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Resistencia de Materiales

INDICE

CAPITULO I. EQUILIBRIO ESTATICO PROBLEMAS D.C.L CAPÍTULO II ESFUERZO Y DEFORMACIONES ESFUERZO CLASES DE ESFUERZOS ESFUERZOS NORMALES TRACCIÓN O COMPRESIÓN ESFUERZOS DE FLEXIÓN DIRECTOS O CIBALLADURA ESFUERZO DE APLASTAMIENTO FUERZAS EN CADA BARRA DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES ESFUERZOS DE COMPRESION Y/O TRACCION RESISTENCIA DE MATERIAL RESISTENCIA OBTENIDAS ENSAYO DE TRACCIÓN PURA ESFUERZO DE DISEÑO Y FACTOR DE SEGURIDAD FACTOR DE SEGURIDAD (F.S) ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES

Prof. Ing. Martínez Del Castillo

1

Resistencia de Materiales

DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES TRAMO: AB TRAMO: BC TRAMO: CD DIAGRAMA DE TRACCION ESFUERZOS FACTOR DE SEGURIDAD CALCULO DE LAS DEFLEXIONES CALCULO DE δ E CALCULO DE X EN LOS TRIANGULOS MEE’ Y MDD’ SISTEMAS HIPERESTATICOS ESFUERZO EN BC : (COMPRESIÓN) ESFUERZOS TERMICOS ANALISIS PROPORCIONAL TRANSMISION DE POTENCIA MEDIANTE FAJAS CINEMATICA DINAMICA RELACIÓN DE TENSIONES TRANSMISION DE POTENCIA MEDIANTE CADENA TORQUE EN EL PIÑÓN MOTRIZ. TORQUE POTENCIA TORQUE EN EL EJE DEL LA CATALINA. TORQUE EN EL PIÑÓN MOTRIZ TORQUE – POTENCIA TRANSMISIÓN DE POTENCIA TORSIÓN

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2

Resistencia de Materiales

ESFUERZO CORTANTE DE TRACCION ANGULO DE TORSION DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES ESFUERZOS CORTANTE MAXIMO ANGULO DE TORSION DE LA SECCION E RESPECTO A LA SECCION A. ANGULO φE/A FACTOR SEGURIDAD CORTANDO LA BARRA CASOS PARTICULARES SECCION CIRCULAR PROBLEMA DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTOS FLECTORES DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES MOMENTOS FLECTORES UBICACIÓN DE FN Ó FC CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA I

BIBLIOGRAFÍA

S D F D F

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3

Resistencia de Materiales

CAPITULO I. EQUILIBRIO ESTATICO: ∑F=0

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0

ó FR = 0
d = 0

∑ Fz = 0

ΣM 0 x − x = 0  ∑ F 0 = 0 ΣM 0 y − y = 0  ΣM z − z = 0 0 

∑F=0

PROBLEMA N° 1 Calcular la reacción en A.

∑ Fx = 0 -Ax+10Kn = 0 A.

10 KN.

B

10Kn = Ax. Sentido asumido es correcto.

D.C.L A

B

10 KN.

Las fuerzas actúan en pares.

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4

Resistencia de Materiales

PROBLEMA N° 2 Calcular la reacción en A y el momento de empotramiento.

20 KN.

Solución: DoCol

A

B

20 KN. MA

200 mm

A Ay

B

200 mm

∑ Fx = 0


No se aplica, porque no hay fuerzas en “X”.

∑ Fy = 0

Ay – 20KN = 0 Ay = 20 KN.

∑ F 0A = 0 M A –20Knx200 mm = 0 M A = 4000 KN.mm

PROBLEMA N° 3 Calcular las reacciones en A y C. Solución: 5 KN. 2m

A

A y C son apoyos.

1m

B

C es apoyo mobil. No existe momento de empotramiento

C

en los apoyos.

