• Author / Uploaded
• Leo Valbuena

• Categories
• Elasticidad (Física)
• Resistencia de materiales
• Rigidez
• Deformación (Mecánica)
• Acero

Citation preview

MECÁNICA DE MATERIALES Tiene en cuenta: - Resistencia - Rigidez En un solidos cualquiera donde actúan una serie de fuerzas se realiza una sección de exploración.

Corte ideal de solido: Se busca que fuerzas deben actuar en esta sección del cuerpo libre en cada una de los dos partes en las que ha quedado dividido.

El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el centroide, que es el punto de referencia de la sección. Si el eje X es normal a la sección, esta se denomina superficie o cara X. La orientación de los ejes Z y Y en el plano de la sección transversal se suele elegir de manera que coincidan con los ejes principales de inercia de la misma. En la notación de fuerzas y momento el primer subíndice indica la cara sobre la cual actúan las componentes y el segundo la dirección de estas. Por lo tanto, Pxy es la fuerza que actúa en la cara x en dirección y. PXX= Fuerza Axial. Esta componente corresponde a la acción de tirar (o de empujar sobre la sección). Tirar (o jalar) representa una fuerza de extensión o tracción que tiende a largar el sólido, mientras que empujar representa una fuerza de compresión que tiende a acortarlo. Se representa generalmente por P.

Pxy ; Pxz = Fuerzas cortantes. Son componentes de la resistencia total al deslizamiento de la porción de un sólido a un lado de la sección de exploración respecto de la otra porción. La fuerza cortante total se suele representar por V y sus componentes VY y VZ, Determinan su dirección. Mxx= Momento torsionante. Esta componente mide la resistencia de la torsión del solido considerado y se suele representar por T. Mxy; Mxz = Momentos flexionantes. Estas componentes miden la resistencia del cuerpo a curvarse o flexionarse respecto a los ejes Y o Z, y se suelen explicar simplemente por MY y MZ. El efecto de lo anterior se puede combinar para producir los máximos esfuerzos combinados, se analizará en temas posteriores.

ESFUERZO SIMPLE O ESFUERZO NORMAL EJERCICIO 1 Se consideran dos barras prismáticas de igual longitud y distinto material suspendidas de un soporte común.

No se puede conocer que material es más resistente sin conocer el área de la sección transversal. Se supone que la barra 1 tiene una sección de 0.1 cm2 y que la barra 2 tiene una sección de 10 cm2. En estas condiciones la resistencia unitaria (por unidad de área) es: Barra 1 𝜎1 =

Barra 2

100 𝑘𝑔𝑓 𝑘𝑔𝑓 = 1000 0.1 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2

𝜎2 =

1000 𝑘𝑔𝑓 𝑘𝑔𝑓 = 100 10 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2

El material en la barra 1 tiene que ser 10 veces más resistente que el de la barra 2. En conclusión, el esfuerzo normal promedio es 𝜎 =

𝑃 𝐴

. P es la carga aplicada y A es el área de la

sección transversal. EJERCICIO 2 Convertir el esfuerzo normal 1 del ejercicio anterior a KSI y Mpa. EJERCICIO 3 CERCHA NO 1

Para la Cercha 1 completar la siguiente tabla: Elemento Área sección transversal (in2) AB = LJ AC = KL BD = JH BE = JI BC = JK CE = KI DF = HF DG = HG DE = HI EG = IG

4 3 4 2 2 3 4 2 2 3

Fuerza (P) Positivo Esfuerzo indica tracción normal (P/A) (kips) KSI

Esfuerzo normal Mpa

Realizar Diagrama de Fuerza axial. Realizar Diagrama de esfuerzos normales.

Concluir.

EJERCICIO 4 Un tubo de aluminio está rígidamente sujeto entre una barra de bronce y una de acero como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en las posiciones indicadas. Determine el esfuerzo normal en cada material.

EJERCICIO 5 Una barra homogénea AB (de 1000 kg de masa) pende de dos cables AC y BD, cada uno de los cuales tiene un área transversal de 400 mm2, como se observa en la figura. Determine la magnitud P, así como la ubicación horizontal de la fuerza máxima que se puede aplicar a la barra. Los esfuerzos en los cables AC y BD tienen un límite de 100 Mpa y 50 Mpa respectivamente.

FACTOR DE SEGURIDAD Es el cociente entre el valor calculado de la capacidad máxima de un sistema y el valor del requerimiento esperado real a que se verá sometido. Para Esfuerzos normales: 𝐹. 𝑆. =

𝜎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 (𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎) 𝜎 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 (𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑡ú𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

EJERCICIO 1: FACTOR DE SEGURIDAD Para la cercha mostrada, calcular el área transversal de cada elemento teniendo un factor de seguridad de 1.6 para elementos sometidos a tracción, de 2.5 para elementos sometidos a compresión. El material a utilizar es Acero A60.

EJERCICIO 2: FACTOR DE SEGURIDAD

El eslabón AB debe fabricarse con un acero cuya resistencia última a la tensión sea de 450 MPa. Determine el área de la sección transversal de AB para la cual el factor de seguridad es de 3.50. Suponga que el eslabón se reforzará de manera adecuada alrededor de los pasadores en A y B.

ESFUERZO CORTANTE Son fuerzas que actúan de forma paralela al plano que las resiste. Mientras que los esfuerzos de tensión y compresión lo son por fuerzas normales al plano sobre el que actúan. Por esta razón los esfuerzos de tensión y compresión se llaman esfuerzos normales y el esfuerzo cortante puede denominarse esfuerzo tangencial. Si la fuerza cortante pasa por el centroide de la sección. el esfuerzo cortante será 𝜏=

𝑃 𝑉 = 𝐴 𝐴

Ejemplo a) El remache que resiste el corte a través de su sección central. (cortante simple)

𝜏 = 𝑃/𝐴𝑃𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟

b) El pasador que resiste el cortante a través de sus dos secciones (cortante doble)

𝜏=

1 𝑃 2 𝐴𝑃𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟

c) El punzonamiento del bloque donde el área resistente es equivalente al canto de una moneda.

EJERCICIO 1 Se requiere punzonar una placa con un elemento en forma de cilindro que tiene un esfuerzo cortante último de 300 Mpa.

a) Si el esfuerzo de compresión admisible en el punzón es de 400 Mpa. Determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100 mm de diámetro. b) SI la placa tiene un espesor de 10 mm. Calcule el máximo diámetro que puede punzonarse. EJERCICIO 2 La palanca acodada que representa la figura está en equilibrio

a) Determine el diámetro de la barra AB si el esfuerzo normal está limitado a 100 MN/m2. b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador situado en D, de 20 mm de diámetro.

EJERCICIO 3 Dos planchas de madera, cada una de 22 mm de grosor y 160 mm de ancho, están unidas por el ensamble pegado de mortaja que se muestra en la figura. Si se sabe que la junta fallará cuando el esfuerzo cortante promedio en el pegamento alcance los 820 kPa, determine la longitud mínima permisible d de los cortes si la junta debe soportar una carga axial de P= 7.6 kN.

EJERCICIO 4

Una carga P es soportada, como se muestra en la figura, por un pasador de acero que se insertó en un elemento corto de madera que cuelga del techo. La resistencia última de la madera utilizada es de 60 MPa a la tensión y de 7.5 MPa al corte, mientras que la resistencia última del acero es de 145 MPa al corte. Si se sabe que b = 40 mm, c = 55 mm, y d = 12 mm, determine la carga P si se desea un factor de seguridad general de 3.2.

QUICES El siguiente quiz debe ser presentado de forma individual en hojas cuadriculadas tamaño carta. Lo puede presentar con cuaderno abierto. El uso del celular o conversar con algún cualquier momento del quiz genera su anulación. Duración quiz 40 minutos. Copie el enunciado, realice el esquema y solucione:

QUIZ 1 Cada uno de los dos eslabones verticales CF que conectan los dos elementos horizontales AD y EG tiene una sección transversal rectangular uniforme de ¼” pulg de espesor y 1 pulg de ancho, y está fabricado con acero con una resistencia última a la tensión de 60 ksi. Cada uno de los pernos en C y F tiene un diámetro de 5/8” pulg y están elaborados con un acero que tiene una resistencia última a cortante de 25 ksi. Determine el factor general de seguridad para los eslabones CF y para los pasadores que los conectan a los elementos horizontales. Tenga en cuenta el diámetro de los pasadores para calcular esfuerzos de tracción.

QUIZ 2 En la estructura de acero que se muestra en la figura, se utiliza un pasador de 6 mm de diámetro en C y se emplean pasadores de 10 mm de diámetro en B y D. El esfuerzo cortante último es de 150 MPa para todas las conexiones y el esfuerzo normal último es de 400 MPa en el eslabón BD. Si se desea un factor de seguridad de 3.0, determine la carga máxima P que puede aplicarse en A. Observe que el eslabón BD no está reforzado alrededor de los orificios para los pasadores.

QUIZ 3 En la estructura, que se muestra en la figura, se emplea un pasador de 8 mm de diámetro en A y pasadores de 12 mm de diámetro en B y en D. Si se sabe que el esfuerzo cortante último es de 100 MPa en todas las conexiones y que el esfuerzo normal último es de 250 MPa en cada uno de los dos eslabones que unen B y D, determine la carga P permisible si se desea un factor de seguridad general de 3.0. Tenga en cuenta el diámetro de los pasadores en las secciones criticas de esfuerzo normal.

ESFUERZO DE APLASTAMIENTO. Es el que se produce en la superficie de contacto entre dos cuerpos.

La presión del remache contra las paredes no es contante, es 0 en el punto donde ya no hay contacto y aumenta hasta un máximo en el centro de la placa apoyada. Se suele suponer un esfuerzo de contacto promedio que se halla con la proyección del área de contacto. TAREA: Revisar el problema ilustrativo 1.22 del Libro Resistencia de materiales de Singer y Pytel 4ª edición. DIAGRAMA DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN DE UN MATERIAL La rigidez suele tener la misma o mayor importancia que la resistencia de un material en el diseño de estructuras. Rigidez En otro grado la dureza, la tenacidad y la ductilidad también influyen en la elección de un material. Dureza: Oposición que ofrecen los materiales a alteraciones físicas como la penetración, la abrasión y el rayado. Tenacidad: Es la energía de deformación total que es capaz de absorber o acumular un material antes de alcanzar la rotura. Ductilidad: Es una propiedad que presentan algunos materiales, como las aleaciones metálicas o materiales asfálticos, los cuales bajo la acción de una fuerza, pueden deformarse plásticamente de manera sostenible sin romperse, permitiendo obtener alambres o hilos de dicho material. A los materiales que presentan esta propiedad se les denomina dúctiles. Los materiales no dúctiles se califican como frágiles. Velocidad del ensayo 12.7 mm/min para una longitud entre marcas de 25.4 mm (ASTM) Velocidad del ensayo 5 mm/min para una longitud entre marcas de 500 mm (NTC -02)

DIAGRAMA ESFUERZO VS DEFORMACIÓN DE UN ACERO AL CARBONO ACERO A 60

Ley de Hooke La relación entre el esfuerzo y la deformación puede considerarse lineal para todos los materiales.

