• Author / Uploaded
• rodrigo

Citation preview

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

EJERCICIOS DE INTEGRACION INDEFINIDA 1 2

𝟏

1. ∫ √𝒚 + 𝒅𝒚 = ∫ 𝑦 + ∫ 𝒚

2. ∫(𝒙 − 𝟐)𝟒 𝒅𝒙 = 𝟐

𝟓 𝟑

(𝑥−2)5 5

𝟑

𝑑𝑦 𝑦

2

3

= 𝑦 2 + ln|𝑦| + 𝑐 3

+ 𝑐. 2

5 3

3

3

2

8 3

3. ∫(𝟔𝒙 − 𝟐) 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(6𝑥 − 1) 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = (6𝑥 − 2) 8

𝑥4 4

+𝑐

8 3 (6𝑥 2 − 2)3 𝑥 4 + 𝑐 32 𝟏

1

7

5. ∫(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏)𝟓 𝒅𝒙 = ∫((𝑥 + 1)2 )5 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 + 1)5 = 7 5 (𝑥 + 1)5 + 𝑐 7

6. ∫(𝒙 + 𝟒)(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝒅𝒙 = ∫(𝑥 3 + 6𝑥 2 + 14𝑥 + 24)𝑑𝑥 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 14𝑥𝑑𝑥 + ∫ 24𝑑𝑥 𝑥4 + 2𝑥 3 + 7𝑥 2 + 24𝑥 + 𝑐 4 7. ∫(𝒚√𝒚)√𝒚 𝒅𝒚 =

∫(√𝑦𝑦 2 )

2

√𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑦 𝑑𝑦 =

𝑦3 3

+𝑐

9. ∫(𝒙 − 𝟑)(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 2𝑥 − 15 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥 3 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 − ∫ 15𝑑𝑥 𝑥 5 2𝑥 4 2𝑥 3 2𝑥 2 − − + + 15𝑥 + 𝑐 5 4 3 2 𝑥 5 𝑥 4 2𝑥 3 − − + 𝑥 2 − 15𝑥 + 𝑐 5 2 3

Página 1

ANALISIS MATEMATICO II

10. ∫

𝒙𝟑 +𝟒𝒙𝟐 −𝟑𝒙−𝟑 𝒙𝟑

INTEGRACION

𝒅𝒙 = ∫

∫ 𝑑𝑥 + 4 ∫

𝑥3

4𝑥 2

𝑥

𝑥3

3 𝑑𝑥 + ∫

𝑥 + 4𝑙𝑛|𝑥 | + 𝟑𝒙𝟑

3𝑥

3

𝑥

𝑥3

3 𝑑𝑥 − ∫

𝑑𝑥

𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥 𝑥

𝑥 + 4𝑙𝑛|𝑥 | + 3𝑥

11. ∫

𝑑𝑥 − ∫

−1

3𝑥 −2 + +𝑐 2

3 3 + 2+𝑐 𝑥 2𝑥

−1

√𝒙𝟒 +𝟏

−1

𝒅𝒙 = ∫ 3𝑥 3 (𝑥 4 + 1) 2 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 ∫(𝑥 4 + 1) 2 𝑑𝑥 1 1 3 4 3 𝑥 2(𝑥 4 + 1)2 = 𝑥 4 (𝑥 4 + 1)2 4 2

𝒙𝟐

12. ∫ 𝟑

−5

√(𝒙𝟑 −𝟏)𝟓

−5

𝒅𝒙 = ∫ 𝑥 2 (𝑥 3 − 1) 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 ∫(𝑥 3 − 1) 3 𝑑𝑥 2 𝑥3 3 3 𝑥3 3 −23 (𝑥 − 1) = − (𝑥 − 1)−3 3 2 2

𝟓 𝟏 (𝒙𝟑 −𝟏)

13. ∫

𝟐

1

5

2

1

5

2

𝒅𝒙 = ∫ (𝑥 3 − 1) 𝑥 −3 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 3 − 1) 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥

𝒙𝟑 5 1 1 1 (𝑥 3 − 1) 𝑥 3 2 𝟐𝒙

15. ∫ √𝟒+𝒙

1

1

𝒅𝒙 = ∫ 2𝑥 (4 + 𝑥 )−2 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥 ∫(4 + 𝑥 )−2 𝑑𝑥 1 1 2 2 𝑥 2(4 + 𝑥 )2 + 𝑐 = 2𝑥 2 (4 + 𝑥 )2 + 𝑐 2

Página 2

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

17. ∫(𝒍𝒏𝒙 + 𝟏)𝒆𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒙 Sol: 𝑣 = 𝑥𝐿𝑛𝑥 𝑣 ′ = 𝑥 ′ 𝐿𝑛𝑥 + 𝑥𝐿𝑛′ 𝑥 𝑣 ′ = (𝐿𝑛𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝑑𝑣 = (𝐿𝑛𝑥 + 1)𝑑𝑥 . ∫(𝑙𝑛𝑥 + 1)𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 19. ∫ 𝒃𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙 Sol: 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑣 ′ = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 ∫𝑏

𝑠𝑒𝑛2𝑥

1 𝑏 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑏 𝑑𝑣 = +𝑐 2 𝑙𝑛𝑏

𝒆−𝒃𝒙 𝒅𝒙

21. ∫ 𝟏−𝒆−𝒃𝒙 Sol 𝑣 ′ = 1 − 𝑒 −𝑏𝑥

𝑣 ′ = −𝑏𝑥

𝑣 ′ = −𝑒 −𝑏𝑥 𝑑𝑥

− 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

1

𝑏

−𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑏𝑥 𝑑𝑥 𝑒 −𝑏𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 1 ∫ = ∫ = 𝐿𝑛|1 − 𝑒 −𝑏𝑥 | + 𝑐 −𝑏𝑥 −𝑏𝑥 1−𝑒 1−𝑒 𝑏

Página 3

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝒙𝟑 −𝟏

23. ∫ 𝟒 𝒅𝒙 𝒙 −𝟒𝒙+𝟏 Sol: 𝑣 ′ = 𝑥 4 − 4𝑥 + 1 𝑣 ′ = 4𝑥 3 − 4 𝑣 ′ = 4(𝑥 3 − 1)𝑑𝑥 𝑥3 − 1 1 𝑑𝑢 1 ∫ 4 𝑑𝑥 = ∫ 4 = 𝑙𝑛|𝑥 4 − 4𝑥 + 1| + 𝑐 𝑥 − 4𝑥 + 1 4 𝑥 − 4𝑥 + 1 4

𝟏𝟖𝒅𝒙

25. ∫ 𝟐 𝒙 +𝟒𝒙−𝟓 Sol: 18𝑑𝑥

18𝑑𝑥

𝑑𝑥

∫ 𝑥 2 +4𝑥−5 = ∫ (𝑥+2)2 −32 = 18 ∫ (𝑥+2)2 −32 = 3𝐿𝑛 |

27. ∫

1.18 2.3

𝐿𝑛 |

𝑥−1 𝑥+5

|+𝑐

𝑥−1 |+𝑐 𝑥+5

𝟒𝒅𝒙 √𝟒𝒙𝟐 −𝟐𝟎𝒙+𝟗

Sol: ∫

4𝑑𝑥 √4𝑥 2 − 20𝑥 + 9

=∫

4𝑑𝑥 √(2𝑥 + 5)2 − 42

4𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

= 4∫

(2𝑥 + 5) +𝑐 4

Página 4

𝑑𝑥 √(2𝑥 + 5)2 − 42

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝒅𝒙

29. ∫ 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙

√𝟏+𝒕𝒈𝒙

Sol:𝑣 ′ = 1 + 𝑡𝑔𝑥 𝑣′ = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

√1+𝑡𝑔𝑥

=∫

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 √1+𝑡𝑔𝑥

=∫

𝑑𝑣 √1+𝑡𝑔𝑥

1

= ∫(1 + 𝑡𝑔𝑥)−2 𝑑𝑣

2√1 + 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 𝒍𝒏𝒙

31. ∫ 𝒅𝒙 𝒙(𝟏+𝒍𝒏𝟐 𝒙) Sol: 𝑣′ = 1 + 𝑙𝑛2 𝑥 1 𝑣′ = 2𝐿𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝐿𝑛𝑥 2 𝑥 ∫

𝑙𝑛𝑥 1 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = ∫ 𝐿𝑛𝑥 = ∫ 𝑥 (1 + 𝑙𝑛2 𝑥 ) 2 1 + 𝑙𝑛2 𝑥 𝑥 2 1 + 𝑙𝑛2 𝑥

1 𝐿𝑛|1 + 𝑙𝑛2 𝑥 | + 𝑐 2

33. ∫

𝑳𝒏𝒙−𝟏 𝑳𝒏𝟐 𝒙

𝒅𝒙

Sol:

Página 5

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝒙

35. ∫ 𝒆𝒙+𝒆 𝒅𝒙 Sol: 𝑣′ = 𝑒 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

∫ 𝑒 𝑥+𝑒 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥 𝑒 𝑒 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑒 + 𝑐 37. ∫

