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Ejercicios Ctos RL y RC-Sadiku 3e Calculo 3 (Universidad Tecnológica de Bolívar)

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Capítulo 7

300

Circuitos de primer orden

4. Las funciones singulares incluyen las funciones de: escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. La función escalón unitario u (t) es u (t) ⫽ b

0, 1,

t 6 0 t 7 0

La función impulso unitario es

0, d (t) ⫽ cIndefinido, Undefined, 0,

t 6 0 t ⫽0 t 7 0

La función rampa unitaria es r (t) ⫽ b

0, t,

tⱕ0 tⱖ0

5. La respuesta en estado estable es el comportamiento del circuito después de la aplicación durante mucho tiempo de una fuente independiente. La respuesta transitoria es el componente de la respuesta completa que se extingue con el tiempo. 6. La respuesta total o completa consta de la respuesta en estado estable y la respuesta transitoria. 7. La respuesta escalón es la respuesta del circuito a una súbita aplicación de una corriente o tensión de cd. Para hallar la respuesta de escalón de un circuito de primer orden se requieren el valor inicial x(0 ⫹ ), el valor final x(⬁) y la constante de tiempo t. Con estos tres elementos se obtiene la respuesta de escalón como x(t) ⫽ x(⬁) ⫹ [x(0 ⫹ ) ⫺ x(⬁)]e⫺t兾t Una forma más general de esta ecuación es x(t) ⫽ x(⬁) ⫹ [x(t0⫹ ) ⫺ x(⬁)]e⫺(t⫺t0)兾t O bien se puede escribir como Valor instantáneo ⫽ Valor final ⫹ [Inicial ⫺ Final]e⫺(t ⫺ to)/␶ 8. PSpice es muy útil para obtener la respuesta transitoria de un circuito. 9. Cuatro aplicaciones prácticas de circuitos RC y RL son el circuito de retraso, la unidad de flash fotográfico, el circuito relevador y el circuito de encendido de un automóvil.

Preguntas de repaso 7.1

7.2

7.3

Un circuito RC tiene R ⫽ 2 ⍀ y C ⫽ 4 F. La constante de tiempo es de:

tensión del capacitor llegue a 63.2% de su valor de estado estable es de:

a) 0.5 s

b) 2 s

a) 2 s

b) 4 s

d) 8 s

e) 15 s

d) 16 s

e) ninguno de los anteriores

c) 4 s

La constante de tiempo de un circuito RL con R ⫽ 2 ⍀ y L ⫽ 4 H es de: a) 0.5 s

b) 2 s

d) 8 s

e) 15 s

c) 4 s

Un capacitor en un circuito RC con R ⫽ 2 ⍀ y C ⫽ 4 F se está cargando. El tiempo requerido para que la

7.4

c) 8 s

Un circuito RL tiene R ⫽ 2 ⍀ y L ⫽ 4 H. El tiempo necesario para que la corriente del inductor llegue a 40 por ciento de su valor de estado estable es de: a) 0.5 s

b) 1 s

d) 4 s

e) ninguno de los anteriores

c) 2 s

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Problemas

7.5

En el circuito de la figura 7.79, la tensión del capacitor justo antes de t ⫽ 0 es de: a) 10 V

b) 7 V

d) 4 V

e) 0 V

10 V

5H 3Ω

Figura 7.80 Para las preguntas de repaso 7.7 y 7.8.

2Ω

7.8

7F t=0

7.9

Figura 7.79 Para las preguntas de repaso 7.5 y 7.6.

7.7

2Ω

10 A

t=0

+ v(t) −

+ −

i(t)

c) 6 V

3Ω

7.6

301

b) 7 V

d) 4 V

e) 0 V

b) 6 A

d) 2 A

e) 0 A

b) 6 A

d) 2 A

e) 0 A

c) 4 A

Si vs cambia de 2 V a 4 V en t ⫽ 0, se puede expresar como: a) d(t) V

b) 2u(t) V

c) 2u(⫺t) ⫹ 4u(t) V

d) 2 ⫹ 2u(t) V

7.10 El pulso de la figura 7.116a) puede expresarse en términos de funciones singulares como:

c) 6 V

En relación con el circuito de la figura 7.80, la corriente del inductor justo antes de t ⫽ 0 es de: a) 8 A

