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• chique7

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Equivalencias Notables: 1.

Ley de Doble Negación: a) ∼ ( ∼ p ) ≡ p

2.

Ley de Idempotencia: a) p ∧ p ≡ p b) p ∨ p ≡ p

3.

Leyes Conmunitativas: a) ( p ∧ q ) ≡ ( q ∧ p ) b) ( p ∨ q ) ≡ ( q ∨ p ) c) p↔ q ≡ q↔p

4.

Leyes Asociativas: a) p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r b) p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r c) p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q ) ↔ r

5.

Leyes Distributivas: a) p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) b) p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) c) p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q d) p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q

6.

p∧r) p∨r) (p→r) (p→r)

Leyes de Morgan: a) ∼ ( p ∧ q ) ≡ ∼ p ∨ ∼ q b)

7.

∨( ∧( )∧ )∧

∼(p∨q) ≡ ∼p∧∼q

Leyes del Condicional: a) p → q ≡ ∼ p ∨ q b)

∼(p→q) ≡ p∧∼q

8.

Las Leyes del Bicondicional: a) ( p ↔ q ) ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) b) ( p ↔ q ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∨ ∼ q )

9.

Ley de la Absorción: a) p ∧ ( p ∨ q ) ≡ p b) p ∧ ( ∼ p ∨ q ) ≡ p ∧ q c)

p∨(p∧q) ≡ p

d)

p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q

10. Leyes de Transposición: a) (p → q ) ≡ ∼ q → ∼ p b)

p↔q ≡ ∼q↔∼p

11. Leyes de Exportación: a) ( p ∧ q ) → r ≡ p → ( q → r ) b)

( p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ..... ∧ pn ) → r ≡ ( p1, p2, ..... pn - 1 ) → (pn → r )

12. Elementos Neutros para la Conjunción y Disyunción: a) p ∧ V ≡ p b)

p∨F ≡ p

13. También: a) ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ∼ q ) ≡ p b)

(p∧q)∨ (p∧∼q) ≡ p

Ejercicios

1.

2.

Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a)

Si 4 + 3 = 7, entonces 6 + 4 = 10

(V)

b)

El IESPP JULI está en Juli o Pomata

(V)

c)

No es verdad que 3 + 3 = 7, si y sólo si 8 + 2 = 15

(F)

d)

No es verdad que: 2 + 2 = 5 o que 2 + 2 = 4

(F)

e)

4 + 8 = 12 y 9 – 4 = 5

(V)

f)

El IESPP JULI en Pomata

(F)

g)

3+4=7y3–1=1

(F)

Determinar si es una tautología, contradicción o contingencia: a)

∼{∼[p∨(∼q →p)] ∨ ∼ [(p↔∼ q)→(q∧∼ p)]}

b)

[∼p∧(q∨r)]↔[(p∨r)∧q]

c)

[p→(r∨∼q)]

d)

[ (∼ p ∧ q ) → ∼ r ] ↔ [ r ∧ ∼ ( p ∨ ∼ q ) ]

e)

[p→(q→r)]↔[(p∧∼r)→~q] Solución:

a)

El esquema molecular es igual a: [p∨(∼q →p)]∧

p

q

[ p

V V F F

V F V F

V V F F

[(p↔∼ q)→(q∧∼ p)] ( ∼ q →p ) ] ∧ [ ( p ↔ ∼ q ) → ( q ∧ ∼p ) ]

∨ V V V F

V V V F

V F V F

F V V F

V F V V

F F V F

Es una CONTINGENCIA

b)

[∼p∧(q∨r)]↔[(p∨r)∧q] p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

[ ∼p

∧

(q∨r) ]

F F F F V V V V

F F F F V V V F

V V V F V V V F

p V V V V F F F F

→ V F V V V V V V

↔

[ ( p

F F V V V F F V

V V V V V F V F

∴ CONTINGENCIA

c)

[p→(r∨∼q)] p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

[

∴ CONTINGENCIA

(r∨∼q) ] V F V V V F V V

∨

r)∧q] V V F F V F F F

V V F F V V F F

d)

[ (∼ p ∧ q ) → ∼ r ] ↔ [ r ∧ ∼ ( p ∨ ∼ q ) ] p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

∴

e)

[(∼p ∧ q) → ∼ r ] F F F F V V F F

V V V V F V V V

F V F V F V F V

↔ F F F F F F F F

[

r

∧ ∼(p∨∼q)]

V F V F V F V F

F F F F V F F F

F F F F V V F F

CONTRADICCIÓN

[p→(q→r)]↔[(p∧∼r)→q] p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

[

p

→

V V V V F F F F

V F V V V V V V

(q→r) ] ↔ V F V V V F V V

V V V V V V V V

[ ( p ∧ ∼r ) F V F V F F F F

→ V F V V V V V V

~q] F F V V F F V V

∴ TAUTOLOGÍA 3.

El valor de verdad de: (p → ∼ q) ∨ ( ∼ r → s) es falso, determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares: a)

( ∼ p ∧ ∼ q) ∨ ∼ q

b)

(∼r∨q)↔[(∼q∨r)∧s]

c)

(p→q)→[(p∨q)∧∼q] Solución: (p → ∼ q) ∨ ( ∼ r → s) ≡ F p→∼q≡F p≡V q≡V

a)

∼r→s≡F r≡F s≡F

( ∼ p ∧ ∼ q) ∨ ∼ q (F∧F) ∨ F F ∨ F F

b)

(∼r∨q)↔[(∼q∨r)∧s] (V∨V)↔[(F∨F)∧F] V↔(F∨F) V↔ F F

c)

(p→q)→[(p∨q)∧∼q] (V→V)→[(V∨V)∧F] V →(V ∧F) V →F F

4.

Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas:

∼[∼ (p∧q)→∼q]∨q ∼[ (p∧q) ∨ ∼q ]∨q [∼(p ∧ q) ∧ q ]∨q [(∼p∨∼q)∧ q ]∨q q 5.

Si definimos “#” como ( p # q ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ∼ ( p ∧ q ). Hallar una expresión equivalente a p # q. (p#q)≡(p∨q)∧∼(p∧q) (p#q)≡(p∨q)∧ (∼p∨∼q) (p#q)≡[(p∨q)∧ ∼p] ∨ [(p∨q)∧ ∼q] ( p # q ) ≡ (∼ p ∧ q ) ∨ ( ∼ q ∧ ∼ p ] (p#q)≡ ∼( q→p)∨ (p#q)≡ ∼[ (p→q)∧

∼(p→q) ∼(q→p)]

(p#q)≡ ∼[ p↔q)]

6.

Demostrar que son equivalentes:

∼[∼p↔q ] ≡ (p↔q) ∼[(∼p∧q)∨ ∼(∼p∧q)∧ (p ∨∼q)∧ (q→p) ∧

(p∨ ∼q)]

∼(p∨ ∼q) (∼p ∧q)

(p→q) (q↔p) ∴ (p↔q)

7.

Simplificar: [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ∼ q ) ] ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q )

Solución: [(p∧q)∨(p∧∼q)]∨(∼p∧∼q) [ p∧(q ∨ ∼q)]∨(∼p∧∼q) [p∧V]∨(∼p∧∼q) p∨(∼p∧∼q) p∨∼q 8.

a) b) c)

Dadas las proposiciones:

q: “ 7 es un número racional” p y r cualquier proposición, además se sabe que: ∼ [ ( r ∨ q ) → ( r → p ) ] es verdadera. Hallar el valor de verdad de: r→(∼p∨∼q) [r↔(p∧q)]↔(q∧∼p) (r∨∼p)∧(q∨p) Solución: Del ejercicio tenemos que q ≡ F, además: (r∨q)→(r→p)≡F V

F

Por lo tanto: r∨q≡V

r→p≡F

r=V

r=V

q=F

p=F

9.

a)

r→(∼p∨∼q) V→(V∨V) V→V V

b)

[r↔(p∧q)]↔(q∧∼p) [V↔(F∧F)]↔(F∧ V) (V↔F)↔F F↔F V

c)

(r∨∼p)∧(q∨p) (V∨V)∧(F∨F) V∧F F

Dado: [ ( p ↔ q ) ∧ (q → ∼ r ) ] → ( p → r ) ≡ F a) b) c)

Encontrar el valor [p →(q→ r)] (p ∧ q∧ r) ↔ [p →(p∧ r)]

de verdad de: → p (p∨r) ↔ (p∧q)

Solución: Dado que: [ ( p ↔ q ) ∧ (q → ∼ r ) ] → ( p → r ) ≡ F V Por lo tanto: [ ( p ↔ q ) ∧ (q → ~ r ) ] ≡ V V p↔q p=V q=V

F

V ≡

q→∼r r=F

V

a)

[p →(q→ r)] [V→(V→ F)] [V →F] F

→ → → → V

b)

(p ∧ q∧ r) ↔ (p∨r) (V ∧ V∧ F) ↔ (V∨F) F ↔ V F

c)

[p →(p∧ r)] [V →(V∧ F)] (V → F) F

↔ ↔ ↔ ↔ F

≡

V

p V V V

(p∧q) (V∧V) V V

10. Simplificar a su mínima expresión:

∼{∼[∼(p∧q)∧(∼p∧∼q)]} Solución:

∼(p∧q)∧(∼p∧∼q) (∼p∨∼q)∧(∼p∧∼q) (∼p∨∼q)∧ ∼p∧∼q

∼p ∧ ∼q

11. Simplificar el siguiente circuito: ∼p ∼q p

∼r

p q

∼p

q Solución:

[ ( ∼ p ∧ ∼ q ) ∨ (p ∨ q) ] ∧ { p ∨ [ q ∧ ( ∼ r ∨ ∼ p ) ] } [ (p ∨ ∼ q ) ] ∧ [ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ( ∼ r ∨ ∼ p ) ) ] V∧[(p ∨ q)∧ V V∧(p∨q) p∨q p q 12. Simplificar el circuito: P

