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• Fernando Moran Contreras

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Ejercicios de derivadas e integrales

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Departament d’Estad´ıstica i Investigacio´ Operativa Universitat de Val`encia

Derivadas Reglas de derivacion

Suma

d t [f (x) gt(x) dx + g(x)] = f (x) + d

Producto

dx d dx

Cociente

d

[kf (x)] = kft(x) [f (x)g(x)] = ft(x)g(x) + f (x)gt(x) r

f (x)

dx g(x)

l =

ft(x)g(x) − f (x)gt(x) g(x)2

d Regla de la cadena

dx d dx d

Potencia

{f [g(x)]} = f t [g(x)]g t (x) {f (g[h(x)])} = f t (g[h(x)])gt [h(x)]ht (x) (xk ) = kxk−1

(x)k−1 f t (x) dx d √ d 1/2 1 ( x) = (x ) = √ dx dx 2 x d

1

dx

x

=

d

1 (x−1) = − dx x2

d

[f (x)k ] = kf

dx d l f t (x) [ f (x)] = l dx 2 f (x) r l d 1 ft(x) =− dx f (x) f (x)2

2

Reglas de derivacion (continuacion) d

d (sin x) = cos x dx Trigonom´etricas

d − (cos x) = sin x dx d (tan x) = 1 + tan2 x dx d dx d

Funciones de arco

dx d dx

Exponenciales

dx d

(arcsin x) = √

1 1 − x2

(arc cos x) =√ (arctan x) =

−1 1 − x2 1

1 + x2

d x x dx (e ) = e d x (a ) = ax ln a dx d

Logar´ıtmicas

dx

(ln x) =

1 x

d 1 1 a dx (lg x) = x ln a

dx d

[sin f (x)] = cos f (x)ft(x) t [cos f (x)] = − sin f (x)f (x)

[tan f (x)] = [1 + tan2 f (x)]f

t

(x) dx d f (x) [arcsin f (x)] =l t dx 1 − f (x)2 d −f (x) [arc cos f (x)] =l t dx 1 − f (x)2 d

f (x ) [arctan f (x)] = t dx 1 + f (x)2 d f (x) (e ) = ef (x) f t (x) dx d f (x) (a ) = af (x) ln af t (x) dx d

f ( x) (ln f (x)) = t dx f (x) d ft(x) 1 a f (x)) = (lg dx f (x) ln a

Ejercicios de derivadas 1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l ´ıneas tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´on.- a) 3/4, b) 3. 2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l ´ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´on.- a) -4, b) -1. 3. Hallar la derivada de la funci´on y = x4 + 3x2 − 6. Soluci´on.- yt = 4x3 + 6x. 4. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x3 − x2. Soluci´on.- yt = 18x2 − 2x. 5

5. Hallar la derivada de la funci´on y = x − Soluci´on.- yt = 5x − 2x 4 . a+b

x

.

a+b

2

a−b

a−b 3

2

−x +1 5

6. Hallar la derivada de la funci´on y = x 2

.

3x− 5

Soluci´on.- y = 2x . 2 7. Hallar la derivada de la funci´on y = 2ax3 −b x + c. t

Soluci´on.- yt = 6ax2 − b

2x

. 7

5

8. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x 2 + 4x 2 + 2x. 5

3

Soluci´on.- yt = 21x 2 + 10x 2 + 2.

√ √ 9. Hallar la derivada de la funci´on y = 3x + 3 x + 1 . x Soluci´on.- yt = √ + 1 3 − 1 . √ 2 x

10.

3

√3

2 x2 x

Hallar la derivada de la funci´on y3 =

Soluci´on.- yt =

2 3(x+1) (x−1)

2x

5 2

x

3

x

√3

3

ax

√3

x 3 3

−

bx− 5 + x− 7 . 2

2

.

6

√ x2 − 2 x + 5. √3

2

x

12.Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´on.- yt = 5 ax 2

(x+1)

.

11. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´on.- yt = √2 1 √− 1 . 3

2 3

x b √ . √− x x x

+

1 6

13.Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 4x3)(1 + 2x2). Soluci´on.- yt = 4x(1 + 3x + 10x3). 14.Hallar la derivada de la funci´on y = x(2x − 1)(3x + 2). Soluci´on.- yt = 2(9x2 + x − 1).