a) 10 A

e) 4u(t) ⫺ 2 V

En el circuito de la figura 7.79, v(⬁) es de: a) 10 V

En el circuito de la figura 7.80, i(⬁) es de:

c) 4 A

a) 2u(t) ⫹ 2u(t ⫺ 1) V

b) 2u(t) ⫺ 2u(t ⫺ 1) V

c) 2u(t) ⫺ 4u(t ⫺ 1) V

d) 2u(t) ⫹ 4u(t ⫺ 1) V

Respuestas: 7.1d, 7.2b, 7.3c, 7.4b, 7.5d, 7.6a, 7.7c, 7.8e, 7.9c,d, 7.10b.

Problemas Sección 7.2 7.1

Circuito RC sin fuente

7.2

En el circuito que aparece en la figura 7.81,

Halle la constante de tiempo del circuito RC de la figura 7.82. 120 Ω

v(t) ⫽ 56e⫺200t V, t 7 0 ⫺200t

i(t) ⫽ 8e

12 Ω

mA, t 7 0 50 V

a) Halle los valores de R y C.

+ −

80 Ω

0.5 mF

b) Calcule la constante de tiempo t. c) Determine el tiempo requerido para que la tensión decrezca a la mitad de su valor inicial en t ⫽ 0.

Figura 7.82 Para el problema 7.2. 7.3

Determine la constante de tiempo del circuito de la figura 7.83.

i 20 kΩ

10 kΩ

R

Figura 7.81 Para el problema 7.1.

+ v −

C

100 pF

40 kΩ

Figura 7.83 Para el problema 7.3.

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30 kΩ

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Capítulo 7

302

7.4

Circuitos de primer orden

El interruptor en la figura 7.84 se mueve instantáneamente de A a B en t ⫽ 0. Halle v para t 7 0.

7.8

En referencia al circuito de la figura 7.88, si v ⫽ 10e⫺4t V

i ⫽ 0.2 e⫺4t A,

and y

t 7 0

a) Halle R y C. b) Determine la constante de tiempo. 5 kΩ A

40 V

c) Calcule la energía inicial en el capacitor. B

+ −

10 ␮F 2 kΩ

+ v −

d) Obtenga el tiempo que tarda en disiparse el 50% de la energía inicial. i

Figura 7.84 Para el problema 7.4. 7.5

+ v −

C

R

Para el circuito de la figura 7.85, halle i(t), t 7 0. Figura 7.88 Para el problema 7.8. t=0

2Ω

7.9 i

5Ω 24 V

+ −

4Ω

t=0

2 kΩ

1 3F

+ vo −

6V + −

Figura 7.85 Para el problema 7.5. 7.6

El interruptor en la figura 7.89 se abre en t ⫽ 0. Halle vo para t 7 0.

El interruptor en la figura 7.86 ha estado cerrado mucho tiempo, y se abre en t ⫽ 0. Halle v(t) para t ⱖ 0.

4 kΩ

3 mF

Figura 7.89 Para el problema 7.9. 7.10 En relación con el circuito de la figura 7.90, halle vo(t) para t 7 0. Determine el tiempo necesario para que la tensión del capacitor decrezca a un tercio de su valor en t ⫽ 0.

t=0 10 kΩ

t=0 9 kΩ

24 V

+ −

+ v (t) –

2 kΩ

40 ␮F

Suponiendo que el interruptor en la figura 7.87 ha estado en la posición A durante mucho tiempo y que se mueve a la posición B en t ⫽ 0, halle vo(t) para t ⱖ 0.

Sección 7.3

t=0

A 40 kΩ

Figura 7.87 Para el problema 7.7.

+ vo −

7.11 En relación con el circuito de la figura 7.91, halle io para t 7 0.

3Ω

t=0 + −

20 ␮F

Circuito RL sin fuente

20 kΩ

12 V

3 kΩ

Figura 7.90 Para el problema 7.10.

Figura 7.86 Para el problema 7.6. 7.7

36 V + −

B

2 mF 30 kΩ

+ vo(t) −

4H io

24 V

+ −

4Ω

Figura 7.91 Para el problema 7.11.