Do Col 5 KN. 2m

A

∑ Fx = 0

No se aplica

∑ Fy = 0

-Ay + 5KN-Cy = 0

1m

B

Ay Prof. Ing. Martínez Del Castillo

C

5 KN = A y + C y... (1) Cy

5

Resistencia de Materiales

- 5 Kn.2m + Cy.3m = 0

∑M 0A = 0

Cy = 5KN . 2 m 3m Cy = 3 1/3 KN = 3,3 KN

⇒

Ay + Cy = 5KN Ay = 5KN – 3 1/3 KN = 1 2/3 KN Ay = 1,6 KN.

PROBLEMA N° 4 Calcular las reacciones en A y C además calcular las fuerzas que actúan en cada barra. Solución: D.C.L de toda la estr. Cy C

600 mm

10 KN

A

B

Ay

10 KN

D A

800 mm

B

D

1200 mm 800 mm

∑F x = 0

1200 mm

∑F y = 0 No se aplica. Cy.800 mm – 10KNx2000 mm = 0

∑F y = 0

Cy = 10 KN 2000 mm -Ay + Cy – 10KN = 0 Cy – Ay = 10 KN ... (1)

800 mm Cy = 25 KN. Sentido asumido es correcto. Cy = 25 KN.

En (1) 25 KN – Ay = 10 KN 15 KN = Ay.

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6

Resistencia de Materiales

25 KN

Do Col en C/barra

C

Barra BC ∑F y = 0


25 KN – By = 0 By = 25 KN

B

15 KN

By

Las fuerzas de acción y reacción tienen la misma intensidad y sentidos contrarios. No se acumulan porque actúan en puntos diferentes.

10 KN

D

A

PROBLEMA N° 5 Calcular las reacciones en A y D además las fuerzas que actúan en cada barra.

De toda la estructura D.C.L. 4 KN Ay

500 mm

A

B

Ax

C

4 KN 800 mm

B

500 mm C

A

53° 600

600 mm

D

53°

Dx D

D Dy

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Resistencia de Materiales

La fuerza F es colineal con la barra DB. Cuando una barra tiene solo fuerzas en los extremos, dichas fuerzas son iguales de sentidos contrarios y COLINEALES con la barra. F B

F

∑Fx = 0 -Ax + Dx = 0 ...(1)

∑Fy = 0 Ay + 4 KN – Dy = 0 ...(2)

∑ M 0A = 0 -Dx.600 mm + 4 KN.1300 mm = 0 Dx = 4KN.1300 mm 600 mm Dx = 8,67 KN.

En (1)

En el punto D Dy = tg 37° Dx

D

Ax = Dx Ax = 8,67 KN

Dy

)

Dy = tg 37° 8,76KN

37°

Dx = 8,67 KN

Dy = (tg 37°)(8,67 KN) Dy = 6,5 KN

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8

Resistencia de Materiales

En (2) Ay + 4KN – 6,5 KN = 0 Ay = 2,5 KN.

2 DA FORMA: Ay

4 KN

Ax

800 mm

B

A

C

ρ D .480 mm – 4KN.1300 mm = 0 ρ D = 4KN.1300 mm

600 mm

53°

4800 mm ρ D = 10,8 KN

Dx D

D

500 mm

37° Dy

En el punto “D” Σ Fx = 0
Ax – Dx = 0

D

Ax = Dx Dy

)

37° Dx

Σ Fy = 0


Ay + 4 KN – Dy = 0 Ay = 6,5 KN – 4 KN Ay = 2,5 KN

Dy = 10,8 KN.Sen 37° Dy = 6,5 KN

Dx = 10,8 KN.Cos 37° Dx = 8,67 KN

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9

Resistencia de Materiales

DCL de cada barra. 4 KN Ax

A

B C Acción y Reacción

2,5 KN

PROBLEMA N° 1 Calcular las reacciones en los apoyos A y B haciendo el diagrama de cuerpo libre de toda la estructura además calcular las fuerzas que actúan en cada barra. (1)

(2) D

A

2 KN

400 mm C

B

300 mm

600 mm

300 mm

C

B

D

A 400 mm

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200 mm

10

3 KN

Resistencia de Materiales (4) (3) A

B

600 mm

30°

90°

C 10 KN

C

B

(

(

500 mm

800 mm

D 1,2 KN

(5) A

300 mm

500 mm

B

C

400 mm

E

D

500 mm 30 KN

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11

Resistencia de Materiales

1) DESARROLLO:

D.C.L de la 2 KN

estructura

D

400 mm C RB

B 300 mm 600 mm

RA

A

ΣM 0B = 0

⇒ 2KNx 400 − R A .600 = 0 R A = 1,3 KN Sentido asumido es correcto. ΣM 0A = 0

⇒ 2KNx1000 − R B x 600 = 0 RB =

2 x1000 = 3,3KN 600

D.C.L DE C/ BARRA 2KN

D

3,33KN

3,33KN

3,33KN C

1,33KN

B

A

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Resistencia de Materiales

2) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE TODA LA ESTRUCTURA: A

A

300 mm

Ax

Ay

3KN Bx 37° (

B

D

C

B By 400 mm

200 mm

ΣM 0B = 0 3 KN x 600 mm – Ax x 300 mm = 0 Ax = 3 KN x 600 mm = 6 KN

∴ Ay = 6 KN x Tg 37° = Ay = 4,52 KN

300 mm A

Por < de 37° y tg. de 37° tenemos que Ay = Ax tg 37°

Ay 37°(

Ax

ΣFy = 0

ΣFx = 0

Ay – By – 3 KN = 0

Ax – Bx = 0

By = -3 KN + Ay

Ay = Bx –

By = 1,52 KN

By = 6 KN

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Resistencia de Materiales

Fuerzas que actúan en c/barra.

A

C 3KN

4,52 KN B

6KN

6KN

D

C

1,52 KN

3) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE TODA LA ESTRUCTURA.

By = Tg α Bx A

By = Tg α Bx Tg α Bx – Ay = 1,2 1:0 - α - 37 – 53

(

37°

(90 - α) C

A

B

90 - α

D

)α

) 37° 1,2KN

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Resistencia de Materiales

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 1. En un cuerpo en equilibrio de reposo o de movimiento (v = constante) Se cumplen:

∑Fx = 0

∑ F en cualquier dirección = 0

∑Fy = 0

solo para el equilibrio estático.

∑Fz = 0

(Respecto a cualquier punto)

∑F0 = 0

(preferentemente se toman los puntos donde hay fuerzas desconocidas).

2. Cuando en un cuerpo o estructura actúan 3 fuerzas NO COLINEALES dichas fuerzas forman un triángulo y además pasan por un mismo punto. R

β

A

Q

α

β C

r(

P

a

R

α

(

P R Q = = sen α sen α sen β

C

α

P

También: P R Q = = C a b

b Q

3. Equilibrio del nudo: * R

∑Fx = 0

∑M0 = 0

Q β α

-R Sen β + Q Sen α = 0

C

*

∑Fy = 0

No se puede aplicar.

-R Sen β + Q Sen α = 0 P

Por ejemplo nudo “C”.

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15

Resistencia de Materiales

4. Las fuerzas actúan en pares.

Q

P Q=P

5. Si en una barra actúan fuerzas solo en ambos extremos dichas fuerzas son colineales con la barra (actúan en el eje de la barra).

P

-P NO SE ACEPTA EL SGT ESQUEMA P Aquí

la

girando

barra

estaría

en

sentido

antihorario. -P

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Resistencia de Materiales

CAPÍTULO II

ESFUERZO Y DEFORMACIONES ESFUERZO: F

Unidades

Area = A

Lbs = Psi. Pu lg 2 0

Kg − f cm 2

Fuerza Esfuerzo = Area

N 2 m

= 1 Pa

Sistema Ingles.

Sistema Métrico.

Sistema Internacional

MÚLTIPLOS:

CLASES DE ESFUERZOS

1 MPa = 106 Pa

1) Esfuerzos Normales

1 Gpa = 109 Pa 1 Gpa = 103 MPa

Al área.

1.1 Tracción o Compresión: P

Equivalencias:

P

1 MPa = 145 Psi. 1 MPa = 1 N/mm 2 1 MPa =

10Kg − f cm 2

σ

P

σ

Esfuerzo de Tracciòn

=

P A

σ : Se lee sigma σ : esfuerzo de tracción P : Fuerza A : Area de la sección transversal.

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Resistencia de Materiales

Ejemplo: P = 5 KN A = 200 mm 2

σ = 5000 N
200 mm 2

σ = 25 N/ mm 2 σ = 25 MPa

Significa que: En cada mm 2 actúa una fuerza de 25 N Cuando es compresión:

P = 8 KN

P = 8 KN A = 400 mm2

8 KN

σ = (-)

8000 N 2 400mm

σ = 8−)20 N/mm 2 = ( −) 20 MPa

Significa que: En cada mm 2 actúa una fuerza de 20 N.

1B Esfuerzos de flexión:

M

M

M = momento flector

Esfuerzo de tracción Fibra Neutra

Esfuerzo de compresión

M

6 de compresión ( - ) max Prof. Ing. Martínez Del Castillo

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Resistencia de Materiales

(2) Esfuerzos cortantes o tangenciales:

2.A Directos o Ciballadura.

P P

P

δ = Se lee Tau δ = Esfuerzo Cortante

V= P

Aquí

V A

V = Coeficiente A = Área α = Coeficiente 4 = para sección circular. 3

P Esta zona actúa el δ máx

δ =α

←← ←← ← ← ←← ←←

=

δ=0

3 para sección rectangular. 2

ESFUERZO DE APLASTAMIENTO: Es un esfuerzo de compresión en la zona de contacto de 2 elementos. Tomando el perno de la figura anterior.

t1

P

d

P

t2 d

Galast =

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P Area proyectada 19

Resistencia de Materiales

En la zona de contacto del

P

Gaplast =

d{. t . Area de un rectángulo.

Gaplast =

perno con la plancha superior.

P d − t2

En la zona de contacto del perno con la plancha inferior.

PROBLEMA N° 1 Calcular los esfuerzos de tracción Y/o compresión en las barras, los esfuerzos cortantes directos en los pernos y los esfuerzos de aplastamiento en los pernos y agujeros de la estructura.

100 mm

Pernos de 10 mm φ Platinas de 80 x 10 mm

800 mm

60 mm

200 mm

2 platinas

12 KN 60 mm

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Resistencia de Materiales

Solución: Calculo de Reacciones:

ρ A

600 mm Ay

53° Ax 800 mm

200 mm

C Cx 53° ( Cy

B

ρ C

D 12 KN

Trabajando con componentes: ΣMy = 0

ΣM C0 = 0 12 KN.800 mm – Ax.800 mm = 0

Ay = Cy – 12 KN = 0

Ax = 12 KN

16 KN – 12 KN = Cy.

Ay = Ax Tg 53°

Cy = 4 KN

Ay = 12 KN.

4 . 3

Ay =) 16 KN

ΣFx = 0 -Ax + Cx = 0 Cx = Ax Cx = 12 KN

2DA FORMA: ρ Calculo: de A ΣM C0 = 0

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Resistencia de Materiales

ρ A A

480 mm 53º (

C

600mm

200mm 12 KN

A.480 mm – 12KN.800 mm = 0 A = 12 KN.800 mm = 20 KN 480 m.

FUERZAS EN CADA BARRA: 20 KN A

ρ C = 12 2 + 4 2 = 12,6KN

B 20 KN

20 KN

C

12 KN

4 KN

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B

D 12 KN

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Resistencia de Materiales

GRAFICANTE

Escala: 6 mm = 2 KN ρ A

20 KN

37° 12 KN

ρ F 12 ,8 KN

ρ C

DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES:

20 KN

A

B 20 KN

C

12 KN

12 KN

B

C

B

C

(-) 12KN (Compresión)

(-)

C

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Resistencia de Materiales

ESFUERZOS DE COMPRESION Y/O TRACCION

La sección más débil es aquella donde hay agujeros. Para esfuerzos de tracción:

Se descuenta el área del agujero

Donde K:

σ máx. =

K.fuerza Area neta

Factor de concentración de esfuerzos cuando hay agujeros o cambio de sección.

