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• Moises Hernández

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Tarea segundo parcial f´ısica moderna Mois´es Hern´andez Cruz 14 de noviembre de 2018 2. ¿La longitud de ond de De Broglie solamente se aplica a part´ıculas elementales, tales como el electr´ on o prot´on, o se aplica tambi´en a sistemas complejos que poseen una estructura interna? Soluci´ on: Solo se aplica a part´ıculas elementales, ya que para que se cumpla se deben dar las condiciones de difracci´on necesarias tales que el tama˜ no del objeto de estudio deben ser del orden de magnitud de la lingitud de onda. 3. Si en la f´ ormula de De Broglie se hace m infinita, ¿Se obtiene el resultado cl´ asico para part´ıculas macrosc´opicas? Soluci´ on: De la f´ ormula de De Broglie, tenemos que: λ=

h P

´ bi´en O

h mv Por lo que si m tiende a infinito, la longitud de onda de De Broglie tiende a ser cero, esto no permite calcularla en el l´ımite cl´asico y este resultado contrasta con el resultado anterior. 5. ¿La frecuencia de una onda de De Broglie se obtiene de ν = E/h ? ¿La velocidad deλν ? ¿La velocidad es igual a c? Explique. Soluci´ on: Seg´ un los postulados de De Broglie λ=

E = hν Por lo que la frecuencia de una onda de De broglie puede estar dada por ν=

E h

Para la velocidad tenemos que v = νλ Adem´ as, sabemos que λ = h/P , por lo que v=

hν E = P P 1

Sabiendo que E = mvp2 /2 donde vp es la velocidad de la part´ıcula corpuscularmente, y que P = mvp , tenemos que la velocidad de la onda de materia con respecto a la part´ıcula ser´ a mvp2 v= 2mvp vp v= 2 6. ¿Se puede medir la frecuenciaν de una longitud de onda de De Broglie? Explique como. Soluci´ on: Si, mediante la expresi´on E h

ν=

7. La longitud de onda de la emisi´on amarilla del sodio es 5890 A. ¿A qu´e energ´ıa cin´etica tendr´ıa un electr´on la misma longitud de onda de De Broglie? Soluci´ on: De los postulados de De Broglie tenemos que P =

h λ

Adem´ as la energ´ıa cin´etica se puede expresar como K=

P2 2me

Sustituyendo la expresi´ on del momento en la ecuaci´on de la energ´ıacin´etica, tenemos que K=

6,62 × 10−34 Js h2 = 2me λ2 2(9,1 × 10−31 kg)(5890 × 10−10 m)2 K = 6,9536 × 10−25 J

8. Un electr´ on y un fot´ on tienen cada uno longitudes de onda de 2 A.¿Cuales son sus a) impulsos? b) energ´ıas cin´eticas? c) Compare las energ´ıas cin´eticas del fot´ on y dl electr´ on. a) Para el impulso del fot´ on, tomamos del postulado de De Brogle P =

h 6,62 × 10−34 Js = λ 2 × 10−10 m

P = 3,3130 × 10−24 kgm/s a) Para el electr´ on, debido a que no contamos con la velocidad y a que de acuerdo a los postulados de De Broglie podemos utilizar la ecuaci´on anterior, tenemos que el impulso ser´ a el mismo ya que tienen las mismas longitudes de onda 6,62 × 10−34 Js h P = = λ 2 × 10−10 m 2

P = 3,3130 × 10−24 kgm/s b)Para la energ´ıa cin´etica, en el caso del fot´on, tenemos que su energ´ıa estar´a dada por hc (6,62 × 10−34 Js)(3 × 108 m/s) E=K= = λ 2 × 10−10 m K = 9,9322 × 10−16 J b) En el caso del electr´ on, podemos obtener su energ´ıa cin´etica de manera cl´asica, ya que su momento o impulso es peque˜ no, por lo que K=

P2 (3,3130 × 10−24 kgm/s)2 = 2me 2(9,1 × 10−31 kg) K = 6,0245 × 10−18 J

c) De acuerdo a los resultados observamos que los impulsos de ambos son iguales debido a que tienen la misma longitud de onda, sin embargo, el fot´on tiene mayor energ´ıa cin´etica, esto es debido a que en la energ´ıa cin´etica del fot´on no interviene su masa y depende u ´nicamente de la longitud de onda (igual en ambos) y de la velocidad de la luz. 10. ¿Cu´ al es la longitud de onda de un ´atomo de hidr´ogeno que se mueve con una velocidad correspondiente a la energ´ıa cin´etica promedio para equilibrio t´ermico a 20 grados Celsios? Soluci´ on: La velocidad promedio de una part´ıcula en equilibrio t´ermico est´a dada por r 3Kb T v= m Por lo que utilizando la masa dell ´atomo de hidr´ogeno tenemos que s 3(1,381 × 10−23 J/K)(293K) v= = 26960,81m/s 1,67 × 10−29 kg Donde Kb es la constante de Boltzman y T la temperatura en Kelvin, adem´as de los postulados de De Broglie tenemos que λ=