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8Ω

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Problemas

7.12 El interruptor en el circuito de la figura 7.92 ha estado cerrado mucho tiempo. En t ⫽ 0, se abre. Calcule i(t) para t 7 0. t=0

303

7.16 Determine la constante de tiempo de cada uno de los circuitos de la figura 7.96.

3Ω

L1 R1

12 V

+ −

R3

R3

2H

4Ω

L2

R2

i (t)

R1

L

R2

a)

Figura 7.92 Para el problema 7.12.

b)

Figura 7.96 Para el problema 7.16.

7.13 En el circuito de la figura 7.93, 7.17 Considere el circuito de la figura 7.97. Halle vo(t) si i(0) ⫽ 2 A y v(t) ⫽ 0.

3

v(t) ⫽ 20e⫺10 t V, t 7 0 ⫺103t

i(t) ⫽ 4e

mA, t 7 0

a) Halle R, L y t. 1Ω

b) Calcule la energía disipada en la resistencia para 0 6 t 6 0.5 ms. i

3Ω

+

i(t)

vo(t)

H

−

v(t) + − + v −

R

1 4

L

Figura 7.97 Para el problema 7.17.

Figura 7.93 Para el problema 7.13. 7.14 Calcule la constante de tiempo del circuito de la figura 7.94. 20 kΩ

7.18 En referencia al circuito 7.98, determine vo(t) cuando i(0) ⫽ 1 A y v(t) ⫽ 0. 2Ω

10 kΩ

0.4 H 40 kΩ

5 mH

30 kΩ

+

i(t) v(t) + −

3Ω

vo(t) −

Figura 7.94 Para el problema 7.14. 7.15 Halle la constante de tiempo de cada uno de los circuitos de la figura 7.95. 10 Ω

Figura 7.98 Para el problema 7.18.

7.19 Para el circuito de la figura 7.99, halle i(t) para t 7 0 si i(0) ⫽ 2 A.

40 Ω 8Ω 12 Ω

5H

i

160 Ω

40 Ω

6H

20 mH 10 Ω

a)

b)

Figura 7.95 Para el problema 7.15.

Figura 7.99 Para el problema 7.19.

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0.5i

40 Ω

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Capítulo 7

304

Circuitos de primer orden

7.20 En referencia al circuito de la figura 7.100, ⫺50t

v ⫽ 120e

V

a) v(t) ⫽ e

t 7 0

a) Halle L y R. c) Calcule la energía inicial en el inductor. d) ¿Qué fracción de la energía inicial se disipa en 10 ms?

t 6 0 t 7 0 t 6 1 1 6 t 6 3 3 6 t 6 5 t 7 5

t ⫺ 1, 1, c) x(t) ⫽ d 4 ⫺ t, 0,

i

L

0, ⫺5,

0, ⫺10, b) i(t) ⫽ d 10, 0,

b) Determine la constante de tiempo.

R

Funciones singulares

7.24 Exprese las siguientes señales en términos de funciones singulares.

e i ⫽ 30e⫺50t A,

Sección 7.4

+ v −

1 6 t 6 2 2 6 t 6 3 3 6 t 6 4 De otro modo Otherwise t 6 0 0 6 t 6 1 t 7 1

2, d) y(t) ⫽ c ⫺5, 0,

Figura 7.100 Para el problema 7.20.

7.25 Graficar cada una de las siguientes formas de onda. 7.21 En el circuito de la figura 7.101, halle el valor de R respecto al cual la energía en estado estable almacenada en el inductor será de 1 J. 40 Ω

60 V

80 Ω

b) v(t) ⫽ r(t) ⫺ r(t ⫺ 3) ⫹ 4u(t ⫺ 5) ⫺ 8u(t ⫺ 8) 7.26 Exprese las señales de la figura 7.104 en términos de funciones singulares.

