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• VICTOR HUGO ANGULO LIZALDA

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SECCIÓN 8.8

8.8

587

Ejercicios

En los ejercicios 1 a 8, decidir si la integral es impropia. Explicar el razonamiento. 1 0 1

3. 0 2

5.

2

dx

1.

dx x3

2.

5x

3 2x

x2

1

1

!

5 dx 5x # 6

Redacción En los ejercicios 15 a 18, explicar por qué la evaluación de la integral es incorrecta. Usar la integración en una herramienta de gra cación para intentar evaluar la integral. Determinar si la herramienta de gra cación da la respuesta correcta.

lnsx2d dx

4. 1

6.

dx

0

sen x dx 2 4 ! #x

8.

18.

2 8 dx
1d3 9

2 sx

10.

dx

En los ejercicios 19 a 36, determinar si la integral impropia es divergente o convergente. Evaluar la integral si es convergente. !

19. 1

21.

1 dx 3d3y2

sx

3

1 0

1 dx x3

20.

3 dx x

22.

3

1

2

3

2

4

5

2

1

sx

1d2

12.

dx

sx

0

!

31.

y

0

y

x

37. 0 8

2

2

39. 0 1

0 x

e 3x dx

14.

dx

4 dx 16 # x 2

!

41.

! y

1

!

x3 dx sx # 1d2

32.

2

0

dx

ex dx 1 # ex

34. 0

!

x sen dx 2

36. 0

5

1 dx x2 1 3 ! 8

38.

dx x

x ln x dx

43.

40. 0 e

42.

45.

1

tan " d"

x

x −1

49.

dx x

ln x 2 dx

44.

2 dx x!x 2 4 1 dx 2 4 2 !x 2 1 dx 3 x ! 1 0

sec " d" 0 2

46.

2 4

47.

9

!12

0 !y2

0 4

1

10 dx x

0 12

0 !y2

y

1

sen bx dx, a > 0

ln x dx x

! x

cos ! x dx

1

e

ax

En los ejercicios 37 a 54, determinar si la integral impropia es divergente o convergente. Evaluar la integral si converge, y vericar los resultados con los obtenidos usando una herramienta de gra cación para hacer la grá ca.

x

0

e

30.

0

1

!

28.

!

2

13.

cos x dx

1 ex # e

33.

1 dx 1d 2y3

35.

2

x

1 dx xsln xd3

! ! 2

dx

0

4

x

1

x

!

e !

4

1de

0

29.

x 1

sx

26.

dx

0

10

dx

! x

!

20

xy4

xe

24. 0

x 2e

27.

2

dx

!

dx

0

30

4 4 ! x

1

4x

xe

25.

40

dx

x5

!

! !

50

!3 1

3 !

23.

y

y 4

sec x dx
0 0

csc x dx 0

4

1 !x

0

dx
0

0

! 4

11.

16.

! x

e

17.

En los ejercicios 9 a 14, explicar por qué la integral es impropia y determinar si es divergente o convergente. Evaluar las que sean convergentes.

0

2

!

cos x dx 0 !y4

!

9.

2

1 2 dx
1 x

15.

! x

e

7.

Integrales impropias

0 5

48. 0 3

50. 1

1 !25

x2

1 25

sx

x2

dx

dx

2 dx 2d8y3

CAPÍTULO 8

588

Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias

!

51. 53.

!

1 dx 2 ! x x 9 3 ! 4 dx 0 !xsx # 6d

52. 54.

1 dx 2 ! x x 25 5 ! 1 dx 1 x ln x

Desarrollo de conceptos (continuación) 1 dx % 0. x3 74. Considerar la integral

En los ejercicios 55 y 56, determinar todos los valores de p para los que la integral impropia es convergente. !

55. 1

1

1 dx xp

56. 0

3 0

2x

dx.

Área En los ejercicios 75 a 78, encontrar el área no acotada de la región sombreada.