15.Hallar la derivada de la funci´on y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3). Soluci´on.- yt = 6x2 − 26x + 12. 16.Hallar la derivada de la funci´on t

Soluci´on.-y

3 2 −x 2 4x (2b )

=

(b2 −x2 )2

y

=

4

2x . b2 −x2

.

17.Hallar la derivada de la funci´on y =a+a−x . x

2a Soluci´on.- yt = − . (a+x) 2

3

18. Hallar la derivada de la funci´on f (t) 1+t = t 2. 2

2

t (3+t

Soluci´on.- ft(t) (1+t = 2

.

)2

2 (s+4)

19.Hallar la derivada de la funci´on f (s) = s+3 Soluci´on.- ft(s) =

(s+2)(s+4) (s+3 )2

20. y Soluci´on.-

t

4

=

3

. 3

y

2

.

Hallar la derivada de la funci´on = 2x +1

x −2x −6x −2x+1 (x2 −x−2)2

x −x−2

.

21.Hallar la derivada de la funci´on y = (2x2 − 3)2. Soluci´on.- yt = 8x(2x2 − 3). 22. Hallar la derivada de la funci´on y = (x2 + a2)5. Soluci´on.- yt = 10x(x2 + a2)4. √ 23. Hallar la derivada de la funci´on y = x2 + a2. Soluci´on.- yt = √

x 2

x +a2

.

√ 24. Hallar la derivada de la funci´on y = (a + x) a − x. a−3x Soluci´on.- yt = √ . 2 x

a−

25. Hallar la derivada de la funci´on y = /

1+x

.

1−x

Soluci´on.- yt =

1 √ (1−x)

.

1−x 2

26. Hallar la derivada de la funci´on y =√2x2 −1 . x 1+x2

Soluci´on.- y = t

1+4x

2

3

x2 (1+x2 )

.

2

27. Hallar la derivada de la funci´on y = Soluci´on.- yt = √32x+1 . 2 2 3

√3

x2 + x + 1.

(x +x+1)

28. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 1

Soluci´on.- y t = r1 +√ \ .

3

x

2

√3

x)3.

.

29.

Hallar la derivada de la funci´on y = sin2 x.

Soluci´on.- yt = sin 2x. 30.

Hallar la derivada de la funci´on y = 2 sin x + cos 3x.

Soluci´on.- yt = 2 cos x − 3 sin 3x. 31.Hallar la derivada de la funci´on y = tan(ax + b). Soluci´on.- yt = cos2 a

.

(ax+b)

32.

Hallar la derivada de la funci´on y = sin x . 1+cos x

1 Soluci´on.- yt =1+cos . x

33.

Hallar la derivada de la funci´on y = sin 2x cos 3x.

Soluci´on.- yt = 2 cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x. 34.

Hallar la derivada de la funci´on y = cot2 5x.

Soluci´on.- yt = −10 cot 5x csc2 5x. 35. t.

Hallar la derivada de la funci´on f (t) = t sin t + cos

Soluci´on.- ft(t) = t cos t. 36.

Hallar la derivada de la funci´on f (t) = sin3 t cos t.

Soluci´on.- ft(t) = sin2 t(3 cos2 t − sin2 t). √ 37. Hallar la derivada de la funci cos 2x. ´on y = a a sin Soluci´on.- yt = √ − cos

38.

2x

.

2x

Hallar la derivada de la funci´on y = 1 tan2 x. 2

Soluci´on.- yt = tan x sec2 x. 39.

Hallar la derivada de la funci´on y = ln cos x.

Soluci´on.- yt = − tan x. 40.

Hallar la derivada de la funci´on y = ln tan x.

Soluci´on.- yt =sin2

.

2x

41.Hallar la derivada de la funci´on y = ln sin2 x. Soluci´on.- yt = 2 cot x. 42.

Hallar la derivada de la funci´on y = tan sec

Soluci´on.- y = sin x + cos x. t

43.

x−1

.

x

Hallar la derivada de la funci´on y = ln /

1+sin x

1−sin x

Soluci´on.- yt =cos1

.

x

44.

Hallar la derivada de la funci´on f (x) = sin(ln x).

Soluci´on.- ft(x) =

cos(ln x) x

.

.

45. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = tan(ln x). 2 sec

Soluci´on.- ft(x) =

(ln x)

x

.

46. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = sin(cos x). Soluci´on.- ft(x) = − sin x cos(cos x). 47. Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1+x . t

Soluci´on.-y

1−x

2

=

.

1−x2

48. Hallar la derivada de la funci´on y = log3(x2 − sin x). t Soluci´on.= 2 2x−cos x . y (x −sin x) ln 3

2

49. t

Soluci´on.-y

=

4x

1−x4

y

.

Hallar 1+la x 2derivada de la funci´on = ln 1−x

50. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x2 + x). Soluci´on.- yt =x2x+1 . 2 +x

51.Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x3 − 2x + 5). 2

Soluci´on.- t = 33x −2 . x −2x+5 y 52. Hallar la derivada de la funci´on y = x ln x. Soluci´on.- yt = ln x + 1. 53. Hallar la derivada de la funci´on y = ln3 x. 2

Soluci´on.- ty = 3xln x √ . 54. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x + 1 + x2). Soluci´on.- yt = √ 1 . 1+x2

55. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(ln x). 1 Soluci´on.- yt =x ln

.

x

56. Hallar la derivada de la funci´on y = e(4x+5). Soluci´on.- yt = 4e(4x+5). 2

57. Hallar la derivada de la funci´on y = ax . Soluci´on.- yt = 2xax

2

ln a.

58. Hallar la derivada de la funci´on y = 72 (x +2x). 2

Soluci´on.- yt = 2(x + 1)7(x

+2x)

ln 7.

59. Hallar la derivada de la funci´on y = ex(1 − x2). Soluci´on.- yt = ex(1 − 2x − x2). 60. Hallar la derivada de la funci´on y e=x e x

Soluci´on.- y t

x

2e =(ex +1) 2.

+1

−1

.

.

61.Hallar la derivada de la funci´on y = esin x. Soluci´on.- yt = esin x cos x. 62.

Hallar la derivada de la funci´on y = atan

Soluci´on.- y = na t

63.

tan nx

nx

.

sec nx ln a. 2

Hallar la derivada de la funci´on y = ecos x sin x.

Soluci´on.- yt = ecos x(cos x − sin2 x). 64.

Hallar la derivada de la funci´on y = ex ln(sin x).

Soluci´on.- yt = ex(cot x + ln(sin x)). 1

Hallar la derivada de la funci´on y = x x . ( 1 ty = x x −1 Soluci´on.) x2 ln x . 66. Hallar la derivada de la funci´on y = xln x.

65.

Soluci´on.- yt = xln 67.

x−1

ln x2.

Hallar la derivada de la funci´on y = xx.

Soluci´on.- yt = xx(1 + ln x). 68.

x

Hallar la derivada de la funci´on y = ex . x

Soluci´on.- yt = ex (1 + ln x)xx.

Integrales Tabla de integrales inmediatas r

xpdx =

xp+1 p+1

+C

r (p =/

−1) r

r 1 x

dx = ln |x| + C

r

f (x)pft(x)dx =

f(x)p+1 p+1

+C

(p =/

−1)

ft(x) f (x)

dx = ln |f (x)| + C

r ft(x) sin f (x)dx = − cos f (x) + C

sin xdx = − cos x + C r

r ft(x) cos f (x)dx = sin f (x) + C

cos xdx = sin x + C r

r

1 cos2 x

r

dx = tan x + C

sin2 x r

dx = − cot x + C

1 + x2 √

dx = arctan x + C

1 1 − x2

dx = arcsin x + C

dx = tan f (x) + C

ft(x) sin2 f (x)

r

1

r

cos2 f (x) r

1

ft(x)

dx = − cot f (x) + C

ft(x) 1 + f (x)2

r l

dx = arctan f (x) + C

ft(x) 1 − f (x)2

dx = arcsin f (x) + C

1 0

Tabla de integrales inmediatas (continuacion) −1

r C r

√

dx = arc cos x +

1 − x2

axdx =

t

r

ax ln a

r

+C

f t (x)ef (x) dx = ef (x) + C

f t (x)af (x) dx =

Ejercicios de integrales indefinidas [ 1. Calcular la integral x5dx. x6 Soluci´on.- + C. 6 [ √ 2. Calcular la integral (x + x)dx. 2 x 2x√ x Soluci´on.+ + C. 2 3 √ 3 x x 3. Calcular la integral[ √ − dx. 4 x √ 1 √ 2 Soluci´on.- 6 x − x x + C. 10 [ x2 4. Calcular la integral √ dx. x Soluci ´on.-

√

2

x + C.