R

+ −

a) i(t) ⫽ u(t ⫺ 2) ⫹ u(t ⫹ 2)

2H v1(t) 1

Figura 7.101 Para el problema 7.21.

v 2(t) 1 −1

7.22 Halle i(t) y v(t) para t 7 0 en el circuito de la figura 7.102 si i(0) ⫽ 10 A.

0 −1

0

2H 20 Ω 1Ω

+ v(t) −

4

2

t

b)

a)

i(t)

5Ω

2 t

v 3(t) 4

2

v 4(t)

Figura 7.102 Para el problema 7.22. 0

2

4

6

t

0

1

2

t

c)

7.23 Considere el circuito de la figura 7.103. Dado que vo(0) ⫽ 2 V, halle vo y vx para t 7 0.

−1 −2 d)

3Ω + vx −

1Ω

Figura 7.103 Para el problema 7.23.

1 3

H

2Ω

+ vo −

Figura 7.104 Para el problema 7.26.

7.27 Exprese v(t) de la figura 7.105 en términos de funciones de escalón.

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Problemas

305

7.35 Halle la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:

v(t) 15

a)

10 5 −1

dv ⫹ 2v ⫽ 0, dt

b) 2 0

1

2

3

t

−5 −10

v(0) ⫽ ⫺1 V

di ⫺ 3i ⫽ 0, dt

i(0) ⫽ 2

7.36 Determine para v en las siguientes ecuaciones diferenciales, sujetas a la condición inicial indicada. a) dv兾dt ⫹ v ⫽ u(t),

Figura 7.105 Para el problema 7.27.

v(0) ⫽ 0

b) 2 dv兾dt ⫺ v ⫽ 3u(t),

v(0) ⫽ ⫺6

7.37 Un circuito se describe con 4 7.28 Diagrame la forma de onda representada por i(t) ⫽ r (t) ⫺ r (t ⫺ 1) ⫺ u(t ⫺ 2) ⫺ r (t ⫺ 2) ⫹ r (t ⫺ 3) ⫹ u(t ⫺ 4) 7.29 Grafique las siguientes funciones: a) x(t) ⫽ 10e⫺tu(t ⫺ 1)

a) ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito? b) ¿Cuál es v(⬁), el valor final de v? c) Si v(0) ⫽ 2, halle v(t) para t ⱖ 0. 7.38 Un circuito se describe con di ⫹ 3i ⫽ 2u(t) dt

b) y(t) ⫽ 10e⫺(t⫺1)u(t) c) z(t) ⫽ cos 4td(t ⫺ 1) 7.30 Evalúe las siguientes integrales que involucran la funcion impulso: a)

冮

⬁

Halle i(t) para t 7 0 dado que i(0) ⫽ 0.

Respuesta de escalón de un circuito RC

Sección 7.5

2

4t d(t ⫺ 1) dt

⫺⬁ ⬁

b)

dv ⫹ v ⫽ 10 dt

冮

7.39 Calcule la tensión del capacitor para t 6 0 y t 7 0 de cada uno de los circuitos de la figura 7.106.

4t2 cos 2p td(t ⫺ 0.5) dt

⫺⬁

7.31 Evalúe las siguientes integrales: a)

冮

⬁

4Ω

2

e⫺4t d(t ⫺ 2) dt

⫺⬁ ⬁

b)

冮

[5d(t) ⫹ e⫺td(t) ⫹ cos 2p td(t)] dt

20 V

⫺⬁

+ −

1Ω

+ v −

2F t=0

7.32 Evalúe las siguientes integrales: t

a)

冮 u(l) dl

a)

1 4

b)

冮

r (t ⫺ 1) dt

冮

(t ⫺ 6)2d(t ⫺ 2) dt

2F

0 5

c)

1

7.33 La tensión a a través de un inductor de 10 mH es 20d(t ⫺ 2) mV. Halle la corriente del inductor, suponiendo que éste está inicialmente descargado.

+ v − 12 V

+ −

t=0

4Ω

2A

3Ω b)

7.34 Evalúe las siguientes derivadas: d [u(t ⫺ 1)u(t ⫹ 1)] dt d b) [r (t ⫺ 6)u(t ⫺ 2)] dt d c) [sin sen 4tu(t ⫺ 3)] dt a)

Figura 7.106 Para el problema 7.39.

7.40 Halle la tensión del capacitor para t 6 0 y t 7 0 de cada uno de los circuitos de la figura 7.107.

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Capítulo 7

306

3Ω

Circuitos de primer orden

7.44 El interruptor en la figura 7.111 ha estado en la posición a durante mucho tiempo. En t = 0, se mueve a la posición b. Calcule i(t) para cualquier t > 0.