𝒙𝒅𝒙 √𝟏−𝒙𝟒

Sol:𝑣 = 1 − 𝑥 2 𝑣 ′ = −2𝑥𝑑𝑥 1 − 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 2 ∫

xdx √1 − x 4

=∫

𝑥𝑑𝑥

1 𝑑𝑣 =− ∫ 2 √1 − (𝑥 2 )2 √1 − (𝑥 2 )2

1 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 2 + 𝑐 2 𝑑𝑥

39. ∫ 𝑥√4−9𝐿𝑛2 𝑥 Sol:𝑣 = 2 − 3𝐿𝑛𝑥 𝑣 ′ = −3 −

1 𝑑𝑣 3

∫

=

𝑑𝑥 𝑥

𝑑𝑥 𝑥

𝑥𝑑𝑥 √22 − (3𝐿𝑛𝑥 )2

=∫

𝑑𝑣 √22 − (3𝐿𝑛𝑥 )2

Página 6

=

1 3𝐿𝑛𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 2 + 𝑐 3

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

3𝑑𝑥

41. ∫ 𝑥√4𝐿𝑛2 𝑥+9 Sol: 𝑣 = 2𝐿𝑛𝑥 + 3 1 𝑣 ′ = 2 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 2 𝑥 3𝑑𝑥

1

∫ 𝑥√4𝐿𝑛2 𝑥+9 = 2 ∫

𝑑𝑣 √(2𝐿𝑛𝑥)2 +32

1

= 𝐿𝑛|2𝐿𝑛 + √4𝐿𝑛2 𝑥 + 9| + 𝑐 2

𝑑𝑥

49. ∫ 𝑥 𝑒 +4 Sol: 𝑣 = 1 + 4𝑒 −𝑥 𝑣 ′ = −4𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 1 − 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 4 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑𝑣 1 ∫ = − ∫ = − 𝐿𝑛|1 + 4𝑒 −𝑥 | + 𝑐 −𝑥 1 + 4𝑒 4 𝑣 4

Página 7

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 1.

∫ 𝟑𝒙√𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙 Sol: 𝒗′ = 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 𝒗′ = −𝟒𝒙𝒅𝒙 𝟏 − 𝒅𝒗 = 𝒙𝒅𝒙 𝟒 𝟏

∫ 𝟑𝒙√𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟑 ∫ 𝒙 (𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 )𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 ∫(𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 )𝟐 𝒙𝒅𝒙 = −𝟑 ∫(𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 )𝟐 𝒅𝒗 𝟒 − 2.

𝟑𝟐 𝟏 𝟑 𝟑 (𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 )𝟐 + 𝒄 = − (𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 )𝟐 + 𝒄 𝟒𝟑 𝟐 𝟏

∫ 𝟑𝒙𝒏−𝟏 (𝟓 + 𝟐𝒙𝒏 )𝟐 𝒅𝒙 Sol: 𝒗′ = 𝟓 + 𝟐𝒙𝒏 𝒗′ = 𝟐𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝟏 𝒅𝒗 = 𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝟐𝒏 𝟑 𝟏 ∫(𝟓 + 𝟐𝒙𝒏 )𝟐 𝒅𝒗 𝟐𝒏 𝟔 𝟏 𝟑 𝟑 (𝟓 + 𝟐𝒙𝒏 )𝟐 + 𝒄 = (𝟓 + 𝟐𝒙𝒏 )𝟐 + 𝒄 𝟔𝒏 𝒏 𝟏

∫ 𝟑𝒙𝒏−𝟏 (𝟓 + 𝟐𝒙𝒏 )𝟐 𝒅𝒙 =

3.

∫

(𝟐−√𝐱) √𝐱

𝟐

𝐝𝐱

𝒔𝒐𝒍: 𝒗′ = 𝟐 − √𝒙 𝟏 𝟏 𝒗′ = − 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 −𝟐𝒅𝒗 = 𝒙−𝟐 𝒅𝒙

∫

(𝟐 − √𝒙) √𝒙

𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 = ∫(𝟐 − √𝒙) 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 = − (𝟐 − √𝒙) + 𝒄 𝟑 Página 8

ANALISIS MATEMATICO II 4.

√𝒙

INTEGRACION

𝟑

∫ ( 𝒙 − 𝟑 √𝒙𝒙 + 𝟕) 𝒅𝒙 𝒔𝒐𝒍: 𝟏

𝟒

𝟏

𝟒

∫ (𝒙−𝟐 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟕) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 − 𝟑 ∫ 𝒙𝟑 𝒅𝒙 + 𝟕 ∫ 𝒅𝒙 𝟗 𝟕 𝟏 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝟕𝒙 + 𝒄 𝟕 5.

𝟓 𝟐

𝟑 𝟐

∫ √𝒙 (𝒙 + 𝟕) 𝒅𝒙 𝟑

Sol:𝒗′ = 𝒙𝟐 + 𝟕 𝟑 𝟏 ′ 𝒗 = 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝒅𝒗 = 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟑 𝟑 𝟐

𝟓 𝟐

𝟓 𝟐

𝟑 𝟐

𝟏

∫ √𝒙 (𝒙 + 𝟕) 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙 + 𝟕) 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟓 𝟕 𝟐 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ (𝒙 + 𝟕) 𝒅𝒗 = (𝒙 + 𝟕) + 𝒄 𝟑 𝟐𝟏

6.

𝟑

∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 √𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 Sol:𝒗′ = 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒗′ = −𝟑𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙 𝟏 − 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙 𝟑 𝟏

𝟑

∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙√𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝟑 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 𝟒 − ∫(𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝟑 𝒅𝒗 = − (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝟑 + 𝒄 𝟑 𝟒

Página 9

ANALISIS MATEMATICO II 7.

INTEGRACION

𝟏

∫(𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 )−𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 Sol: 𝒗′ = 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 𝒗′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒗 = (𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙)𝒅𝒙 𝟏

𝟏

∫(𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 )−𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 )−𝟐 𝒅𝒗 𝟏

𝟐(𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 )𝟐 + 𝒄 = 𝟐√𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒄 8.

𝟑

∫(𝒍𝒐𝒈𝒙)𝟐

𝒅𝒙 𝒙

Sol: 𝒗′ = 𝒙 𝒗′ = 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 𝟑

∫(𝒍𝒐𝒈𝒙)𝟐 9.

∫

𝟓−√𝒙 √𝒙

𝒅𝒙 𝟐 𝟓 = (𝒍𝒐𝒈𝒙)𝟐 + 𝒄 𝒙 𝟓

𝟑 𝟐 (𝟓√𝒙 ) 𝒅𝒙

Sol: 𝟏

𝒗′ = 𝒙𝟐 𝟏 𝟏 𝒗′ = 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 𝟐𝒅𝒗 = 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 ∫

𝟓− √ 𝒙 √𝒙

𝟑 𝟐 (𝟓√𝒙 ) 𝒅𝒙 𝟑

𝟐 ∫(𝟓√𝒙 )𝟐

𝒅𝒗 𝟓√ 𝒙

𝟑

=

𝟏

𝟏

𝟐 ∫(𝟓√𝒙 )𝟐 𝒙−𝟐 𝒅𝒙

𝟓√ 𝒙

𝟑 𝟒 𝒙 𝟐 √ = (𝟓 ) + 𝒄 𝟓𝒍𝒐𝒈𝟓

10. ∫(𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙 )𝒅𝒙 Sol: ∫(𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙 )𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙 + 𝒄

Página 10

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝟏

𝒆𝒙

11. ∫ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝒔𝒐𝒍: 𝒗′ = 𝒙−𝟏 𝒗′ = −𝒙−𝟐 𝒅𝒙 −𝒅𝒗 = 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 𝟏

𝟏 𝒆𝒙 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒙 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝟏

𝟏

− ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒗 = −𝒆𝒙 + 𝒄

12. ∫ 𝒙𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 Sol: 𝒗′ = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒗′ = 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝒗 = 𝒙𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒙𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 =

𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 + 𝟏)𝒅𝒗 𝟐

𝟏 𝒍𝒐𝒈|𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏)| + 𝒄 𝟐

13. ∫ √

𝒅𝒙 𝟐𝟎−𝟖𝒙−𝒙𝟐

𝒔𝒐𝒍: ∫

𝒅𝒙 √𝟐𝟎 − 𝟖𝒙 −

𝒙𝟐

=∫

𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏

𝒅𝒙 √𝟔𝟐

𝒙+𝟒 + 𝟔

− (𝒙 + 𝟒)𝟐

𝒄

𝒅𝒙

14. ∫ 𝟐 𝟐𝒙 +𝟐𝒙+𝟓 Sol: ∫

𝒅𝒙 𝒅𝒙 =∫ (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟑𝟐 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 𝟏 𝟐𝒙+𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟑 +𝒄 𝟑

𝒙𝒅𝒙

15. ∫ 𝟒 𝒙 +𝟑 Sol: ∫

𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒖 √𝟑 𝒙𝟐√𝟑 = ∫ = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 +𝒄 𝟐 𝟑 𝒙𝟒 + 𝟑 𝟔 𝟐 𝟐 (𝒖 ) + (√𝟑)

Página 11

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 2 1. ∫ √(𝟏 − 𝟑𝒙)𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 1 − 3𝑥 𝑑𝑢 = −3𝑑𝑥 1 − 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 3 1 1 2 3 ∫ √(1 − 3𝑥 )𝑑𝑥 = − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = − 𝑢2 + 𝑐 3 9 3 2 − (1 − 3𝑥 )2 + 𝑐 9

