 [1 + (i × 5)] = 5000 7−5 7 5×i= −1= 5 5 7−5 i= = 0.08 = 8 %. 25

(1) (2) (3) (4)

Problema 2 Cuál es la tasa anual de interés compuesto que permite acumular (capitalizar) un monto de $7000 después de 5 años, con una inversión inicial de $5000. Solución. El monto invertido inicialmente es A(0) = 5000, su valor acumulado después de 5 años es A(5) = 7000, y se habla de tasa de interés compuesto. Tenemos 7000 = 5000(1 + i)t con t = 5:

(6)

⇔

7000 = 5000(1 + i)5 7000 (1 + i)5 = 5000 p 5 1 + i = 7/5

⇔

p i = 5 7/5 − 1 = 0.6961 = 6.96 %.

(8)

⇔

1

(5)

(7)

Problema 3 Cuantos años tenemos que invertir para tener $45000 con una inversión inicial de $35000 en una cuenta que paga: 1. una tasa de interés simple de 8 % anual? 2. una tasa de interés compuesto de 8 % anual? 3. una tasa de descuento compuesto de 8 % anual? 4. una tasa nominal de interés de 8 % capitalizado 4 veces al año? Solución. 1. Con una tasa de interés simple, tenemos A(t) = A(0)(1 + it), con A(0) = 35000 y A(t) = 45000:

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

45000 = 35000(1 + 0.08t) 45 1 + 0.08t = 35 45 0.08t = −1 35 45 − 35 0.08t = 35 45 − 35 t= 35 × 0.08 t = 3.57.

(9) (10) (11) (12) (13) (14)

Necesitamos 3.57 años para tener $45000 con una inversión de $35000 en una cuenta que paga 8 % de interés simple. 2. Con una tasa de interés compuesto, tenemos A(t) = A(0)(1 + i)t , con A(0) = 35000 y A(t) = 45000:

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

45000 = 35000(1 + 0.08)t 45 1.08t = 35  45 t ln (1.08) = ln 35
45 ln 35 t= ln 1.08 t = 3.26. 2

(15) (16) (17) (18) (19)

Necesitamos 3.26 años para tener $45000 con una inversión de $35000 en una cuenta que paga 8 % de interés compuesto. 3. Con una tasa de descuento compuesto, tenemos A(t) = 35000 y A(t) = 45000:

A(0) , (1−d)t

35000 (1 − 0.08)t 35 0.92t = 45  35 t ln (0.92) = ln 45
35 ln 45 t= ln 0.92 t = 3.01. 45000 =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

con A(0) =

(20) (21) (22) (23) (24)

Necesitamos 3.01 años para tener $45000 con una inversión de $35000 en una cuenta que paga un interés calculado con una tasa de descuento compuesto de 8 %. 4. Con una tasa de interés capitalizado 4 veces al año i(4) , tenemos   nominal 4×t (4) A(t) = A(0) 1 + i 4 , con A(0) = 35000 y A(t) = 45000:

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 4×t 0.08 45000 = 35000 1 + 4 45 1.024t = 35  45 4t ln (1.02) = ln 35
45 ln 35 t= 4 ln 1.02 t = 3.17.

(25) (26) (27) (28) (29)

Necesitamos 3.17 años para tener $45000 con una inversión de $35000 en una cuenta que paga un interés nominal de 8 % capitalizado 4 veces al año.

Problema 4 Con una inversión de $1000 en una cuenta, cuáles son la tasa efectiva de interés y la tasa efectiva de descuento del tercer año: 3

1. si la cuenta paga una tasa de interés simple de 4 %? 2. si la cuenta paga una tasa de interés compuesto de 4 %? Solución. 1. Con una tasa de interés simple, tenemos A(2) = A(0)[1 + (0.04 × 2)] con A(0) = 1000, entonces A(2) = 1000[1 + (0.04 × 2)] = 1080, y A(3) = 1000[1 + (0.04 × 3)] = 1120. La tasa efectiva de interés del tercer periodo es: i3 =

40 A(3) − A(2) = = 3.70 %, A(2) 1080

(30)

y la tasa efectiva de descuento es: d3 =

A(3) − A(2) 40 = = 3.57 %, A(3) 1120

(31)

2. Con una tasa de interés compuesto de i = 4 %, la tasa efectiva de interés del tercer periodo es i3 = 4 %, y podemos calcular la tasa de descuento compuesto equivalente: d3 =

i3 i = 3.85 %. = 1 + i3 1+i

(32)

Problema 5 Una letra de cambio paga $1000 en 6 meses. Un banco ofrece un pago de $925 ahora contra esa letra de cambio. 1. cuál es la tasa anual de descuento simple vigente (descuento bancario simple)? 2. cuál es la tasa anual de descuento compuesto vigente (descuento bancario compuesto)? Solución.