2Ω t=0

+ −

12 V

+ −

4V

+ v −

3F

a

t=0

a) t=0

4Ω 2Ω

6A

6Ω

b 30 V

+ v −

+ −

12 V

i

+ −

Figura 7.111 Para el problema 7.44. 5F

7.45 Halle vo en el circuito de la figura 7.112 cuando vs ⫽ 6u(t). Suponga que vo(0) ⫽ 1 V.

b)

Figura 7.107 Para el problema 7.40.

20 kΩ

7.41 En relación con el circuito de la figura 7.108, halle v(t) para t 7 0. vs 6Ω

12 V + −

t=0

30 Ω

1F

2F

3Ω

+ v −

+ −

10 kΩ

+ vo −

3 ␮F

40 Ω

Figura 7.112 Para el problema 7.45.

Figura 7.108 Para el problema 7.41.

7.46 En relación con el circuito de la figura 7.113, is(t) ⫽ 5u(t). Halle v(t).

7.42 a) Si el interruptor en la figura 7.109 ha estado abierto mucho tiempo y se cierra en t = 0, halle vo(t).

2Ω

b) Suponga que ese interruptor ha estado cerrado mucho tiempo y que se abre en t = 0. Halle vo(t).

2Ω 12 V + −

is

t=0

4Ω

3F

+ vo −

+ 6Ω

v –

0.25 F

Figura 7.113 Para el problema 7.46.

Figura 7.109 Para el problema. 7.42. 7.43 Considere el circuito de la figura 7.110. Halle i(t) para t < 0 y t > 0. 40 Ω

t=0

7.47 Determine v(t) para t > 0 en el circuito de la figura 7.114 si v(0) ⫽ 0. + v −

30 Ω 0.1 F

i 80 V

+ −

3F

Figura 7.110 Para el problema 7.43.

0.5i

50 Ω

3u(t − 1) A

2Ω

8Ω

Figura 7.114 Para el problema 7.47.

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3u(t) A

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Problemas

307

7.48 Halle v(t) e i(t) en el circuito de la figura 7.115.

10 Ω i

20 Ω

t=0 i

10 Ω

u(−t) A

20 V

5H 40 Ω

+ v −

0.1 F

+ −

Figura 7.118 Para el problema 7.52.

Figura 7.115 Para el problema 7.48. 7.49 Si la forma de onda de la figura 7.116a) se aplica al circuito de la figura 7.116b), halle v(t). Suponga v(0) ⫽ 0.

7.53 Determine la corriente en el inductor i(t) tanto para t < 0 como para t > 0 de cada uno de los circuitos de la figura 7.119. 2Ω

3Ω

is (A)

i

2

25 V

+ −

4H

t=0

a) 0

1 a)

t (s)

t=0

6Ω

is

4Ω

i

0.5 F

4Ω

6A

+ v −

2Ω

3H

b) b)

Figura 7.116 Para el problema 7.49 y la pregunta de repaso 7.10. *7.50 En el circuito de la figura 7.117, halle ix para t 7 0. Sean R1 ⫽ R2 ⫽ 1 k⍀, R3 ⫽ 2 k⍀ y C ⫽ 0.25 mF. t=0

Figura 7.119 Para el problema 7.53. 7.54 Obtenga la corriente del inductor tanto para t < 0 como para t > 0 de cada uno de los circuitos de la figura 7.120.

R2 ix R1

30 mA

i C

R3 4Ω

2A

Figura 7.117 Para el problema 7.50.

Sección 7.6

12 Ω

4Ω

t=0

3.5 H

a)

Respuesta de escalón de un circuito RL

7.51 En vez de aplicar el método abreviado que se empleó en la sección 7.6, aplique la LTK para obtener la ecuación (7.60). 7.52 En relación con el circuito de la figura 7.118, halle i(t) para t > 0.

i 10 V

+ −

+ −

24 V t=0

2Ω

6Ω b)

* Un asterisco indica un problema difícil.

2H

Figura 7.120 Para el problema 7.54.