2. ∫ 𝒙𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟏)𝟖 𝒅𝒙 Sol 𝑢 = 𝑥 2 − 1 → 𝑥 = √𝑢 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥 2 ∫ 𝑥 3 (𝑥 2 − 1)8 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 (𝑥 2 − 1)8 𝑥𝑑𝑥 1 2 1 ∫(√𝑢 + 1) 𝑢8 𝑑𝑢 = ∫(𝑢 + 1)𝑢8 𝑑𝑢 2 2 1 1 1 ∫(𝑢9 + 𝑢8 )𝑑𝑢 = ∫ 𝑢9 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢8 2 2 2 1 10 1 9 𝑢 + 𝑢 +𝑐 20 18 1 2 1 2 (𝑥 − 1)10 + (𝑥 − 1)9 + 𝑐 20 18

Página 12

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝟒

𝟖

3. ∫(𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗)𝟑 𝒅𝒙 = ∫(𝒙 − 𝟑)𝟑 𝒅𝒙 Sol: 𝑢 =𝑥−3 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 8

8

∫(𝑥 − 3)3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 =

3 11 𝑢3 +𝑐 11

11 3 (𝑥 − 3) 3 + 𝑐 11

4. ∫ 𝒙√(𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 Sol: 𝑢 =𝑥+3 →𝑥 =𝑢−3 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 1

∫ 𝑥√(𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = ∫(𝑢 − 3)𝑢2 𝑑𝑢 3 2

1 2

3 2

1 2

∫ 𝑢 − 3𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 3𝑢 𝑑𝑢 3 5 3 2 5 5 𝑢2 − 2𝑢2 + 𝑐 = (𝑥 + 3)2 − 2(𝑥 + 3)2 + 𝑐 5 2

5. ∫ √𝟏 − 𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 1 − 2𝑥 → 𝒙 =

𝟏−𝒖 𝟐

𝑑𝑢 = −2𝑑𝑥 1 − 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2

Página 13

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

2 1 1−𝑢 1 ∫ √1 − 2𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑢2 ( ) 𝑑𝑢 2 2 1 1 1 1 − ∫ 𝑢2 (1 − 𝑢)2 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑢2 (1 − 2𝑢 + 𝑢2 ) 𝑑𝑢 8 8 1 3 5 1 − (∫ 𝑢2 − 2𝑢2 + 𝑢2 ) 𝑑𝑢 8 1 3 5 1 − [∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − 2 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢2 𝑑𝑢] 8 1 2 3 4 5 2 7 − [ 𝑢2 − 𝑢2 + 𝑢2 ] + 𝑐 8 3 5 7 3 5 7 1 1 1 (1 − 2𝑥 )2 − (1 − 2𝑥 )2 + 𝑐 − (1 − 2𝑥 )2 + 12 10 28 6. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽. 𝒅𝜽 2

Sol: 𝑢 = 3𝜃 𝑑𝑢 = 3𝑑𝜃 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝜃 3 ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝜃. 𝑑𝜃 =

1 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛3𝜃 + 𝑐 3 3

𝟏

7. ∫ 𝒕𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝟑 𝑠𝑜𝑙: 𝑢 = 2𝑡 2 𝑑𝑢 = 4𝑡𝑑𝑡 1 𝑑𝑢 = 𝑡𝑑𝑡 4 1 11 1 ∫ 𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 2 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠2𝑡 2 + 𝑐 3 34 12

Página 14

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

8. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟒 𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 (1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)4 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = (1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 )5 + 𝑐 5 𝟏 𝒅𝒙

9. ∫ √𝟏 + 𝟓𝒙 𝒙𝟐 𝑠𝑜𝑙: 𝑢 =1+

1 5𝑥

𝑑𝑢 = 5𝑥 −1 1 𝑑𝑢 = 2 5𝑥 𝑑𝑥 −5𝑑𝑢 = 2 𝑥 ∫ √1 +

1 𝑑𝑥 1 = −5 ∫(𝑢)2 𝑑𝑢 2 5𝑥 𝑥 3

2 3 10 1 2 −5 𝑢2 + 𝑐 = − (1 + ) + 𝑐 3 3 5𝑥 𝟑

10. ∫ 𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙 √𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 −𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 1

3

∫ 3𝑠𝑒𝑛𝑥 √1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = −3 ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 4 9 4 9 − 𝑢3 + 𝑐 = − (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 )3 + 𝑐 4 4

Página 15

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

11. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟓 𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 Sol: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 ∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 = ∫ 𝑢5 𝑑𝑢 =

1 6 𝑢 +𝑐 6

1 (𝑠𝑒𝑛𝜃)6 + 𝑐 6 12. ∫

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟓√𝒙 √𝒙

𝒅𝒙

𝒔𝒐𝒍: 𝑢 = 5√𝑥 1

𝑢 = 5𝑥 2 5 1 𝑢 = 𝑥 −2 𝑑𝑥 2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 5 √𝑥 ∫

13. ∫

𝑠𝑒𝑐 2 5√𝑥 √𝑥

𝑑𝑥 =

2 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢𝑑𝑢 = 𝑡𝑔𝑢 + 𝑐 5 5 2 𝑡𝑎𝑛5√𝑥 + 𝑐 5

(𝒚+𝟓)𝒅𝒚 𝟐

(𝟓−𝒚)𝟑

𝒔𝒐𝒍: 𝑢 =5−𝑦 →𝑦 =5−𝑢 𝑑𝑢 = −𝑑𝑦 −𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 ∫

(𝑦 + 5)𝑑𝑦 (5 − 𝑦)

2 3

2

= − ∫(5 − 𝑢 + 5) 𝑢−3 𝑑𝑢

2

2

1

− ∫(10 − 𝑢)𝑢−3 𝑑𝑢 = − [∫ 10𝑢−3 − ∫ 𝑢−3 ] 𝑑𝑢 2

1

− [10 ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢] =

Página 16

ANALISIS MATEMATICO II

14. ∫

INTEGRACION

𝒙𝟑 𝒅𝒙 √𝟏+𝒙𝟐

𝒔𝒐𝒍: 𝑢 = 1 + 𝑥 2 →𝑥 = √𝑢 − 1 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥 2 1 𝑥 3 𝑑𝑥 1 2 ∫ = ∫ √𝑢 − 1 𝑢−2 𝑑𝑢 √1 + 𝑥 2 2 1 1 1 1 1 ∫(𝑢 − 1)𝑢−2 𝑑𝑢 = [∫ 𝑢2 − ∫ 𝑢−2 ] 𝑑𝑢 2 2 3 1 12 3 1 1 1 𝑢2 − 2𝑢2 + 𝑐 = (1 + 𝑥 2 )2 − (1 + 𝑥 2 )2 + 𝑐 23 2 3 𝒙

15. ∫ 𝒕𝒂𝒏 ( ) 𝒅𝒙 𝟐 Sol: 1 𝑥 2 2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢=

𝑥 ∫ 𝑡𝑎𝑛 ( ) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑢𝑑𝑢 2 𝑥

2𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑢| + 𝑐 = 2𝑙𝑛 |𝑠𝑒𝑐 | + 𝑐 2

16. ∫ 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 3𝑥 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 3 ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 =

1 1 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐 3 3 1 3𝑥 𝑒 +𝑐 3 Página 17

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

17. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 =

1 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑑𝑢 2

1 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑢 + 𝑡𝑎𝑛𝑢| + 𝑐 2 1 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 | + 𝑐 2 18. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐𝒙𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2

1 ∫ 𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑢𝑑𝑢 2 1 1 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛𝑢| + 𝑐 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛2𝑥 | + 𝑐 2 2

19. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2 1 ∫ 𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑐𝑢𝑑𝑢 2 1 𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐𝑢 − 𝑐𝑜𝑡𝑢| + 𝑐 2 1 𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 𝑐𝑜𝑡2𝑥| + 𝑐 2 Página 18

ANALISIS MATEMATICO II

20. ∫

INTEGRACION

𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟓

(𝟏−𝟐𝒙𝟑 )

𝒔𝒐𝒍: 𝑢 = 1 − 2𝑥 3 𝑑𝑢 = −2. 3𝑥 2 𝑑𝑥 1 − 𝑑𝑢 = 𝑥 2 𝑑𝑥 6

𝑥 2 𝑑𝑥 1 ∫ = − ∫ 𝑢−5 𝑑𝑢 3 5 (1 − 2𝑥 ) 6 1 𝑢−4 1 (1 − 2𝑥 3 )−4 + 𝑐 − +𝑐 = 6 −4 24

21. ∫

𝟑𝒙𝒅𝒙 𝟐

(𝟏−𝒙)𝟑

Sol: 𝑢 =1−𝑥 → 𝑥 =1− 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥 −𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2 3𝑥𝑑𝑥 − 3 𝑑𝑢 ( ) ∫ 2 = −3 ∫ 1 − 𝑢 𝑢 (1 − 𝑥 )3 2 1 1 9 4 −3 [∫ 𝑢−3 − ∫ 𝑢3 ] 𝑑𝑢 = −9𝑢3 + 𝑢3 + 𝑐 4 1 4 9 −9(1 − 𝑥 )3 + (1 − 𝑥 )3 + 𝑐 4