h h = P mv

Por lo que la longitud de onda ser´a λ=

6,62 × 10−34 Js = 14,71A (1,67 × 10−29 kg)(26960,81m/s)

15. Demuestre que para una part´ıcula libre, la relaci´on de incertidumbre puede escribirse como: Donde δx es la incertidumbre en la posici´on de la onda y la incertidumbre simult´ anea en la longitud de onda. Soluci´ on:

3

27. Un ni˜ no sobre una escalera de altura H, deja caer canicas de masa m al piso, tratano de pegarle a una figura. Para apuntar, utiliza equipo de la m´as alta presici´ on. a) Demuestre que las can´ıcas no caer´an en la figura por una distancia del orden de (h/2πm)2 (H/g)1/4 , donde g es la aceleraci´on debida gravedad. b) Utilizando par´ ametro razonables de H y m, evaluar esta distancia. 11. Demostrar que la constante de Planck tiene dimensiones de impulso angular. Soluci´ on: 14. Demostrar que para todas las ´orbitas de Bohr la raz´on del momento magn´etico dipolar de la ´ orbita electr´onica al impulso angular orbital tiene el mismo valor. Soluci´ on: 16. Cuales son la energ´ıa, el impulso y la longitud de onda de un fot´on emitido por un ´ atomo de hidr´ ogeno que sufre una transici´on directa desde un estado excitado con n=10 hasta un estado base? Encontrar la rapidez de retroceso del atomo de hidr´ ´ ogeno en este proceso. Soluci´ on: El n´ umero de onda se expresa como K = RZ 2 (

1 1 − 2) n2f ni

Se tiene que R = 1,097 × 107 1/m y Z=1 ya que se trata de un ´atomo de hidr´ ogeno, por lo que K = (1,097 ×7 1/m)(

1 1 − ) = 1,1921 × 101 41/m (1)2 (10)2

Sabiendo que λ = 1/k se tiene que λ=

1 = 920,47A 1,1921 × 101 41/m

Para el impulso se tiene que P =

h 6,62 × 10−34 Js = λ 920,47 × 10−10 m

P = 7,1985 × 10−27 m Y para la energ´ıa E=

hc (6,62 × 10−34 Js)(3 × 108 ) = λ 920,47 × 10−10 m E = 2,1595 × 10−18 J

19. Seg´ un el modelo de Bohr, cuales son a) el n´ umero cu´antico? b) el radio de la ´ orbita? c) el impulso angular? d) el impulso lineal? e) la velocidad angular? 4

f) la rapidez lineal? g) la fuerza sobre el electr´on? h) la aceleraci´on del electr´on? i) la energ´ıa cin´etica? j) la energ´ıa potencial? k) la energ´ıa total para el estado base del ´ atomo de hidr´ ogeno. ¿Como var´ıan las cantidades b) y k) con el n´ umero cu´ antico? Soluci´ on: 21. Se excita un ´ atomo de hidr´ogeno desde un estado n=1 a uno con n=4. a) calcular la energ´ıa que debe absorver el ´atomo, b)Calcular los niveles de energ´ıa, c) Calcular la rapidez de retroceso de ´atomo de hdr´ogeno, suponiendolo inicialmene en reposo. Soluci´ on: Sabemos que Eθ En = − 2 = n −16,6eV E1 = = −16,6eV 12 13,6eV E4 = − = −0,85eV 42 La energ´ıa que debe absorber estar´a dada por δE = E2 − E1 = −,85eV − (−13,6) = 12,75eV b) Obtenemos E2 yE3 E4 − E1 = 12,75eV E4 − E2 = 2,55eV E4 − E3 = 0,66eV E3 − E1 = 12,09eV E3 − E2 = 1,89eV E2 − E1 = 10,2eV b)Si lo hace de un solo salto, se tiene que E4 − E1 = 12,75eV Yde la relaci´ on P =

E 12,75eV = c 3 × 108 m/s

Pero

P m Por lo tanto la rapidez de retroceso estar´a dada por v=

v = 4,07m/s

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