∼q

r

q

q

∼r

∼r

q

r

q

Solución: { ( p ∨ q ) ∧ [ ( r ∧ ∼ q ) ∨ (q ∨ ∼ r) ] } ∨ [ ( ∼ r ∧ q ) ∨ ( r ∧ ∼ q ) ] [(p∨ q)∧[(r∨q)∨∼r]}∨[(∼r∧q)∨(r∧∼q)] [(p∨ q)∧ V}∨[(∼r∧q)∨(r∧∼q)] (p∨ q)∨(∼ r∧q)∨(r∧∼ q) p∨ q ∨(q∧∼r)∨(r∧∼ q) p∨ q ∨(∼q∧ r) p∨ (q ∨ r) p∨q∨r p q r

13. Simplificar el circuito: p

q

r

q

∼q

r

∼p

∼q

r

Solución: (p∧q∧r)∨(p∧∼q∧r)∨ (∼p∧q∧r) [(p∧ r)∧q]∨[(p∧r)∧ ∼q](∼p∧∼q∧r) [(p∧ r)∧(q∨ ∼q] ∨ (∼p∧∼q∧r) (p∧ r)∨[r∧(∼p∧∼q) r∧ [p∨ (∼p∧∼q) r∧ (p∧∼q) p r

∼q

14. Hallar “x” tal que:

p

q

p

q

p p

q

p

q

p

p x Sea equivalente a p. Solución: ( p ∧ q ) ∨ { p ∧ [ ( p∧q ) ∨ p ∧ ( p∧q ) ∨ p ∧ ( ( p∧q ) ∨ x ) ) ] } ≡ p (p∧q)∨{p ∧[ p∧p∧[(p∧q)∨x]]} ≡ p (p∧q)∨ p ∧[(p∧q)∧ x] ≡ p p∧[(p∧q)∨x] ≡ p [p∧q]∨(p ∧ x) ≡ p p∧(q ∨ x)≡ p x ≡ p 15. Representar gráficamente las siguientes expresiones: a)

p →q

≡ ∼p∨q

∼p

q b)

(p∨q)∧r p r q

c)

[p∨q∨(∼p∧∼q)] ∧ [(∼p∧q)∧p]

∼p

p q

∼p

p

∼q

q

16. Determinar la menor expresión que representa al circuito:

∼p ∼q

p

∼q p

q

p∧[∼p∨(∼q∨(p∧q))]∧∼q p∧[∼q ∨ ( p ∧ q ) ]∧∼q p∧[∼q∨p]∧∼q p∧∼q ∼(p→q) 17. Simplificar y hallar el equivalente a los circuitos dados. a)

r s

∼r ∼r ∼s p r

∼r {[(r∧s)∨(∼r∧∼s)]∧∼s}∨[r∧(p∨∼r)] {[(r∧s)∧ ∼s] ∨ [(∼r ∧ ∼s)∧ ∼s)]} ∨ (r ∧p) [(r∧ ∼s)∨∼s] ∨ (r ∧ p) ∼s ∨ (r ∧ p) ∼s p

r

b) p

q

∼q

∼p ∼q

p

p

∼q

q ∼p { [ (p ∨ ∼q) ∧ (q ∨ ∼p) ] ∨ [ (p ∧ ∼q) ∨ (p ∧ ∼p) ] } ∧ (p ∨ ∼q) [ ( p ∨ ∼ q ) ∧ ( q ∨ ∼ p ) ] ∨ (p ∨ ∼ q) p ∨ ∼q p

∼q

c)

∼p

∼q

p

q

∼p

p q

∼p

∼p

p

[(∼p∧∼q)∨p∨q]∧[(p∧q)∨(∼p∧∼q)∨p]∧ ∼p [(∼q∨p)∨q]∧[ p∨(∼p∧∼q)∨p]∧ ∼p [ p∨ ∼q]∧ ∼p (∼p ∧ ∼q)

∼p

∼q

18. Simbolizar: “Si Juan participa en un comité electoral de la universidad entonces los estudiantes se enojarán con él, y si no participa en un comité electoral de la universidad entonces las autoridades universitarias se enojarán con él. Pero Juan participará en un comité electoral de la universidad o no participará. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se enojarán con él. Solución: p = Juan participará en un comité electoral. q = Los estudiantes se enojarán con Juan. r = Las autoridades universitarias se enojarán con Juan. [(p→q)∧(∼p→r)∧(p∨∼p)]→(q∨r)

19 “Si Anita decía la verdad, entonces Sócrates corrompía a la juventud y si el tribunal lo ordenó equivocadamente, entonces Anita no es la culpable. Pero, Sócrates no corrompía a la juventud o Anita es la culpable. Por lo tanto Anita no decía la verdad o el tribunal no condenó a Sócrates equivocadamente”. Solución: p = Anita decía la verdad. q = Sócrates corrompía a la juventud. r = El tribunal condenó equivocadamente a Sócrates. s = Anita es culpable. [ ( p → q ) ∧ ( r → ∼ s ) ∧ (∼ q ∨ s ) ] → [ ∼ p ∨ ∼ r ]