Página 19

ANALISIS MATEMATICO II

22. ∫

(𝟐𝒙𝟑 +𝟑𝒙𝟐 ) √𝒙𝟒 +𝟐𝒙𝟑 +𝟏

INTEGRACION

𝒅𝒙

Sol: 𝑢 = 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 1 𝑑𝑢 = (4𝑥 3 + 6𝑥 2 )𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = (2𝑥 3 + 3𝑥 2 )𝑑𝑥 2 (2𝑥 3 + 3𝑥 2 ) 1 1 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 2 √𝑥 4 + 2𝑥 3 + 1 1 1 1 2𝑢2 + 𝑐 = (𝑥 4 + 2𝑥 3 + 1)2 + 𝑐 2 23. ∫

(𝒙+𝟐)𝒅𝒙 𝟐

(𝟐−𝒙)𝟑

Sol: 𝑢 =2−𝑥 → 𝑥 =2−𝑢 −𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 (𝑥 + 2)𝑑𝑥 2 − 3 (4 − 𝑢 )𝑑𝑢 ∫ = − ∫ 𝑢 2 (2 − 𝑥 )3 2 1 1 3 4 −4 ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 = −12𝑢3 + 𝑢3 + 𝑐 4 1 4 3 3 ( ) ( ) −12 2 − 𝑥 + 2 − 𝑥 3 + 𝑐 4 𝟏

𝟏 𝟐 𝒙𝟐 −𝟏

24. ∫ (𝒙 + ) ( 𝒙

𝒙𝟐

) 𝒅𝒙

Sol: 𝑢=𝑥+

1 𝑥

𝑑𝑢 = (1 −

1 ) 𝑑𝑥 𝑥2 1

1 2 𝑥2 − 1 1 ∫ (𝑥 + ) ( 2 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 𝑥 𝑥 3

2 3 2 1 2 𝑢2 + 𝑐 = (𝑥 + ) + 𝑐 3 3 𝑥 Página 20

ANALISIS MATEMATICO II

25. ∫

INTEGRACION

(𝟑𝒙−𝟏)𝒅𝒙 𝟑𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏

Sol: 𝑢 = 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1 𝑑𝑢 = (6𝑥 − 2)𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = (3𝑥 − 1)𝑑𝑥 2 (3𝑥 − 1)𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = ∫ 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1 2 𝑢 1 1 𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐 = 𝑙𝑛|3𝑥 2 − 2𝑥 + 1| + 𝑐 2 2 ∫

26. ∫

𝟐𝒙𝒅𝒙 𝟐𝒙𝟐 +𝟓

Sol: 𝑢 = 2𝑥 2 + 5 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 ∫

2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 = ∫ = 𝐿𝑛|2𝑥 2 + 5| + 𝑐 2 2𝑥 + 5 𝑢

𝟑

27. ∫ 𝒙𝟐 (𝒙𝟑 + 𝟑)𝟐 𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 𝑥3 + 3 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑥 2 𝑑𝑥 3 3

∫ 𝑥 2 (𝑥 3 + 3)2 𝑑𝑥 =

3 1 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 3

5 12 5 2 3 (𝑥 + 3)2 + 𝑐 𝑢2 + 𝑐 = 35 15

Página 21

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝟏

28. ∫ (𝒙𝟐 − ) (𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 𝟑

Sol: 𝑢 = 𝑥3 − 𝑥 + 1 𝑑𝑢 = (3𝑥 2 − 1)𝑑𝑥 1 1 ∫ (𝑥 2 − ) (𝑥 3 − 𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 3 3 1 2 1 𝑢 + 𝑐 = (𝑥 3 − 𝑥 + 1)2 + 𝑐 6 6

29. ∫

(𝟔𝒙𝟐 −𝟓)𝒅𝒙 √𝟐𝒙𝟑 −𝟓𝒙

Sol: 𝑢 = 2𝑥 3 − 5𝑥 𝑑𝑢 = (6𝑥 2 − 5)𝑑𝑥 (6𝑥 2 − 5)𝑑𝑥 1 1 ∫ = ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 = 2𝑢2 + 𝑐 √2𝑥 3 − 5𝑥 1 2(2𝑥 3 − 5𝑥 )2 + 𝑐 30. ∫ 𝒙𝟑 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟒 + 𝟓)𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 𝑥4 + 5 𝑑𝑢 = 4𝑥 3 𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑥 3 𝑑𝑥 4 ∫ 𝑥 3 𝑠𝑒𝑛(𝑥 4 + 5)𝑑𝑥 =

1 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 4 + 5) + 𝑐 4 4

Página 22

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

Verificar: 1.

𝑑𝑥

∫ 𝑥 2 −9 = 𝑠𝑜𝑙: ∫

𝑑𝑥 1 𝑥−3 = 𝐿𝑛 | |+𝑐 𝑥 2 − 32 6 𝑥+3

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº03 INTREGACION POR PARTES 𝒙

2. ∫ 𝑰𝒏 𝒅𝒙 𝟐 Sol: 𝑢 = 𝐿𝑛𝑥2 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥 𝑥 𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣=𝑥 𝑥

𝑥

𝑥

2

2

2

→∫ 𝐼𝑛 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛 𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝑐 𝑥 2

3. ∫ 𝒙𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 Sol: 𝑢=𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 1

𝑣 = 𝑒 2𝑥 2

1 1 1 1 ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 2𝑥 − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 + 𝑐 2 2 2 4 4. ∫ 𝒙𝒆−𝟑𝒙 Sol: 𝑢=𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 1

𝑣 = − 𝑒 −3𝑥

∫ 𝑥𝑒 −3𝑥 =

3

1 −3𝑥 1 1 1 𝑥𝑒 + ∫ 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥𝑒 −3𝑥 − 𝑒 −3𝑥 + 𝑐 3 3 3 9

Página 23

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

5. ∫ 𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙𝒕𝒈𝟐𝒙𝒅𝒙 Sol: 𝑢=𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 | + 𝑐 6. ∫(𝑰𝒏𝒙)𝟑 𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = (𝐼𝑛𝑥 )3 𝑑𝑢 = 3𝐿𝑛2 𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥

𝑣=𝑥

∫(𝐼𝑛𝑥 )3 𝑑𝑥 = (𝐿𝑛𝑥 )3 𝑥 − 3 ∫ 𝑥𝐿𝑛2 𝑥

𝑑𝑥 𝑥

(𝐿𝑛𝑥 )3 𝑥 − 3 ∫ 𝐿𝑛2 𝑥𝑑𝑥 → 𝑢 = 𝐿𝑛2 𝑥 𝑑𝑢 = 2𝐿𝑛𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥

𝑣=𝑥

(𝐿𝑛𝑥 )3 𝑥 − 3 [𝑥𝐿𝑛2 𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝐿𝑛𝑥

𝑑𝑥 ] = (𝐿𝑛𝑥 )3 𝑥 − 3 𝑥

[𝑥𝐿𝑛2 𝑥 − 2 ∫ 𝐿𝑛𝑥𝑑𝑥] 𝑢 = 𝐿𝑛𝑥 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥 𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣=𝑥

𝑑𝑥 ] 𝑥 (𝐿𝑛𝑥 )3 𝑥 − 3𝑥𝐿𝑛2 𝑥 + 6𝑥𝐿𝑛𝑥 − 6𝑥 + 𝑐 (𝐿𝑛𝑥 )3 𝑥 − 3𝑥𝐿𝑛2 𝑥 + 6 [𝑥𝐿𝑛𝑥 − ∫ 𝑥

Página 24

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

7. ∫ 𝒙𝟐 𝑳𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 𝐿𝑛2𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥

𝑣=

𝑥

𝑥3 3

𝑥3 1 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 𝐿𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 𝐿𝑛𝑥 − ∫ 𝑥 3 3 3 𝑥 3 3 𝑥 1 𝑥 𝐿𝑛𝑥 1 3 𝐿𝑛𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 𝑥 +𝑐 3 3 3 9 𝒙 8. ∫ 𝒆 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 = −2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥 2

∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑒 𝑥 + 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑒 𝑥 + 2 [𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑒 𝑥 − 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥] ∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑒 𝑥 − 4 ∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 5 ∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑒 𝑥 ∫ 𝑒 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = +𝑐 5 𝑥

9. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙 Sol: ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥𝑑𝑥 = ∫

1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 2

1 1 ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑑𝑥 2 2 1 1 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑐 2 8

Página 25

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

10. ∫ 𝟒𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = 4𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 4𝑑𝑥

𝑣=

𝑠𝑒𝑛2𝑥 2

𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 2 2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐

∫ 4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 4𝑥

11. ∫(𝒆𝒙 + 𝟐𝒙)𝟑 𝒅𝒙 Sol: ∫(𝑒 3𝑥 + 6𝑥𝑒 2𝑥 + 12𝑥 2 𝑒 𝑥 + 8𝑥 3 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 + 6 ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 + 12 ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 8 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑢=𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥 2

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑣 = 𝑒 2𝑥

1

𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥

2

𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥

1 3𝑥 1 6 𝑒 + 6𝑥 𝑒 2𝑥 − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 + 12𝑥 2 𝑒 𝑥 − 12 ∫ 𝑒 𝑥 𝑥𝑑𝑥 + 2𝑥 4 3 2 2 1 3𝑥 1 3 𝑒 + 6𝑥 𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 + 12𝑥 2 𝑒 𝑥 − 12𝑥𝑒 𝑥 − 12 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑥 4 3 2 2 1 3𝑥 3 𝑒 + 3𝑥𝑒2𝑥 − 𝑒 2𝑥 + 12𝑥 2 𝑒 𝑥 − 12𝑥𝑒 𝑥 − 12𝑒 𝑥 + 2𝑥 4 + 𝑐 3 2

