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• RicardoAntonioArmasJuarez

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Tema 4: Distribuciones notables.

1. En experimentos referentes al aprendizaje una rata debe recorrer un laberinto hasta localizar una de las tres posibles salidas. Sea Xi el número de veces que elige la salida i en n pruebas sucesivas. Suponiendo que la rata elige al azar una puerta en cada prueba, (a) Calculad la probabilidad de que en 6 pruebas la rata haya escogido la salida 1 tres veces, la 2 una vez y la 3 dos veces. (b) Obtened E (X1) y V ar (X1 ) en el caso general de n pruebas. (c) Hallad Cov (X2 , X3 ) para cualquier valor de n. (d) Obtened E (X2 − X3) y V ar (X2 − X3) para cualquier valor de n. Sol: a)0.0823, b) n3 , 29n , c) −9n , d)0, 23n .

2. Se selecciona una muestra de tamaño n de un lote grande de artículos de los cuales una proporción p1 tiene exactamente un defecto y una proporción p2 tiene más de un defecto, (p1 + p2 < 1) . El coste para reparar los artículos defectuosos de la muestra es C = X1 +3X2 , donde X1 denota el número de artículos con un defecto y X2 el número de artículos con dos o más defectos. Calculad el valor esperado y la varianza de C. Sol: E(C) = np1 + 3np2 , V ar(C) = np1 (1 − p1) + 9np2(1 − p2 ) − 6np1 p2. 3. Se supone que los pesos de una población de ratones tienen una distribución normal con µ = 100 y σ = 20. Se extrae una muestra de 4 ratones de esta población. Obtened la probabilidad de que dos ratones pesen entre 80 y 100 gramos y uno más de 100 gramos. Sol: 0.1109. 4. Una bolsa contiene 2 bolas rojas, 3 verdes y 4 negras. Si sucesivamente se extraen 5 bolas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 rojas, 2 verdes y una negra? Resolved el problema para extracciones con devolución y sin devolución. Sol: 0.0732, 0.0952. 5. Las variables X1 y X2 son independientes con distribución N (0, 1). Dadas las variables X = 3 + 2X1 − X2 e Y = 5 + X1 + X2 (a) Hallad la función de densidad bivariante de X e Y. (b) ¿Cómo se distribuye la variable Z = 3X + 4Y − 1?
    3 5 1 Sol: a) (X, Y ) ∼ N2 , ,b) Z ∼ N(28, 101). 5 1 2 6. Sea (X, Y ) un vector aleatorio normal bivariante. Sabemos que: E (X | Y = y) = 3.7 − 0.15y E (Y | X = x) = 0.4 − 0.6x V ar (Y | X = x) = 3.64 1

Tema 4: Distribuciones notables. Calculad las esperanzas, matriz de covarianzas y el coeficiente de correlación entre X e Y.   1 −0.6 Sol: E (X) = 4, E (Y ) = −2, C = , ρ = −0.3. −0.6 4 7. Una fábrica de automóviles lanza al mercado dos variantes: modelo normal (representado por la variable X) y modelo de lujo (representado por la variable Y ). Las ventas anuales, en miles de unidades, siguen la distribución normal bivariante:  
    X 200 900 500 ∼ N2 , Y 100 500 400 El modelo normal se vende a 3.000.000 de pesetas y el de lujo a 3.800.000. (a) Calculad la probabilidad de que los ingresos anuales de ventas de los dos modelos no superen el billón de pesetas. (b) Si del modelo de lujo se venden 80.000 unidades, hallad la probabilidad de que el volumen de ventas sea mayor de 800.000 millones de pesetas. Sol: a) 0.5517 b)0.877. 8. Una cadena de almacenes posee sucursales en 20 ciudades distintas. La demanda mensual de dos tipos de alternativos de productos A y B, sigue una distribución conjunta normal bivariante, con medias de 100 y 120 kg. y desviaciones típicas de 10 y 12 kg., respectivamente, siendo ρ = −0.5. Si el precio por kg. de producto es de 8000 y 10000 pts., respectivamente, y suponemos que el almacén tiene suficiente cantidad de de producto para satisfacer la demanda: (a) Calculad la probabilidad de que la venta total de ambos productos supere en un mes los dos millones de peseta en, por lo menos, 15 almacenes. (b) Calculad la probabilidad de que la venta total del producto B sea por lo menos el doble que la del producto A en al menos 3 de los 20 almacenes. Sol: a) 0.0207 b)0.0755. 9. Se extraen 5 cartas, una después de otra, y con devolución de una baraja española. Calcular la probabilidad de obtener 2 copas, 2 espadas y 1 oro. Sol: 0.0293. 10.Se sabe que una persona de cada 10 es aficionada a la música de concierto. Hallar la probabilidad de que un matrimonio de 10 hijos tenga 4 chicos, dos de ellos aficionados a la música, y 6 chicas, 2 de ellas aficionadas a la música. Se supone que la afición a la música es independiente del sexo, y que los dos sexos son equiprobables. Sol: 0.000981. 11.Se seleccionaron aleatoriamente 60 personas y se les preguntó su preferencia con respecto a tres marcas A, B y C. Los resultados fueron 27, 18 y 15 para cada una respectivamente. Si no existen otras marcas en el mercado y la preferencia se comparte por igual entre las tres, ¿cuál es la probabilidad del resultado obtenido en la muestra? Sol: 0.0021532. 2

Tema 4: Distribuciones notables. 12.En un centro escolar el 16% de los alumnos se encuentran en el primer curso, el 14% en el segundo, el 38% en el tercero y el 32% en el cuarto. Si se seleccionan 15 estudiantes del centro al azar, (a) ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 8 cursen el primero o segundo cursos? (b) Si X3 y X4 representan respectivamente los estudiantes que hay en tercero y en cuarto, calcula la esperanza y la varianza de X3 − X4. Sol: a) 0.05 b)0.9, 10.446. 13.La demanda semanales X1 y X2 de dde los artículos A y B, sigue una distribución conjunta normal bivariante, con     200 10 4 µ= y C= . 150 4 6 Un comercio C1 vende el producto A a 2 euros la unidad y el B a 3. Otro comercio C2 vende el producto A a 3 euros la unidad y el B a 2. (a) Calculad la distribución conjunta de los ingresos semanales en las ventas de los anteriores artículos en los comercios C1 y C2. (b) Calculad la probabilidad de que los ingresos semanales en las ventas de los anteriores artículos en C2 superen por lo menos en 50 euros a los de C1. Sol: b) 0.5. 14.Supongamos que X sigue una distribución con   normal 4-dimensional  3 2 0 2 0  3   0 1 1 0     µ=  0  y C =  2 1 5 1 . 0 0 0 1 1 (a) Demuestra que X tiene función de densidad. (b) Calcula el coeficiente de correlación entre X1 y X3. (c) ¿Qué distribución seguirá Y = AX + d con   1 1 1 −1 A =  1 −1 1 1  1 0 1 0



y

 2 d =  0 ? −1

(d) Calcula la función de densidad conjunta y la función generatriz de momentos conjunta de (Y1 , Y2 ) . (e) Calcula E(Y3 ) y V ar(Y3 ).     8 13 9 11 2 Sol: b) c) Y ∼ N3  0  ,  9 13 11  5 2 11 11 11
 1 −1 2 2 d) f (y1 , y2) = √ exp (13y1 + 13y2 − 208y1 + 144y2 − 18y1 y2 + 832) , M(Y1 ,Y2 ) (s, t) = 176 2π 88
1 exp 8s + (13s2 + 13t2 + 18st) e) 2, 11. 2

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