4

A(0) A(0) = [1−(0.5×d)] ,y 1. Con una tasa de descuento simple, tenemos A(0.5) = (1−dt) sabemos que A(0) = 925 y A(0.5) = 1000. Entonces, tenemos la ecuación 925 = 1000(1 − 0.5d), y la solución es d = 15 %. Con este banco, la tasa de descuento simple aplicada es de 15 %. A(0) 2. Con una tasa de descuento compuesto, tenemos A(0.5) = (1−d) t = sabemos que A(0) = 925 y A(0.5) = 1000. Entonces, tenemo:

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

925 = 1000(1 − d)0.5 925 (1 − d)0.5 = 1000  2 925 1−d= 1000  2 925 d=1− 1000 d = 14.44 %.

A(0) , (1−d)0.5

y

(33) (34) (35) (36) (37)

y la solución es d = 14.44 %. Con este banco, la tasa de descuento compuesto aplicada es de 14.44 %.

Problema 6 Tenemos una tasa nominal de 8 % anual, capitalizable 4 veces al año. 1. cuál es la tasa anual efectiva de interés? 2. cuál es la tasa nominal anual de interés capitalizable 2 veces al año equivalente? 3. cuál es la tasa nominal anual de descuento capitalizable 2 veces al año equivalente? 4. cuál es la fuerza anual de interés equivalente? Solución.

5

1. Tasa anual efectiva de interés i equivalente a i(4) = 8 %. Tenemos que resolver la ecuación: 4  i(4) (38) 1+i= 1+ 4  4 i(4) ⇔ i= 1+ −1 (39) 4 ⇔ i = 8.24 % (40) 2. Tasa nominal anual de interés capitalizable 2 veces al año, i(2) , equivalente a i(4) = 8 %. Tenemos que resolver la ecuación: 2  4  i(4) i(2) = 1+ , (41) 1+ 2 4  4 i(4) y sabemos que 1 + 4 − 1 es igual a la tasa efectiva anual i que es igual a 8.24 %. Entonces, tenemos: 2  i(2) = 1.0824 (42) 1+ 2 i(2) √ ⇔ 1+ = 1.0824 (43) 2 ⇔ i(2) = 8.08 % (44) 3. Tasa nominal anual de descuento capitalizable 2 veces al año, d(2) , equivalente a i(4) = 8 %. Tenemos que resolver la ecuación:  4 i(4) 1 , (45)  2 = 1 + 4 d(2) 1− 2 pero, ya hemos calculado el valor de i(2) . Entonces, podemos escribir: (2)

⇔

i d(2) 2 = (2) 2 1 + i2

(46)

d(2) = 7.76 %

(47)

4. Fuerza anual de interés equivalente a i(4) = 8 %. Tenemos que resolver la ecuación:  4 i(4) δ . (48) e = 1+ 4 6

Entonces, tenemos: 4 i(4) = ln 1 + 4   i(4) = 4 ln 1 + 4 = 4 ln 1.02 = 7.92 % 

δ ⇔

δ

⇔ ⇔

δ δ

(49) (50) (51) (52)

Problema 7 Una cuenta paga un interés con una fuerza de interés anual de 15 %. Cuál es el monto invertido inicialmente que tiene un valor acumulado (capitalizado) de $5026.78 después de 13 días (365 días por año)? Solución. Tenemos A(t) = A(0)eδt , con A(13/365) = 5026.78 y t = 13 A(t)e−δt y A(0) = 5026.78e− 365 ×0.15 = 5000.

13 . 365

Entonces A(0) =

Problema 8 Cúal es la fuerza anual de interés necesaria para tener un monto de $4014 después de 16 días con una inversíon inicial de $4000? Solución. Tenemos A(t) = A(0)eδt , con A(0) = 4000 y A(16/365) = 4014. Entonces: 16

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

4014 = 4000eδ× 365 16 4014 eδ× 365 = 4000   16 4014 δ× = ln 365 4000 16 = ln 1.0035 δ× 365 δ = 7.97 %.

(53) (54) (55) (56) (57)

Problema 9 Una inversión inicial de $50000 en una nueva maquina genera un retorno de $20000 7

al fin de los años 2 y 4, y un retorno de $30000 al fin de los años 6 y 8. Al fin del año 5, se necesita hacer el mantenimiento de la maquina. Si exigimos una tasa efectiva de interés (tasa interna de retorno) de al menos 10 %, cuál es el monto máximo X de mantenimiento que podemos gastar al fin del año 5? Solución. En primer lugar, tenemos que escoger una fecha de comparación. La fecha de comparación la más practica en este caso es la fecha t = 5. A t = 5, tenemos la ecuación de valor siguiente: −50000(1 + i)5 + 20000(1 + i)3 + 20000(1 + i) − X +

30000 30000 + = 0, (58) (1 + i) (1 + i)3

o también: −50000v −5 + 20000v −3 + 20000v −1 − X + 30000v + 30000v 3 = 0.

(59)

Entonces, tenemos X = 17906.67 que representa el monto máximo que.podemos gastar para el mantenimiento para tener al menos una tasa de retorno de 10 %.

8