12. ∫ 𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 Sol: 𝑢=𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑣=−

𝑐𝑜𝑠2𝑥 2

1𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 2 2 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =− + +𝑐 2 4

∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 =

Página 26

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

EJERCICIOS PROPUESTOS 3.B 1. ∫ 𝒙 √𝟏 + 𝒙 𝒅𝒙

Sol: 1

𝑢 = (1 + 𝑥)2 1

𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑢 = (1 + 𝑥) 2

1 − 2

. 𝑑𝑥

𝑣=

𝑥2 2

1 √1 + 𝑥 . 𝑥 2 1 ∫ 𝑥 √1 + 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥 2 (1 + 𝑥 )−2 𝑑𝑥 2 4

𝑢 =1+𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ; 𝑥 = 𝑢 − 1 1 √1 + 𝑥 . 𝑥 2 ∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫(1 + 𝑢 − 1 )−2 (𝑢 − 1)2 𝑑𝑢 2

∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥 =

3 1 1 2 1 √1 + 𝑥 . 𝑥 2 1 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 2 4 4 4 3

1

5 (1 + 𝑥)2 (1 + 𝑥)2 1 √1 + 𝑥 . 𝑥 2 ∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥 = − (1 + 𝑥)2 + − +𝑐 2 10 3 2

𝟏

2. ∫ 𝒙𝟑 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 . 𝒅𝒙 𝒙

Sol: 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑢 =

1 𝑥

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑣 =

√1 + 𝑥 2

𝑥4 4

1 1 𝑥4 1 𝑥4 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 . 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( ) − ∫ 𝑥 𝑥 4 4 √1 + 𝑥2 3

𝑢 = 1 + 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥 . 𝑑𝑥

→

𝑑𝑥 =

𝑑𝑢 2𝑥

𝑥2 = 𝑢 − 1 3

1 𝑥 4 1 (𝑢 − 1) 𝑥. 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑥 4 1 (𝑢 − 1)2 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( ) − ∫ = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( ) − ∫ 𝑥 4 4 𝑥 4 4 √𝑢 √𝑢 4 2 1 1 𝑥 1 𝑥 +2 √𝑥 2 − 1 + 𝑐 ∫ 𝑥 3 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 . 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( ) − − 𝑥 𝑥 4 4 3

Página 27

ANALISIS MATEMATICO II 1. ∫ 𝒙𝒏 . 𝐥𝐧 𝒙. 𝒅𝒙 ;

INTEGRACION

𝒏 ≠𝟏

Sol: 𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥 𝑥

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥 𝑛 . 𝑑𝑥 𝑥 𝑛+1

𝑣=

𝑛+1

𝑥 𝑛+1 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 ln 𝑥 . 𝑑𝑥 = ln 𝑥 ( ) − ∫ 𝑥 𝑛+1 . 𝑛+1 𝑥 𝑛

𝑥 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 ∫ 𝑥 ln 𝑥 . 𝑑𝑥 = ln 𝑥 ( +𝑐 )− 𝑛+1 𝑛+1 𝑛

𝐥𝐧𝟐 𝒙 𝟑) ∫ . 𝒅𝒙 𝒙 𝑢 = 𝑙𝑛2 𝑥 𝑑𝑢 = 2 ln 𝑥 .

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥

𝑑𝑥 𝑥

𝑣 = ln 𝑥

𝑙𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ . 𝑑𝑥 = ln2 𝑥 . ln 𝑥 − ∫ ln 𝑥. 2 . ln 𝑥 𝑥 𝑥 2 2 𝑙𝑛 𝑥 (ln 𝑥) ∫ . 𝑑𝑥 = ln3 𝑥 − 2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑙𝑛2 𝑥 ln3 𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = +𝑐 𝑥 3

Página 28

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

5) ∫(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) 𝐥𝐧 𝒙. 𝒅𝒙 Sol: 𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑥

∫ 𝑑𝑣 = (𝑥 2 − 2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 𝑣 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥. 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑑𝑥 𝑣=

𝑥3 3

− 𝑥 2 + 3𝑥

∫(𝑥 2 − 2𝑥 + 3𝑥) 𝑥3 𝑥3 𝑑𝑥 2 = ln 𝑥. ( − 2𝑥 + 3𝑥) − ∫ ( − 𝑥 2 + 3𝑥)) 3 3 𝑥 𝑥3 1 ln 𝑥. ( − 2𝑥 2 + 3𝑥) − ∫(𝑥 2 − 𝑥 + 3) 𝑑𝑥 3 3 𝑥3 1 𝑥3 𝑥2 2 ln 𝑥. ( − 2𝑥 + 3𝑥) − ( − + 3𝑥) 3 3 3 2 𝑥3 𝑥3 𝑥2 2 ln 𝑥. ( − 2𝑥 + 3𝑥) − + − 𝑥 + 𝑐 3 9 6

Página 29

ANALISIS MATEMATICO II

𝟕) ∫

INTEGRACION

𝒙 𝐥𝐧 𝒙 . 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 𝒙 )𝟐

(𝟏 − 𝑢 = ln 𝑥

; 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥 𝑥

𝑥. 𝑑𝑥 (1 − 𝑥 2 )3/2 𝑥. 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 3 (1 − 𝑥 2 )2 𝑑𝑣 =

𝑧 = 1 − 𝑥2 𝑑𝑧 = −2𝑥. 𝑑𝑥

𝑣= −

1 (1 − 𝑥 2 ) 2 1

𝑑𝑣 = (1 − 𝑥 2 )−2 ∫

𝑥 ln 𝑥 . 𝑑𝑥 3

(1 − 𝑥 2 )2

ln 𝑥

=

1

− ∫(1 − 𝑥

1 2 )−2

(1 − 𝑥 2 )2

.

𝑑𝑥 𝑥

1

𝑢 = (1 − 𝑥 2 )−2 1 𝑑𝑢 = − (1 + 𝑥 2 )1/2 . 2𝑥. 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥

𝑣 = ln 𝑥 ∫

𝑥 ln 𝑥 . 𝑑𝑥 3

(1 − 𝑥 2 )2 ∫

=

ln 𝑥 (1 − 𝑥 2 )

𝑥 ln 𝑥 . 𝑑𝑥 3

(1 − 𝑥 2 )2

=

1 1 1 2 −2 2 )2 (1 − − 𝑥 ) − ∫ ln + 𝑥 2𝑥 . 𝑑𝑥 ] [ln(1 (− ) 1 2 2

ln 𝑥

1

1

2 )−2 − ∫ ln 𝑥 (1 + 𝑥 2 )2 𝑥. 𝑑𝑥 1 − ln(1 − 𝑥

(1 − 𝑥 2 )2

Página 30

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 5 POTENCIA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 1. ∫

𝒅𝒙 𝒙𝟐 √𝟗−𝒙𝟐

Sol:

𝑥

√9−𝑥 2

3

3

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃3𝑐𝑜𝑠𝜃 = √9 − 𝑥 2 𝑥𝑑𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

3

√9 − 𝑥 2

∫

2. ∫

𝑑𝑥

3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 = (3𝑠𝑒𝑛𝜃)2 3𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑥 2 √9 − 𝑥 2 𝑑𝜃 1 ∫ = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 9𝑠𝑒𝑛2 𝜃 9 1 1 √9 − 𝑥 2 − 𝑐𝑡𝑔𝜃 + 𝑐 = − +𝑐 9 9 𝑥 =∫

𝒅𝒙 𝟐

(𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟔)

𝑡𝑎𝑛𝜃 =

Sol:

𝑥−1 √5

√5𝑡𝑎𝑛𝜃 + 1 = 𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 + 6𝑥 − 1 𝑑𝑥 = √5𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 √5 √5 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 . 𝑑𝜃 √5 ∫ cos 𝜃 = 2 5 𝑥 − 2𝑥 + 5 2 𝑐𝑜𝑠

Página 31

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION √5 √5 ∫ 𝑑𝜃 . .𝜃 5 5

𝒅𝒙

3. ∫ 𝟒−𝒙𝟐 √4 − 𝑥 2 = 𝑦

2 X

√4 − 𝑥 2

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

𝑥 2

2𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑥 𝑑𝑥 = 2 cos 𝜃. 𝑑𝜃 2 cos 𝜃𝑑𝜃 √4 − 𝑥 2 ∫ cos 𝜃 = 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 2 1 𝑑𝜃 ∫ 2 cos 𝜃

4𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 4 − 𝑥 2

1 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 2 1 1 2 𝑥 ln|sec 𝜃 + 𝑡𝑔 𝜃| + 𝑐 = 𝐿𝑛 | + |+𝑐 2 2 √4 − 𝑥 2 √4 − 𝑥 2

Página 32

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

CONJUNTO DE EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 6

3. ∫

𝒕𝟐 𝒅𝒕 √𝟒−𝒕𝟐

cos 𝜃 = sen 𝜃 = 𝑡

𝑡 4

;

𝑡 √4−𝑡 2

𝑡 4

𝑡 = sen 𝜃. 4

4

tg 𝜃 =

;

