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Ejercicios del Capítulo 6. 9. En una situación binomial n= 4 y π = 0,25.Determine las probabilidades de los siguientes eventos con la formula binomial. a) x = 2 4!

P = (4!)(2!) (0,25)2 (0,75)2 4∙3∙2!

P = 2! ∙2 ∙1! (0,25)2 (0,75)2 P = 6 (0,25)2 (0,75)2 P = 0,21 b) x = 3 4!

P = (3!)(1!) (0,25)3 (0,75)1 4∙3!

P = 3! ∙1! (0,25)3 (0,75)1 P = 4(0,25)2 (0,75)6 P = 0,0468 11. Suponga una distribución binomial en la que n=3 y π = 0,60 a) Consulte el apéndice B.9 y elabore una lista de probabilidades de x de 0 a 3 X 0 1 2 3

P(x) 0,064 0,288 0,432 0,216

b) Determine la media y la deviación estándar de la distribución a partir de las definiciones generales de las formulas (6.1) y (6.2) µ = (n) (π) µ = (3) (0,60) µ = 1,80 Varianza = nπ (1-π) = (1,80) (1-0,60) =0.72 Desviación Estándar = √0,72 = 0,84

13. Un estudio de la American Society of Investorsdescubrió que 30% de inversiones particulares había utilizado un agente de descuentos. En una muestra aleatoria de nueve personas, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos? 9!

P = (2!)(7!) (0,30)2 (0,70)7 P =36(0,30)2 (0,70)7 P = 0,2668 b) Exactamente cuatro personas hayan utilizado un agente de descuentos? 9!

P = (4!)(5!) (0,30)4 (0,70)5 P =126(0,30)4 (0,70)5 P = 0,17153 c) Ninguna persona haya utilizado un agente de descuentos? 9!

P = (0!)(9!) (0,30)0 (0,70)9 P =1(0,30)0 (0,70)9 P = 0,0403 15. Las normas de la industria sugieren que 10% de los vehículos nuevos requieren un servicio de garantía durante el primer año. El día de ayer, Jones Nissan en Sumter, Carolina del Sur vendió 12 automóviles marca Nissan. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos vehículos requieran servicio de garantía? 12!

P = (0!)(12!) (0,10)0 (0,90)12 P =1(0,10)0 (0,90)12 P = 0,2824 b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de estos vehículos requiera servicio de garantía? 12!

P = (1!)(11!) (0,10)1 (0,90)11 P =12(0,10)1 (0,90)11 P = 0,3765 c) Determine la probabilidad de que exactamente dos de estos vehículos requieran servicio de garantía.

12!

P = (2!)(10!) (0,10)2 (0,90)10 P =66(0,10)2 (0,90)10 P = 0,2301 d) Calcule la media y la desviación estándar de esta distribución de probabilidades. µ = (n) (π) µ = (12) (0,10) µ = 1,20 Varianza = nπ (1-π) = (1,20) (1-0,10) =1,08 Desviación Estándar = √1,08 = 1,03 17. Una encuesta reciente de la American AccountingAssiciation revelo que 23% de los estudiantes graduados en contabilidad elige la contaduría pública. Suponga que elige una muestra de 15 recién graduados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos hayan elegido contaduría pública? 15!

P = (2!)(13!) (0,23)2 (0,77)13 P =105(0,23)2 (0,77)13 P = 0,1857 b) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 hayan elegido contaduría pública? 15!

P = (5!)(10!) (0,23)5 (0,77)10 P =3003(0,23)5 (0,77)10 P = 0,1416 c) ¿Cuántos graduados esperaría que eligieran contraloríapública? P = (15) (0,23) P = 3,45 19. En una distribución binomial, n= 8 y π= 0,30. Determine las probabilidades de los siguientes eventos: a)x = 2 8!

P = (2!)(6!) (0,30)2 (0,70)6 P =28(0,30)2 (0,70)6 P = 0,2964

b) x ≤ 2 8!