2

1[ 5x 5. Calcular la integral 1 Soluci´on.- − 3

8 x

dx = arc cos f (x) +

lC 1 − f (x)2

exdx = ex + C r

−f (x)

r

4 + √ +2 x x

x2

− √ + 2x + C. x

dx.

f a(x)

ln a

+C

6. Calcular la integral Soluci ´on.-

[1

dx. √x 4

4 3 √4 x + C.

1 1

[ 7. Calcular la integral e5xdx. 1 5x e + C. Soluci 5 ´on.[ 8. Calcular la integral cos 5xdx. sin 5x Soluci + C. ´on.5 [ 9. Calcular la integral sin axdx. cos ax + C. Soluci´on.a − [ ln x 10. Calcular la integral dx. x Soluci ´on.-

1 ln2 x + C. 2 [ 1 11. Calcular la integral dx. sin2 3x Soluci´on.- cot 3x + C. − 3 [ 1 12.Calcular la integral dx. cos2 7x Soluci ´on.-

tan 7x 7

+ C.

13.Calcular la integral

[ 1

dx. 3x − 7

1

Soluci ´on.-

ln |3x − 7| + C. 3 [1 14.Calcular la integral dx. 1−x Soluci´on.- − ln |1 − x| + C. [ 1 15.Calcular la integral dx. 5 − 2x 1 Soluci´on.- − ln |5 − 2x| + C. 2 [ 16.Calcular la integral tan 2xdx. 1 Soluci´on.- − ln | cos 2x| + C. 2 17. Calcular la integral [ sin2 x cos xdx. sin3 Soluci ´on.-

x

+ C. 3 18. Calcular la integral [ cos3 x sin xdx.

Soluci´on.−

cos4 x + C. 4

1 2 [ √ 19.Calcular la integral x x2 + 1dx. 1l (x2 + 1)3 + C. Soluci 3 ´on.x [ 20. lcular laCa integral dx. 2 √ 2x + 3 1l 2 2 x + 3 + C. Soluci 2 ´on.[ cos x 21.Calcular la integral dx. sin2 x 1 Soluci´on.- − + C. sin x [ sin x 22. Calcular la integral dx. cos3 x Soluci ´on.-

1 + C. 2 cos2 x [ tan x 23. Calcular la integral dx. cos2 x tan2 Soluci x + C. ´on.2 [ cot x 24. Calcular la integral dx. sin2 x cot2 x

Soluci´on.−

2

+ C.

25. Calcular la integral

[ ln(x + 1)

x+1 2 ln (x + + C. 1) 2

Soluci ´on.-

dx.

cos x √ 26. [ 2 sin lcular + 1 Ca la integral x Soluci´on.- 2 sin x + 1 + C. √

27. 3

dx.

Calcular la integral (1 + cos 2x)2 Soluci´on.-

[

sin 2x

dx.

1 2(1 + cos 2x) 28. l

l Calcular la integral 1 + sin2 x

1 + sin2 x + C. √ [tan x + 1 29. Calcular la integral dx. cos2 2 x l Soluci (tan x + 1)3 + C. ´on.Soluci´on.- 2

1 3

+ C. [

sin 2x

dx.

2

30.

Calcular la integral x 3 + C. ln Soluci x ´on.3

[ ln x

dx.

[ arcsin x 31.Calcular la integral √ dx. 2 1−x 2 + C. arcsin Soluci x ´on.2 32.

[x Calcular la integral dx. x2 + 1 1

Soluci ´on.-

2

ln(x2 + 1) + C.

33.

Calcular la integral x2 + 2x + 3 1

Soluci ´on.-

2

dx.

ln(x2 + 2x + 3) + C.

34.

Calcular la integral 1 2x e + C. Soluci 2 ´on.-

35.

[ x+1

[

[

Calcular la integral 2

e2xdx.

e x dx.

x

Soluci´on.- 2e 2 + C. 36.

Calcular la integral

[

esin x cos xdx.

Soluci´on.- esin x + C. 37.

Calcular la integral 3xex ln 3 + + C. 1

Soluci ´on.38.

Calcular la integral 1 3x + C. Soluci´on.- − 3 e−

39.

[

[

Calcular la integral

Soluci ´on.-

1 x2 e 2

40. 1 Soluci´on.- √ arctan(

+4x+3

3xexdx.

e−3x dx.

