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• Edson Lopez Jimenez

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UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS Estadística Aplicada 2 CE87 Solución de los ejercicios propuestos Tema: Prueba de hipótesis para una media y una proporción 1. Una empresa produce bifenilo ploriclorado (PCB), como aislante eléctrico. Como parte de su proceso

de producción, descarga pequeñas cantidades del mismo en el río. La gerencia de calidad de la empresa, en un intento por controlar la cantidad de PCB en sus descargas al río, ha dado instrucciones de detener la producción si la cantidad media de PCB en el efluente es superior a 3 ppm. Se recogen al azar 50 muestras de agua y se registra una descarga promedio de 3,1 ppm con una desviación estándar de 0,5 ppm de PCB. ¿Proporcionan tales estadísticas suficientes pruebas para detener el proceso? Utilice nivel de significación de 1%.

Interpretación: ¿Es la cantidad media de PCB en el efluente mayor a 3 ppm? Representación: • X: cantidad de PCB en el efluente • Herramienta estadística: Para responder el problema de investigación, se utilizará el proceso de prueba de hipótesis para una media. 1) H0:  ≤ 3 H1:  > 3 2)  = 0,01

Cálculos: 3) Valor de la Estadística de prueba: 𝑡𝑐𝑎𝑙 =

𝑥̅ − 𝜇 3,1 − 3 = = 1,414 𝑆⁄√𝑛 0,5⁄√50

4) Regiones críticas:

Análisis: 5) Decisión: Como tcalc= 1,41 4 < tcrítico =t(49; 0,01)= 2,405 , no se rechaza H0 6) Al 1% de significación, no se puede afirmar que la cantidad media de PCB en el efluente es superior a 3 ppm. Argumentación: La gerencia no debe detener la producción de PCB. 2. Un fabricante de envases de plástico desarrolló un nuevo envase de bote de basura y pretende venderlo con una garantía de seis años. Para ver si esto es factible desde el punto de vista económico, 60 botes seleccionados aleatoriamente, se someten a prueba acelerada de duración para simular seis años de uso. De estos, 48 sobrevivieron en la prueba. La garantía propuesta se modificará sólo si los datos muestrales sugieren que menos del 90% sobreviven la prueba acelerada. Realice la prueba respectiva con un nivel de significación del 5%

SEMANA 02. EJERCICIOS PROPUESTOS

Interpretación: Determinar si se modificará la garantía de los nuevos botes de plástico. Representación: Se define la variable para el análisis: • X: Número de botes que sobreviven la prueba • Herramienta estadística: Para responder el problema de investigación, se utilizará el análisis de la prueba de hipótesis para una proporción. 1) H0: p ≥ 0,90 H1: p < 0,90 2)  = 0,05 Cálculos: 3) Valor de la Estadística de prueba: 48 𝑝̂ = = 0,8; 60

𝑍𝑐𝑎𝑙 =

0,80 − 0,90 √0,90 × (1 − 0,90) 60

= −2,58

4) Zona de rechazo:

Análisis: 5) Decisión: Como: Zcalc= -2,58 < -1,645; se rechaza H0 6) Al 5% de significación, se puede afirmar que menos del 90% de botes sobreviven la prueba acelerada. Argumentación: Se recomienda que la garantía propuesta se modifique. 3. Un químico ha desarrollado un material plástico que, según él, tiene una resistencia media a la ruptura superior a 29 psi. Para comprobar la bondad del método se tomaron aleatoriamente 20 láminas de plástico y se midió la resistencia a la ruptura de cada lámina. Los resultados se muestran a continuación: 30,1 32,7

22,5 27,5

28,9 27,7

29,8 28,9

31,4 30,4

27 31,2

24,3 26,4

22,8 29,4

22,3 29,1

33,4 23,5

Al nivel de significación 5% y suponiendo normalidad ¿Será correcto afirmar que la variabilidad de la resistencia a la ruptura es diferente de 4,8 psi? Interpretación: ¿Es la variabilidad de la resistencia a la ruptura diferente de 4,8 onzas por pulgada cuadrada? Representación: X: Resistencia a la ruptura de las láminas de plástico Herramienta estadística: Para responder el problema de investigación, se utilizará el análisis de la prueba de hipótesis para una varianza. 1) H0: 2 = 4,82 H1: 2 ≠ 4,82 2)  = 0,05 Cálculos: 3) Valor del Estadístico de prueba: Semana 02. Sesión online 2