8!

P = (2!)(6!) (0,30)2 (0,70)6 + (1!)(7!) (0,30)1 (0,70)7 +

8! (0,30)0 (0,70)8 (0!)(8!)

P =28(0,30)2 (0,70)6 + 8 (0,3) (0,7)7 + (0,70)8 P = 0,551

c) x ≥ 3 P = 1 – P(x ≤ 2) P = 1 – 0,551 P = 0,449 21. En un estudio reciente se descubrió que 90% de las familias de Estados Unidos tiene televisores de pantalla grande. En una muestra de nueve familias, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) las nueve tengan televisores de pantalla grande? 9!

P = (9!)(0!) (0,90)9 (0,10)0 P = 1(0,90)9 (0,10)0 P = 0,3874 b) Menos de cinco tengan televisores de pantalla grande? 9!

9!

9!

P=(5!)(4!) (0,90)5 (0,10)4 + (4!)(5!) (0,90)4 (0,10)5 + (3!)(6!) (0,90)3 (0,10)6 + 9! (0,90)2 (0,10)7 (2!)(7!)

9!

9!

+ (1!)(8!) (0,90)1 (0,10)8 + (0!)(9!) (0,90)0 (0,10)9

P=126(0,90)5(0,10)4+126(0,90)4 (0,10)5 + 84(0,90)3 (0,10)6 + 36(0,90)2 (0,10)7 + 9(0,90)1 (0,10)8 + (0,10)9 P = 0,0083 c) más de cinco tengan televisores de pantalla grande? P = 1 – P(x ≤ 5) P = 1 – 0,0083 P = 0,992 d) Al menos siete familias tengan televisores de pantalla grande? 9!

9!

9!

P =(7!)(2!) (0,90)7 (0,10)2 + (8!)(1!) (0,90)8 (0,10)1 + (9!)(0!) (0,90)9 (0,10)0 P= 36 (0,90)7(0,10)2 +9 (0,90)8(0,10)1 + 1(0,90)9(0,10)0 P = 0,947

23. La rapidez con la que las compañías de servicio resuelven problemas es de suma importancia. Georgetown TelephoneCompany afirma que es capaz de resolver 70% de los problemas de los clientes el mismo día en que se reportan. Suponga que los 15 casos que se reportan el día de hoy son representativos de todas las quejas. a) ¿Cuántos problemas esperaría que se resolverían el día de hoy? ¿Cuál es la desviación estándar? µ = (n) (π) µ = (15) (0,70) µ = 10,5 Desviación Estándar = √(15)(0,70)(0,30) = 1,77 b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 problemas se resuelven el día de hoy? 15!

P = (10!)(5!) (0,70)10 (0,30)5 P = 3003(0,70)10 (0,30)5 P = 0,206 c) ¿De qué 10 u 11 problemas se resuelvan el día de hoy? 15!

15!

P =(10!)(5!) (0,70)10 (0,30)5 + (11!)(4!) (0,70)11 (0,30)4 P= 3003 (0,70)10(0,30)5 +1365 (0,70)11(0,30)4 P = 0,4246 d) ¿Y de que más de 10 problemas se resuelvan el día de hoy? P

15!

15!

=(10!)(5!) (0,70)10 (0,30)5 + (11!)(4!) (0,70)11 (0,30)4 +

15! (0,70)13 (0,30)2 (13!)(2!)

+

15! (0,70)14 (0,30)1 (14!)(1!)

+

15! (0,70)12 (0,30)3 (12!)(3!)

+

15! (0,70)15 (0,30)0 (15!)(0!)

P= 3003 (0,70)10(0,30)5 +1365 (0,70)11(0,30)4 + 455 (0,70)12(0,30)3 +105 (0,70)13(0,30)2 + 15 (0,70)14(0,30)1 + (0,70)15 P = 0,5154