σ= E*ε E = Modulo de elasticidad o módulo de Young. Gráficamente es la pendiente en el rango elástico. Representa la rigidez de un material bajo una carga impuesta. ε= Deformación unitaria del material. MATERIAL Aluminio 6061 Hierro fundido Gris

E (KSI)

E (Mpa) 10600 13000

73000 90000

Hierro fundido maleable Concreto Acero A36 (0.2%) Acero A60 (0.6%) Madera (pino)

25000 172350 4700 * raiz(f'c) f'c y E en Mpa 29000 200000 29000 200000 1760 12000

Valores de módulo de elasticidad cuando no existen resultados de laboratorio

Condiciones del material para poder hallar valores de deformación unitaria. 1. Debe tener una sección transversal recta o constante. 2. El material debe ser homogéneo (dos muestras tomadas de diferentes lugares del material deben tener las mismas características). 3. La fuerza o carga debe ser axial y producir un esfuerzo uniforme.

GRÁFICA DE ESFUERZO VS DEFORMACIÓN PARA VARIOS TIPOS DE ACERO

CURVA ESFUERZO VS DEFORMACIÓN DEL CONCRETO A COMPRESIÓN.

DETERMINACIÓN DE LA FLUENCIA EN MATERIALES DONDE LA RELACIÓN ESFUERZO VS DEFORMACIÓN NO ES VISIBLE

MÓDULO DE RESILIENCIA DE UN MATERIAL Energía de deformación que puede soportar en el rango elástico. MÓDULO DE TENACIDAD DE UN MATERIAL

Energía de deformación que puede soportar hasta la falla. MEDIDAS DE DUCTILIDAD Porcentaje de alargamiento y porcentaje de reducción de área. TAREA Leer teoría 2.1 a 2.8 del libro guía Mecánica de materiales de Beer and Jhonston. Entender ejemplo 2.01. Entregar 3 ejercicios solucionados, se encuentran en fotocopiadora. DEFORMACIÓN EN ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGAS AXIALES.

La ecuación se usará sólo si: La varilla es homogénea (E constante). Tiene una sección transversal uniforme con área A. Está cargada en sus extremos. Si la varilla está cargada en otros puntos, o si consta de varias porciones con distintas secciones transversales y, posiblemente, distintos materiales, debe dividirse en partes que satisfagan de manera individual las condiciones requeridas para la aplicación de la fórmula. En el caso de una varilla con sección transversal variable, la deformación depende de la posición del punto Q donde se le calcula y se define como:

La deformación total e la varilla se obtiene al integrar esta expresión por la longitud L de la varilla:

Se debe aplicar la expresión cuando la carga P o el Área de la barra varía en función de x. EJEMPLO 1 Para el esquema mostrado hallar las deflexiones (desplazamientos) de los puntos A,B, C y D. EJEMPLO 2. Un cilindro solido de 50 mm de diámetro y 900 mm de longitud está sometido a una fuerza de tensión de 120 KN. Una parte de este cilindro que tiene L1 de longitud, es de acero; la otra parte unida al acero, es de aluminio y tiene L2 de longitud. (a) Determine las longitudes L1 y L2 de modo que los materiales se alarguen la misma cantidad (b) ¿Cuál es el alargamiento total del cilindro? 𝐸𝑎𝑐 = 200 𝐺𝑝𝑎 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑝𝑎 EJEMPLO 3. La barra rígida BDE se soporta en dos eslabones AB y CD. El eslabón AB es hecho de aluminio (E = 73 Gpa) y tiene un área de sección transversal de 400 mm2 el eslabón CD es de acero ( E = 200 Gpa) y tiene un área de sección transversal de 500 mm2. Para la fuerza mostrada de 30 KN, determine la deflexión: a. Del punto B. b. Del punto D. c. Del punto E.

EJEMPLO 4. The 4-mm-diameter cable BC is made of a steel with E =200 GPa. Knowing that the maximum stress in the cable must not exceed 190 MPa and that the elongation of the cable must not exceed 6 mm, find the maximum load P that can be applied as shown.

TAREA: 1. Debe repasar para quiz: PROBLEMAS 2.1 A 2.32 DEL LIBRO MECANICA DE MATERIALES DE BEER AND JHONSTON Si su número en la lista es impar realizar los ejercicios impares. Si su número en la lista para realizar los ejercicios pares. IMPORTANTE: Debe recordar de estática solución de armaduras realizando cortes.