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3Ω

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Capítulo 7

308

Circuitos de primer orden

7.55 Halle v(t) para t < 0 y t > 0 del circuito de la figura 7.121. io

0.5 H t=0

4u(t)

3Ω 8Ω 24 V

+ −

7.60 Halle v(t) para t > 0 en el circuito de la figura 7.125 si la corriente inicial en el inductor es de cero.

20 V

+ −

4io

+ v −

2Ω

+ −

20 Ω

8H

5Ω

+ v −

Figura 7.125 Para el problema 7.60. 7.61 En el circuito de la figura 7.126, is cambia de 5 A a 10 A en t = 0; es decir, is ⫽ 5u(⫺t) ⫹ 10u(t). Halle v e i.

Figura 7.121 Para el problema 7.55.

i

7.56 En referencia a la red que aparece en la figura 7.122, halle v(t) para t 7 0.

4Ω

is

0.5 H

+ v −

5Ω t=0

2A

12 Ω

Figura 7.126 Para el problema 7.61.

6Ω

20 Ω

0.5 H

+ v −

+ −

20 V

3Ω

u(t − 1) V

*7.57 Halle i1(t) e i2(t) para t > 0 en el circuito de la figura 7.123. i1 6Ω

6Ω i

Figura 7.122 Para el problema 7.56.

5A

7.62 En referencia al circuito de la figura 7.127, calcule i(t) si i(0) = 0.

t=0

i2

+ −

+ −

2H

u(t) V

Figura 7.127 Para el problema 7.62. 7.63 Obtenga v(t) e i(t) en el circuito de la figura 7.128.

20 Ω

5Ω 2.5 H

Figura 7.123 Para el problema 7.57.

10u(−t) V

7.58 Repita el problema 7.17 si i(0) = 10 A y v(t) ⫽ 20u(t) V. 7.59 Determine la respuesta de escalón vo(t) a vs ⫽ 18u (t) en el circuito de la figura 7.124.

i

5Ω

4H + −

20 Ω

0.5 H

+ v −

Figura 7.128 Para el problema 7.63. 7.64 Halle vo(t) para t > 0 en el circuito de la figura 7.129. 6Ω

6Ω 10 V

+ −

4Ω vs + −

3Ω 1.5 H

Figura 7.124 Para el problema 7.59.

+ vo −

3Ω

+ vo − 4H 2Ω

t=0

Figura 7.129 Para el problema 7.64.

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Problemas

309

7.65 Si el pulso de entrada de la figura 7.130a) se aplica al circuito de la figura 7.130b), determine la respuesta i(t).

vs (V)

t=0 + −

5Ω

+ −

4V

10 kΩ 10 kΩ

i

10 vs + − 0

20 Ω

2H

Figura 7.133 Para el problema 7.68.

t (s)

1

b)

a)

7.69 En relación con el circuito del amplificador operacional de la figura 7.134, halle vo(t) para t 7 0.

Figura 7.130 Para el problema 7.65.

Sección 7.7

+ vo −

25 ␮F

25 mF

Circuitos de amplificadores operacionales de primer orden

7.66 En referencia al circuito del amplificador operacional de la figura 7.131, halle vo. Suponga que vs cambia abruptamente de 0 a 1 V en t ⫽ 0.

10 kΩ

4V

t=0

20 kΩ

100 kΩ

− +

+ −

+ vo −

50 kΩ

Figura 7.134 Para el problema 7.69.

0.5 ␮F

7.70 Determine vo para t > 0 cuando vs ⫽ 20 mV en el circuito del amplificador operacional de la figura 7.135.

20 kΩ − +

t=0

+

vs + −

+ −

vo

vo

− vs

Figura 7.131 Para el problema 7.66.

5 ␮F 20 kΩ

7.67 Si v(0) ⫽ 5 V, halle vo(t) para t 7 0 en el circuito del amplificador operacional de la figura 7.132. Sea R ⫽ 10 k⍀ y C ⫽ 1 mF.

Figura 7.135 Para el problema 7.70. 7.71 En relación con el circuito del amplificador operacional de la figura 7.136, suponga que v0 ⫽ 0 y vs ⫽ 3 V. Halle v(t) para t 7 0.

R R

− + + v −

R

+ −

10 kΩ

vo

C

Figura 7.132 Para el problema 7.67.