2 𝜒𝐶𝑎𝑙

(𝑛 − 1)𝑆 2 19 × 11,5182 = = = 9,4985 𝜎2 4,82

4) Zona de rechazo: Chi-crítico = χ2 (19; 0,975) = 8,907 Chi-crítico = χ2 (19; 0,025) = 32,852 5) Decisión: Como 8,907 < Chicalc= 9,4982 < 32,852, no se rechaza H0 6) Al 5% de significación, no se puede afirmar que la variabilidad de la resistencia a la ruptura del plástico es diferente a 4,8 onzas por pulgada cuadrada Argumentación: No es correcto realizar la afirmación. 4. En Perú Tex, se requiere que la resistencia a la ruptura de la fibra textil usada en la fabricación de un

material para cortinas sea de al menos 100 psi. Una muestra aleatoria de nueve observaciones da una resistencia promedio a la ruptura es de 98 psi con una varianza de 25 psi2. ¿Esta muestra nos proporciona evidencia suficiente para afirmar que se está cumpliendo con el requerimiento? Use un nivel de significación del 4% tcal = -1,2

t crítico = -1,85955

No se rechaza la hipótesis nula; se está cumpliendo con el requerimiento

5. Una máquina envasadora de cereal debe llenar cada caja con 400 gramos, en promedio, y con una desviación estándar menor de 10 gramos. El gerente de producción desea verificar los requerimientos anteriores usando una muestra de 10 cajas de cereal. Peso de la caja (g) 401,7 403,8 387,1 405,7 400,1 378,6 419,2 406,1 400,8 410,0 Suponga que el contenido de cereal por caja tiene distribución normal. a. ¿Se puede concluir que el proceso de llenado de las cajas de cereal está funcionando de acuerdo con el requerimiento con respecto a la cantidad promedio de cereal? b. ¿Se puede concluir que el proceso de llenado de las cajas de cereal está funcionando de acuerdo con el requerimiento con respecto a la desviación estándar? tcal = ±0,3643

Chical = 11,64

t crítico = -2,39844

No se rechaza la hipótesis nula; Bajo un nivel de significación del 4%, se puede concluir que el proceso de llenado de las cajas de cereal está funcionando de acuerdo con el requerimiento con respecto a la cantidad promedio de cereal

Chical = 2,532 y No se rechaza la hipótesis nula; Bajo un nivel de significación del 4%, se puede concluir que el proceso de llenado de las cajas de cereal está funcionando de 19,679 acuerdo con el requerimiento con respecto a la desviación estándar

6. Tarjetas de circuitos impresos se someten a pruebas de funcionamiento después de instalar en ellas chips semiconductores. Se ha evaluado una muestra aleatoria 60 tarjetas; se anota su condición: Defectuosa y No defectuosa, los resultados se muestran a continuación: No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa Defectuosa No defectuosa No defectuosa Defectuosa No defectuosa

No defectuosa No defectuosa Defectuosa Defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa

No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa Defectuosa No defectuosa Defectuosa No defectuosa

No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa Defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa Defectuosa

No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa

No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa No defectuosa Defectuosa No defectuosa

Pruebe a un nivel de significancia del 1% si la proporción de tarjetas defectuosas es superior al 6%. Semana 02. Sesión online 3

Zcal =2,94

Z crítico = 2,33

Se rechaza la hipótesis nula; podemos afirmar que la proporción de tarjetas defectuosas es superior al 6%.