√4 − 𝑡2

= tg𝑡𝜃

𝑑𝑡 = 4. cos 𝜃 . 𝑑𝜃 √4 − 𝑡 2

∫

16 sen2 𝜃 . 4. cos 𝜃 . 𝑑𝜃

−16 cos 𝜃 + 𝑐 =

4. ∫

= 16 ∫ sen 𝜃 𝑑𝜃

sen 𝜃. 4 cos 𝜃 sen 𝜃

− 4√4 − 𝑡 2 + 𝑐

𝒅𝒙 𝒙√𝒙𝟐 +𝟒

Sol:

𝑥 = 2 tan 𝜃 √𝑥 2 + 4

x

;

𝑑𝑥 = 2. sec 2 𝜃 𝑑𝜃 2. sec 𝜃 = √𝑥 2 + 4

2 Página 33

𝑥

tan 𝜃 = 2

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

1 2 sec 2 𝜃. 𝑑𝜃 1 cos 𝜃 ∫ = ∫ 𝑑𝜃 2 tan 𝜃 .2 sec 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 1 1 ∫ csc 𝜃𝑑𝜃 = ln|csc 𝜃 − cot 𝜃| + 𝑐 2 2 1 √𝑥 2 + 4 − 2 ln | |+ 𝑐 2 𝑥

5. ∫

𝒅𝒙 𝒙𝟐 √𝟐𝟓+𝒙𝟐

𝒔𝒐𝒍:

sen 𝜃 =

𝑥 5

→

𝑑𝑥 = 5. cos 𝜃. 𝑑𝜃 𝑥

x = 5. sen 𝜃 ;

5 cos 𝜃 = √25 − 𝑥 2

5

√25 − 𝑥 2

∫

5. cos 𝜃 . 𝑑𝜃 1 = ∫ csc 2 𝜃 . 𝑑𝜃 2 25. sen 𝜃 . 5 cos 𝜃 25

1 (√25 − 𝑥 2 (− cot 𝜃) + 𝑐 = + 𝑐 25 25𝑥

Página 34

ANALISIS MATEMATICO II

6. ∫

INTEGRACION

𝒅𝒙 𝒙 𝟑 √𝟒−𝒙𝟐

𝒔𝒐𝒍:

x

2 x = 2sin 𝜃

;

tan 𝜃 =

𝑥 √4 − 𝑥 2

𝑑𝑥 = 2. cos 𝜃 . 𝑑𝜃 cos 𝜃 =

√4 − 𝑥2

2

√4 − 𝑥 2

∫

2 cos 𝜃. 𝑑𝜃 1 𝑑𝜃 = ∫ 3 3 sen 𝜃 .2 cos 𝜃 8 𝑠𝑒𝑛3 𝜃

√4 − 𝑥 2 ln|4 − √4 − 𝑥 2 | + +𝑐 32𝑥 2 128 𝑥

7. ∫

𝑑𝑣 3

( 𝑣 2 − 3)2

√𝑣 2−3

𝑣

√3

sec 𝜃 =

𝑣 √3

→ 𝑣 = sec 𝜃 √3

Página 35

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝑑𝑣 = √3 sec 𝜃 − tan 𝜃 . 𝑑𝜃

cot 𝜃 =

∫

√𝑣 2−3

3

3

= √3 . tan 𝜃 = (𝑣 2 − 3)2

√3

√3. sec 𝜃 . tan 𝜃. 𝑑𝜃 2

3

1 sec 𝜃. 𝑑𝜃 ∫ 3 tan2 𝜃

=

√3 . tan 𝜃

1 1 cos 𝜃 1 cos2 𝜃 𝑑𝜃 ∫ = ∫ 3 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 3 𝑠𝑒𝑛2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 1 cos 𝜃 1 ∫ = ∫ cot 𝜃. csc 𝜃 𝑑𝜃 3 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃 3

1 1 𝑣 − csc 𝜃 + 𝑐 = − ( )+𝑐 3 3 √𝑣 2 − 3 PRACTICA DE ANALISIS MATEMATICO II I.

Calcular las integrales definidas. 𝟏𝟎

𝟏

1. ∫𝟎 (𝒙𝟐 + 𝟏) (𝟐𝒙)𝒅𝒙 𝒔𝒐𝒍:

𝑢 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 1 →∫0 (𝑥 2

)10 (

+1

2𝑥 )𝑑𝑥 =

1

1 ∫0 𝑢10 𝑑𝑢

𝑢11

1

= [ 11 ]

0

(𝑥 2 + 1)11 (2)11 (1)11 2048 − 1 [ ] = − = = 11 11 11 11 0 Página 36

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

∴

𝟐𝟎𝟒𝟕 𝟏𝟏

𝟎

2. ∫−𝟏 √𝒙𝟑 − 𝟏 (𝟑𝒙𝟐 )𝒅𝒙 𝒔𝒐𝒍:

𝑢 = 𝑥3 − 1 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 0 →∫−1 √𝑥 3

2)

− 1 (3𝑥 𝑑𝑥 =

1 0 ( ) 𝑢 ∫−1 2 𝑑𝑢

2

3 2

= [3 (𝑢) ]

0 −1

0 2 2 3 3 2 3 2 2 2 [ (𝑥 − 1) ] = (−1) − (−2)3 = 3 3 3 −1

∴ 𝟎 𝟑

𝟏

3. ∫−𝟏 (𝒕+𝟐) 𝒅𝒕 𝒔𝒐𝒍:

𝑢 =𝑡+2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 3

1

3 𝑑𝑢

→∫−1 (𝑡+2) 𝑑𝑡 = ∫−1

𝑢

= [𝐿𝑛|𝑢|]3−1 = [𝐿𝑛|𝑡 + 2|]3−1

𝐿𝑛|3 + 2| − 𝐿𝑛|−1 + 2| = 𝐿𝑛5 − 𝐿𝑛1 = 𝐿𝑛5 = ∴ 𝟏. 𝟔 𝟏𝟎

4. ∫𝟐 √𝒚 − 𝟏 𝒅𝒚

Página 37

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝒔𝒐𝒍: 𝑢 =𝑦−1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 10 →∫2 √𝑦

− 1 𝑑𝑦 =

10 1 ∫2 𝑢2 𝑑𝑢

2

3 2

10

=[ 𝑢 ] 3

2

10

= [ (𝑦 − 1) ] 3

2

3 2

2

3 3 2 2 2 2 (10 − 1)2 − (2 − 1)2 = √93 − √13 3 3 3 3

2 2 54 − 2 27 − = = 3 3 3 ∴

𝟓𝟐 𝟑

𝟖

5. ∫𝟓 √𝟑𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒔𝒐𝒍: 𝑢 = 3𝑥 + 1 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 3 8

1

8

1

12

3

8

2

3

→∫5 √3𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ∫5 𝑢2 𝑑𝑢 = [ 𝑢2 ] = ⌈ (3𝑥 + 1)2 ⌉ 3 33 9 5

3 2 2 3 2 2 250 128 (√25) − √16 = 53 − 43 = − = 9 9 9 9 9 9

∴

𝟏𝟐𝟐 𝟗

Página 38

8 5

ANALISIS MATEMATICO II 𝟕

6. ∫𝟏

𝟏 √𝟐𝒙+𝟐

INTEGRACION

𝒅𝒙

𝒔𝒐𝒍:

𝑢 = 2𝑥 + 2 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2 7 1 →∫1 2𝑥+2 𝑑𝑥 √

=

7 −1 𝑢 2 𝑑𝑢 ∫ 2 1 1

1

1 2

1 2

= 2 2𝑢 = [(2𝑥 + 2) ]

1

√16 − √4 = 4 − 2 = ∴𝟐

𝟑

7. ∫−𝟑 √𝟕 + 𝟐𝒕𝟐 (𝟖𝒕)𝒅𝒕 𝒔𝒐𝒍:

𝑢 = 7 + 2𝑡 2 𝑑𝑢 = 4𝑡𝑑𝑡 3 →∫−3 √7

+

2𝑡 2 (8𝑡)𝑑𝑡

=

1 3 2 ∫−3 𝑢2 𝑑𝑢

4

3 2

= [3 𝑢 ]

3 3 3 4 3 4 4 [ (7 + 2𝑡 2 )2 ] = √25 − √25 = 3 3 3 −3

∴ 𝟎

𝟑 𝒙𝟐 +𝟏 8. ∫𝟏 𝟑 𝒅𝒙 √𝒙 +𝟑𝒙

Página 39

7

3 −3

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝒔𝒐𝒍: 𝑢 = 𝑥 3 + 3𝑥 𝑑𝑢 = (3𝑥 2 + 3)𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = (𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 3 3 𝑥 2 +1 →∫1 3 𝑑𝑥 √𝑥 +3𝑥

=

3 −1 𝑢 2 𝑑𝑢 ∫ 3 1 1

1 2

2

3

2

1

3

=[ 𝑢 ] =[ 3

√(𝑥 3

+ 3𝑥 )]

1

2 2 2 2 12 4 √27 + 9 − √4 = √36 − 2 = − = 3 3 3 3 3 3 ∴

𝟖 𝟑

𝝅 𝟐

9. ∫𝟎 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒔𝒐𝒍: 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝜋 2

𝜋 2

→∫0 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = − ∫0 𝑢2 𝑑𝑢 = [− 3

𝜋 2

∴ 10.