Para esfuerzos de compresión:

No se considera los agujeros

σ máx. =

Fuerza Area

BARRA AB Sección A. Sección B (Son críticos los más débiles porque tienen agujeros).

σmax = (tracción)

80 mm

20 KN

10 mm A

10 mm

σ max = K

Fuerza A. neta

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(tracción)

24

Resistencia de Materiales

Asumiendo K = 2 σ máx. = 2.

20000 N =57,14 N / mm 2 = 57,14MPa. 2 (80 − 10)10mm

BARRA CBD: Hay compresión: σ máx. = (-)

1200 N =(−)15 N / mm 2 (−)15MPa. 2 80 x10mm

PERNO A:

σ max = α

V A

α = 4/3 para sección circular. V = Fuerza cortante = 20 KN A = área de la sección. A = πr 2 = π. (5 mm) 2

σ max =

4 20000 N . 3 π(5mm) 2 PERNO “A”

σ max =

Aquí hay corte directo. (una sección)

PERNO B: σ máx. = qué en “A”

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Resistencia de Materiales

PERNO D:

σ máx. = 4 12000 N 3 2 [π (5 mm) 2 ]

Dos secciones de corte

2 secciones: Hay corte doble.

6 KN

6 KN

RESISTENCIA DE MATERIAL:

Las diferentes resistencias de los materiales se obtienen en los ENSAYOS DE LABORATORIO.

Resistencia Obtenidas:

•

Límite de fluencia a la tracción

•

Límite de fluencia a la compresión S y C

•

Límite de rotura a la tracción

S u t = Su.

•

Límite de rotura a la compresión

Suc

•

Límite de fluencia al corte

Ssy

•

Límite de rotura al corte

Ssu

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S y T = Sy.

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Resistencia de Materiales

ENSAYO DE TRACCIÓN PURA γ

Sut Syt Mat. frágil

Para material dúctil

Zona elast.

Zona plast.

ε

Elongación

σ = Esfuerzo;

F σ= A δ ε= L

F = fuerza.

A = Área ε = deformación unitaria δ = estiramiento L = Longitud original. A F

F δ

L

ELONGACIÓN: Es el valor de “ε ” cuando la proveta llega a la rotura.

Para material dúctil como: Acero, Cobre, Zinc, Aluminio , etc. ε>5 % ε > 0,05 Para material frágil como: Fierro fundido. ε≤5% ε ≤ 0,05

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Resistencia de Materiales

De los ensayos se ha obtenido: Para material dúctil:

Syt = Syc = Sy Sut = Suc = Su

Para material frágil:

Sy : No existe Sut = Suc = Su

También en los ensayos de corte Ssy = 0,6 Sy

ESFUERZO DE DISEÑO Y FACTOR DE SEGURIDAD σ Su Sy σd

E σ d = esfuerzo de diseño σ max = esfuerzo máximo σ d = esfuerzo de trabajo σ adm. = esfuerzo admisible ó permisible

σ d = σ máx = σ t = σ adm

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Resistencia de Materiales

FACTOR DE SEGURIDAD: (F.s) Para un material dúctil: •

Respecto a la fluencia

F.S. =

Sy σmax

•

Respecto a la rotura

F.S. =

Su σmax

•

Cuando se trata de esfuerzos cortantes el factor de seguridad al corte es: F.S. =

δ máx. = Cortante máx. δ máx. = δadmisible = δdiseño

Ssy 0,6Sy = σmax σmax

Para material frágil Factor de seguridad para la tracción

F.s = Sut σ máx.t

Factor de seguridad para la compresión

F.s = Suc σ máx.c

Donde: σ máx. ⇒ Esfuerzo máx. de tracción. σ máx. ⇒ Esfuerzo máx. de compresión. 1,5 < F.s < 4 a 6 ... 15

ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES: σ

Su Sy Línea recta

σ β

E E

Zona elástica En la zona elástica se cumple la Ley de Hooke que dice.

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29

Resistencia de Materiales

El esfuerzo es directamente proporcional (D.P) a la deformación unitaria.

σ D.P. = ξ También se escribe: σα ξ

α = alfa

α : Significa directamente proporcional La relación matemática es: σ : esfuerzo

σ = Eξ

ξ : deformación interior. E = Modulo de elasticidad ó Mod. de Young. E = 200 GPa ó 200 x 10 3 MPa para aceros yes = 110 GPa ó 110.10 3 MPa para cobre.

Siendo: σ=

P δ = E.
A L

δ=

PxL ExA

A = Area de sección P

Fatiga = P

L

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δ = Estiramiento ó deformación.

δ

30

Resistencia de Materiales

PROBLEMA N° 1 Calcular la deformación que se produce en la barra de acero.

12 KN

12 KN

2 cm φ

δ

300 mm Solución:

δ=

(12000 N )(300mm ) PL = N  EA  2 3 π(10mm )  200.10 2  mm  

(

)

δ = 0,0573mm

PROBLEMA N° 2 Calcular la deformación total de la barra

Cobre 20 mm φ

Acero 10 mm φ

C

D

B

A

80 KN

50 KN

70 KN 200 mm

100 mm 150 mm

Problema: Calcular la deformación que se produce en la barra.

12 KN

300 mm

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12 KN

2 cm φ δ

31

Resistencia de Materiales

Sol:

δ=

PL (12000 N )(300mm ) = N  EA  2 3 π.(10mm )  200 x10 2  mm  

(

)

δ = 0,0573 m.m.

Prob.: Calcular la deformación total de la barra. Cobre 20 mm φ

Acero 10 mm φ

C

B

A

D 70 KN

200 mm

80 KN

100 mm

50 KN

150 mm

Solución: D.C.L. de la barra y reacción en A.

Ax

A

80 KN

B

C

D

50 KN

10 KN

∑F x ⇒ Ax = 40KN

Deformación de la barra

δAD = δAB + δBC + δCD

δ AD =

PAB .L AB PBC .L BC PCD .L CD + + E AB A AB E BC A BC E CD A CD

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................ (1)

................ (2)

32

Resistencia de Materiales

DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES

40 KN A

B

70 KN 80 KN

C

50 KN

D

TRAMO: AB.

40 KN

40 KN (sale de la sección
es función)
P AB = 40 KN

A

TRAMO: BC.

70 KN 30 KN

40 KN

(entrar a la sección
es compresión)
P AB = 30 KN

TRAMO: CD.

40 KN

50 KN

70 KN 80 KN

40 KN

(saliendo de la
P CD = 50 KN sección
es tracción)

50 KN

+

+ C A

D

B

80 KN

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33

Resistencia de Materiales

Reemplazando en (2) 3 3 3 ( 40.10 N )(200mm ) ( − 30.10 N.)(100mm ) ( 50.10 N )(150 mm ) δ AD = + +    3 N  2 2 3 N  2 2 3 N  2 2  200.10 (π.5 mm )  10.10 (π.10 mm ) 110.10 (π.10 mm ) 2 2 2       mm

mm

mm

δ AD = 0,6395 mm

•

Chequeo: Si la barra está dentro del rango elástico del material.

DIAGRAMA DE TRACCION δ

En la zona elástica se cumple la

Ley Su Rotura de Hoocke.

Sy σ = E. ξ

Y por lo tanto la fórmula de la Zona elástica

Zona plástica

“PELEA” δ =

P.L. EA

Luego: Si el esfuerzo σ que actúa en sección es igual o mayor que el límite de fluencia Sy la fórmula de la pelea NO SE CUMPLE. Osea todos los cálculos de deformaciones no valen. En el tránsito AB (acero). Esfuerzo σ AB =

F 4000 N = A π.5 2.mm 2

σ AB = 509,29 MPa.

