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Ejercicios propuestos

1) Dados los vectores a y b, con origen en (0,0), resolver: (a+b) y graficar. a) a=(1,3) b=(6,2) b) a=(6,-3) b=(3,-7) c) a=(-4,2) b=(-2,5) d) a=(-4,-1) b=(-2,4) 2) Dibujar tres vectores de modulo 4 y argumento entre 60 y 120 3) Calcular el modulo y el argumento de los siguientes vectores u=(-3,4) v=(3/2,-2) w=(11,-5) 4) Escribir las coordenadas de tres vectores paralelos a v=(5,2) 5) Representar en ejes cartesianos a=2i+3j 6) Dados los vectores: a=-3i+2j b=-i-j c=-1/2i+4j d=4i-5j Resolver analítica y gráficamente. 7) Dados los vectores v = (-1,2) y w = (3,2) i) Calcule: a) b) c) < v, w – v > d) e)  v f)  w ii) Verifique que = < v, w> - < v, v> iii) Halle el coseno del ángulo θ formado por v y w. Ayuda : cos θ = /  v   w  . 8) Halle el ángulo θ, entre los vectores dados en cada caso: a) b) c) d) e) f)

u = (-1, 2), u = (-1, 2), u = ( 1, 2), u = ( 1, 1), u = ( 1, 1), u = ( 1, 1),

v v v v v v

= ( 0, 1) R/. = ( 1,1/2) R/. = ( 7,14) R/. = ( 1,-1) R/. = (-1, 1) R/. = (-1,-1) R/.

θ θ θ θ θ θ

= arccos 2√5 / 5 = arccos 0 = 90° = arccos 1 = 0 ° = arccos 0 = 90° = arccos 0 = 90° = arccos-1 = 180°

9) Hallar los ángulos interiores α, β, γ del triángulo cuyos vértices son A(1,1), B(1,-1), C(-1,1) C

Ayuda: α = arccos (CA . CB) /  CA   CB 

A

β γ

B

β = arccos (AC . AB) /  AC   AB   BC   BA 

γ = arccos (BC . BA) /

10) Calcular la resultante (vector suma-en función de las componentes y vectores unitarios correspondientes) del sistema formado por los vectores A(3,-2,3); B(1,1,-2) y C(2,2,-1). 11) Dado el vector A=2i+6j-4k determinar 3/2⋅ A. 12) Halla el vector unitario de C=3i+4j+5k. 13) Calcula el producto escalar de los vectores V=3i+5j-1k y W(-2,0,4). 14) Determinar el ángulo que forma el vector del ejercicio 3 con el eje OX, y el valor de su proyección sobre dicho eje. 15) Halla el vector unitario perpendicular a los vectores V(1,2,3) y W(-1,0,2). 16) Un vector A tiene de componentes (1,2,3). Otro vector B tiene de módulo 31/2 y su componente x (Bx) vale 1. Determinar B para que sea perpendicular a A. 17) ¿Cuál debe ser el valor de m para que el vector A(1,m,2) forme un ángulo de 60º con el eje Z?. 18) Dados A(5,3,4) y B=6i-j+2k, calcular: a) su producto escalar b) el ángulo que forman c) los cósenos directores del vector B. 19) Siendo los vectores A(Ax,5,3) y B(Bx,1,0) y sabiendo que A-B=4j+3k y que el módulo de su suma vale 9. Determinar Ax y Bx. 20) Dados los vectores A=3i-3j+2k y B(3,4,0), calcular: a) AxB y BxA. b) Área del paralelogramo formado por ambos vectores. c) Un vector de módulo 3 perpendicular al plano formado por A y B. d) (A+B)x(A-B).

21) Para cada uno de los siguientes vectores, calcule ι v ι: i) v = (-2,4,7) ii) v = (√2,1,1) -√2, -1) v) v = (-1, -√2, -1)

iii) v = (0,0,0)

iv) v = (1,

22) Para cada uno de los siguientes vectores, calcule ι v ι / ι v ι. Es decir, normalice a v. Compruebe en cada caso que v / ι v ι tiene magnitud 1. i) v = (-2,4,7) ii) v = (√2,1,1) -1) v) v = (-1, -√2, -1)

iii) v = (0,0,0)

iv) v = (1, -√2,

23) Obtener dos vectores unitarios que sean ortogonales al vector u = (3, -4). Sea A(1, -2, 3); B(2, 3, -1) y C(-1, 0, 3) los vértices de un triángulo. Encuentre: a. Sus ángulos interiores

b. Su Perímetro

24) Dado el vector u = (1, 3) obtenga dos vectores ortogonales al vector u de dirección opuesta y de norma 10. 25) Calcula el ángulo que forman los vectores de R3 u = (1, 1, 1) y v = (1, 1, 0); u = (1, 2, 0) y v = (0, 4, 1). 26) Obtenga el producto interior de cada par de vectores dados:a. (4,8), (2,1) ; (1,2,3), (7,8,9) 27) Determine que pares de vectores del ejercicio anterior, son ortogonales. 28) Determine la magnitud de los siguientes vectores: (1,3); (1,5,-2) 29) Calcule el ángulo y el coseno del ángulo entre cada par de vectores:6. (3,4), (-1,5); (1,1,1), (5,0,0) 30) Halle un vector unitario que sea paralelo y tenga la dirección de cada vector dado:a. (3,4) b. (2,3,-2) 31) Encuentre la longitud del vector PQ, donde P = (1, 4) y Q = (3, 9). 32) a. ¿Cuántos vectores unitarios ortogonales a (3,1) hay en R2? b. ¿Cuántos vectores unitarios ortogonales a (3,1,1) hay en R3? 33) ¿Qué parejas de vectores son perpendiculares entre sí? i) (1, −1, 1) y (2, 1, 5) ii) (1, −1, 1) y (2, 3, 1) iii) (−5, 2, 7) y (3, −1, 2) iv) (π, 2, 1) y (2, −π, 0) 34) Determinar el coseno de los ángulos del triángulo cuyos vértices son i) (2, −1, 1) , (1, −3, −5) , (3, −4, −4), ii) (3, 1, 1) , (−1, 2, 1) , (2, −2, 5)

35) Determine los ángulos entre la diagonal de un cuadrado en R2 y sus aristas 36) Determine los ángulos entre las diagonales de un cubo en R3 y sus aristas. 37) Si

y

, encuentre

a. Un vector ortogonal a A y B. b. El área del paralelogramo formado por A y B.

38) Hallar el área del triángulo de vértices .

39) Dados los vectores modo que a.

sea perpendicular a

b.

sea paralelo a

y

,

donde

.

, encontrar p de

.

.

40) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos y

y

,