ANÁLISIS DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES PARA EJERCICIOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS. EJEMPLO 1. Una varilla de longitud L, área de sección transversal A1 y módulo de elasticidad E1, se ha colocado dentro de un tubo con la misma longitud L, pero de área de sección transversal A2 y módulo de elasticidad E2. ¿Cuál es la deformación de la varilla y del tubo cuando una fuerza P se ejerce en la placa rígida del extremo como se muestra en la figura?

Método de superposición. Quitar una restricción y al final del análisis de deformaciones tenerla en cuenta como una carga que causa deformaciones. La solución real del problema se obtiene considerando, en forma separada, las deformaciones producidas por las cargas dadas y por la reacción redundante y sumando —o superponiendo— los resultados obtenidos. EJEMPLO 2 Dos varillas cilíndricas, una de acero y la otra de latón se unen en C y están restringidas por soportes rígidos en A y en E. Para la carga mostrada y sabiendo que Ea =200 GPa y El=105 GPa, determine: a) las reacciones en A y en E b) la deflexión del punto C.

EJEMPLO 3 (Tarea para entrar a la próxima clase): Para el ejercicio anterior determine el valor de las reacciones si el apoyo en E tiene un claro de 0.05 mm. EJEMPLO 4 Los eslabones BC y DE están hechos de acero (E = 29000 KSI) y tienen ½ pulgada de ancho y ¼ pulg de espesor. Determine: a) la fuerza en cada eslabón cuando se aplica una fuerza P de 600 lb sobre el elemento rígido AF como se muestra en la figura. b) la deflexión correspondiente del punto A.

PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN CAMBIOS DE TEMPERATURA Complementar teoría con sección 2.3 del libro guía. Ver Ejercicio de aplicación de concepto 2.6 Libro guía 7 EDICION.

δT= Deformación causada por temperatura. α= Coeficiente de expansión térmica. Cantidad por grado C (Centigrados) o Grado F (o Farenheit) dependiendo si la temperatura está en grados Celsius o Farenheit. (δT)= Variación de la temperatura. L= Longitud del elemento

εT = Deformación unitaria relacionada al cambio de deformación por temperatura o deformación unitaria térmica.

VARILLA CON EXTREMOS RESTRINGIDOS FRENTE A LA EXPANSIÓN TÉRMICA

Se soluciona aplicando método de superposición

EJEMPLO 1:

Un bloque rigido que tiene una masa de 5 Mg pende de tres varillas simétricamente colocadas, como se indica en la figura. Antes de colgar el bloque, los extremos inferiores de las varillas estaban al mismo nivel, al colocar el bloque los niveles inferiores siguen en un mismo nivel. Determinar la tensión en cada una de las varillas después de suspender el bloque y de una elevación de temperatura de 40° C. Emplear los datos de la siguiente tabla:

EJEMPLO 2: PRUEBA DE 15 MINUTOS PARA OBTENER 5.0 DE REEMPLAZO EN UN QUIZ. Con los datos del problema anterior determinar la variación de temperatura necesaria para que la carga aplicada sea únicamente soportada por las dos varillas de acero. EJEMPLO 3. La barra compuesta de la figura está firmemente sujeta a los soportes indeformables.

Se aplica una fuerza axial P = 200 KN a una temperatura de 20° C. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 60°C, α= 11.7 µm /(m x°C) para el acero y α= 23 µm /(m x°C) para el aluminio. TAREA Para el quiz 3 solucionar los siguientes ejercicios de la sexta edición del libro guía: 2.58 y 2.60. RELACIÓN DE POISSON (Ampliar con 2.11 edición 6 libro guía) Cuando una barra esbelta homogénea se carga axialmente, el esfuerzo y la deformación unitaria resultantes satisfacen la ley de Hooke, siempre y cuando no se exceda el límite elástico del material. Suponiendo que la carga P está dirigida a lo largo del eje X, se tiene que σX = P/A, donde A es el área de la sección transversal de la barra. Por la ley de Hooke.