7.68 Obtenga vo para t 7 0 para en el circuito de la figura 7.133.

10 kΩ − + vs

+ −

Figura 7.136 Para el problema 7.71.

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20 kΩ

10 ␮F

+ v −

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Capítulo 7

310

Circuitos de primer orden

7.72 Halle io en el circuito del amplificador operacional de la figura 7.137. Suponga que v(0) ⫽ ⫺2 V, R ⫽ 10 k⍀ y C ⫽ 10 mF.

Análisis transitorio con PSpice

Sección 7.8

7.76 Repita el problema 7.49 usando PSpice. C

− +

+ v − 3u(t) + −

7.77 El interruptor en la figura 7.141 se abre en t = 0. Use PSpice para determinar v(t) para t 7 0.

io R

t=0

+ v −

5Ω

100 mF 5A

Figura 7.137 Para el problema 7.72. 7.73 En referencia al circuito del amplificador operacional de la figura 7.138, sean R1 ⫽ 10 k⍀, Rf ⫽ 20 k⍀, C ⫽ 20 ␮F y v(0) ⫽ 1 V. Halle vo. Rf R1

4u(t)

+ −

20 Ω

− +

Figura 7.141 Para el problema 7.77.

+

+ −

vo

6Ω

a

−

4Ω t=0

Figura 7.138 Para el problema 7.73.

108 V

7.74 Determine vo(t) para t 7 0 para en el circuito de la figura 7.139. Sea is ⫽ 10u (t) mA y suponga que el capacitor está inicialmente descargado.

b

+ −

3Ω

i(t) 6Ω

2H

Figura 7.142 Para el problema 7.78.

10 kΩ

2 ␮F

− +

7.79 En el circuito de la figura 7.143, el interruptor ha estado en la posición a durante mucho tiempo pero se mueve instantáneamente a la posición b en t = 0. Determine io(t).

+ vo

50 kΩ

is

30 V

7.78 El interruptor en la figura 7.142 se mueve de la posición a a b en t = 0. Use PSpice para hallar i(t) para t > 0.

C + v −

6Ω

4Ω

− a

Figura 7.139 Para el problema 7.74.

t=0

3Ω

b

7.75 En el circuito de la figura 7.140, halle vo e io, dado que vs ⫽ 4u(t) V y v(0) ⫽ 1 V. + −

io 5Ω

12 V

+ −

4Ω 0.1 H

− +

4V

vo

Figura 7.143 Para el problema 7.79.

10 kΩ io

vs + −

2 ␮F 20 kΩ

+ v −

7.80 En el circuito de la figura 7.144, suponga que el interruptor ha estado en la posición a durante mucho tiempo y halle: a) i1(0), i2(0) y vo(0)

Figura 7.140 Para el problema 7.75.

b) iL(t) c) i1(⬁), i2(⬁) y vo(⬁).

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Problemas de mayor extensión

10 Ω

a i1

30 V

4 MΩ

t=0 i2

b

+ 120 V −

iL +

+ −

311

5Ω

3Ω

6Ω

vo –

4H

Lámpara de neón

6 ␮F

Figura 7.145 Para el problema 7.85. Figura 7.144 Para el problema 7.80.

7.81 Repita el problema 7.65 usando PSpice.

Sección 7.9

7.86 En la figura 7.146 aparece un circuito para fijar la duración de la tensión aplicada a los electrodos de una máquina soldadora. Ese periodo corresponde al tiempo que tarda el capacitor en cargarse de 0 a 8 V. ¿Cuál es el intervalo cubierto por la resistencia variable?

