Ejercicios de Matrices
Matrices. Ejercicios y problemas 1Dadas las matrices: Calcular: A + B; A - B; 2Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, sie
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Matrices. Ejercicios y problemas 1Dadas
las matrices:
Calcular:
A + B;
A - B;
2Demostrar
que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:
3
A x B;
Sea A la matriz
4Por
At.
. Hallar An , para n
qué matriz hay que premultiplicar la matriz
para que resulte la matriz
5Calcular
6
B x A;
.
la matriz inversa de:
Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
7
Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en
tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en
la
terminación
N,
200
unidades
en
la
terminación
L
y
50
unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en
la
terminación
N,
100
unidades
en
la
terminación
L
y
30
unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.
1.Representar la información en dos matrices.
2.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.
8
Calcular el rango de la matriz siguiente:
9
Siendo:
Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:
10Resolver;
en forma matricial, el sistema:
Matrices. Ejercicios y problemas
2 Demostrar que: A2 - A - 2 I = 0, siendo:
Matrices. Ejercicios y problemas
3
Sea A la matriz
. Hallar An , para n
Matrices. Ejercicios y problemas
4
Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la matriz
.
Matrices. Ejercicios y problemas
5 Calcular la matriz inversa de:
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2
Utilizar
el
método
Gauss
para
transformar
la
mitad
izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
Matrices. Ejercicios y problemas
7 Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en
la
terminación
N,
200
unidades
en
la
terminación
L
y
50
unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en
la
terminación
N,
100
unidades
en
la
terminación
L
y
30
unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.
1.Representar la información en dos matrices.
2.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.
Matriz de producción:
Filas:
Modelos A y B
Columnas:
Terminaciones N, L,
S
Matriz de coste en horas:
Filas:
Terminaciones N, L, S
Columnas:
Coste en horas:
T, A
Matriz que expresa las horas de taller y de administración para cada uno de los modelos:
Matrices. Ejercicios y problemas
8 Calcular el rango de la matriz siguiente:
F1 - 2 F2
F3 - 3 F2
F3 + 2 F1
Por tanto r(A) =2.
Matrices. Ejercicios y problemas
9 Siendo:
Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:
Matrices. Ejercicios y problemas
10 Resolver; en forma matricial, el sistema:
1.Sean a) ¿Qué clase de matrices son? b) Calcular: - A - B + C. A + B - C. 3A + C/2. c) Calcular: (A · B) /C. d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado. Resolución: a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí. b)
c) Puesto que (A ⋅ B) /C = A ⋅ B ⋅ C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.
• Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,
• Por lo tanto, la matriz inversa de C es:
• A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,
• Por último, calculamos (A⋅ B)⋅ C-1.
= • Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:
d) Primero se construye la matriz M = (A I) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:
• Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene
. Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,
. • Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,
Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:
• Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir AA-1 = I. Procedamos a la comprobación:
2. Calcular los siguientes determinantes:
Soluciones:
= 2(-6-24+16+2)+ 5(-4-24+6)-1(4+12-16-3) = -24-110+3 = -131.
= 1·(16+0+24-(-4)-(-30)-0) -2·(-128-2+30-(-40)-12-(-16)) = 74-2·(-56) = = 74+112 = 186.
3. Calcular , la inversa de las siguientes matrices: a)
b)
a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:
El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son: B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B, denotado por adj B, será
b) Empezaremos por hallar el det A,
Los cofactores de los nueve elementos de A son:
La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:
Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1: