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• Jaime Boñon Vargas

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12. Se afirma que el peso de los alumnos varones de la universidad tiene una media de 68 kg. y ̅ 69} donde 𝑿 ̅ es la media de muestras de tamaño 64, ¿en qué porcentaje de casos esta o𝑿 región crítica no detecta una diferencia igual a 2 kg. en el promedio de los pesos y por encima de 68 kg.?. Solución 𝑥̅ = 68 𝑆 = 3.6 𝑛 = 64 𝑅. 𝐶 = {𝑋̅ < 67 𝑂 𝑋̅ > 69} 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑒 = 1 𝑒=

𝑧0 . 𝑠 √𝑛

→1=

𝑧0 . 3.6 √64

𝑧 = 2.22 𝐹𝑧 = 0.98679 = 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 

Rechazamos P para un R.C que detecta una diferencia. 𝛽 = 1 − 𝑃 = 0.0132 → 132 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 10000

13. Se cree que el tiempo promedio que utilizan los alumnos del ciclo básico para realizar cierta prueba de aptitud tiene distribución normal cuya media es 15 minutos. Para comprobar la hipótesis respecto a la media se toma una muestra aleatoria de 16 de tales alumnos y se encuentra un promedio de 16 minutos. Realice una prueba unilateral. a) Con el nivel de significación 𝜶 =0.05, si sabe que 𝝈= 3.2 b) Con el nivel de significación 𝜶=0.05, si 𝒔̂= 3.2 se calcula de la muestra. c) Utilizando el método de la probabilidad P. si sabe que 𝝈 = 3.2 solución 

Formulación de la hipotesis. 𝑯𝟎 : 𝝁 ≤ 𝟏𝟓 𝑯𝟏 : 𝝁 > 𝟏𝟓 𝒏 = 𝟏𝟔 ̅ = 𝟏𝟔 𝑿

a) Para 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝒚 𝝈 = 𝟑. 𝟐. ̅−𝝁 𝑿 𝜎 √𝑛 16 − 15 𝑍0 = = 1.25 3.2 √𝑛16 𝑅. 𝐶 = 𝑍0 > 𝑍(1−𝛼) → 𝑅. 𝐶 = 𝑍(1−0.05) 𝑅. 𝐶 = 𝑍(0.95) 𝑹. 𝑪 = 𝒁 > 𝟏. 𝟔𝟒𝟓 𝑍0 =

b) Para 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝒚 𝒔̂ = 𝟑. 𝟐 𝑡0 =

𝑋̅ − 𝜇 16 − 15 = = 1.25 𝑆 3.2 √𝑛 √16

𝑅. 𝐶 = 𝑡0 > 𝑡(1−𝛼,𝑛−1) → 𝑅. 𝐶 = 𝑍(1−0.05,16−1) 𝑅. 𝐶 = 𝑍(0.95,15) 𝑹. 𝑪 = 𝒁 > 𝟏. 𝟕𝟓𝟑 c) Probabilidad P y 𝝈 = 𝟑. 𝟐. 𝑃[𝑧 ≤ 𝑍0 ] = 𝑃 [𝑍 ≤

𝑥−𝜇

] 𝜎/√𝑛 16 − 15 𝑃 [𝑍 ≤ ] 3.2/√16 𝑃[𝑍 ≤ 1.25] 𝑃[´𝑍] = 0.89435 → 𝜷 = 𝟏 − 𝟎. 𝟖𝟗𝟒𝟑𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟓𝟔𝟓

14. Cierta prueba de inteligencia para estudiantes preuniversitarios tiene una media de 100 puntos. Para verificar el valor de la media se aplicó la prueba a una muestra aleatoria de 36 estudiantes preuniversitarios dando una media de 90 puntos y una desviación estándar de 30 puntos. Si 𝜶 =0.01, ¿cuál es la probabilidad de rechazar en forma acertada que el promedio de la prueba es 100 puntos cuando realmente es 80 puntos? Solución:

15. Un fabricante afirma que el nuevo hilo sintético que produce tiene una resistencia media a la ruptura mayor de 15 kilogramos. Para probar esta hipótesis se escoge una muestra de 36 de tales hilos encontrando una media y una desviación estándar de resistencia a la ruptura de 16 y 3 kg. respectivamente. Utilizando 𝜶 = 0.05. a) Probar la afirmación del fabricante comparando a con P = P [X > 16]. b) Hallar el porcentaje de las veces en que tal muestra nos lleva a rechazar en forma acertada que la resistencia media a la ruptura es igual a 15 kg. cuando realmente es igual 2 kg. por encima de ello.

Solución:

16. El gerente de ventas de una compañía afirma que sus vendedores venden semanalmente en promedio $ 1,500. a) Al nivel de significación del 5% pruebe la hipótesis del gerente versus la hipótesis del presidente de los vendedores que afirma que el promedio de las ventas semanales es mayor, si una muestra de 36 vendedores ha dado una media igual a $1510 y una varianza igual a 900$ en una semana. b) ¿Con qué probabilidad la prueba anterior no detecta la diferencia igual a 20$ diarios en el promedio de ventas por día y por encima de lo que se indica en la hipótesis nula? SOLUCION a) 

Formulación de la hipotesis. 𝑯𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝑯𝟏 > 𝟏𝟓𝟎𝟎



Nivel de significación. 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓



Cálculos estadísticos. ̅−𝝁 𝑿 𝜎 √𝑛 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏𝟓𝟏𝟎 − 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝑍0 = 900 √36 ̅ > 𝟏𝟓𝟖𝟎. 𝟐𝟐𝟓 𝑅. 𝐶 = 𝑿 𝑍0 =

𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 b)

𝑃[𝑧 ≤ 𝑍0 ] = 𝑃 [𝑍 ≤

𝑥−𝜇

] 𝜎/√𝑛 20 − 15 𝑃 [𝑍 ≤ ] 3.2/√16 𝑃[𝑍 ≤ 1.75] 𝑃[´𝑍] = 0.911 → 𝜷 = 𝟏 − 𝟎. 𝟗𝟏𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟏

17. Los sacos de café que recibe un exportador deben tener un peso promedio de 100 kilogramos. Un inspector tomó una muestra de 50 sacos de un lote de 500 sacos de café encontrando una media de 98 Kg. y una desviación estándar de 3 Kg. Con 𝜶 =0.02 y mediante una prueba unilateral. a) ¿Es razonable que el exportador rechace el lote de sacos de café? b) ¿Con qué probabilidad esta prueba de hipótesis detecta la diferencia igual a 2 Kg? en el peso promedio del lote y por debajo de lo que se requiere para exportar? SOLUCION a) 

Formulación de la hipotesis. 𝐻0 : 𝝁 = 100 𝐻1 : > 100



Nivel de significación. 𝛼 = 0.05



Cálculos. ̅−𝝁 𝑿 𝜎 √𝑛 ̅̅̅̅ − 𝟏𝟎𝟎 𝟗𝟖 𝑍0 = 3 √500 ̅ < 𝟗𝟗. 𝟏𝟕𝟒 𝑅. 𝐶 = 𝑿 𝑍0 =

→Se rechaza la hipotesis. b) 𝑃[𝑧 ≤ 𝑍0 ] = 𝑃 [𝑍 ≤ 𝑃 [𝑍 ≤

𝑥−𝜇 𝜎/√𝑛

]

98 − 2

] 3/√500 𝑃[𝑍 ≤ 99.174/𝜇] 𝑷[´𝒁] = 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟐

18. Un fabricante está considerando la adquisición de un nuevo equipo para enlatar conservas de palmito y especifica que el contenido promedio debe ser 300 gramos por lata. Un agente de compras hace una visita a la compañía donde está instalado el equipo y observa que una muestra aleatoria de 10 latas de palmito ha dado los siguientes pesos en gramos. pesos # de latas

296 2

297 2

298 2

299 1

300 1

301 1

302 1

SOLUCIÓN: 1º Planteamos las Hipótesis: Ho: µ = 300 H1: µ ≠ 300 2º nivel de significación: α= 0.05 3º Observe que debe tener en cuenta considerar el nivel de confianza adecuado (95%), el valor del promedio que se prueba (300), el signo de la hipótesis alternativa (not equal) y el estadístico de prueba correcto (t-student). 5º Luego se obtendrán los resultados: Ho : 𝜇=300, H1≠300 error estándar=0.653 f*=-2.45 gl=9. a) Si el valor de p < 𝜶, Entonces debemos rechazar Ho Si el valor de p > 𝜶 , Entonces no debemos rechazar Ho R A= {—2.262[7