7. Se utiliza un penetrómetro cónico dinámico (DCP, por sus siglas en inglés) para medir la resistencia de un material a la penetración (mm/golpe), a medida que el cono es insertado en pavimento o subrasante. Suponga que, para una aplicación particular, se requiere que el valor penetración cónica dinámica promedio verdadera para un cierto tipo de pavimento sea menor que 30. El pavimento no será utilizado a menos que exista evidencia concluyente de que la especificación fue satisfecha. Formule y pruebe las hipótesis apropiadas utilizando los datos siguientes: 34,2 24,9

Penetración mm/golpe

31,9 46,0

18,5 34,2

33,4 8,9

35,9 46,3

29,5 45,0

39,3 14,6

38,1 43,2

34,9 38,2

¿El pavimento no será utilizado? Use un nivel de significación del 1%. tcal = 1,2675

t crítico = -2,567

No se rechaza la hipótesis nula, el pavimento no será utilizado

8. Un fabricante de baterías de níquel-hidrógeno selecciona al azar 100 placas de níquel para probar las celdas

someterlas a ciclos, un número especificado de veces y concluye que 14 de ellas se ampollan. ¿Proporciona esto una evidencia precisa para concluir que más de 10% de todas las placas se ampollan en tales circunstancias? Formule y pruebe las hipótesis apropiadas con un nivel de significación de 0,02. Al llegar a su conclusión, ¿qué tipo de error pudo haber cometido? Zcal =1,33

Z crítico = 2,05

No se rechaza la hipótesis nula; no podemos concluir que más de 10% de todas las placas se ampollan.

9. Se debe elaborar determinada pieza con tolerancias muy estrechas, para que los clientes la puedan aceptar. Las especificaciones del producto piden que la varianza máxima de las longitudes de las piezas sea de 0,0004 mm2. Suponga que, con 30 piezas, la varianza de la muestra resultó ser 0,0005 mm2. Pruebe, con un nivel de significación del 5% si se ha violado la especificación de varianza de población. Chi crítico = 42,56 Chical =36,25

No se rechaza la hipótesis nula; con un nivel de significación del 5%, la varianza de la longitud de las piezas sea menor a 0,0004 mm2. Se ha violado la especificación de varianza poblacional.

10. La vida útil de una cámara de video es de seis años en promedio, con desviación estándar de 0,75 años. Una muestra de la vida útil (en años) de nueve televisores dio los siguientes resultados:

8,0

7,2

6,0

5,3

5,7

8,3

3,3

7,0

5,1

Plantee una prueba de hipótesis que se pueda usar para determinar si la desviación estándar de la vida útil de los televisores es considerablemente mayor que la de las cámaras de video. Con un nivel de significancia de 0,025, ¿cuál es su conclusión? Suponga que la vida útil de estos televisores se distribuye normalmente. Chi crítico = 15,51 Chical =35,57

Se rechaza la hipótesis nula; con un nivel de significación del 0,025%, la desviación estándar de la vida útil de los televisores es mayor que la de las cámaras de video.

11. Sagitario Gardens, se especializa en jardines de zonas residenciales diseñados según el gusto del cliente. La estimación del precio de un proyecto se basa en el número de árboles, arbustos, etc., a emplear en el proyecto. Para propósitos de estimación de costos, los gerentes consideran que se requieren dos horas de trabajo para plantar un árbol mediano. A continuación, se presentan los tiempos (en horas) realmente requeridos en una muestra de 10 árboles medianos plantados durante el mes pasado. 1,7

1,5

2,6

2,2

2,4

2,3

2,6

3,0

1,4

2,3

Con un nivel de confianza del 95%, realice una estimación de la media del tiempo de para plantar un árbol mediano. Asuma que el tiempo en plantar un árbol mediano se distribuye normalmente. [1,831; 2,569]

12.Sagitarius nationals transport Association realiza encuestas entre los viajeros en las que se califica la calidad sus terminales terrestres. La calificación máxima es 10. Se seleccionó una muestra aleatoria simple de 130 viajeros y a cada uno se le solicitó su evaluación para el terminal de la ciudad A. Las calificaciones que proporcionaron estos 130 muestran que 24 dan calificaciones debajo de cinco puntos. Si más del 10% de los viajeros dan calificaciones menores a cinco puntos, Sagitarius elaborará nuevas directivas a fin de revertir tal situación. Realice la estimación correspondiente con una confianza del 98%. ¿cuál es su conclusión?

[0,105453; 0,26778]

Semana 02. Sesión online 4