! x

10 x2

1

Para determinar la convergencia o divergencia de la integral, ¿cuántas integrales impropias deben analizarse? ¿Qué debe ser verdadero en cada integral para que la integral dada converja?

1 dx xp

57. Usar la inducción matemática para veriÞcar que la integral siguiente converge para todo entero positivo n. x ne

1

73. Explicar por qué

dx

0

58. Prueba de comparación de integrales impropias En algunos casos, es imposible encontrar el valor preciso de una integral impropia, aunque es importante determinar si la integral converge o diverge. Suponer que las funciones f y g son continuas y que 0 ƒ(x) g(x) en el intervalo [a, !). Se puede mostrar ! que si "! a f(x) dx converge, entonces " a g(x) dx igualmente lo ! ! hace, y si " a g(x) dx diverge, entonces " a f(x) dx también diverge. Esto se conoce como la prueba de comparación de integrales impropias. a) Utilizar la prueba de comparación para determinar si x2 "! dx converge o diverge. (Sugerencia: Utilizar el 1 e hecho de que e x2 e x para x $ 1.) b) Usar la prueba de comparación para determinar si 1 dx converge o diverge. (Sugerencia: Utilizar "1! 5 x #1 1 1 el hecho de que 5 para x $ 1.) x #1 x5

75.

y
ex,

1

! 1. p21

45. For n 5 1 we have

E

4

E

b

`

xe2x dx 5 lim

b→ `

0

5 lim

b→ `

xe2x dx

0

32e

4

b

2xx

sParts: u 5 x, dv 5 e2x dxd

2 e2x

0

5 lim f2e2bb 2 e2b 1 1g b→ `

5 lim

b→ `

E

3e

2b b

2

4

1 1 1 5 1 (L’Hôpital’s Rule) eb

`

Assume that

x ne2x dx converges. Then for n 1 1 we have

0

E

E

x n11e2x dx 5 2x n11e2x 1 sn 1 1d x ne2x dx

by parts su 5 xn11, du 5 sn 1 1dxn dx, dv 5 e2x dx, v 5 2e2xd. Thus,

E

` b→

0

E

1

47.

0

32x `

xn11e2x dx 5 lim

4

b

n11e2x

E

1 sn 1 1d

0

E

`

0

1 dx diverges. x3

53. Since

x2

49.

E

`1

x3

1

E

`1 2

x

1

E

E

`

dx converges by Exercise 43,

1 1 ≥ 3 2 on f2, `d and 3 xsx 2 1d ! !x

2

1 1 5 converges. 321 2

dx 5

(See Exercise 43, p 5 3.d

1 1 ≤ 2 on f1, `d and 15 x

55. Since e2x ≤ e2x on f1, `d and

xne2x dx, which converges.

0

(See Exercise 44, p 5 3 ñ 1.d

51. Since

`

xne2x dx 5 0 1 sn 1 1d

1

E

`

2

1 dx converges. x2 1 5

E

`

1 dx diverges by Exercise 43, 3 x2 !

E

`

2

1 3 xsx 2 1d !

dx diverges.

`

e2x dx converges (see Exercise 5),

0

2

e2x dx converges.

0

E

1

57. Answers will vary. See pages 540, 543.

59.