𝟏 𝟑

𝝅 𝟐

∫𝟎 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟑𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙

Página 40

𝜋

𝑢3 2

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 90 𝑐𝑜𝑠 3 0 [− ] =− + = 3 0 3 3

3

]

3 0

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝒔𝒐𝒍: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑢 = 3𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥 3 𝜋 2

1

𝜋 3 𝑢 2

𝜋 2

→∫0 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥 = ∫0 𝑢2 𝑑𝑢 = [ ] = [ 3 9

𝜋 3 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 2

0

9

𝑠𝑒𝑛3 270 𝑠𝑒𝑛3 0 − = 9 9 ∴ −

𝟏 𝟗

𝝅 𝟐

∫𝟎 (𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)𝒅𝒙

11. 𝒔𝒐𝒍: 𝜋 2

𝜋 2

2

𝜋 2

→∫0 2𝑥𝑑𝑥 + ∫0 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = [𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ]0 =

12.

𝜋2 4

− (−1) =

𝝅𝟐 ∴ +𝟏 𝟒

𝝅 𝟐

∫𝟎 (𝟒𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙

𝒔𝒐𝒍: 𝜋 2

𝜋 2

2

∫ 4𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = [2𝑥 + 0

0

𝝅𝟐 ∴ +𝟏 𝟐 13.

𝟒

∫𝟎 (√𝒙 + √𝟐𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙

𝒔𝒐𝒍:

𝑢 = 2𝑥 + 1 Página 41

𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑥 ]02

=

]

0

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2 4 →∫0 √𝑥𝑑𝑥

+

4 ∫0 √2𝑥

2

3 2

3 2

1

+ 1𝑑𝑥 = [3 𝑥 + 3 (2𝑥 + 1) ]

4 0

2 3 1 3 2 3 1 3 2 1 2 2 2 2 2 4 + (9) − 0 + (1) = 8 + 27 − 3 3 3 3 3 3 3 16 1 15 +9− = +9= 3 3 3 ∴ 𝟏𝟒

𝟏 𝟏−𝒙𝟒 ∫−𝟒 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙

14. 𝒔𝒐𝒍:

1

1 1 −2 1 1 2 1 𝑥3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = [− − ] 2 −4 2 −4 2𝑥 6 −4 1 1 1 64 2 1 32 30 1 − − −( + )=− − + = − 2 6 8 6 3 8 3 3 8 1 80 − 1 10 − = = 8 8 𝟕𝟗 ∴ 𝟖 𝟏

∫𝟎 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝟐 𝒅𝒙

15. 𝒔𝒐𝒍:

1

1 4

2)

1 4

1

∫ (𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥 2 0

3

0

Página 42

3

0

0

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION 1

𝑥5 2 1 2 [ + 𝑥4 + 𝑥3] = + 1 + 5 3 5 3 0 3 + 10 13 +1= +1= 15 15 𝟐𝟖 ∴ 𝟏𝟓

16.

𝟏 𝟖𝒂 ∫𝒂 (𝒂𝟑

𝟏

𝟑

− (𝒙)𝟑 ) 𝒅𝒙

𝒔𝒐𝒍: 8𝑎

∫

2 3

1 3

1 3

2 3

(𝑎 − 3𝑎 𝑥 + 3𝑎 𝑥 − 𝑥) 𝑑𝑥

𝑎 8𝑎

8𝑎

2 3

1 3

8𝑎

∫

𝑎𝑑𝑥 − ∫

3𝑎 𝑥 𝑑𝑥 + ∫

𝑎

𝑎

𝑎

2 3

8𝑎

1 3

3𝑎 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑎

8𝑎

1 5 9 2 4 9 𝑥2 [𝑎𝑥 − 𝑎3 𝑥 3 + (𝑎)3 𝑥 3 − ] 4 5 2 𝑎

(𝟖𝒂)𝟐 𝟒 𝟓 𝟒 𝟓 𝟗 𝟐 𝟗 𝟏 𝟗 𝟐 𝟗 𝟏 𝒂𝟐 𝟖𝒂𝟐 − 𝒂𝟑 (𝟖𝒂)𝟑 + 𝒂𝟑 (𝟖𝒂)𝟑 − − (𝒂𝟐 − 𝒂𝟑 (𝒂)𝟑 + 𝒂𝟑 (𝒂)𝟑 ) − 𝟒 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 9 2 9 2 9 2 9 2 𝑎2 2 2 2 8𝑎 − 8𝑎 + 8𝑎 − 32𝑎 − (𝑎 − 𝑎 + 𝑎 − )

4

5

4

Página 43

5

2

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

9 9 9 9 1 8𝑎 2 (1 − + − 4) − 𝑎2 (1 − + − ) 4 5 4 5 2 69 1 −552𝑎2 − 𝑎 2 2 −8𝑎 −𝑎 = = 20 20 20 2

𝟓𝟓𝟑𝒂𝟐 ∴− 𝟐𝟎

II.-

CALCULAR

LAS

SIGUIENTES

INTEGRALES

EMPLEANDO LA FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES.

17.

𝒆

∫𝟏 √𝒕 ln 𝑡 𝑑𝑡 𝒔𝒆𝒂: 𝒖 = 𝒍𝒏𝒕

; 𝒅𝒗 = √𝒕. 𝒅𝒕 𝟐 𝟑

𝟏

𝒅𝒖 = . 𝒅𝒕

; 𝒗 = 𝒕𝟐

𝒕

𝟑

2 3

𝑒

𝑒2 3 1

∫1 √𝑡 ln 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛𝑡 3 𝑡 2 − ∫1 3 𝑡 2 . 𝑡 . 𝑑𝑡 2 3

2

𝑒 1

= 𝑙𝑛𝑡 𝑡 2 − ∫1 𝑡 2 𝑑𝑡 3 3 2 3

𝑒 4 3

3

9

= [𝑙𝑛𝑡 𝑡 − 𝑡 2 ] 2

1

2 3

4 3

2 3

4

3

9

3

9

3

= 𝑙𝑛𝑒 𝑒 2 − 𝑒 2 − (𝑙𝑛1 𝑡 2 − 12 ) =

2 3 4 3 4 2 3 4 2 3 𝑒 2 − 𝑒 2 + = 𝑒 2 + = (𝑒 2 + 2) 3 9 9 9 9 9

Página 44

ANALISIS MATEMATICO II 𝒆 ∫𝟏 √𝒕 ln 𝑡

18.

INTEGRACION 𝟑 𝟐

𝟐

𝑑𝑡 = (𝒆 + 𝟐) 𝟗

𝜋/2

∫𝜋/6 𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥. 𝑑𝑥 Solución: ; 𝑑𝑣 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

; 𝑣 = −𝑐𝑡𝑔

𝜋/2 ∫𝜋/6 𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥. 𝑑𝑥

𝜋 2 𝜋 6

= −𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 + ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥 . 𝑑𝑥 𝜋/2

= [−𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛𝑥 |]𝜋/6 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 = − 𝑐𝑡𝑔 + 𝑙𝑛 |𝑠𝑒𝑛 | − (− 𝑐𝑡𝑔 + 𝑙𝑛 |𝑠𝑒𝑛 |) 2 2 2 6 6 6 𝜋 1 = 0 + 0 + √3 − 𝑙𝑛 | | 6 2 𝜋/2

∫

𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥. 𝑑𝑥 =

𝜋/6

19.

𝜋 1 √3 − 𝑙𝑛 | | 6 2

𝜋/4

∫𝜋/6 𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥. 𝑑𝑥 Solución: ; 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥. 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

; 𝑣 = 𝑡𝑔𝑥

𝜋/4

∫

𝜋/2 2

𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑥𝑡𝑔𝑥 − ∫

𝜋/6

𝑡𝑔𝑥. 𝑑𝑥

𝜋/6 𝜋/2

= [𝑥𝑡𝑔𝑥 − 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥 |]𝜋/6 =

𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝑡𝑔 − 𝑙𝑛 |𝑠𝑒𝑐 | − ( 𝑡𝑔 − 𝑙𝑛 |𝑠𝑒𝑐 |) 4 4 4 6 6 6 Página 45

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

9𝜋 2𝜋√3 2√3 − 𝑙𝑛|√2| − + 𝑙𝑛 | | 36 36 3

= 𝜋/4

∫

𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥. 𝑑𝑥 =

𝜋/6

9𝜋 − 2𝜋√3 √6 − 𝑙𝑛 | | 36 2

𝜋 2 𝜋 4

∫ 𝑠𝑒𝑐 −1 √𝑥. 𝑑𝑥

20.