Para relación de poisson se supondrá que todos los materiales son homogéneos e isótropicos, es decir sus propiedades no cambian en ninguna dirección ni ubicación. La carga aplicada en X produce una deformación en los otros sentidos (Y y Z)

EJEMPLO 1 Se observa que una varilla de 500 mm de longitud y 16 mm de diámetro, elaborada con un material homogéneo e isotrópico, aumenta su longitud en 400 µm y reduce su diámetro en 2.8 µm al sometérse a una carga axial de 12 kN. Determine el módulo de elasticidad y la relación de Poisson del material. CARGA MULTIAXIAL, LEY DE HOOKE GENERALIZADA PARA MATERIAL ISOTRÓPICO HOMOGÉNEO..

Principio de superposición: el efecto de una carga combinada dada sobre una estructura puede obtenerse determinando, en forma separada, los efectos de las distintas cargas y combinando los resultados obtenidos, siempre que se cumplan las siguientes condiciones: 1. Cada efecto está linealmente relacionado con la carga que lo produce.

2. La deformación resultante de cualquier carga dada es pequeña y no afecta las condiciones de aplicación de las otras cargas. No se puede exceder el límite de proporcionalidad del material. Ley de Hooke generalizada para la carga multiaxial de un material isotropico homogeneo.

EJEMPLO 2 El bloque de acero es sometido a presión uniforme en todas sus caras. Sabiendo que el cambio de longitud del borde AB es de -1x10-3 pulg encuentre: a) el cambio de longitud en los otros dos bordes. b) la presión p aplicada a las caras del bloque. Suponga E=29x106 psi y υ = 0.29.

DILATACIÓN MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD O DE ELÁSTICIDAD VOLUMÉTRICO

e = Cambio de volumen del elemento (cambio de volumen por unidad de volumen).

Si el cuerpo está bajo presión uniforme cada una de las componentes del esfuerzo es igual a –p.

EJEMPLO 3. Determine el cambio de volumen ΔV del bloque de acero que se muestra en la figura cuando se somete a la presión hidrostática (constante en todas las caras) p =180 MPa. Considere E 200 GPa y υ 0.29. TRABAJO EN CLASE: Realizar comprobación de Deformación plana y esfuerzo plano (2.73 y 2.74 Mecánica de materiales Beer 6 Edición. )

REVISAR Y SOLUCIONAR DEL LIBRO MECÁNICA DE MATERIALES DE BEER AND JHONSTON 6 EDICIÓN: Problema modelo 2.5 Ejercicios 2.61, 2.64, 2.65, 2.67, 2.70

EXAMEN PARCIAL FECHA: MARTES 12 DE MARZO DE 2019. HORA: 4-6 PM MECANICA DE MATERIALES

206B- GRUPO 4A 305B-GUPO 4B 304B- GRUPO 4C

LABORATORIO CURVAS ESFUERZO VS DEFORMACIÓN UNITARIA. DEFORMACIÓN UNITARIA CORTANTE

x’, y’ y z’ son ejes paralelos a x, y y z ubicados en Q.

Lo mismo sucederá para 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 𝑦 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦

Se pueden graficar los valores de 𝜏𝑥𝑦 y la deformación que produce 𝛾𝑥𝑦 (deformación a cortante) mediante el ensayo de torsión y determinar un módulo de elasticidad a cortante G.(Ley de Hooke para esfuerzo y deformación a cortante).

G = Módulo de rigidez o de elasticidad a cortante.

ANÁLISIS GENERAL DE ESFUERZOS

RELACIÓN ENTRE E, G Y υ.

CARGA MULTIAXIAL EN UN MATERIAL COMPUESTO Se consideran 3 diferentes valores del módulo de elasticidad, 3 diferentes valores de módulo de rigidez a cortante y 6 diferentes valores de relación de poisson.

TAREA: Revisar Ejemplo 2.10 y 2.11 del libro guía. Y Solucionar 2.74.