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Resistencia de Materiales

Si el acero es corriente o estructural Sy = 250 MPa; los cálculos hechos no valen. 509,29MPa > 250 MPa.

Luego el acero de esta barra debe tener Sy >> 509,29 MPa. En el tramo co Cobrexx

σ CD =

5000 N = 159,15MPa. π.10 2 mm 2

Para los cálculos sean válidos el cobre debe tener Sy > 159,159 MPa. Nota: El Sy del cobre es como 190 MPa.

PROBLEMA N° 3 Calcular los esfuerzos de tracción de compresión en las barras verticales. Así como las deflexiones de los puntos B,D,E,. La barra BDE es rígida (No se deforma). Para esfuerzos de tracción. Considerar K = Z.

A A

Agujeros φ 20mm

600 mm

100 mm

Cobre 10 mm E = 110 Gpa Sy = 190 MPa

100 mm aluminio

400 mm

B

Sy = 240 MPa

10 mm espesor E = 70GPa

E

D

30 KN

200 mm

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400 mm

35

Resistencia de Materiales

D.C.L. De toda la estructura. Cy Ay

Cy = Dy Ay = By

By Dy

B

Dy

D

E

By

30 KN

200 mm

400 mm

EN LA BARRA BDE Hay 2 incógnitas: By, Dy Necesito 2 ecuaciones de la ESTÁTICA. ∑ M 0B = 0 ........ (1) 30 KN x 600 mm – Dy x 200 mm = 0 Dy = 90 KN ∑My = 0 ....... (2)

By – 90 KN + 30 KN = 0 By = 60 KN

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36

Resistencia de Materiales

ESFUERZOS: BARRA AB: σ AB

60.10 3 N = (-) 100.10mm 2

σ AB = (-) 60 MPa < Sy = 190 MPa.

BARRA CD:

σ CD = (-) 2

90 000 N 10(100 − 20)mm 2

σ CD = 225 MPa < 240 Ma = Sy

EN LA SIGUIENTE GRÁFICA

SIENDO EN AMBAS BARRAS σ < Sy SE CUMPLE LA FORMULA DE LA PELEA σ Su Aluminio = 240 MPa Cobre

= 190 MPa.

Acero

= 400 MPa.

Sy

225 MPa Aluminio

FACTOR DE SEGURIDAD: 60 MPa Cobre BARRA AB:

FsAB =

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E

Sy 190 = = 3,17 σ AB 60

37

Resistencia de Materiales

Barra CD:

Fs.CD =

Sy 240 = = 1,07 σ CD 225

La barra CD está más cerca de una posible falla por fluencia.

CALCULO DE LAS DEFLEXIONES: B’

X D

δB

M

E

δD

D’

δE

200 mm

400 mm

E’

Se asume que los desplazamientos de los puntos B,D,E, son verticales. “DEFLEXIÓN ES EQUIVALENTE A DESPLAZAMIENTO”.

DEFLEXION DEL PUNTO B

= Desplazamiento del punto B = δB = Deformación de la barra AB = δ AB

∴ δB = δ AB

SIENDO LA PELEA

δ=

PL EA 400 mm

B B’ 60 KN

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38

Resistencia de Materiales

δB = δ AB =

PAB xL CD (60000 N )(600mm) ⇒ δ CD = N  E CD xA CD  3 100 x10mm 2  70 x10 2  mm  

(

)

δ CD = 0,7714mm

CALCULO DE δE : CALCULO DE X Tg θ =

δB δ = D 200 − x X

0,2182 0,7714 = 200 − x x

154,28 – 0,7714x = 0,2182X X = 155,9 mm

EN LOS TRIANGULOS MEE’ Y MDD’ Tg θ =

σD σE = x 400 + x

σE 0,7714 = 155,9 400 + 155,9

OJO: σx = desplazamiento de x σyx = deformación de barra yx.