Aplicaciones

100 kΩ a 1 MΩ

7.82 Al diseñar un circuito de conmutación de señales, se halló que era necesario un capacitor de 100 ␮F para una constante de tiempo de 3 ms. ¿Un resistor de qué valor es necesario para el circuito? 7.83 Un circuito RC consta de una conexión en serie de una fuente de 120 V, un interruptor, un resistor de 34 M⍀ y un capacitor de 15 ␮F. Este circuito sirve para estimar la velocidad de un caballo que corre por una pista de 4 km. El interruptor se cierra cuando el caballo comienza a correr y se abre cuando el caballo cruza la meta. Suponiendo que el capacitor se carga a 85.6 V, calcule la velocidad del caballo. 7.84 La resistencia de una bobina de 160 mH es 8 ⍀. Halle el tiempo requerido para que la corriente aumente a 60 por ciento de su valor final cuando se aplica tensión a la bobina. 7.85 Un circuito oscilador simple de relajación se muestra en la figura 7.145. La lámpara de neón se enciende cuando su tensión llega a 75 V y se apaga cuando su tensión se reduce a 30 V. Su resistencia es de 120 ⍀ cuando está encendido e infinitamente alta cuando está apagado. a) ¿Cuánto tiempo está encendida la lámpara cada vez que el capacitor se descarga? b) ¿Cuál es el intervalo entre los destellos luminosos?

Unidad de control de la soldadora

2 ␮F

12 V

Electrodo

Figura 7.146 Para el problema 7.86. 7.87

Un generador de cd de 120 V suministra energía a un motor cuya bobina tiene una inductancia de 50 H y una resistencia de 100 ⍀. Una resistencia externa de descarga de 400 ⍀ se conecta en paralelo con el motor para evitar daños al mismo, como se muestra en la figura 7.147. El sistema se encuentra en estado estable. Halle la corriente a través de la resistencia de descarga 100 ms después de accionarse el interruptor. Interruptor del circuito

120 V

+ −

Motor

400 Ω

Figura 7.147 Para el problema 7.87.

Problemas de mayor extensión 7.88 El circuito de la figura 7.148a) puede diseñarse como un diferenciador aproximado o como un integrador, dependiendo de si la salida se toma a lo largo de la resistencia o del capacitor, y también de la constante de tiempo t ⫽ RC del circuito y de la amplitud T del pulso de entrada de la figura 7.148b). El circuito es un diferenciador si t V T, por decir t 6 0.1T, o un integrador si t W T, por decir t 7 10T.

a) ¿Cuál es la duración mínima del pulso que permitirá que la salida del diferenciador aparezca en el capacitor? b) Si la salida debe ser una integral de la entrada, ¿cuál es el valor máximo de la duración del pulso que puede adoptar?

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Capítulo 7

312

Circuitos de primer orden

vi 300 kΩ

vi

+ −

Vm 200 pF 0

a)

T

t

b)

7.91 Una estudiante de biología usa el circuito de la figura 7.150 para estudiar la “patada de la rana”. Ella notó que la rana pateaba un poco cuando el interruptor estaba cerrado, pero que pateaba con violencia durante 5 s cuando el interruptor se abría. Modele la rana como un resistor y calcule su resistencia. Suponga que se precisa de 10 mA para que la rana patee con violencia.

Figura 7.148 Para el problema 7.88.

50 Ω

7.89 Un circuito RL puede usarse como diferenciador si la salida se toma a través del inductor y t V T (por decir t 6 0.1T ), donde T es la amplitud del pulso de entrada. Si R está fija en 200 k⍀, , determine el valor máximo de L requerido para diferenciar un pulso con 200 k⍀, T ⫽ 10 ms. 7.90 Se diseñó una punta atenuadora empleada en los osciloscopios para atenuar la magnitud de la tensión de entrada vi por un factor de 10. Como se observa en la figura 7.149, el osciloscopio tiene resistencia interna Rs y una capacitancia Cs, mientras que la punta tiene una resistencia interna Rp. Si Rp está fija en 6 M⍀, halle Rs y Cs para que el circuito tenga una constante de tiempo de 15 ms. Punta +

−

Figura 7.149 Para el problema 7.90.

Rana

+ 12 V −

2H

Figura 7.150 Para el problema 7.91. 7.92 Para mover un punto a lo largo de la pantalla de un tubo de rayos catódicos se requiere un incremento lineal de la tensión a través de las placas de deflexión, tal como se indica en la figura 7.151. Dado que la capacitancia de las placas es de 4 nF, grafique la corriente que fluye por ellas. v (V) 10

Osciloscopio +

Rp

vi

Interruptor

Rs

Cs

vo −

Tiempo de subida = 2 ms

Tiempo de bajada = 5 ␮s

(no está a escala)

Figura 7.151 Para el problema 7.92.

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