1 3 dx 5 x 21

E

0

1 3 dx 1 x 21

E

1

0

1 dx x3

These two integrals diverge by Exercise 44. 61. f std 5 1

E

63. f std 5 t2

`

Fssd 5

0

32 1s e 4 `

b

e2st dx 5 lim b→

2st

0

1 5 ,s > 0 s

E

`

Fssd 5

3 1 s2s ` s

t 2e2st dx 5 lim b→

0

5

3

2 ,s > 0 s3

2 t2

4

2 2st 2 2de2st

b 0

Chapter 7

106

Integration Techniques, L’Hôpital’s Rule, and Improper Integrals

65. f std 5 cos at

E

`

Fssd 5

e2st cos at dt

0

3 e s2s cos at 1 a sin atd4 ` s 1a

b

2st

5 lim b→

2

2

0

s s 5 ,s > 0 s2 1 a2 s2 1 a2

501

67. f std 5 cosh at

E

`

Fssd 5

E

`

e2st cosh at dt 5

0

1e

at

e2st

0

3

5

`

3

4

4

ets2s1ad 1 ets2s2ad dt

0

4

1 1 1 et s2s1ad 1 et s2s2ad b→ ` 2 s2s 1 ad s2s 2 ad

5 lim

E3

2

1 e2at 1 dt 5 2 2

b

502

0

3

1 1 1 1 2 s2s 1 ad s2s 2 ad

4

21 1 1 s 1 5 2 ,s > a 2 s2s 1 ad s2s 2 ad s 2 a2

E

||

`

69. (a) A 5

e2x dx

(b) Disk:

0

E

`

5 lim

b→ `

3

4

b

2e2x

V5p

5 0 2 s21d 5 1

se2x d2 dx

0

0

3

4

1 5 lim p 2 e22x b→ ` 2 (c) Shell:

E

`

V 5 2p

xe2x dx

0

`5 3

4 6 5 2p

5 lim 2p 2e2xsx 1 1d b→

b 0

x2y3 1 y2y3 5 4

71.

2 21y3 2 21y3 x 1 y y9 5 0 3 3 y9 5 !1 1 sy9 d 2 5

2y1y3 x1y3

!1 1 yx

E

8

s54

0

y

8

(0, 8)

2

(−8, 0)

(8, 0) x

−8

−2

−8

2

(0, − 8)

8

2 x1y3

2y3 2y3

!x

1 y2y3 5 x 2y3

3

? 2 x 2y34b 5 48

2y3

5

dx 5 lim1 8 b→0

3

8

!x 4

2y3

5

2 x1/3

b 0

5

p 2

Section 7.8

E

Improper Integrals

`

73. Gsnd 5

xn21e2x dx

0

E E E

`

(a) Gs1d 5

32e 4 `

51

32e `

sx 1 1d

b

e2x dx 5 lim b→

0

0

`

Gs2d 5

2x

xe2x dx 5 lim b→

0

`

Gs3d 5

2x

32x e `

x 2e2x dx 5 lim

0

b→

E

b

51

0

4

b

2 2x

`

(b) Gsn 1 1d 5

4

2 2xe2x 2 2e2x

32x e 4 `

E

b

b

xne2x dx 5 lim b→

0

n 2x

52

0

1 lim n b→ `

0

xn21e2x dx 5 0 1 nGsnd

su 5 xn, dv 5 e2x dxd

0

(c) Gsnd 5 sn 2 1d!

E

`

75. (a)

1 2ty7 e dt 5 2` 7

`

0

3

4

1 2ty7 e dt 5 lim 2e2ty7 b→ ` 7

E

4

b

51

(b)

0

0

3

1 2ty7 e dt 5 2e2ty7 7

4

4

5 2e2ty7 1 1

0

< 0.4353 5 43.53%

E

`

(c)

E

3 17 e 4 dt 5 lim` 32te 2ty7

t

0

2ty7

b→

4

b

2 7e2ty7

0

501757

E E E

5

77. (a) C 5 650,000 1

25,000 e20.06t dt 5 650,000 2

0

e 3 25,000 0.06

4

5

20.06t

0

< $757,992.41

10

(b) C 5 650,000 1

25,000e20.06t dt < $837,995.15

0

`

(c) C 5 650,000 1

25,000e20.06t dt 5 650,000 2 lim

b→ `

0

e 3 25,000 0.06

4

b

20.06t

0

< $1,066,666.67

79. Let x 5 a tan u, dx 5 a sec2 u du, !a2 1 x2 5 a sec u.

E

1 dx 5 sa2 1 x2d3y2

E

E

1 a sec2 u du 5 2 cos u du a3 sec3 u a

E

`

P5k

1

5

81.