∴ δE = 2,75 mm

SISTEMAS HIPERESTATICOS: Ecuaciones de la estática (∑F x = 0; ∑F y = 0; ∑M 0 = 0) no son suficientes para resolver el problema y se deben plantear las ecuaciones de desplazamientos:

PROBLEMA N° 1 Calcular

los esfuerzos en las barra verticales (K = 2), los factores de

seguridad y los desplazamientos de los puntos B, D y F.

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39

Resistencia de Materiales

400 mm

300 mm

D

20 KN

500 mm

F

E

B

600 mm

400 mm

Barra rígida

Cobre 80 x 20 mm Sy = 190 MPa

C

A Agujeros 20 mmφ Acero 100 x10 mm Sy = 400 MPamm

SOLUCION: D. C. L. De cada barra: Ey

B

E

D

F Fijo

By

20 KN

Dy

By Dy D

B

C

Fijo

Cy = Dy

A Fijo Ay = By

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40

Resistencia de Materiales

EN LA BARRA B D E F Hay 3 incógnitas By; Dy, Ey Se puede plantear. ∑F y = 0

2 ecuaciones

∑M 0 = 0

1 ecuación de desplazamiento.

En la barra B D E F Hay 3 incógnitas: By; Dy; Ey S ___________________________

By + Dy – Ey + 20 KN = 0

.......... (1)

By + 700 + Dy 300 – 20 KN x 500 = 0 7 By + 3 Dy = 100 KN B’ δB φ

E

fijo

R δF

D

Pi

Tgθ = B

700

=

δB δD = 700 300 0

300

⇒ 3 3

B

AB

=7

D

=7

CD

  Usando la pelea  

3   B y x 600m 3  3 N x10 x10m 2  200 x10 m2 

P L PAB .L AB = 7 CD CD E AB xA AB E CD A CD

    D y x 400mm  = 7   3 N x 60 x 20m 2   110 x10 m2  

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     

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Resistencia de Materiales

9 x 10 -6 By = 1,6 x 10 -5 Dy By =

1,6 x10 −5 Dy 9 x10 −6

By = 1,78 Dy

PROBLEMA N° Calcular las reacciones en A y C Acero 100 x 20 mm A

B

300 mm

40 KN

C

100mm

Solución: D.C.L.

Ax

B 40 KN

A

Cx C

∑F x = 0 Ax + Cx – 40 KN = 0 Ax + Cx = 40 KN

Análisis:

.............. (1)

Existe una ecuación y 2 incógnitas. Luego es un problema estáticamente Indeterminado ó Hiperestático.

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42

Resistencia de Materiales

Se necesita una ecuación de desplazamiento la cual puede ser la siguiente: “La deformación de la barra es CERO”. δ AC = 0 δ AB + δ BC = 0

Usando la pelea en cada tramo.

P xL PAB xL AB + BC BC E AB xA AB E BC xA BC

.......... (2)

Para las fuerzas P AB y P BC necesitamos el diagrama de cargas axiales. Ax

B Bx40 KN

A

Ax A

Cx C

P AB

Ax

B

A

40 KN PBC

Ax (+)

A

B

C (-)

Ax – 40000 N

En tramo AB : σ AB = A X Reemplazamos todos los valores en la ecuación (2)

En Tramo BC: P BC = A X – 40

KN

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Resistencia de Materiales

A x .300mm (Ax − 40000)(100mm) = 0 + N  N    3 100.20mm 2  200.10 3 100.20mm 2  200.10 2  2  mm mm    

(

)

(

)

Ax.300 mm = (-) (Ax – 40000) 100 mm 3Ax = 40 000 – Ax 4 Ax = 40 000 Ax = 10000 Sentido asumido correcto. Cx = 30000 N.

COMPROBAMOS SI USTED CUMPLE LA PELEA Esfuerzo en AB: (Tracción) σ AB =

K.PAB Area Neta

σ AB =

2.10000 N = 11,1MPa