Solución: 𝑠𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠√𝑥 𝑑𝑢 = −

; 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛√𝑥

;𝑣 = 𝑥

2√𝑥

𝜋 2 𝜋 4

𝜋/2

∫ 𝑠𝑒𝑐 −1 √𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠√𝑥 − ∫𝜋/6 − = [𝑥𝑐𝑜𝑠√𝑥 − 𝜋

𝜋

2

2

= 𝑐𝑜𝑠√ −

𝑠𝑒𝑛√𝑥 2√𝑥

𝑥𝑠𝑒𝑛√𝑥 2√𝑥

𝜋 𝜋 𝑠𝑒𝑛√ 2 2 𝜋

𝑥 𝜋/2

]

𝜋/6 𝜋

𝜋

6

6

− ( 𝑐𝑜𝑠√ −

2√ 2

𝜋 𝜋 𝑠𝑒𝑛√ 6 6 𝜋 2√ 6

)

𝜋 2 𝜋 4

𝜋

𝜋

∫ 𝑠𝑒𝑐 −1 √𝑥. 𝑑𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠√ 2 −

Página 46

𝜋 𝜋 𝑠𝑒𝑛√ 2 2 𝜋 2√ 2

𝜋

𝜋

6

6

− ( 𝑐𝑜𝑠√ −

𝜋 𝜋 𝑠𝑒𝑛√ 6 6 𝜋 2√ 6

)

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

III.-CALCULO DE AREAS 21.- y = tgx , el eje ox y la recta π/3 La grafica será:

Solución: 𝝅/𝟑

𝑨 = ∫𝟎

𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝝅/𝟑

𝑨 = [𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒙|]𝟎

Página 47

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝝅 𝑨 = 𝐥𝐧 (𝒔𝒆𝒄 ) − 𝐥𝐧(𝐬𝐞𝐜 𝟎) 𝟑 𝑨 = 𝐥𝐧 𝟐 − 𝐥𝐧 𝟏 𝑨 = 𝐥𝐧 𝟐 𝒖𝟐 22.-la hipérbola xy = m2 , las verticales x = a y x = 3a (a>0) y el eje ox. y = m2/x solución: 𝑨= 𝑨=

𝟑𝒂 𝒎𝟐 ∫𝒂 𝒙 𝒅𝒙 𝟑𝒂 𝒅𝒙 𝒎𝟐 ∫𝒂 𝒙 𝒎𝟐 [𝒍𝒏|𝒙|]𝟑𝒂 𝒂 𝟐[

𝑨= 𝑨 = 𝒎 𝒍𝒏𝟑𝒂 − 𝒍𝒏𝒂] 𝑨 = 𝒎𝟐 𝒍𝒏𝟑 𝒖𝟐 23.-la curva de agnesi 𝒚 =

𝒂𝟑 𝒙𝟐 +𝒂𝟐

La grafica será:

Página 48

y el eje de las abscisas.

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

Solución: Como el eje de las abscisas en una asíntota horizontal de la curva, esta no corta en punto alguno a aquel. Por tanto el área será: 𝑨= 𝑨=

+∞ 𝒂𝟑 ∫−∞ 𝒙𝟐+𝒂𝟐 𝒅𝒙 +∞ 𝟏 𝒂 ∫−∞ 𝒅𝒙 𝒙 𝟏+( )𝟐 𝒂

𝟏

𝑨=

+∞ 𝟐𝒂 ∫−∞ 𝒂𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏+(𝒂) 𝒙 +∞

𝑨 = [𝟐𝒂 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 ]

𝟐 −∞

𝝅

𝝅

𝑨 = 𝟐𝒂 [ + ] 𝒂

𝑨 = 𝟐𝒂𝝅 𝒖

𝒂

𝟐

24.- y = x3 , la recta y= 8 y el eje OY La grafica es: Página 49

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

Solución: 𝟖

𝑨 = ∫𝟎 𝟑√𝒚𝒅𝒚 𝟖

𝑨 = ∫𝟎 𝒚𝟏/𝟑 𝒅𝒚 𝑨=[ 𝑨=

𝟑𝒚𝟒/𝟑 𝟒

𝟖

]

𝟑(𝟖𝟒/𝟑 ) 𝟒

𝟎

−

𝟑(𝟎𝟒/𝟑 ) 𝟒

𝑨 = 𝟏𝟐 𝒖𝟐 25.-por las parábolas y2 = 2px y x2 = 2py La grafica es:

Página 50

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙 𝒚 = √𝟐𝒑𝒙 Solución: 𝟐𝒑

𝑨 = ∫𝟎 [√𝟐𝒑𝒙 −

𝒙𝟐 𝟐𝒑

] 𝒅𝒙 𝟐𝒑 𝒙𝟐

𝟐𝒑

𝑨 = ∫𝟎 √𝟐𝒑𝒙𝒅𝒙 − ∫𝟎 𝟐𝒑

𝑨 = √𝟐𝒑 ∫𝟎 𝒙𝟏/𝟐 𝒅𝒙 𝑨 = √𝟐𝒑 [

𝟐(𝒙𝟑/𝟐 ) 𝟑

𝑨 = √𝟐𝒑 {[ 𝑨= 𝑨=

𝟖𝒑𝟐 𝟑 𝟒𝑷𝟐 𝟑

−

𝟐𝒑

]

𝟎

𝟐(𝟐𝒑)𝟑/𝟐 𝟑

𝒅𝒙

𝟐𝒑 𝟏 𝟐𝒑 − ∫𝟎 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟐𝒑 𝟐𝒑 𝟏 𝒙𝟑

− ]−

𝟐𝒑

[ ]

𝟑 𝟎

𝟐(𝟎)𝟑/𝟐 𝟑

}−

𝟒𝒑𝟐 𝟑

𝒖𝟐

Página 51

𝟏 𝟐𝒑

[

(𝟐𝒑)𝟑 𝟑

−

𝟎𝟑 𝟑

]

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

IV.-CALCULAR EL VOLUMEN DEL SOLIDO GENERADO AL HACER GIRAR R POR LAS SUPERFICIES LIMITADAS. 26.- y = ex, x = 0 e y = 0, alrededor del eje OY. Rpta: 2πu3. La grafica es:

Solución: +∞

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫𝟎

𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝑽 = 𝟐𝝅[𝒆𝒙 ]+∞ 𝟎 𝑽 = 𝟐𝝅(𝟏) 𝑽 = 𝟐𝝅 𝒖𝟐

27.-parábola y2 = 4ax que intercepta a la recta x = a, alrededor del eje OY. Rpta .16πa3/5 u3. La grafica es:

Página 52

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

Solucion: 𝒂

V= 𝟐𝝅 ∫𝟎 𝒚 𝑽= 𝑽= 𝑽= 𝑽=

𝒚𝟐

𝒅𝒚

𝟒𝒂 𝟏 𝒂 𝟐𝝅 ∫𝟎 𝒚𝟑 𝒅𝒚 𝟒𝒂 𝒂 𝝅 𝒚𝟒 𝟐𝒂 𝝅

[ ] [

𝟒 𝟎 𝒂𝟒 𝟎𝟒

−

𝟐𝒂 𝟒 𝝅𝒂𝟑 𝟐 𝒖 𝟖

𝟒

]

28.- x= a, la parábola y2 = 4ax. Rpta. 32πa3/15 u3. y = 2√𝒂𝒙 La gráfica es: Página 53

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

Solución: 𝒂

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫𝟎 𝒙[𝟐√𝒙𝒂]𝒅𝒙 𝒂

𝑽 = 𝟒𝝅√𝒂 ∫𝟎 𝒙𝟑/𝟐 𝒅𝒙 𝑽 = 𝟒𝝅√𝒂 [ 𝑽 = 𝟒𝝅√𝒂 [ 𝑽=

𝟖𝝅𝒂𝟑 𝟓

𝟐𝒙𝟓/𝟐 𝟓

𝒂

]

𝟐𝒂𝟓/𝟐 𝟓

𝟎

−

𝟐(𝟎)𝟓/𝟐 𝟓

]

𝒖𝟐

29.-entre las parábolas y = x2 e y = √𝒙 ; Rpta : 3π/10 La grafica es:

Página 54

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

Solución: 𝟏

𝑽 = ∫𝟎 𝟐𝝅𝒙[√𝒙 − 𝒙𝟐 ]𝒅𝒙 𝟏

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫𝟎 [𝒙√𝒙 − 𝒙𝟑 ]𝒅𝒙 𝟏

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫𝟎 [𝒙𝟑/𝟐 − 𝒙𝟑 ]𝒅𝒙 𝑽 = 𝟐𝝅 [

𝟐(𝒙𝟓/𝟐 ) 𝟓

𝑽 = 𝟐𝝅 {[

−

𝟐(𝟏𝟓/𝟐 ) 𝟓

𝒙𝟒

𝟏

]

𝟒 𝟎 𝟏𝟒

𝟐(𝟎𝟓/𝟐 )

𝟒

𝟓

−

]−[

−

𝟎𝟒 𝟒

]}

𝟑

𝑽 = 𝟐𝝅( ) 𝑽=

𝟑𝝅 𝟏𝟎

𝟐𝟎 𝟑

𝒖

30.-hallar el volumen del cuerpo que se engendra el girar la cisoide 𝒚𝟐 =

𝒙𝟑 𝟐𝒂−𝒙

alrededor de la asíntota x = 2a.

Rpta 2π2a3 u3. La grafica es: Página 55

ANALISIS MATEMATICO II

INTEGRACION

Solución: 𝟐𝒂

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫𝟎 [𝒙 − 𝟐𝒂] [√ 𝑽=

𝟐𝒂 𝒙𝟑 √ 𝟐𝝅 ∫𝟎 𝒙 𝒅𝒙 𝟐𝒂−𝒙

𝒙𝟑 𝟐𝒂−𝒙

−

] 𝒅𝒙

𝟐𝒂 𝒙𝟑 √ 𝟒𝝅𝒂 ∫𝟎 𝟐𝒂−𝒙

Página 56

𝒅𝒙