s

a2

3

1 k x dx 5 2 lim 1 x2d3y2 a b→` !a2 1 x2

x

θ a

1 1 x 5 2 sin u 5 2 a a !a2 1 x2 Hence,

a2 + x 2

4

b 1

k 1 ks!a2 1 1 2 1d 1 2 5 . a2 !a2 1 1 a2!a2 1 1

3

4

10 10 5 ⇒ x 5 0, 2. x2 2 2x xsx 2 2d You must analyze three improper integrals, and each must converge in order for the original integral to converge.

E

3

0

E

1

f sxd dx 5

0

E

2

f sxd dx 1

1

E

3

f sxd dx 1

2

f sxd dx

107

Chapter 7

108

Integration Techniques, L’Hôpital’s Rule, and Improper Integrals

83. For n 5 1,

E

`

I1 5

s

x2

0

x 1 dx 5 lim b→ ` 2 1 1d4

E

b

0

3

1 sx2 1 1d24s2x dxd 5 lim 2 1 b→ ` 6 sx2 1 1d3

For n > 1,

E

`

In 5

3

x2n21 2x2n22 lim n13 dx 5 b→ 2 n 1 2 sx 1 1d ` 2sn 1 2dsx 1 1d 2

0

E E E

`

0

(b)

0

`

(c)

0

3

1 x dx 5 lim 2 2 b→ ` sx2 1 1d4 6sx 1 1d3

`

3

1 x dx 5 sx2 1 1d5 4

2 x5 5 sx 1 1d6 5 2

E

E

`

0

`

0

b 0

1

n21 n12

E

`

0

b 0

1 5 . 6

n21 x2n23 dx 5 0 1 sI d sx 1 1dn12 n 1 2 n21 2

x 21 dx, v 5 sx2 1 1dn13 2sn 1 2dsx2 1 1dn12

u 5 x 2n22, du 5 s2n 2 2dx 2n23 dx, dv 5 (a)

4

4

4

b 0

5

1 6

12

1 1 1 x dx 5 5 sx2 1 1d4 4 6 24

1 2

2 1 1 x3 dx 5 5 sx 1 1d5 5 24 60 2

85. False. f sxd 5 1ysx 1 1d is continuous on f0, `d, lim 1ysx 1 1d 5 0, but x →`

E

`

0

3 |

1 dx 5 lim ln x 1 1 b→ ` x11

|40 5 `.

Diverges 87. True

Review Exercises for Chapter 7 1.

E

x!x2 2 1 dx 5 5

E

1 sx2 2 1d1y2s2xd dx 2

3.

E

E

x 1 2x dx 5 dx x2 2 1 2 x2 2 1

1 sx2 2 1d3y2 1C 2 3y2

5

1 ln x2 2 1 1 C 2

|

|

1 5 sx2 2 1d3y2 1 C 3

5.

E

lns2xd sln 2xd2 dx 5 1C x 2

E

1 2 e2x sin 3x dx 5 2 e2x cos 3x 1 3 3

9.

13 9

7.

E

16 !16 2 x2

dx 5 16 arcsin

e2x cos 3x dx

1

1 2 1 2x 2 5 2 e2x cos 3x 1 e sin 3x 2 3 3 3 3

E E

E

E

e2x sin 3x dx

2

1 2 e2x sin 3x dx 5 2 e2x cos 3x 1 e2x sin 3x 3 9 e2x sin 3x dx 5

e2x s2 sin 3x 2 3 cos 3xd 1 C 13

(1) dv 5 sin 3x dx ⇒ u 5 e2x

1 v 5 2 cos 3x 3

⇒ du 5 2e2x dx

(2) dv 5 cos 3x dx ⇒ u 5 e2x

v5

1 sin 3x 3

⇒ du 5 2e2x dx

14x 2 1 C

b