[

ex2

(x + 2)dx.

+ C.

Calcular la integral 1 + 2x2 √ 2x) + C.

2 1

dx. 1 − 3x2 √

41.Calcular la integral [ √ 1

+4x+3

[ 1

dx.

Soluci´on.- √ arcsin(

3x) + C. 3

1 4 1 Calcular la integral √ 9 − x2 x Soluci´on.- arcsin + C. 3 [1 43. Calcular la integral dx. 4 + x2 [

42.

Soluci ´on.-

1 x 2 arctan 2

+ C.

dx.

15

Integraci´on por partes Recordemos la f´ormula de la deriva del producto de funciones d t t dx [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x), que expresada bajo forma de diferencial da lugar a d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)]. De donde se obtiene,

u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)].

Integrando ahora ambos miembros tendremos r r v(x)d[u(x)], u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) − que se escribe tambi´en en forma abreviada, r udv = uv −

r vdu.

(1)

Esta expresio´n [ es conocida como la f´ormula de la integraci´on por partes y es de[gran partir depara utilidad la resoluci´on de integrales. Se aplica a la resoluci´on las integrales udv a la integral vdu que se supone m´as sencilla. La aplicaci´on de (1)deexige primero identificar adecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo Ejemplo 1 Si queremos calcular la integral r x3 ln xdx, observemos que la integral de x3 es inmediata y que la derivada de ln x es tambi´en muy sencilla. As´ı, si asignamos u = ln x y dv = x3dx, tendrem 4 os dx x du = y v= +C , 1 x 4 si integramos x3 ln xdx l ahora r r x r = + C 4 1 ln x 4 d 4 + x C1 4

=

4 + x C1 4

=

4

= x

ln x −

x

4

ln x −

4

ln −

x

16

+ C.

r

r

+ 4 x C1 4

dx x

C1 3 x + dx x 4

1 6 Observemos que la primera constante de integraci´on C1 se cancela de la

respuesta final (C1 ln x− C1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´actica, nunca incluimos una constante de integracio´n en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquier primitiva de dv(x).

16

Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes [

[

[

[

xnexdx

u = xn

d = exdx v

xn cos xdx

u = xn

d = cos xdx v

arctan xdx u = arctan x d = dx v ln xdx

u = ln x

[

[

[

xn sin xdx u = xn

d = sin xdx v

xn ln xdx

d = xndx v

arcsin xdx u = arcsin x d = dx v

d = dx v

Ejercicios de integraci´on por partes 1. Calcular la integral

[

xexdx.

Soluci´on.- xex − ex + C. [ 2. Calcular la integral ln xdx. Soluci´on.- x ln x − x + C. [ 3. Calcular la integral x2e3xdx. + C. 2 Soluci´on.- e3x x − 2x+ 2 3 9 27 4. Calcular la integral

[ (

x3 e−x dx.

) Soluci´on.- −e−x x3 + 3x2 + 6x + 6 + C. [ 5. Calcular la integral x sin xdx. Soluci´on.- −x cos x + sin x + C. [ 6. Calcular la integral x2 cos 2xdx. 2 x sin 2x x cos 2x 1 Soluci´on.+ − sin 2x + C. 2 2 4 [ x 7. Calcular la integral e sin xdx. x

Soluci´on.−

8. Calcular la integral Soluci´on.- e

x

e cos x + e sin x + C. 2

x3

3

(x3

[

x5ex3 dx.

1) + C.

u = ln x

17

Ejercicios de integrales definidas y c´alculo de ´areas 1. Calcular la integral definida 0 1 Soluci´on.- . 5 [1 2. Calcular la integral definida exdx. 0

Soluci´on.- e − 1.

[π 3. Calcular la integral definida 0 2 sin xdx. Soluci´on.- 1. 4. Calcular la integral definida Soluci´on.-

π 4

.

[ 0

1

1

dx.

1 + x2

[

1

x4dx.

5. Hallar el ´area de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x2 y el eje X. 2 Soluci´on.- 10 . 3 6. Hallar el ´area de la figura comprendida entre las curvas y2 = 9x e y = 3x. 1 Soluci´on.- . 2 7. Hallar el ´area de la figura limitada por la hip´erbola equil´atera xy = a2, el eje X y las rectas x = a y x = 2a. Soluci´on.- a2 ln 2.